Исследование по теории волн Кельвина во вращающихся бассейнах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОИОД ДИФРАКЦИИ ВОЛН КЕЛЬВИНА

1.1. Уравнение Гельмгольца и граничные условия в линейной теории длинных поверхностных волн

1.2. Основные результаты работ по теории дифракции волн Кельвина.

1.3. Об условии на ребре в линейной теории длинных поверхностных волн

2. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН КЕЛЬВИНА НА ОТКРЫТОМ КОНЦЕ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО КАНАЛА

2.1. Постановка задачи дифракции волн Кельвина.

2.2. Система парных интегральных уравнений

2.3. Факторизация ядер интегральных уравнений

2.4. Формулы для возвышений поверхности

2.5. Распространение волн Кельвина из канала

2.6. Численный анализ решения

2.7. Отражение лунной полусуточной приливной волны в модельном бассейне

3. даФРАКЦИЯ ВОЛН КЕЛЬВИНА В КАНАЛЕ С ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СТЕНКОЙ

3.1. Постановка задачи

3.2. Система парных интегральных уравнений

3.3. Формулы для возвышений

3.4. Распространение волн Кельвина вдоль бесконечной стенки

3.5. Результаты численного анализа

4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН КЕЛЬВИНА ИЗ КАНАЛА В

ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЙ БАССЕЙН.

4.1. Постановка задачи

4.2. Система функциональных уравнений

4.3. Сведение задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений

4.4. Численный анализ амплитуд волн

В настоящей работе изучаются задачи о распространении длинных волн по поверхности идеальной жидкости, помещенной во вращающийся бассейн конечной глубины. К длинным волнам принято относить такие волны, длина которых во много раз больше глубины бассейна, а амплитуда во много раз меньше глубины бассейна. В геофизике к таким волнам относятся приливные волны, волны цунами, а также волны от сильных штормов, распространяющиеся на мелководье или вблизи материков и островов. Общеизвестна практическ£ш значимость изучения таких волн для нужд безопасного надводного и подводного мореплавания, строительства гидротехнических сооружений, обеспечения устойчивости движения кораблей, самолетов. С разработкой надежного прогноза движения длинных поверхностных и внутренних волн связано решение таких проблем,как загрязнение Мирового океана, промышленное и гражданское строительство в прибрежных районах, проектирование приливных электростанций. На движение длинных волн, пронизывающих всю толщу жидкости, большое влияние оказывает вращение Земли, которое приводит к интересным и своеобразным эффектам, в частности, к появлению граничных волн Кельвина. В то же время учет силы Кориолиса, воздействующей на взволнованную жидкость во вращающемся бассейне, существенно усложняет аналитическое исследование всех вопросов, связанных с распространением длинных волн, приводя исследователя к решению краевых задач для уравнения Гельмгольца с граничным условием на так называемую косую производную, т.е. на линейную комбинацию касательной и нормальной к границе производных.Специфика длинных волн затрудняет эксперименты по моделированию явлений дифракции этих волн в опытовых бассейнах. Те эксперименты с вращающейся жидкостью, которые пока удается осуществить в бассейнах небольших размеров, недостаточны для исследования процессов распространения длинных волн в реальных геофизических бассейнах. В последние десятилетия бурно развиваются численные методы решения задач математической физики. Однако применение ЭВМ для расчета движения длинных поверхностных волн сдерживается некоторыми трудностями. Основная среди них отсутствие достаточно хороших и устойчивых алгоритмов расчета задач с граничными условиями на KQcyiu производную, то есть именно таких, к которым приводит изучение процесса дифракции длинных поверхностных волн. Кроме того, для исследования дифракций высокочастотных кельвиновских волн численные методы мало пригодны. Поэтому большое значение в настоящее время приобретают аналитические и полуаналитические методы исследования длинных волн. Однако такие методы довольно сложны, а их применение сопряжено с некоторыми трудностями. Отметим, что традиционные для электродинамики и акустики задачи дифракции /4,19,20,45/ обычно сводятся к уравнению Гельмгольца с граничными условиями либо на искомую функцию, либо на ее нормальную к границе производную. Ясно, что развитые в электродинамике методы /5-7,9,19,25,26,28,41,43,45,46/ не могут быть применены непосредственно для решения задач дифракции длинных поверхностных волн во вращающихся жидкостях вследствие того,что граничное условие в этих гидродинамических задачах задается на косую производную неизвестной функции. В настоящей работе покаб зано, что в сочетании со специальные приемом один из упомянутых методов, а именно: метод Винера-Хопфа-Фока (далее метод ВХФ) /28,43,58/, с успехом может быть использован при решении краевых задач для уравнения Гельмгольца с граничным условием на косую производную. Задачи, аналитически решенные с помощью такого подхода в настоящей работе, это актуальные для приложений исследования дифракции волн Кельвина во вращающихся бассейнах конечной глубины. Необходимость их решения обусловлена следующими причинами: краевые задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями на косую производную представляют самостоятельный интерес; более реальная постановка задач дифракции поверхностных волн потребует привлечения численных методов, так что наши задачи могут служить эталоном, по которому можно выверять численные методы; результаты численного анализа амплитуд волн, возбуждаемых при дифракции волн Кельвина, представляют интерес в геофизике, при исследовании движения приливных волн. Структура диссертации такова. В первом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассматриваются дифракционные задачи, постановка которых обусловлена запросами теории приливных движений океана, учитывающей вращение Земли. Решение всех рассмотренных задач получено на основе метода, сущность которого состоит в следующем: вместо задачи для возвышений рассматривается задача для той компоненты скорости, которая обращается в ноль на стенках, соприкасающихся с жидкостью. После того, как решение этой вспомогательной задачи найдено, определяются возвышения.

1. Решена задача о дифракции.волн Кельвина на открытом конце полубесконечного канала. Для амплитуд дифрагированных волн получены аналитические выражения, которые затем исследованы численно. Проведены необходимые для этого оценки погрешности редукции бесконечных произведений. Результаты вычислений представлены в виде графиков зависимости модулей амплитуд волн Кельвина и распространяющихся волн от безразмерной ширины канала. Выявлен пороговый по ширине канала характер зарождения распространяющихся волн. Показано, что волновые движения в бассейне вдали от входа в канал представляют собой расходящиеся затухающие цилиндрические волны. Результаты применены для исследования отражения лунной полусуточной приливной волньг в модельном бассейне. Получено хорошее согласие теоретических и наблюдаемых данных.

2. Решена задача о дифракции волн Кельвина в канале, содержащем полубесконечную стенку. Для амплитуд собственных волн получены аналитические формулы. Зависимость модулей амплитуд волн от ширины канала исследована численно. Результаты численного анализа представлены в виде графиков. Выявлен пороговый по ширине канала характер зарождения распространяющихся волн.

3. Решена задача о распространении волн Кельвина из канала в полуограниченный бассейн. Задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд собственных волн канала* которая решалась численно методом усечения. Результаты вычислений представлены в виде графиков. Выявлен пороговый характер зарождения распространяющихся волн. Показано, что в бассейне вдоль одной из полубесконечных стенок распространяется волна Кельвина, а вдали от стенок на больших расстояниях от входа в канал возвышения представляют собой расходящиеся затухающие цилиндрические волны. Для амплитуд волн в бассейне получены аналитические формулы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Белякову Владимиру Алексеевичу за по мощь, оказанную при работе над диссертацией.

1. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломэв A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1966. 339 с.

2. Болотовский Б.М., Кугель К.И. К теории пороговых явлений при дифракщи электромагнитных волн. Журнал эксперим. и теоретич.физики, 1969,т.57, № I, с.165-174.

3. Болотовский Б.М., Лебедев А.Н. О пороговых явлениях в классической электродинамике. Журнал эксперим.и теоретич.физики, 1967, т.53, № 4, с.1349-1352.

4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 2973 . 720 с.

5. Боровиков В.А., Нинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Советское радио, 1966 . 431 с.

6. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982. 272 с.

7. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизащи. М.: Советское радио, 1966. 431 с.

8. Войт С.С. Распространение приливных волн из пролива в полуограниченный бассейн. Известия АН СССР, серия геофизическая, 1958, № 4, с.486-496.

9. Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Сивов Н.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, 1977. 416 с.

10. Габов С.А. Применение метода JI.H.Сретенского к одной задаче теории волн в каналах. Журнал вычисл. матем. и математ. физики, 1975, т.15, вып.1, с.217-226.

11. Габов С.А., Рубан П.И., Секерж-Зеньковдч С.Я. Дифракция волн Кельвина на полубесконечной стенке в полуограниченном бассейне. Журнал вычисл. матем. и математич. физики, 1975, т.15, вып.6, с.1512-1524.

12. Габов С.А. Дифракция волны Кельвина на полубесконечной стенке в неограниченном бассейне. Вестник Мэсковского университета, сер.матем. и механ., I9TO, № 5, с.100-107.

13. Габов С.А. Дифракция волны Кельвина на полубесконечной стенке. Доклады АН СССР, 1974, т.217, № 2, с.299-302.

14. Габов С.А. 0 дифракции волн Кельвина на щели. Доклады АН СССР, 1975, т.220, № 5, с.1050-1052.

15. Градщтейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

16. Евграфов М.А. Аналитические функщи. М.: Наука, 1968. 471 с.

17. Зоммерфельд А. Оптика. М.: ИЛ, 1953. 487 с.

18. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 19^. 496 с.

19. Кошляков Н.С., Глинэр Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

20. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973 . 736 с.

21. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Шр, 1982. 598 с.

22. Ламб Г. Гидроданамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

23. Левин Л. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981. 312 с.

24. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. 328 с.

25. Нестеров С.В., Плис В.И. Дифракция волн Кельвина в канале с полубесконечной стенкой. Труды Московского энергетического института, 1980, вып.499, с.119-122.

26. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Из-во иностр. лит-ры, 1962. 279 с.

27. Плис В.И. Об "условии на ребре" в линейной теории длинных поверхностных волн. Прикладная математика и механика, 1979, т.43, № 3, с.564-566.

28. Плис А.И., Плис В.И. Дифракция волн Кельвина на открытом конце плоскопараллельного канала. Прикладная математика и механика, 1980, т.44, № I, с.69-76.

29. Плис А.И., Плис В.И. Распространение волн Кельвина из пролива в полуограниченный бассейн. Труды Московского энергетического института, 1980, вып.499, с.125-129.

30. Плис В.И. Распространение волн Кельвина из канала в полуограниченный бассейн. Прикладная математика и механика, 1981, т.45, № 6, с.1041-ГО48.

31. Плис В.И. Дифракция вэлн Кельвина в канале с полубесконечной стенкой, Прикладная математика и механика, 1983, т.47, № б, с.947-953.

32. Поберезкин С.М. Дифракция внутренней волны Кельвина на полубесконечном барьере. Сборник научных трудов Куйбышевского политехнического института, 1974, вып.7, с.76-81.

33. Поберезкин С.М. Дифракпртя внутренних волн Кельвина на щели,1976. Севастополь, сб."Цунами и внутренние волны",с.124-132.

34. Поберезкин С.М. Дифракция плоской волны на пластине. Сб. "Гидрогазоданамика", Куйбышев, 1976, с.9-18.

35. Риекстинып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. T.I, Рига: Зинатне, 1974. 390 с.

36. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.-Л.: Глав.ред. общетехн.лит. и номэгр., ОНТИ, 1936. 303 с.

37. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

38. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Советское радио, 1962. 240 с.

39. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

40. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Советское радио, 1970. 520 с.

41. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Математический сборник, 1943, т.14(56), № 1-2, с.3-48.

42. Хёнль X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции, М.: Мир, 1964. 428 с.

43. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дафракщи и распространения электромагнитных волн. Харьков. Из-во ХГУ, 197I. 400 с.

44. Buchwald V.T. The diffraction of Kelvin waves at a corner, Journal of Fluid Mechanics, v.31, pt. 1, 1968, p. 193-205.

45. Buchwald V.T. The diffraction of tides "by a narrow channel, Journal of Fluid Mechanics, v. 46, pt. 3» 1971» p. 501-511.

46. Buchwald V.T., Miles J.W. Kelvin wave diffraction by a gap, Journal of the Australian Mathematical Society, v.17, No.1, 1974-» p. 29-34.

47. Crease J, Long waves on a rotating earth in the presence of a semi-infinite barrier, Journal of Fluid Mechanics, v. 1, pt.1, 1956, p. 86-96.

48. Kapoulitsas G.M. Diffraction of Kelvin waves from a rotating channel with an infinite and semi-infinite barrier, Journal of Physics, A 12, Ш 3, 1979, p. 733-742.

49. Kapoulitsas G.M. Scattering of long waves in a rotating bifurcated channel, International Journal of Theoretical Physics, v. 19, N 10, 1980, p. 773-788.

50. Kapoulitsas G.M. The diffraction of long waves by a semi-infinite vertical barriere on a rotating earth, International Journal of Theoretical Physics, v.16, N 10, 1977,1. P. 763-773.