Численное исследование задач дифракции и излучения в локально-неоднородных средах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА. ОКТЯБРЬСКОЙ р J 3 Q П РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

I,.1 I ';.. . :_

Физический факультет

На правах рукописи ГРИГОРОВИЧ ВИКТОР ГЕННАДИЕВИЧ

УДК 517.518

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ И ИЗЛУЧЕНИЯ В ЛО!ШЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

" -(

Специальность 01.01.03 -Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993 г.

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова. Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент В.В.Кравцов. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.П.Кандидов; доктор физико-математических наук Ю.А.Еремин.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН.

"Л7" М^гхг/и? 199

Защита состоится __ __.

-- —г-7

часов на заседании Специализированного совета ^ 2 отделения экспериментальной и теоретической физики физического факульета МГУ ( К 053.05.18 ) по адресу:

117234, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория № /¿Р/1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 19Э_^/г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических наук

Поляков П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время, в связи с развитием техники, радиолокации, связи и т.п. все более возрастает необходимость знания того, как какое-либо волновое поле взаимодействует с неоднородной областью среда и непрозрачным телом в ней. Например, при определении положения и параметров движения некоторого объекта, движущегося в верхних слоях атмосферы, предстоит учитывать, что объект ионизирует воздух вокруг себя и этот ионизированный слой будет для электромагнитной волны неоднородной областью. Этот и многие другие случаи еще раз подтверздают, что несмотря на постоянный к ним интёрес, задачи дифракции и излучения в локально-неоднородных средах своей актуальности не теряют.

Вопросы математического моделирования процессов дифракции и излучения имеют важное значение и на протяжении многих лет привлекают внимание исследователей. Несмотря на 1 то, что в дополнение к значительному объему публикаций каждый год в печати появляется большое количество работ по данной теме, и постановка задачи давно уже стала классической, актуальность ее не уменьшилась, но, напротив,

продолжает возрастать. Она обусловливается потребностями создания надежных быстродействующих алгоритмов и программ исследования задач дифракции.

Цель работа состоит в численном исследовании задач излучения волн с замкнутой поверхности через неоднородный слой и дифракции на непрозрачном включении в локально-неоднородной среде в двумерном и трехмерном случаях и теоретическом обосновании предлагаемого метода, который является обобщением метода точечных источников на случай локально-неоднородных сред.

Научная новизна работы. Следующие результаты,

полученные в диссертации, являются новыми:

- Для исследования процессов излучения и дифракции на непрозрачном включении в локально-неоднородных средах разработан новый легко алгоритмизуемый метод, справедливый для широкого класса задач

- Составлен пакет прикладных программ, с помощью которых решен ряд скалярных и электро-магнитных задач излучения и дифракции в двумерном и трехмерном случаях.

- Дано обоснование предлагаемого метода. Для этого доказаны теоремы о том, что

- Существует в неоднородном слое асг^Ь такое решение уравнения Гельмгольца

Ди + кд2 п(М) и = О ,

что для любых е1 е2>0, е^г^О на внешней границе Сй неоднородного слоя выполняются оценки

- Системы граничных условий и система решений внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца полны одновременно в метриках Х2(Са) и Ъг{Сй) соответственно (Са - внутренняя граница неоднородного слоя).

- Проведены многие численные эксперименты, исследующие сходимость и устойчивость предлагаемого метода, подтверждающие его справедливость и устанавливающие границы применимости данного метода решения задач излучения и дифракции.

Научная и практическая ценность работы. Результаты исследований, проведенных в диссертации, представляют интерес для решения многих задач акустики и электродинамики. Они могут также найти применение при построении моделей, описывающих экспериментальные данные по процессам локации, для моделирования широкого класса явлений дифракции и излучения. Результаты работы ценны также тем, что предлагают легко алгоритмизируемый метод однотипного исследования указанных явлений, справедливый как и в двумерном, так и в

Ии-Мь2(сй) * е1

и

трехмерном случаях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ, на научных семинарах физического факультета МГУ по численным методам электродинамики, а также на Международной конференции "Физика в Украине" в Институте теоретической физики им. М.М.Боголюбова АН Украины (Киев,1993), на Мехдународном семинаре "Прикладные проблемы моделирования и оптимизации" в Институте кибернетики им. В.М.Глушова АН Украины (Киев,1993) и на научных конференциях в Дрогобычском пединституте.

Публикации. Основные результаты диссертации

опубликованы в работах [1-5].

Структура диссертации. Диссертация содержит Д// страниц текста и состоит из введения, четырех глав и заключения. Список цитируемой литературы включает ¿Г/ работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается общая характеристика рассматриваемой задачи, обосновывается актуальность ее исследования, формулируется цель работы, приводится обзор литературы и краткое изложение содержания глав диссертации.

В первой главе рассматривается скалярная задача излучения с поверхности бесконечного цилиндра через неоднородный слой; на этом примере подробно излагается и обосновывается предлагаемый метод.

Излученная волна удовлетворяет краевой задаче для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом и с граничным условием первого рода на окружности Са , ограничивающей тело (внутренняя граница неоднородного слоя), и условию излучения Зоммерфельда в бесконечности:

Ли + к02 п(М) и = О

и(М)

= "о

МеС„

ё -1V = °

- 6 -г 1

Гг.

, Г —► оо

где

п(М)

в 1.

и п(М) - достаточно гладкая функция.

Согласно методу точечных источников, решение внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца с постоянным коэффициентом может быть сколь угодно точно приближено конечной суммой, которая является линейной комбинацией конечного числа точечных источников, а функции точечных источников суть фундаментальные решения уравнения Гельмгольца с постоянным коэффициентом, удовлеторявдие условию излучения Зоммерфельда в бесконечности. Точки, являющиеся источниками, расположены строго внутри поверхности, на которой ставится граничное условие для краевой задачи.

В связи с этим алгоритм решения задачи излучения через неоднородный слой следующий:

В области, где среда является однородной, решение задачи излучения приближается конечной суммой

N

%(И) = Е М>(1г.ру) ,

- как в методе точечных источников.

Продолжим каждую функцию ф„(М) точечного источника

Р„ решением следующей задачи Коти для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом:

АУу + к02 п(М) Уу = 0 ,

= ф(МрР„)|

Ь г=Ь

а$г<Ь

дг

= ^ <|>(М,РУ)

г*=1,2,.

г=Ь

Доказано, что

1. Существует такое решение уравнения Гельмгольца, которое сколь угодно точно приближает данные Коши.

2. Если граничные условия внешних краевых задач Дирихле образуют полную в метрике Ь2(Са) систему, то система решений будет полной в метрике 12(СЬ).

3. Если решения внешних краевых задач Дирихле образуют полную в Ь2(СЙ) систему, то система граничных условий тоже полна в 12(Са).

Как следует из метода точечных источников, функции <|>(М,Р„) точечных источников , ^=1,2,... образуют на окружности С6 полную в метрике Ъ2 систему |ф^(М)|

Пусть построена система решений уравнений Гельмгольца, с заданной точностью приближающая условия Коши

= (|)(М,РГ)

ь

г=Ь

дУу

Зг

= Эг

Ь

, v=1,2,,

Г=Ь

Тогда решения уравнения Гельмгольца образуют систему {у„(М)| ^ , полную в метрике 12(Са).

Поскольку функции V,, , V-1,2,... удовлетворяют уравнению Гельмгольца и условию излучения, для решения задачи излучения необходимо приблизить 'граничное условие, т.е. минимизировать функционал

I N II2

= | ^сЛНО - и0(М) | •

Численные метода минимизации таких функционалов хорошо разработаны и трудностей не представляют.

Для продолжения функций в область азхЬ

используются разностные методы, для чего проведена дискретизация по углу ср .

В результате этого получена задача Коти для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для того, чтобы уменьшить влияние погрешностей округления при численном решении, задача Кош сведена к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая решалась методом последовательных приближений.

Приведены результаты многих численных экспериментов, в которых исследована устойчивость и сходимость предложенного

метода, указаны границы его применимости и подтверждена его состоятельность.

Приведены численные результаты решения разнообразных задач излучения.

Указано обобщение на случай, когда границами неоднородности не являются поверхности постоянных радиусов.

Во второй главе полученные результаты распространяются на трехмерный случай. Подробно излагается метод аппроксимации угловой части оператора Лапласа. Указывается справедливость теоретических результатов, полученных в первой главе, в трехмерном случае.

Задачи излучения волн с поверхности тела через неоднородный слой в трехмерном случае решаются аналогично двумерным задачам излучения.

Приводятся результаты численных экспериментов, показывающих устойчивость и сходимость предлагаемого метода в трехмерном случае.

Приводятся численные результаты решения трехмерной скалярной задачи излучения через неоднородный слой.

В третьей главе исследуется скалярная задача дифракции на непрозрачном теле в локально-неоднородной среде: заданная скалярная волна падает на непрозрачное тело, окруженное неоднородным слоем.

Эта задача сводится к задаче излучения с поверхности

тела, рассмотренной в Главе I.

Приводятся алгоритм сведения такой задачи к скалярной задаче излучения с поверхности тела через неоднородный слой и численные результаты для задачи дифракции (диаграммы рассеяния для конкретных неоднородных слоев).

В последней, четвертой, главе иссследуются задачи излучения и дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородной среде на идеально проводящем теле в двумерном случае, которые решаются путем сведения таких задач к рассмотренным скалярным задачам. Исследуются краевые задачи как первого, так и второго рода, и показывается аналогичность методов их решения.

Приводятся численные результаты решения задач излучения и дифракции электромагнитных волн и указывается возможность обобщения предлагаемого метода на трехмерный электромагнитный случай.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссретации заключаются в следующем:

1. Разработан легко алгоритмизуемый метод, который позволяет однотипно исследовать процессы излучения и дифракции на непрозрачном включении в локально-неоднородных средах для широкого класса задач.

2. Обоснован предлагаемый метод решения таких задач, являющийся обобщением метода точечных источников на случай локально-неоднородных сред.

Для этого

доказано приближение данных Кош решением уравнения Гельмгольца;

доказана взаимная полнота систем граничных условий и решений внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца в метриках (Са) и -Е^Сй) соответственно.

3. Предлагаемые алгоритмы реализованы в виде пакета прикладных программ, с помощью которых решены скалярные и электромагнитные задачи излучения и дифракции.

4. Проведены численные эксперименты, которые показывают устойчивость используемых алгоритмов, позволяют судить о точности полученных результатов и границах применимости используемого метода.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Григорович В.Г., Кравцов В.В. "Излучение акустических волн с поверхности тела через неоднородный слой" // Журнал Вычислит, матем. и матемагич. физики.- 1992 - 32 - J6 10 -

с. 1667-1670.

2. Grlgorovlch 7.G. "Modelling of radiation and diffraction processes of electro-magnetic wares" // "Phisics in Ukraine"

I

International Conference. Proceeding Contributed Papers. Radiophysics and Electronics. / Kiev, Bogolyubov Institute for Theoretical Physics, 1993.- p. 111-114.

3. Григорович В.Г. "Моделирование распространения волн в локально-неоднородных -средах" // Материалы международного семинара "Прикладные проблемы моделировния и оптимизации" / Киев, Институт кибернетики им. В.М.Глушкова АН Украины, 1993

4. Григорович В.Г. "Исследование решения задачи Кош для уравнения Гельмгольца" // Тезисы конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" - на укр. языке / Киев, 1993

5. Григорович В.Г., Кравцов В.В. "0 решении задачи дифракции на кестком включении в упругой среде" Моск. гос. ун-т, М., 1989 / Дел. в ВИНИТИ II. 01.91 * 209-B9I