Асимптотическое исследование некоторых линейных задач гидродинамики жидкости малой глубины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ с- УНИВЕРСИТЕТ

& е л

На правах рукописи

•Л* \

РОХЛИН Дмитрий Борисович

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1998

Работа выполнена в Ростовском государственном Университете и научно-исследовательском институте механики и прикладной математики РГУ.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Потетюнко Э.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Алешков Ю.З.

кандидат физико-математических наук, додент Сазонов Л.И.

Ведущая организация: Институт проблем механики

Российской Академии Наук

Защита состоится и " ШОНЛ_ 1998 г. в

часов на заседании диссертационного Совета К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном Университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СПбГУ по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан " 30 " С^г^ии^_ 1998 г.

учёный секретарь диссертационного совета К 063.57.13, доктор физ.-мат. наук, профессор

/Нарбут М.А./

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи об ударном взаимодействии тел с жидкостью, о свободных колебаниях вращающейся жидкости и о распространении волн в вязкой жидкости являются классическими. Их изучение стимулируется как потребностями практики, так и внутренней логикой развития науки. Большой интерес в настоящее время вызывают такие вопросы, как определение присоединённых масс тела и исследование явления отрыва при ударе, структура и асимптотика спектра операторов, связанных с задачами гидродинамики, асимптотическое исследование волновых процессов.

Наиболее полное исследование ряда проблем представляется возможным в предположении о малости глубины жидкости. В связи с этим рассматриваются следующие аналоги перечисленных задач для жидкости малой глубины: (i) задача об ударе по плоскому телу, плавающему на поверхности тонкого слоя идеальной несжимаемой жидкости, (ii) спектральная задача для приливных уравнений Лапласа на компактной поверхности с краем или без, (iii) задача о построении асимптотики фундаментального решения уравнения распространения возмущений в вязкой среде в размерностях 1 и 2.

На практике теория удара используется, например, при расчёте приводнения летательных аппаратов, сбрасывании на воду регистрационных буев и авиабомб. Основы теории удара тела о жидкость были заложены в работах Н.Е. Жуковского, Л.И. Седова, М.В. Келдыша. Ряд задач пространственной теории удара изучен в статьях И.И. Воровича, В.И. Юдовича, Э.Л. Блоха, B.C. Сабанеева, Н.М. и Ф.Н. Бородачёвых, Л.С. Ворович, В.В. Попова, М.И. Чебакова, H.A. Веклича, М.В. Норкина и других авторов.

Исследование приливов представляет интерес для навигации, рыболовства, климатологии, электроэнергетики. Для сбора информации о приливах в настоящее время активно привлекаются спутниковые системы. Значительный вклад в изучение приливных уравнений Лапласа (Laplace, 1775) внесли Кельвин, S.S. Hough, А. Пуанкаре, Л. Рэлей, Г.Ламб, Л.Н. Сретенский, П.Я. Полубаринова-Кочина, M.S. Longuet-Higgins, Л.А. Дикий, В.М. Каменкович, Г.И. Марчук, Б.А. Кагап и многие другие учёные.

Следует отметить, что большинство работ по теории удара и спектральной задаче теории приливов посвящены изучению частных случаев. В связи с этим актуальным является выделение классов задач,

допускающих эффективное решение или качественное исследование.

Важнейшей предпосылкой данной работы является наличие большого числа публикаций, относящихся к рассматриваемым вопросам, а также имеющийся в настоящее время адекватный математический аппарат: теория эллиптических задач в областях с кусочно-гладкой границей (В.А. Кондратьев, 1967, С.А. Назаров и Б.А. Пламеневский, 1991), спектральная теория линейных операторов и операторных пучков (A.C. Маркус, 1986, Ю.Ш. Абрамов, 1983, Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан, 1989), различные асимптотические методы (М.И. Вишик и JI.A. Люстерник, 1957, М.Г. Джавадов, 1965, М.В. Фе-дорюк, 1987, A.M. Ильин, 1989).

Цель работы состоит в асимптотическом исследовании на математическом уровне строгости существенных для рассматриваемых гидродинамических явлений величин. В задаче удара строилась асимптотика кинетической энергии жидкости и определялась область безотрывного удара, в спектральной задаче теории приливов изучалась структура и асимптотика спектра приливных уравнений Лапласа, в задаче о распространении возмущений в вязкой среде — асимптотика фундаментального решения в различных областях.

Научная новизпа результатов исследования.

В задаче (i) в случае произвольного плоского тела с гладкой границей получены формулы для определения двух главных членов асимптотики кинетической энергии жидкости и области безотрывного удара при неограниченном уменьшении толщины слоя. В указанные формулы входит только решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в двумерной области, занятой телом. Ранее изучался лишь случай круглого диска (М.И. Чебаков, 1974).

При исследовании задачи (ii) реализован подход, основанный на операторных методах. С его помощью обоснованы асимптотики высокочастотной и низкочастотной частей спектра, указаны условия, при которых спектры гравитационных волн и волн Россби разделены лакуной и получены их оценки вариацинного типа. Найден также ряд новых асимптотических формул при больших значениях параметра Ламба, пропорционального квадрату угловой скорости вращения поверхности. Отметим, что операторные методы получили широкое распространение в гидродинамике (Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан, 1989), однако с целью исследования приливных уравнений Лапласа ранее не применялись.

В задаче (iii) при помощи асимптотического анализа интегрально-

го представления на основе метода перевала выведены асимптотические разложения, описывающие поведение фундаментального решения в трёх областях: перед фронтом, за фронтом и в окрестности фронта.

Научно-практическая ценность работы.

Выделен класс задач пространственной теории удара, допускающих эффективное решение. Алгоритм построения асимптотики допускает обобщение на другие эллиптические задачи в тонком слое или цилиндре, в которых имеется линия смепы граничных условий на сближающихся сторонах. Доказаппая теорема о знаке потенциала задачи теории удара в тонком слое представляет интерес с математической точки зрения. Полученные формулы, представляющие и самостоятельный интерес, могут служить ориентиром при численных расчётах и при исследовании задач удара плоских тел о жидкость конечной глубины.

(и) Применённый подход позволил исследовать классическую спектральную задачу для приливных уравнений Лапласа в общей постановке и установить ряд строгих результатов о структуре и асимптотике спектра, а также о его зависимости от параметра Ламба.

Получепные результаты представляют интерес прежде всего для общей теории приливов, их следует учитывать при решении конкретных задач о свободных колебаниях вращающейся жидкости малой глубины. Данная часть работы находится в русле исследований спектральных задач гидродинамики при помощи операторных методов.

(ш) Построенные асимптотики дополняют известные результаты о распространении волн в вязкой и упруговязкой среде и могут быть использованы при исследовании соответствующей задачи с переменными коэффициентами и численных расчётах. Полученные результаты следует рассматривать в контексте исследований волновых процессов на основе асимптотического анализа интегралов и метода сращиваемых асимптотических разложений.

Достоверность результатов. Все результаты работы строго математически обоснованы. В ряде случаев проводилось их сопоставление с результатами других авторов и использовались различные альтернативные методы.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на Второй и Третьей международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996, 1997), а также на научных семинарах кафедры вычислительной математики и ма-

тематической физики (зав. каф. проф. Юдович В.И.) Ростовского государственного Университета.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8-ми печатных работах, список которых приводится в конце автореферата. В работе [7] Э.Н. Потетюнко принадлежит постановка задачи и идея применения метода перевала. Диссертанту принадлежит реализация этой идеи.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка используемой литературы из 12-5 наименований. Общий объём диссертации 176 страниц.

Все материалы подготовлены при помощи макропакета Ш^Х.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика рассматриваемых задач, описано содержание работы на уровне глав и параграфов.

В первой главе рассматривается удар по произвольному плоскому ограниченному телу О С К2 с гладкой границей, плавающему на поверхности слоя С}и = {(х,у,г) 6 К3 : —Л < г < 0} идеальной несжимаемой жидкости единичной плотности. Потенциал (р = <р(х,у,г,Н) скоростей, приобретённых частицами жидкости в результате удара, удовлетворяет краевой задаче (Л.И. Седов, 1933)

Д3<Р = 0, (х,у,г)е(3н, (1)

д(р

д(р а!

= 0. (2)

= д(х,у), (х,у)еП; ¥>|г=0= 0, (х,у)£П-,

2=0

Здесь и далее через Д* и У*, к — 2, 3 обозначаются ¿-мерный лапласиан и градиент. Задача (1), (2) имеет единственное решение с копечным интегралом энергии Еь и для него справедлива априорная оценка Е1,/* = £2ШЦ < 12(0)||, К € (О,Л0), где С не

зависит от И.

Для краткости записи будем считать, что множество д(2 = Г состоит из одной компоненты. Введём в некоторой окрестности поверхности Г X (—Ь, 0) локальную систему координат г, г), где * € [0, Г] — длина дуги Г, г — расстояние, отсчитываемое по внешней нормали к Г. Обозначим через множество {(х,у) : |г| < е} и рассмотрим срезающие функции 0 < (; < 1, (1 6 С(5°(12), (2 € где в —

достаточно малое фиксированное число. Функция £1 зависит от к и

удовлетворяех условиям Сг = 1 в П\5/,, — О в 5/>/2- Функция £2 не зависит от Н.

Асимптотическое разложение функции у? при к —> 0 состоит из функций первого итерационного процесса (регулярной части) с носителем в цилиндре и х [—Л, 0] и функций второго итерационного процесса (пограничного слоя), сосредоточенных в окрестности поверхности Г х (—Л, 0): р = С1 ££=-1 У, т) + С2 Ек=о *)■+ г», т = г/Л, £ = г/к.

Уравнения для определения функций первого итерационного процесса 11к = щ(х,у) + Щ(х, у. т) выводятся по известному алгоритму (М.Г. Джавадов, 1965). Функции пограничного слоя удовлетворяют краевым задачам в полосе вида

-Д2г» = /(е,г), (£, г) £ П = (-оо, +оо) х (-1,0), (3)

= ^<0; «(е,0) = 0, £>0; |^,-1) = 0 (4)

с параметром I. Краевые условия для функций щ определяются из условий разрешимости задач (3), (4) в классе функций с конечной энергией .&2(П)||, экспоненциально убывающих при £ —> ±оо. В частности, = и^\(х,у), Щ — щ(х,у) и

- Д2«_1 = д(х,у), Д2 Щ = 0, (ж,?/)бП, (5)

1п 4 <9м_1

w_iL = 0, u0

(6)

г

|Г ~ тг 0П

Здесь д/дп — производная по внешней нормали к Г = <ЭГ2.

Основные результаты содержатся в следующих утверждениях [1].

Теорема 1. Интеграл энергии разлагается в асимптотический ряд по целым степеням h: Е¿ = JnipgdQ ~ 1 Л —► 0 м

А,- = / Ujgdn, j = -1,0. Jí2

Теорема 2. 1) Пусть выполнены условия

и_i < 0, (ж, у) € О, du-i/dn > 0, (я, у) е Г,

тогда существует такое /го > 0, что

sup <р(М, К) < 0, Л G(0,/i0). MeQh

2) Пусть U-i(M') > 0 в некоторой точке М' G П, тогда <p(M',h) > 0 при достаточно малых h.

При доказательстве теоремы 2 существенно используются результаты теории эллиптических краевых задач в областях с угловыми точками и гладкими рёбрами на границе, изложенной в монографии С.А. Назарова и Б.А. Пламеневского, 1991.

Получена также формула для коэффициента в асимптотике точного решения вблизи Г (£ = pcosO, т = psinO):

у ~ bQ{t %J/2sin(0/2), р - О, Ь0 = 2 ди~1

дп

+ 0(h), h 0. (7)

г

Пусть по плоскому однородному абсолютно твёрдому телу О, симметричному относительно осей Ох, Оу, наносится вертикальный удар в точке (жо,уо) и импульс силы равен (0,0, —^о), -^о > 0. Присоединённая масса и присоединённые моменты инерции относительно осей Ох, Оу вычисляются по формулам М — <ро «¿П, = ¡ц У<Р2 ,1У — х<р\ сЮ, где функции <рт, т = 0,1,2 являются решениями краевых задач (1), (2) с правыми частями дт, равными 1, х, у соответственно. Асимптотика величин М, 3х, Зу вычисляется по теореме 1.

Пусть функции — 0,1,2 являются решениями краевых задач

(5), (6) с правыми частями дт, а М-\, ■/£ [, — главные члены асимптотики присоединённых массы и моментов инерции. Анализ условий теоремы 2 показывает, что если импульс силы приложен во внутренней точке (хо,уа) множества

М-1 М_1

9Л = {(ж0,2/о) : и-1,о + + уо-^-И-1,2 > 0, V (х, у) € О},

то удар является безотрывным, т.е. импульсивное давление рг = —у неотрицательно при малых Д. Если же (хо,Уо) € Е2\Ш1, то происходит отрыв. Доказано также, что множество 271, которое естественно назвать областью безотрывного удара при малых Ь, содержит точку (0,0) и является ограниченным, открытым и выпуклым.

Приведём формулы для двух членов асимптотики присоединённой массы кольца О = {(х, у) : а\ < х2 + у2 < а\}:

00 12

м ~ £ л'Мь ьи = ¡«1(1 - „2) (1 + + ,

к=-1

м„- Щг + И + + Щ), -е (0Д).

Областью безотрывного удара кольца при малых к является круг с центром в начале координат радиуса

р г \ /л 21п ^ +1 — I/2

До = а19М, 12 (1 + 1/2)1пг/+1_г/2-

Численные расчёты показывают, что функция q = монотонно возрастает и близка к линейной. Её предельные значения: = 1/6, = 1/2. Удар по кольцу всегда приводит к отрыву, если а1?(г/) < °2, т.е. V > г/о, где г/0 « 0.275 — корень уравнения q(v) = г/.

Областью безотрывного удара эллипса при малых к является эллипс, уменьшенный по сравнению с исходным в 6 раз, (а в случае жидкости бесконечной глубины — в 5 раз, В.И. Юдович, 1993). В случае круга найденные формулы для главного члена асимптотики присоединённых массы и момента инерции, радиуса круга безотрывного удара и коэффициента (7) совпадают с результатами М.И. Чебакова, 1974, полученными при анализе интегральных уравнений.

В плоской задаче об ударе по пластинке формулы для двух главных членов асимптотики присоединённой массы совпадают с найденными Н.А.Векличем и Б.М.Малышевым, 1984 при анализе точного решения М.В.Келдыша, 1936. Областью безотрывного удара пластинки (—а, а) при малых /г является интервал (—а/5, а/5).

Во второй главе изучается спектральная задача для приливных уравнений Лапласа (Ьар1асе, 1775), описывающих приливные явления во вращающихся водоёмах, горизонтальный размер которых значительно превосходит вертикальный. Важным примером такого водоёма является Мировой океан.

Приведём математическую постановку задачи. Пусть X — ограниченная гладкая ориентированная поверхность с краем или без. Обозначим через С°°(Х), Л^-Х") множества гладких комплекснозначных функций и ковекторных полей на X. Положим (и,У) = дгзЩУ],

(*£/),■ = ец&еЬ д)1/2д*кик, АЬ,и = д)'1^ ^{Аад^д'Щ.

Здесь II,V 6 Л^Х), д'3 — контравариантные компоненты метрического тензора поверхности, с!е1;д — определитель матрицы {д^} (обратной к {<7*;}), сц = £22 — 0) ^12 = —£21 — 1- По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Пусть пространство К3 жёстко связано с вращающейся поверхностью X, (0,0,0) — вектор угловой скорости вращения, п — поле нормалей к поверхности X, согласованное с её ориентацией. Последнее

означает, что векторы (rxi,rx2,n), где г = г(х1,х2) — параметризация поверхности, образуют правую тройку.

Рассмотрим частицу единичной массы, движущуюся по поверхности X с мгновенной скоростью, определяемой ковектором U. Непосредственная проверка в локальных координатах показывает, что выражение для действующей на неё силы Кориолиса можно переписать так —20рп х U = 2Clp * U. Здесь р = cos 0, в — угол между нормалью п и осью вращения, х — векторное умножение и подразумевается естественное отождествление ковекторов и касательных векторов к поверхности, лежащих в ß3: U н-> д'Щ^г^.

Ввиду указанного соотношения приливные уравнения Лапласа принимают следующий вид:

i\U = p*U- a_1/2/iVC, ¿АС = -a~1/2divU. (8)

Здесь А = и>/(2Г2) — спектральный пахзаметр, а — 4Q2ll/(g*ht) — безразмерный параметр (Ламба), и — частота свободных колебаний, U— характерный размер, h* — характерная глубина, gt — ускорение свободного падения. Безразмерная невозмущённая глубина жидкости h € С°°(Х) предполагается положительной: inf,y h > 0. Компоненты собственных векторов (U,Q определяют поток скорости и возвышение свободной поверхности.

Пусть dS — элемент площади. Определим гильбертовы пространства L'2, Н[ h как пополнения множества {iр €Е С°°(Х) : fx <pdS = 0} по нормам, порождаемым скалярными произведениями

(<p,tl>)0= [ <p$dS, (y>,^)i,A = f h(V<p,Vil>) dS Jx Jx

и пространство как пополнение А\(Х) по норме, ассоциированной со скалярным произведением \U, V]o,ft = Jx h~l(U, V) dS.

Обозначим через £ множество элементов U Е £2,л, для которых divU € L>2(X,dS). Для элементов £ корректно определён след нормальной компоненты на ЭХ. Положим £q = {U 6 £ : j„U = 0}.

Спектральная задача для приливных уравнений Лапласа (8) с условием непротекания на границе (в случае дХ ф 0) сводится к исследованию спектральных свойств оператора

( -ip* ia'WhV \ , ,

т=[ ia-^dW 0 ) ■ C2>h ® ® ^

с областью определения dorn = £q © H[ h.

Рассмотрим разложение Ci,h. в прямую сумму ортогональных подпространств Qh Ф Jo,

Gh = {U£ C2,h : U = ftVy>, у 6 H'hJ, Jb = {U € So : div U = 0}.

Ортогональное проектирование на подпространства Qh, Jo позволяет исключить (^-компоненту потока скорости и свести задачу (8) к матричному операторному уравнению в пространстве Jo © Ь'2\

Здесь FhiP{Л) = А2! + \Bh

р и операторы, составляющие матрицу X, определяются полуторалинейными формами

[C-iU, V]0,h = -[i * ph-'U, V]o, V и, V G Jo,

[CoC, V]o,h = [*pVAAC, v У € Jo, С € L'2. Их исследование показывает, что оператор X компактен. Здесь и далее отсутствие в обозначениях индекса h (илир) означает, что h = 1 (или р = 1).

Обозначим через iV(SK; (aj, «2)) количество собственных значений оператора 1Я с учётом кратностей па интервале (01,02).

Теорема 3. Оператор SH самосопряжён, его спектр симметричен относительно начала координат и состоит из точки А = 0 и счётного множества конечнократных собственных значений с предельными точками ±оо при ph-1 = const и 0, ±00 npuph~J ф const. Пусть t —► 00 и to > 0, тогда

• 2 с

JV(W;(io,i)) = j- / hTldS + 0{t),

J X

N(m-, (r \ «„)) ~ ^ J h'iviph-1), v^/r1)) ds.

Собственные функции оператора^, соответствующие ненулевым собственным значениям, являются гладкими: (U.Q € Ai(X) фС°°(Х).

Обозначим через v\ > > • • • Vk > • ■ •, < S2 < • • • Sjt < ■ ■ ■ положительные собственные значения оператора C_i и пучка А 1—» I —

aFKp(\)Ah, а через л{2) > а|2) > • • • А<2) > • • •, а(!) < А^ < • ■ ■ <----

все собственные значения оператора !SH на интервалах (0, v\), [si, +00) соответственно.

Теорема 4. Если v\ < s\, то справедливы неравенства

Л12) < vk, A« >st, keN

и интервал (г^,^) принадлежит резольвентному множеству оператора 1Н.

При доказательстве теорем 1, 2 [4] основную роль играют теоремы о сравнении спектров A.C. Маркуса и В.И. Мацаева и вариационные принципы, сформулированные Ю.Ш. Абрамовым.

Теорема 3 показывает, что асимптотика высокочастотной и низкочастотной частей спектра, т.е. спектров (поверхностных) гравитационных волн и (баротропных) волн Россби, определяется модельными задачами (I — aX2Ai,)( = О, (XI — C-\)U = 0. Первая из них соответствует случаю невращающейся поверхности, а вторая — приближению бездивергентности (твёрдой крышки). Условие теоремы 4 накладывает ограничение сверху на величину параметра Дамба. Неравенство А® < Vk согласуется с общим принципом о повышении частот собственных колебаний при наложепии связи.

В случае р = 1 при А ф ±1 исходная задача сводится к одному уравнению относительно возвышения свободной поверхности:

Показано [3], что если X — область на плоскости и /г = р = 1, то 5 является операторным корнем пучка К:

К(Х) = (Х1-В)М(Х), М(Х) = 1 + а(1-В2)А-аХВА-аХ2А. (9)

Уравнение М(А)( = 0 в случае односвязной области соответствует интегральному уравнению, выведенному в работе П.Я. Полубарино-вой-Кочиной, 1938. Получено также обобщение факторизационной формулы (9) на случай переменной глубины (/г ф 1).

Пусть а —» оо, Г — замкнутая компонента границы поверхности X длины I, т — длина дуги Г, ро(т) = р|г ф 0, Ло(т) = /г|г С использованием метода пограничного слоя доказано существование счётного множества собственных значений с асимптотикой

Kk(А)С = {XI - Bh - аХ(Х2 - 1)ЛЛ)С = 0, С 6 H'Vl.

оо

(10)

т=0

Коэффициент 6о(к) определяется из соотношений

dr = 2тгк, к € Z. (И)

Соответствующие приближённые собственные функции сосредоточены вблизи Г, а отвечающие им волны распространяются вдоль границы, оставляя область слева, если (ро) > 0 (северное полушарие в случае сферы) и справа, если sign(^>o) < 0 (южное полушарие). При Н()=ро = 1 главный член асимптотики скорости их распространения в размерных переменных совпадает со скоростью длинных волн \/д,Ь*. Все эти свойства характерны для волн Кельвина.

Если X — плоская область и к = р = 1, то 0, согласно теореме 3, является изолированной точкой спектра (волны Россби отсутствуют) и асимптотика количества собственных значепий оператора ЭК па фиксированном интервале (О, Л) при а —» +оо имеет вид [3]

N(m■1 (О, Л)) = (4тг)-1тез2(Х)(А2 - 1 )а + 0(>/а), А > 1,

(О, А)) = (27г)-1те8 х{дХ)\у/а + 0(1), 0 < А < 1.

В случае односвязной области доказано, что формулы (10), (11) определяют асимптотику /с-того собственного значения в упорядоченной последовательности 0 < А1 < А2 < • • ■ А* < • • При этом ¿о = 2тгк/1. При доказательстве используется конформное отображение на круг и вариационные методы.

В третьей главе изучается асимптотика фундаментального решения оператора

д2 / д \ " д2 4 ' 1=1 1

при и = ¿/ег2 оо и фиксированном значении параметра А = г/^,г2 = 22]=1Х] [?1> й- ® размерностях 1 и 2 к уравнению (£„( = 0 сводится линейная система уравнений мелкой воды с учётом горизонтальной турбулентной вязкости. Оно описывает также процесс распространения возмущений в вязком газе.

Для исследования асимптотики функции £п используются её представления в виде контурных интегралов:

*-ш да*- ^ -

Здесь 0 — функция Хевисайда, А > 1, д(г,Х) — г2 — 1 — — 1 /г), Ф — вырожденная гипергеометрическая функция, Ь = {г = у\ + г'3/2 : (2у\ — А){у\ + у\) — А = 0} — перевальный контур.

Уравнение д'2(г,Х) = 0 имеет единственный вещественный корень

= 2х(Л). Точка перевала г\ является простой: д"2(г1, А) > 0, а функция г\ = (А) — монотошо возрастающей, причём гх(1) = 1.

Фундаментальное решение вырожденной задачи (волнового уравнения) имеет особенность на множестве г = которое мы будем называть фронтом. В одномерном случае асимптотика вне окрестности фронта выводится при помощи стандартной процедуры метода перевала. Выпишем главные члены разложения:

С1=- Г)+ехр(^/;ьЛ)) (--—ш+■

2 \(г?-1)(2тг^ьА))1/2 7

В двумерном случае перед фронтом асимптотика также имеет вид ВКБ-разложепия с чисто мнимой фазой. За фронтом асимптотика функции £2 не определяется точкой перевала и носит степенной характер: <2 ~ Л <

(-!)'" ^ (-lУ+j(m+j)\(m + r)\Pm+r((l-\^г)-1/2)

■Цт

£

я-* (т - «)! г! р. в! 2т+з+1 (1 - А2)("1+г+1)/2

Здесь Рт — полиномы Лежандра, г, ], в — неотрицательные целые числа. Функция щ совпадает с фундаментальным решением волнового оператора.

В окрестности фронта (А ~ 1) является функцией тина пограничного слоя и асимптотика выражается через специальные функции. Для её построения по методу перевала использовались известные подходы (Л. Фелсен и Н. Маркувиц, 1978, N. ВЫв1ет, 1966), учитывающие слияние точки перевала с полюсом или точкой ветвления. Приведём упрощённые формулы, полученные при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений:

С1~^ег&(в), С2~47пД3/4ехр(~*2/4)В_1/2(3), |А - 1| <

в = (г — г)/(£-\Д), — функция параболического цилиндра.

Отметим, что в работе С.С. Войта, 1954 (другим способом) строилась аналогичная асимптотика решения задачи Коши для уравнения „С = 0 в размерностях 1 и 3. При рассматривавшихся в этой работе начальных данных асимптотика всюду имеет вид ВКБ-разложения с чисто мнимой фазой. Общий класс уравнений туннельного типа, решения которых обладают подобной асимптотикой, описан В.П. Масловым.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

Рассмотрены две основные задачи ударного взаимодействия плоского абсолютно твёрдого тела с тонким слоем идеальной несжимаемой жидкости, состоящие в определении кинетической энергии жидкости и условий безотрывности удара. Предложен алгоритм построения асимптотики решения при неограниченном уменьшении толщины слоя. С его помощью получены простые расчётные формулы для двух главных членов асимптотики интеграла энергии и условия безотрывности удара.

В качестве приложений рассмотрены задачи об ударе но телу с двумя ортогональными осями симметрии, пластинке (плоская задача), эллипсу и кольцу. В каждом примере найдены главные члены асимптотики присоединённой массы и присоединённых моментов инерции (для пластинки и кольца — два члена) и область безотрывного удара.

(11). С использованием операторных методов исследованы свойства спектра приливных уравнений Лапласа на произвольной компактной поверхности с краем или без. Обоснованы спектральные асимптотики высокочастотной и низкочастотной частей спектра. Указаны условия, при которых спектры гравитационных волн и волн Россби разделены лакуной и получены оценки вариациопного типа для каждой части спектра.

Изучена зависимость спектра от безразмерного параметра Дамба а > 0, пропорционального квадрату угловой скорости вращения поверхности. При а —► оо найдена асимптотика спектра серии волн Кельвина, захваченных компонентой границы, а в случае плоского бассейна постоянной глубины — асимптотики количества собственных значений, расположенных на фиксированном интервале, и к-того собственного значения. Приведён также операторный вывод интегрального уравнения П.Я. Полубариновой-Кочиной.

(ш). При помощи асимптотического анализа интегралов и метода сращивания построены асимптотические разложения фундаментального решения сингулярно возмущённого волнового уравнения, описывающего процесс распространения возмущений в вязкой среде. Получено равномерное разложение вблизи фронта, которое описывает сглаживание разрыва, обусловленное наличием вязкости, а также разложения перед фронтом и за ним.

Публикации по теме диссертации

1. Рохлин Д.Б. Удар плоского тела о жидкость малой глубины// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды II Между-нар. конф. Ростов-на-Дону, 19-20 сентября 1996 г. Т. 2. С. 143 147.

2. Рохлин Д.Б. Удар плоского тела произвольной формы о жидкость малой глубины. Ростов-на-Дону, 1997. 60 с. Деп. в ВИНИТИ 7.07.97, №2203-В97.

3. Рохлин Д.Б. О спектральной задаче теории приливов в ограниченной об ласти//Докл. РАН. 1997. Т. 353. №5. С. 619-621.

4. Рохлин Д.Б. О спектральной задаче для приливных уравнений Лапласа на поверхности с краем//Изв. вузов. Северокавк. регион. Естеств. науки. 1996. №4. С. 15-18.

5. Рохлин Д.Б. О спектральной задаче для приливных уравнений Лапласа. Ростов-на-Дону, 1997. 68 с. Деп. в ВИНИТИ 7.07.97, №2204-В97.

6. Рохлин Д.Б. О структуре и асимптотике спектра приливных уравнений Лапласа на компактной ö-поверхности// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды III Междунар. конф. Ростов-на-Дону, 7-9 октября 1997 г. Т. 2. С. 116-120.

7. Потетюпко Э.Н., Рохлин Д.Б. Асимптотика фундаментального решения уравнения распространения возмущений в одномерной среде с малой вязкостыо//Прикл. мат. и мех. 1995. Т. 59. №2. С. 336339.

8. Рохлин Д.Б. Асимптотика фундаментального решения уравнения распространения возмущений в двумерной среде с малой вязко-стью//Прикл. мех. и техн. физ. 1995. Т. 36. №1. С. 121-129.