Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения электромагнитных задач дифракции на плоских экранах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Научно-исследовательский вычислительный центр

На правах рукописи

МЕДВЕДИК Михаил Юрьевич

СУБИЕРАРХИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКИХ ЭКРАНАХ

Специальность 01.01.07 - Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2005

Работа выполнена на кафедре математики и математического моделирования Пензенского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Смирнов Ю. Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ильинский А. С.;

доктор физико-математических наук, профессор Самохин А. Б.

Ведущая организация -Казанский государственный институт, г. Казань.

Защита диссертации состоится «_»_2005 г.,

в _ часов _ минут, на заседании диссертационного совета

К 501.001.11 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992 ГСП-2, г. Москва, Ленинские горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, научно-исследовательский вычислительный центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан «_»_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Суворов В. В.

/згге

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена решению задачи дифракции электромагнитной волны на плоском ограниченном экране произвольной формы в предположении, что поверхность экрана является бесконечно тонкой и идеально проводящей.

Актуальность темы

Задача дифракции электромагнитной волны на произвольных экранах является актуальной в связи с широким применением результатов решения задачи в проектировании антенных решеток, полоско-вых антенн и печатных проводников. Необходимость дальнейшего рассмотрения задачи диктуется, например, практической потребностью решения задачи синтеза антенн. Таким образом, рассматриваемая задача дифракции требует глубокого теоретического и численного исследования в связи с широким применением антенн в различных областях радиоэлектроники. Данное направление - предмет исследования ряда авторов (Р. М. van den Berg, A. W. Glisson, S. M. Rao,

D. R. Wilton, Jl. А. Вайнштейн, Д. И. Воскресенский, Е. В. Захаров, А. С. Ильинский, Ю. В. Пименов, А. Г. Свешников, Ю. Г. Смирнов,

E. Е. Тыртышников). Исследование этой области электродинамики привело к активному и успешному применению численных методов для решения задач дифракции. Однако при всем многообразии исследований до сих пор остались открытыми вопросы об аппроксимации решений и сходимости применяемых методов, не получены оценки скорости сходимости методов. Одной из важнейших является задача построения эффективных, высокоскоростных алгоритмов расчета поверхностных токов на экране, использующих современные кластерные технологии.

Цель работы:

- разработка математического аппарата для исследования задачи дифракции на плоском экране произвольной формы; построение эффективного численного метода; доказательство теорем об аппроксимации и сходимости и получение оценки скорости сходимости;

- программная реализация параллельного вычислительного алгоритма, позволяющего решать поставленную задачу дифракции на экранах произвольной формы; -----

- программная реализация концепции построения субиерархических алгоритмов и вспомогательных баз данных для решения задачи дифракции на плоских экранах произвольной формы.

Научная новизна:

- разработан новый математический аппарат для исследования поставленной задачи, в частности, введено понятие оператора, эллиптического на подпространствах, и доказана теорема о сходимости метода Галеркина для таких операторов. Доказана теорема об аппроксимации функциями Рао-Уилтона-Глиссона любой функции из пространства Ш. Получены оценки скорости сходимости метода

- предложен и программно реализован субиерархический параллельный вычислительный алгоритм, позволяющий решать задачу дифракции на плоских экранах произвольной формы;

- получены аналитические решения для скалярных задач на круге.

Практическая значимость.

Большое практическое значение в представленной работе имеет концепция субиерархического параллельного вычислительного алгоритма. Используя параллельные вычисления на кластере, один раз наиболее точно решается задача дифракции на экране простейшей прямоугольной формы. Далее, используя результаты решенной задачи, «вырезается» из него другой экран произвольной формы, целиком умещающийся в уже посчитанном, и, не производя повторных вычислений в матрице СЛАУ, определяется значение поверхностных токов на новом экране. Результаты расчета поверхностных токов на экране произвольной формы получаются за счет составления новой матричной системы уравнений из элементов уже посчитанной матрицы. Данный подход имеет большое практическое значение в инженерных расчетах.

Реализация и внедрение полученных результатов.

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и математического моделирования ЛГУ: гранты РФФИ 01-01-00053 и 03-07-90274, грант ФЦП «Интеграция» И0983/905.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

- Международной конференции «Antenna Theory and Techniques» (Sevastopol, Ukraine, 1999);

- Международной конференции «Application of the conversion research results for international Cooperation» (Tomsk, 1999);

- Международной конференции «Актуальные проблемы науки и образования» (Пенза, 2003);

- Международной конференции «Mathematical and Computation Modeling with Applications in Paper Manufacturing Science and Converting» (Karlstad, Sweden, June 6-8, 2005);

- Научном семинаре НИВЦ МГУ (2005).

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 73 наименования. Работа изложена на 107 страницах машинописного текста, содержит 18 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты работы.

Первая глава посвящена постановке задачи дифракции на плоском, ограниченном, бесконечно тонком и идеально проводящем экране и основным свойствам решений уравнений электрического поля. Задача дифракции стороннего монохроматического электромагнитного поля е°,н° на бесконечно тонком идеально проводящем экране Q,

расположенном в свободном пространстве с волновым числом к,к2 = со2ц(е + гстаГ1), 1т& 2:0 (£ * 0), состоит в определении рассеянного электромагнитного поля

Е,Не С2(Л3 \П) П С{Щ \Г8) П С(Л_3 \Г5),

8>0 8>0 (1)

Г8

удовлетворяющего однородным уравнениям Максвелла

КоХН = -¡кЕ,

, - (2) Яо1£ = ¡кН, хбГ\Й,

краевым условиям для касательных составляющих электрического поля на поверхности экрана

£т1п = -£т°1п. (3)

условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства

£,Яе4,с(Д3) (4)

и условиям на бесконечности (условия Зоммерфельда)

{дг ) (5)

г

дг

при г := \х\ -> оо.

Будем предполагать, что все источники падающего поля находятся вне экрана О

Е,Н е С2(/?3 \ П), Е, е с(к3 \да). (6)

Имеют место утверждения 1-3 для поставленной задачи.1 Утверждение 1. Если задача (1) - (5) при 1т £ > 0, к* 0 имеет решение, Ыо оно единственно.

Поставленная задача может быть сведена к векторному псевдодифференциальному уравнению на П

1 Ильинский А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М.: ИПРЖР, 1996.

Lu = (gcadA(Divu)+k2Au^ = f, xeQ, (7)

где А означает интегральный оператор

1 f exp( ik\x -4* 0 \x- y\

(8)

/ = 4iikE~\ ;

Z)/v - является касательной дивергенцией на Q; и - плотность тока на поверхности Q; - взятие касательных компонент.

Определим пространство W как замыкание Со°(П) в норме

MM-C^ml,-

Можно показать, что

W = ^ е Н'1,2(П): Divu е ¿T1/2(Q)},

где пространство Соболева Hs(Cl) определяем обычным образом.

Через W обозначено антидвойственное пространство для W относительно полуторалинейной формы (/,v) - J/ -vdx.

n

W'= \i\n:ue H~V2(M),Rotu e Я~1/2(Л/)},

где M - замкнутая поверхность, такая, что QeM. Пространство W имеет следующее важное свойство. Пусть Щ и W2 - подпространства пространства W, такие, что

Wx:={ue W;Divu = О}, W2 := {и е W;Kotu = 0}, (здесь Div и Rot - касательные дивергенция и ротор на Q ).

Утверждение 2. Пространство IV может быть разложено в виде прямой суммы подпространств Щ и ^ •' ^ = Щ® Аналогично .

Утверждение 3. Для и к*О существует единственное

решение следующего уравнения:

= «бЖ./еЖЧ (9)

% о4 к1!

,0 Ь) >2г И

Здесь I] =Л:2(1-Д)~,/2 + ¿2 =~0-Д)1/2+^225

К у - компактные операторы; Д - оператор Лапласа.

Таким образом, оператор Ь не является эллиптическим при вещественных к * О.

Определение 1. Оператор будем называть коэрци-

тивным на подпространствах, если существуют константы С\,...,Ст (>0), такие, что

¡\\Щц/ для любого и & Wj, у = 1,..., т.

Определение 2. Оператор Т: IV -> IV' будем называть эллиптическим на подпространствах, если существует линейный компактный оператор К , такой, что оператор Т + К - коэрцитивный на подпространствах.

Теорема 1. Коэрцитивный на подпространствах оператор Т имеет ограниченный обратный Г-1: IV.

В конце главы в таблице приведены полученные аналитические решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца на круге при к- 0, используемые для тестирования алгоритмов.

Правая часть £(р.ф) Решение Г Эи Ъ ч

1 4

Р 1, 1 , р2 -•ЧпМ1-''2]

I 1 ,--1 ,------ , --ч -¿Ш л/1-Р2 А/1-Р2Ги-л/1-Р2 1 р J V У

е~/ф 2р +1 ^-ргЬ+71-Р2] р V ' ) е-"*

С \ 3.. 1 р3 1 + - Р2

2 ' л/1-Р2 л/1-Р2 V 1+Л-Р2 1 р V / У

Вторая глава посвящена алгоритму решения уравнения электрического поля для произвольной поверхности. Рассмотрим уравнение Ьи = / и »-мерные пространства Уп с IV . Будем проводить аппроксимации и элементами ип е Уп. Методом Галеркина находим ип из системы уравнений

{1ип, у) = (/,у), УуеУп. (10)

I

Эти уравнения определяют конечномерный оператор Ьп : Уп -> Уп,

I

где Уп есть антидвойственное пространство к Уп .

Основная трудность для уравнений электрического поля (9) состоит в том, что оператор Ь не является сильно эллиптическим и традиционные теоремы о сходимости метода Галеркина не применимы. Результаты о сходимости метода Галеркина удается обобщить на уравнения с операторами, эллиптическими на подпространствах, в том числе на уравнение электрического поля (9), так как оператор Ь является эллиптическим на подпространствах.

Теорема 2. Пусть п-мерные подпространства Уп обладают ап-проксимационными свойствами в IV. Тогда метод Галеркина (10) на подпространстве Уп сходится для уравнения (9).

Рассмотрим вопрос об аппроксимации непрерывно-дифференцируемой (векторной) функции / в прямоугольнике П = [0,а]х[0,Ь] базисными функциями фу (х, у) по методу ЮМЗ (рис. 1).

/ / / /

/ / / 7 / / /

/ / / /

Рис. 1

вг;

'257

О, иначе.

Пусть в прямоугольнике П выбрана равномерная прямоугольная сетка с шагом к\ по переменной х и шагом /12 по переменной у. Рассмотрим конечномерное подпространство Х^ = зрап{ф] ,...,фдг }>

являющееся линейной оболочкой базисных функций фу, 1.....N, где

N - количество внутренних ребер сетки. Нетрудно проверить, что Фу€^(п), Хм а Ж. Имеет место следующий результат.

Теорема 3. Пусть —йМ, — <М для некоторого М. Тогда для

Й2 Ь

любого ф е ГУ М ¡у-ф| -> 0, N->co и, верна оценка Ч>*Хы

т1 *С0(1ц +Л21ф||с2(п),

2 —

где С о не зависит от и И 2, если феЖпС (П).

Из теорем 2 и 3 получаем сходимость метода Галеркина с базисными функциями с квазиоптимальной оценкой скорости сходимости.

и А

Теорема 4. Пусть — < М, — < М для некоторого М, Тогда ¿2 К

метод Галеркина (10) для уравнения электрического поля (9) сходится с выбором базисных функций И.1*^ и справедлива оценка скорости сходимости

где «,идг - точное и приближенные решения, а константа С0 не зависит от и Ъ^ ■

Теорема 4 полностью теоретически обосновывает применимость метода для решения задачи дифракции.

Третья глава содержит описание численных результатов и сравнение их с результатами, полученными в работах других авторов. В данной работе предлагается подход, названный субиерархическим. В нем на первом шаге (уровне) один раз наиболее точно решается задача дифракции на экране простейшей прямоугольной формы. Далее, используя результаты решения задачи на первом шаге, «вырезаем» из него другой экран произвольной формы и, не производя повторных вычислений в матрице СЛАУ, определяем значение поверхностных токов на новом экране. Таким образом, можно создать базу данных матричных элементов и решить серию задач дифракции на экранах различной формы. Субиерархический метод используется совместно с параллельными вычислительными алгоритмами в связи с большой вычислительной сложностью формирования матрицы СЛАУ на первом этапе. Наиболее удобно рассчитывать подобные задачи на кластере. Предложенный метод позволяет решать задачи дифракции для экранов произвольной формы, используя результаты решения только одной задачи. Это возможно в том случае, если «новыр> экран произвольной формы целиком помещается в «старом» прямоугольном экране. Эффект от использования субиерархического метода будет проявляться при решении большой серии задач дифракции. Построенная база данных оказывается весьма полезной и позволяет решать

задачи дифракции на экранах нужной формы уже на персональном компьютере, а не на кластере, который использовался при решении первой задачи на прямоугольном экране (рис. 2).

Рис.2

В связи с большими вычислительными объемами при решении задачи упростим процессы, связанные с составлением матричного уравнения за счет использования параллельных алгоритмов. Каждый элемент матрицы формируется независимо друг от друга. За счет этого можно рассчитать матрицу на нескольких процессорах. Предположим, используется р процессоров, в этом случае время, затраченное на составление всей матрицы, сократится примерно в р раз.

Пусть расширенная матрица СЛАУ состоит из п строк и в нашем распоряжении р процессоров. Задание на заполнение матрицы распределяется следующим образом:

1-й процессор заполняет строки с номерами 1

2-й процессор заполняет строки с номерами

п Р.

+ 1... 2-

р- 1-й процессор заполняет строки (р-2)-р -й процессор заполняет строки (р -1)

+ 1... п.

После того, как заполнение матрицы завершено, всеми процессорами, запускается процедура сбора матрицы на одном из процессоров. На этом же процессоре производим решение системы линейных уравнений.

Матрица задачи рассчитывалась на кластерах НИВЦ МГУ с использованием 130 процессоров. Размер матрицы составлял 6673x6674 элементов. Время расчета составило 69 ч.

В данной главе были получены результаты решения задачи дифракции электромагнитной волны на экранах различной формы (прямоугольник, крест, круг и другие формы). Результаты решения задач дифракции электромагнитной волны на экране прямоугольной и сложной формы были сравнены с работами следующих авторов: Р. М. van den Berg, A. W. Glisson, S. M. Rao, D. R. Wilton. Результаты сравнений совпадают с графической точностью. Для реализации поставленной задачи было написано четыре программных модуля. Вычисления производились с использованием кластера НИВЦ МГУ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Строго обосновано применение метода Галеркина для решения уравнения электрического поля: доказана теорема об аппроксимации функциями RWG любой функции из пространства W и сходимости метода Галеркина, получены оценки скорости сходимости метода RWG.

2. Получены аналитические решения для скалярных задач на круге.

3. Предложен и программно реализован параллельный вычислительный алгоритм, позволяющий решать задачу дифракции на плоских экранах произвольной формы.

4. Предложена и программно реализована концепция построения субиерархических алгоритмов и вспомогательных баз данных для решения задачи дифракции на плоских экранах произвольной формы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. - 2004. - № 5. - С. 3-19.

2. Медведик, М. Ю. Исследования задачи дифракции акустической волны на диске. Системный анализ, управление и обработка информации / М. Ю. Медведик // Сб. науч. тр. университетского семинара. - Пенза, 2001. - № 1. - С. 36-43.

3. Медведик, М. Ю. Метод псевдодифференциальных уравнений для решения электромагнитной задачи дифракции на прямоугольной пластине / М. Ю. Медведик // Актуальные проблемы науки и образования. - Пенза: ИИЦ Пенз. гос. ун-та, 2003. - Т. 1. - С. 26-28.

4. Медведик, М. Ю. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. - 2005. - Т. 6. - С. 99-108.

5. Smirnov, Yu. G. Pseudodifferential Equations Method for Solving of Problem of Electromagnetic Wave Diffraction on Conducting Screens / Yu. G. Smirnov, A. A. Vartanov, M. Yu. Medvedik // Antenna Theory and Techniques: proceedings of 3rd International Conference, Sevastopol, Ukraine, 8-11 September, 1999.-P. 150-151.

6. Smirnov, Yu. G. Pseudodifferential Equations Method for Solving of Electromagnetic Wave Diffraction Problem on Conducting Screens / Yu. G. Smirnov, M. Yu. Medvedik // Application of the conversion research results for international cooperation (SIBCONVERS'99): proceedings of the Third International Symposium Tomsk, 1999. -Vol. 1.-P. 61-62.

7. Smirnov, Yu. G. Solution to Three-Dimensional Vector Electromagnetic Diffraction Problems on Screens by the Method of Pseudodifferential Equations Using Supercomputing / Yu. G. Smirnov, M. Yu. Medvedik // Mathematical and Computation Modeling with Applications in Paper Manufacturing Science and Converting (MAPS'05): international Conference Karlstad, Sweden, 6-8 June, 2005. - P. 17.

Медведик Михаил Юрьевич

Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения электромагнитных задач дифракции на плоских экранах

Специальность 01.01.07 - Вычислительная математика

Редактор Т. Н. Судовчихина Технический редактор Я А. Вышкова

Корректор С. Н. Сухова Компьютерная верстка Я В. Ивановой

ИД №06494 от 26.12.01

Сдано в производство 14.07.05. Формат 60x84^/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Заказ № 459. Тираж 100.

Издательство Пензенского государственного университета. 440026, Пенза, Красная, 40

111559«

РНБ Русский фонд

2006-4 13226

I

Í

i

0. Введение.:.

1. Теория уравнения электрического поля.

1.1 Постановка задачи дифракции на экране.

1.2 Свойства решения уравнения электрического поля.

1.3 Некоторые аналитические решения скалярных уравнений.

1.4 Операторы, эллиптические на подпространствах.

2. Субиерархический параллельный алгоритм решения уравнения электрического поля.

2.1 Метод Галеркина.

2.2 Сходимость метода Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах.

2.3 Свойство аппроксимации подпространств базисных функций RWG. Теорема о сходимости метода RWG.

2.4 Субиерхический параллельный вычислительный алгоритм

3. Численные результаты решения уравнения электрического поля

3.1 Решения задачи дифракции на прямоугольном экране.

3.2 Решение задачи дифракции на экранах сложной формы.

Настоящая работа посвящена аналитическому и численному исследованию векторных электромагнитных задач дифракции на незамкнутых поверхностях - экранах. Это - задачи дифракции стороннего электромагнитного поля на идеально проводящих тонких экранах. Интерес к задачам дифракции возник давно, и они являются, по существу, классическими в электродинамике. Традиционная (физическая) теория дифракции создавалась на протяжении нескольких столетий X. Гюйгенсом, О. Френелем, Г. Гельмгольцем, Г.Р. Кирхгофом, Д. Лармором и другими авторами. Для понимания волновых процессов и расчета дифракционных полей большое значение имеет принцип Гюйгенса, согласно которому распространение волн обусловлено действием вторичных источников. Френель уточнил принцип Гюйгенса, приняв во внимание интерференцию сферических волн, излучаемых вторичными источниками. Дальнейшее уточнение принципа Гюйгенса -Френеля принадлежит Кирхгофу, который дал его строгую формулировку, основываясь на уравнении Гельмгольца. В современной теоретической оптике приближенное решение дифракционных задач производится почти исключительно с помощью принципа Гюйгенса - Кирхгофа. Электродинамическая (векторная) формулировка принципа Гюйгенса была дана Котлером.

Однако благодаря работам А. Пуанкаре и А. Зоммерфельда стало ясно, что в задачах дифракции электромагнитных волн речь идет о некоторой краевой задаче математической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям. К этому надо добавить «условия излучения» (Зоммерфельд, 1912), состоящие в том, что вся энергия, излучаемая источником, должна уходить в бесконечность. Кроме того, следует учитывать особое поведение полей в окрестности края поверхности тонкого экрана. Первое аналитическое решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости было дано Зоммерфельдом [16, 17]. Уже это решение позволило сделать ряд важных выводов о поведении электромагнитного поля в ближней и дальней зоне, об особенности полей в окрестности края тонкого экрана, о поведении полей на бесконечности и т.д.

Задача, которая; рассматривается в настоящей работе, эта задача дифракции электромагнитного поля- на идеально проводящем тонком ограниченном экране. Наиболее естественный подход к решению этой задачи -сведение ее к векторному интегродифференциальному уравнению на экране [45]. Такой подход часто называют методом поверхностных токов. Идея метода поверхностных токов принадлежит А. Пуанкаре (в акустических (скалярных) задачах: этот метод разрабатывался Релеем (1897)). • Впервые векторное интегродифференциальное уравнение на экране было получено А. Мауэ в 1949 году [56]. В наших обозначениях это уравнение имеет вид: где Div - операция .поверхностной дивергенции* А - интегральный оператор и - касательное к поверхности экрана Q векторное поле (плотность поверхностного тока). Индекс г показывает взятие касательных компонент к Q соответствующего векторного поля. Центральной проблемой при исследовании разрешимости уравнения (0.1) является выбор пространств для решений и для правых частей таким образом, чтобы обеспечить фредгольмовость (и, если удастся, однозначную разрешимость) этого уравнения в выбранных пространствах. Кроме того, пространства решений должно быть достаточно широким и содержать все физически допустимые поля.

Изучение уравнения (0.1) было начато уже в работе А. Мауэ [56]. Позднее в фундаментальной монографии Honl Н., Майе A. W., Westpfahl К. Theorie der Beugung, Springer-Verlag, 1961 (см. перевод [45]) была доказана теорема единственности для решений уравнения (0.1) (и краевой задачи дифракции), исследовано поведение дифракционных полей на бесконечности и

Lu := GradtA(Divu)+ к2Лги = /, х е Q,

0.1)

0.2) в окрестности гладкого края экрана, получены аналитические решения задач дифракции на тонком диске и на сфере. Интересно отметить, что в случае плоского экрана авторы записали уравнение (0.1), используя преобразование Фурье, в виде уравнения, которое теперь называют псевдодифференциальным (сами авторы назвали его псевдоинтегральным).

Начиная с конца 40-х годов, Я. Н. Фельдом была опубликована серия работ [43,44], посвященных задаче дифракции на тонком экране. В этих работах предпринята попытка построения теории разрешимости краевой задачи дифракции в пространстве I,(Q) (неI,(Q)). Выбрать в качестве пространства решений уравнения (0.1) «традиционное» пространство 12(П) нельзя, поскольку оно является слишком узким и не содержит решений с требуемой особенностью в окрестности края экрана (особенность известна, например, из аналитического решения задачи дифракции на полуплоскости). В работах Я.Н.Фельда выбор пространств согласован с поведением полей в окрестности ребра, однако нет эффективного описания пространства образов оператора, определяемого левой частью уравнения (0.1).

После выхода в 1968 году монографии Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods, Macmillian Co., 1961 (см. [52]) стали активно применяться численные методы (метод моментов, метод Галеркина) для решения задач дифракции на экранах различной формы, но без достаточного математического обоснования, которое отсутствует и в настоящее время. Не изучая свойства оператора L (фредгольмовость, вид главной части и т.д.), авторы ограничивались анализом внутренней (вычислительной) сходимости и сравнением результатов с аналитическими решениями. Поэтому некоторые эффекты, связанные со специфическим свойствами оператора L (о которых будет сказано ниже), были упущены.

Тем не менее в численных решениях задач дифракции на тонком экране был накоплен большой опыт. Имеется несколько монографий [3, 15, 52, 59, 70] по решению задач дифракции на экранах различной формы. Отметим также работы, сыгравшие важную роль в развитии численных методов решения задач дифракции на тонких экранах [6, И, 38, 57, 58, 65]. Заметим, что при расчетах применялись, в основном, метод моментов, метод конечных элементов и метод Галеркина с выбором простейших базисных и пробных функций (некоторые авторы все эти методы рассматривают как модификации метода моментов). Современное состояние численных исследований подробно отражено в сборнике фундаментальных работ, опубликованных в период с 20-х по 90-ые годы [49]. Следует однако подчеркнуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на тонких экранах (в резонансном диапазоне частот, когда длина волны в пространстве сравнима с размерами экрана) в настоящее время, по-видимому, пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.

F.A Гринбергом [8, 9] для случая плоского экрана была предложена процедура перехода от векторного ннтегродиффренциального уравнения (0.1) к векторному интегральному уравнению на экране. Метод включает в себя решение еще двух дополнительных краевых задач для уравнения Гельмгольца, причем одну из них - в общем виде [15]. С нашей точки зрения такой прием не упрощает задачи. Отметим, что каких - либо выводов о разрешимости задачи дифракции на плоском экране не было сделано.

Помимо попыток строгого решения уравнения (0.1) для анализа задач дифракции на тонком экране было предложено несколько различных подходов приближенного решения. В частности, активно развивались асимптотические методы [1, 2, 17, 37, 42]. Не вдаваясь в подробное обсуждение асимптотических методов решения задач дифракции на незамкнутых поверхностях, укажем только их общий недостаток. До сих пор не решен вопрос о точности асимптотического решения и границах его применимости. С особой остротой этот вопрос встает в резонансной области частот, когда характерные размеры поверхности сравнимы с длиной возбуждаемой электромагнитной волны.

Таким образом, в математической теории дифракции сложилась ситуация, когда для решения задач используется большое количество приближенных, численных методов, известны некоторые аналитические решения задач дифракции на простейших поверхностях, исследованы частные случаи (поверхности вращения), в то время как общей теории разрешимости пока не построено. Здесь под теорией разрешимости мы понимаем результаты, аналогичные классической теории потенциала, то есть теоремы о существования и единственности решения краевой задачи и уравнения на экране (в подходящих пространствах), теоремы о представимости решения краевой задачи в виде векторного потенциала, теоремы о «скачках» предельных значений и т.д.

Существует два класса задач, наиболее близких к задачам дифракции электромагнитных волн на тонких экранах. Это (векторные) задачи дифракции электромагнитных волн на замкнутых идеально проводящих поверхностях и (скалярные) задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях.

Первый класс задач отличается от рассматриваемых в настоящей работе задач тем, что изучается дифракция на замкнутых поверхностях. Векторный характер задач сохраняется, исследуются краевые задачи для системы уравнений Максвелла. Общая теория разрешимости электромагнитных задач дифракции на замкнутых поверхностях была построена уже к концу 60-х годов. С. Muller [61] смог довести до определенной завершенности эту теорию, доказав теоремы существовании и единственности. Благодаря этому теория дифракции электромагнитных волн на замкнутых поверхностях по своей внутренней замкнутости стала сравнимой с теорией потенциала. Современное изложение теории разрешимости для этого класса задач имеется в монографии Д. Колтона и Р; Кресса [21]. Доказательство разрешимости краевой задачи основано на сведении ее к интегральному уравнению Фредгольма второго рода по поверхности и опирается на теорему о «скачке» соответствующего векторного потенциала [21]. Уравнения рассматриваются в классах Гельдера. К сожалению эта техника неприменима при исследовании задач дифракции на незамкнутых поверхностях, поскольку по теореме «о скачке» векторный потенциал будет принимать различные значения с разных сторон Q, что противоречит непрерывности поля. Поэтому для незамкнутых поверхностей можно получить только уравнения первого рода (по традиционной терминологии). Уравнения первого рода на замкнутых поверхностях рассматривались в [21], однако их разрешимость устанавливалась сведением к уже изученному уравнению Фредгольма второго рода.

Второй класс составляют задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях. Не смотря на то, что эти задачи скалярные, в них проявляется специфика задач на многообразиях с краем. Теория разрешимости для этого круга задач была построена недавно в работах [48, 50, 51, 60, 62, 63, 68, 69] (аналогичная теория для акустических задач дифракции на замкнутых поверхностях известна давно [23, 24]; ее современное изложение имеется в работе [64]). Основным инструментом, позволяющим добиться прогресса в изучении задач дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях стала техника исследования псевдодифференциальных операторов (ПДО), действующих в пространствах Соболева.

К настоящему времени общая теория псевдодифференциальных операторов разработана достаточно полно и изложена в работах Дж. Дж. Кона и JI. Ниренберга [55], Г.И. Эскина [47], М.А.Шубина [46], Ю.В Егорова [12, 13], Б.А. Пламеневского [34], М. Тейлора [39], С. Ремпеля и Б. Шульце [35] и других авторов. Первое систематическое использование этой теории в задачах дифракции, по-видимому, начал W. Wendland [69]. Им были рассмотрены двумерные скалярные задачи дифракции на тонких экранах и развита соответствующая теория разрешимости этих задач. Позднее Е. Stephan [68] обобщил результаты на случай ограниченных экранов в Л3 с гладким краем. Отметим, что в рамках теории ПДО для скалярных задач этот переход осуществляется сравнительно легко. Далее в работах [60, 63] были рассмотрены экраны с угловыми точками и получены (численным методом) порядки сингулярности решений в окрестности этих точек, а так же введены и описаны весовые классы Соболева для самих решений. Эти исследования в определенном смысле продолжают пионерские работы В.А. Кондратьева [22] и Б. А Пламеневского [34] по анализу решений в окрестности конических точек.

При решении задач дифракции на незамкнутых поверхностях мы будем использовать технику исследования ПДО на многообразиях с краем. При этом будут специально выбраны векторные пространства Соболева, отвечающие «физическим» требованиям задачи дифракции.

В работе Ю.Г. Смирнова и А.С. Ильинского [18], была построена теория разрешимости (трехмерных) векторных электродинамических задач на незамкнутых поверхностях. Для задачи дифракции стороннего электродинамического поля на незамкнутых поверхностях были получены следующие результаты:

- теорема о существовании и единственности решений краевой задачи для системы уравнений Максвелла в соответствующих пространствах;

- утверждения о представимости решения задачи в виде векторного потенциала;

- сведение краевой задачи к уравнению на многообразии с краем;

- теоремы о «скачках» предельных значений для векторных потенциалов или других представлений решений краевой задачи;

- теоремы о разрешимости уравнения на многообразии в подходящих пространствах;

- теоремы о регулярности (о гладкости решений) и исследование асимптотического поведения решений в окрестности края и угловых точек многообразия;

- утверждение о зависимости решения уравнения и краевой задачи от параметров.

Основным инструментом исследования задач дифракции на незамкнутых поверхностях является теория псевдодифференциальных (ПД) операторов, действующих в пространствах Соболева сечений векторных расслоений [14, 32, 35, 39]. Задача дифракции анализируется по следующей схеме. Задача приводит к ПД уравнению на многообразии с краем Q (экране). Соответствующий ПД оператор L рассматривается в специально выбранных гильбертовых пространствах L: Я, -> Я2. Ключевым моментом при изучении задач дифракции является доказательство ограниченности и фредгольмовости с нулевым индексом оператора L. Доказательство проводится стандартным методом [19, 20]: оператор L представляется в виде суммы ограниченных операторов, непрерывно обратимого S и компактного К: L = S + K\ Решение исходной краевой задачи ищется в виде векторных потенциалов. Из единственности решения краевой задачи выводится единственность для решений соответствующего ПД уравнения Lu = /, и е Я,, а из альтернативы Фредгольма - разрешимость уравнения при любой правой части /еЯ2. От сюда следует разрешимость и для краевой задачи.

Существует два класса методов, позволяющих численно решать задачи математической физики. Первый класс - это иерархические методы. Основная идея этого подхода заключается в добавлении дополнительных базисных функций к уже существующим базисным функциям на некотором этапе решения задачи. В результате получается уточнение приближенного решения за счет совместного использования «старых» базисных функций, для которых элементы матрицы СЛАУ уже вычислены, и «новых» базисных функций. Таким образом, можно говорить об уровнях или иерархиях вычислительного алгоритма. При использовании результатов вычислении на предыдущем уровне достигается экономия вычислительных ресурсов для получения уравнения приближенного решения. Второй класс - это адаптивные методы. Для них выбор базисных функций на каждом уровне определяют за счет сравнения погрешности счета между различными, чаще всего соседними уровнями.

В данной работе предлагается другой подход, названный нами субиерархическим. В нем уже на первом шаге (уровне) один раз наиболее точно решается задача дифракции на экране простейшей прямоугольной формы. Далее, используя результаты решения задачи на первом шаге, мы «вырезаем» из него другой экран произвольной формы и, не производя повторных вычислений в матрице СЛАУ определяем значение поверхностных токов на новом экране. Таким образом, можно решить серию задач дифракции на экранах различной формы и, по существу, создать базу данных для их решения. Субиерархический метод, используется совместно с параллельными вычислительными алгоритмами в связи с большой вычислительной сложностью формирования матрицы СЛАУ на первом этапе. Наиболее удобно рассчитывать подобные задачи на кластере. Предложенный метод позволяет решать задачи дифракции, для экранов произвольной формы, используя результаты решения только одной задачи. Это возможно в том случае- если «новый» экран произвольной формы целиком помещается в «старом» прямоугольном экране. Разумеется, эффект от использования субиерархического метода будет проявляться только при решении большой серии задач дифракции.

Следует отметить, что для увеличения точности решения необходимо снова более точно решать задачу на прямоугольном экране. При увеличении размеров экрана (в длинах волн) также необходимо пересчитать первоначальную задачу. Однако во многих практических приложениях (например при проектирование печатных антенн) часто приходится большое количество задач дифракции на экранах различной формы помещающихся в некотором прямоугольнике (на подложке антенны), с некоторой фиксированной точностью. В этом случае построенная база данных оказывается весьма полезной и позволяет решать задачи дифракции на экранах нужной формы уже на персональном компьютере, а не на кластере который использовался при решении первой задачи на прямоугольном экране.

Данная работа содержит следующие основные результаты.

1. Введено понятие оператора, эллиптического на подпространствах, и доказана теорема о сходимости метода Галеркина для таких операторов.

2. Доказана теорема об аппроксимации функциями RWG любой функции из пространства W и получены оценки скорости сходимости метода RWG.

3. Получены аналитические решения для скалярных задач на круге.

4. Предложен и программно реализован параллельный вычислительный алгоритм, позволяющий решать задачу дифракции на экранах произвольной формы.

5. Предложена и программно реализована концепция построения субиерархических алгоритмов и вспомогательных баз данных для решения задачи дифракции на плоских экранах произвольной формы. Данная работа состоит из введения и трех глав. В первой главе рассматривается общая; постановка задачи, сведение задачи к интегро-дифференциальному и псевдодифференциальному уравнениям в пространствах Соболева. Вторая глава посвящена построению и анализу сходимости метода Галеркина. Третья глава посвящена реализации, численного метода — параллельного вычислительного алгоритма для решения задачи и анализу численных результатов.

В первой главе рассматривается постановка задачи, дифракции на плоском экране и основные свойства решений уравнений электрического поля, выбор векторных пространств W и W, сведение задачи к системе псевдодифференциальных уравнений: Во второй части этой главы рассматриваются аналитические решения скалярных уравнений, используемые для тестирования алгоритмов в векторной задаче. Введено понятие оператора, эллиптического на подпространствах.

Во второй главе описывается алгоритм решения уравнения электрического поля для произвольной поверхности. Производится выбор конечномерных подпространств и построение проекционного метода Галеркина в выбранных подпространствах. Доказывается сходимость метода Галеркина. Описывается субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения уравнения электрического поля.

В третьей главе содержится описание численных результатов и сравнение их с результатами, полученными в работах других авторов.

Основные результаты, полученные в данной работе, были сравнены с результатами работ [73] и [65]. Перейдем к описанию полученных результатов.

3.1. Решение задачи дифракции на прямоугольном экране

Первыми были получены результаты на квадратной пластине. Длина ребра квадратной пластины была равна длине волны Л. Волновое число к равняется 2л. Несмотря на небольшую точность при расчете интегралов 25 точек на носитель и маленький размер сетки 7 на 6 ячеек были построены графики, визуально совпадающие, с графиками, представленными в работе [65]. Результаты были получены на компьютере Pentium 4 с тактовой частотой= процессора 2400. Размер матрицы был равен 79 на 79 элементов. Время счета данной задачи составляло одну минуту.

Рис 1;

На графиках 1 и 2 представленных ниже изображены срезки по горизонтали и вертикали. Обе срезки выведены на один график. Ниже представлены два графика. Первый график построен по задаче с размером сетки 19 на 18 ячеек и точностью расчета интегралов 25 точек на носитель. Размер матрицы 883 на 883 элементов. Время счета задачи 2 часа. Второй график построен по задачи с размером сетки 35 на 34 и точностью расчета интеграла 25 точек на носитель. Размер матрицы элементов 3299 на 3299 элементов. Время счета задачи 18 часов. Отметим, что программа, написанная нами, позволяет считать и прямоугольные экраны любой формы. Экран квадратной формы был выбран исключительно в целях сравнения полученных результатов.

Графики представленные в работе [65] рассчитывались по сетке (размер сетке). На квадратном экране с длиной ребра равной волновому числу Л .

Однако, трудно судить о результатах только по срезкам. Срезки не дают представление обшей картины распределения токов, поэтому на графиках 3, 4, 5, 6 представлены поверхностные токи. Для графика 3 и 4 была рассмотрена задача с размером сетки 19 на 18 ячеек и точностью расчета интегралов 25 точек на носитель. График с номером 3 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. График с номером 4 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Оу. На графике 5 и 6 была рассмотрена задача с размером сетки 35 на 34 и точностью расчета интеграла 25 точек на носитель. График с номером 5 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. График с номером 6 отображает поведение поверхностных, токов направленных вдоль оси Оу. Результаты данных графиков были сравнены с работой [73]. Они совпадают с графической точностью.

3.2. Решение задачи дифракции на экранах сложной формы

В работе [73] был приведен пример расчета токов фигуры сложной формы вырезанной из платины размером А-ЗА. Фигура имеет вид представленный на рис. 2. Результаты поверхностных токов рассчитанных нашим методом представлены на графиках 7 - 8 и графиках 9 - 10. График 7 и 8 отображают результаты поверхностных токов для задачи, решенной с сеткой 19 на 57 и точностью расчета интегралов 25. Время, потраченное на составление матрицы для; системы линейных уравнений в задаче, составляет 4 часа. Результаты были получены на компьютере Pentium 4 с тактовой частотой процессора 2400: На графике 7 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Ох. На графике 7 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Оу. График 9 и 10 отображают результаты поверхностных токов для задачи,

Рис. 2 решенной с сеткой 19 на 57 и точностью расчета интегралов 36. Время, потраченное на составление матрицы для системы линейных уравнений в задаче, составляет 14 часов. Результаты были получены на компьютере Pentium 4 с тактовой частотой процессора 2400. На графике 9 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Ох. На графике 10 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Оу.

Рассмотрим графики 11 и 12. Данные графики были построены для экрана представленного на рисунке 3. Фигура вырезалась из квадратной пластины с длиной ребра равной Л. Матрица к задаче рассчитывалась на кластере вычислительного комплекса ЫИВЦ МГУ. Размер сетки 49 на 48 элементов, точность расчета интеграла составляет 64 точки на носитель. Размер матрицы 6673x6673 элементов. Время составление матрицы на кластере равно 69 часов. Время загрузки матрицы из файла в виртуальную память на персональном компьютере составляет 2 часа. Время решения системы матричных уравнений методом Гаусса построенной по новому экрану составляет 1 часа. На графике И изображено поведение

Рис.3 поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. На графике 12 построены поверхностные токи, направленные вдоль Оси Оу. рис. 4

На графиках 13 и 14 рассчитывалась фигура Н - образной формы. На рис. 4 изображен экран Н - образной формы. Экран вырезался из квадратной пластины с длиной ребра равной Л. Матрица к задаче использовалась та же, что и для предыдущей задачи. На графике 13 изображено поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. На графике 14 построены поверхностные токи, направленные вдоль оси Оу.

На следующих графиках 15 и 16 рассматривается экран крестообразной формы (рис. 5). Экран «вырезался» из квадратной пластины с длиной ребра равной Л. Матрица к задаче использовалась та же, что и для предыдущей задачи. На графике 13 изображено поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. На графике 14 построены поверхностные токи, направленные вдоль оси Оу. рис. 5

Рассмотрим графики 17 и 18. Данные графики были построены по фигуре круг, представленной на рис. 6. Экран «вырезался» из квадратной пластины с длиной ребра равной Л. рис. 6

Матрица к задаче использовалась та же, что и для предыдущей задачи. На графике 17 изображено поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. На графике 18 построены поверхностные токи, направленные вдоль оси Оу.

0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

График №2.

Срезки для поверхностных токов случай 35x34x25

0,14 0,12 0,1 0,08 1 0,06 0,04 0,02 0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

График №1.

Срезки для поверхностных токов случай 19x18x25

График №4.

Поверхностные токи Jy

0,008000 0,007000 0,006000 0,005000 0,004000 0,003000 0,002000 0,001000 0,000000

График №6.

Поверхностные токи Jy

0,2-0,25

0,15-0,2

0,1-0,15

0,05-0,1

0-0,05

График №8.

Поверхностные токи Jv,

0,14-0,16

0,12-0,14

0,1-0,12

0,08-0,1 □ 0,06-0,08

0,04-0,06 Я 0,02-0,04

0-0,02

График №10.

Поверхностные токи У

LO С" ао-0,03 шо.03-0,06 оо.об-о.оэ 00,09-0.12 0,12-0,15 00,15-0.18 ■0,18-0,21

График №12.

Поверхностные токи Jy

ОО-О.ОЗ ВО,03-0.06 GO,06-0,09

00-0.07 ЯО,07-0,14 DO, 14-0,21 □0,21-0,28]

График №14.

Поверхностные токи Jy 0-0,06 ■ 0,06-0,12 ПО,12-0,18 DO,18-0,24 0-0,05 ■ 0,05-0,1 DO, 1-0,15 ПО,15-0,2

График №16.

Поверхностные токи Jv 0-0,02 ■ 0,08-0,1 0,02-0,04 □ 0,04-0,06 □ 0,06-0,08 □ 0,1-0,12 ВО,12-0,14 □ 0,14-0,16

0-0.01 ■ 0.01-0.02 DO 02-0.03 D0.03-0.04 И0.04-0.05

0.05-0.06 ■ 0,06-0.07 ИО 07-0.08 ИО.ОВ-О.ОЭ Я0.09-0.1

Поверхностные токи Jr (вид с верху) я щ BB

ГТР ii, & а us

S -л 1В Hi 1У si

Ш ЙЙД i BB vill л ■■ L "1Г;

УШ Ж к £ i 'IU

5J! 1 1 i BIJ 1ЛТЩ шив в L^iU в mm mm в BB

III №n an > v : 1 lfr я 1 В ПВ a i в IP ^B ттш щ r /п^ВВ в уш л1 ^ Ш в к

Li= d л 1 =

ШШШШ mv: — ч V? В BB

L Ш т Ш й ЛВВВ

Р21

Р20

Р19

Р18

Р17

Р16

Р15

Р14

R13

Р12

Р11

Р10

Р9

Р8

Р7

Р6

Р5

Р4

РЗ

Р2

Р1

0-0.01 ■ 0.01-0 02 D0 02-0.03 DO 03-0.04 ■ 0.04-0.05

0.05-0.06 И0.06-0.07 DO 07-0.08 ВО 08-0.09 0 0.09-0.1

0.14

Р15 0-0.02 □ 0.06-0 08

10.02-0.04 10.08-0 1

0.04-0.06

0,1-0 12

Поверхностные токи Jy (вид с верху)

Q 0-0.02 0.06-0 08 мл л г\ д л л

Ю.02-0.04 10.08-0.1

0.04-0.06

0.1-0.12

1. Бабич В.М., Булдарев B.C. Асимптотические . методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

2. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988.

3. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.

4. Владимиров B.C.-Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

5. Воеводин В.В., Воеводин Вл. В.Параллельные вычисления. Спб.: БХВ — Петербург, 2002.

6. Вычислительные методы в электродинамике. /Под ред. Р. Миттры. М.: Мир, 1977.

7. Градштейн И.С., Рыжик И:М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

8. Гринберг Г.А., Пименов Ю.В. К вопросу о дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких идеально проводящих экранах. //Журнал Теор. Физика, т.27, 1957, вып. 10, с.2326-2339.

9. Гринберг Г.А. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих экранах, основанный на изучении наводимых на экранах теневых токов. I и II //Журнал Теор. Физика, сер.Б, т.28, 1958, вып.З, с.542-568.

10. Двайт Г.Б. Таблица интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983.

11. Дмитреев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1985.

12. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984.

13. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. М., Изд-во МГУ, 1985.

14. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Элементы современной теории. В кн.:

15. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.31. Итоги науки и техники, ВИНИТИ. М., 1988. С.5-125.

16. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции» радиоволн. Mi: Радио и связь, 1982.

17. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных в физике, М.: Иностр. литература, 1950.

18. Зоммерфельд А. Оптика. М.: Иностр. Литература, 1973.

19. Ильинский А.С., Смирнов s Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: Радиотехника, 1996.

20. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

22. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния;. М.: Мир, 1987.

23. Кондратьев? В.А. Краевые: задачи! для эллиптических, уравнений в областях с коническими и угловыми точками. Труды ММО, т.16, 1967, с.209-292.

24. Купрадзе В.Д. Основные задачи математической теории дифракции. М.: Гостехиздат, 1935.

25. Купрадзе В.Д. Граничные задачи; теории колебания и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1951.

26. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М;: Наука, 1984.

27. Лионе: Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

28. Медведик М: Ю., Смирнов Ю. Г. Параллельный вычислительный алгоритм и расчет поверхностных токов для электромагнитной задачидифракции на плоском экране. Новые промышленные технологии. 2005. №.1.с. .

29. Медведик М. Ю. Исследования задачи дифракции акустической волны на диске. Системный анализ, управление и обработка информации. Пенза. Сборник научных трудов университетского семинара. 2001. №.1. с. 36-43.

30. Медведик М. Ю. Метод псевдодифференциальных уравнений для решения электромагнитной задачи дифракции на прямоугольной пластине. Актуальные проблемы науки и образования. Пенза: Информационно-издательский центр ПРУ. 2003; Т.1. с. 26-28;

31. Медведик М. Ю;, Смирнов Ю. Г., Соболев С.И. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране. Вычислительные методы и программирование. 2005. Т.6. с. 99108. '

32. Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука, 1984.

33. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М:: Мир, 1974.

34. Пламеневский Б.А. Алгебра псевдодифференциальных операторов. М.: Наука, 1986.

35. Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. М., Мир, 1986.

36. Смирнов Ю.Г. О разрешимости векторных интегродифференциальных уравнений в задаче дифракции; электромагнитного поля на экранах произвольной формы. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1994, т.34, №10; с. 1461-1475;

37. Сологуб В.Г. Коротковолновая асимптотика решения задачи дифракции на круглом диске. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1972, т. 12, №2, с.388-412.

38. Сологуб В.Г. О решении одного интегрального уравнения типа свертки с конечными пределами интегрирования. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1970, т. 11, №4, c:637-654.

39. Тейлор М. Псевдодиффренциальные операторы. М.: Мир, 1985.

40. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1966.

41. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

42. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. радио, 1962.

43. Фельд Я.Н. Основы теории щелевых антенн. М.: Сов. радио, 1948.

44. Фельд Я.Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях. //Радиотехника и электроника, 1975, т.20, №1, с. 28-38.

45. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

46. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978:

47. Эскин Г.И: Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973:

48. Angell T.S., Hsiao G.C., Krai J. Double Layer Potentials on Boundaries with Corners and Edges. //Comment. Math. Unit. Carol. 1986, vol.27, p.419.

49. Computational Electromagnetics: Frequency-Domain Method of Moments. Ed. By E.K. Miller, L. Medgyesi-Mitschand, E.H. Newman. //IEEE Press, New York, 1992.

50. Costabel M. Boundary Integral Operators on Curved Polygons. //Ann. Mat. Рига Appl., 1983, vol.133, p.305-326.

51. Costabel M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results. //SIAM J. Math.-Anal., vol.19, № 3, May 1988, p. 613-626.

52. Harrington R.F. Field Computation by Moment Methods. Macmillian Co., New York, 1968.

53. Harrington R.F. Mautz J.R. Computation Methods for Transmission on Wave. //Electromagnetic Scattering. Edited by P.L.E. Uslenghi New York, Academic Press, 1978, p.429-470.

54. Kohn J.J., Nirenberg L. Ant Algebra of Pseudodifferential Operators: //Commun. Pure and Appl. Math., 1965, v. 18, № 1-2, p. 269-305.

55. Maue A.W. Toward Formulator of a General Diffraction Problem via an Integral Equation; // Zeitschrift ftir Physik, vol. 126, 1949, p. 601-618.

56. Miller E.K., Poggio A.J. Moment-Method Techniques in: Electromagnetics from' an: Applications: Viewpoint. //Electromagnetic Scattering. Edited by P.L.E. Uslenghi New York, Academic Press, 1978, p. 315-358.

57. Mittra R:, ed. Numerical and Asymptotic Techniques in Electromagnetics. New York: Springer Verlag, 1975.

58. Moor J., Pizer R.\ Moment Methods in Electromagnetics: Techniques and; Applications. New York: John Wiley & Sons, 1984.

59. Morrison J.A., Lewis J.A. Charge Singularity at the Corners of a Flat Plate. // . SIAM J. Appl. Math, vol.31, 1976, p. 233-250.

60. Muller CI. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetics

61. Waves, Springer-Verlag; New York, 1969.

62. Paivarinta L., Rempel S. A decovolution problem with Kernel l/|x| on the plane. //Appl. Anal. 1987. vol.26, p.105-128.

63. Paivarinta L., Rempel S. Corner singularities of solutions to A±U2u = f in two dimentions. //Asymptotic Analysis, 5, .1992, p. 429-460.

64. Ramm F.G. Scattering by Obstacles. //Dordrecht. D. Reidel Publ. Сотр., 1986.

65. Rao S.M., Wilton D.R., Glisson A.W. Electromagnetic Scattering by Surface of Arbitrary Shape. //IEEE Trans. Antennas Propagation, vol. Ap-30, №3, 1982, p. 409-418.

66. Smirnov Yu. G., Vartanov A. A., Medvedik M. Yu. Pseudodifferential Equations Method for Solving of Problem of Electromagnetic Wave Diffraction on Conducting Screens. //In: Proceedings of 3rd International

67. Conference «Antenna Theory and Techniques», Sevastopol, Ukraine, 8-11 September, 1999, p. 150-151.

68. Stephan E.P. Boundary Integral Equations for Screen Problem in 7?3. //Integral Equation and Operator Theory. 1987. vol.10, p.236-257:

69. Stephan E., Wendland W.L. An Augmented Galerkin Procedure for the Boundary Integral Method Applied to Two-dimensional Screen and Crack Problems. //Applicable Analysis. 1984. vol.18, p.105-128.

70. Wang J.H.H. Generalized Moment Methods in Electromagnetics. //New York: John Wiley & Sons, 1991.

71. Penzel F. Sobolev Space Methods For The Laplace Equation In The Exterior Of The Disk. // Integral Equations and Operator Theory. 1993. vol. 17.

72. Penzel F. A Combined Boundary Element and Fourier Method.

73. A. Peter M. Zwamborn and Peter M. van den Berg. A Weak Form of the Conjugate Gradient FFT Method for Plate Problems. IEEE Transactions on antennas and propagation, vol 39, pp 224-228, February 1991.