Метод конечных элементов в применении к задачам дифракции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

РГБ ОД

2 1 АВГ 1995 На правах рукописи

УДК 519.6:535.4

НЕКРАСОВ Лев Михайлович

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРИМЕНЕНИИ К ЗАДАЧАМ ДИФРАКЦИИ

Специальность 01.01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРА Г диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА, 1995г.

Работа выполнена на факультете Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор А. С. Ильинский

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор А.Б. Самохин

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник А.А. Быков

Ведущая организация — Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится " У " РкЛг^-^ 1995г. в /Ч часов на заседании диссертационного совета Д.053.05.37 при

Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы Горы, факультет Вычислительной математики и кибернетики МГУ, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета.

Автореферат разослан

1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

(ЛШхА Е.И. Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задача дифракции на диэлектрических телах с конечной проводимостью постоянно привлекает внимание исследователей. Получение решения в аналитическом виде возможно лишь для ограниченного числа тел идеализированной формы, поэтому особое место в исследовании дифракции на локальных неоднородных телах занимают методы численного анализа, которые существенно зависят от соотношения длины волны и линейных размеров структуры.

В коротковолновом диапазоне, т. е. когда длина волны значительно меньше характерных размеров структуры, успешно используются асимптотические методы. Резонансный диапазон является наиболее трудным для численного анализа, поскольку в этом случае необходимо использовать строгие уравнения электродинамики с незнакоопределенным оператором. В связи с этим при размерах препятствия, соизмеримом с длиной волны, численное решение задачи дифракции затруднено и является актуальной проблемой.

Основным подходом к решению задачи дифракции на неоднородных телах являются методы типа Галеркина {1]. В последнее время появляются попытки решения задачи дифракции на неоднородных телах методом интегральных уравнений [2,3], однако из-за большой размерности результирующих систем линейных алгебраических уравнений существенное продвижение в область резонансных частот даже при современном развитии вычислительной техники не представляется возможным.

Неполный проекционный метод Галеркина, предложенный А-Г.Свешниковым [4] (для случая импедансных граничных условий), ищет приближенное решение задачи дифракции на локальном неоднородном теле внутри тела в виде конечной линейной комбинации системы комплексных экспонент. Поэтому при увеличении волнового размера тела возникает необходимость подсчета интегралов от быстроосцидлирующих функций, что делает-задачу неустойчивой и из-за чего теряется точность вычислений.

Одним из вариантов решения этой проблемы является выбор полной в некотором пространстве системы функций с финитным носителем [6]. Однако, произвольный выбор порождает проблему несоответствия системы функций условиям излучения, то есть переносит указанную проблему из матриц системы ОДУ в матрицы краевых условий, что также мешает продвинуться вглубь резонансного диапазона частот.

Исходя из сказанного, исследования, направленные на получение устойчивых численных алгоритмов, позволяющих покрыть резонансный диапазон частот, имеют как теоретический, так и практический интерес.

Цель работы. Диссертация имеет своей основной целью

1) Создание на базе неполного метода Галеркина экономичного численного метода решения плоской задачи дифракции в локальных неоднородных средах для случаев Е- и Н-поляризаций.

2) Доказательство сходимости и определение скорости сходимости полученного метода.

3) Практическое определение границ применимости метода, получение дифракционных картин для ряда неоднородных сред.

Научная новизна. Получены следующие результаты:

1) Построена новая экономичная схема неполного метода Галеркина для решения краевой задачи дифракции в неоднородной среде.

2) Разработан новый способ обоснования сходимости приближенного решения к точному, получена оценка скорости сходимости.

3) Сформулированы новые аналитические условия излучения для решения приближенной краевой задачи, заменяющие парциальные условия излучения.

4) Приближенный метод реализован в виде пакета прикладных программ. Проведены расчеты задач дифракции на

неоднородных телах, размеры которых составляют 3-5 длин падающей волны. Показано, что метод работает достаточно эффективно во всем резонансном диапазоне частот.

Полученные результаты являются новыми.

Практическая ценность проведенного исследования заключается в следующем.

Полученный на базе нового метода пакет прикладных программ позволяет продвинуться вглубь резонансного диапазона частот до размеров тела, составляющих 3-5 длин падающей волны.

Полученный метод может бьгть распространен на решение трехмерных задач дифракции для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ и кафедры математики физического факультета МГУ (руководители профессор А.С. Ильинский и профессор А.Г.Свешнгосов).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 статьи, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 74 страницах, включая 28 рисунков и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 32 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается анализ современного состояния вопросов, связанных с решением задач дифракции на неоднородных телах, формулируются цели и задачи исследования, коротко поясняется содержание работы и дается формулировка основных результатов, выносимых на защиту. Дается краткий обзор литературы, связанной с проблемами решения задач дифракции.

Глава / описывает метод решения задачи дифракции в случае Е-поляризащш. Первый параграф содержит постановку задачи дифракции на неоднородном цилиндрическом теле Б с достаточно гладкой границей С, которая сводится к решению уравнения Гельмгольца с локальным произвольным изменением волнового числа;

&л+к?(М)и = 0 при М е £, Ди + *0ги=0 при М С 5 + С.

На контуре С выполняются граничные условия

Ые-

[йи] _дщ_ ' дп'

(1.1) (1.2)

(1.3)

На бесконечности (при гш —> <*>) выполнены условия излучения или убывания решения при наличии поглощения во внешней среде.

Переходим к цилиндрической системе координат (г,<р) и выделяем на плоскости цилиндрический слой Д ограниченный окружностями радиусов 6 и Я (рис. 1), вне которого параметры среды постоянны.

В трех образовавшихся областях: в цилиндрическом слое, внутри цилиндра маленького радиуса и вне цилиндра большого радиуса выполняются уравнения Гельмгольца с волновыми числами к(г,<р), и кь соответственно. На границе слоя ставятся условия непрерывности решения и и его нормальной

производной —, на бесконечности — условия излучения, а в нуле — сг

условие ограниченности решения.

В §2 содержится описание алгоритма проекционного метода, который базируется на представлении приближенного решения и" в виде конечной суммы по базисной системе В-сплайнов {у,},., степени I

Рис. 1

на сетке с N умами разбиения = |/А,»' = 1..Л',Л = —

Коэффициенты суммы определяются из системы соотношений, проектирующих уравнения Гельмгольца и краевые условия на эту же систему В-сплайнов.

В результате вне слоя задача для вектора из коэффициентов разложения приближенного решения и сводится к системе ОДУ

О,

г аг ) г

в котором Щфкулянтные матрицы А и В одновременно диагонализуются при помощи унитарного преобразования, позволяющего аналитически найти решения этой системы, удовлетворяющие соответствующим условиям в нуле и на бесконечности. Вектор и составлен из коэффициентов Я4(г) разложения приближенного решения. Оценку

собственных значений матриц А и В дают следующие утверждения, доказанные в §2:

1) Собственные значения {^у}", матрицы А и собственные значения {Ц}" матрицы В имеют следующий вид

где ак и Ък, *=0„/ — элементы первого столбца матрицы А и В соответственно.

2) При любом N выполнены неравенства

где;=0,1,...Д-1.

Постоянные а*, а], р| не зависят от N.

В результате задача сводится к системе ОДУ с ленточными матрицами и диагональными матрицами граничных условий 3-го рода.

§3 содержит доказательство сходимости приближенного решения к точному, а также существование и единственность решения приближенной задачи. Применен новый способ доказательства, основанный на свойствах применяемых конечных элементов. Доказана теорема 2 о том, что при определенных условиях на волновое число *,2(г,<р) внутри волнового слоя и определенных ограничениях на радиус

внутреннего слоя 5 приближенное решение задачи дифракции на неоднородном теле (1.1)-(1.3) в виде (2) сходится к точному решению этой задачи внутри слоя 5<г£Я со скоростью Л' в норме ¿¡(.О).

Вводится понятие аппроксиманта точного решения — функции из класса £((д„[0,27с]) периодических сплайнов дефекта 1 степени /, определенных на сетке оЛ и показывается, что вне слоя коэффициенты разложения по В-сплайнам в однородном пространстве и внутри тела (отражения и поглощения соответственно) приближенного решения и аппроксиманта сходятся друг к другу со скоростью Л'"*.

Доказательства базируются на энергетическом соотношении в матричном виде и специальных свойствах матриц системы и граничных условий.

В главе II решается задача дифракции в случае Н-поляризации. §1 посвящен постановке задачи для этого случая. Так же, как и в случае Е-поляризации, при помощи двух цилиндров радиусов б и Я выделяется цилиндрический слой, в котором рассматриваются уравнения

Компонента поля Н, или Е, удовлетворяет следующим скалярным уравнениям:

41'«, =<Ку(у8гасЦ) + у*12(г,ф)«1 =0, при Ь <г <Л, (3.1)

в остальных двух областях справедливо уравнение Гельмгольца с соответствующим волновым числом:

44 = + к1иь = 0. при Г<б . 44 = Аио + *оЧ = °> при г>к-

(3.2)

(3.3)

На линиях разрыва параметра у и границах цилиндрического слоя

ди

должны выполняться условия непрерывности компонент и и у—, то

дп

есть

I

ди.

й»,

ди.

дг

гг

ди0 ¿^

= сг

Ии*

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Кроме того, функция щ должна удовлетворять условиям излучения, а ограниченности в нуле.

Здесь полагаем, что функция у = у,(г,ф) ограничена и имеет конечное число линий разрыва 1-го рода внутри слоя б<КД. Поэтому цилиндрический слой Л 6<КД можно разбить на I областей {5, ,, в каждой из которых у еС°(.У(), а /Р При этом параметр у терпит

разрыв на Мграшщах этих областей {С,}".

Приближенное решение задачи в трех областях ищется в вине линейной комбинащщ базисных сплайнов (2).

гт си

Для удовлетворения условиям непрерывности у— на линиях

разрыва параметра у используется следующая система проекционных соотношений для нахождения коэффициентов {й4(г)}, к=1.М

о

(5.1)

где | — точки пересечения линии разрыва С, параметра у, с

окружностью радиуса г, /(м^.С,) — элемент границы С, в точке Мр, а

первое слагаемое ненулевое для тех линий С<, которые имеют общую ДУГУ [ч>11.ФгЛ с окружностью Хг, и

J4W.фМФ}* = 0, а=5,0; 4= 1..Л,

о

(5.2)

с соответствующими проекционными условиями сопряжения.

Показано, что в силу принципа консервативности данная постановка (5) эквивалентна постановке (3)-(4). Кроме того, решением задачи (3) в проекционной постановке (5) с соответствующими проекционными условиями сопряжения на границе является обобщенное решение задачи (3)-(4) из ' W2' для кусочно-гладких

коэффициентов у, к2 и кусочно-гладких линий разрыва у.

В §2 приведен алгоритм проекционного метода, в основном совпадающий с изложенным в §2 главы I. §3 содержит доказательство сходимости приближенного решения к точному. Доказана теорема 3 о том, что если Im^r.cp)) <0, 1т(ц(г,<р)) <0, а также при выполнении

определенных условий на радиус внутреннего слоя 6 и волновое число внутри цилиндра малого радиуса к(, приближенное решение задачи (3), (4) в виде (2), сходится к точному решению этой задачи внутри слоя 6<rüR со скоростью h' в норме L2(D).

Показано, что вне слоя коэффициенты разложения по В-сплайнам в однородном пространстве и внутри тела (отражения и поглощения соответственно) приближенного решения и аппроксиманта сходятся друг к другу со скоростью h'-X.

Глава III содержит результаты численного решения задачи дифракции на некоторых телах в случаях Е и Н-поляризаций.

Получены экспериментальные данные о скорости сходимости метода. Исследовано необходимое количество сплайнов на длину волны для получения достаточной точности. Определено время счета при различных значениях k^R. Получены трехмерные рисунки, показывающие динамику изменения диаграммы направленности при изменении волнового радиуса внешнего цилиндра для различных тел. Показано, что метод применим и к дифракции на телах достаточно большого размера.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Некрасов Л.М. Численный метод решения задачи дифракции на неоднородном диэлектрическом цилиндре и его обоснование. — деп. в ВИНИТИ, 1991, №1301-В91.

2. Ильинский А.С., Некрасов Л.М. Численный метод решения задачи дифракции на неднородном диэлектрическом цилиндре и его обоснование. — Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, 1995, т.35, №1.

3. Ильинский А.С., Некрасов Л.М. Результаты решения задачи дифракции плоской волны на неоднородном диэлектрическом цилиндре. - Радиотехника и Электроника, 1995, т.40, №5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. — М.: Высш. Школа, 1991.

2. Хзмалян АД., Чаплин А.Ф. Возбуждение неоднородного тела. РЭ, 1990, т. 35, №7, с. 139S-1404.

3. Самохин А.Б. Дифракция электромагнитных волн на неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения. — Ж.В.М. и М.Ф., 1992, т.32, №5, 772-787.

4. Свешников А Г. — Дифракция на звездном теле в среде с переменными коэффициентами (плоский случай). — // Вычислительные методы и програмирование. Вып. 13. М., Изд. Московского Университета, 1969, с. 145.

5. Ильинский A.C., Кадомцева А.Ф. Применение метода конечных элементов к задаче о распространении волн в нерегулярном волноводе. - ЖВМ и МФ, 1988, 28, №8, с. 1202.