Краевые задачи дифракции волн в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

! О -

ЛИПАЧЁВ Евгений Константинович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ВОЛН В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

КАЗАНЬ — 2000

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Б.Г. Габдулхаев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

Защита состоится 29 ноября 2000 года в 1600 часов на заседании диссертационного совета К 053.29.27 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

наук, профессор Ф.Г. Мухлисов,

кандидат физико-математических наук, доцент Л.А. Онегов

Ведущая организация: Одесский государственный

университет им. И.И. Мечникова

Автореферат разослан _2000 года.

Учёный секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

Н.Б. Плещинский

вззе.з. оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач, возникающих при моделировании процесса распространения электромагнитных волн в областях, имеющих бесконечную границу. Эти задачи, в отличие от аналогичных задач для ограниченных областей, изучены в меньшей степени; исключением являются области с периодической границей, задачи дифракции на которых хорошо изучены. Некоторые итоги достигнутых результатов подведены в монографиях Е. В. Захарова и Ю. В. Пименова (1982 г.), В. В. Панасю-ка, М. П. Саврука и 3. Т. Назарчука (1984 г.), Т. Н. Галишниковой и А. С. Ильинского (1987 г.), В. И. Дмитриева и Е. В. Захарова (1987 г.), Д. Колтона и Р. Кресса (1987 г.), 3. Т. Назарчука (1989 г.), И. К. Лифа-нова (1995 г.), А. С. Ильинского и Ю. Г. Смирнова (1996 г.).

В данной работе рассмотрены области, граница которых совпадает с R = (—оо,оо), за исключением участка конечной длины. Этот случай требует новых подходов исследования, отличных от тех, что использовались при рассмотрении краевых задач дифракции в ограниченных областях и областях с периодической границей.

Важным этапом исследования краевых задач является доказательство существования и единственности решений в подходящих функциональных пространствах. Вопросы разрешимости краевых задач дифракции исследовались в работах С. И. Абгалдаева и В. П. Моденова, В. М. Бабича, Е. В. Захарова, В. П. Иванова, В. Д. Купрадзе, Ф. Г. Мухлисова, Е. В. Чернокожина и Ю. В. Шестопалова, Y. Hayashi, А. G. Ramm и др.

Другим, не менее важным этапом, является построение методов приближённого решения краевых задач. Это связано с тем обстоятельством, что в явном виде решается лишь небольшое число краевых задач дифракции, причём на довольно простых структурах. В связи с этим отметим

метод интегральных уравнений, как наиболее универсальный инструмент как исследования краевых задач, так и построения алгоритмов численного решения. Метод интегральных уравнений широко применялся в работах В. Д. Купрадзе, В. И. Дмитриева, Е. В. Захарова, А. С. Ильинского, И. К. Лифанова, 3. Т. Назарчука, В. А. Цецохо, Ю. В. Шестопалова и др.

Следующим этапом исследования является теоретическое обоснование методов приближённого решения краевых задач. В связи с этим отметим методику обоснования приближённых методов, разработанную в работах Б. Г. Габдулхаева. При дискретизации интегральных уравнений возникает задача построения и обоснования квадратурных формул. Существенные результаты в этом направлении получены С. М. Бело-церковским, Б. Г. Габдулхаевым, И. К. Лифановым, 3. Т. Назарчуком, В. В. Панасюком, М. П. Савруком, Н. Я. Тихоненко и др.

Цель работы — исследование разрешимости краевых задач дифракции волн на областях, граница которых совпадает с К, за исключением участка конечной длины; сведение краевых задач к интегральным уравнениям, разработка алгоритмов приближённого решения и их теоретическое обоснование.

Методы исследования. При выводе результатов диссертации используются известные результаты из теории интегральных уравнений, методы теории потенциалов, результаты из общей теории приближённых методов функционального анализа.

Научная новизна, а) С помощью метода обобщённых потенциалов получены интегральные уравнения, эквивалентные исходным краевым задачам дифракции.

б) Доказаны теоремы существования и единственности классических

решений рассматриваемых краевых задач.

в) Предложены и теоретически обоснованы методы приближённого решения краевых задач дифракции.

В диссертации под теоретическим обоснованием приближённых методов, следуя Л.В. Канторовичу, понимается следующий круг вопросов: а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений; б) доказательство сходимости приближённых решений к точному решению и определение скорости сходимости; в) установление эффективных оценок погрешности приближённого решения, учитывающих структурные свойства исходных данных; г) исследование устойчивости и обусловленности приближённых методов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть применены при решении конкретных задач, связанных с распространением электромагнитных волн, а также при решении прикладных задач, сводящихся к интегральным уравнениям второго рода.

Разработанные алгоритмы приближённого решения могут использоваться при расчете дифракционных решёток и волноводных структур.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992), Республиканской научно-методической конференции, посвящённой 200 - летию со дня рождения Н. И. Лобачевского (Одесса, 1992), Международной научной конференции "Алгебра и анализ" , посвящённой 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарёва (Казань,

1994), Школе-конференции "Теория функций и её приложения" (Казань,

1995), VII Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Феодосия, 1997), Школе - кон-

ференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева (Казань, 1997), Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998), International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory — MMET*98 (Kharkov, Ukraine, 1998), Школе - конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова (Казань, 1999), Международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2000), ежегодных научных конференциях Казанского университета за 1988 — 2000 гг., представлялись на Progress in Electromagnetics Research Symposium (Nantes, France, 1998), Fifth International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (Santiago de Compostela, Spain, 2000), а также обсуждались на семинарах "Теория аппроксимации и её приложения" при Казанском университете (руководитель профессор Б. Г. Габдулхаев), "Математические модели интегральной оптики" при кафедре прикладной математики КГУ (руководитель профессор Н. Б. Пле-щинский).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах, список которых приведён в конце автореферата. с

Структура и объем работы. Диссертация общим объёмом 138 страниц (A4, MgX) состоит из Введения, четырёх глав и списка цитируемой литературы из 132 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы, приводится обзор литературы по теме диссертации и даётся компактное изложение полученных автором результатов.

Первая глава (§§ 1 — 7) посвящена изучению задачи дифракции элек- .

тромагнитных волн в неограниченной области S с границей 7, совпадающей с R, за исключением ограниченного участка 7*. Предполагается, что кривая 7 принадлежит классу С1'", 0 < v < 1.

В § 1 рассмотренная задача дифракции сформулирована в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с условиями Дирихле или Неймана на границе и условием излучения на бесконечности:

Au(x,z) + k2u(x,z) = 0, (x,z)£S, -(1)

u{x,z) = — u0(x,z), P = (x, z) 6 7 — в TE— случае, (2)

dnf

du0(P)

dn

p

,Pe 7 — в ТЯ- случае, (2')

7

Su* . _ ikr (\

1т А > 0, и*(х,г)=и(х,г)-й(х,г), й(х, г) = £ел(-ю+Рх\ (4)

где через щ(х,г) = обозначена падающая волна, а £ = — 1— в

случае Х7?-поляризации и £ = 1 — в случае Т Деполяризации.

В § 2 доказана теорема о единственности классических решений краевых задач, то есть принадлежащих классу С2(5) П С(5 и 7) (в случае условия (2') предполагается существование правильной нормальной производной на границе).

В § 3 введены обобщённые потенциалы:

(У<р)(Р) ее 1д2(Р,Р')<р(т)с13р,, (5)

7*

(ИГф){Р) ЕЕ (6)

г pi

7*

где P = (х, z),P' = (г, £), У, Ф € 6[-а, а],

7Г: ~2

= ^ {Я»1)(Лг) + (-ir^ikr*)}, m = 1,2, (7)

г = у/{х - т)2 + {г- О2, г* = у/{х-ту + + а через обо-

значена функция Ганкеля первого рода нулевого порядка.

С помощью обобщённых потенциалов в § 4 краевые задачи сведены к интегральным уравнениям второго рода.

В § 5 доказана теорема существования в классе С2(5)ПС(5и7) решений краевой задачи (1), (2), (3). Показано, что решение краевой задачи в области 5 допускает интегральное представление в виде обобщённого потенциала двойного слоя относительно участка границы 7* с плотностью, являющейся решением интегрального уравнения второго рода. Доказана эквивалентность краевой задачи и интегрального уравнения.

Аналогичная техника применена в § 6 для доказательства существования классического решения краевой задачи Неймана (1), (2'), (3) и доказательства эквивалентности этой краевой задачи интегральному уравнению второго рода. Доказано, что в этом случае решение краевой задачи допускает интегральное представление в виде обобщённого потенциала простого слоя относительно участка границы 7* с плотностью, являющейся решением интегрального уравнения второго рода.

В § 7 построен алгоритм приближённого решения задачи дифракции (1) — (3). Компоненты электромагнитного поля ищутся в виде обобщённых потенциалов двойного или простого слоёв (в зависимости от поляризации волны), плотности которых находятся как решения интегральных уравнений второго рода. Для решения интегральных уравнений применены методы сплайн - коллокации нулевого и первого порядков. Дано теоретическое обоснование приближённых методов на основе варианта общей теории приближённых методов, построенного Б. Г. Габдул-хаевым.

Во второй главе (§§ 1 — 4) рассмотрена задача рассеяния плоской электромагнитной волны неограниченной областью с кусочно-гладкой

границей 7 = {(х,/(х)) : х £ К}, эирр / С [-а, а] для некоторого а €

Математическая модель задачи сформулирована в § 1 в виде краевой задачи (1) — (3), дополненной условием конечности энергии в точках нарушения гладкости (условие на ребре).

В § 2 приведено доказательство теоремы единственности решения краевой задачи в классе квадратично-суммируемых по Лебегу функций.

В § 3 доказано существование решения краевых задач в классе квадратично-суммируемых функций. Решение строится как предел функций, являющихся решениями аналогичных краевых задач в областях, границы которых получены "сглаживанием" границы рассматриваемой области.

Для приближённого решения дифракционной задачи предложен метод, основанный на методах сплайн - подобластей нулевого и первого порядков решения интегрального уравнения второго рода, эквивалентного краевой задаче. Установлено теоретическое обоснование приближённых методов. Для уточнения приближённого решения использовался метод осреднения функциональных поправок.

В третьей главе (§§ 1 — 5) изучается задача дифракции электромагнитной волны на на границе раздела двух диэлектрических сред. Предполагается, что граница раздела сред совпадает с К, за исключением участка конечной длины.

В § 1 задача дифракции сформулирована в виде задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца с условием излучения на бесконечности.

В § 2 доказана единственность классического решения краевой задачи.

В § 3 с помощью метода обобщённых потенциалов задача сопряжения сведена к системе интегральных уравнений второго рода. Показана фредгольмовость полученной системы интегральных уравнений.

В § 4 доказано существование классического решения задачи сопряжения. Доказана эквивалентность задачи сопряжения и полученной системы интегральных уравнений. Показано, что решение краевой задачи представимо в виде комбинации обобщённых потенциалов.

В § 5 приведён алгоритм приближённого решения задачи сопряжения. Система интегральных уравнений, эквивалентная задаче сопряжения, решается методом сплайн-коллокации, а полученные решения уточняются с помощью метода осреднения функциональных поправок. Проведено теоретическое обоснование полученной вычислительной схемы.

Во четвертой главе (§§ 1 — 5) рассмотрена задача дифракции плоской электромагнитной волны на отражательной полуплоскости с диэлектрическим включением конечного размера.

В § 1 задача дифракции сформулирована в виде системы из двух уравнений Гельмгольца с условиями сопряжения на диэлектрическом участке границы, условиями Дирихле или Неймана (в зависимости от поляризации волны) на оставшейся части границы, условием на ребре в концевых точках металлического участка границы и условием излучения на бесконечности.

В § 2 доказана теорема единственности классического решения рассматриваемой краевой задачи.

В § 3 краевая задача сведена к системе интегральных уравнений фредгольма второго рода.

В § 4 доказаны теорема существования классического решения краевой задачи и теорема эквивалентности краевой задачи и системы интегральных уравнений.

Параграф 5 содержит описание алгоритма приближённого решения краевой задачи. Алгоритм основан на приближении сплайнами решения системы интегральных уравнений, эквивалентной краевой задаче. Коэф-

фициенты сплайнов определяются с помощью метода сплайн-подобластей. Дано теоретическое обоснование предложенной вычислительной схемы.

Основные научные результаты работы, выносимые на защиту, заключаются в следующем.

1. Доказаны теоремы существования и единственности классических решений краевых задач, к которым сведена задача рассеяния электромагнитной волны бесконечной отражательной решёткой с конечной "неровной" частью.

2. С помощью метода обобщённых потенциалов краевые задачи дифракции сведены к интегральным уравнениям второго рода. Доказана эквивалентность краевых задач и интегральных уравнений.

3. В классе квадратично-суммируемых по Лебегу функций доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи дифракции электромагнитной волны на бесконечной отражательной решётке с конечной нарезанной частью, имеющей рёбра.

4. Доказана теорема существования и единственности классического решения задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрической структуре с конечной нарезанной частью.

5. Построены алгоритмы приближённого решения дифракционных задач, основанные на численном решении модельных интегральных уравнений методами сплайн-коллокации и сплайн-подобластей. Полученные методы теоретически обоснованы.

6. Получена система интегральных уравнений и доказана эквивалентность этой системы задаче сопряжения, служащей моделью для задачи дифракции на диэлектрической структуре.

7. С помощью метода сплайн-коллокации построен алгоритм приближённого решения задачи сопряжения.

8. Построена система интегральных уравнений для решения задачи рассеяния электромагнитной волны бесконечной отражательной решеткой с конечным диэлектрическим включением. Доказана разрешимость соответствующей краевой, задачи. Получена система интегральных уравнений, эквивалентная исходной краевой задаче. Предложен и обоснован метод приближённого решения краевой задачи рассеяния волн на отражательных структурах с диэлектрическим включением.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессор}' Б. Г. Габдулхаеву за постоянную помощь при выполнении работы.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Липачев Е. К. Численный алгоритм решения задачи дифракции // Республ. научно - метод, конф. Тез. докл. — Одесса, 1992. — С. 80.

2. Lipachev Е. К. Approximate solution on the diffraction problem by the intégral équation method //Алгебра и анализ. Материалы Междун. научной конф., посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарёва. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994, ч. II. — С. 176 -177.

3. Липачев Е. К. Проекционно - итеративные методы решения задачи дифракции на многослойных областях // Тез. докл. школы -конф. "Теория функций и ее приложения" (15 — 22 июня 1995 г., г. Казань). — Казань. — 1995. — С. 38 - 39.

4. Липачев Е. К. О разрешимости задачи рассеяния на бесконечной решётке с конечной нарезкой //Алгебра и анализ. Материалы конф., посвящённой 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева. — Казань: Изд-во Казан, матем. общества. — 1997. — С. 135 - 136.

5. Липачев Е. К. Решение дифракционных задач в области с кусочно-гладкой границей //Алгебра и анализ. Материалы конф., посвящён-ной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева. — Казань: Изд-во

* Казан, матем. общества. — 1997. — С. 137.

6. Lipachev Е. К. Approximate methods for solving the problem of scattering by the gratings with a groove structure of a finite size //Методы дискретных особенностей в задачах аэродинамики, электродинамики и теории дифракции. Труды VII Междун. симпозиума МДОЗМФ-97. Херсон: ХТГУ, 1997. — С. 203 — 205.

7. Липачев Е. К. Онлайновые приближения решения интегрального уравнения теории дифракции //Теория приближений и гармонический анализ. Тез. докл. Междун. конф. Тула, 1998. — С. 157.

8. Lipachev Е. К. Diffraction of electromagnetic waves by gratings with piecewise smooth boundaries // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proc. VHth International Conf. MMET*98. Kharkov, Ukraine, June 2-5, 1998. — V. 1. — P. 174 - 176.

9. Lipachev E. K. Scattering by an Infinite Grating with a Groove Structure of a Finite Size // Proc. of PIERS'98 Progress in Electromagnetics Research Symposium, July 13 - 17, 1998, Congress Center, Nantes, France. — P. 326.

10. Липачев E. К. Граничные интегральные уравнения в задаче рассеяния волн на неограниченных областях // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы Всероссийской школы-конф., посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. — Казань: Изд-во Казан, матем. общества, 1999. — С. 135 - 136.

11. Липачев Е. К. Разрешимость краевой задачи дифракции волн на областях с кусочно - сладкой границей // Теория функций, ее при-

ложения и смежные вопросы. Материалы Всероссийской школы -' конф., посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. — Казань: Изд-во Казан, матем. общества, 1999. — С. 136 - 138.

12. Липачев Е. К. Краевая задача дифракции волн на решётке с диэлектрическим включением // Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 3. Казан, матем. общество. — Казань: УНИПРЕСС, 1999. — С. 331 - 334.

13. Липачев Е. К. О задачах дифракции волн на структурах со сложной геометрией // Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики. Материалы междун. научной конф., посвященной 90-летию со дня -рождения Г. Ф. Лаптева. — Москва: Изд-во ЦПИ при механико-математическом ф-те МГУ. — 1999. — С. 28.

14. Lipachev Е. К. In Boundary Integral Equation Method in Scattering Problem for Unbounded Domains // SIAM Proc. in Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 102. — P. 509 - 512.

15. Липачев E. К. Приближенные методы решения интегрального уравнения задачи дифракции волн // Диференщальш та штегральш р1вняння. Тези доповщей М1жнар. конф., Одеса, 2000. — Одесса: "АстоПринт", 2000. — С. 169 - 170.

16. Липачев Е. К. О сходимости метода сплайн - подобластей для интегрального уравнения теории дифракции // Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 5. Казан, матем. общество/)— Казань: УНИПРЕСС, 2000. — С. 128 - 129. п /

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ОБЛАСТЯМИ С БЕСКОНЕЧНОЙ ГРАНИЦЕЙ

§1. Постановка краевых задач

§2. Единственность классического решения краевых задач

§3. Применение метода обобщённых потенциалов к решению краевых задач

§4. Сведение краевых задач дифракции к интегральным уравнениям.

§5. Существование классического решения краевой задачи Дирихле

§6. Существование классического решения краевой задачи Неймана

§7. Построение приближённого решения.

Глава II. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

§1. Постановка краевых задач

§2. Единственность решения дифракционной задачи в пространстве квадратично-суммируемых функций

§3. Существование решений краевой задачи

§4. Приближённое решение краевой задачи

Глава III. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

§1. Постановка задачи сопряжения

§2. Единственность классического решения задачи сопряжения

§3. Представление решения задачи сопряжения в интегральном виде

- 3

§4. Существование классического решения задачи сопряжения

§5. Построение алгоритма приближённого решения

Глава IV. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ РЕШЁТКОЙ С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ

§1. Постановка краевой задачи

§2. Теорема единственности решения краевой задачи

§3. Интегральное представление решения краевой задачи

§4. Теорема существования решения краевой задачи

§5. Построение приближённого решения

Задачи о колебаниях самой разнообразной физической природы, описываемые уравнениями Максвелла, относят к классу дифракционных задач [11, 91]. Различают [91] случаи рассеяния, когда дифрагирующее (рассеивающее) тело имеет конечные размеры и дифракции, когда дифрагирующее тело частично простирается в бесконечность, однако спектр собственных частот непрерывен.

Круг дифракционных задач крайне широк [13, 42, 46, 70, 91, 92, 96, 100] и постоянно расширяется с развитием электротехники и средств оптической связи (см., напр., [14, 48, 93]).

С математической точки зрения целью теории дифракции является построение математических моделей физических явлений, которое включает разработку аналитических и вычислительных методов нахождения решений соответствующих краевых задач, а также исследование свойств полученных решений.

Математические методы теории дифракции систематизированы в монографиях [11, 12, 17, 34, 47, 53, 57, 65, 91, 95, 97], обзорных работах [13, 31, 45, 89].

В случае установившихся колебаний математическая модель дифракционных задач в большинстве случаев сводится к краевой задаче для уравнения или системы уравнений в частных производных эллиптического типа в областях различной формы и при разных граничных условиях. Для выделения единственного решения краевой задачи, имеющего определённый физический смысл, должны быть сформулированы условия излучения, определяющие поведение решений на бесконечности [42, 46, 78, 88]. Выбор условий излучения является одним из существенных вопросов при построении математической модели и зависит от области, в которой рассматривается дифракционная задача и от уравнения математической модели. Если на границе области имеются точки нарушения гладкости, то математическая модель содержит также условия на поведение решений в окрестности этих точек, известные как условия на ребре и состоящие в требовании конечности энергии в окрестности рёбер [42, 65].

Если область, в которой рассматривается краевая задача, обладает той или иной симметрией, можно, при некоторых предположениях, перейти от векторной формы модельных уравнений к скалярной. Это значительно упрощает дальнейшие исследования. В плоских задачах дифракции решение задачи для случая произвольно поляризованной падающей волны можно представить в виде линейной комбинации решений для случаев ТЕ и ТН поляризаций падающей волны. Исходная краевая задача при этом распадается на две независимые задачи, соответствующие каждому из случаев поляризации [77, 91, 100].

Следующим шагом исследования является нахождение решения краевой задачи в явном виде либо разработка методов приближённого решения. Явные решения получены лишь для ограниченного класса задач дифракции на областях достаточно простой формы [7, 88, 91]. В большинстве случаев математическая модель оказывается такой, что с её помощью не удается получить решений в замкнутом аналитическом виде, поэтому особое значение приобретает разработка численных методов исследования. Как правило, применение численных методов при решении задач дифракции, не ограничивается получением приближённых решений задач, но и позволяет на основе численного моделирования делать качественные выводы о характере исследуемого явления (см., напр., [13, 29, 43, 46, 70]). К тому же, как отмечено в [72], аналитические решения могут, в определенном смысле, нести избыточность над физическим содержанием.

Одним из наиболее универсальных методов численного решения краевых задач дифракции является метод интегральных уравнений. Одним из первых метод интегральных уравнений для решения краевых задач дифракции применил В. Д. Купра-дзе [57]. Работы [13, 30, 29, 42, ИЗ, 53, 59, 72, 70, 73, 79, 80, 92, 100] дают представление о достигнутом уровне численного исследования дифракционных задач методом интегральных уравнений и содержат обширную библиографию по этому кругу вопросов.

Сведение краевой задачи для уравнения эллиптического типа к интегральному уравнению осуществляется с помощью представления решений через потенциалы [63]. Это сведение неоднозначно, так как можно получать интегральные уравнения различных типов в зависимости от того, фундаментальное решение какого уравнения при этом используется. Отметим, что если интегральное уравнение получено не как следствие краевых задач, исходя из формул Грина [30], то необходимо отдельное доказательство эквивалентности краевой задачи и полученного интегрального уравнения. Как правило, краевые задачи можно свести к уравнениям с хорошо разработанной теорией. Например, в работах [29, 30, 55, 102, 103, 105] краевые задачи решались сведением к фредгольмовым уравнениям первого рода, в работах [114, 115, 119, 127, 128, 130] численные решения построены на основе фредгольмовых уравнений второго рода. В монографиях [10, 59, 70, 73] рассмотрены вопросы применения метода сингулярных интегральных уравнений к решению краевых задач математической физики, в частности, задач теории дифракции.

Метод интегральных уравнений служит не только базой для получения численных алгоритмов решения дифракционных задач, но и является аппаратом для исследования разрешимости краевых задач в различных функциональных пространствах.

Наряду с методом интегральных уравнений отметим методы, основанные на применении рядов [13, 29, 42, 99, 100, 106, 107] и численно-аналитические методы [95, 97, 112].

Таким образом, построение математической модели той или иной задачи дифракции может состоять из следующих шагов:

• Постановка краевой задачи в виде уравнения Гельмгольца (или системы таких уравнений) с граничными условиями либо первого либо второго рода (в зависимости от поляризации падающей волны), условия излучения и условий на ребре (в случае нарушения гладкости в некоторых точках);

• Исследование разрешимости краевой задачи в подходящих функциональных пространствах, т.е. доказательство теорем существования и единственности решения;

• Сведение краевой задачи к граничному интегральному уравнению;

• Разработка и обоснование методов приближённого решения интегральных уравнений, вычисление через полученные значения компонент электромагнитного поля;

• Разработка программ, реализующих приближённые методы решения дифракционной задачи.

Теоретическое обоснование приближённых методов предполагает [49]:

• Установление осуществимости и сходимости алгоритмов;

• Исследование быстроты сходимости;

• Получение эффективной оценки погрешности.

Для решения этих вопросов в диссертации применяется вариант общей теории приближённых методов Л. В. Канторовича, разработанный Б. Г. Габдулхаевым [21, 23, 24, 25]. Собственно под математической моделью того или иного дифракционного явления можно понимать исследование по только что приведённой схеме. Однако, во многих работах (см., напр., [99, 100, 106, 107]) акцент сделан на вычислительный аспект исследования и под моделью подразумевается постановка краевой задачи и разработка вычислительных алгоритмов, без проведения теоретического обоснования. Можем сослаться здесь на предисловие "О природе математической физики" известной книги [76], где подчеркнуто, что разница в подходах исследования прикладных задач связана с отличием целей и методов физики и прикладной математики. Отметим, в связи с этим, что теоретическое обоснование, в указанном ранее смысле, многих методов приближённого решения сингулярных и слабосингулярных интегральных уравнений, полученных из краевых задач дифракции проведено Б. Г. Габдулхаевым и его учениками и содержится в монографиях [24, 25], а также работах [23, 26, 28]. Обоснованию численных методов решения интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью в ядре, к которым сводятся некоторые задачи дифракции посвящены работы А. С. Ильинского [39], В. В. Воронина и В. А. Цецохо [18]. Вопросы разрешимости краевых задач дифракции исследованы в работах С. И. Абгалдаева и В. П. Моденова [1], В. М. Бабича [6], Е. В. Захарова [36], В. П. Иванова [37], В. Д. Купрадзе [56, 57], Ф. Г. Мухлисова [66, 67, 68], Е. В. Чернокожина и Ю. В. Шестопалова [94], Y. Hayashi [102, 103, 104], A. G. Ramm [109]. При дискретизации интегральных уравнений с логарифмическим ядром возникает задача построения и обоснования квадратурных формул для вычисления сингулярных и слабосингулярных интегралов. Существенные результаты в этом направлении получены Б. Г. Габдулхаевым [22, 23], С. М. Белоцерковским и И. К. Лифановым [10, 59], В. В. Панасюком, М. П. Савруком и 3. Т. Назарчуком [70, 71, 73], Н. Я. Тихоненко [86, 87].

В настоящей работе изучаются краевые задачи для уравнения Гельмгольца, возникающие при рассмотрении дифракции плоской электромагнитной волны на бесконечной структуре, совпадающей с полуплоскостью, за исключением участка конечной длины, который содержит "нарезку" (этот участок можно рассматривать как решётку). Структуры подобного типа рассматривались в работах [5, 8, 32, 47, 48, 114, 115, 58, 81, 111]. Поскольку рассеивающая часть имеет конечную длину говорят о дифракции на конечной решетке, в работе [114] использован термин решётки конечной апертуры.

Предполагаем, что профиль решётки может быть определён с помощью кусочно-гладкой функции и что характерные размеры элементов решётки соизмеримы с длиной падающей волны. Количество элементов решётки в нашем случае произвольно, что исключает возможность использования аппарата теории периодических решёток [29, 38, 44, 85, 100, 101], как это делалось, например, в работах [32, 81, 111] в случае решёток с большим числом однородных элементов решётки и, естественно, наличия периодичности. Более того, рассматриваемые в настоящей работе решётки могут иметь произвольную "нарезку", не обязательно определяемую периодической функцией.

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава посвящена изучению задачи дифракции электромагнитных волн на неограниченных областях с границей 7 , совпадающей с К , за исключением ограниченного участка 7* . Предполагается, что кривая 7 принадлежит классу

С1'" , 0 < V < 1 .

В первом параграфе рассмотренная дифракционная задача сформулирована в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с условиями Дирихле или Неймана на границе и условием излучения на бесконечности:

Аи(х,г) + к2и( х,г) = 0, (0.1)

1(х,г) = —и0(х,г), (ж,г)^7 —в ТЕ - случае, (0.2) дщ{Р) и(х, г) =

Эи{Р) дпр 7 егкг0 в

0, * и дп р Р е 7 —в ТН- случае, (0.2') 7 и = е-— и I —J , ^--1ки* = егкг о > г оо, (0.3) х,г)=и{х^)-и{х,г), и{х, z) ^ (еЩах +^К (0.4) где через щ(х,г) = егк(ах~0г) обозначена падающая волна, а ( = —1 — в случае ТЕ -поляризации и ( = 1 — в случае ТН -поляризации.

Во втором параграфе доказана теорема о единственности классических решений краевых задач, то есть принадлежащих классу С2 (Б) П С (Б и 7) (в случае условия ( 0.2' ) предполагаем существование правильной нормальной производной на границе).

Теорема 1.2.1. При 1т А: > 0 ^ Ее ^ ^ 0 в случае граничного условия (0.2')) краевые задачи (0.1) — (0.3) имеют не более одного классического решения.

В § 3 введены обобщённые потенциалы:

У<р){Р) = I д2(Р,Р')у(х')<18Р,, (0.5)

7*

ТУф){Р) = I д91^рП ф(х')йзр1, (0.6) где

9т(Р,Р') = у {н^(кг) + (-1Г нР {кг*)} , т = 1,2, (0.7) а <р,ф € С[—а,а\ .

С помощью обобщённых потенциалов в § 4 краевые задачи сведены к интегральным уравнениям

-жф{х) + I дд1д^рР>) Ф{х')<1зР> = -щ(Р) - и(Р), Ре 7% (0.8)

7* в случае краевой задачи Дирихле и

-М*) + Ф'^р, = -Л-(щ(Р)+й(Р)). (0.9) в случае краевой задачи Неймана.

В § 5 доказана теорема существования в классе С2(5,)ПС(5'и7) решений краевой задачи (0.1), (0.2), (0.3). Основным результатом параграфа является теорема

Теорема 1.5.2. Если 1т к > 0 и 7 е , то существует классическое решение краевой задачи (0.1) — (0.3).

Как следствие теоремы 5.2 и результатов §§ 2, 4, получено утверждение о эквивалентности интегрального уравнения (0.8) и краевой задачи (0.1) — (0.3). Показано, что решение краевой задачи в области Б допускает интегральное представление в виде обобщённого потенциала двойного слоя относительно участка границы 7* с плотностью, являющейся решением интегрального уравнения (0.8).

Аналогичная техника применена в § 6 для доказательства существования классического решения краевой задачи Неймана (0.1), ( 0.2' ), (0.3) и доказательства эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению (0.9).

В § 7 построен алгоритм приближённого решения задачи дифракции. Компоненты электромагнитного поля ищутся в виде обобщённых потенциалов двойного или простого слоев (в зависимости от поляризации волны), плотности которых находятся как решения интегральных уравнений (0.8) и (0.9). Для решения интегральных уравнений применены ступенчатый и полигональный методы сп л айн-кол локации. При численной реализации вычислительной схемы интегралы аппроксимировались квадратурными формулами. Дано обоснование приближённых методов решения на основе варианта общей теории приближённых методов, построенного Б. Г. Габдул-хаевым [21, 23, 24, 25].

Во второй главе рассмотрена задача рассеяния плоской электромагнитной волны неограниченной областью с кусочно-гладкой границей 7 = {(ж,/(ж)) : х € К.} ,

Математическая модель задачи сформулирована в § 1 в виде краевой задали (0.1) — (0.3), дополненной условием конечности энергии в точках нарушения гладкости (условие на ребре).

В § 2 приведено доказательство теоремы единственности решения краевой задачи в классе квадратично-суммируемых по Лебегу функций.

Теорема II.2.1. При 1т к > 0 (и 11е к ф 0 в случае граничного условия (0.2')) краевые задачи (0.1) — (0.3), (0.10) имеет не более одного решения в классе квадратично-суммируемых в смысле Лебега функций.

В § 3 доказано существование решения краевых задач в классе квадратично-суммируемых функций. Решение строится как предел функций, являющихся решениями аналогичных краевых задач в областях, границы которых получены "сглаживанием" границы рассматриваемой области.

Для приближённого решения дифракционной задачи предложен метод, основанный на ступенчатом и полигональном методах сплайн-подобластей решения интегрального уравнения, эквивалентного краевой задаче. Дано обоснование приближённых методов. Для уточнения приближённого решения использовался метод осреднения функциональных поправок [84].

В третьей главе изучается задача дифракции электромагнитной волны на на границе раздела двух диэлектрических сред. Предполагается, что граница совпадает с М , за исключением участка конечной длины.

В § 1 задача дифракции сформулирована в виде задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца: с условиями излучения на бесконечности вида (0.3).

В § 2 доказана единственность решения краевой задачи, а именно, имеет место следующее утверждение вирр / С [—а, а] для некоторого а € .

Auj(x,z) + к2 = 0, (ж, г) € Sj, ] = 1,2,

0.11)

Теорема III.2.1. Если Im кг > 0 , Im к2 > 0 и sign (Re кг) = sign (Re к2) , то задача сопряжения (0.11) имеет не более одного решения и = {иг,и2} , такого, что Uj € C2(Sj) П C(Sj U 7) и имеющего на границе 7 правильные нормальные производные ( j = 1,2 ).

В § 3 введены функции

9${Р>Р') = у 1}(к3г) +(-1 rfff'ifcjO}, j,m = 1,2. (0.12)

С помощью метода обобщённых потенциалов задача сопряжения сведена к системе интегральных уравнений. Показана фредгольмовость полученной системы интегральных уравнений.

В § 4 доказано существование классического решения задачи сопряжения. Под классическим решением здесь понимается пара функций {«i, и2} , Uj G C2(Sj) П C(Sj U 7) , имеющие правильные нормальные производные на границе, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца, условиям сопряжения на границе и условиям излучения на бесконечности.

Теорема III.4.1. Если Im k\ > 0 , Im k2 > 0 и sign (Re кг) = sign (Re k2) , mo существует классическое решение задачи сопряжения (0.11).

Доказана эквивалентность задачи сопряжения и полученной системы интегральных уравнений. Показано, что решение краевой задачи представимо в виде комбинации обобщённых потенциалов.

В § 5 этой главы приведен алгоритм приближённого решения задачи сопряжения. Система интегральных уравнений, эквивалентная задаче сопряжения, решается методом сплайн-коллокации, а полученные решения уточняются с помощью метода осреднения функциональных поправок. Проведено обоснование полученной вычислительной схемы.

Во четвертой главе рассмотрена задача рассеяния плоской электромагнитной волны отражательной решёткой с диэлектрическим включением конечного размера.

В § 1 задача рассеяния представлена в виде следующей краевой задачи для функций ui и и2 , определённых в областях <S'i и S2 , соответственно:

Auj(x,z) + kj2Uj(x,z) — 0, (x,z)€Sj, j = 1,2, (0.13)

M^^OLyVy* = -«о (®,г)|7уг" , U2 (^'^ItVY* = °> (°-14) в случае ТЕ - поляризованной волны или дщ (х, z) dz дщ (х, z) dz dui(ж,z) т\т* dz 0,

0.14') в случае TH поляризованной волны, ui(x,z) - u2(x,z))\ . = -и0(х,.

17 > dui(x,z) du2(x,z)

Pl ~W~ - P2 -eg

На бесконечности выполнены условий вида: ди0(х,z) дп uj = е

- ihuf = eikrof^= dr J \y/r

0.15) (0.16)

0.17)

В точках Pi = (—a, 0) и P2 — (o,0) предполагаем выполненными условия на ребре (условия конечности энергии в окрестности ребра).

В § 2 доказана теорема единственности рассматриваемой краевой задачи.

Теорема IV.2.1. Если Im кх > 0 , 1ш к2 > 0 и sign (Re кх) = sign (Re к2) , mo краевая задача (0.13) — (0.18) имеет не более одного классического решения и = {иг,и2} .

В § 3 с помощью формул Грина и свойств функций ей» (Р,Р') краевая задача сведена к эквивалентной системе интегральных уравнений.

Обозначения функциональных пространств и терминология, используемые в работе, соответствуют общепринятым (см., напр., [16]).

Основные научные результаты работы, выносимые на защиту, заключаются в следующем.

1. Доказаны теоремы существования и единственности классических решений краевых задач, к которым сведена задача рассеяния электромагнитной волны бесконечной отражательной решёткой с конечной нарезанной частью в виде гофра.

2. С помощью метода потенциалов краевые задачи дифракции сведены к интегральным уравнениям второго рода. Доказана эквивалентность краевых задач и интегральных уравнений.

3. В классе квадратично-суммируемых по Лебегу функций доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи дифракции электромагнитной волны на бесконечной отражательной решётке с конечной нарезанной частью, имеющей рёбра.

4. Доказана теорема существования и единственности классического решения задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрической структуре с конечной нарезанной частью.

5. Построены алгоритмы приближённого решения дифракционных задачи, основанные на численном решении модельных интегральных уравнений методами сплайн-коллокации и сплайн-подобластей. Полученные методы теоретически обоснованы.

6. Получена система интегральных уравнений, доказана эквивалентность этой системы задаче сопряжения, служащей моделью для задачи дифракции на диэлектрической структуре.

7. С помощью метода сплайн-коллокации построен алгоритм приближённого решения задачи сопряжения.

8. Построена система интегральных уравнений для решения задачи рассеяния электромагнитной волны бесконечной отражательной решеткой с конечным диэлектрическим включением. Доказана разрешимость соответствующей краевой задачи. Получена система интегральных уравнений, эквивалентная исходной краевой задаче.

Основные результаты работы представлялись на Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992), Республиканской научно-методической конференции, посвящённой 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского (Одесса, 1992), Международной научной конференции "Алгебра и анализ", посвящённой 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарёва (Казань, 1994), на школе-конференции "Теория функций и ее приложения" (Казань, 1995), VII Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Феодосия, 1997), на школе-конференции "Алгебра и анализ", посвящённой 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева (Казань, 1997), Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998), International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory

MMET*98 (Kharkov, Ukraine), Progress in Electromagnetics Research Symposium

PIERS'98 (Nantes, France), ежегодных научных конференциях Казанского университета за 1988 — 2000 гг., обсуждались на семинарах "Теория аппроксимации и ее приложения" при Казанском университете (руководитель профессор Б. Г. Габ-дулхаев), "Математические модели интегральной оптики" при кафедре прикладной

- 14 математики КГУ (руководитель профессор Н. Б. Плещинский), семинарах "Исследование математических моделей дифракционных задач" участников НИР "Волна" (Казань, КГУ, ГИПО, 1988 — 1990) и опубликованы в работах [116] — [132]. Работы [113, 114, 115, 128] написаны в соавторстве, в диссертацию из этих работ включены только результаты, полученные автором.

Пользуясь случаем, выражаю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Билсуру Габдулхаевичу Габдулхаеву за постоянное внимание к работе.

1. Абгалдаев С. И., Моденов В. П. Краевая задача для уравнения Гелъмголъца в области с бесконечной кусочно-гладкой границей. Вестник Моск. ун-та. Сер. 3, Физика. Астрономия. 1995. — Т. 36, № 2. — С. 27 - 33.

2. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.832 с.

3. Агачев Ю. Р. О сходимости метода сплайн-подобластей для интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 1981. № 6 (229). — С. 3 — 10.

4. Агачев Ю. Р. Онлайновые приближения решений интегральных и дифференциальных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1987. — 144 с.

5. Амитей Н., Галиндо В., Ву Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. — М.: Мир, 1974. — 455 с.

6. Бабич В. М. О теореме существования решения задач Дирихле и Неймана для решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гелъмголъца в квазипериодическом случае // Сиб. мат. журнал. Т. XXIX, 1988, № 2. — С. 3 9.

7. Бабич В. М., Капилевич М. Б., Михлин С. Г., Натансон Г. И., Риз П. М., Слободец-кий Л. Н., Смирнов М. М. Линейные уравнения математической физики. СМБ. — М.: Наука, 1964. — 368 с.

8. Басс Ф. Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. — 424 с.

9. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука, 1985. — 254 с.

10. Ваганов Р. Б., Каценеленбаум Б. 3. Основы теории дифракции. — М.: Наука, 1982.272 с.

11. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. — М.: Сов. радио, 1966.430 с.

12. Васильев Е. Н., Ильинский А. С., Свешников А. Г. Численные методы решения задач дифракции на локальных неоднородностях // Вычислительные методы и программирование. — 1975. — Вып. XXIV. — С. 3 23.

13. Введение в интегральную оптику / Под редакцией М. Барноски. — М. : Мир, 1977.367 с.

14. Векуа И. Н. О метагармонических функциях // Труды Тбилисского математического института. Т. XII, 1943. — С. 105 167.

15. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. — 528 с.

16. Войтович Н. Н., Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Обобщённый метод собственных колебаний в теории дифракции. — М.: Наука, 1977. — 416 с.

17. Воронин В. В., Цецохо В. А. Численное решение интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации // Журн. выч. матем. и мат. физики. — 1981. — 21, № 1. — С. 40 — 53.

18. Габдулхаев Б. Г. Об одном прямом методе решения интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 1965. № 3. — С. 52 — 60.

19. Габдулхаев Б. Г. Аппроксимация полиномами и сплайнами решений слабо сингулярных интегральных уравнений // Теория приближения функций. — М.: Наука, 1977. — С. 89 93.

20. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. — 232 с.

21. Габдулхаев Б. Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных уравнений // Итоги науки и техники. Мат. анализ. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1980. — С. 251 — 307.

22. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач и прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений: Дисс. д-ра физ.-мат. наук в форме науч. докл. — Киев, 1985. — 48 с.

23. Габдулхаев Б. Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. — Казань: Изд-во Изд-во Казан, ун-та, 1994. — 288 с.

24. Габдулхаев Б. Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1995. — 230 с.

25. Габдулхаев Б. Г., Ахмадиев М. Г. Сходимость и устойчивость общего проекционного метода решения сингулярных интегральных уравнений II рода // Актуальные вопросы теории краевых задач и их приложения. — Чебоксары, 1988. — С.138 146.

26. Габдулхаев Б. Г., Горлов В. Е. О сходимости полигонального метода решения слабо сингулярных интегральных уравнений // Функц. анализ и его приложения. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. — С. 60 72.

27. Габдулхаев Б. Г., Душков П. Н. О полигональном методе решения интегральных уравнений со слабой особенностью // Приложения функционального анализа к приближённым вычислениям. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1974. — С. 37 57.

28. Галишникова Т. Н., Ильинский А. С. Численные методы в задачах дифракции. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. — 208 с.

29. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. — 167 с.

30. Дмитриев В. И., Ильинский А. С., Свешников А. Г. Развитие математических методов исследования прямых и обратных задач электродинамики // Успехи мат. наук.1976. 31, № 6. - С. 123 - 141.

31. Дмитриева И. В. Дифракция плоской волны на отражательной решетке в случае наклонного падения // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики: Сборник. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. — С. 215 219.

32. Егоров Ю. В., Шубин М. А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 30. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. — С. 1 262.

33. Завадский В. Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах.М.: Наука, 1972. — 560 с.

34. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 352 с.

35. Захаров Е. В. О единственности и существовании решений интегральных уравнений электродинамики неоднородных сред // Вычислительные методы и программирование. — 1975. — Вып. XXIV. — С. 37 43.

36. Иванов В. П. Решение задачи дифракции плоской волны на периодической решетке // Журн. выч. матем. и мат. физики. — 1970. — 10, № 3. — С. 673 684.

37. Ильинский А. С. Метод исследования задач дифракции волн на периодической структуре II Журн. выч. матем. и мат. физики. — 1974. — 14, № 4. — С. 1063 1067.

38. Ильинский А. С. Обоснование численного метода решения интегрального уравнения с логарифмической особенностью ядра // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. математика и кибернетика. — 1986. — Вып. 4. — С. 12 15.

39. Ильинский А. С., Галишникова Т. Н. Исследование задач дифракции в волноводах методом интегральных уравнений Фредгольма // Вычислительные методы и программирование. — 1973. — Вып. XX. — С. 22 37.

40. Ильинский А. С., Гусейнов Э. А. Прямой численный метод решения сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на открытом конце волновода Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. математика и кибернетика. — 1981. — Вып. 4. — С. 9 15.

41. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. Учебное пособие. — М.: Высш. шк., — 1991. — 224 с.

42. Ильинский А. С., Павлов А. Л., Свешников А. Г. Исследование некоторых задач дифракции в неоднородных средах численными методами. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972. — 60 с. // Вычислительные методы и программирование. — 1973. — Вып. XX.С. 38 49.

43. Ильинский А. С., Свешников А. Г. Численные методы в задачах дифракции на неоднородных периодических структурах. — Сб. науч.-метод. статей по прикл. электродинамике, 1977, вып. 1. — С. 51 93.

44. Ильинский А. С., Свешников А. Г. Развитие методов математического моделирования в электродинамике // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и кибернетика. — 1981. — № 3. — С. 44 51.

45. Ильинский А. С., Слепян Г. Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. — 232 с.

46. Ильинский А. С., Шестопалов Ю. В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн. — М.: Изд—во Моск. ун-та, 1989. — 184 с.

47. Интегральная оптика / Под редакцией Т. Тамира. — М.: Мир, 1978. — 344 е.

48. Канторович J1. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. —■ М.: Наука, 1984. — 752 с.

49. Канторович JI. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. — «П.: Физматгиз, 1962. — 708 с.

50. Каценеленбаум Б. 3. Возмущение электромагнитного поля при малых деформациях поверхности металла // Журн. техн. физики. — 1955. — Т. XXV, № 3. — С. 546 -557.

51. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональный анализ.М.: Наука, 1989. — 624 с.

52. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния: Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 311 с.

53. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук. — 1983. — Т. 38, № 2. — С. 376.

54. Кравцов В. В., Шатов А. К. Применение интегральных уравнений Фредгольма I рода к решению дифракционных задач // Вычислительные методы и программирование -— 1973. — Вып. XX. — С. 134 149.

55. Купрадзе В. Д. Теоремы существования и единственности в теории дифракции // ДАН СССР. — 1934. — Т. 5. — С. 1 5.

56. Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. — М.: JL: Гостехиздат. 1950. — 280 с.

57. Лепорский А. Н. Экспериментальное исследование дифракции акустических волн на периодических структурах // Акуст. журн. — 1955. — Т. I, № 1. — С. 48 57.

58. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). — М.: ТОО "Янус", 1995. — 520 с.

59. Ложечко В. В., Шестопалов Ю. В. О задачах возбуждения открытых цилиндрических резонаторов с нерегулярной границей // Журн. выч. матем. и мат. физики. — 1995.35, № 1. — С. 71 82.

60. Лучка А. Ю. Проекционно итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1980. — 264 с.

61. Лучка А. Ю. Проекционно итеративные методы. — Киев: Наук, думка, 1993. —288 с.

62. Мазья В. Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 27. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. — С. 131 228.

63. Михлин С. Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968. — 576 с.

64. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. — М.: Мир, 1974. — 328 с.

65. Мухлисов Ф. Г. О существовании и единственности решения одной сингулярной задачи математической теории дифракции // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25, № 12. — С. 2154 2164.

66. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порождённые оператором обобщённого сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: Дисс. докт. физ.-мат. наук. — Казань, 1991.

67. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи с кусочно-гладкой границей. — М.: Наука, 1991. — 336 с.

68. Назарчук 3. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. — Киев: Наук, думка, 1989. — 256 с.

69. Назарчук 3. Т. Численное решение двумерных задач дифракции методом сингулярных интегральных уравнений: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. — Харьков, 1989. — 339 с.

70. Никольский В. В. Прямые методы для внутренних задач электродинамики // Вычислительные методы и программирование. — 1968. — Вып. X. — С. 102 123.

71. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук 3. Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах теории дифракции. — Киев: Наук, думка, 1984. — 344 с.

72. Плещинский Н. Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987. — 158 с.

73. Плещинский Н. Б. Сингулярные интегральные уравнения со сложной особенностью в ядре, алгоритмы их численного решения и приложения: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. — Казань, 1997. — 230 с.

74. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т. I. — М.: Мир, 1982. — 488 с.

75. Самарский А. А., Тихонов А. Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // Журн. техн. физики. — 1948. — XVIII, вып. 7, — С. 959 970.

76. Свешников А. Г. Принцип излучения // ДАН СССР. — 1950. — 73, № 5. — С. 917

77. Свешников А. Г. Численные методы в теории дифракции // Труды Международного Конгресса Математиков. Ванкувер, 1974. — С. 437 442.

78. Свешников А. Г., Ильинский А. С. Четыре лекции по численным методам в теории дифракции. — JL: Изд во ЛГУ, 1972.

79. Скорохватова И. В. Численное исследование излучения конечной волноводной решёткой // Численные методы электродинамики. Вып. II. — М.: Изд-во Моск. унта, 1977. — С. 23 39.

80. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4■ — М., 1957. — 812 с.

81. Смирнов Ю. Г. О полноте системы собственных и присоединенных волн частично заполненного волновода с нерегулярной границей // ДАН СССР. — 1987. — 297, Ш 4.С. 829 832.

82. Соколов Ю. Д. Метод осреднения функциональных поправок. — Киев. Наук, думка, 1967. — 336 с.

83. Сухинин С. В. Качественные вопросы теории рассеяния на периодических цилиндрических препятствиях "Динамика сплошной среды". — Новосибирск: Ин-т гидродинамики, 1984. — Вып. 67. — С. 118 134.

84. Тихоненко Н. Я. Методы решения задач теории аналитических функций. — Киев: УМК ВО УССР, 1988. — 88 с.

85. Тихоненко Н. Я. Приближённое решение краевых задач теории аналитических функций и их приложения: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1994. — 327 с.

86. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.736 с.

87. Тихонов А. Н., Свешников А. Г., Дмитриев В. И. Некоторые общие алгоритмырешения прямых и обратных задач электродинамики. // Вычислительные методы и программирование — 1973. — Вып. XX. — С. 3 11.

88. Федоров Н. Н. Основы электродинамики. — М.: Высш. школа. — 1980. — 399 с.

89. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. Пер. с нем. / Под ред. Г. Д. Ма-люжинца. — М.: Мир, 1964. — 428 с.

90. Чаплин А. Ф. Анализ и синтез антенных решеток. — Львов: Изд-во Львов, ун-та, 1987. — 180 с.

91. Чео П. К. Волоконная оптика: Приборы и системы: Пер. с англ. — М.: Энергоато-миздат, 1988. — 280 с.

92. Чернокожин Е. В., Шестопалов Ю. В. О разрешимости краевых задач для уравнения Гелъмголъца в неограниченной области с некомпактной границей // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 4. — С. 546 553.

93. Шестопалов В. П. Метод задачи Римана Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1971. — 400 с.

94. Шестопалов В. П. Физические основы миллиметровой и су б миллиметр о в ой техники. В 2-х т. — Киев: Наук, думка, 1985.

95. Шестопалов В. П., Литвиненко Л. Н., Масалов С. А., Сологуб В. П. Дифракция волн на решетках. —• Харьков: Изд-во ХГУ, 1973. — 287 с.

96. Шестопалов Ю. В. Применение метода обобщённых потенциалов для решения некоторых задач теории дифракции и распространения волн 11 Журн. выч. матем. и мат. физики. — 1990. — 30, № 7. — С. 1081 1092.

97. Chang К. С., Shah V., Tamir Т. Scatteriny and Guiding of waves by Dielectric Gratings with Arbitrary Profiles // JOSA. — 1980. — 70, No. 7. — P. 804 812.

98. Electromagnetic Theory of Gratings. / Ed. by R. Petit, — Berlin Heidelberg, New York, 1980. — 284 p.

99. Gang Bao. Numerical analysis of diffraction by periodic structures: TM polarization // Numerische Mathematik Electronic Edition. — 1996. — 75. — P. 1 16.

100. Hayashi Y. The Dirichlet problem for the two-dimensional Helmholtz equation for an open boundary // J. Math. Anal, and Appl. — 1973. — 44. — P. 489 530.

101. Hayashi Y. The expansion theory of the Dirichlet problem for the Helmholtz equation for an open boundary // J. Math. Anal, and Appl. — 1977. — 61. — P. 331 340.

102. Hayashi Y. On existence of the solution of a certain integral equation of the first kind in the sense of a distribution // Proc. Japan. Acad., 1984, 60, Ser. A, No. 8. — P. 295 298.

103. Hayashi Y., Hurd R.A. On a certain integral equation of Fredholm of the first kind and a related singular integral equation // Proc. Japan. Acad., 1980, 56, Ser. A, No. 1. — P. 22- 27.

104. Marcuse D. Exact Theory of ТЕ Wave Scattering From Blezed Dielectric Gratings // The Bell System Technical Journal. — 1976. — Vol. 55, No. 9. — P. 1295 - 1317.

105. Marcuse D. Thick Dielectric Grating on Asymmetric Slab Waveguide. // The Bell System Technical Journal. — 1977. — Vol. 56, No. 3. — P. 329 353.

106. Ramm A. G. Scattering by a penetrable body //J. Math. Phys. — 1984. — 25, No. 3. — P. 469 471.

107. Schwerdtfeger H. Notes on numerical analysis // Canad. Math. Bull. — 1960. — V. 3, No. 1.

108. Tomita M. Thin film waveguide with aperiodic groove structure of finite extent // JOSA,1989. — A. — Vol. 6, No. 9. — P. 1455 1464.

109. Касьянов В. И., Липачёв Е. К. Геометрия поверхностей в оптике // Тез. докл. Меж-дун. научной конф. "Лобачевский и современная геометрия", Казань. — 1992, ч. II, — С. 91.

110. Касьянов В. И., Липачёв Е. К. Численная реализация интегральных методов теории дифракции / Казан, ун-т. — Казань, 1993. — 103 с. — Деп. в ВИНИТИ 07.10.93, № 2526 — В93.

111. Касьянов В. И., Липачёв Е. К. Численная реализация проекционно-итеративного метода решения задачи рассеяния на решётке конечной апертуры / Казан, ун-т. — Казань, 1996. — 39 с. — Деп. в ВИНИТИ 08.01.97, № 71 — В97.

112. Липачёв Е. К. Численный алгоритм решения задачи дифракции // Республ. научно- метод, конф. Тез. докл. — Одесса, 1992. — С. 80.

113. Липачёв Е. К. Проекционно итеративные методы решения задачи дифракции на многослойных областях // Тезисы докладов школы - конф. "Теория функций и ее приложения"(15 — 22 июня 1995 г., г. Казань). — Казань. — 1995. — С. 38 - 39.

114. Липачёв Е. К. О разрешимости задачи рассеяния на бесконечной решётке с конечной нарезкой //Алгебра и анализ. Материалы конф., посвящённой 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева. — Казань: Изд-во Казан, матем. общества. — 1997. — С. 135- 136.

115. Липачёв Е. К. Решение дифракционных задач в области с кусочно-гладкой границей //Алгебра и анализ. Материалы конф., посвящённой 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева. — Казань: Изд-во Казан, матем. общества. — 1997. — С. 137.

116. Липачёв Е. К. Онлайновые приближения решения интегрального уравнения теории дифракции //Теория приближений и гармонический анализ. Тез. докл. Междун. конф. Тула, 1998. — С. 157.

117. Липачёв Е. К. Краевая задача дифракции волн на решётке с диэлектрическим включением // Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 3. Краевые задачи и их приложения. Казан, матем. общество. — Казань: УНИПРЕСС, 1999. — С. 331 -334.

118. Липачёв Е. К. О сходимости метода сплайн-подобластей для интегрального уравнения теории дифракции // Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 5. Казан, матем. общество. — Казань: УНИПРЕСС, 2000. — С. 128 129.

119. Липачёв Е. К. К приближенному решению краевой задачи дифракции волн на областях с бесконечной границей // Изв. вузов. Математика. — 2000. (в печати).

120. Lipachev Е. К., Diffraction of electromagnetic waves by gratings with piecewise smooth boundaries // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proc. Vllth International Conf. MMET*98. Kharkov, Ukraine, June 2-5, 1998. — V. 1. — P. 174- 176.

121. Lipachev E. K., Scattering by an Infinite Grating with a Groove Structure of a Finite Size // Proc. of PIERS'98 Progress in Electromagnetics Research Symposium, July 13 17, 1998, Congress Center, Nantes, France. — P. 326.

122. Lipachev E. K., In Boundary Integral Equation Method in Scattering Problem for Unbounded Domains // SIAM Proc. in Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 102. — P. 509 512.