Метод продолженных граничных условий решения задач дифракции волн и его обобщение тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

УДК 537.874.6:621.371

На правах рукописи

Смирнова Надежда Ивановна

МЕТОД ПРОДОЛЖЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ ВОЛН И ЕГО ОБОБЩЕНИЕ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

003464240

Работа выполнена на кафедре Теории вероятностей и прикладной математики Московского технического университета связи и информатики (МТУСИ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кюркчан Александр Гаврилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Крюковский Андрей Сергеевич, Российский Новый университет, доктор физико-математических наук Шатров Александр Дмитриевич, Фрязинский филиал ИРЭ им. В.А.КотельниковаРАН

Ведущая организация: Московский институт радиотехники, электроники и автоматики, г. Москва

Защита состоится 25 марта 2009 года в 18-00 на заседании диссертационного совета Д 212.156.06 при Московском физико-техническом институте (Государственном университете) по адресу: 117393, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, корпус В-2.

Отзывы направлять по адресу: 141700, г. Долгопрудный, Московская область, Институтский пер., д. 9, МФТИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ (ГУ).

Автореферат разослан » февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.156.06 к.т.н., доцент

Чубинский Н.П.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. При проектировании и анализе антенных устройств, при исследовании вопросов распространения радиоволн в неоднородных средах, в радиолокации, радиоастрономии и др. возникает необходимость решения задач, связанных с процессом дифракции (рассеяния) волн. Математическими моделями таких процессов являются внешние краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, решение задачи дифракции монохроматических волн означает в математической постановке решение внешней краевой задачи для скалярного или векторного уравнения Гельмгольца. Разработано большое количество методов решения этих задач как аналитических, так и численных.

Предметом исследования данной работы является широкий класс задач дифракции волн на различных компактных телах и тонких экранах. Для решения такого рода задач разработан широкий спектр методов, таких как метод разделения переменных (метод Фурье), метод конечных элементов, метод токовых интегральных уравнений, метод объемных интегральных уравнений, методы вспомогательных токов (МВТ) и дискретных источников (МДИ), метод диаграммных уравнений, метод нулевого поля (МНП), метод Т-матриц (МТМ). Одним из наиболее универсальных подходов к решению задач дифракции волн является сведение их к интегральным уравнениям (ИУ). Хорошо известно, что при решении классических (токовых) ИУ одну из вычислительных проблем представляет учет особенности в их ядрах. Наличие этой особенности является, с одной стороны, гарантией корректности соответствующих интегральных уравнений Фредгольма 1 рода, а с другой - требует использования тех или иных специальных приемов при проведении численных расчетов. В последнее время широкое распространение получили подходы, в которых поверхность £ носителя токов и поверхность Ss, на которой выбирается точка наблюдения, разнесены. В этом случае в ядрах соответствующих уравнений уже нет особенностей, а алгоритмы решения этих уравнений становятся более быстродействующими.

Подобное разнесение поверхностей производится, например, в таких распространенных методах, как МВТ, МДИ, метод продолженных граничных условий (Mill У), МНП, МТМ. По способу разнесения поверхностей все перечисленные выше методы можно условно разделить на две группы:

1) методы, в которых деформируется поверхность 2, a Ss остается на месте (МВТ, МДИ);

2) методы, в которых деформируется поверхность^, a Z остается на месте (МПГУ, МНП, МТМ).

Первая группа выглядит менее предпочтительной, поскольку деформировать поверхность Е можно только вовнутрь, из-за чего все методы первой группы неприменимы, например, в случае тонких экранов и

рассеивателей с изломами. Поверхность же Ss можно деформировать как вовнутрь, так и наружу, что делает методы второй группы более универсальными с точки зрения геометрии рассеивателя. Конечно, об универсальности имеет смысл говорить только применительно к Mill У, так как МНП и МТМ предполагают деформацию Ss исключительно вовнутрь.

Было замечено, что методы, основанные на деформации какой-либо из поверхностей (X или S s) вовнутрь, в частности, МНП и близкий ему МТМ (их даже часто считают одним и тем же) на практике часто или совсем перестают работать для некоторых задач, или их сходимость и точность резко падают (например, для сильно вытянутых рассеивателей). Причина подобных феноменов состоит в том, что при разработке соответствующих алгоритмов, как правило, не принималось во внимание одно весьма важное обстоятельство: при деформации поверхности вовнутрь необходимо обязательно учитывать особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя. Волновое поле является, как известно, вещественно аналитической функцией, которая должна в соответствии с условием излучения обращаться в ноль на бесконечности, поэтому по теореме Лиувилля она должна либо всюду быть равной нулю, либо иметь особенности, а располагаться эти особенности могут только в нефизической области, т.е. внутри рассеивателя.

МНП и МТМ являются очень распространенными и популярными, о чем можно судить по многочисленным публикациям, вот почему очень важно дать этим методам корректную формулировку, позволяющую избежать грубых ошибок при их численной реализации. Как уже отмечалось, МТМ часто называют МНП и наоборот, и, чтобы избежать путаницы, под МНП будем понимать метод, при котором интегральное уравнение строится на основе условия нулевого поля, выполняющегося на произвольной поверхности внутри поверхности рассеивателя S, а под МТМ - метод, в котором условие нулевого поля ставится на сфере, что позволяет при использовании Фурье-разложений всех функций, входящих в ИУ, упростить расчеты.

Итак, наиболее универсальным с точки зрения геометрии рассеивателя является Mill У, ранее опробованный лишь на решении двумерных задач дифракции, однако МПГУ является приближенным подходом, а вычислительные алгоритмы на основе МПГУ обладают более низкой скоростью сходимости, чем, например, алгоритмы на основе, МНП (в тех случаях, когда последний применим).

Данная диссертация выполнялась в соответствии с учебным планом и в рамках работ по проектам РФФИ.

Цель диссертационной работы. Целью работы является, таким образом, во-первых, развитие МПГУ, его распространение на трехмерные скалярные и векторные задачи дифракции. Идея разнесения поверхности носителя источников и поверхности, на которой выбирается точка

наблюдения, позволяет в ряде случаев строить алгоритмы, допускающие решение исходной краевой задачи, в принципе, с наперед заданной точностью. Речь здесь идет конкретно о методе нулевого поля, близкого в указанном выше смысле к МПГУ. Несмотря на то, что сама идея МНП известна достаточно давно ее реализация, как уже говорилось, осуществляется вот уже на протяжении более чем сорока лет, вообще говоря, некорректно. Поэтому второй целью настоящей работы, является корректная формулировка и реализация идеи МНП, основанная на учете информации об аналитических свойствах волнового поля. Этот подход мы здесь будем рассматривать как одно из обобщений МПГУ, возможное в случае, когда граница рассеивателя аналитична. В этом (и только в этом) случае, как будет показано далее, целесообразно указанное обобщение, т.к. МНП позволяет производить расчеты со значительно более высокой точностью, чем МПГУ, но это достигается, как уже отмечалось, существенным сужением класса задач, для которых применим указанный подход. Таким образом, идея разнесения границ будет реализована в рамках единого и универсального подхода, который будем называть методом деформации границы (МДГ).

Методы исследования. Основными методами исследования были метод продолженных граничных условий и метод нулевого поля, которые использовались для получения интегральных уравнений. Для численного решения ИУ использовался метод коллокации.

Научная новизна работы. МПГУ впервые применен к решению трехмерных скалярных и векторных задач дифракции. Доказаны теоремы существования и единственности решения ИУ МПГУ. Показана корректность численного решения ИУ МПГУ. Предложен единый подход, основанный на выборе поверхности Ss вне S или (для аналитических поверхностей) внутри S, названный МДГ. Дана корректная при численном решении формулировка МНП и МТМ, учитывающая особенности аналитического продолжения волнового поля.

Основные результаты работы. Автором получены и выносятся на защиту следующие результаты:

1. МПГУ распространен на трехмерные скалярные и векторные задачи дифракции.

2. Выполнено обоснование метода: показана корректность метода, выполнена оценка погрешности метода.

3. Разработаны и протестированы алгоритмы численного решения: для произвольных тел, для тел вращения и для правильных призм.

4. Выполнена оптимизация вычислительного алгоритма, определены оптимальные параметры моделирования. По результатам проведенных исследований даны четкие рекомендации по реализации численного решения задач дифракции с помощью МПГУ

5. Исследована сходимость вычислительного алгоритма.

6. Исследованы различные задачи дифракции на компактных телах и на тонких экранах.

7. Предложен единый подход, основанный на выборе поверхности S{ вне S или (для аналитических поверхностей) внутри S, названный МДГ.

8. Показано, что для того чтобы решение ИУ нулевого поля соответствовало краевой задаче, поверхность, на которой выполняется условие нулевого поля, должна обязательно охватывать особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя.

9. Дана корректная при решении краевых задач формулировка условия нулевого поля.

Í0.Установлены границы применимости метода Т-матриц. 11.Показано, что построение поверхности, на которой выполняется условие нулевого поля, путем аналитической деформации границы рассеивателя позволяет добиться максимально высокой скорости сходимости.

Практическая значимость. Разработан удобный, эффективный и универсальный алгоритм численного решения задач дифракции с помощью МДГ. Выполнены многочисленные исследования, направленные на оптимизацию предложенного алгоритма, по результатам которых можно однозначно и наиболее выгодно выбирать параметры алгоритма.

Достоверность научных выводов. Для оценки достоверности численного решения интегральных уравнений «в первом приближении» рассчитывалась диаграмма рассеяния, некоторые свойства которой уже известны из постановки задачи, кроме того, для некоторых модельных задач диаграмму можно сравнить с диаграммами, полученными другими численными (а в некоторых случаях даже аналитическими) методами. Для дополнительного контроля правильности диаграммы в случае идеально проводящих рассеивателей выполнялась проверка оптической теоремы. Для контроля правильности диаграммы в случае поглощающих рассеивателей выполнялась проверка теоремы Уфимцева. В качестве оценки погрешности численного решения рассматривалась невязка выполнения краевого условия в точках между точками коллокации, посчитанная в линейной метрике. Оценку внутренней сходимости вычислительного алгоритма дает степень уменьшения невязки при увеличении параметра аппроксимации, а также скорость увеличения точности выполнения оптической теоремы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ (Москва, 2005 и 2006).

2. 8th - 1 Ith Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles (Гранада, Испания, 2005; Санкт-Петербург, Россия, 2006; Бодрум, Турция, 2007; Хатфилд, Великобритания, 2008).

3. Московская отраслевая научно-техническая конференция «Технологии информационного общества» (Москва, 2007 и 2008).

4. Международная научно-техническая конференция «Фундаментальные проблемы приборостроения» (Москва, 2005, 2006 и 2007).

5. Международная научно-техническая школа-конференция «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию» (Москва, 2008).

6. Международная конференция «Дни дифракции» (Days on Diffraction) (Санкт-Петербург, 2007 и 2008).

7. 12th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Odessa, Ukraine, 2008).

8. Семинар «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» под' рук. Е.И.Нефедова при обществе А.С.Попова (Москва, 2006).

9. Московский электродинамический семинар в ИРЭ РАН под рук. В.В. Шевченко (Москва, 2005 и 2007).

Ю.Научный семинар «Акустика неоднородных сред» под рук. С.А. Рыбака (Москва, 2008).

11. Семинар A.C. Ильинского и А.Г.Свешникова по численным методам

электродинамики Физфака МГУ (Москва, 2008). 12.Общероссийский научный семинар «Математическое моделирование волновых процессов» в РосНоУ под рук. Д.С. Лукина (Москва, 2005 и 2008).

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Основные результаты работы изложены в выводах, которые находятся в конце каждой главы, а также в заключении. Материал изложен на 135 страницах, включая 107 рисунков, 9 таблиц и библиографию из 100 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении рассмотрены цели работы и методы исследования. Сделан краткий обзор существующих методов решения задач дифракции. Приведена краткая характеристика МПГУ.

Первая глава посвящена разработке МПГУ для решения трехмерных скалярных задач дифракции волн. Приведены теоретические основы метода, доказаны теорема существования и теорема единственности решения ИУ, к которому сводится краевая задача при использовании МПГУ. Выполнена оценка точности метода. Разработаны алгоритмы численного решения задач дифракции для рассеивателей произвольной формы, а также для рассеивателей, обладающих симметрией вращения, и для правильных призм. Выполнены детальные исследования численной реализации метода и оптимизация вычислительного алгоритма.

Таким образом, метод разработан не только теоретически, но и практически, даны рекомендации по применению МПГУ в зависимости от конкретных потребностей. Выполнены численные исследования точности и скорости сходимости алгоритма метода, а также решен ряд задач дифракции

на компактных рассеивателях с постоянным и переменным импедансом и на тонких экранах. Более подробно остановимся на содержании первой главы.

Итак, пусть требуется решить задачу дифракции на компактном рассеивателе, занимающем область пространства И. С математической точки зрения в области Ое = И.3 \ В необходимо найти решение и'(г) уравнения Гельмгольца:

Ьи\г) + кЧ{г) = 0, (1)

где к = а}у[е/л - волновое число, к е С, кф 0, удовлетворяющего на границе Я области В некоторым краевым условиям, например, вида:

.ди(г)

аи{г) + (]-

дп

■О,

(2)

где и(г) = и0(г) + и1 (г) - полное поле, и0(г) - падающее (первичное) поле,

— - дифференцирование по внешней к 5 дп

нормали, а,Р - заданные

величины, а также условию излучения Зоммерфельда на бесконечности:

Х\тг

Г->°о

а/

дг

+1ки1

= 0.

(3)

Рис. 1. Геометрия задачи

Если в (2) положить а = 1,/? = 0, то получим граничное условие первого рода или условие Дирихле, если положить а-0,/? = 1, то получим граничное условие второго рода или условие Неймана, и, наконец, если аФ 0,/7^0, то будем иметь граничное условие третьего рода или импедансное граничное условие. Геометрия задачи показана на рис. 1.

Главная идея МПГУ заключается в переносе граничного условия с поверхности 5 рассеивателя на некоторую вспомогательную поверхность , в общем случае охватывающую поверхность рассеивателя и находящуюся на достаточно малом расстоянии 8от нее (см. рис. 2). При этом носитель вспомогательного тока, создающего рассеянное поле, остается на поверхности рассеивателя. В результате вместо точной постановки граничной задачи мы получаем приближенную, закладывая в решение погрешность порядка к8. Это вполне допустимо, т.к. решение задачи ищется численно, кроме того, при правильном выборе величины к8 для численной реализации решения такая постановка равносильна точной.

Такой перенос граничного условия возможен благодаря вещественной аналитичности волнового поля в области его определения, т.е. вне

МПГУ

Рис. 2. Идея МПГУ

рассеивателя, т.к. если вещественно аналитическая функция удовлетворяет некоторому краевому условию на поверхности то она приближенно будет удовлетворять этому условию и на поверхности , расположенной достаточно близко к и при £—>0 и приближенное решение

стремится к точному. Причем если поверхность рассеивателя аналитична, то волновое поле можно аналитически продолжить и внутрь рассеивателя вплоть до особенностей. В этом случае вспомогательную поверхность можно расположить и внутри рассеивателя.

Разделение поверхности, на которой располагается вспомогательный ток, и поверхности, на которой выполняется граничное условие, позволяет избежать особенностей в ядрах интегральных уравнений (к которым может быть сведена краевая задача), возникающих при совпадении аргументов ядра. Это, в свою очередь, дает возможность упростить расчеты, связанные с численным решением соответствующих интегральных уравнений, и в то же время, не вносит в решение (вспомогательный ток) погрешности, значительно превышающей 5, а при моделировании диаграммы погрешность оказывается намного меньше погрешности вычисления вспомогательного тока.

Итак, рассмотрим задачу дифракции (1)-(3) и заменим точное граничное условие (2) на поверхности 5 на приближенное на поверхности :

8и(г) ^

au(r) + ß-

дп )

= 0,

(4)

в котором Ss —

поверхность, проведенная в области Д на некотором

достаточно малом расстоянии <5 от поверхности 5, —

дп

- дифференцирование

по внешней к ^ нормали. Далее на основе этого краевого условия можно получить интегральное уравнение Фредгольма 1 или 2 рода с гладким ядром, см. таблицу 1.

Таблица 1

Гр. усл. Интегральное уравнение 1 рода Интегральное уравнение 2 рода

1 рода (5) 3u(F) t ,du(F) dG0(r,r')d„,_du°(r) дп SJ дп дп дп

2 рода £ дп'дп дп

3 рода £ дп у V дп' дп ) дп'дп) -«•(г) Ш = дп а du(F) cdu(F) f _w dG0} =A дп j dri { дп' J Всюду в таблице M(r) e Ss

Применительно к уравнению (5), к которому сводится краевая задача в случае граничного условия 1 рода доказана следующая теорема 1 существования: Пусть простая замкнутая поверхность Б такова, что к не является собственным значением внутренней однородной задачи Дирихле для области внутри 5. Тогда уравнение (5) разрешимо в том и только в том случае, если 5 охватывает все особенности решения и'5(г) краевой задачи (1),(3),(4), в которой а = 1, /? = 0.

Применительно к уравнению (5) имеет место также следующая теорема 2 единственности: При выполнении условий теорелт 1 уравнение (5) имеет единственное решение.

Для численного решения ИУ МПГУ воспользуемся известной техникой Крылова-Боголюбова, в которой для аппроксимации неизвестной функции под знаком интеграла используется базис характеристических функций подинтервалов, на которые разбивается интервал интегрирования (кусочно-постоянный базис), а левые и правые части ИУ приравниваются в точках коллокации, в результате получается система (системы) линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

В случае, если рассеиватель обладает симметрией вращения, для численного решения ИУ (5) получим следующий набор из 2(7+1 (О, -количество учитываемых положительных и отрицательных гармоник Фурье) СЛАУ относительно гармоник Фурье неизвестной функции:

При помощи МПГУ получено строгое решение задач дифракции на сфере (с граничным условием Дирихле) и сфероиде (с условием Неймана). Показано, что погрешность МПГУ составляет величину порядка к8.

Исследованы различные аспекты реализации предложенного алгоритма для тел вращения, определены оптимальные параметры моделирования.

Выполнены исследования эффективности численного решения задач дифракции с помощью МПГУ, которая оценивалась по таким показателям как точность, сходимость и достоверность получаемых результатов. Показатели эффективности оценивались тремя способами: по величине невязки краевого условия и скорости ее уменьшения, по точности выполнения оптической теоремы и по точности построения диаграммы рассеяния, поскольку только так можно в полной мере оценить качество метода.

В качестве примеров решения с помощью МПГУ задач дифракции на компактных рассеивателях, рассмотрим задачи дифракции плоской волны,

(6)

где -— =—Т(д',ср'), I - коэффициенты разложения неизвестной

дп , кр

к -

функции, вт = — (т - 0.5), т = 1, N.

падающей под углами 90= 0, <р0 = 0, на следующих геометриях (здесь и далее оси вращения всех рассматриваемых тел совпадают с осью г) с одинаковым отношением максимального размера к минимальному (1:10): сильно вытянутые сфероид с полуосями ка = 1, кс = 10 и цилиндр с радиусом основания ка = \ и полувысотой ¿с =10, конус высотой кс = 19 со сферическим основанием радиуса ка-1 с импедансами 7 = 0, 2 = ^ (последнее соответствует Зоммерфельдовской модели черного тела). На рис. 3 приведены диаграммы рассеяния Р(0,(р) в плоскости <р=[0, я-] для

сфероида (1), цилиндра (2) и конуса (3) при 2 = 0, N = 300, 2 = 0, = 10~3. На рис. 4 приведены аналогичные результаты для случая 2 = £, полученные при N = 400, 0 = 0, М = 10"6.

в, рад

Рис.3 Диаграммы рассеяния (2 = 0)

в, рад

Рис. 4 Диаграммы рассеяния (Z = ¿Г)

Были рассмотрены задачи дифракции плоской волны, падающей под углами #0=0, (О0=0, на круговых цилиндрах различных размеров. Одно из оснований каждого цилиндра (со стороны падения волны) покрыто поглощающим материалом с импедансом Z = £, а остальные поверхности являются идеально проводящими (т.е. Z = 0). Диаграммы рассеяния цилиндров с таким покрытием сравнивались с диаграммами идеально проводящих цилиндров и поглощающих цилиндров с импедансом Z = £ соответствующих размеров. На рис. 5 приведены диаграммы рассеяния для цилиндра с размерами ka = \S,kc = 2 (1 - Z = £, 2 -Z = 0, 9<ж-arctg(a/c), Z = £,else, 3 - Z = 0), полученные при N = 400. Видно, что нанесение поглощающего покрытия на освещенную грань цилиндра весьма заметно уменьшает величину рассеянного поля в направлении на источник излучения.

Были рассчитаны диаграммы направленности двухзеркальной антенны типа Кассегрена. Рассматривалась антенна, состоящая из главного

с, pad

Рис. 5 Диаграммы рассеяния

параболического (с диаметром апертуры кр=60) и вспомогательного гиперболического (с фокусным расстоянием ¡ф=6) зеркал с общим фокусом в начале координат при 0 < 0 < тг/6 для обоих зеркал. Первичное поле полагалось на гиперболоиде равным полю точечного источника, расположенного в вершине параболоида, и равным нулю на параболоиде. На

рис. 6 приведены нормированные диаграммы направленности в плоскости ^ = [0, тг] (1 - с учетом затенения

вспомогательным зеркалом, 2 - без учета), полученные при Q=Q, N=128.

Выводы. МПГУ распространен на трехмерные скалярные задачи дифракции. Численное решение задач дифракции на 1 2 3 s 5 6 7 основе МПГУ является корректной Рис. 6. Диаграммы направленности задачей. Погрешность решения, для двухзеркальной антенны появляющаяся при переходе от точных граничных условий к приближенным имеет порядок кд (8 - расстояние от границы рассеивателя поверхности до поверхности, на которой ставится граничное условие).

Предложенные вычислительные алгоритмы на основе МПГУ сходятся. Теорема Уфимцева о соотношении между интегральными поперечниками идеально отражающего и черного тел выполняется с приемлемой точностью даже для очень вытянутых рассеивателей со сравнительно небольшой площадью внутри теневого контура.

Импедансное приближение становится неадекватным, если толщина рассеивателя не превышает 0,2 Л.

По результатам проведенных исследований, связанных с оптимизацией вычислительного алгоритма и определением оптимальных параметров моделирования можно дать следующие рекомендации по реализации численного решения задач дифракции с помощью МПГУ:

1. При использовании ИУ Фредгольма 2 рода следует учитывать скачок потенциала двойного слоя.

2. Величина параметра кб продолжения граничного условия должна удовлетворять неравенству |Ы|<я//У для ИУ 1 рода и неравенству

\кд\ < л]( 1О3 • N) для ИУ 2 рода.

3. При соблюдении пункта 2 способ построения поверхности Ss значения не имеет, поэтому можно просто в каждой точке увеличивать на 8 длину радиус-вектора, описывающего S.

4. В случае граничного условия 1 рода краевую задачу следует сводить к ИУ 1 рода, в остальных случаях - к ИУ 2 рода.

5. Следует использовать вычислительный алгоритм с переходом к дискретным источникам (ДИ) за исключением тех случаев, когда размер СЛАУ при переходе к ДИ становится слишком велик, например, если

требуется очень высокая точность вычислений или размер рассеивателя много больше длины волны. 6. Для аппроксимации неизвестной функции следует использовать кусочно-постоянный базис, за исключением следующих случаев:

1) если для рассеивателей с неаналитической границей при использовании алгоритма с переходом к ДИ требуется уменьшить выбросы невязки вблизи изломов границы;

2) если при использовании алгоритма без перехода к ДИ размеры рассеивателя велики и сходимость имеет решающее значение.

В случаях 1), 2) следует использовать сплайны по возможности более высокого порядка. Вторая глава посвящена распространению Mill У на векторные задачи дифракции электромагнитных волн, которые в 1 главе решались в скалярном приближении. Выведена система интегральных уравнений МШ У. Разработан алгоритм численного решения задач дифракции для рассеивателей, обладающих симметрией вращения. Рассмотрены некоторые особенности реализации алгоритма численного решения, которые надо принимать во внимание именно при решении векторных задач. Выполнены численные исследования точности и сходимости метода, а также решен ряд задач дифракции на компактных рассеивателях и на тонких экранах.

Рассмотрим задачу дифракции произвольного волнового поля Ё°,Й° на компактном рассеивателе, занимающем область пространства D и ограниченном поверхностью S. Это означает, что в области De = R3 \ D требуется найти вторичное (дифракционное) поле Е\Й\ удовлетворяющее всюду вне S системе однородных уравнений Максвелла: V xE]=-ikCH\

•VxH'A1, (7)

уЁ1 = О, VH1 = О,

где к = ai^fe/j — волновое число, ^ = ^¡и/с волновое сопротивление среды; на поверхности S некоторому краевому условию, например, вида:

ог[ЯхЁ]5+/?[йх(ЯхЯ)]х=0, (8)

где Ё = Е°+Е1, II = Н" + Н' - полное электромагнитное поле; а также условию излучения Зоммерфельда на бесконечности:

(ННМЙ' (^НМ;) (9)

В соответствии с МПГУ заменим краевое условие (8) на поверхности S на приближенное краевое условие на поверхности Ss, расположенной на некотором достаточно малом расстоянии 8 от S:

а[йх£]5 + /?[йх(йхя)]^ = 0. (10)

Перейдем теперь к выводу ИУ МПГУ. Пусть рассеиватель является идеально проводящим, т.е. в (10) а = 1,/0 = 0. Подставив интегральное представление

для Е1 в граничное условие (8), получим ИУ Фредгольма 1 рода с гладким ядром:

/

здесь и далее г,г - радиус-векторы точек наблюдения М(г)еБг и интегрирования соответственно.

Для получения ИУ 2 рода подставим интегральное представление для Я1 в тождество Я = Я0 + Я1, получим:

= пхЕ , (11)

йх

(12)

где Зд =(йхЯ) , .7° =(йхЯ°) . Считая, что поверхности и Бй заданы в '■Я;

сферической системе координат соответственно уравнениями г' = р(в', (р') и г = ре(в,ф), и полагая, что в точках в = в\ (р-ф величины У и 1е приближенно равны друг другу, можно рассматривать соотношение (12) как ИУ Фредгольма 2 рода относительно величины 3 =

Далее исследованы особенности реализации вычислительного алгоритма для векторных задач дифракции в случае тел вращения, выполнена оптимизация алгоритма. Векторные задачи дифракции более чувствительны к выбору численных методов из-за наличия вторых производных функции Грина в ядрах соответствующих интегральных уравнений. Дело в том, что в скалярных задачах в интегральные уравнения входила только сама функция Грина и ее первая производная, что после продолжения граничных условий приводило при совпадении аргументов к

квазиособенности типа —г-^---^-т, которая не сильно сказывалась на

(кб)

точности вычислений, конечно, при разумной величине к8 (порядка 10~3-г-10"6). В векторных же задачах из-за появления упомянутых вторых

_1_ 1

кб<\0'3 может приводить к большой погрешности вычислений. Для того, чтобы избежать этой проблемы можно использовать вычислительный алгоритм без перехода к дискретным источникам, но как показали исследования, эффективнее переходить к дискретным источникам, но при

производных, появляется квазиособенность типа 5__,---что при

этом необходимо выбирать N » А7,, N1 - количество узлов, используемых при вычислении обратного преобразования Фурье функции Грина.

В качестве примера решения с помощью МПГУ векторной задачи дифракции, рассмотрим задачу возбуждения параболического зеркала с диаметром апертуры кр=30 и углом раскрыва л)Ъ точечным источником (диполем), расположенным на оси вращения параболоида в точке г0 = 0, в0=<р0= 0. На рис. 7 представлены составляющие нормированной диаграммы направленности в плоскости = я-] для

Т7/ и (з = [л"/2,Зл"/2] для ^, полученные при А-128, 0=1.

Выводы. МПГУ распространен на трехмерные векторные задачи дифракции. Предложенный вычислительный алгоритм для тел вращения на основе МПГУ сходится.

По результатам проведенных исследований, связанных с оптимизацией вычислительного алгоритма можно дать следующие рекомендации по реализации численного решения векторных задач дифракции с помощью МПГУ:

1. Целесообразнее использовать алгоритм с переходом к ДИ

2. При переходе к дискретным источникам необходимо выбирать N »¿V,

3. Интегралы следует вычислять методом Гаусса-Кронрода

4. Прямое преобразование Фурье ядра интегрального уравнения целесообразно вычислять по формуле прямоугольников.

Третья глава посвящена обобщению МПГУ, состоящему в том, что для рассеивателей с аналитической границей допускается выбор точек наблюдения на поверхности, расположенной глубоко внутри рассеивателя. При этом граничное условие на указанной поверхности превращается в условие нулевого поля, при котором интегральные уравнения имеют более простой вид, а постановка задачи становится точной. В таком расширенном варианте название МПГУ, очевидно, становится не совсем корректным, поэтому для краткости будем называть такой подход методом деформации границы (МДГ), что, конечно, тоже в полной мере не отражает суть метода. Смысл этого названия в том, что предлагаемый подход основан на выборе точек наблюдения на некоторой поверхности, которая получается деформацией границы рассеивателя во внешнюю или (если это возможно) во внутреннюю по отношению к ней область. Предлагаемое обобщение позволяет максимально увеличить скорость сходимости вычислительного алгоритма метода для рассеивателей с аналитической границей.

Показано, что для того чтобы решение ИУ нулевого поля соответствовало краевой задаче, поверхность, на которой выполняется

и I г о » о о '

в, рад

Рис. 7 Диаграмма направленности для параболического зеркала

условие нулевого поля, должна обязательно охватывать особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя. Более того, этот существенный факт необходимо учитывать и в самом методе нулевого поля, и в методе Т-матриц. Поэтому ранее эти, пользующиеся большой популярностью на протяжении многих лет, методы применялись некорректно. Таким образом в данной главе не только сформулировано обобщение Mill У, но и дана корректная при решении краевых задач формулировка методов нулевого поля и Т-матриц.

Показано, что построение поверхности, на которой выполняется условие нулевого поля, путем аналитической деформации границы рассеивателя позволяет добиться максимально высокой скорости сходимости.

Выполнены численные исследования, подтверждающие всё выше сказанное, проведено исследование сходимости предлагаемого обобщенного подхода и решен ряд задач дифракции на компактных телах.

Итак, идея МДГ заключается в том, что поверхность Ss, на которой выбирается точка наблюдения, получается деформацией поверхности S, которая выполняется так, чтобы ядро ИУ было настолько гладким, насколько позволяет геометрия рассеивателя.

Сформулируем правила построения поверхности Ss по принципу максимально гладкого ядра:

1. Если поверхность рассеивателя S не аналитична, Ss должна

охватывать S.

2. Если поверхность S аналитична, Ss целесообразно размещать внутри

S, причем:

- Ss должна охватывать множество А особенностей аналитического продолжения волнового поля

- Ss строится путем аналитической деформации S

Таким образом, МДГ представляет собой объединение идей МПГУ и МНП. Для рассеивателей с аналитической границей используется идея МНП, в противном случае применяется стандартный Mill У. Предлагаемый подход (в случае рассеивателей с аналитической границей) отличается от классического МНП двумя важными обстоятельствами, описанными в пункте 2. выше.

В МПГУ способ построения поверхности Ss значения не имеет, поскольку она расположена на достаточно малом расстоянии 8 от поверхности S. Но в МДГ для тел с аналитической границей поверхность Ss может находиться глубоко внутри S, поэтому способ ее построения может оказать существенное влияние на точность вычислений. Аналитическая деформация поверхности S, которая обеспечивает построение эквидистантной S поверхности Ss, является наиболее предпочтительной. Это объясняется тем, что при такой деформации точки поверхности S

движутся по траекториям, ортогональным 5. Рассмотрим кратко схему аналитической деформации. Пусть уравнение поверхности рассеивателя имеет вид г - г(0). Введем комплексную переменную

С = г(в')еш\ (13)

где теперь в' - комплексная величина, равная в' -в+ ¡8, а 5 -положительный параметр. Если 8 = 0, то переменная £ е С, где С контур на комплексной плоскости г = х + ¡у, соответствующий контуру осевого сечения рассеивателя и конгруэнтный ему. Если начать увеличивать 8, то С будет сжиматься, и мы получим новый контур, который может быть выбран в качестве контура осевого сечения поверхности^. Такого рода деформация возможна до тех пор, пока отображение ^{0') остается взаимно однозначным. Таким образом, вначале необходимо определить максимальную величину параметра деформации 8тж, а после того как она определена, положить р=\£(в')\, а = а.щ£(в'), р(а) и будет задавать контур С.

Точки, в которых нарушается взаимная однозначность удовлетворяют соотношению:

(г\в) + 1г{в))ею = 0, (14)

причем учитываются лишь те корни, которые лежат на комплексной плоскости я внутри контура С. Этот факт позволяет определять для разных тел критические значения параметра 8, т.е. такие значения, при которых контур в процессе деформации доходит до особых точек отображения (13).

Рассмотрим краевую задачу (1)-(3). Для сведения этой задачи к интегральному уравнению на основе условия нулевого поля, необходимо просто записать это условие на некоторой поверхности Б3<=0:

/{«^^^-^^(г.ф'^Чг), М(Р)е^. (15)

и учесть в нем граничное условие. Выполнив эти действия, получим интегральные уравнения нулевого поля, которые для граничных условий 1-3 рода приведены в таблице 3.1.

Таблица 2

Гранич. усл. Интегральное уравнение

1 рода Р^--Сй{г,7')с1з' = и\г), М(г)е5, (16) * дп

2 рода (17) 5 дп

3 рода \дЫр^О^Л^80^'^'^ М(?)еЗ, (18)

Уравнения (16)-(18) есть интегральные уравнения МДГ для рассеивателей с аналитической границей. Мы рассматриваем их как

обобщение соответствующих интегральных уравнений МГ1ГУ, возможное лишь в случае, когда граница 5 рассеивателя аналитична. В этом случае, как уже отмечалось, краевая задача может быть решена с помощью этих уравнений, в принципе, как угодно точно. Заметим, что ИУ (16) формально совпадает с соответствующим ИУ МШУ, а ИУ (17), (18) имеют более простые ядра, чем соответствующие ИУ МПГУ 1 рода.

Традиционно считается, что единственным требованием к поверхности , на которой выполняется условие нулевого поля при численном решении задач дифракции, является условие ее нерезонансности. Напомним, что поверхность называется нерезонансной, если внутренняя однородная задача, например, Дирихле имеет только тривиальное решение. На самом деле ограничения на выбор поверхности ^ носят совершенно иной характер. Эти ограничения могут быть сформулированы в виде следующей теоремы:

Уравнение нулевого поля (вида (16) или (17) или (18)) имеет решение, соответствующее поставленной краевой задаче, в том и только в том случае, если поверхность охватывает все особенности аналитического продолжения поля, рассеянного телом В с границей 5", внутрь £>.

Дополнительным аргументом в пользу сформулированной выше теоремы является то, что при численном решении ИУ всегда используются какие-либо аналитические представления дифракционного поля. Все такие представления существуют лишь в области вне множества особенностей аналитического продолжения волнового поля, что еще раз подтверждает сформулированное выше условие разрешимости уравнений (16)-(18).

Проиллюстрируем необходимость охвата поверхностью особенностей аналитического продолжения волнового поля и построения ее с помощью аналитической деформации.

Рассмотрим задачу дифракции плоской волны, падающей под углами (р0 = 0, в0 = ж¡2, на идеально проводящем сфероиде с полуосями ка= 1, кс= 5.

На рис. 8 приведены диаграммы рассеяния для рассматриваемой задаче, , полученные при N=N{=128. Здесь введены | следующие обозначения: 1 - получена при аналитической деформации границы рассеивателя, 2 - Бг получена при

w 1 Г, о 50 100 150 200 250 300

неаналитическои деформации S с о; град

охватом особенностей (расстояние к& от Рис. 8. Диаграммы для сфероида Ss до множества особенностей составляет (при Z = 0)

величину, равную 10~3), 3 - Ss получена при неаналитической деформации S без охвата особенностей (£Д=-0.1). Видно, что неохват особенностей привел к неверному результату: диаграмма 3 даже не обладает симметрией, которая должна быть при ва= л:¡2.

.......л

А(в) выполнения поля на

условия

\______

0„, рад Рис. 9. Невязки

Невязки

нулевого поля на поверхности и5, полученные для рассматриваемой задачи в случае, когда строилась путем

аналитической и неаналитической деформации поверхности 5 с охватом особенностей при различных значениях N (64, 128, 256, 512) приведены на рис. 9 и 10 соответственно. Видно, что аналитическая деформация обеспечивает высокую сходимость численного алгоритма (т.к. невязки заметно уменьшаются с ростом Щ, в то время как при неаналитической деформации сходимость значительно хуже.

Принципиальным обстоятельством при численном решении ИУ на основе условия нулевого поля является не отношение максимального размера рассеивателя к минимальному, а то, насколько близко отстоят от границы рассеивателя точки множества А, т.к. чем меньше расстояние точек этого множества от границы 5 рассеивателя, тем более тщательно следует подходить к выбору поверхности .

Рассмотрим задачу дифракции плоской волны, падающей под углами

,рад Рис. 10 Невязки

параметрами кп = 1 Дс = 5,

(р0- 0, в0 = ж/2, на десятилистнике вращения Ж = 0 (здесь отношение максимального размера к минимальному составляет всего 1.5:1). На рис. 11 приведены диаграммы рассеяния для рассматриваемого тела, полученные при N=N1=128. Цифрой 1 обозначена (верная) диаграмма, полученная для случая, когда охватывала множество особенностей, цифрой 2 - результат расчета при неохвате поверхностью множества особенностей (£Д=-0.1).

Аналогичная картина имеет место и для векторных задач дифракции.

Выводы. Вычислительные алгоритмы на основе МДГ обладают высокой скоростью сходимости, которая для тел с аналитической границей намного выше, чем у алгоритмов на основе МПГУ.

Для рассеивателей с ненулевым импедансом, а также для векторных задач дифракции разница в скоростях сходимости вычислительных алгоритмов при использовании аналитической и неаналитической деформации еще существеннее, чем при нулевом импедансе, поэтому в

в, рад Рис. 11 Диаграммы

общем случае для получения гарантированно верных результатов при минимальных затратах ресурсов ЭВМ с помощью МДГ поверхность Ss должна строиться путем аналитической деформации границы S рассеивателя

Для того чтобы решение ИУ нулевого поля соответствовало краевой задаче, поверхность, на которой выполняется условие нулевого поля, должна обязательно охватывать особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя.

Метод 'Г-матриц корректен лишь для рэлеевских тел.

Построение поверхности, на которой выполняется условие нулевого поля, путем аналитической деформации границы рассеивателя позволяет добиться максимально высокой скорости сходимости.

В Заключении сформулированы основные выводы по результатам проведенного исследования:

- МПГУ распространен на трехмерные скалярные и векторные задачи дифракции. Выполнено обоснование метода, показано, что численное решение задач дифракции на основе МПГУ является корректной задачей, а погрешность решения, появляющаяся при переходе от точных граничных условий к приближенным, имеет порядок кд.

- Выполнена оптимизация вычислительного алгоритма для тел вращения, определены оптимальные параметры моделирования. По результатам проведенных исследований даны четкие рекомендации по реализации численного решения задач дифракции с помощью МПГУ. Исследована сходимость вычислительного алгоритма.

- Предложен единый подход, основанный на выборе поверхности S¿ вне S или (для аналитических поверхностей) внутри S, названный МДГ.

- Показано, что для того чтобы решение ИУ нулевого поля соответствовало краевой задаче, поверхность, на которой выполняется условие нулевого поля, должна обязательно охватывать особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя.

- Показано, что построение поверхности, на которой выполняется условие нулевого поля, путем аналитической деформации границы рассеивателя позволяет добиться максимально высокой скорости сходимости.

- Исследованы различные задачи дифракции на компактных телах с постоянным и переменным импедансом и на тонких экранах.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Метод продолженных граничных условий и дискетные источники. Труды Московского технического университета связи и информатики: сборник статей, М.: МТУ СИ, 2005, с.3-13.

2. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Solution of waves diffraction problems by discrete wavelet-sources method. Proc. of 8th Conference on Electromagnetic and Light Scattering by Nonspherical Particles: theory, measurements, and applications. Granada, Spain, May, 16-20,2005, pp. 187-190.

3. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции методами

продолженных граничных условий и дискретных источников. Радиотехника и электроника, т. 50, №10,2005, с. 1231-1238.

4. Смирнова Н.И. Математическое моделирование в теории рассеяния с использованием метода продолженных граничных условий. Intermatic-

2005, Материалы международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы приборостроения», Москва, 2006, ч.2, с.41-46.

5. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции электромагнитных волн методом продолженных граничных условий. Труды Московского технического университета связи и информатики, М.: МТУ СИ, 2006, с.40-47.

6. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции волн на импедансных рассеивателях методом продолженных граничных условий. Труды российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова, Москва, 2006, вып. LXI, с.291-294.

7. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Solution of wave diffraction problems on impedance scatterers by method of continued boundary conditions. Proc. of 9th International Conference on Electromagnetic and Light Scattering by Non-spherical Particles: theory, measurements, and applications. St. Petersburg, Russia, June 5-9, 2006, c.143-146.

8. Смирнова Н.И. Решение методом продолженных граничных условий задач рассеяния электромагнитных волн и возбуждения тонких экранов. Intermatic-2006, Материалы международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы приборостроения», Москва,

2006, ч.2, с. 260-264.

9. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции электромагнитных волн методом продолженных граничных условий. Антенны, вып. 12 (115), 2006, с. 3-7.

10. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции волн методом продолженных граничных условий. Акустический журнал, т.53, №4,

2007, с. 490-499.

11. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Solution of wave diffraction problems on impedance scatterers by method of continued boundary conditions. Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, v. 106, №1-3, 2007, pp. 203211.

12. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Methods of the continued boundary conditions and the pattern equations. Proc. of International Conference "Days on diffraction' 2007", St. Petersburg, Russia, May 29 - June 1,2007, p. 52.

13. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Solution of wave diffraction problems by method of continued boundary conditions combined with pattern equation method. Proc. of 10th International Conference on Electromagnetic and Light Scattering by Non-spherical Particles: theory, measurements, and applications. Bodrum, Turkey, June, 17-22, 2007, pp. 93-96.

14. Анютин А.П., Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Моделирование характеристик зеркальных антенн на основе метода продолженных граничных условий. Электромагнитные волны и электронные системы, т. 12, № 8, 2007, с. 63-70.

15. Смирнова Н.И. Решение методом продолженных граничных условий трехмерных скалярных задач дифракции для неосесимметричных тел. Intermatic-2007, Материалы международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы приборостроения», Москва, 23 - 27 октября, 2007, ч.2, с. 130-135.

16. Смирнова Н.И. Оптимизация алгоритма метода продолженных граничных условий для решения трехмерных задач дифракции. Труды Московского технического университета связи и информатики: сборник статей. М.:МТУСИ, 2007, с. 20-32.

17. Кюркчан А.Г., Смирнов В.И., Смирнова Н.И. Метод Т-матриц и особенности аналитического продолжения волновых полей. Труды Московского технического университета связи и информатики: сборник статей, М.: МТУСИ, 2008, том 2, с. 142-144.

18. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Обобщение метода продолженных граничных условий. Радиотехника и электроника, т. 53, №7, 2008, с. 809817.

19. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Учет особенностей аналитического продолжения волнового поля при использовании методов нулевого поля и Т-матриц. Электромагнитные волны и электронные системы, т. 13, №8, 2008, с. 78-86.

20. Kyurkchan A.G., Smirnov V.I., Smirnova N.I. About correct formulation of T-matrix method. Proc. of International Conference "Days on diffraction' 2008", St. Petersburg, Russia, 2008, 1 p.

21. Kyurkchan A.G., Smirnov V.I., Smirnova N.I. T-Matrix Method and Singularities of Analytical Continuation of Wave Field. Proc. of the 12th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Odessa, Ukraine, 2008, pp. 337-339.

22. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Solution of diffraction problems by null field method with accounting for analytical continuation singularities. Proc. of 11th International Conference on Electromagnetic and Light Scattering by Non-spherical Particles: theory, measurements, and applications. Hatfield, Great Britain, September 7-12,2008, pp. 45-48.

23. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. О корректности применения методов нулевого поля и Т-матриц. Молодые ученые-2008, Материалы международной научно-технической школы-конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию», Москва, 20-13 ноября, 2008, ч.4, с. 131-136.

24. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. О решении задач дифракции волн методами нулевого поля и Т-матриц. Ежегодник РАО, 2008. Вып. 9. Акустика неоднородных сред, с. 176-187.

Смирнова Надежда Ивановна

Метод продолженных граничных условий решения задач дифракции волн и его обобщение

Подписано в печать 16.02.09. Формат 60x84 Усл.печ.л.1.1 Тираж 100 экз. Заказ 7\09.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет)

141700,Москов.обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9

Введение.

Глава 1. Решение скалярных задач дифракции методом продолженных граничных условий.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Метод продолженных граничных условий (Mill У).21'

1.2.1 Идея Mill У и сравнение его с другими методами.

1.2.2 Получение интегрального уравнения (ИУ) МПГУ.

1.2.3 Существование и единственность решения ИУ МПГУ.

1.2.4 Корректность численного решения ИУ МПГУ.

1.2.5 Строгое решение некоторых задач дифракции с помощью МПГУ и оценка погрешности метода.

1.3 Алгоритм численного решения ИУ МПГУ.

1.3.1 Алгоритм для произвольных тел.

1.3.2 Алгоритм для тел вращения.

1.3.3 Алгоритм для правильных призм.

1.4 Особенности реализации и оптимизация алгоритма.

1.4.1 Учет скачка потенциала двойного слоя.

1.4.2 Определение величины параметра кд продолжения граничного условия.

1.4.3 Выбор способа построения поверхности, на которой выполняется граничное условие.

1.4.4 Использование интегральных уравнений Фредгольма 1 и 2 рода

1.4.5 Переход к дискретным источникам.

1.4.6 Выбор базиса для аппроксимации неизвестной функции.

1.5 Численные исследования.'.

1.5.1 Численные исследования точности и сходимости метода. -Достоверность получаемых результатов.

1.5.2 Исследование задач дифракции волн на компактных телах.

1.5.3 Исследование задач дифракции волн на тонких экранах.

1.6 Выводы.

Глава 2. Решение векторных задач дифракции методом продолженных граничных условий.

2.1 Постановка задачи и получение ИУ МПГУ.

2.2 Алгоритм численного решения ИУ МПГУ.

2.3 Особенности реализации и оптимизация алгоритма.

2.3.1 Вычисление S-функций Васильева.

2.3.2 Переход к дискретным источникам.

2.3.3 Численное интегрирование методом Гаусса-Кронрода.

2.4 Численные исследования.

2.4.1 Численные исследования точности и сходимости метода. Достоверность получаемых результатов.

2.4.2 Исследование задач дифракции волн на компактных телах.

2.4.3 Исследование задач дифракции волн на тонких экранах.

2.5 Выводы.

Глава 3. Обобщение метода продолженных граничных условий — метод деформации границы.

3.1 Существо метода деформации границы (МДГ).

3.2 Условие нулевого поля и роль особенностей аналитического продолжения волнового поля в реализации идеи нулевого поля.

3.3 Особенности аналитического продолжения волнового поля.

3.4 МДГ в скалярных задачах дифракции волн.

3.4.3 Численное решение ИУ МДГ.

3.5 МДГ в векторных задачах дифракции волн.

3.6 Выбор поверхности, на которой выполняется условие нулевого поля

3.7 Метод Т-матриц.

3.8 Численные исследования.

3.8.1 Иллюстрация необходимости учета особенностей аналитического продолжения волнового поля при использовании условия нулевого поля.

3.8.2 Сравнение МДГ и МПГУ.

3.8.3 Численные исследования точности и сходимости метода. Достоверность получаемых результатов.

3.9 Выводы.

Предмет исследований

Необходимость решения задач, связанных с процессом дифракции (рассеяния) волн возникает в таких областях, как проектирование и анализ антенных устройств, исследование вопросов распространения радиоволн в неоднородных средах, радиолокация, радиоастрономия и др. Математическими моделями таких процессов являются внешние краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, решение задачи дифракции монохроматических волн означает в математической постановке решение внешней краевой задачи для скалярного или векторного уравнения Гельмгольца. Разработано большое количество методов решения этих задач как аналитических, так и численных.

Предметом исследования данной работы являются задачи дифракции волн на различных компактных телах и тонких экранах. Для решения такого рода задач разработан широкий спектр методов, таких как метод разделения переменных (метод Фурье) [1-3], метод конечных элементов [4], метод токовых интегральных уравнений [5-9], метод объемных интегральных уравнений [11], методы вспомогательных токов (МВТ) и дискретных источников (МДИ) [12-17], метод диаграммных уравнений [1820], метод нулевого поля (МНП) [8], метод Т-матриц (МТМ) [8, 21, 22]. Одним из наиболее универсальных подходов к решению задач дифракции волн является сведение их к интегральным уравнениям (ИУ). Хорошо известно, что при решении классических (токовых) ИУ одну из вычислительных проблем представляет учет особенности в их ядрах. Наличие этой особенности является, с одной стороны, гарантией корректности соответствующих интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, а с другой — требует использования тех или иных специальных приемов при проведении численных расчетов [9]. В последнее время широкое распространение получили подходы, в которых поверхности £ носителя токов и поверхности Ss, на которой выбирается точка наблюдения, разнесены. В этом случае в ядрах соответствующих уравнений уже нет особенностей, а алгоритмы решения этих уравнений становятся более быстродействующими.

Подобное разнесение поверхностей производится, например, в таких распространенных методах, как МВТ, МДИ, метод продолженных граничных условий (Mill У), МНП, МТМ. По способу разнесения поверхностей все перечисленные выше методы можно условно разделить на две группы:

1) методы, в которых деформируется поверхность Z, a Ss остается на месте (МВТ, МДИ);

2) методы, в которых деформируется поверхность^, a Z остается на месте (МПГУ, МНП, МТМ).

Первая группа выглядит менее предпочтительной, поскольку деформировать поверхность £ можно только вовнутрь, из-за чего все методы первой группы неприменимы, например, в случае тонких экранов и рассеивателей с изломами. Поверхность же Ss можно деформировать как вовнутрь, так и наружу, что делает методы второй группы более универсальными с точки зрения природы рассеивателя. Конечно, об универсальности имеет смысл говорить только применительно к Mill'У, так как МНП и МТМ предполагают деформацию Ss исключительно вовнутрь.

Было замечено, что методы, основанные на деформации какой-либо из поверхностей (2 или Ss) вовнутрь на практике часто или совсем перестают работать для некоторых задач, или их сходимость и точность резко падают (например, для сильно вытянутых рассеивателей). Причина подобных феноменов состоит в том, что при разработке соответствующих алгоритмов, как правило, не принималось во внимание одно весьма важное обстоятельство: при деформации поверхности вовнутрь необходимо обязательно учитывать особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя. Волновое поле является, как известно, вещественно аналитической функцией, которая должна обращаться в ноль на бесконечности, и по теореме Лиувилля оно должно либо всюду быть-равным нулю, либо иметь особенности, а располагаться эти особенности могут только в нефизической области, т.е. внутри рассеивателя.

Впервые на необходимость учитывать особенности волнового поля при разработке алгоритмов, основанных на МВТ и МДИ, было указано в работе [12]. В [24] был предложен эффективный способ построения оптимальной поверхности S носителя источников в МВТ и МДИ, позволяющий решать задачи дифракции с весьма высокой точностью.

МНП и близкий ему МТМ (их даже часто считают одним и тем же) основаны на деформации Ss вовнутрь, поэтому при их применении, как будет показано ниже, также необходимо учитывать особенности аналитического продолжения волнового поля. Неучет особенностей при применении МНП или МТМ и приводит к тому, что численные алгоритмы, основанные на этих методах, могут стать расходящимися.

Оба метода (МНП и МТМ) являются очень распространенными и популярными, о чем можно судить по многочисленным публикациям (см., например, [25-27]), вот почему очень важно дать этим методам более корректную формулировку, позволяющую избежать грубых ошибок при их численной реализации. Как уже отмечалось, МТМ часто называют МНП и наоборот, и, чтобы избежать путаницы, под МНП будем понимать метод, при котором интегральное уравнение строится на основе условия нулевого поля, выполняющегося на произвольной поверхности внутри поверхности рассеивателя S, а под МТМ - метод, в котором условие нулевого поля ставится на сфере, что позволяет при использовании Фурье-разложений всех функций, входящих в ИУ, упростить расчеты.

Итак, наиболее универсальным с точки зрения геометрии рассеивателя является ,МПГУ, ранее опробованный лишь на решении двумерных задач дифракции, однако MILL У является приближенным подходом, а вычислительные алгоритмы на основе Mill У обладают более низкой скоростью сходимости, чем, например, алгоритмы на основе, МНП (в тех случаях, когда последний применим).

Цель работы и метод исследования

Целью работы является, таким образом, во-первых, развитие МПГУ, его распространение на трехмерные скалярные и векторные задачи дифракции. Идея разнесения поверхности носителя источников и поверхности, на которой выбирается точка наблюдения, позволяет в ряде случаев строить алгоритмы, допускающие решение исходной краевой задачи, в принципе, с наперед заданной точностью. Речь здесь идет конкретно о методе нулевого поля, близкого в указанном выше смысле к МПГУ. Несмотря на то, что сама идея метода нулевого поля известна достаточно давно [22, 23] ее реализация осуществляется вот уже на протяжении более, чем.сорока лет, вообще говоря, некорректно.

Поэтому второй целью настоящей работы, является корректная формулировка и реализация идеи МНП, основанная на учете информации об аналитических свойствах волнового поля. Этот подход мы здесь будем рассматривать как одно из обобщений МПГУ, возможное в случае, когда граница рассеивателя аналитична. В этом* (и только в этом) случае, как будет показано далее, целесообразно указанное обобщение, т.к. МНП позволяет производить расчеты со значительно более высокой точностью, чем МПГУ, но это достигается, как уже отмечалось, существенным сужением класса задач,, для которых применим указанный подход. Таким образом, идея разнесения границ будет реализована в рамках единого и универсального подхода, который будем называть методом деформации границы (МДГ).

Основными методами исследования были МПГУ и МНП, которые использовались для получения интегральных уравнений. Для численного решения ИГУ использовался метод коллокации.

Краткий обзор существующих методов решения задач дифракции

Аналитическое решение уравнения Гельмгольца можно получить при помощи метода разделения переменных [70] или других эквивалентных ему методов. Однако разделение переменных возможно лишь в тех случаях, когда граничная поверхность совпадает с одной из координатных поверхностей некоторой ортогональной системы координат, что резко сужает круг решаемых таким способом задач. Кроме того, на систему координат накладываются другие достаточно сильные ограничения, в результате чего точное решение внешней краевой задачи в двумерном случае можно получить лишь для таких компактных рассеивателей как окружность и эллипс, а в трехмерном — для сферы и эллипсоида (причем в случае эллипсоида только для граничных условий первого или второго рода).

В связи с этим наибольший интерес представляют численные методы решения, которые можно условно поделить на две группы: к первой относятся методы, в которых решается непосредственно краевая задача для уравнения Гельмгольца; ко второй — методы, в которых исходная краевая задача сводится к решению соответствующего ИУ или системы ИУ. По близости к точному решению приближенные методы можно разделить на два класса: асимптотические методы и строгие методы.

В асимптотических методах неизвестная функция изначально заменяется некоторым ее (например, геометрооптическим) приближением. К этому классу относятся, в частности, метод геометрической оптики (ГО), геометрическая теория дифракции (ГТД) [28,29], метод физической оптики (ФО), метод краевых волн (МКВ) [30,31]. Асимптотические методы позволяют решить задачу лишь с ограниченной точностью, кроме того, они имеют сильные геометрические ограничения по применению и достаточно сложны при реализации (ГТД, МКВ). Однако, в тех случаях, когда эти методы применимы, они позволяют достаточно наглядно и быстро найти решение (особенно метод ФО). В строгих методах существует принципиальная возможность получить решение, сколь угодно близкое к точному. К ним относятся все описываемые ниже методы.

Наиболее известным численным методом решения граничных задач для дифференциальных уравнений, в том числе для уравнения Гельмгольца, является метод конечных элементов или метод сеток [4]. Он состоит в дискретизации дифференциального уравнения в рассматриваемой конечной области и отыскании решения граничной задачи, например, в узлах сетки. Этот метод не очень удобен при решении внешних краевых задач, т.к. позволяет искать решение лишь в конечной области, вследствие чего необходимо предпринимать дополнительные меры, чтобы выполнялось условие излучения на бесконечности. Основное преимущество этого метода состоит в том, что получаемая здесь система имеет ленточную диагональную матрицу, что ускоряет ее численное решение. Кроме того, этот метод применим к задачам дифракции на рассеивателях произвольной геометрии.

Существует ряд методов решения уравнения Гельмгольца, основанных на аналитическом представлении поля в виде бесконечного набора расходящихся цилиндрических или сферических волн, называемом рядом Рэлея. Все точки, в которых ряд Рэлея может расходиться, лежат в трехмерном случае внутри сферы, описанной вокруг поверхности рассеивателя. Поэтому такое представление является точным только в тех случаях, когда поверхность рассеивателя имеет сферическую форму. Вопрос о возможности приближенного представления рассеянного произвольной поверхностью поля рядом Рэлея составляет содержание гипотезы Рэлея [32]. Эта гипотеза справедлива только в том случае, если сфера, вне которой поле регулярно, целиком лежит внутри поверхности рассеивателя. Таким образом использовать представление Рэлея можно только для аналитических краевых поверхностей с ограниченным диапазоном изменения их параметров.

Перейдем теперь к рассмотрению методов, в которых краевая задача сводится к решению соответствующего интегрального уравнения, (будем называть их методами интегральных уравнений (МИУ)) [5-11]. ИУ позволяют более компактно, чем дифференциальные уравнения, формулировать краевые задачи, учитывая при этом все дополнительные условия (в т.ч. условие излучения), и приводят к устойчивым вычислительным алгоритмам. Еще одно важное преимущество МИУ при решении внешних краевых задач состоит в том, что они позволяют задачу, поставленную для неограниченной области, свести к задаче для ограниченной области (а именно: для границы рассеивателя или для области внутри рассеивателя). Существует метод объемных интегральных уравнений [11], в котором интегрирование выполняется по всему объему рассеивателя, и большое количество методов поверхностных интегральных уравнений, речь о которых пойдет ниже.

По принципу построения решения различают прямые (аппроксимационные) и итерационные методы решения интегральных уравнений. Прямые методы упрощают исходное уравнение путем аппроксимации оператора и (или) решения этого уравнения. Эту классификацию можно применить не только к МИУ, например, метод конечных элементов можно отнести к прямым методам, т.к. в нем аппроксимируется оператор уравнения. Методы, основанные на аппроксимации решения, называют проекционными. В результате применения прямых методов решение исходного ИУ сводится к решению систем алгебраических уравнений. Итерационные методы состоят в выборе каким-либо способом начального приближения решения, а затем уточнении этого приближения путем последовательного выполнения итераций до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность решения. Скорость сходимости итерационной процедуры зависит от выбора начального приближения и от нормы оператора. Недостатком итерационных методов является возможность их применения только к интегральным уравнениям 2 рода при выполнении определенных ограничений на норму оператора.

Впервые метод интегральных уравнений был применен к решению задач дифракции на телах достаточно общей геометрии В.А.Фоком [5]. Он составил ИУ для задачи дифракции электромагнитной волны на идеально проводящем теле произвольной формы, которое решил приближенно" в предположении, что размеры тела велики по сравнению с длиной волны. Результат был получен довольно очевидный: на освещенной стороне токи соответствовали приближению Кирхгофа, а на теневой они были нулевыми. Дальнейшее уточнение решения было найдено методами, не связанными с интегральными уравнениями. Ценность уравнения Фока, естественно, не ограничивается этим результатом, и в последующем оно использовалось более широко. Что касается частных задач, которые решались с привлечением интегральных уравнений, то одна из первых и наиболее интересных задач этого плана - возбуждение тонкого вибратора, которой посвящена известная работа Халлена.

Появление ЭВМ и их применение в исследовании математических моделей естествознания привело к тому, что интегральные уравнения стали одним из методов математического моделирования.' Интегральные уравнения стали активно использоваться при численном решении краевых задач математической физики. Большую роль в развитии МИУ сыграла разработка устойчивых методов решения интегральных уравнений 1-го рода, основанных на методе регуляризации некорректно поставленных задач [9,10].

МИУ в принципе пригодны для тел произвольной формы. Однако в численной реализации применительно к произвольным телам они остаются все же громоздкими, хотя и доступными для современных вычислительных средств. Использование симметрии тел облегчает положение. Особенно много дает симметрия вращения, которая позволяет перейти к одномерным интегральным уравнениям и на этой основе создать эффективные алгоритмы.

При использовании какого-либо МИУ большое значение имеет выбор оптимального сведения краевой задачи к ИУ. Редукция краевой задачи к интегральным уравнениям неоднозначна, так как зависит от того, функция Грина какой задачи используется при сведении.

Часто алгоритмизация интегральных уравнений представляет немалые трудности в силу сложности структуры ядер этих уравнений и, в частности, (при сведении задачи к интегральному уравнению 2 рода) наличия в них второй производной по нормали к границе тела.

При численном решении ИУ возникают две основные проблемы: наличие особенностей в ядрах уравнений и наличие особенностей у решений (или их аналитических продолжений) таких уравнений. Существует множество методик избавления от этих проблем, которые и породили большое количество МИУ. Для решения первой' проблемы стандартный метод интегральных уравнений (МТИУ), в котором краевая задача сводится к ИУ Фредгольма с сингулярным ядром, требует выделять особенность в ядре и (для получения наиболее точных результатов) выполнять (аналитически) интегрирование выделенного участка, что значительно затрудняет и замедляет алгоритм решения задачи. Более простой способ — «вырезание» особенности - приводит к достаточно большой погрешности решения. Существуют и другие аналогичные технологии, но всю эту группу технологий объединяет то, что носитель плотности тока и граничная поверхность не разделяются.

В другом достаточно распространенном методе — методе вспомогательных токов (МВТ) [12,33] предлагается носитель , вспомогательного тока разместить внутри поверхности рассеивателя. Для этого необходимо выполнить аналитическое продолжение волнового поля за пределы области его первоначального определения. Под волновым полем понимается решение уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее условию излучения. Граница области, вплоть до которой возможно аналитическое продолжение, проходит через особые точки волнового поля. Волновое поле всегда имеет особенности, т.к. является вещественной аналитической функцией и обращается в ноль на бесконечности, и в противном случае по теореме Лиувилля оно было бы всюду равным нулю. Эти особенности, очевидно, должны лежать внутри рассеивателя (в так называемой нефизической области). Таким образом, для корректного применения МВТ необходимо локализовать особенности волнового поля, что несколько усложняет его применение. В отличие от СМИУ, МВТ позволяет сводить краевую задачу к ИУ Фредгольма с гладким ядром, решение которого является некорректной задачей. Несмотря на это, МВТ позволяет получать решение с очень высокой точностью. Его недостатком является невозможность применения к задачам дифракции на тонких экранах.

Одним из простейших вариантов решения интегрального уравнения МВТ является метод дискретных источников (МДИ) [13,14]. Суть метода заключается в аппроксимации искомого тока на вспомогательной поверхности кусочно-постоянной функцией с последующей заменой оставшихся интегралов по интервалам разбиения произведением длины интервала на значение подынтегральной функции (ядра интегрального уравнения) в середине интервала. Затем левая и правая части полученного соотношения приравниваются в точках коллокации. Иными словами рассеянное (дифракционное) поле г/1 представляется в виде линейной комбинации дискретных источников, амплитуды которых определяются из краевого условия. Основная идея МДИ была изложена В.Д.Купрадзе и М.А.Алексидзе в 1963 году. Ими была доказана теорема о полноте системы фундаментальных решений уравнения Гельмгольца с особенностями на некоторой замкнутой поверхности внутри рассеивателя. Теорема Купрадзе-Алексидзе практически не накладывает никаких ограничений на геометрию рассеивателя, поэтому долгое время оставалось непонятным, почему в ряде случаев алгоритмы МДИ теряли устойчивость.

Решение задачи дифракции с помощью токовых интегральных уравнений состоит из нескольких этапов, и для каждого этапа существует свой набор методов его реализации. Обычно конкретный алгоритм решения состоит в комбинации нескольких методов, причем в некоторых случаях выбор какого-либо метода на одном этапе определяет и метод или группу методов, которые можно применять на следующем этапе. Поэтому существует некоторая путаница в различных методах решения и их классификации. На первом этапе всегда выбирается некоторое интегральное представление решения, например, в виде потенциала простого и (или) двойного слоя. После этого осуществляется переход от дифференциального уравнения с краевым условием к ИУ, который также может быть выполнен различными способами. Затем в проекционных методах выполняется аппроксимация (разложение по некоторой полной системе базисных функций) неизвестной функции, и задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которая впоследствии усекается до конечных размеров. В рамках МИУ можно использовать, например, уже упоминавшееся представление Рэлея при выполнении соответствующей гипотезы.

На этапе перехода к СЛАУ наиболее распространенным является метод моментов (ММ) [4, 34]. Он состоит в том, что после аппроксимации неизвестной функции интегральное уравнение проецируется на пространство пробных функций. Система пробных функций выбирается из области значений оператора интегрального уравнения. При этом количество пробных функций может превышать количество коэффициентов разложения- неизвестной функции, тогда СЛАУ будет переопределенной. Такие системы решаются обычно методом наименьших квадратов. В зависимости от выбора системы базисных или пробных функций ММ породил целый ряд методов, имеющих собственное название, например, метод Галеркина, метод граничных элементов, метод коллокации и др.

Рассмотрим другой подход к решению задач дифракции, использующий интегральное представление рассеянного поля. Первичное и вторичное поля можно разложить по каким-либо базисным функциям со столбцами коэффициентов А = \ат J™^ и В = \Ьт ^^ соответственно. Так как первичное поле считается известным, известны и коэффициенты ат его разложения. Поскольку система коэффициентов В определяется из системы коэффициентов А, должно существовать матричное соотношение: В=ТА, где Т — квадратная матрица перехода, элементы которой зависят от граничных условий и формы рассеивателя. Таким образом, для того чтобы найти рассеянное поле, достаточно вычислить матрицу перехода. Этот подход называется методом Т-матриц [8,22,23,32]. Для получения Т-матрицы используется интегральное представление вторичного поля и разложение решения интегрального уравнения по некоторой базисной системе функций, причем особенность данного подхода состоит в том, что нет необходимости искать коэффициенты этого разложения.

Одним из эффективных методов решения задач дифракции и распространения волн, имеющий, к тому же строгое математическое обоснование, является метод диаграммных уравнений (МДУ) [19-21]. В этом методе исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца (системы уравнений Максвелла) сводится к решению некоторого интегрально-операторного уравнения (либо системы таких уравнений) относительно угловой характеристики рассеянного поля в дальней зоне - диаграммы рассеяния. Одним из главных достоинств этого метода является устойчивость вычислительного алгоритма к слабым возмущениям распределения тока (источников) на поверхности рассеивателя, вызванных изломами его границы, взаимным влиянием рассеивателей в группе и пр. Это делает МДУ особенно удобным для решения задач дифракции на группах тел или на дифракционных решетках.

Приведенный краткий обзор показывает, что, несмотря на все многообразие имеющихся методов решения задач дифракции, вопрос о поиске универсального, быстрого и наглядного метода с четким обоснованием до сих пор остается актуальным. Таким образом, целью настоящей работы является развитие методов математического моделирования в области теории дифракции и рассеяния волн, обладающих перечисленными свойствами, т.е. быстродействием, универсальностью, устойчивостью и алгоритмической простотой, а также построение конкретных математических моделей процесса дифракции и излучения волн.

Краткий обзор работ по МПГУ

Идея метода продолженных граничных условий впервые была изложена в работе [55]. Несмотря на всю ее видимую простоту и доступность, она является результатом многолетних исследований одного из авторов работы [55], связанных с изучением аналитических свойств волновых полей [15,16]. Теоретическая и практическая значимость МПГУ в полной мере стала ясна лишь после проведения многочисленных аналитических и численных исследований.

Практическая ценность метода состоит, прежде всего, в отсутствии ограничений на геометрию задачи дифракции (например, метод применим для рассеивателей, имеющих изломы, и для тонких экранов), а также в простоте и единообразии подхода к решению краевых задач, независимо от их типа, размерности, геометрии поверхности рассеивателя и характера рассеиваемого поля. Кроме того, МПГУ позволяет независимо от типа краевых условий сводить краевую задачу к интегральным уравнениям и 1, и 2 рода. Такая универсальность дает возможность строить на основе МПГУ различные алгоритмы решения одной и той же задачи в зависимости от конкретных потребностей.

Теоретическая же ценность МПГУ состоит в том, что он в некотором смысле является обобщением многих имеющихся численных методов решения задач дифракции. Для того, чтобы правильно понять это утверждение, необходимо четко представлять, что же собственно из себя представляет этот метод. Главная идея Ml JUL'У заключается в переносе граничного условия с поверхности рассеивателя на некоторую вспомогательную поверхность Ss, в общем случае охватывающую поверхность рассеивателя и находящуюся на достаточно малом расстоянии 8 от нее. При этом носитель вспомогательного тока, создающего рассеянное поле, остается на поверхности рассеивателя. Разделение поверхности, на которой располагается вспомогательный ток, и поверхности, на которой выполняется граничное условие, позволяет избежать особенностей в ядрах интегральных уравнений, возникающих при совпадении аргументов ядра. Благодаря этому упрощаются расчеты, связанные с численным решением-интегральных уравнений, и в то же время, как было показано в [76], в решение (вспомогательный ток) не вносится погрешности, значительно превышающей кд, а при- вычислении диаграммы волнового поля погрешность оказывается намного меньше погрешности вычисления вспомогательного тока.

Здесь принципиально важное значение имеет теоретическое обоснование возможности переноса граничного условия: он возможен благодаря' вещественной аналитичности волнового поля в области его определения, т.е. вне рассеивателя. Если же поверхность рассеивателя-аналитична, то волновое- поле можно аналитически продолжить и внутрь рассеивателя вплоть до особенностей. В этом случае вспомогательную поверхность можно, в принципе, расположить и внутри рассеивателя.

Таким образом, все численные- методы решения краевых задач, связанные с каким-либо изменением граничной поверхности, такие как классический метод токовых интегральных уравнений, метод Уотермена (метод нулевого поля), метод интегро-дифференциальных уравнений, можно считать частными случаями Mill'У в его несколько обобщенной формулировке, которая будет дана ниже. Учет аналитических свойств волнового поля в Mill У позволяет правильно и с минимальными потерями в точности деформировать граничную поверхность, а также избежать ошибок при использовании МНП.

Mill У таюке позволяет обосновать применение МДУ для рассеивателей с неаналитической границей [85, 86]. Дело в том, что интегральное представление Зоммерфельда-Вейля, используемое в МДУ, является расходящимся в особых точках волнового поля, которые находятся на границе рассеивателя, если она не является аналитической. Перенос граничного условия на поверхность Ss позволяет решить проблемы, связанные с особенностями.

В" работе [74] был предложен алгоритм метода продолженных граничных условий (Ml 11 У) для решения трехмерных скалярных задач дифракции на телах вращения, в [78] этот алгоритм был обобщен на случай трехмерных векторных задач.

Достоверность научных выводов

Для оценки достоверности численного решения интегральных уравнений «в первом приближении» рассчитывалась диаграмма рассеяния, некоторые свойства которой уже известны из постановки задачи, кроме того, для некоторых модельных задач диаграмму можно сравнить с диаграммами, полученными другими численными (а в некоторых случаях даже аналитическими) методами. Для дополнительного контроля правильности диаграммы выполнялась проверка оптической теоремы. В качестве оценки погрешности численного решения рассматривалась невязка выполнения краевого условия в точках между точками коллокации, посчитанная в линейной метрике. Оценку внутренней сходимости вычислительного алгоритма дает степень уменьшения невязки при увеличении параметра аппроксимации, а также скорость увеличения точности выполнения оптической теоремы.

Научная новизна работы

Mill У впервые применен к решению трехмерных скалярных и векторных задач дифракции. Доказаны теоремы существования и единственности решения ИУ МИГУ. Показана корректность численного решения ИУ Mill У. Предложен единый подход, основанный на выборе поверхности Ss вне S или (для аналитических поверхностей) внутри S, названный МДГ. Дана корректная при численном решении формулировка МНП и МТМ, учитывающая особенности аналитического продолжения волнового поля.

Практическая значимость

Разработан удобный, эффективный и универсальный алгоритм численного решения задач дифракции с помощью МДГ. Выполнены многочисленные исследования, направленные на оптимизацию предложенного алгоритма, по результатам которых можно однозначно и наиболее выгодно выбирать параметры алгоритма.

Апробация работы

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [36-62].

Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ (Москва, 2005 и

2006).

2. 8th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles (Гранада, Испания, 2005).

3. 9th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles (Санкт-Петербург, Россия, 2006).

4. 10th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles (Бодрум, Турция, 2007).

5. 11th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles (Хатфилд, Великобритания, 2008).

6. Московская отраслевая научно-техническая конференция «Технологии информационного общества» (Москва, 2007 и 2008).

7. Международная научно-техническая конференция «Фундаментальные проблемы приборостроения» (Москва, 2005, 2006 и 2007).

8. Международная научно-техническая школа-конференция «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию» (Москва, 2008).

9. Международная конференция «Дни дифракции» (Days on Diffraction) (Санкт-Петербург, 2007 и 2008).

10.12th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Odessa, Ukraine, 2008).

11.Семинар «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» под рук. Е.И. Нефедова при обществе А.С. Попова (Москва, 2005).

12.Московский электродинамический семинар в ИРЭ РАН под рук.

B.В. Шевченко (Москва, 2005 и 2007).

13.Научный семинар «Акустика неоднородных сред» под рук.

C.А. Рыбака (Москва, 2008).

14.Семинар А.С. Ильинского и А.Г. Свешникова по численным методам электродинамики Физфака МГУ (Москва, 2008).

15.Общероссийский научный семинар «Математическое моделирование волновых процессов» в РосНоУ под рук. Д.С. Лукина и А.С. Крюковского (Москва, 2005 и 2008).

Структура и объем

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Основные результаты работы изложены в выводах, которые находятся в конце каждой главы, а также в заключении. Материал изложен на 135 страницах, включая 107 рисунков, 9 таблиц и библиографию из 100 наименований.

3.9 Выводы

Приведем краткие выводы по результатам теоретических и численных исследований, проведенных в данной главе.

Вычислительные алгоритмы на основе МДГ обладают высокой скоростью сходимости, которая для тел с аналитической границей намного выше, чем у алгоритмов на основе МПГУ.

Для рассеивателей с ненулевым импедансом, а также для векторных задач дифракции разница в скоростях сходимости вычислительных алгоритмов при использовании аналитической и неаналитической деформации еще существеннее, чем при нулевом импедансе, поэтому в общем случае для получения гарантированно верных результатов при минимальных затратах ресурсов ЭВМ с помощью МДГ поверхность Ss должна строиться путем аналитической деформации границы S рассеивателя

Для того чтобы решение ИУ' нулевого поля соответствовало краевой задаче, поверхность, на которой выполняется условие нулевого поля, должна обязательно охватывать особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя.

Метод Т-матриц корректен лишь для рэлеевских тел.

Построение поверхности, на которой выполняется условие нулевого поля, путем аналитической деформации границы рассеивателя позволяет добиться максимально высокой скорости сходимости.

Заключение

1. МПГУ обобщен на трехмерные скалярные и векторные задачи дифракции.

1.1 Выполнено обоснование метода: показана корректность метода, выполнена оценка погрешности метода.

1.2 Разработаны и протестированы алгоритмы численного решения: для произвольных тел, для тел вращения и для правильных призм.

1.3 Выполнена оптимизация вычислительного алгоритма, определены оптимальные параметры моделирования. По результатам проведенных исследований даны четкие рекомендации по реализации численного решения задач дифракции с помощью МПГУ

1.4 Исследована сходимость вычислительного алгоритма.

1.5 Исследованы различные задачи дифракции на компактных телах с постоянным и переменным импедансом и на тонких экранах.

2. Предложен единый подход, основанный на выборе поверхности Ss вне S или (для аналитических поверхностей) внутри S, названный МДГ.

3. Показано, что для того чтобы решение ИУ нулевого поля соответствовало краевой задаче, поверхность, на которой выполняется условие нулевого поля, должна обязательно охватывать особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя.

4. Дана корректная при решении краевых задач формулировка условия нулевого поля.

5. Установлены границы применимости метода Т-матриц.

6. Показано, что построение поверхности, на которой выполняется условие нулевого поля, путем аналитической деформации границы рассеивателя позволяет добиться максимально высокой скорости сходимости.

1. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1972.

2. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, М.: ИЛ, 1958.

3. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма, М-Л.: ОГИЗ-Гостехиздат, 1948.

4. Численные методы теории дифракции. Сб. статей. М.: Мир, 1982.

5. Фок В.А. Дифракция на выпуклом теле. ЖЭТФ, 1945, т. 15, № 12, с. 693-698.

6. ХёнлХ., Мауэ А., Вестпфалъ К. Теория дифракции, М.: Мир 1964.

7. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения, М.: Радио и связь, 1987, 272 с.

8. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния, М.: Мир, 1987, 312 с.

9. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и Связь. 1982.

10. Ю.Илъинский А.С., Кравцов В.В. Свешников А.Г., Математические модели электродинамики, М.: Высшая школа, 1991.11 .Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М., Радио и связь. 1998.

11. Кюркчан А.Г. О методе вспомогательных токов и источников в задачах дифракции волн. Радиотехника и электроника, т. 29, № 11, 1984, с. 2129-2139.

12. ХЪ.Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики. Успехи математических наук, 1967, т. 22, № 2, с. 59-107.14 .Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач, М., Наука, 1991.

13. Апелъцин В.Ф., Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей. М.: изд. МГУ. 1990.

14. Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. «Особенности продолжения волновых полей»//УФН. 1996. Т. 166. №12. С.1285-1308.

15. Generalized multipole techniques for electromagnetic and light scattering. Edited by Wriedt T. Amsterdam: Elsevir, 1999.

16. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции, М.: МГУ, 1992.

17. Кюркчан А.Г. Об одном новом интегральном уравнении в теории дифракции. Доклады АН, т.325, № 2, 1992, с. 273-279.

18. Waterman Р.С. Matrix formulation of electromagnetic scattering. Proc IEEE, 1965, v.53, pp.805-812.

19. Waterman P.C. Symmetry, unitarity, and geometry in electromagnetic scattering. //Phys. Rev. D, 1971, v.50, pp.4550-4566.

20. Keller J.B. Geometrical theory of diffraction. 111. Opt. Soc. of Amer. -1962.-V. 52, No 2.-PP. 116-130.

21. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978.

22. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. Радио, 1962.

23. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике. М.: Бином, 2007.

24. Ъ2.Шендеров E.JI. Излучение и рассеяние звука. Ленинград: Судостроение. 1989, 304 с.

25. Кюркчан А.Г. Представление дифракционных полей; волновыми потенциалами и метод вспомогательных токов в задаче дифракции электромагнитных волн;// Радиотехника и электроника. 1986; т. 31, № г, с. 20-27. ' •

26. Вычислительные1 методы в< электродинамике. Под, ред. Р.Митры. М:: Мир, 1977,488с. ,. • ;■

27. Кюркчан: A.F., Анютин А.П. Вейвлеты и метод вспомогательных токов// Доклады РАН, т. 383, № 5, 2002, с. 612-616.

28. Зв.Блаттер К. Вейвлетганализ. Основы; теории. М:: Техносфера; 2004, ■■'-' • 274с. "л . ; 1 " ' \

29. Бореи К, Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир; 1986, 662с:38:Sternin В., Shatalov V. Differential- Equations on Complex Manifolds. Dodrecht, Boston: Academic Publ., 1994. 1

30. Ъ9\Тшоное АН:, АрсенииВШ., Методы решения некорректных задач, Mi:: Наука, 1986; 288с.

31. Иванов. Е.А: Дифракция электромагнитных волн- на двух телах. Минск.: «Наука и Техника», 1968, 584с.43 .Канторович JI.Bl, Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: ФМ, 1962, 708с.

32. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков F.M. Численные методы. М.: «Бином», 2007, 640с.

33. Каханер Д., Моулер К, Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир; 1998^ 576с.

34. Фельд Я. II., Бененсон Л. С. Основы теории: антенн; М.: изд. «Дрофа». 2007.492 с. •. '

35. Сканирующие антенные системы» СВЧ. Под ред. Р.К.Хаггсена: М.: Сов. Радио. 1966. 536 с.• • . *

36. Курант Р. Уравнения с. частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

37. Конюхова Н.Б., Пак ТВ. Дифракция плоской звуковой волны на жестком вытянутом сфероиде. М.: ВЦ АН СССР, 1985, 62 с.

38. Борн М., Вольф Э. Основы оптики, — М.: Мир, 1975.

39. Harrington R.F. Field computation by moment method. New York. Macmillan, 1968.

40. Фелсен JI., Марку виц Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 1, 2. М.: Мир, 1978.

41. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн, 1983. -296 с.

42. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.

43. Кюркчан А.Г., Анютин А.П., Метод продолженных граничных условий и вейвлеты // Доклады РАН. 2002. - Т. 385, №3. - С. 309313.

44. Юоркчан А.Г., Маненков С.А., Дифракция электромагнитного поля на большом выступе импедансной плоскости// РЭ, 2004, т. 49, № 12, с. 1413-1420.

45. Borghese F., Denti P., Saija R. Scattering from model nonspherical particles. Theory and applications to environmental physics. Berlin: Springer, 2007. - 348 p.

46. Kahnert F.M. Numerical methods in electromagnetic scattering theory // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2003. - Vol. 79/80. - P. 775-824.

47. Mishchenko M.I., Videen G., Babenko V.A. et al. Г-matrix theory of electromagnetic scattering by particles and its applications: a comprehensive reference database // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2004. - Vol. 88. - P. 357-406.

48. Mishchenko M.I., Travis L.D., Lacis A. A. Multiple scattering of light by particles: radiative transfer and coherent backscattering. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006. - 478 p.

49. TsangL., Kong J.A. Scattering of electromagnetic waves: advanced topics. New York: Wiley, 2001.-413 p.

50. Van de Halst H.C. Multiple light scattering. New York: Academic Press, 1980. - 739 p. • • ,

51. Леонтовач M.A. Исследованияфаспространения радиоволн. M.: изд. АН СССР, 1948.

52. Graglia R.D., Uslenghi РL.E. Surface currents on impedance bodies of revolution. IEEE Transactions on Antennas and Propagation v. 36, № 9, pp. 1313-1317, 1988. '

53. Кюркчан А.Г., Демин ДБ. Моделирование характеристик рассеяния; волн телами с поглощающим покрытием и «черными» телами: Журнал технической физики, т. 74, № 2, 2004, с. 24-31.

54. Mie G. Beitrage zur Optik Medien, speziell kolloidaler Metallosugen, Ann1. Phis 1908,25, pp 377-445.

55. Yuan X. Three-dimensional electromagnetic scattering from inhomogeneous objects by the hybrid moment and- finite element method; IEEE Trans. Antennas Propagat., v. 38, № 8, 1990.

56. Andreasen M.G. Scattering from bodies of revolution. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, v. AP-13, № 3, pp. 303-310, 1965.

57. Asano S, Yamamoto G. Light scattering by a spheroidal particle. Appl. Opt., v. 14, 1975, pp. 29-49.

58. Кюркчан А Г., Смирнова Н.И. Метод продолженных граничных условий и дискетные источники. Труды Московского технического университета связи и информатики: сборник статей, М.: МТУ СИ, 2005, с.3-13.

59. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач, дифракции методами продолженных граничных условий и дискретных источников; Радиотехника и электроника, т. 50, №10;;2005, с. 1231-1238.

60. Ш.Кюркчан А.Г., Смирнова НИ. Решение задач дифракции электромагнитных волн методом продолженных граничных условий. Антенны, вып. 12 (115), 2006, с. 3-7.

61. Кюркчан А.Г., Смирнова НИ Решение задач дифракции волн методом продолженных граничных условий. Акустический журнал,,т.53, №4, 2007, с. 490-499. '

62. M.Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Solution of wave diffraction problems on impedance scatterers by method of continued boundary conditions. Journal of Quantitative Spectroscopy'& Radiative Transfer, v.l 06:, №1-3, 2007, pp. 203-211.

63. Кюркчан А.Г., Смирнов В.И, Смирнова Н.И. Метод Т-матриц и особенности аналитического продолжения волновых полей. Труды Московского технического университета связи и информатики: сборник статей, М.: МТУ СИ, 2008, том 2, с. 142-144.

64. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Обобщение метода продолженных граничных условий. Радиотехника и электроника, т. 53, №7, 2008, с. 809-817.

65. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И Учет особенностей аналитического продолжения волнового поля при использовании методов нулевого поля и Т-матриц. Электромагнитные волны и электронные системы, т. 13, №8, 2008, с. 78-86.

66. Scattering by Non-spherical Particles: theory, measurements, and applications. Hatfield, Great Britain, September 7-12, 2008, pp. 45-48.

67. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. О решении задач дифракции волн методами нулевого поля и Т-матриц. Ежегодник РАО, 2008. Вып. 9. Акустика неоднородных сред, с. 176-187.

68. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. О решении задач дифракции волн методом нулевого поля. Акустический журнал, т. 55, №3, 2009, в печати.