Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла в экранированных слоях, связанных через отверстие тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РОДИОНОВА Ирина Анатольевна

2 7 АВГ 2009

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ЭКРАНИРОВАННЫХ СЛОЯХ, СВЯЗАННЫХ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 2009

003475862

Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Смирнов Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук, профессор

Ошахин Александр Борисович',

доктор физико-математических наук, доцент Карчевский Евгений Михайлович

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова, г. Москва

Защита диссертации состоится 17 сентября 2009 г. в 14 часов 30 минут на заседании ди ссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан 16 августа 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, //

доцент Е- К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена аналитическому и численному исследованию векторной задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие. Это задача дифракции электромагнитного поля на ограниченном отверстии в идеально проводящей бесконечно тонкой плоскости, расположенной между двух идеально проводящих бесконечно тонких плоскостей, причем электродинамические параметры сред между плоскостями могут быть различны.

Актуальность темы

Изучение задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, является актуальным в связи с тем, что она находит широкое применение в электрсдинамике.

Кроме того, она представляет и самостоятельный математический интерес, поскольку общие методы исследования нелинейных задач на собственные значения в неограниченных областях недостаточно разработаны. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен и с теоретической, и с практической точек зрения.

Разработка численных методов для решения задач этого класса также является актуальной. Результаты аналитического исследования могут существенно помочь при разработке численных методов.

Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (P. Werner, Ю. Г. Смирнов, А. С. Ильинский, Ю. В. Шестопалов).

Цели н задачи исследования

Целями исследования являются:

- исследование векторной краевой задачи для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие;

- исследование свойств оператор-функции задачи и доказательство теоремы единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение;

- исследование спектра задачи в случае сред без поглощения;

- сведение краевых задач дифракции для уравнений Гельмгольца к интегродифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям; доказательство теорем о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева; доказательство теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнениям;

- обоснование и реализация численного метода Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике.

Научная новизна

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- векторная краевая задача для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, сведена к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца;

- доказана теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение;

- установлена голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказана дискретность спектра задачи в случае сред без поглощения;

- краевые задачи дифракции для уравнений Гельмгольца сведены к интегродифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям; доказаны теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева, доказаны теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнениям;

- применен, обоснован и реализован численный метод Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике; представлены результаты численных расчетов.

Практическая значимость

Полученные в диссертации результаты о свойствах и распределении спектра представляют интерес при моделировании устройств в электронике и радиотехнике.

Большое практическое значение в представленной работе имеет сведение краевых задач к интегральному и интегродифференциальному уравнениям на отверстии, которые могут быть эффективно решены численными методами.

Реализация и внедрение полученных результатов

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ПГУ: РФФИ 06-07-89063а.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

- XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006);

- X Международной научно-методической конференции «Университетское образование» (Пенза, 2006);

- научном семинаре кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета (2009);

- научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (2009).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата, одна статья в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 91 наименование. Работа изложена на 100 страницах машинописного текста, содержит 7 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты работы.

Первая глав» посвящена постановке задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие, и сведению векторной задачи для системы уравнений Максвелла к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

Рассмотрим задачу дифракции стороннего монохроматического электромагнитного поля Е° =(£{',£",£3°), Н" =(//", Яз') в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Пусть и* ={х=(д-,,х2,дгз):0<х3 <1]и 17' = [х = (лг,,л-2,лг3):-1 <л:3<О} — слои, сформированные тремя идеально проводящими и бесконечно тонкими параллельными плоскостями; отверстие Осй2 = [х3 = 0}сК3 -ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г = Ш, состоящей из конечного числа простых дуг класса С°, сходящихся под углами, отличными от нулевого (рис. 1).

Будем решать задачу дифракции в области (У* =Ь'Т

Предполагается, что падающее поле Е°,Н° является решением системы уравнений Максвелла

го1Н" = -/ш£1Е°, го1Е0=/юц,Н0, хе11*

в слое и* без отверстия с краевым условием

И = £°| =0

и создается источниками, расположенными вне поэтому

Поле Е°,Н° в слое 11~ тождественно равно нулю. Будем считать, что среды в £/+ и 1Г имеют постоянные электромагнитные параметры £ - с,, = и е=б2, ц == |1, соответственно, относительно которых предполагаем, что 1т г, > 0, 11е£;>0, 1т > О,

Ме и; >0, к] = , 1т к] > 0 {к] ф о), где о > 0 - круговая частота.

Задача дифракции на отверстии О, соединяющем два параллельных слоя и* и 1/~, состоит в определении рассеянного электром:1гнитного поля Е,Н:

Е,НеС2(^)Пс(сГ\Г5)Пс(сГ\Г5), (1.1)

5>() 5>С

где 11 = и*\^и~, Г5 := :|.г-_>>|<5,}>е Г = сП}, удовлетворяющего однородным уравнениям Максвелла

гоШ = -/<эеЕ, 1чЛЕ = /соцН, хе11, (1.2)

где £=8,, ц = в и* и е = е,, ц = |Д2 в 1/~; краевым условиям

¿4=0 (1.3)

для касательных к поверхности идеального проводника X составляющих электрического поля, где

10 = {х:х3=0,л;еЯ2\П}, 1± == {дг:х3 = ±1}; условиям сопряжения на границе раздела сред

К]й=0, (1.4)

где [/]п:= Нш/-Нт/, х' = (х,,д:2)еП; условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме

Е,Н еЦ-0С(и)

(1.6)

и условиям на бесконечности при х е II (при х<=1/+ аналогично):

-если 1тв2>0 или 1шц2 >0, то для компонент и = //,,Я2 или Е} и У = £,,£2 ИЛИ Я,

и, V = о(р4'2р := ¡.\-'| -» со

(1.7)

равномерно по всем направлениям х'/р и по дг3;

- если 1гп8, = 0, 1т= 0, 8, > 0 и (I, > 0,то требуем, чтобы коэффициенты Фурье

о о

ип(х') = 2^и\х)соъпт}с1х3, у„(дг') = 2^[х)%т%пх3(к}, п> 0 (1.8)

-I -1

для компонент и = Я,,Я2 или Е3 и V = £,,£, или Я3 удовлетворяли усло-

виям

дМ \~1К

л, л

о( р"*), ^ =0(р^),р-> ос

при кп := к' - тс и" >0 (кп > 0, если к > пп и кп < 0, если к < -пп),

при кЛ = 0 и

)—>оэ

" = О(1),р-Ю0

(1.9)

(1.10)

(1.11)

при 1т&„>0 равномерно по всем направлениям х'/р и по п, Е = (£,,£2,£3)иН=(Я„Я2,Я3).

Определение 1.1. Решение задачи (1.1)—(1-11) будем называть квазиклассическим решением задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Для полного поля имеем ЕП01Н =Е" + Е, Нпол" = Н° + Н в и'.

Компоненты полей f = Нх,Н2,Н3,£,,£,,Еъ удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца с параметром Щ:

Д/Ч*2/ = 0, (1.12)

где х е и" при у = 1, х е И~ при у = 2.

При к11 Ф 0 для всех п и у, где кгп1 - <я'z¡\).J - тСпг, векторная задача может быть сведена к двум скалярным. Компоненты Н],Н1,Е1,Е1 выражаются через коэффициенты Фурье компонент Ь\, £3.

Из уравнений Максвелла (1.2) получаем, что для и = Е} Аи + к]и = 0, ХЕ{/+(у = 1), :сеи~у = 2),

си

СХ з

си

ох

= 0,

ди

ох,

= 0,

usc2{u)f)cHu+\r&)f)cHu-\r\

е- А * ' К- I» '

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16) (1.17)

г^НЦи)

со сформулированными выше условиями на бесконечности (1.7)-(1.11). Здесь Я,'ос (t/) - пространство Соболева.

Определение 1.2. Решение задачи (1.1 ЗУ( 1.17) будем называть квазиклассическим решением задачи дифракции для компоненты и = Е, в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Аналогично для г' = Я3 имеем краевую задачу:

Av + k*v = 0, xe£T(y = l), xeU'(j = 2), (1.18)

= 0, (1.19)

v = v

С» IA"3=±1

iHn=°.

"ev" "зяЛ

дхъ n 5xJ

(1.20)

с^Пфпг^ПфпгД

5^0 * 5>0 4 '

5>0

(1.21)

(1.22)

со сформулированными выше условиями на бесконечности (1.7)-(Ы 1).

Определение 1.3. Решение задачи (1.18)—(1.22) будем называть квазиклассическим решением задачи дифракции для компоненты V = Я3 в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Теорема 1.1. Пусть кУ ^ 0, где п > О, у = 1,2. Если и и V являются квазиклассическими решениями краевых задач (1.13)-(1.17) и (1.18)—(1.22), то Е и Н являются квазиклассическим решением задачи (1.1)-(1.11), компоненты полей выражаются через коэффициенты Фурье функций и и V. Обратно, если Е и Н являются квазиклассическим решением задачи (1.1)—(1.11), то и и V являются квазиклассическими решениями краевых задач (1.13)—(1.17) и (1.18)—(1.22).

Вторая глава посвящена изучению соответствующей однородной задачи, поскольку она может иметь нетривиальные решения при некоторых со, что приведет к неоднозначной разрешимости исходной задачи дифракции.

Теорема 2.1. Однородная краевая задача при 1теу>0, Яе > 0,

1тц;>0, Яе >0, со>0 и дополнительном условии 1т (е, + е2 + ц, + (х2) :> 0 имеет только тривиальное решение.

Теорема 2.2. Однородная краевая скалярная задача для и = Е3 при 1т е, >0, Ие е, > 0. 1т ¡ду > 0, Яе ц, >0, со > 0 и дополнительном условии 1т (е, + б2 + (л, + ц2) > 0 имеет только тривиальное решение.

Теорема 2.3. Однородная краевая скалярная задача для V = Нг при 1т е/ > 0, Яе е 1> 0. 1ш > 0, Яе > 0, со > 0 и дополнительном условии 1т (е1+е2+^1+1л2)>0 имеет только тривиальное решение.

Функция Грина 0,(х,у) 1-го рода для уравнения Гельмгольца (1.12), где 1тк>0 и кФ 0, может быть представлена в одной из следующих форм:

/ ^

(2.1)

(2.2)

для х'фу, где У :=(хР.т2) и /:=(>'„у2), или

'cxpjik\х-у-2je,|) exp(ik\х-у + 2je,[)' \x-y-2je3\ |*-/+2/<,>з|

где e¡ =(0,0,1), >■* (г)-функция Ханкели нулевого по-

рядка первого рода. Формулы (2.1) и (2.2) имеют смысл при Imi > 0 и к Ф яп, п е Z \ {О]. Отметим, что функция Грина определена при к = 0.

Выделим особенность функции при |х->'|—»0 и

к -> тш ( п е Z\ {О}), пользуясь представлением (2.2). Имеем

G, (х,у)~ —|-1 - — sin кхз sin ку3 ln(l - еы ) + Л, (х, у; к),

где A¡(x,y;k) и производные по х и у зависят непрерывно от х,у и к в области Sx{A::ImÁ->0}, S:=U'xU'\{(x,x):xe8U~).

Лемма2.1. Пусть кй Фям, neZ и 1ш/0=0. Тогда функция Грина G,(*,_}') = (/,(.*,_)>; А) при х' Фу' допускает аналитическое продолжение в область С и В6 (к1}), где В6 (£0) := : \к - к01 < <>} для некоторого 5 > 0.

Лемма 2.2. Функция Грина G, (*,}') = G, (х,>>; к) анапитична по к на множестве С* \ {к:к = ли, пеZj.

Лемма 2.3. Функция Грина 1 -го рода G, допускает представление

, ¿t'jt-vl , Ф-у I . ik\x-/*2e3\

^ / \ le'1 1 е • ■ 1 é 1 1 „„, ч 4л|х-у| 4л И 471 Ly-y +2e3l

где / =(y,,y2,~y3) и v;!(x,y)eC' {Üy,Ü).

Для функции Грина G2{x,y) 2-го рода для уравнения Гельмгольца (1.12), где 1т А > 0 и кФ 0, верны следующие представления:

G2 (*'>') = з cosnjy3H^{kj |х'-У) (2.3)

2 J=i) I + Ogj

для х'Ф у', где х' := и у' := (yvy2), или

1

( ¡к\х-\'~ 2/е,!

е ' е

г + т

(2.4)

\х-у-2]е3\ | х-у +2_/е-|

где е, =(0,0,1). Здесь //^ (г) - функция Ханкеля нулевого порядка первого рода и 8/( — символ Кронекера. Отметим, что функция Грина не определена при ¿ = 0. Формулы (2.3) и (2.4) имеют смысл при 1тА >0 и кФт,п^Х.

Лемма2.4. Пусть ие7 и 1шА0 = 0. Тогда функция Грина

С, (*,>') = С2 А) при дг'^/ допускает аналитическое продолжение в область С* иВ&(к0), где В6(А0):= {k:\k-к(1\<§} для некоторого 8>0.

Лемма 2.5. Функция Грина С,(х,у) = С2 (х,у\к) аналитична по к на множестве С+ \ {А: к = л/г, п е 2}.

Лемма 2.6 Функция Грина 2-го рода 6"2 допускает представление

^ с \ 1 е 1 е ' ■ 1 е 1 1 ч

С,(х,у) = —1-г + —т-л + —,-;-г + К V),

Л '' 4-п\х-у\ 4п\х-у \ 4л|х-/+2е,| 2 * 1

где / = (у1,у2,-у>) и У^(х,у)еС-(0хи).

Введем пространство распределений Соболева. Положим для любого

¿еЯ

Обозначим через Л](иу.=-{&:Е^)(о2 = п2п2,гге2}, } = 1,2 множество значений а, при которых функции Грина С/(х,у), С2(г,з') не определены, Л({/) = Л,({/) иЛ2 (£/). Будем рассматривать краевые задачи на собственные значения относительно спектрального параметра ю в области 7Г\Л(£/), 7Г={ю:ю>0}.

Рассмотрим первую скалярную задачу. Представим решение в виде

Л 3 «5/? \ ' л

гдел;е{/+при у' = 1,л;еV при у = 2.

Обозначим й!, = С2 при хеП\ С\ = С2 при хе£/~. Задача сводится к интегральному уравнению

А(ш)ц/:= + =0, хеП,

п

Представим Л (со) в следующем виде:

А (со) = 8,(2, (со) - ^ (и) + В, (ш)) + £2 (Ь2 (со) - Р2 (со) + В2 (со)), где 1;(со) = 1(Ау), Р/(со) = р(^), В1(е>)-В{к)} - интегральные операторы:

п

Примем обозначения 1(со) = е1^(со)+8212(ю), />(ю) = 8,/^(со) + +е2Д(со), 3(ш) = Б1В1(со)+е252(т).

Теорема 2.4. ¿(со):Я~1/2(п)-»Я1/2(0) является фредгольмовым оператором. В(ю):Я~1/2(<Г2)—>Я;2(£2) -компактный оператор для всех шеЛ+. Оператор ^(ш):Я~1/2(0)-»Я1,/2(0) фредгольмов для всех юе¿?_ таких, что со й Л ([/).

Теорема2.5. Пусть Яе eJ >0, 1ш е] >0, 11е >0, 1т ц; >0. Спектр оператор-функции Л (с») при теЯ*\Л(и) представляет собой дискретное множество изолированных характеристических чисел конечной алгебраической кратности.

Рассмотрим вторую скалярную задачу.

Представим решение в виде

у+1 1 , дС>(х,у')

ФН-Г'-Ч

¿5 Фз

цу(у')ф>' +

где хеи* при у = 1, х е и при _/ = 2.

Обозначим б)1 = С1 при .т е и*, С,2 = С, при хе11~. Задача сводится к интегродифференциальному уравнению

1]=0П у3~о

Представим ¿'(со) в следующем виде: Я(а>) = ! (Я,(и) - а (ш) + С, (ю)) + (#2(о)- а (©) + с2 (©)), где Я;(со) = Я^)., <2У(«) = С,(со) = с(к])-интегральные опера-

торы:

Н(к) ф =

2я дх,

к

.1,

К-у\

и ^Р

Г!

Примем обозначения #(со) = (со) + \х~2хНг (со) , £?(со) = (ю) + (со), С(со) = ц-'С, (со) + ц;'С2 (ш).

Теорема 2.6. Я(со): Я12(Г2) —> Я"12(О) является фредгольмовым оператором. С(ю):Я1'2(0)->Я~1/2(0)-компактный оператор для всех

ше/?+. Оператор 0(ю):Я|/2(С2)-»Я 1,2 (□) соредгольмов для всех сое^ таких, что со £ Л ({/).

Теорема 2.7. Пусть Яе е( >0, 1т еу> 0, Яе > 0, 1т > 0. Спекгр оператор-функции £>(со) при со е /Г \ Л((/) представляет собой дискретное множество изолированных характеристических чисел конечной алгебраической кратности.

В третьей главе рассматривается задача дифракции на отверстии. Осуществляется сведение краевых задач дифракции к интегральному или интегродифференциальному уравнению и исследуется вопрос разрешимости этих уравнений.

Рассмотрим скалярную задачу (1.13)—(1 -1*7) для и = Е3. Она может быть сведена к интегральному уравнению на отверстии О:

Л(са)ч»:= {(Е1С'(У,У) + б2С2(Х',У))Н,(>')ЙЬ=/(У), х'еО, (3.1)

где

ск-

х':=(х!,х2) и У^(у1гуг), /{х')еС°(п).

(3.2)

(3.3)

Рассмотрим скалярную задачу (1.18) — (1.22) для у = Я3. Получаем гиперсингулярное интегродифференциапьное уравнение на отверстии О:

£>(а>)ф :=

ох.

(ц-'с; (х,у) + К;'С12(х,>))ф(У)ф' = н(г'),х' е П. (3.4)

,=0 0^3 1,=о

ф(/) = Иу(/)(/еО), фея1/2(я), и'(х') =

ох.

(3-5)

Пусть а(А) - спектр оператор-функции А(<л):Н 1/2 (о) -> Н1'2 (О) и а(В) - спектр оператор-функции О(со): Я1'2 (о) -» Я"1'2 (Г.!).

Теорема 3.1. Пусть II е £;> 0, 1т £;> 0. Яе ц; > 0, 1тцу. >0. Уравнение (3.1) однозначно разрешимо при любсй правой части /еЯ|/2(0) при (оеП (Л (У) и а (А)).

Теорема 3.2. Пусть Яе £, > 0, 1т >0, Яе ц , > 0, 1шц;>0. Уравнение (3.4) однозначно разрешимо при любой правой части н е Я"12 (О) при со е /Г \ (Л(С/) и а(О)).

В случае, когда одна из сред имеет поглощение, можно усилить результат предыдущих теорем.

Теорема 3.3. Пусть Яе еу >0, 1шеу>0, Яе и; > 0, 1т и, > 0 и выполнено дополнительное условие 1т (е, + + и, + [Л,) > 0. Тогда уравнение (3.1) однозначно разрешимо при любой правой части /бЯ1/2(0) при соеЛ+\Л(£/).

Теорема3.4. Пусть Яе >0, 1т в( > 0, Яе > 0, 1т > 0 и выполнено дополнительное условие 1т (е, +е2 +¡.1, + |д2)>0. Тогда уравнение (3.4) однозначно разрешимо при любой правой части и'еЯ~1/2(П) при юеЛ* \Л(С/).

Рассмотрим представление решения и = Е3 задачи (1.13)—(1.17) с помощью потенциала

и{х) = {-\)> \а>2{х,у')ф')с1у", (3.6)

п

где х е 1/+ при у = 1, х е V при у = 2; у е Я"1''2 - решение уравнения (3.1).

дЕг 8х,

~дЕ31

п дх3

= 0, х'еП,

а

где запись [ • ]п означает разность предельных значений функции при х3 —> +0 и х3 -0 в точках О.

Теорема 3.5. Если \|/еЯ~'/2(о) является решением уравнения (3.1) с правой частью (3.2)-(3.3), то формула (3.6) дает квазиклассическое решение задачи (1.13)—(1.17). Обратно, если и - квазиклассическое решение задЕ

дачи (1.13)—(1.17), то уравнение (3.1) имеет решение = —

дх з

Рассмотрим представление решения у = Я3 задачи (1.18)—(1.22) с помощью потенциала

где хе11+ при 7 = 1, хе1/~ при у = 2; фе Я"2 (о) - решение уравнения (3.4).

С учетом знака в формуле (3.7) находим

где запись [ • ]д означает разность предельных значений функции при х:> +0 и ,г3 -» -0 в точках О.

Теорема 3.6. Если феЯ'/2(С2) является решением уравнения (3.4)

с правой частью (3.5), то формула (3.7) дает КЕазиклассическое решение задачи (1.18)—(1-22). Обратно, если у - квазиклассическое решение задачи (1.18)—(1.22), то уравнение (3.4) имеет решение ф(У) = (|лЯ3)|п-

В четвертой главе описывается численный алгоритм решения интегрального уравнения со слабой особенностью (3.1).

Пусть югЛ(С/)(у = 1,2) и уравнение (3.1) А\\> = / имеет единственное решение, где А: Н'у2 (о) -» Н11 (£2) - интегральный оператор.

Будем проводить аппроксимации \\/ элементами ц>пеУп, где Уп с Н'т - п -мерное пространство. Методом Галеркика находим из системы уравнений

Каждый элемент матрицы получается путем вычисления четырехкратного интеграла

(3.7)

цЯ3|п = ф(0, [ця3|п = о, *'еа,

(4.1)

4 := ¡(г[С1(х',у')+г2С22(х',у'))<^(/)у1(х')с1з .

& .

п

Пусть П - прямоугольная область, □ = £(0,а)х(0,Ь)]. Построим в области О равномерную прямоугольную сетку:

пх. = {-т'!«,^ <X, <а1,Ь)А <хг<Ь!}, П„, =\у'\а,_1 <у,<а„Ьн <у2 <6;},г=1,п,7 ==1,ш

с шагом /г, = — по оси х, (у,) и шагом /?2 = — по оси х2 (у). п т

В качестве базисных функций г>(*') выбираем функции вида

V (х')= I1' 6СЛИ (42)

[о, иначе.

Будем рассматривать семейство V,- из N = пт функций V (х'), / = !,«, ] = \,т. Выбранные функции удовлетворяют условию аппроксимации в пространстве Н'т (п).

Теорема 4.1. Метод Галеркина (4.1) для уравнения (3.1) с выбором базисных функций (4.2) сходится.

Был произведен расчет решения у интегрального уравнения (3.1) с правой частью / == 1 и параметрами £, = 2, е2 = 8, А, = 3 / 2, к2 = 1 на квад-4л 4л

ратном отверстии х— для сеток размера 16x16, 32x32, 64x64. Результаты представлены в графическом виде. Уменьшение шага сетки приводит к более точному решению. Имеет место внутренняя сходимость метода. Все это позволяет применять выбранный метод Гаперкина для получения корректных численных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Векторная краевая задача для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, сведена к двум скалярным задачам для уравнения Гельм-гольца.

2. Доказана теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение.

3. Установлена голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказана дискретность спектра задачи в случае сред без поглощения.

4. Краевые задачи дифракции для уравнений Гельмгэльца сведены к интегродифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям. Доказаны теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева. Доказаны теоремы эквивалентности краевых задач интеграпьным уравнениям.

5. Применен, обоснован и реализован численный мегод Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике. Представлены результаты численных расчетов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Антонов, А. В. Разработка Web-оризнтированногс вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархичесм-х параллельных алгоритмов / А. В. Антонов, М. Ю. Медведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах : материалы седьмой Международной конференции-семинара. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2007. - С. 25-31.

2. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный метод для электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова Н Надежность и качество : труды Международного симпозиума - Пенза, 2006. -Т. 1.-С. 272-274.

3. Медведик, М. Ю. Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. -№ 1.-С. 87-99.

4. Родионова, И. А. Метод Галеркина для электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие / И. А. Родионова // Надежность и качество : труды Международного симпозиума. -Пенза, 2006. - Т. 1. - С. 279-280.

5. Родионова, И. А. О фредгольмовостн электромагнитной задачи о собственных колебаниях в экранированных слоях, связанных через отвер-

стие в экране / И. А. Родионова // Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (9-21 апреля 2006 г., г.Москва). -М.,2006.

6. Родионова, И. А. Проблемы вычисления двумерных интеграпов, содержащих слабую особенность / И. А. Родионова // Университетское образование : сборник статей X Международной научно-методической конференции. - Пенза, 2006. - С. 418-420.

7. Родионова, И. А. Фредгольмовость электромагнитной задачи о собственных колебаниях в экранированных слоях, связанных через отверстие в экране / И. А. Родионова // Надежность и качество : труды Международного симпозиума. - Пенза, 2005. - С. 150-152.

8. Родионова, И. А. О собственных волнах двухслойного волновода с отверстием / И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Труды международного юбилейного симпозиума АПНО (19-22 ноября 2003 г.). - Пенза, 2003. - Т. 1.

9. Родионова, И. А. О фредгольмовости электромагнитной задачи о собственных колебаниях в слоях, связанных через отверстие / И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2004. - № 5. - С. 39^18. - (Естественные науки).

10. Смирнов, Ю. Г. Сведение векторной электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие, к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца / Ю. Г. Смирнов, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 1. - С. 40-46.

РОДИОНОВА Ирина Анатольевна

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ЭКРАНИРОВАННЫХ СЛОЯХ, СВЯЗАННЫХ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ

Редактор Е. В. Денисова Технический редактор А. Г. Темникова

Подписано в печать 10.08.09. Формат 60x84Vi6. Усл. печ. л. 1,16. Заказ № 000128. Тираж 100.

Отпечатано в Информационно-издательском центре ПензГУ Пенза, Красная, 40, т.: 56-47-33

г

V>

Введение.

Глава 1. Сведение векторной задачи для системы уравнений Максвелла к скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

1.1. Постановка краевой задачи дифракции.

1.2. Сведение векторной задачи к двум скалярным для уравнения Гельмгольца.

Глава 2. Исследование спектральной задачи.

2.1. Однородная краевая задача дифракции. Теорема единственности для случая сред с поглощением.

2.2. Функция Грина для слоя 1 -го рода.

2.3. Функция Грина для слоя 2-го рода.

2.4. Теоремы о голоморфности и фредгольмовости интегральной оператор-функции. Теорема о дискретности спектра.

Глава 3. Задача дифракции на отверстии.

3.1. Сведение задач к интегральным уравнениям.

3.2. Теоремы о разрешимости интегральных уравнений.

3.3. Векторные потенциалы и представление решений.

Глава 4. Численный метод и результаты расчетов.

4.1. Метод Галеркина.

4.2. Сходимость метода Галеркина.

4.3. Реализация метода Галеркина.

4.4. Результаты расчетов.

Настоящая работа посвящена аналитическому и численному исследованию векторной задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие. Это - задача дифракции электромагнитного поля на ограниченном отверстии в идеально проводящей бесконечно тонкой плоскости, расположенной между двух идеально проводящих бесконечно тонких плоскостей, причем электродинамические параметры сред между плоскостями могут быть различны.

Наиболее естественный подход к решению этой задачи - сведение се к векторному интегродифференциальному уравнению на отверстии [65]. Задача дифракции электромагнитного поля на отверстии в плоском, идеально проводящем экране является «двойственной» к задаче дифракции на плоском ограниченном идеально проводящем экране и приводит к аналогичному интегродифференциальному уравнению на экране. Поэтому, прежде всего, дадим краткий обзор методов и результатов исследования задачи дифракции на чонком идеально проводящем ограниченном экране.

Интерес к задачам дифракции на экране возник давно, и они являются, по существу, классическими в электродинамике. Традиционная (физическая) теория дифракции создавалась па протяжении нескольких столетий X. Гюйгенсом, О. Френелем, Г. Гельмгольцем, Г.Р. Кирхгофом, Д. Лармором и другими авторами. Для понимания волновых процессов и расчета дифракционных полей большое значение имеет принцип Гюйгенса, согласно которому распространение воли обусловлено действием вторичных источников. Френель уточнил принцип Гюйгенса, приняв во внимание интерференцию сферических волн, излучаемых вторичными источниками. Дальнейшее уточнение принципа Гюйгенса - Френеля принадлежит Кирхгофу, который дал его строгую формулировку, основываясь на уравнении Гельмгольца. В современной теоретической оптике приближенное решение дифракционных задач производится почти исключительно с помощью принципа Гюйгенса - Кирхгофа. Электродинамическая (векторная) формулировка принципа Гюйгенса была дана Котлером.

Благодаря работам А. Пуанкаре стало ясно, что в задачах дифракции электромагнитных волн речь идет о некоторой краевой задаче математической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям. Позднее А. Зоммерфельд сформулировал дополнительные «условия излучения» (условия на бесконечности), обеспечивающие единственность решения краевой задачи. Следует учитывать также особое поведение полей в окрестности края поверхности гонкого экрана. Уже первое аналитическое решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости, полученное Зоммерфельдом [20], позволило проанализировать поведение электромагнитного ноля (решения краевой задачи) в окрестности края тонкого экрана и поведение полей на бесконечности.

Идея метода сведения краевой задачи к поверхностному интегродиффе-ренциальному уравнению с помощью введения потенциалов принадлежит А. Пуанкаре. Впервые векторное интегродифференциальное уравнение в задаче дифракции на экране было получено А. Мауэ в [78]. Это уравнение стали называть интегральным уравнением электрического поля (что не совсем точно, гак как уравнение является интегродифференциальным, а не интегральным). Центральной проблемой при исследовании разрешимости интегродифференциаль-ного уравнения является выбор пространств для решений и для правых частей таким образом, чтобы обеспечить фредгольмовость (и, если удастся, однозначную разрешимость) этого уравнения в выбранных пространствах. Кроме того, пространства решений должно быть достаточно широким и содержать все физически допустимые поля.

Изучение интегрального уравнения электрического поля было начато А. Мауэ в [7В]. Позднее в фундаментальной монографии Hönl П., Майе А. W., Westpfahl К. Theorie der Beugung, Springer-Verlag, 1961 (см. [65]) была доказана теорема единственности для решений этого уравнения (и краевой задачи дифракции), исследовано поведение дифракционных полей на бесконечности и в окрестности гладкого края экрана, получены аналитические решения задач дифракции на тонком диске и на сфере. В случае плоского экрана авторы записали интегральное уравнение электрического поля, используя преобразование Фурье, в виде уравнения, которое теперь называют псевдодифференциальным (сами авторы назвали его псевдоинтегральным).

Начиная с конца 40-х годов, Я. Н. Фельдом была опубликована серия работ [63], [64], посвященных задаче дифракции на тонком экране. В этих работах была предпринята попытка построения теории разрешимости краевой задачи дифракции в пространстве L\. Выбрать в качестве пространства решений интегрального уравнениея электрического поля «традиционное» пространство Z,2 нельзя, поскольку оно является слишком узким и не содержит решений с требуемой особенностью в окрестности края экрана (особенность известна, например, из аналитического решения задачи дифракции па полуплоскости). В работах Я. Н. Фельда выбор пространств согласован с поведением полей в окрестности ребра, однако нет эффективного описания пространства образов оператора, определяемого левой частью интегрального уравнения электрического поля.

Г.А Гринбергом [11] для случая плоского экрана была предложена процедура перехода от векторного интегродиффренциальпого уравнения к,векторному интегральному уравнению на экране. Метод включает в себя решение еще двух дополнительных краевых задач для уравнения Гельмгольца, причем одну из них - в общем виде [19]. Отметим, что каких - либо выводов о разрешимости задачи дифракции на плоском экране не было сделано.

Начиная с 1968 года стали активно развиваться численные методы решения задач дифракции на экранах и отверстиях. После выхода монографии Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods, Macmillian Co., 1961 (см. [75]) стали применяться такие численные методы как метод моментов, метод Галеркина и метод коллокации для решения задач дифракции на экранах различной формы, по без достаточного математического обоснования. Не изучая свойства оператора интегрального уравнения электрического поля (фредголь-мовость, вид главной части и т.д.), авторы ограничивались анализом внутренней (вычислительной) сходимости и сравнением результатов с аналитическими решениями. Поэтому некоторые эффекты, связанные со специфическим свойствами оператора интегрального уравнения электрического поля, были упущены.

Тем не менее, в численных решениях задач дифракции па тонком экране был накоплен большой опыт. Имеется несколько монографий [5], [19], [75], [81], [91] по решению задач дифракции на экранах различной формы. Отметим также работы, сыгравшие важную роль в развитии численных методов решения задач дифракции на тонких экранах [7], [13], [60], [79], [80], [88]. Заметим, что при расчетах применялись, в основном, метод моментов, метод конечных элементов и метод Галеркина с выбором простейших базисных и пробных функций (некоторые авторы все эти методы рассматривают как модификации метода моментов). Состояние численных исследований подробно отражено в сборнике фундаментальных работ, опубликованных в период с 20-х по 90-ые годы [72]. Следует подчеркнуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на тонких экранах произвольной формы (в резонансном диапазоне частот, когда длина волны в пространстве сравнима с размерами экрана) в настоящее время, по-видимому, пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.

Помимо попыток аналитического и численного решения интегрального уравнения электрического поля для анализа задач дифракции на тонком экране было предложено несколько иных подходов приближенного решения, связанных с упрощением задачи. В частности, активно развивались асимптотические методы [2], [4], [59], [62]. Не вдаваясь в подробное обсуждение асимптотических методов решения задач дифракции на незамкнутых поверхностях, укажем только их общий недостаток. Для них не решен вопрос о точности асимптотического решения и границах его применимости. С особой остротой этот вопрос встает в резонансной области частот, когда характерные размеры поверхности сравнимы с длиной возбуждаемой электромагнитной волны.

Таким образом, в математической теории дифракции к 90-м годам прошлого века сложилась ситуация, когда для решения задач используется большое количество приближенных, численных методов, известны некоторые аналитические решения задач дифракции на простейших поверхностях, в то время как общей теории разрешимости не было построено. Здесь под теорией разрешимости мы понимаем результаты, аналогичные классической теории потенциала, то есть теоремы о существования и единственности решения краевой задачи и уравнения на экране (в подходящих пространствах), теоремы о представимости решения краевой задачи в виде векторного потенциала, теоремы о «скачках» предельных значений и т.д.

В начале 1990-х годов в работах Ю.Г. Смирнова [231, была построена теория разрешимости (трехмерных) векторных электродинамических задач на незамкнутых поверхностях. Для задачи дифракции стороннего электродинамического поля на незамкнутых поверхностях (экранах) были получены следующие результаты:

- теорема о существовании и единственности решений краевой задачи для системы уравнений Максвелла в соответствующих пространствах;

- утверждения о представимости решения задачи в виде векторного потенциала;

- сведение краевой задачи к уравнению на многообразии с краем;

- теоремы о «скачках» предельных значений для векторных потенциалов или других представлений решений краевой задачи;

- теоремы о разрешимости уравнения на многообразии в подходящих пространствах;

- теоремы о регулярности (о гладкости решений) и исследование асимптотического поведения решений в окрестности края и угловых точек многообразия;

- утверждение о зависимости решения уравнения и краевой задачи от параметров.

Основным инструментом исследования задач дифракции на незамкнутых поверхностях была теория псевдодифференциальных (ПД) операторов, действующих в пространствах Соболева сечений векторных расслоений |17]. [44],

46]. Задача дифракции анализируется по следующей схеме. Задача приводит к ПД уравнению на многообразии с краем Q (экране). Соответствующий ПД оператор L рассматривается в специально выбранных гильбертовых пространствах L: Н\ —> Н2- Ключевым моментом при изучении задач дифракции является доказательство ограниченности и фредгольмовости с нулевым индексом оператора L. Доказательство проводится стандартным методом [32], [33]: оператор L представляется в виде суммы ограниченных операторов, непрерывно обратимого S и компактного К: L = S + К. Решение исходной краевой задачи ищется в виде векторных потенциалов. Из единственности решения краевой задачи выводится единственность для решений соответствующего ПД уравнения Lu — f, и б Н\, а из альтернативы Фредгольма - разрешимость уравнения при любой правой части / е Н2. Отсюда следует разрешимость и для краевой задачи. Подробное изложение теории разрешимости задач дифракции па тонких ограниченных идеально проводящих экранах содержится в монографиях A.C. Ильинского и Ю.Г. Смирнова [23].

К настоящему времени общая теория псевдодифференциальных операторов разработана достаточно полно и изложена в работах Дж. Дж. Кона и JI. Ни-ренберга [77], Г.И. Эскина [70], М.А.Шубина [69], Ю.В Егорова 1141, [15|, Б.А. Пламеневского [45], М. Тейлора, С. Ремпеля и Б. Шульце [46] и других авторов. Первое систематическое использование этой теории в задачах дифракции, по-видимому, начал W. Wendland [90]. Им были рассмотрены двумерные скалярные задачи дифракции на тонких экранах и развита соответствующая теория разрешимости этих задач. Позднее Е. Stephan [89] обобщил результаты на случай ограниченных экранов в R с гладким краем. Отметим, что в рамках теории ПДО для скалярных задач этот переход осуществляется сравнительно легко. Далее в работах [83], [86] были рассмотрены экраны с угловыми точками и получены (численным методом) порядки сингулярности решений в окрестности этих точек, а так же введены и описаны весовые классы Соболева для самих решений. Эти исследования в определенном смысле продолжают пионерские работы В.А. Кондратьева [36| и Б.А Пламеневского [45] по анализу решений в окрестности конических точек.

При решении задач дифракции на незамкнутых поверхностях мы будем использовать технику исследования Г1ДО на многообразиях с краем. При этом будут специально выбраны векторные пространства Соболева, отвечающие «физическим» требованиям задачи дифракции.

Отметим еще два класса задач, наиболее близких к задачам дифракции электромагнитных волн на тонких экранах. Это (векторные) задачи дифракции электромагнитных волн на замкнутых идеально проводящих поверхностях и (скалярные) задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях.

Первый класс задач отличается от рассматриваемых в настоящей работе задач тем. что изучается дифракция на замкнутых поверхностях. Векторный характер задач сохраняется, исследуются краевые задачи для системы уравнений Максвелла. Общая теория разрешимости электромагнитных задач дифракции на замкнутых поверхностях была построена уже к концу 60-х годов. С. Muller [84] смог довести до определенной завершенности э ту теорию, доказав теоремы существовании и единственности. Благодаря этому теория дифракции электромагнитных волн на замкнутых поверхностях по своей внутренней замкнутости стала сравнимой с теорией потенциала. Современное изложение теории разрешимости для этого класса задач имеется в монографии Д. Колтона и Р. Кресса [35]. Доказательство разрешимости краевой задачи основано на сведении се к интегральному уравнению Фредгольма второго рода по поверхности и опирается на теорему о «скачке» соответствующего векторного потенциала [35]. Уравнения рассматриваются в классах Гельдера. К сожалению, эта техника неприменима при исследовании задач дифракции на незамкнутых поверхностях, поскольку по теореме «о скачке» векторный потенциал будет принимать различные значения с разных сторон Q, что противоречит непрерывности поля. Поэтому для незамкнутых поверхностей можно получить только уравнения первого рода (по традиционной терминологии). Уравнения первого рода на замкнутых поверхностях рассматривались в [35], однако их разрешимость устанавливалась сведением к уже изученному уравнению Фредгольма второго рода.

Второй класс составляют задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях. Не смотря на то, ч то эти задачи скалярные, в них проявляется специфика задач на многообразиях с краем. Теория разрешимости для этого круга задач была построена недавно в работах (71], [731, [74], [83], [85], [86], [89], [90] (аналогичная теория для акустических задач дифракции на замкнутых поверхностях известна давно [38], [39]; ее подробное изложение имеется в работе [87]). Основным инструментом, позволившим добиться прогресса в изучении задач дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях стала техника исследования псевдодифференциальных операторов (ПДО), действующих в пространствах Соболева.

Имеется еще ряд задач, которые также могут быть рассмотрены методом псевдодифференциальных уравнений. В частности, задача дифракции электромагнитного поля на отверстии в плоском, идеально проводящем экране. Эта задача является двойственной к тому же векторному интегродифференциальному уравнению. Задача дифракции на частично экранированном магнитодиэлектри-ческом слое отличается от предыдущей наличием магпитодиэлектрического заполнения и дополнительной экранирующей идеально проводящей плоскости в одном из полупространств. Задача обычно решается с помощью введения функций Грина слоя для уравнения Гельмгольца. Основной трудностью здесь является постановка условий на бесконечности. Эти условия были сформулированы А. Г. Свешниковым [56] и П. Вернером [82] и носят название парциальных условий излучения Свсшникова-Всриера. Задача дифракции на частично экранированном слое также сводится к решению уравнения на отверстии. Еще одна задача дифракции - о связи через отверстие полупространства с прямоугольным полубесконечным волноводом. В этой задаче уже недостаточно использования одной скалярной функции Грина для представления решения в цилиндрической области. Используется представление решения с помощью двух функций Грина со смешанными граиичньтми условиями. На бесконечности применяются условия излучения Свешникова.

Последние три задачи принадлежат к классу задач о связи объемов через отверстие. Все они приводят к одному типу интегродиффсренциальных уравнений на отверстии. Теория разрешимости для этого круга задач также была построена методом псевдодифференциальных уравнений [23], [76].

Отметим важную отличительную особенность этих трех задач от задачи, рассматриваемой в диссертации. Для перечисленных задач имеет место теорема единственности, в то время как для рассматриваемой в диссертации задачи единственности решения (на некоторых частотах) может не быть. Поэтому прежде чем решать задачу дифракции (задачу с правой частью) необходимо исследовать однородную задачу, которая является задачей на собственные значения для некоторой нелинейной оператор-функции.

Эта задача относится к обширному классу задач электродинамики — спектральным задачам о распространении электромагнитных волн в волнове-дущих структурах. Применение в радиотехнике и электронике в качестве вол-новедущих структур волноводов сложных поперечных сечений, микрополоско-вых и щелевых линий передачи потребовало построения математических моделей процессов распространения электромагнитных волн в таких устройствах. При этом возникла необходимость исследования нового широкого класса задач электродинамики, характеризующихся сложной геометрией граничных незамкнутых поверхностей, неоднородным диэлектрическим заполнением и наличием бесконечно тонких металлических ребер (пластин) в структуре. Первейшей задачей здесь является описание свойств электромагнитных волн, которые могут распространяться в таких структурах.

При исследовании процессов распространения волн в волноведущих структурах с неоднородным заполнением возникают краевые задачи на собственные значения для систем уравнений эллиптического типа с разрывными коэффициентами. На линиях (поверхностях) разрыва коэффициентов ставятся дополнительные условия, называемые условиями сопряжения. В простейших задачах спектральный параметр присутствует лишь в уравнениях и не входит в условия сопряжения, в результате возникает задача на собственные значения для некоторого самосопряженного оператора. Однако при анализе достаточно сложных моделей спектральный параметр уже входит не только в уравнения, но и в условия сопряжения, причем нелинейно. Задача оказывается несамосопряженной.

Начиная с 60-х годов, проводились многочисленные исследования данного круга задач. Главное внимание было уделено получению практических результатов: расчету характеристик основной волны структуры, представляющий наибольший интерес с физической точки зрения, а также нескольких высших типов волн.

Состояние области численных методов расчета параметров различных типов волноведущих структур подробно отражено в монографиях и обзорных работах [8], [12], [16], [18], [31].

Следует, однако, сказать, что большинство используемых методов не получило до сих пор серьезного математического обоснования. Несмотря на большое количество работ, долгое время оставались недоказанными теоремы о существовании хотя бы одной точки спектра и о дискретности спектра задачи, необходимые для строгого обоснования математической модели. Не выяснены до конца вопросы, связанные со сходимостью методов. Практически отсутствуют результаты о распределении характеристических чисел в комплексной плоскости. Не исследуются такие свойства системы собственных и присоединенных волн, как полнота и базисность, необходимые для задач возбуждения и при моделировании неоднородностей в структурах.

Исследование этого круга вопросов требует привлечения новых теоретических методов. Дело в том, что задача о распространении электромагнитных волн в волноведущих структурах так или иначе сводится к изучению сложной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, что весьма затруднительно 'традиционными методами теории дифракции.

Теория распространения электромагнитных волн в волноводах с однородным заполнением получила евое завершение в работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [53], [54], [55], в которых помимо исследования спектра волн были решены вопросы о разложимости поля но системе собственных волн волновода, а также построены функции Грина, позволяющие получить решение задачи возбуждения волновода сторонним источником. Но задача о распространении волн в таких волноводах не является векторной а, как говорят, «распадается» на две скалярные самосопряженные задачи.

Для волноводов с неоднородным заполнением известны некоторые частные результаты, касающиеся распределения спектра электромагнитных волн. Для прямоугольных волноводов со слоистым заполнением [16], [76] и для круглых волноводов с круглым магпитодиэлсктрическим стержнем [40] получены и исследованы трансцендентные «дисперсионные» уравнения, позволяющие вычислять точки спектра (постоянные распространения и затухания) с любой наперед заданной точностью. Однако даже в этих простейших случаях отсутствуют результаты о свойствах системы электромагнитных волн (полнота, базис-иость).

Задача об электромагнитных волнах волноведущей структуры с неоднородным заполнением является векторной и несамосопряжепной. В таких структурах могут существовать «комплексные» волны (или, точнее, комплексно-сопряженные волны), отвечающие точкам спектра, не лежащим на вещее гвен-ной или мнимой осях в комплексной плоскости. Этот эффект был обнаружен и исследован в работах [3], [57]. Существование кратных точек спектра и их классификация обсуждались в [22], [37].

Существенный вклад в математическую теорию распространения электромагнитных волн в сложных волповедущих структурах был сделан А. С. Ильинским и 10. В. Шестопаловым [29], [30], [31], [66], [67], [68]. Ими было предложено сводить задачу об электромагнитных волнах волноведущей структуры к исследованию некоторой мероморфной оператор-функции, сложным образом зависящей от спектрального параметра. Оператор-функция является матричным интегральным сингулярным оператором или оператором с логарифмической особенностью ядра и рассматривается в пространствах Гельдсра с весом. Задача сводится к однородным одномерным интегральным уравнениям по линиям разрыва коэффициента диэлектрической проницаемости. В разработке этого подхода принимали участие также Е. В. Черпокожин [28] и Ю.Г. Смирнов [24], [25], [26], [27].

Основным методом исследования свойств спектра оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, является примснеиие известной теоремы о дискретности спектра фредгольмовой голоморфной оператор-функции. изложенной, например, в фундаментальной монографии И.Ц. Гохбер-га и М.Г. Крейна [9]. Основываясь на фредгольмовости оператор-функции, на этом пути была доказана дискретность спектра задачи для широкого класса волноведущих структур с неоднородным заполнением. Для щелевых структур с малыми размерами щели методом малого параметра с помощью операторного обобщения теоремы Руше Ю. В. Шестопаловым [31] была установлена непустота спектра задачи. Позднее А. С. Ильинским, ЬО. В. Шестопаловым, Ю.Г. Смирновым, Е. В. Чернокожиным, Р.З. Даутовым, Е.М. Карчевским были получены результаты о дискретности спектра и о распределении точек спектра на комплексной плоскости для различных волноведущих структур [25]. [28], [30], [31]. Другой метод операторных пучков разрабатывался для анализа свойств спектра волноведущих структур в работах [34]. В настоящей диссертации также применяется теорема о дискретности спектра фредгольмовой голоморфной оператор-функции для исследования свойств спектра задачи.

Рассматриваемая в диссертации задача имеет непосредственное отношение к проблеме П. Вернера, сформулированной им в 1996 году в Штуттгарте. П. Вериером, в частности, было доказано [82-83], что при внесении сколь угодно малой сферы в слой, свойства спектра задачи резко изменяются («исчезают» так называемые «стоячие» волны). Он выдвинул гипотезу, что сколь угодно малое отверстие в рассматриваемой в диссертации задаче также резко изменяет спектр задачи (по сравнению с аналогичной задачей в слоях без отверс тия). Для исследования проблемы П. Вернера необходимо исследовать предельный переход точек спектра при стремлении диаметра отверстия к нулю. Эта проблема до сих пор, по-видимому, не решена и в диссертации не рассматривается.

Данная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложения.

В первом параграфе первой главы рассматривается квазиклассическая постановка векторной краевой задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие. Слои могут иметь различные электродинамические параметры. Во втором параграфе осуществляется сведение векторной задачи для системы уравнений Максвелла к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

Вторая глава посвящена задаче на собственные значения относительно спектрального параметра со для системы уравнений Максвелла в слоях, связанных через отверстие. В первом параграфе приводится постановка однородной задачи для системы уравнений Максвелла. Используются условия Свсшни-кова-Вернера на бесконечности. Доказывается теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение. Поскольку в работе будет применяться метод функций Грина для сведения краевой задачи к псевдодифференциальному уравнению па отверстии в специальных пространствах Соболева, во втором и третьем параграфах изучаются свойства функций Грина слоя для уравнения Гельмгольца с краевыми условиями 1-го и 2-го рада. В четвертом параграфе даются определения голоморфности оператор-функций, вводятся пространства Соболева. Устанавливается голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказывается дискретность спектра в случае сред без поглощения.

В третьей главе рассматриваются две краевые задачи дифракции на отверстии для уравнения Гельмгольца с различными краевыми условиями. В первом параграфе осуществляется сведение задач дифракции к интегральным уравнениям. Во втором параграфе доказываются теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева. В третьем параграфе осуществляется представление решений краевых задач через потенциалы. Изучаются их свойства. Доказывается теорема эквивалентности.

В четвертой главе описывается, исследуется и применяется численный алгоритм решения интегрального уравнения. В первом параграфе осуществляется выбор конечномерных подпространств и построение проекционного метода Галеркина в выбранных подпространствах. Во втором параграфе проводится доказательство сходимости метода Галеркина, используя эллиптичность уравнения. В третьем параграфе рассматриваются вопросы численной реализации метода Галеркина. В частности, применяется специальный метод вычисления интегралов со слабой особенностью, позволяющий свести вычисление таких интегралов к вычислению интегралов без особенности. Четвертый параграф содержит результаты численных расчетов для отверстия прямоугольной формы.

Данная работа содержит следующие основные результаты.

1. Векторная краевая задача для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, сведена к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

2. Доказана теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение.

3. Устанавлена голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказана дискретность спектра задачи в случае сред без поглощения.

4. Краевые задачи дифракции для уравнений Гельмгольца сведены к иптег-родифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям. Доказаны теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева. Доказаны теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнениям.

5. Применен, обоснован и реализован численный метод Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике. Представлены результаты численных расчетов.

По материалам диссертации опубликовано 10 работ [1], [41], [42], [47], [48], [49], [50], [51], [52]. [58], одна из которых [52] в журнале из списка журналов ВАК РФ. Результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских конференциях и симпозиумах [1], [41], [47], [48], [49], [50], [51], а также на научных семинарах кафедры «Прикладная математика» Казанского государственного университета и кафедры «Математики и суперкомпьютерного моделирования» Пензенского государственного университета.

1. Бабич В.М., Булдарев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

2. Белянцев A.M., Гапонов A.B. О волнах с комплексными постоянными распространения в связных линиях передачи без диссипации. Радиотехника и электроника, 1964, 9, №7, 1188-1197.

3. Вайшптейн JI.A. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988.

4. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.6J Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

5. Вычислительные методы в электродинамике. /Под ред. Р. Митгры. М.: Мир, 1977.

6. Гвоздев В.И., Хитров С.С. Линии передачи для интегральных схем СВЧ. Зарубежная радиоэлектроника, 1982, №5, 86-107.

7. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

9. Гринберг Г.А. Метод решения задач дифракции электромагнитных воли на идеально проводящих экранах, основанный на изучении наводимых на экранах теневых токов. I и II //Журнал Теор. Физика, сер.Б, т.28, 1958, вып.З, с.542-568.

10. Даутов Р.З., Карчевский Е.М. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2000, 40, №8, 1250-1263.

11. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1985.

12. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984.

13. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. М., Изд-во МГУ, 1985.

14. Егоров Ю.В. Частично заполненные прямоугольные волноводы. М. , Сов. радио, 1967.

15. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Элементы современной теории. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.31. Итоги науки и техники, ВИНИТИ. М., 1988. С.5-125.

16. Заргапо Г.Ф., Лерер А.М., Ляпин В.П., Синявский Г.П. Линии передачи сложных сечений. Ростов н/Д., Изд-во Ростовского ун-та, 1983.

17. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982.

18. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных в физике, М.: Иностр. литература, 1950.

19. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

20. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М., Изд-во МГУ, 1983.

21. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: ИПРЖ «Радиотехника», 1998.

22. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Исследование математических моделей микрополосковых линий. В кн.: Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применения. М.: Изд-во МГУ, 1986, с.175-198.

23. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Математическое моделирование процесса распространения электромагнитных колебаний в щелевой линии передачи. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1987, 27, №2, 252-261.

24. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Численное моделирование щелевых линий передачи. В кн.: Актуальные вопросы прикладной хматематики. М.: Изд-во МГУ, 1989, с. 127-138.

25. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Численное моделирование щелевых линий передачи, образованных волноводами различного поперечного сечения. Радиотехника и электроника, 1989, 34, №5, 908-916.

26. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. Математические модели для задачи распространения волн в микрополосковых устройствах. Вычисл. методы и программирование. М., Изд-во МГУ, 1980, Вып. 32, 85-103.

27. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. О спектре нормальных волн щелевой линии передачи. Радиотехника и электроника, 1981, 26, №10, 2064-2073.

28. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распросгранения волн. М., Изд-во МГУ, 1989.

29. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

31. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. ДАН СССР, 1951, 77, №1, 11-14.

32. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

33. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. Труды ММО, т. 16, 1967, с.209-292.

34. Краснушкин П.Е., Федоров E.H. О кратности волновых чисел нормальных воли в слоистых средах. Радиотехника и электроника, 1972, 17, №6, с.1129.

35. Купрадзе В.Д. Основные задачи математической теории дифракции. М.: Гостехиздат, 1935.

36. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебания и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1951.

37. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волповодных задач. М., Радио и связь, 1981.

38. Медведик М.Ю., Родионова И.А., Смирнов Ю.Г. Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки, 2009, №1.

39. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1983.

40. Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука, 1984.

41. Пламеневский Б.А. Алгебра псевдодифференциальных операторов. М.: Наука, 1986.

42. Свешников А.Г. Принцип излучения. Доклады АН СССР. 1950, 73, №5, 917-920.

43. Смирнов Ю.Г. О распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой. Радиотехника и электроника, 2005, 50, №2, 196-202.

44. Сологуб В.Г. Коротковолновая асимптотика решения задачи дифракции на круглом диске. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1972, т.12, №2, с.388-412.

45. Сологуб В.Г. О решении одного интегрального уравнения типа свертки с конечными пределами интегрирования. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1970, т. 11, №4, с.637-654.

46. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

47. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. радио, 1962.

48. Фельд Я.Н. Основы теории щелевых антенн. М.: Сов. радио, 1948.

49. Фельд Я.Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях. //Радиотехника и электроника, 1975, т.20, №1, с. 2838.

50. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

51. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. Киев, Наукова Думка, 1983.

52. Шестопалов Ю.В. Собственные волны открытых и экранированных щелевых линий, образованных областями произвольного поперечного сечения. Докл. АН СССР, 1986, 289, №4, 840-845.

53. Шестопалов Ю.В. Существование дискретного спектра нормальных волн микрополосковых линий передачи со слоистым диэлектрическим заполнением. ДАН СССР, 1983, 273, №3, 594-594.

54. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

55. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

56. Angell T.S., Hsiao G.C., Krai J. Double Layer Potentials on Boundaries with Corners and Edges. //Comment. Math. Unit. Carol. 1986, vol.27, p.419.

57. Computational Electromagnetics: Frequency-Domain Method of Moments. Ed. By E.K. Miller, L. Medgyesi-Mitschand, E.H. Newman. //IEEE Press, New York, 1992.

58. Costabel M. Boundary Integral Operators on Curved Polygons. //Ann. Mat. Рига Appl., 1983, vol.133, p.305-326.

59. Costabel M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results. //SIAM J. Math. Anal., vol.19, № 3, May 1988. p. 613-626.

60. Harrington R.F. Field Computation by Moment Methods. Macmillian Co., New York, 1968.

61. Ilyinsky A.S., Smirnov Yu.G. Electromagnetic Wave Diffraction by Conducting Screens. VSP, Utrecht, the Netherlands, 1998.

62. Kohn J.J., Nirenberg L. An Algebra of Pseudodifferential Operators. //Commun. Pure and Appl. Math., 1965, v. 18, № 1-2, p. 269-305.

63. Маис A.W. Toward Formulator of a General Diffraction Problem via an Integral Equation. //Zeitschrift fur Physik, vol. 126, 1949, p. 601-618.

64. Miller E.K., Poggio A.J. Moment-Method Techniques in Electromagnetics from an Applications Viewpoint. //Electromagnetic Scattering. Edited by P.L.E. Uslenghi New York, Academic Press, 1978, p. 315-358.

65. Mittra R., ed. Numerical and Asymptotic Techniques in Electromagnetics. New York: Springer Verlag, 1975.

66. Moor J., Pizer R. Moment Methods in Electromagnetics: Techniques and Applications. New York: John Wiley & Sons, 1984.

67. Morgenrother K., Werner P. On the Instability of Resonances in Parallelplane Waveguides. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1989, Vol. 11, 279-315.

68. Morgenrother K., Werner P. On the Principles of Limiting Absorption and Limit Amplitude for a Class of Locally Perturbed Waveguides. Part 2. Time-depended Theory. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1989, Vol. 11, 1-25.

69. Muller CI. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetics Waves, Springer-Verlag, New York, 1969.

70. Paivarinta L., Rempel S. A decovolution problem with Kernel l/|x| on the plane. //Appl. Anal. 1987. vol.26, p.105-128.110

71. Paivarinta L., Rempel S. Corner singularities of solutions to A m = / in two dimentions. //Asymptotic Analysis, 5, 1992, p. 429-460.

72. Ramm F.G. Scattering by Obstacles. //Dordrecht. D. Reidel Publ. Comp., 1986.

73. Rao S.M., Wilton D.R., Glisson A.W. Electromagnctic Scattering by Surface of Arbitrary Shape. //IEEE Trans. Antennas Propagation, vol. Ap-30, №3, 1982, p. 409-418.

74. Stephan E.P. Boundary Integral Equations for Screen Problem in R . //Integral Equation and Operator Theory. 1987. vol.10, p.236-257.

75. Stephan E., Wendland W.L. An Augmented Galerkin Procedure for the Boundary Integral Method Applied to Two-dimensional Screen and Crack Problems. //Applicable Analysis. 1984. vol.18, p.105-128.

76. Wang J.H.H. Generalized Moment Methods in Electromagnetics. //New York: John Wiley & Sons, 1991.