Задачи об электромагнитной связи объемов через отверстия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Алгоритм численного решения задач об электромагнитной связи объемов через отверстия

§ I. Математическая постановка задачи.

§ 2. Получение основной системы интегральных уравнений первого рода.

§ 3. Алгоритм численного решения.

Глава 2. Дифракция электромагнитных волн на отверстиях в экране.

§ I. Постановка задачи и получение основной системы интегральных уравнений.

§ 2. Реализация численного алгоритма для прямоугольного отверстия в экране.

§ 3. Обсуждение результатов численного решения задачи дифракции на прямоугольном отверстии в экране

§ 4. Итерационный метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на отверстии в экране

Глава 3. Задача об электромагнитной связи прямоугольных волноводов через отверстия в боковых стенках

§ I. Сведение краевой задачи для уравнений Максвелла к системе интегральных уравнений

§ 2. Выделение особенности функции Грина прямоугольного волновода.

§ 3. Вычисление матричных элементов дискретизированной системы для прямоугольного отверстия.

§ 4. Обсуждение численных результатов

Развитие техники радиосвязи, радиолокации, высокие требования, предъявляемые к проектированию и созданию современных антенных фазированных решеток и антенно-фидерных устройств, вызывают интенсивную разработку численных методов решения задач дифракции электромагнитных волн в их наиболее полной математической постановке. Уровень современной вычислительной техники делает возможным построение универсальных эффективных численных алгоритмов для достаточно общих классов задач.

Теоретическое изучение математических моделей электродинамики излучающих систем сводится к исследованию свойств решений задач дифракции электромагнитного поля на различных объектах. Решение проблем проектирования антенных систем специального назначения и связанных с ним вопросов является актуальной научзадача математического моделирования излучающей системы состоит в определении системы возбуждения элементов и пространственного распределения излучающих элементов, обеспечивающих формирование заданного распределения излучения с учетом реальных конструктивных ограничений на источники излучения и их расположение.

Решающее влияние на методологию исследования в электродинамике, как и в ряде других областей математической физики, оказали работы А.Н.Тихонова по разработке устойчивых методов решения некорректно поставленных задач [2! . На базе исследований

А.Н.Тихонова за последние годы разработаны многочисленные эффективные алгоритмы исследования как обратных задач электродинамики, так и задач синтеза электродинамических устройств. но-технической задачей. Как указывается в общем виде

Принципиальное значение душ решения задач проектирования антенных систем имеет создание эффективных алгоритмов решения прямых задач теории дифракции, заключающихся в определении электромагнитного поля при известном расположении источников и объектов рассеяния.

Одним из важных классов прямых задач теории дифракции являются задачи об электромагнитной связи объемов через отверстия, которым всегда уделялось большое внимание. Следуя 3, можно выделить типичные задачи этого класса:

- задачи дифракции на системе отверстий в экране, который может находиться как в свободном пространстве, так и внутри волновода,

- задачи об электромагнитной связи объемов через отверстия в общих боковых стенках волноводов и резонаторов,

- задачи излучения из полых систем.

Классической задачей является задача дифракции электромагнитных волн на щели или системе щелей в плоском идеально проводящем бесконечно тонком экране, лежащем в однородной изотропной среде. Подробное исследование этой и дополнительной к ней проблемы можно найти в , где приведено как решение задачи в замкнутой форме, так и различные асимптотические разложения.

Решение краевых задач электродинамики с помощью аналитических методов ограничивается достаточно узким кругом модельных задач. Однако получаемые здесь точные решения имеют большое значение и для развития численных и приближенных методов.

Методом факторизации - методом Винера -Хопфа - Фока многие дифракционные задачи сводятся к нахождению некоторой функции комплексного переменного и построению путем факторизации искомой аналитической функции. Возможности применения этого метода в дифракционных задачах наиболее полно изложены в [б] , где успешно решены задачи о плоском и круглом волноводах с открытым концом, рассмотрены задачи, в которых имеются полуплоскости и полубесконечные цилиндры.

Другим строгим методом является метод задачи Римана -Гильберта или метод частичного обращения оператора [б] . Сущность его заключается в том, что решение системы функциональных уравнений, к которым приводит граничная задача теории дифракции, можно свести к восстановлению аналитической функции во всей плоскости комплексного переменного, зная сумму ее предельных значений на дуге единичной окружности. Искомые коэффициенты Фурье получаемой аналитической функции определяются из бесконечной системы линейных неоднородных уравнений. Метод Римана -Гильберта позволяет строить коротковолновую асимптотику задачи дифракции волн на периодических ленточных структурах.

Среди основных работ, посвященных асимптотическим методам решения задач об электромагнитной связи объемов через узкие и широкие щели, следует упомянуть [7 - 9] , а из иностранных, например, [ю] . Бесконечная система широких по сравнению с длиной волны металлических лент исследована в [п] , где найдено асимптотическое представление решения в случае, когда длина волны много меньше как ширины пластины, так и периода рассматриваемой решетки.

Как известно, задача дифракции плоских электромагнитных волн на идеально проводящей полосе и обратная ей задача дифракции на щели в плоском экране сводятся к интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно плотности полного тока, наведенного на полосе или эквивалентного тока на щели.

Благодаря созданию регуляризирующих алгоритмов решения интегральных уравнений первого рода [12 - 13] широкое распространение получили численные методы решения задач дифракции на щели или системе щелей в экранах и связанных с ними проблем.В [14^ рассматривается алгоритм решения задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей полосе, приведены численные результаты методического характера. В [15^ и &б] получены решения задач дифракции на системе щелей в экране, помещенном как в свободное пространство, так и во внутрь плоского волново$ да, проводятся сравнения с известными асимптотическими формулами из [4"] .

Систематическое изложение как точных (' разделение переменных, интегрирование в плоскости комплексного переменного, метод собственных значений), так и приближенных методов ( вариационные, низкочастотная и высокочастотные асимптотики) цредставле-но в [17] . Там же рассмотрена дифракция на малых и больших отверстиях в плоских экранах и другие вопросы.

Исследованию дифракции электромагнитных волн на периодических ленточных структурах посвящено большое число работ. В монографии [18] развита строгая теория дифракции на одномерных периодических решетках различного типа. Сущность применяемых строгих методов состоит в разбиении оператора, соответствующего функциональному уравнению первого рода, к которому сводится каждая из рассмотреных задач, на два оператора: один вполне непрерывный в некотором функциональном пространстве, а второй имеет известный обратный . Подробно исследуются интегральные характеристики периодических структур в резонансно частотном диапазоне. В работе приведена подробная библиография, посвященная вопросам дифракции электромагнитных волн на периодических структурах.

С решением задач об электромагнитной связи объемов через отверстия тесно связаны вопросы проектирования антенных фазированных решеток. В обобщены работы по теории фазированных антенных решеток, проводится подробный анализ плоских решеток, состоящих из открытых концов различных волноводов. Для этих задач получены интегральные уравнения первого рода, особенностью которых является то, что ядра имеют вид бесконечных сумм, представляющих вклады двух типов (ТЕ и ТМ) волн. Для численного решения используется метод моментов или вариационный подход. Сформулировано несколько критериев проверки правильности получаемого приближенного решения. Среди них: проверка закона сохранения энергии, исследование сходимости численного решения к точному, сравнение с результатами других методов, возможное экспериментальное подтверждение и другие.

Аналитическим методам в теории волноводов посвящена монография [20] , в которой приведены обобщения метода факторизации, позволившие расширить круг решаемых задач. Методом сшивания частичных областей проводится исследование сложных волно-водных систем, которые можно разбить на ряд простых смежных областей, допускающих при определенных граничных условиях построения решения с помощью разделения переменных. Для получения бесконечной системы алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд собственных волн используется условие непрерывности полей на общих границах частичных областей.

Вопросы приближенного решения задач о различных неоднород-ностях в волноводах рассмотрены в [21J . В [22J исследуется связь двух смежных устройств СВЧ с идеально проводящими стенками через отверстия. Задача решается методом частичных областей. Получаемые интегральные уравнения для определения искомых касательных составляющих электромагнитного поля на границах частичных областей решаются на основе метода Галеркина. Определяются внешние параметры системы, рассматриваются различные сочленения плоских волноводов.

Дяя регулярных волноводов можно получить строгое решение краевой задачи для уравнений Максвелла. Например, задача о возбуждении произвольными токами, находящимися внутри волновода, сводится к построению функции источников. Эта проблема решена А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским в [23] , там же получено и исследовано разложение функций источника в ряд по собственным функциям поперечного сечения волновода. В ¡24] теми же авторами проведено строгое математическое доказательство полноты системы ТЕ и ТМ полей для цилиндрического волновода с произвольным поперечным сечением. Устанавливается, что всякое электромагнитное поле в регулярном волноводе полностью определяется его продольными компонентами, откуда и следует возможность представления любого поля в волноводе в виде суммы поперечного электрического ТЕ и поперечного магнитного ТМ полей в области, где отсутствуют источники.

Дяя исследования нерегулярных волноводов и сложных волно-водных систем в настоящее время широко используются прямые численные методы, ориентированные на быстродействующие ЭВМ.

На основе метода Галеркина построен целый ряд алгоритмов численного решения задач о распространении колебаний в нерегулярных волноводах. При этом краевая задача для уравнений Максвелла сводится к краевой задаче для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общая схема метода описана и обоснована в ¡^25 - 27] . По этому пути получено большое количество численных результатов, например, [28 - 31] , часть из которых для волноводов с диэлектрическим заполнением суммирована в [32J , а для волноводов с граничными условиями Леонтовича - в [зз] .

Для аналогичных задач в [34] развит вариационный подход, основанный на представлении приближенного решения в виде разложения по полной системе функций, коэффициенты разложения при этом определяются путем отыскания минимума некоторого функционала. Сравнение обоих подходов дано в [з2~] . Вариационные и близкие к ним методы для краевых задач электродинамики, отвечающие пространственно ограниченным системам, изложены в [з5~] . Для всех основных типов внутренних задач получены уравнения Га-леркина - Ритца, служащие основой построения численных алгоритмов. В £зб] показано приложение проекционного метода типа Галеркина - Ритца к задачам дифракции в свободном пространстве и в волноводных устройствах, к задачам об антеннах, открытых линиях передачи, резонаторах и других системах.

При решении задач об электромагнитной связи объемов используются также конечно-разностные методы и методы конечных элементов [37 - 38] .

Глубокий анализ круга электродинамических задач, поддающихся численному счету на современных ЭВМ дан в £39] . Рассмотрены различные варианты формулировок электродинамических задач в виде интегральных уравнений и способы их сведения к матричным. Одна из глав этой книги посвящена методам решения задач о волноводах и решетках, использующим аппарат интегральных уравнений. Искомыми функциями являются касательные составляющие электрического или магнитного поля на границе раздела исследуемых областей. Замена интегральных уравнений линейными алгебраическими системами проводится либо вариационными методами, либо методом моментов (подробное описание метода в приложении его к электродинамическим проблемам можно найти в [40 ] ). Исследован ряд конкретных задач.

Метод сведения краевой задачи к интегральному уравнению часто используется в математической физике. С его помощью доказываются теоремы существования и единственности соответствующих краевых задач [41] . В работах [42 - 43] были сформулированы идеи метода функциональных уравнений для численного решения внешних дифракционных задач. В настоящее время для построения эффективных численных алгоритмов решения задач дифракции широко используется аппарат интегральных и интегро-дифференциальных уравнений как первого, так и второго рода.

Имеются многочисленные исследования различных задач дифракции с помощью метода интегральных уравнений. Среди них: задачи о неоднородностях в волноводах [44 - 46^ , расчет связанных полых систем [47 - 4в] , дифракция на прямоугольном отверстии в плоском идеально проводящем экране [49] , дифракция на щели в экране, помещенном в неоднородное пространство на плоскую границу раздела двух различных диэлектрических полупространств [50] и другие.

Интегральные уравнения Фредгольма втрого рода используются для исследования выпуклых антенных решеток, состоящих из открытых концов плоских волноводов, в бесконечном идеально проводящем цилиндре [51]. При этом полностью доказывается эквивалентность исходных краевых задач и получаемых систем интегральных уравнений. Доказаны теоремы существования и единственности решения в соответствующих классах функций.

Общая задача об электромагнитной связи двух изолированных областей через отверстие рассматривается в [52J . Получаемое операторное уравнение решается методом моментов. Решение выражено через матрицы адмитансов апертуры. Детально исследуются следующие задачи: отверстие в плоском идеально проводящем экране и задача о прохождении электромагнитных волн в пространство через отверстие. Для узкой прямоугольной апертуры в плоском экране и в торце прямоугольного волновода с бесконечным фланцем приведены численные результаты, цредставлены зависимости амплитуды и фазы эквивалентного магнитного тока вдоль щели, а также поперечное сечение излучения.

В ¡^53 рассмотрена задача определения поля, проникающего через отверстие в замкнутую ограниченную область с идеально проводящими стенками, возбуждаемого падающей из свободного пространства произвольной электромагнитной волной. Ставится задача об определении максимума энергии, проходящей в резонатор. Полученные интегральные уравнения относительно эквивалентного магнитного тока решаются на основе метода Галеркина. Выяснено, что возможности резонанса определяются не только линейными параметрами резонатора, но и размерами отверстия связи.

При рассмотрении задачи об электромагнитной связи объемов в достаточно общей постановке, когда отверстия связи лежат в различных плоскостях, задача оказывается существенно трехмерной и векторной. В работах [54 - 55] построен ряд общих алгоритмов решения задач этого класса и получены численные результаты для задачи дифракции плоской электромагнитной волны на прямоугольном отверстии в экране [49 ( . Для успешного решения задач проектирования специальных антенных фазированных решеток и сложных антенно-фидерных узлов необходимо создание эффективных численных методов решения задач об электромагнитной связи сложных областей и в первую очередь о связи волноводов через отверстия.

Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшей разработке эффективных численных алгоритмов достаточно общего класса задач об электромагнитной связи объемов через отверстия с учетом априорной информации о гладкости тангенциальных составляющих электрического поля на отверстиях, а также с учетом поведения тангенциальных компонент поля вблизи ребер. Рассматривается векторная трехмерная постановка. Задача редуцируется к системе интегро-дифференциальных уравнений первого рода со слабо полярным ядром относительно тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля на отверстиях. Полученная система интегро-дифференциальных уравнений сводится к системе интегральных уравнений первого рода путем усложнения ядер интегральных уравнений, что оправдывается заданием компонентам поля определенного характера поведения вблизи ребер.

Решение интегральных уравнений Фредгольма первого рода является некорректно поставленной задачей и требует применения реуляризации [I] . Эффективные численные методы решения интегральных уравнений первого рода с ядром, имеющим интегрируемую особенность при совпадении аргументов, успешно строятся на основе метода саморегуляризации, предложенного в [12 - 13] . Метод основан на априорном предположении о гладкости решения, то есть, что искомая функция слабо меняется на некотором интервале. Исходное интегральное уравнение редуцируется при этом к интегральному уравнению второго рода, которое затем решается сведением к системе линейных алгебраических уравнений с помощью интерполяции и коллокации. Матрица этой системы в силу особенности ядра при совпадении аргументов будет относительно устойчивой. В [13] доказана теорема существования в классе Н* решения интегрального уравнения вида: 1

1 / .

- дифференцируемая по Т функция, причем £ Н , Н - класс непрерывных функций, удовлетворяющих условию Гельдера на замкнутом интервале, Н* - класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера в любом замкнутом интервале, не включающем концов, а вблизи концов представимых в виде

-с/*- , с* / или , / , где у*(*) € Н на 1-1,1].

Там же предложен алгоритм численного решения уравнения (I).

Применения метода коллокации к интегральным уравнениям первого рода с логарифмической особенностью в ядре описан в [56J Подчеркивается, что для сведения интегрального уравнения первого рода к устойчивой системе линейных алгебраических уравнений необходимо, чтобы выбранные точки коллокации совпадали с узлами интерполяции. Произвольный выбор точек коллокации может привести к сглаживанию особенности ядра интегрального уравнения при совпадении аргументов и появлению неустойчивости.

В работах [57 - 58] изучается прямой численный метод решения интегрального уравнения первого рода по замкнутому контуру с логарифмической особенностью в ядре, основанный на приум менении метода коллокаций. Доказана разрешимость дискретизиро-ванного уравнения и получены оценки невязки и погрешности приближенного решения в зависимости от порядка дискретизации. В

59] аналогичные результаты получены для интегральных уравнений с ядром, имеющим интегрируемую особенность.

Исследованию алгоритмов численного решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью в ядре посвящены работы [бО - 61] , в которых доказывается устойчивость решения из /./> [0}Ц для уравнения ритмы численного решения уравнения Фредгольма второго рода, эквивалентного уравнению (2), получены оценки точности алгоритма. По численным результатам сравнивается эффективность применения различных алгоритмов для конкретных задач.

Предложенный в диссертационной работе алгоритм численного решения задачи об электромагнитной связи объемов может быть применен в том случае, когда в каждой из областей удается построить необходимый тензор Грина. Для областей сложной формы компоненты тензора Грина, как правило, заданы в виде спектрального разложения. Сходимость таких рядов необходимо исследовать, а создание эффективного алгоритма вычисления значений компонент тензора Грина представляет самостоятельную проблему.

В диссертационной работе предложены и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы численного решения задачи дифракции на прямоугольном отверстии в экране и задачи об электромагтипа:

2) если Построены экономичные алгонитной связи прямоугольных волноводов через прямоугольную апертуру в общей боковой стенке. Проведены численные эксперименты для исследования как электромагнитного поля в ближней зоне (на отверстии), так и интегральных характеристик систем для отверстий связи, линейные размеры которых соизмеримы с душной волны излучения. Получены зависимости амплитуд поля в дальней зоне от размеров апертур и их расположения. Проведено сравнение численных результатов с имеющимися асимптотическими представлениями решения в плоском случае и с численными результатами, полученными другими авторами. Построенный алгоритм может быть обобщен на случай сложных областей, включающих волноводы и полупространства как составные части.

Работа состоит из трех глав. В первой главе рассматривается математическая постановка задачи об электромагнитной связи объемов через отверстия. Стенки, ограничивающие области, предполагаются идеально проводящими и бесконечно тонкими. Среда во всех областях одинакова, однородна и изотропна. В каждой из областей ищется решение систем уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями на поверхностях, ограничивающих области, условиями непрерывности тангенциальных составляющих полей на отверстиях связи, условиями излучения для бесконечных областей и условиями на ребре. Первичное возбуждение рассматривается в полупространстве в виде плоских волн и в виде волн, идущих от точечного источника, а в волноводе - в виде заданного пакета нормальных волн.

С помощью тензоров Грина [б2] выписаны интегро-дифферен циальные представления полей Б и Н . Условие непрерывности тангенциальных компонент поля на отверстии позволяет получить систему векторных интегро-дифференциальных уравнений относительно тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля на отверстиях. Ядра основной системы двумерных интегральных уравнений, полученной после обращения главной части двумерного дифференциального оператора, имеют особенность

С* и усложнены наличием контурных интегралов по границе отверстия от производных компонент тензора Грина.

Алгоритм численного решения указанной системы строится на основе метода саморегуляризавди., С помощью метода коллокации интегральные уравнения сводятся к системе линейных алгебраических уравнений. Особенность ядер явно выделяется и интегрируется в конечном виде, что обуславливает относительную устойчивость матрицы. Решение ищется на неравномерной сетке, сгущающейся к границе. По найденным значениям оцределяются различные характеристики излучения.

Во второй главе исследуется задача дифракции произвольной электромагнитной волны на отверстии в плоском бесконечно тонком идеально проводящем экране. Построен алгоритм численного решения данной задачи для прямоугольного отверстия конечных размеров

63 . В качестве узлов интерполяции и коллокации по каждой из координат выбраны точки, координаты которых являются корнями полиномов Чебышева второго рода. При вычислении матричных элементов особенность ядер интегрируется в явном виде. .

Расчеты проводились для различных параметров к(Х , ~ , где к - волновое число, (X , 6 - линейные размеры отверстия, в диапазоне по к си от 0,5 до 5. В качестве первичного возбуждения рассматривалась как произвольно падающая плоская волна линейной поляризации, так и волна, идущая от точечного источника - электрического или магнитного элементарных диполей.

На рисунках представлены распределения модуля и фазы тангенциальных составляющих вектора электрической напряженности на отверстии, а также диаграммы направленности дифрагированного поля в дальней зоне. Из представленных численных результатов видно, что характер поведения тангенциальных компонент вектора Е на ребре соответствует априорной информации.

Далее в этой же главе предлагается итерационный процесс, являющейся некоторой модификацией метода Зейделя £б4~] и позволяющий строить решения при большом числе точек разбиения, не обращая при этом полную матрицу системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится краевая задача дифракции [б5] . Исследуется его сходимость при рассмотрении задачи дифракции на щели в экране в случае Н-поляризации, обосновывается его применение для задач дифракции на отверстиях.

Третья глава посвящена описанию алгоритма численного решения задачи об электромагнитной связи регулярных прямоугольных произвольно ориентированных волноводов через отверстия в общих боковых стенках [бб]. Задача существенно векторная трехмерная. Ключевым моментом является создание эффективного алгоритма вычисления значений компонент тензора Грина, в основе которого лежит следующее представление функций Грина на боковой стенке [67] : (V, V -Гл Т * & (М>Р) * & (н> где - диагональная компонента тензора Грина,

- функция, не имеющая особенности при совпадении аргументов, функция Вы, представлена в виде разложения по собственным функциям поперечного сечения волновода, - расстояние между точками ^ и Р , Оси^ £ - система координат в волноводе, выбранная так, что ось Оя направлена вдоль оси волновода. Получен конкретный вид функций , исследована сходимость рядов, определяющих С)о(

Предложенное представление функций Грина используется при сведении полученных интегральных уравнений к устойчивой системе линейных алгебраических уравнений на основе метода саморегуляризации. Численный алгоритм решения задачи об электромагнитной о. связи двух прямоугольных волноводов через прямоугольное отверстие реализован в виде комплекса программ, предусматривающих произвольную ориентацию отверстия в плоскости общей боковой стенки, произвольную величину угла между осями волноводов и различные значения всех линейных параметров.

Приводятся результаты расчета задачи о двух прямоугольных волноводах - одномодовом и многомодовом, связанных через прямоугольное отверстие. Исследуется распределение модуля тангенциальных составляющих вектора электрической напряженности на отверстии, вычисляются амплитуды нормальных распространяющихся волно-водных волн в обоих волноводах при различных возбуждениях. Дается сравнение полученных численных результатов с качественным описанием процессов, происходящих в системе. Исследуется зависимость амплитуд нормальных распространяющихся волн от линейных размеров отверстия и расположения его в плоскости общей боковой стенки.

Полученные численные результаты решения как задачи об электромагнитной связи двух волноводов, так и задачи дифракции на отверстии в экране говорят о правильности предложенного численного алгоритма.

Основные результаты диссертационной работы сформулированы в заключении. По материалам диссертации опубликовано пять статей [бЗ, 65 - 68] . Программа численного решения задачи об электромагнитной связи волноводов сдана в Государственный фонд алгоритмов и программ. Ее описание приведено в приложении.

В заключение приношу глубокую благодарность моему научному руководителю - профессору СВЕШНИКОВУ Алексею Георгиевичу, за предоставление темы диссертационной работы, обсуждение результатов и сделанные ценные замечания. Также выражаю искреннюю признательность старшему научному сотруднику кандидату физ.-мат. наук РЕПИНУ Владимиру Михайловичу за постоянное внимание к работе и обсуждение результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем следующие выводы:

1. В настоящей диссертационной работе предложен и разработан алгоритм численного решения задач об электромагнитной связи объемов через отверстия конечных размеров в общих боковых стенках, учитывающий априорную информацию о гладкости решения и его поведении вблизи ребра. Постановка задачи трехмерная векторная. Краевая задача для уравнений Максвелла с граничными условиями первого рода для тангенциальных составляющих вектора электрической напряженности на идеально проводящих поверхностях, с условиями непрерывности тангенциальных компонент полей Е и Й на отверстиях связи, условием излучения для бесконечных областей и условиями на ребрах сведена к системе векторных двумерных интегро-дифференциальных уравнений относительно тангенциальных составляющих вектора электрической напряженности на отверстиях. Для основной системы интегральных уравнений первого рода со слабо полярными ядрами, полученной после обращения двумерного дифференциального оператора второго порядка, построен алгоритм численного решения на основе метода саморегуляризации и коллокации.

2. Реализован алгоритм численного решения задачи дифракции плоской электромагнитной волны и волны, идущей от точечного источника, на прямоугольном отверстии в экране. Получены численные результаты в широком диапазоне параметров: по от

0,5 до 5 и для различных значений , где К - волновое число, (X и ё линейные размеры отверстия. Представлены распределения модуля и аргумента тангенциальных составляющих

- но вектора электрической напряженности на отверстии для случая нормального и скользящего падения плоской волны Нои -поляризации и для возбуждающего поля, идущего от точечных электрического и магнитного диполей. Характер поведения модуля Ег вблизи ребер отвечает априорной информации. Расчитаны диаграммы направленности дифрагированного поля в дальней зоне.

3. Дяя больших размеров отверстий связи предложен итерационный процесс, являющийся модификацией Метода Зе:йделя и позволяющий строить решения, не обращая цри этом полную матрицу системы,.линейных алгебраических уравнений. Обоснование итерационного процесса проведено для скалярной задачи дифракции электромагнитной волны на щели в экране. Результаты численного решения указанной задачи согласуются с имеющимися асимптотическими представлениями.

4. Рассмотрена задача об электромагнитной связи прямоугольных волноводов через отверстия в общих боковых стенках. Построен алгоритм численного решения данной задачи на основе метода саморегуляризации и коллокации. Получено новое гредставление функций Грина прямоугольного волновода на боковой стенке, выделяющее следующим образом особенность при совпадении аргументов:

4 М|7 ъ («>+ & Гн'р) где - диагональная компонента тензора Грина прямоугольного волновода, - функции, не имеющие особенности при совпадении аргументов, ОсС - ряд по собственным функциям поперечного сечения волновода, ^ - расстояние между точками М и Р . Выведен конкретный вид функций Ъ*- , исследована сходимость рядов для .

5. Алгоритм численного решения задачи о связи двух прямоугольных бесконечных волноводов через прямоугольное отверстие в общей боковой стенке реализован на ЭВМ в виде комплекса программ. Представлены результаты численного решения задачи о связи одномодового и многомодового волноводов с линейными размерами: 0,6/1 , ¿/А и 01 = 0,8А , $1-ЦУ-А , где Л - длина волны электромагнитного поля, через прямоугольное отверстие различных размеров и произвольной ориентации в плоскости боковой стенки. Оси волноводов могут быть расположены под любым утлом друг к другу. Исследуется расзтределение модуля и аргумента тангенциальных составляющих вектора электрической напряженности на отверстии, а также зависимость амплитуд нормальных распространяющихся волн в каждом из волноводов - поля в дальней зоне - от линейных размеров и других входных параметров системы.

Полученные численные результаты говорят об эффективности предложенного численного алгоритма решения задачи об электромагнитной связи объемов через отверстие, а проведенные контрольные расчеты свидетельствуют о численной сходимости метода. Предложенный алгоритм решения может быть использован для создания оптимизирующих алгоритмов и решения соответствующих обратных задач.

1. Тихонов А.H., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики излучающих систем. - В кн.: Проблемы вычислительной математики. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1980, с. 82 - 102.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974, - 222 с.

3. Васильев E.H., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Численные методы решения задач дифракции на локальных неоднородностях. -В кн. : Вычислительные методы и программирование. Вып. ХНУ. -М.: изд-во Моск. ун-та, 1975, с. 3 23.

4. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. - 428 с.

5. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. -М.: Советское радио, 1966. 431 с.

6. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана Гильберта в теории дифракции и распространение электромагнитных волн. - Харьков: изд-во Харьк. ун-та, 1971. - 400 с.

7. Фельд Я.Н. Основы теории щелевых антенн. М.: Советское радио, 1948. - 158 с.

8. Каценеленбаум Б.З. Дифракция на большом отверстии в широком волноводе. Докл. АН СССР, 1962, т. 144, № 2, с. 322 -324.

9. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Советское радио, 1962. - 240 с.10. ¡¿а&ьИ'вА' Saoule- 1 v WlvtfagL, fi.1.auv. IEEE Яол1л. АнЯмимц oaupL Рго^.; im, vot-&9 A/z,f>. m-w.

10. Нефедов E.H., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах. М.: Наука, 1972. - с.

11. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. Метод расчета распределения тока в системе линейных вибраторов и диаграммы наггрвленности этой системы. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. X. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1968, с. 3-8.

12. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма первого рода. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. X. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1968, с. 49-54.

13. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Алгоритмы решения задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей полосе. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. XIII. -М.: изд-во Моск. ун-та, 1969, с. 158 - 165.

14. Марин Хосе, Репин В.М. Дифракция электромагнитных волн на нескольких щелях. Плоский случай. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. XIII. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1969, с. 67 - 92.

15. Репин В.М. Дифракция электромагнитных волн на системе щелей. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. ОТ. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1971, с. 35 - 47.

16. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982. - 272 с.

17. Шестопалов В.П., Литвиненко JI.H., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Харьков: изд-во Харьк.ун-та, 1973. 287 с.

18. Амитей Н., Талиндо В., Ву Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. М.: Мир, 1974. - 456 с.

19. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы в теории волноводов. М.: Мир, 1974. - 328 с.

20. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: ИЛ, 1954. - 256 с.

21. Коган Н.Л., Машковцев Б.М., Цибизов К.Н. Сложные волно-водные системы. JE.:. Судпромгиз, 1963. - 356 с.

22. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. Журн. тех. физ., ч. I, 1947, Т. 17, № II, с. 1283 -1296, ч. II, 1947, т. 17, № 12, с. 1431 - 1440, ч. III, 1948, т. 18, № 7, с. 971 - 985.

23. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ волн. Яурн. тех. физ., 1948, т. 18, № 7, с. 959 - 970.

24. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета нерегулярных волноводов. Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1963, т. 3,1. Ш I, с. 170 180.

25. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета распространения электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах. -Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1963, т. 3, № 2, с. 314 326.

26. Свешников А.Г. Неполный метод Галеркина. Докл. АН СССР, 1977, т. 236, Я 5, с. 1076 - 1079.

27. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Метод Галеркина в задачах о рассеянии волн в полых системах. Вестник МГУ, сер. физ., астроном., 1968, $ 5, с. 69 - 74.

28. Ильинский A.C., Косич Н.Б. К расчету волноводного трансформатора. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. ХУ1. М.: изд- во Моск. ун-та, 1971, с. 3 - II.

29. Гринев АЛО., Ильинский A.C., Котов Ю.В., Чепурных И.П. Характеристики излучения периодической структуры из волноводов произвольного поперечного сечения. Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, }Ь 7, с. 1291 - 1300.

30. Михалевский B.C., Переяславич М.М., Синельников 10. М., Синявский Г.П. Т образное сочленение прямоугольных волноводов. - Радиотехника и электроника, 1982, т.27, № 8, с. 1478 - 1485.

31. Быков A.A., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Прямые методы расчета нерегулярных волноводов с неоднородным диэлектрическим заполнением. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. ХХХУТ. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1982, с. 52 - 84.

32. Ильинский A.C., Свешников А.Г. Прямые методы исследования волноводных систем. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. XIII. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1969, с. 3 -26.

33. Никольский В.В. Вариационные методы для задач дифракции. Изв. вузов СССР, сер. Радиофизика, 1977, т. 20, $ I,с. 3 44.

34. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. - 460 с.

35. Никольский В.В. Проекционный метод для незамкнутых электродинамических систем. Радиотехника и электроника, 1971, т. 16, $ 8, с. 1342 - 1351.

36. Боголюбов А.Н., Свешников А.Г. Применение итерационного метода к исследованию плоских волноводов с неоднородным заполнением. Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1974, т. 14,1. Л 4, с. 947 954.

37. Мей К., Морган М., Шу Кон-Чкан. Конечные методы вэлектромагнитном рассеянии. В кн.: Численные методы теории дифракции. - М.: Мир, 1982, с. 143 - 171.

38. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттры. М.: Мир, 1977. - 485 с.

39. Миллер Е., Поджио А. Применение метода моментов в электромагнитных задачах. В кн.: Численные методы теории дифракции. - М.: Мир, 1982, с. 9 - 46.

40. Тихонов A.I-I., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736.

41. Купрадзе В.Д. 0 приближенном решении задач математической физики. Успехи мат. наук, 1967, т.22, №2, с. 59 - 107.

42. Кравцов В.В. Интегральные уравнения в задачах дифракции. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. У. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1966, с. 260 - 291.

43. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Рассеяние электромагнитных волн в полых направляющих системах. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. XIII. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1969, с. 34 - 40.

44. Ильинский A.C., Микуева Т.Н. Дифракция на цилиндре в полом волноводе. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. ХУ1. М.: изд-во Моск. ун-та, 1971, с. 35 - 47.

45. Ильинский A.C., Галшпникова Т.Н. Исследование задач дифракции в волноводах методом интегральных уравнений Фред-гольма. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. XX. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1973, с. 22 - 37.

46. Репин В.М. Численный метод решения задачи об электромагнитной связи объемов через отверстия. Журн. вычисл. мат. и киберн., 1971, т. II, А1? 1:, с. 152 - 163.

47. Репин В.М. Дифракция электромагнитных волн на прямоугольном отверстии в экране. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. ХХ1У. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1975, с. 50 - 68.

48. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. Дифракция на щели в идеально проводящем плоском экране, лежащем на границе раздела сред. В кн.: Вычислительные методы и програмирование. Вып. ХОТИ. М.: изд-во Моск. ун-та, 1978, с. 70 - 89.

49. Воронцов A.A., Ильинский A.C. Методы интегральных уравнений при исследовании математических моделей выпуклых антенных решеток. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. ХХХУ1. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1982, с. 95 - 126.

50. Харрингтон Р., Мауц Д. Численные методы расчета прохождения волн через апертуры. В кн.: Численные методы теории дифракции. - М.: Мир, 1982, с. 79 - 112.53. ¿ССа+ир С. Н.} СМп^

51. Z-telcÜ СоирйЛ U4sth сь ймнЛ^ -uxUL ¿^ S^ot

52. Лрс^Л^и, -iü^U^ /¿¿¿ontu-U Cöh^UUOH^ . IEEE p. 66^- Ш.

53. Свешников А.Г., Репин В.М. Численное решение задачиоб электромагнитной связи прямоугольных волноводов через отверстия. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. XX. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1973, с. 12 - 21.

54. Ильинский А.С., Репин В.М. О методе интегрального уравнения в задаче дифракции на периодических структурах. В кн.: Вычислительные методы и программирование. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1975, с. 249 - 262.

55. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982. - 184 с.

56. Воронин В.В., Цецохо В.А. Интерполяционный метод решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью. Докл. АН СССР, 1974, т.216, № 6, с. 1209 - 1211.

57. Воронин В.В., Цецохо В.А. Численное решение интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации. Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1981, т.21, № I, с. 40 - 53.

58. Цецохо В.А. Некоторые вопросы обоснования численных методов решения интегральных уравнений первого рода со слабыми особенностями. В кн.: Актуальные проблемы вычислительной математики. - Новосибирск, Наука, 1983, с. 137 - 1.42.

59. Хапаев М.М. 0 численном обращении интегральных операторов первого рода типа потенциала простого слоя. Дифференц. уравн., 1981, т.17, с. 1328 - 1339.

60. Хапаев М.М. Сравнение методов численного решения интегральных уравнений со слабой особенностью. Вестник МГУ, сер. Вычисл. мат. и киберн., 1983, $ I, с. 3-7.

61. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: ИЛ, 1960. - 886 с.

62. Мананкова Г.И., Репин В.М. 0 задаче дифракции произвольной электромагнитной волны на отверстии в экране. М., 1983. - 9 с. - Рукопись представлена Москов. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 25 мая 1983, гё 2785-83.

63. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.- 632 с.

64. Репин В.М., Мананкова Г.й. Итерационный метод численного решения задачи дифракции электромагнитных волн на отверстии в экране. В кн.: Методы вычислительной электродинамики.- М.: из-до Моск. ун-та, 1981, с. 55 64.

65. Свешников А.Г., Репин В.М., Мананкова Г.И. Численный метод решения задачи об электромагнитной связи двух прямоугольных волноводов через прямоугольное отверстие в боковой стенке.- В печати.

66. Мананкова Г.И. О представлении функции Грина прямоугольного волновода на боковой стенке. М., 1983. - 10 с. -Рукопись представлена Москов. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 24 мая 1983, № 2786-83.

67. Мананкова Г.И. Программа численного решения задачи об электромагнитной связи прямоугольных волноводов через прямоугольное отверстие. В печати.

68. Свешников А.Г. Принцип излучения. Докл. АН СССР, 1950, т. 73, № 5, с. 917- 920.

69. Справочник по специальным функциям./ Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.