Анализ задачи аналитического продолжения в круге с целью построения эффективных алгоритмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Г I "

- 8 МАЙ 1995

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ (Госкомвуз России) КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет K064.61.flt

На правах рукописи

ЧЕКИРОВ КУБАНЫЧБЕК МАКЕШОВИЧ

НАЛИЗ ЗАДА ЧИ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В КРУГЕ С ЦЕЛЬЮ ПОСТРОЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 1995

Работа выполнена в Вычислительном Центре СО РАН в г. Красноярске

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Федотов A.M.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Маергойз JI.C., кандидат физико-математических наук Шитов Ю.А.

Ведущая организация: Институт математики

СО PAti (г.Новосибирск)

Защита состоится ь д^СОХ-_1995 года в 15 час. на заседа

нпи специализированного совета К064.61.01 по защите диссертаций на со искание ученой степени кандидата физико-математических наук при Крас ноярском Государственном Университете по адресу: 660062, Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться а библиотеке Красноярского Госу дарственного Университета. . ^

Автореферат разослан " К? ШЩШ^к, 1995 года.

Ученый секретарь i

специализированного совета // ._-

кандидат физико-математических наук Е.К. Лейнарт;

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи аналитического продолжения являют-я классическими задачами теории аналитических функций одного и мно-их комплексных переменных. Наиболее впечатляющим фактом, который :а протяжении более 100 лет привлекает математиков к псследсванию этих адач, является феномен продолжаемости. Суть этого феномена заключатся в том, что голоморфная з области D функция f(z) определяется, д прием единственным образом, своим заданием на тожествах, существенно геньшпх D. Если множество U задания функции f(z) является внутренним, •о задача аналитического продолжения функции f(z) принадлежит классу инейных некорректно поставленных задач. К настоящему времени суще-твует достаточно стройная теория их решения, как прямыми методами, ак и итерационными.

Эта теория развита благодаря работам Российских математиков из школ l.H. Тихонова, М.М. Лаврентьева и В.К. Иванова. Однако основные ре-' ультаты, связанные с теоретическим обоснованней алгоритмов для по-троения приближенных решений некорректных задач, связаны с детермп-ированной моделью ошибок в задании исходных данных. Основы теории ешенпя линейных некорректно поставленных задач со случайной моде-ью ошибок в исходных данных представлена в работах A.M. Федорова. В тлпчие от абстрактных операторных уравнений в функциональных про-гранствах задача аналитического продолжения имеет свою специфику, ко-орая позволяет получить значительно более сильные результаты, чем в острактной теории, причем с использованием практически той же технп-и операторных уравнений и функционального анализа. Актуальность темы связана с тем, что разработка методов эффектпв-ого решения некорректно поставленных задач со случайными ошибками данных помимо теоретического значения имеет большой практический нтерес, так как позволяет решать с гарантированной оценкой точности элыиой круг прикладных задач, таких как продолжение волновых полей, зучеппе внутреннего строения Земли и др.

Цель диссертации состоит в анализе и теоретическом обосновании эстроенля эффективных вычислительных алгоритмов для решения некор-гктных задач со случайными ошибками в исходных данных, в том числе для задач аналитического продолжения, и в построении оценок точности редлатаемых алгоритмов.

Методика исследования. В основу исследййаййА положены: методы ункционального анализа, методы теорпц некорректных задач и функций

з

комплексного переменного. Качество построенных алгоритмов подтверждено вычислительным экспериментом.

Научная новизна. В диссертации задача аналитического продолжения формулируется, как задача решения линейного операторного первого рода в гильбертовом пространстве со случайными сшибками в исходных данных. Для операторных уравнений первого рода, описывающих задачу аналитического продолжения получены следующие результаты.

— На основе общего вида линейной решающей процедуры для операторного уравнения первого рода построены оптимальные в минимаксном смысле алгоритмы п даны оценки их погрешности.

— Доказана сходимость оптимальных алгоритмов к точному решению.

— Предложен новый способ построения регулярпзующпх алгоритмов, основанных в отличие от классического подхода на оптимальности решения на множестве, а не в точке.

—■ Предложен' оптимальный способ выбора параметра регуляризации, доказана их сходимость и получены оценки погрешности.

— Построены регуляризующие итерационные алгоритмы с оптимальные) правилом останова. Даны оценки нх погрешности и доказана оптимальность по порядку предложенных алгоритмов.

— Дана характеризация операторов в задаче аналитического продолжения.

— Предложенные методы применены для решения задачи аналитического продолжения когда множество 17 задания функции /(г) является кругои или отрезком.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для анализа задач аналитического продолжения функций одного переменного п линейных некорректных задач с коммутируемыми операторами., Построенные алгоритмы могут быть применены для решения задач продолжения стационарных и квазистационарных полей и широкого круга задач обработки и интерпретации экспериментальных данных для построения решений с гарантированной оценкой точности Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

— Всесоюзной конференции по некорректно поставленным задачам математики (Алма-Ата, 1989 год),

— Всесоюзной конференции по асимптотическим методам теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач (Бишкек 1991 год),

— Международной конференции по некорректным задачам в естественны?

ауках (Москва, 1991 год),

а также на научных семппарах Вычислительного центра СО РАН в г. Но-оспбирске, Вычислительного центра СО РАН в г. Красноярске п Института математики АН Республики Кпргпзстаа г. Бишкек. • Публикации. По теме диссертащш опубликовано 5 работ. Структура и объелг работы. Диссертация состопт пз введения, яти глав, заключение и список литературы пз 47 наименований. Объем работы 98 с,

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ '

Введение содержит краткий обзор работ по теме исследования и основные езультаты диссертации.

1. В первой главе дается общая постановка задачи, как задачи решения ператориого уравнения первого рода в гильбертовом пространстве со слу-айпымп ошибками в исходных данных. Известно, что существует функ-,ия комплексного переменного ¡(г), аналитическая з области с регулярной ранпней В комплексной плоскости С. Пусть и — некоторое подмножество ) и на множестве 17 заданы значения функции /(г). Требуется определить наченис функции /(г) в точке € О (пли на некотором множестве/точек), е принадлежащей множеству и. Сформулируем задачу аналитического родолжения как задачу решения операторного уравнения первого реда, [усть ,Н?(Х>) — некоторое гильбертово пространство аналитических фупк-;пй, заданных в области 5,ав частности 14^(1)) = — пространство

¿ардп.

Рассмотрим компактный оператор

А: ЩИ)-* ЩЦ), (1)

□поставляющий аналитической функппл и пространства И'(.О) ее огра-пчение на множество II. Для пространства оператор (1) задается

птелэальной формулой Коши

¡адачу аналитического продолжения можно рассматривать как задачу ре-1енпя линейного операторного уравнения первого рода

Af = y, у(и) = /(«), и EU. (3)

Для построения устойчивых решений операторного уравнения (3) не о с ходпмо задание дополнительной априорной информации относительно ср< должаемой функции (точного решения /). В большинстве приложениях эт информация определяет ограниченное (пли компактное) множество IV пространстве аналитических функций УУ(Б), называемое множеством ко] ректности. Таким образам, будем считать, что продолжаемая функция /(: принадлежит некоторому множеству корректности IV вида

/(г) е \VcWiD),

1Г = \Ур = {/:1/рГ€т},

где — ограниченное абсолютно выпуклое множество. Во многих сл; чаях множество 1У\ можно представить в истокообразном виде

IV, = {/:/ = Вд, ||з|| < 1), . {<

где В : УУ(У) —> УУ(£>) — некоторый линейный оператор, например инт тральное представление Копш вида (2).

Исходные данные (значения функции / на множестве II) для всех пра: тпческих задач получены в результате измерений и поэтому заданы с нек< торой случайной погрешностью. Следовательно, вместо точных исходнь данных мы имеем вектор у € ^{Щ

¿г(«)=(А/)(и)+^(и), и £11,

где а — параметр, определяющий мощность шума; вектор £ € представляет ошибки в задании исходных данных, которые моделируют! реализациями слабой случайной величины со значениями в пространст: ¿г?г(и) с пулевым средним и ограниченным корреляционным оператором

М[е,5Ы([А)=0, Мд € ЩИ)

М& дУг{и)М, = [Ид,Чд, к 6 ЩИ).

Без ограничения общности оператор В можно считать единичным.

2. Вторая глава посвящена линейным решающим процедурам и хара терпзации задачи аналитического продолжения на множество, когда пр должаемая функция принадлежит некоторому ограниченному множест: аналитических функций из класса Харди ^ о единичном круге.

Произвольное непрерывное линейное отображение Ь : ЛРг(и) —» будем называть линейной решающей процедурой (ЛРП) для задачи анал тпчсского продолжения функции / 6 1М(П).

Качество произвольной ЛРП будем характеризовать функцией риска

L,A, а) = М{||/ - L{Af + <rOfw{D),

лде М^ — математическое ожидание по распределению случайной величины f. Величину

" . il{L,A,tr,W) = вар{Щ/,L,A,tr):feW} 5удем называть погрешностью ЛРП L> ЛРП Lo будем называть оптимальной, если

П(£0) А, а, W) = inf А,0, W).

Георема 1. Для компактного множества допустимых решений W оптимальная ЛРП имеет следующий вид

Lopl = Во(а2/р2Е + А*АВ0)~1А*,

где Во — ядерный оператор, являющийся решением следующей экстремальной задачи:

Bq = arg max t(s) = arg max tr(S(cr2/p2E-\-A'AS)'1), • senw) w ° seT(w) x v ' '

'.de T(W) — абсолютно выпуклая оболочка операторов единичногр ранга шда S(g) = [g,w]W(D)w, w eW.

Пусть — ортонормированный базис собственных векторов опера-

гора А* А и априорная информация задана в виде

У/, = {fe W(D) : II/, фк}\ < h, к = 0,1, -.. , со}

СО

Вд= ¿2 Ыд, Фк]Фк-

к=о

Тогда справедлива '

Георема 2. Оптимальная ЛРП имеет вид

£opt = В0{<т2/Р2Е + А* АВоГ1 А*,

:де Во = В В* и ЩЬо pt, А, а, W,) = а2 i ?Е + А*АВ0)~1).

Рассмотрим в качестве области D круг единичного радиуса D = {z € С : z\ < 1}, а множество исходных данных U является кругом радиуса 6.< 1, I = {z Е С : \z\ < 8} С D. Зададим в качестве априорной информации граничение вида

оо

w = {g:g=e9kzi €je2{d), Ы £ 7ь * = ОД,... »оо! *=о

на коэффициенты Тейлора, продолжаемой функции.

Лемма 1. Пусть функция д £ удовлетворяет условию Г ель дер

вида

7Г

тогда <7ц = (1 /к)Т для всех к =0,1,... ,оо.

. В этом случае оптимальная ЛРП имеет вид

2

ГЦ

1Н =

где фк(г) = 2к, Хк(2) — у/к + 1(г/6)', а ее погрепшость

оо а2

ЖД*. А,,, ЦТ) = Е а1Ы + 6-2Ч{к + 1у

Предположим, что задано в виде (4) и операторы А* А и ВВ* переста новочны. Пусть {'фк — общий базис собственных векторов операторе: А*А п ВВ*, Хк = Афк, п {ЬП^о, {а1}™=0 — собственные числа операторо В В*. А* А соответственно. Тогда справедлива

Теорема 3. Оптимальная ЛРП для множества корректности 1¥1 имеет вид

т /и\ ^ *аах{0,-М - То}

ЬорсСЬ) = £-—»л-[ь,хк]Фк,

где То — решение уравнения \

_2 ^ тах{0, |Ьк\ - т} - --= г>

к=0 ак°к

и

< ЩГХ) = <г2 £ -**>.

к=о а*1°*1

Пусть

И = {г € С - |*| < г}, г < 1,

г/={геС:|г|<5}С1>,

V = {г € С : |г| < 1}.

Рассмотрим в качестве оператора В : W(V) —♦ W{D) оператор интегрального представления Кошп. Тогда операторы А* А и В В* перестановочны и оптимальная ЛРП будет плеть следующую оценку погрешности:

П(Х,„„ 1(t+ ~ Го/г').

t=o [о/г)

Теорема 4. Погрешность оптимальной ЛРП для задачи аналитического продолжения с кругового множества стремится к пулю при гт 0.

3. В третьей главе строятся регулярпзуюшие алгоритмы для задачи аналитического продолжения. Доказывается их сходимость и предлагается способ выбора параметра регуляризация, который является статистическим аналогом метода невязки, учитывающий случайный характер ошибок в заданип исходных данных и специфику задачи аналитического продолжения.

Однопараметрпческое семейство ЛРП о будем называть регуляри-

зующим для задачи аналитического продолжения, если

Цт А, (т) = 0

для всех feW С Jft(D).

Однопараметрпческое семейство ЛРП о будем называть стати-

стически устойчивым, если limff_^er2Mf H-L^jj2 = 0.

Однопараметрпческое семейство ЛРП {L<r}<r>o будем называть аппроксимирующим, если linv-.o \\L<rAf—/|[ = 0 для всех f EW.

Лемма 2. Однопараметрическое семейство JIPE {£(r}<r>o является регу-ляризующим на множестве W тогда и только тогда, когда оно аппроксимирующее на множестве W и статистически устойчиво.

Лемма 3. Если однопараметрическое семейство ЛРП {L„}r>o является регуляризующим на множестве W и существует такая зависимость а = а(о), что or(cr) —0 при а —* 0 и а(а) > <т, то семейство решающих процедур {£о(<г)}<г>о также является регуляризующим..

Рассмотрим класс ЛРП вида

La = La(B) з BiaE+A'AB)-^*, or>0. (6)

с некоторым оператором В, таким, что tr(¿?) < 1.

Теорема 5. Семейство ЛРП (6) является аппроксимирующим при а —* 0 для всех f € и для невырожденного оператора В.

s

Теорема 6. Семейство ЛРЛ вида (6) является статистически устойчивым.щи а > const с2.

Рассмотрим в пространстве Jf^(D) формальный элемент невязки, соответствующий некоторому ортонормированному базису {y>t}£L(,:

е* = е*(а, В) = [(ALa - Е)у,

Предложим следующий эвристический критерии выбора параметра а: выбирать параметр а из решения следующего уравнения:

к

lim 1/ICZ4 = 2а2, (7)

i=0

которое будем называть статистическим уравнением невязки.

Теорема 7. Выбор параметра а из статистического уравнения невязки (7) превращает семейство ЛРЛ (6) в регуляризующее.

Пусть для множеств (5) 00

Wp = {9-9-11 9tz € J%(V), 1st I < pjt, fc = 0,1,..., oo}. i=0

Тогда семейство ЛРП (6) примет вид

1°н=£ ^ШТШ1^' (8)

Теорема 8. Семейство ЛРЛ вида (8) является регуляризующим па множестве при выборе параметра а из статистического уравнения невязки.

Пусть для множеств (5)

I¥р= {к = Вд, \\д\\ < р} С ¿ДО),

где В : Жч{У) — оператор Копш.

Рассмотрим семейство ЛРП

(9)

~*=о {°/гГ

Пусть то = то(а) — решение уравнения

Ф(т) = г/а, (10)

Теорема 9. При выборе параметра т из решения уравнения (10) при о > const а2 семейство ЛРП (9) является реяуллризующим и

Щ/,1а,А,сг) < г(тр2 + <г'2/а(г -т)).

Пусть

i2 In r/lnr ф(т) = _-.

V 1 1+lnr/lnr

Теорема 10. Семейство ЛРП (9) является регуляризующхш. г ппвиг.имо-стъю г = т((т), определяемой следующими условиями при а —► 0'г(ег) —» 0, Ф{т) > const а2.

Теорема 11. Семейство ЛРП (9) является регуляризующим с зависимостью т = т(а), определяемой статистическим методом невязки

^ In г/1а г

1 + lnr/lnr £ 4 = 2а2 и является оптимальным по порядку. Рассмотрим семейство ЛРП вида

•-о

Теорема 12. Семейство ЛРП (11) является регуляризующхш для любой зависимости т ~ т(сг) такой, что г(<т) —»Ом <т/т((т) —► 0 при о —► 0 и

4=0 Л ■ • Г

Теорема 13. Семейство ЛРП (Появляетсярегуляризующи/л с зависимостью г = т(<т), определяемой статистическом методом невязки и является оптималъньш по порядку.

Численные эксперименты показали, что для задачи аналитического продолжения решающие Процедуры вида (11) работают лучше, чем решающие процедуры вида (9).

4. В четвертой главе рассмотрим задачу аналитического продолжения в случае, когда множество С/, на котором заданы исходные данные не являются кругом радиуса 6.

Будем предполагать, что область определения О класса продолжаемых функции (О) является ограниченной односвязноп областью с регулярной границей в комплексной плоскости с односвязным дополнением, содержащим бесконечно удаленную точку и отрезок вещественной оси II = [—¿,5],

и

b < 1. Пусть область V С D содержит множество U п точку z0, в которой необходимо вычислить значение продолжаемой функции.

Характсризадня задачи в этом случае дается с помощью аппарата полиномов Фабера {lI't}. Рассмотрим функцию и — Ф(~), которая отображает дополнение к области V конформно л однолистно на область Н = {uj : j^'J > 1} ири условиях

Ф(оо) = оо, Ф'(оо) = 7 > 0.

Пусть — обратное отображение. Оператор аналитического продолжения в этом сл}гчае имеет впд

' ,<г, - <лй(1> _ = i / ВД^ЖО.

Оператор В задаст ограничения на коэффициенты Фурье (Тейлора) продолжаемой функции:

f{z) = (Ah)(z) = £ ht$k{z)

Чтобы применить методы предыдущих глаз достаточно перестановочности операторов А* А и BJ3*.

Теорема 14. Операторы А*А и ВВ* перестановочны, если область V является эллипсом с фокусами в точ7;ах dtS и полуосями ö/2(r -f 1 /г), 6/2(r-l/r)«

2 _ /25\2к (2к — 1)(2к — 3)... 1

fli~U/ 2к(2к — 2).. .2 '

• Для произвольного множества U для построения ЛРП возможен только численный метод решения экстремальной задачи максимизации Функции l(S) — tr {S^ffE + А* AS)-1).

Построим процедуру решения экстремальной задачи, основанной на Методе максимального подъема. Пусть So £ T(W) — некоторое начальное приближение.

1." Go = Sho, h0 = arg max{ ¡¡(cr2/p2£ + 5oA*j4)_1/i]| : h £ TV};

2. Построим оператор G„+i, если известен <?,,:

(a) hn+1 = arg max{||(cr2/p2J5' + G„AM)-1/i|j : h £ W},

(b) an+1 =argmax{7((l -"a)G„ + Q'Sh„+J) : а € [0,1]},

(c) Gn+1 = (1 - an+i)Gn -f an+iSt„+1.

Теорема 15. Последовательность операторов {G„} является максимизирующей для фунщии 7(S) на множестве T{W) для любого ограниченного множества аналитических функций W.

5. Пятая глава посвящена обоснованию итерационных алгоритмов для решения задачи аналитического продолжения на множество. Предлагается оптимальный выбор параметра останова, доказывается, что он являются регулярпзующпми. Строится итерационный алгоритм, дающий оптимальное по порядку решение. Оптимальные минимаксные линейные решающие процедуры хорошо зарекомендовали себя при решении задач с достаточно большим уровнем шума и при точном задании параметра р. Однако при их реализации приходится, решать систему линейных уравнений до-:таточно большой размерности, матрица которой прп малом уровпе шума шляется плохо обусловленной, причем многократно. Прп перестановочных операторах Л* Л и В В' мы прпходпм к необходимости решать нелинейное равнение, определение которого сводится к многократному вычислению :умм степенных рядов, что так же приводит к накоплению вычислительных погрешностей. В случае, когда параметр р неизвестен для его определения, приходиться использовать методы типа метода невязки и решать экстремальную задачу или определяющее уравнение уже для каждого набора данных.

Поэтому возникает вопрос об использовании итерационных методов для юстроенпя приближений к оптимальной регуляризующей процедуре.

Пусть известно /о, приближение к точному значению продолжаемой функ-тттп и W абсолютно выпуклое множество с центром в /о- Наша задача юстоит в построении итерационного уточнения приближения /о. Не огра-шчпвая общности /о, можно считать нулем пространства решений.

Рассмотрим общий вид итерационного процесса dn(y) = fn

/о = 0, fn+1=Sfn + (E-S)A-1y, \це 5 — оператор перехода итерационного процесса с правилом останова щ = max{n : sup \\Snf\\2 > a2 tr{(Е - - 5")*)}. (12)

/6iv

Гогда погрешность получаемого решения удовлетворяет следующему не-завенству

fi«,A<TIPy)<2sup||S"»/ll2 .

и.

Рассмотрим два вида операторов перехода. Оператор перехода S = Е — тА"А порождает процесс

fll+x= fn + TA'{Afv-y). (13)

Итерационный процесс (13) порождает статистически устойчивое семейство решающих процедур : dn(y) — J„ аппроксимирующее при

г < 1/цлмц.

Пусть

Щп) = кил,А,а) < \\(E-rA-Anf0-f)f + a2n\\A\\)ls = ЗВД,

Теорема 16. Если правило останова щ — п{о) итерационной процедуры ПЗ) определяется условием

зь{щ) < Щщ -1), зг^по) < зг,(п0 +1),

то тогда Э?(п) —* 0 при а —> 0.

Пусть оператор перехода равен 5 = [А + Q)~XQ п зададим следующее правило останова

щ = min{n : SnB < (Е - 5")(А*Л)~1/2}. (14)

Предположим, что операторы SnB самосопряженные положительные и порсстанозочные. Тогда

sup n(f,dn,Е. А, с) < 2||S-' |!2 tr{B2(B7F + E)~l). few

Таким образом, так построенный итерационный процесс определяет оптимальную по порядку решающую процедуру, т.е. имеющую ту же скорость сходимости к пулю при а —► 0, что и оптимальная лпяепная решающая процедура.

Отметим, что численная реализация итерационных процессов значительно легче, чем реализация оптимальной линейной решающей процедуры поскольку не. требует обращений плохо обусловленных матриц, которые возникают при малых значениях мощности шума (мала величина ст2). Салю правило останова можно существенно упростить, рассматривая неравенства для норм Гильберта-Шмидта, входящих в итерационный процесс матриц.

Для практической реализации наиболее удобен регулярпзованный процесс с матрицей Q = ВВ* пли Q = аЕ + ВВ*: если В вырождена, а> 0. Этот процесс требует для достижения момента останова значительно меньше итераций, чем процесс вида (13).

Отметим, что правило останова (14) пригодно и для произвольного мно-сества корректности IV. то есть для задачи с неиерестановочньшн опера-орами.

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в дис-ертацни.

1. В дпссертавдш сформулирована задача аналитического продолжения, ;ак задача решения операторного первого рода п гильбертовом простран-тве и найден соответствующий вид операторов (дана характерпзация за-:ачи).

2. Построены оптимальные минимаксные алгоритмы и оценки их по-решности (устойчивости).

3. Предложен новый способ построения регуляризующих алгоритмов, ¡оказана их сходимость и получены оценки погрешности (устойчивости). 1айден оптимальный способ выбора параметра регуляризации.

4. Построены итерационные алгоритмы для решения задачи аналитпче-кого продолжения, которые позволяют решать задачу для произвольных |бластей. Получены их оценки погрешности. Найден оптимальный способ ибора параметра останова.

5. Даны рекомендации по использованию предлагаемых алгоритмов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: .. Федотов A.M., Чекиров K.M. Метод простой итерации для операторных уравнений со случайными ошибками в данных. В кн.: Методы решения некорректных математических задач и проблемы геофизики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1984. С. 126-134. !. Федотов A.M., Чекиров K.M. Итерационный метод построения по порядку решающих процедур для линейных уравнений; В вся.; Численный анализ обратных задач дифракции. Красноярск, КрГУ, 1989. С. 136143.

5. Федотов A.M., Чекиров K.M. Итерационный метод реализации оптимальной решающей процедуры. В кн.: Условно-корректные задачи математической физики. Красноярск, ВЦ СО АН СССР, 1989. С. 88. L Чекиров K.M. О методе останова итерационных методов в гильбертовом пространстве функций. В кн.: Математические модели* ff алгоритм в задачах обработки данных. Красноярск, КрГУ, 1991. С. 131-139. >. Федотов A.M., Чекиров K.M. Численные алгоритмы аналитического продолжения. Деп. в ВИНИТИ, № 3362-В-92 2S.ll.92i. ВЦ СО РАН г. Красноярск, 1992.