Исследование начально-краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений в области с изменяемой границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

/

N

^ Тирских Владимир Викторович

V4

ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ / УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск 1999

Работа выполнена в Институте Динамики Систем и Теории Управления СО РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ю.Ф.Орлов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.К.Андреев кандидат физико-математических наук, доцент А.В.Данеев

Ведущая организация - Институт математики и экономики ИГУ, г. Иркутск

Защита диссертации состоится Р-6 ¿¡¿/¿¿у^2000 г. в часов на засе-

дании диссертационного совета К 003.64.01 при Институте Динамики Систем и Теории Управления адресу: 664033, Иркутск, ул.Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Института Динамики Систем и Теории Управления по адресу: 664033, Иркутск, ул.Лермонтова, 134.

Автореферат разослан 1999г.

Ученый секретарь диссертационного совета уу А.В.Синицын

к.ф.-м.н. '

з /¿у. / -з з £2*3. 3 г 6\ о 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Поверхностные волны, генерируемые погруженным в жидкость телом, издавна привлекают к себе исследователей. Этот интерес обусловлен обширными практическими приложениями, так как к задаче о деформации контура, используя метод плоских сечений, может быть сведена задача о корабельных волнах, возникающих при движении (плавании или глиссировании) удлиненного тела. Из найденных решений можно получить не только информацию о форме свободной поверхности, но и информацию о силовом взаимодействии погружающегося контура с жидкостью, что важно при проектировании транспортных средств. В связи с этим, также большое значение приобретает разработка эффективных методов решения данной задачи. По этому направлению как у нас в стране, так и за рубежом, публикуется большое число работ, что свидетельствует об актуальности проводимых исследований.

Целью работы является исследование начально - краевых задач о вертикальном погружении через свободную поверхность тяжёлой невязкой, несжимаемой жидкости непроницаемых контуров, разработка методов решения этих задач, а также построение алгоритмов вычисления формы рвободной поверхности жидкости.

Методы исследования. Используется общая теория обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, применяются методы Фурье и граничных интегральных уравнений.

Научная новизна. В работе исследованы два метода решения начально-краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений в области с изменяемой границей: метод Фурье, метод граничных интегральных уравнений. Построена функция Грина задачи о нестационарном движении под свободной поверхностью свободной жидкости источника, интенсивность которого меняется во времени. На основе разработанных методов получены аналитические решения для ряда конкретных задач.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что результаты работы могут быть использованы в теоретических и прикладных исследованиях с математическими моделями волнообразования. Если использовать нестационарную аналогию пространственных задач движения по поверхности тяжелой жидкости удлиненных тел, то задачи о погружении симметричных контуров соответствуют случаям движения носовой оконечности корабля со шпангоутами треугольной формы, а задача об ударе и погружении плоской пластинки соответствует ее глиссированию по свободной поверхности.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзных школах семинарах "Современные проблемы механики жидкости и га-

за"(Иркутск, 1988 и 1990);на Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 98); на семинарах и Ляпуповских чтениях ИДСТУ СО РАН (ИрВЦ).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 60 наименований. Работа содержит 70 страниц текста, 24 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен небольшой обзор по теме диссертации и кратко изложено содержание работы.

В первой главе диссертации, на основе метода Фурье, исследованы, в основном, симметричные задачи (погружающийся или деформирующийся контур имеет вертикальную ось симметрии). Исключение составила задача о "волнопродукторе" в которой компактная область давления двигатается произвольно и задается произвольным изменением своей величины по координате и времени.

В первом параграфе дается полная постановка задачи с нелинейными граничными условиями о погружении непроницаемых контуров через свободную поверхность тяжелой, невязкой, несжимаемой жидкости. Вводя безразмерные величины, найден малый параметр задачи е (е = г]та1/Ь, где Ь - размер носителя). Далее, применив регулярный асимптотический алгоритм,нелинейная задача сводится к последовательности линейных краевых задач. Получена характерная линейная краевая задача

ДФп = 0, 7е[0,оо];

Фпу = ко 5;

Ф„и + = + на Г0; (1)

|УФп|-*0, при | X оо;

Ф„ = о, Фп1 = 0 при (Х,<) е Го х {0},

где 73, б, F - определяются из предыдущих приближений.

Во втором параграфе рассмотрена эта задача в первом приближении. Решение ищется в классе функций с конечной нормой

НФЦичор [/|Ф|2^ + /|УФ \их\ф.

еп п

Выполнив преобразование Фурье, получено решение задачи (1) через функцию давления на контуре в зависимости от начальных данных

1 ' Mm I !д\ Г ■ ,-—

f / e~'Tm ) S L ) g£ (y/f\m\(t-T))drdm =

2*-L Mm I J { yp (m,r) /

= -n',(x,t) + 0(e1+a), a(t) <x < b(t), ¿б[0,Г], a > 0,

где верхняя строчка соответствует безударному погружению, а нижняя - ударному погружению, a(t), b(t) - координаты концов смоченной поверхности контуров. Рассмотрены два способа их решения.

I способ.

Если интегральное уравнение Вольтерра первого рода типа свертки с периодическим ядром имеет вид

(

/ч(т) ilHt - T)]dr = f(t), t > 0, /(<) 6 C\R\), ДО) Ф 0- (2)

0

и ДО) ф 0, то решение уравнения (2) в классическом смысле отсутствует. В этом случае справедливо

Теорема,.Если ДО) ф 0, то интегральное уравнение Вольтерра (2) имеет следующее единственное решение

7(0 = ЛМО + W) +

где <5+(t), &'+{t) - функция Дирака и ее первая производная, 7i(i) 6 C(R\) - функция в классическом смысле,

А-/¿Л0) 7:М - ( + 1f"(t)

1 ~ 1 /ад ' 2 i о -7iW -1 m + w»//(T)dr •

II способ.

1. Если интегральное уравнение имеет вид

1 7 e-ta/R j q {щт] sin(^ | m |(i _ T))dTdm = (3)

' 5 0

и функция .F(x, i) удовлетворяет следующим условиям:

1) f{x,t) 6 C2{Rt), 2)^(z,0) = 0, 3) F(x,t) = ^(-s.i), (4) 4) существует Фурье образ фупкции

тогда справедливо следующее утверждение

Утверждение 1. Интегральное уравнение (3) с условиями (4) имеет решение вида

1 t dx t \Jо?_

+ - / / 2 2 / --<)<*« +Cl,

7Г J 1/û — X1 J S — X (x) -<■

где С\ - произвольная постоянная.

Если в (4) функция Р{х, <) имеет вид Т(х, 0) ^ 0, тогда справедливо Утверждение 2. Интегральное уравнение (3) с условиями (4) при .^(х.О) ф 0 имеет решение вида

7(1,0 = л(*)«+(о + г5(г)г;(о + Ъ(х,г),

где 1\(х> 0 6 С1 (Яг) х С(Я.?); Г^х), А(х) - функции, определенные на интервале (—а,а) и умеющие Фурье-образ.

Ъ(х,1) = + ± / -^Г^ЕЕ^мь + с«

т Л Л — х1 ^ з — х

(г) -о

А(х)

Г2(х)

где С\,С%,Сз - произвольные постоянные. 2. Если интегральное уравнение имеет вид

ч оо I

— J e~,Vm | m | J l{m,r)co^g\m\(t-T))dTdm = F{x,t), (5)

-oo 0

где

a

7(m,r) = J 7(1, r)eiml(ix; -a(f) < x < a(<), < > 0,

—a

g c'f-a.ûjxcW), ^(1,0) 0.

Утверждение 3. Решение уравнения (5) имеет вид

7(х,£) = Г,(*)«+(') + r3(x)S'+(t) + n(x,t), где 7l(x,i) 6 СЧДО х С7(д+); {Д(х), Г2(х)} 6 C1^);

7i(*,0 = 5 /^(x,r)dr + J J ~ + C,;

0 (x) va x x

(1) -a

1 [ dx } Va2 - s2 , „. , „

(1) -a

l t dx } y/a2 — s2 „. , „

(x) -a

3/. \/а'

(г)

где С\,Сг,С$ - произвольные постоянные.

Различные виды решений позволяют выбрать более удобный способ получения конечных формул. Иногда просто удается найти Фурье преобразование в правых частях формул вида (2). Если же на этом пути возникают непреодолимые трудности (в конечных формулах остаются невычисленными двойные интегралы), а форма контура задана полиномиальными функциями, то тогда удобно использовать второй способ, так как в этом случае двойные интегралы в решениях типа (3) сводятся к простым табличным интегралам, широко используемым в теории крыла.

В третьем параграфе рассмотрены две задачи решения задач о погружении контуров.

Задача 1. На основе утверждения 2, исследовано безударное погружение через поверхность тяжелой жидкости с постоянной скоростью симметричного клина, уравнение контура которого 7*(х,<) = —Vot + tg¡3 \ х |, < > 0, где ^ - скорость погружения клина, /3 - угол килеватости клина. Получена форма свободной поверхности

т/,(х,г) = — / С08(шд) л^) _ СО5(а0тг)]е?т,

1га0 £ т(т — д/ао)

где а0 = ^/<5/3 и выполнен численный расчет в зависимости от координат х и t при Уа = 1, д = Ю, 0 < < < 1, —2.5 < х < 2.5. На рис.1 приведен рельеф свободной поверхности по координатам х, Масштабы осей хну 10:1 и 1:1, шкалы < 30:1.

Задача 2. На основе утверждения 3, решена задача об ударе о поверхность тяжелой жидкости и погружении плоской пластинки длиной 2а. I) = — Получена форма свободной поверхности

/ ^ И) Теш(\fgrnt) Бт(аго), ,

7»(х,<) = —— / — '_ со5[тг)[7га УДат) — 2—---]йт,

2тг У у/дтп т

где Ж(-) - функция Бесселя 1-го рода и выполнен численный расчет при Ц) = 1, о = 1, 0 <г < 1, —2.5 < х < 2.5. На рис.2 приведен рельеф свободной поверхности по координатам х, Масштабы осей такие же, как и на рисЛ.

В четвертом параграфе рассмотрена краевая задача (1) с учетом сил поверхностного натяжения, что привело к изменению динамического граничного условия на Г и 5

Р'(х,г)/р на 5 на Г

Ф((х, 0,0- О = п*,'). *) = {

где а - коэффициент поверхностного натяжения, и добавив кинематическое условие примыкания жидкости в трехфазной точке (условие Дюпре - Юнга)

пг ■ п5= cosa, x = a(<),¿(/),

где пр и - внешние нормали к Г и 5 в точках а(1) и а - краевой

угол (угол смачивания), получено линейное граничное условие теорий волн малой амплитуды

Ф« + дфу - д№Ф,„ - у = О,

где IV = ст/рд.

Задача 3. Повторив процедуру решения задачи, изложенную во втором параграфе, получена формула для расчета формы свободной поверхности безударного погружения через поверхность тяжелой жидкости с постоянной скоростью симметричного клина.

' , „ 7мп(^|т 1(1 + ^)0 81п(та0) , , , пЛхЛ) = 2в / -; --г;———тг со8[тх}ёт.

М ' { у/д\т\(1 + \Vrri*) т(1 + ^т») ^ ;

По этой формуле был выполнен расчет формы свободной поверхности для различных значений параметра 1К, и показано, что поверхностное натяжение слабо влияет на форму волны и это влияние ощутимо только у трехфазной точки.

Задача 4. Исследовано движение по свободной поверхности жидкости области давления внутри отрезка [а(<), Ь(()], отличного от окружающего давления Ра и меняющегося с течением времени по закону

МО

P(x,t) = P0sm{ut) J 6((-x)d{.

•M

где Ра - постоянное давление, из - частота колебаний давления.

Взяв зависимости a(t) и b(t) в виде a(t) = а0 + Vot, b(t) = Ъ0 + Vot и применив Фурье преобразование, получено уравнение свободной поверхности

•?•(«,О = / / 1 та 1 * / /Y-M)sin(wr) + —wcos(wr)) X

x (e.(»o+Vor)m _ Ё;(ь„+г„т)г^ sin^ff j m | (1 + Wm2)^ - r^drdtidm.

По этой формуле вычислена форма свободной поверхности при следующих значениях параметров Р0 = 1, и = 1, а = —1, 5 = 1, g = 10, IV = 0, ...0.1, Vo = 0,1.

Во второй главе диссертации рассмотрен второй метод решения задачи о волнах на свободной поверхности тяжелой жидкости при погружении через нее симметричных контуров, который основан на методе граничных интегральных уравнений.

В первом параграфе этой главы рассмотрена линейная задача о движении под свободной поверхностью тяжелой невязкой жидкости источника, интенсивность которого q(t) зависит от времени.

На основе метода, рассмотренного в первой главе, найдена гармоническая функция G(x,y,Z,r],t), которая описывает движение жидкости в нижней полуплоскости,

возникающее при движении в ней этого источника.

шил

оо — t

+ ^ У J ?(r)elTnWT'+im«T> sm(/M7(i - r))drdrn.

-CO V ' I о

Полученная функция Грина G(x, у, r), t) соответствует решению Н.Г.Кузнецова-В.Г.Мазьи 1 для источника в слое жидкости h, если ее устремить к —оо.

Получена форма свободной поверхности т]«(x,i) при нестационарном движении под ней источника

1 °° '

гj.(x,<) = - J J elmWT>9(r)cos(m(x - £(т)))оо*(у/\ m | g(t - r))<fr<im о 0

и по этой формуле выполнен численный расчет при следующих данных: q(t) = 9оt, Яо = 1, il(i) = -1, i(i) = V0t, V0 = 0,1, 0 < i < 1, -2.5 < x < 2.5. На рис.3 приведен рельеф свободной поверхности по координатам х, t для неподвижного источника, интенсивность которого нарастает по линейному закону. Масштабы осей такие же, как и на рис.1.

Во втором параграфе рассмотрена редукция задачи о погружении контуров к интегральному уравнению.

Взяв функцию S(x,y,t) в виде S(x,y,t) ~ у — f(x,t) = 0, либо S(x,y,t) = х — /(у,1) = 0, где f(x,t),f{y,t) € Cl(Rl) х C3[R\), контурный интеграл по S от некоторой функции F(x,y), определенный на ней, примет вид

' F(z,y)d»= j )( _ ),

так как ds — ■JY+fjdx = ^J1 + f*dy.

В результате, решение задачи можно искать в форме суммы интегральных операторов типа потенциалов простого и двойного слоя. Редукция краевой задачи для Ф к интегральному уравнению получена по кинематическому граничному условию на S и с учетом формы функции S

-Л + Ф»-Ф«Л = О, (6)

где функция потенциала скорости Ф(х,у,1) взята в форме интегрального оператора типа потенциала простого слоя, распределенного по S.

1 Кузнецов Н.Г.,Мазья В.Г. Асимптотические разложения для поверхностных волн, вызванных кратковременными возмущениями. - В кн. Асимптотические методы. Прикладные задачи механики. Новосибирск, "Паука", Сиб. от-вие, 1986. с.103-138.

Получено двумерное интегральное уравнение задачи, которое либо регулярно, (интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода), либо имеет слабую особенность

q+Anq = Vn, ХеБ.; ^9+ Л» 9 = К» X = А, либо X — В, (7)

где Ад - интегральный оператор типа потенциала простого слоя.

В третьем параграфе рассмотрены упрощенные модели уравнения (7), форма контура которых такова, что

Д(<Г-Л(<)=£1 <<П' /(х,ОеС1(Л1)хС3(Д^).

Тогда /г ~ 0(^1), а так как УФ ~ 0{е) по определению, то граничное условие (6) примет вид

Ф„ = /,, А < х < В, у = 0.

Решение найдено в виде суммы интегральных операторов типа потенциалов простого и двойного слоя Ф = Л\q + Л27. Получено интегральное уравнение задачи

д

А,У 9 = 0; Аъ 7 = ^ /<)= /«(*, О-

Это интегральное уравнение есть двумерное сингулярное по переменной х и Воль-терра второго рода типа свертки с периодическим ядром по переменной t. Похожие уравнения появляются в пространственных задачах о глиссировании удлиненных тел или движении удлиненных тел с малой осадкой.

Найденное решение, в случае невесомой жидкости, соответствует известным решениям Л.И.Седова. 2

Задача 5. Исследовано погружение клина с малым углом килеватости ¡3

1,

, у = f{x,t) = — VDt+ I х I tgP, ft = -V0, =

Применив динамическое граничное условие, получена форма свободной поверхности

; „ 2cVa °f ' . . cos(y/gmt) — cos(mct) .

r?, x,i = -- / cos mx VV% '-^-'-dm-

■к J m[g - mc2)

— J cos(mx) J rJi(mcT) cos(y/gm(t — r))<frdm.

0

cV0

о 0

и выполнен численный расчет при Vo = 1, д = 10, /? = 30°.

'Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.- М., "Наука", 1966.

Задача 6. Исследовано вертикальне погружение клина с малым углом килевато-сти /3 по временному закону

Получена форма свободной поверхности

2V 00 ' Г sir

4.{x,t) = Jcos(mx) J ф(т)\ —

n П

- (тс<р(т)) cos(y/gm(t - T))drdm j

и выполнен численный расчет при Vo = 1, д — 9.81, /3 = 30°, <p(t) = sin(7ri).

В четвертом параграфе рассмотрена задача о погружении контуров с большой килеватостью, форма контура которых такова, что

B(t)-A(t)

H(t) ~ £2 <<: L

Функция S(x,y,t) взята в виде S{x,y,t) = х — f(y,t) = 0, где f(y,t) g Сг(Л1) У C3(R\). Получено кинематическое граничное условие

фх = -ft, х = ±0, H(t) < у < 0.

Решение задачи найдено в форме интегрального оператора типа потенциала простого слоя, распределенного на отрезке НО оси у. При переходе через этот отрезок нормальная производная от функции Ф (Фх) претерпевает скачок. На основе свойств интегральных операторов типа потенциала простого слоя, получено

? = /Г- ft = -[/«], * = 0, H{t) < у < 0,

rae t/i] ■ скачок производной f, на отрезке НО. Решение задачи дает потенциал скоростей

о

Ф(х,у,1) = — f [/,] (in /г2 + (у + ,)» - In Jx* + (у - I,)»)dr, +

(О оо --

О Н(т) -оо V I I

m

Задача 7. Рассмотрено погружение с постоянной скоростью клина с большим углом килеватости /3 = тг/2 — б, е « 1. Форма погруженной части клина в любой момент времени задается уравнением х — f(y,t) = —Vóí < у < 0. Получена

формула свободной поверхности

2V ' ° °°

rj,(x,t) =--^ J J J emr> cos(mr) cos(y/fñg (t - r))dmd.Tdr¡

T о -Г0( о

и выполнен численный расчет при V0 = 1, д = 10, 0 = 60°.

В третьей главе рассмотрена линейная задача о развитии волн на свободной поверхности тяжелой, идеальной жидкости, занимающей все нижнее полупространство, после удара и несимметричного погружения плоской пластинки длиной 2а0. В любой момент времени положение пластинки в неподвижной системе координат Оху задано уравнением

у - Дх, t) = 0; Дх, t) = y0(t) + (х- xQ{t))tgV{t),

где х0, yo - координаты центра пластинки, ip - мгновенный угол между пластинкой и осью Ох. Положение концов пластинки при этом определяются зависимостями А(() = х0(t) — a, B(t) = х0(<) + а, где а = а0 соз íp(t), а0 - координата конца пластинки на невозмушенной поверхности жидкости при времени t = 0.

На начальной стадии погружения пластинки, когда отклонение ее от свободной поверхности мало, движение жидкости потенциально. Решение задачи найдено в форме интегрального оператора типа потенциала простого слоя, распределенного на проекции пластинки на ось х. Применив теорему из главы 1 и свойства преобразований Фурье, получена функция распределения плотности

, л П dx (1 q(x,t) = f,(x,t) + - . / -í---x

y/{x - A)(B - x)\* J() t-x

x [/.«({,0 + /«(í.0)Mí) + /«(f,0)¿;(0]<í£ + Ci} +

где <5+(í)i ¿+(0 - ¿-асимметричная функция Дирака и ее производная; Си С2 - постоянные, которые определяются по начальным условиям.

Также рассмотрена задача о несимметричном ударе по пластинке, находящейся на невозмущенной поверхности жидкости (несимметричный шлепок) и получена форма свободной поверхности после удара и начала движения пластинки

v Va0 cos(mx)J¡(a0m) — иtal sin(mx)J2(a0m)

y/grñ

T),(x,t) = --i.r---ч____Sln(\/g™ 0

i

sin(aom cos(u?r)) , , ¿ V-cos(mxj

(ao cos(u> r) cos(a0m eos (шт)) —

cos2(ü>r)

— —51п(аот соз(а>

т

X со5(л/дт(< — т))<^г|(£т,

где Jl(■), - функции Бесселя 1-го и 2-го порядков, и = ¿^¡дХ - угловая скорость

вращения.

Были выполнены численные расчеты формы свободной поверхности после несимметричного шлепка пластины при ао = 1; | V |= 1; ш = 0} 1,0; 0 <4 < 1, —2,5 < х < 2,5 и после удара и погружения плоской пластинки с указанными выше параметрами для ш = 0,4 и. О < < < 0,4. На рис.4 приведен рельеф свободной поверхности после удара пластины при наличии угловой скорости ш = 1, что характерно при движении глиссирующей поверхности на циркуляции. Масштабы осей такие же, как и на рис.1.

В заключении кратко формулируются основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Найдены решения интегрального уравнения Вольтерра типа свертки с периодическим ядром для различных начальных условий.

2. Построена функция Грина - решение задачи о нестационарном движении под свободной поверхностью тяжелой жидкости источника, интенсивность которого меняется во времени. До сих пор были известны, лишь решения для источников, интенсивность которых менялась по периодическому закону.

3. Разработан метод и алгоритм решения задач о погружении контуров через поверхность тяжелой жидкости, что позволило решить ряд конкретных задач:

- удар и погружение плоской пластинки;

- апериодическое движение по свободной поверхности компактной области повышенного давления, которое "меняется по произвольному закону;

- погружения клина с малыми и большими углами килеватости;

- нестационарное апериодическое движение под свободной поверхностью источника переменной интенсивности.

4. Построена математическая модель волнообразования после удара и несимметричного погружения,плоской пластинки через свободную поверхность тяжелой идеальной жидкости. Получено аналитическое и численное решение задачи. Решение может быть полезным при использовании в нестационарной аналогии установившегося глиссирования несущих поверхностей, так как просто может быть обобщено на задачу об ударе слабоискривленных контуров.

0 4—'

4»~ t

Рис.4

Публикации по теме диссертации

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Задача о погружении контура через поверхность тяжелой жидкости //Современные проблемы механики жидкости и газа. Иркутск.,ИНЦ СО АН СССР, ИМ МГУ, 1990. с. 247-248.

2. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Линейная задача о погружении контура через поверхность тяжелой жидкости //Асимптотические методы в теории ситем. Иркутск., ИНЦ СО АН СССР,1991. с. 38-47.

3. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Волны при погружении через свободную поверхность тяжелой жидкости симметричных контуров// Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов, часть II. - Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1998.

4. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Обобщенная задача Вагнера// Препринт N2. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 1998, с.47

5. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Волны на поверхности тяжелой жидкости, генерируемые несимметричным ударом по плоской пластинке на ее поверхности// Известия РАН, МЖГ, 1999, N 4, с.177-181.

6. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Линейная задача о волнах на поверхности тяжелой жидкости при погружении симметричных контуров// Прикл. механика и технич. физика (в печати).

Введение

1 Задача о погружении через поверхность тяжелой жидкости контуров

1.1 Постановка задачи. Асимптотический алгоритм. Характерная линейная задача.

1.2 Метод Фурье решения задачи

1.3 Модельные расчеты

1.4 Влияние сил поверхностного натяжения на волны при погружении контуров через поверхность тяжелой жидкости

2 Линейная задача о нестационарном движении симметричных контуров, пересекающих свободную поверхность тяжелой жидкости

2.1 Нестационарное движение источника под свободной поверхностью тяжелой жидкости.

2.2 Редукция задачи о погружении контуров к интегральному уравнению

2.3 Задача о погружении контуров с малой килеватостыо

2.4 Задача о погружении контуров с большой килеватостыо

3 Удар и несимметричное погружение плоской пластинки через свободную поверхность тяжелой жидкости

Первые теоретические работы об ударе и проникании тел в жидкость относятся к 30-м годам. Фундаментальные результаты в данной области, ставшие классическими, получены Н.Е.Кочиным [1]-[4], М.В.Келдышем , М.А.Лаврентьевым [5], Ю.С.Чаплыгиным [б, 7], А.А.Костюковым [8], А.Н.Сретенским [9]-[11], М.Д.Хаскиндом [12], Л.И.Седовым [13]-[14], Г.В.Логвиновичем [15] и др. Наиболее интенсивное развитие теория получила в последние два десятилетия. Известны две задачи Вагнера: задача о погружении с постоянной скоростью через свободную поверхность идеальной (невязкой, невесомой, несжимаемой) жидкости клина [15, 16] и задача "о порыве" в теории нестационарного движения крыла ("порыв" - это скачкообразное изменение скорости движения или угла атаки крыла). В диссертации рассматриваются задачи близкие к первому типу задачи Вагнера.

В механике жидкости и газа существует обширный класс задач, в которых рассматриваются различные случаи проникания тел через границу сплошной среды [17].

Методы решения отмеченных выше задач можно разделить на три группы:

1) методы теории функции комплексного переменного [20] - [23],[12, 26];

2) методы Фурье и связанные с ними методы граничных интегральных уравнений [18, 19]; [46] - [50]

3) численные методы.

В настоящей работе исследования ведутся с использованием методов второй группы.

Исходная нелинейная задача в пространстве вызванных скоростей

Ф имеет вид

Ь<р = 0 д Е О,

0.1)

В(р = Р дедп, где Ь - линейный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, В - в общем случае нелинейный дифференциальный оператор граничных условий, ^ - возмущающая функция. Предполагается, что функции, заданные на свободной поверхности и контуре, достаточно гладкие. Если поверхность 5 гладкая в смысле Ляпунова, то решение задачи (0.1) существует и единственно в классе аналитических функций (классическое решение) и любое обобщенное решение также будет классическим [27] - [31], [32, 35].

В неклассических случаях, когда граница (<90) не гладкая, существует обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) отличное от классического [33, 34, 36].

Пусть О - область в п - мерном евклидовом пространстве В,п. <90 -граница и 17 - замыкание области О. Допустим, что на (п — 1) - мерном многообразии дО, выделено замкнутое (п — 2) - мерное подмножество такое что в окрестности каждой точки из С область диффеоморф-на п - мерному двугранному углу. Граница 50 и ее .подмножество С в общем случае состоит из частей <90 = Ц;<т 50^-, С = Ц/</ £]■ Теперь рассмотрим область £1р,р > 0 - объединение шаров с центрами в до 6 С. таких что для любого до € (ЛР \ д — д$ \< р ж = Ор и д\1р - замыкание области О.р. Пересечение дО,Г\дПр выделяет на поверхности <90 части образующие ребро С, Пересечение 50 П д0,р порождает два многообразия СгИо1"71 = диртп Г\дО,р. В соответствии с этим можно разделить общую задачу (0.1) на две части. Одну для области с гладкой границей (0'), и другую - для области, имеющей три непересекающихся ребра (Ор5): кромка С поверхности Бр с углом а = 2тг и два ребра Цт с углами арт = тг/2. 0 д е о',

0.2)

В0<р° = / деЯ,

L(p = и g £ Q

0.3)

Bo<p — fP g e düps, где 990 - решение задачи (0.1) для области О! и Тр - решение в области 0,рз. Здесь ии /р- некоторые функции с носителем в Пра и д0,р8 соответственно, выбираемые по условиям согласования решений задач (0.2) и (0.3) на общей границе и из физических соображений. Собственно разделение задачи (0.1) на внешнюю (0.2) и внутреннюю (0.3) необходимо для получения единственного решения при возникновении локальной некорректности. Важное место в постановке таких задач имеет удачный выбор подходящих функциональных пространств, в которых рассматриваются решения задачи, правые части уравнений и граничные условия. В [36] отмечается, что в большинстве задач удобно использовать функциональные пространства с весовой нормой, у которой вес представляет собой функцию, пропорциональную некоторой степени расстояния точки пространства до множества нерегулярных точек границы С.

В работе предполагается, что в выбранном классе функций, для которого конечна норма [28, 47] решение существует и единственно.

Сложным вопросом остается проблема описания закона движения точек контакта между границей свободной поверхности,постоянно меняющейся со временем и твердой стенки. Специфика проблемы заключается в том, что необходимо одновременно определять в каждый момент времени как движение жидкости, так и положение линии контакта. Новый подход к решению этой проблемы предложен Коробки-ным A.A. [41] - [44], который основан на введении потенциала перемещений.

Результатом решения задач, приведенных ниже, является информация о форме свободной поверхности тяжелой жидкости в зависимости от координаты и времени вне окрестности этих точек. Вопросы силового взаимодействия погружающихся контуров с жидкостью в работе

0.4) не рассматриваются, хотя и могут быть без труда получены из най-деных решений (правда, с точностью до составляющих, связанных с брызговыми струями и допущениями линейных задач).

Работа состоит из трех глав и заключения.

В первой главе диссертации, используя метод Фурье, исследуются, в основном, симметричные задачи (погружающийся или деформирующийся контур имеет вертикальную ось симметрии). Исключение составляет задача о "волнопродукторе", в которой компактная область давления может двигаться произвольно и задаваться произвольным изменением своей величины по координате и времени (лишь бы только допускало Фурье преобразование по координате х).

В параграфе 1.1 дается полная постановка задачи с нелинейными граничными условиями о погружении непроницаемых контуров через свободную поверхность тяжелой, невязкой, несжимаемой жидкости. Вводя безразмерные величины, находим малый параметр задачи е (е — Цтах/Ь, где Ь - размер носителя). Далее, используя регулярный асимптотический алгоритм, мы переходим от нелинейной задачи к последовательности линейных краевых задач.

В параграфе 1.2, используя Фурье преобразование, краевая задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра первого рода типа свертки с "периодическим ядром. При этом основным является допущение о том, что и свободная поверхность и контур "мало отклоняются" от невозмущенной свободной поверхности. Только тогда норма (0.4) имеет малый порядок который принят за параметр возмущений. Термин "мало отклоняется" взят в кавычки потому, что физическое наполнение понятия элемента шкалы сравнения (коим является малый параметр задачи е) осуществляется только в конкретных задачах ( в работе это третий параграф - модельные расчеты), когда определяются функции правых частей граничных условий на контуре в задачах типа (0.1).

А также представлены два способа решения интегрального уравнения Вольтерра. Выбор способа решения зависит от тех трудностей, которые возникают на пути получения конечных формул. Первый способ решения наиболее прост, но иногда в этих конечных формулах остаются невычисленными двойные интегралы, и в этом случае, удобнее использовать второй способ, так как двойные интегралы сводятся к простым табличным интегралам, широко используемым в теории крыла [57].

В параграфе 1.3 выполнены расчеты форм свободной поверхности в двух задачах о погружении контуров:

- безударное погружение через поверхность тяжелой жидкости с постоянной скоростью симметричного клина;

- удар о поверхность тяжелой жидкости и погружение плоской пластинки;

В параграфе 1.4 рассматривается плоская линейная задача о волнах на свободной поверхности тяжелой невязкой жидкости с учетом сил поверхностного натяжения от нестационарного движения по ней произвольно изменяющихся сосредоточенных давлений. Рассмотрены две конкретные задачи, в которых получены расчеты форм свободной поверхности:

- безударное погружение через поверхность тяжелой жидкости с постоянной скоростью симметричного клина с учетом сил поверхностного натяжения;

- задача о нестационарном движении по свободной поверхности сосредоточенного давления, меняющегося по периодическому закону.

Во второй главе диссертации рассмотрен второй подход решения плоской линейной задачи о волнах на свободной поверхности тяжелой жидкости при погружении через нее симметричных контуров, который основан на методе граничных интегральных уравнений.

В параграфе 2.1 найдена фундаментальная структура (функция Грина) - решение задачи о нестационарном движении под свободной поверхностью тяжелой жидкости источника, интенсивность которого меняется во времени. До сих пор были известны, лишь решения для источников, интенсивность которых менялась по периодическому закону. Получена форма свободной поверхности при нестационарном движении под ней источника.

В параграфе 2.2 записывается формула Грина для потенциала скорости Ф(х,у,{). Контур интегрирования деформируется в окружность 7, содержащую внутри себя точку {х,у}, контур, охватывающий тело

Я и контур из свободной поверхности и полукруга бесконечного радиуса. В результате этих действий, решение задачи ищется в форме суммы интегральных операторов типа потенциалов простого (источника и стока) и двойного (диполи) слоя. В случае симметричного движения, двойного слоя на контуре нет и, в этом случае, задача существенно упрощается.

В параграфе 2.3 рассмотрена задача о погружении контуров с малой килеватостью, в которой граничное условие неперетекания переносится на проекции контура на горизонтальную координатную ось ох. Задача редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра типа свертки с периодическим ядром, для которого найден обратный оператор.

В параграфе 2.4 рассмотрена задача о погружении контуров с большой килеватостью, в которой граничное условие неперетекания переносится на проекции контура на вертикальную координатную ось оу. Поэтому, решение задачи определяется сразу по скачку нормальной производной от потенциала скоростей.

В главе 3 решается линейная задача о волнах на свободной поверхности тяжелой жидкости после несимметричного удара и погружения плоской пластинки. Исследуется начальная стадия этой формы движения или кратковременный контакт пластинки с жидкостью. Решение ищется в форме интегрального оператора типа потенциала простого слоя, распределенного по проекции пластинки на невозмущенную свободную поверхность. Интегральное уравнение задачи после ряда преобразований сводится к интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода типа свертки с периодическим ядром для которого найден обратный оператор. Построена простая линейная математическая модель волнообразования после удара и несимметричного погружения плоской пластинки через свободную поверхность тяжелой идеальной жидкости. Получено аналитическое и численное решение задачи.

Заключение

В работе исследованы начально - краевые задачи о вертикальном погружении через свободную поверхность тяжелой, невязкой, несжимаемой жидкости непроницаемых контуров и получены следующие основные результаты :

1. Найдены решения интегрального уравнения Вольтерра типа свертки с периодическим ядром для различных начальных условий.

2. Построена функция Грина - решение задачи о нестационарном движении под свободной поверхностью тяжелой жидкости источника, интенсивность которого меняется во времени. До сих пор были известны, лишь решения для источников, интенсивность которых менялась по периодическому закону.

3. Разработан метод и алгоритм решения задач о погружении контуров через поверхность тяжелой жидкости, что позволило решить ряд конкретных задач:

- удар и погружение плоской пластинки;

- апериодическое движение по свободной поверхности компактной области повышенного давления, которое меняется по произвольному закону;

- погружения клина с малыми и большими углами килеватости;

- нестационарное апериодическое движение под свободной поверхностью источника переменной интенсивности.

4. Построена математическая модель волнообразования после удара и несимметричного погружения плоской пластинки через свободную поверхность тяжелой идеальной жидкости. Получено аналитическое и численное решение задачи. Решение может быть полезным при использовании в нестационарной аналогии установившегося глиссирования несущих поверхностей, так как просто может быть обобщено на задачу об ударе слабоискривленных контуров.

1. Кочин Н.Е. Точное определение установившихся волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины. — Собр.соч.,т II, Гостехиздат, 1949. с. 43-75.

2. Кочин Н.Е. К теории волн Коши-Пуассона. — Собр.соч.,т II, Гостехиздат, 1949. с. 86-104.

3. Кочин Н.Е. Плоская задача об установившихся колебаниях тел под свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости. — Собр.соч.,т II, Гостехиздат, 1949. с. 244-276.

4. Кочин Н.Е. Теория волн, вынуждаемых колебаниями тела под свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости. — Собр.соч.,т II, Гостехиздат, 1949. с. 277-304.

5. Келдыш М.В., Лаврентьев М.А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости. — Труды конференции по теории волнового сопротивления. Изд-во ЦАГИ. 1937.

6. Чаплыгин Ю. С. Глиссирование плоской пластинки бесконечного размаха по поверхности тяжелой жидкости. — Тр. ЦАГИ, 1940, вып. 508, с. 3-45.

7. Чаплыгин Ю. С. Глиссирование по поверхности жидкости конечной глубины. — ПММ, 1941, т.5, вып. 2, с. 223-252.

8. Костюков А. А. Теория корабельных волн и волнового сопротивления — Судпромгиз. 1959.

9. Сретенский JI.H. К теории глиссера. — М., Изв. АН СССР, отделение технических наук, 1940, т.7, с. 3-26.

10. Сретенский Л.H. Теория ньютоновского потенциала. — М., Го-стехиздат, 1946.

11. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. — М., "Наука", 1977. 815 с.

12. Хаскинд М.Д. Колебания плавающего контура на поверхности тяжелой жидкости. — ПММ., t.XVII. вып.2. 1953.

13. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. — М., "Наука", 1966.

14. Седов Л.И. Плоская задача о глиссирование по поверхности тяжелой жидкости. — Труды конференции по теории волнового сопротивления. Изд-во ЦАГИ. 1937.

15. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. — Киев, "Наукова думка", 1969. 208 с.

16. Wagner H. Uber Stoss und Gleitvorgange der Oberflache von Flüssigkeiten. —ZAMM. 4. 1932. s.199-215.

17. Сагомонян А.Я. Проникание — M. "МГУ". 1974.

18. Перфиръев H.П. Вертикальное движение тонкого плоского тела к свободной поверхности весомой жидкости. — В кн. Струйные и ка-витационные течения и современные вопросы теории управления. /Чуваш, ун-т., Чебоксары, 1978.

19. Перфиръев Н.П.,Романов A.B. Вертикальное движение тонкого плоского тела к свободной поверхности весомой жидкости. — В кн. Динамика сплошной среды со свободными поверхностями./Чуваш. ун-т., Чебоксары, 1980.

20. Никитин В.В.,Терентъев А.Г. Нестационарное движение тонких тел в жидкости с границами раздела. — В кн. Динамика сплошной среды со свободными поверхностями./ Чуваш, ун-т., Чебоксары, 1980.

21. Терентъев А.Г. Наклонный вход тонкого тела в несжимаемую жидкость.—Изв.АН СССР., МЖГ, 1977. N5

22. Кузнецов A.B. Вход тонкого тела в воду. Плоские задачи. — Труды семинара по краевым задачам. Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1977. вып.14

23. Михайлов В.М.,Никитина Г.В. О наклонном проникании в идеальную весомую жидкость тонкого тела с вентилируемой каверной. — Динамика сплошной среды со свободными поверхностями./ Чуваш, ун-т., Чебоксары, 1980.

24. Галанин А.В.,Гусев В.А.,Сайкин С.С. Вход осесиметричной оболочки в сжимаемую жидкость.—Динамика сплошной среды со свободными поверхностями./ Чуваш, ун-т.,Чебоксары, 1980.

25. Попов В. В. К задаче об ударе плавающего конуса. — Гидромеханика, 1979, вып. 40. с.28-37.

26. Салъкаев А.З. Гидродинамические силы, действующие на контур произвольной формы, плавающий на поверхности тяжелой жидкости. — Труды ЦНИИ им.Крылова, вып. 235.

27. Кузнецов Н.Г., Орлов Ю.Ф., Черепенников В.Б.,Шлаустас Р.Ю. Регулярные асимптотические алгоритмы в механике. — Новосибирск, "Наука", Сиб. от.-ние, 1989. 272 с.

28. Кузнецов Н.Г.,Мазъя В. Г. Асимптотические разложения для поверхностных волн, вызванных кратковременными возмущениями. — В кн. Асимптотические методы. Прикладные задачи механики. Новосибирск, "Наука", Сиб. от-ние, 1986. с.103-138.

29. Кузнецов Н.Г.,Мазъя В. Г. Об однозначной разрешимости плоской задачи Неймана-Кельвина. — Математический сборник. 1988. 135(177). N4. с.440-462.

30. Кузнецов Н.Г. Плоская задача об установившихся колебаниях жидкости в присутствии двух полупогруженных цилиндров. — Математические заметки, т.44. вып.З. 1988. с. 369-377.

31. Кузнецов Н.Г. Асимптотические разложения для поверхностных волн, возникающих при движении тела с быстроосциллирующей скоростью. — Изв. АН СССР. МЖГ, N3, 1989. с.138-145.

32. Garipov R.M. On the linear theory of gravity waves: the theorem of existence and uniqueness. — Arch.Rat.Mech., 1967. v.24. N5. p.352-362.

33. Мазъя В.Г., Пламеневский Б.А. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка в областях с ребрами. — Вести ЛГУ, сер.матем., 1975, N 1, с. 102-108.

34. Мазъя В.Г., Пламеневский Б.A. Lp оценки в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами. — Труды ММО, 1973, т.37, с. 49-93.

35. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. — Труды ММО, 1967. т.16. с. 209-292.

36. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые уравнения с частными производными в негладких областях. — УМН, 1983. т.38, N 2, с.3.76.

37. Андрее В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. — Новосибирск, "Наука". Сиб.от-ние, 1992. 136 с.

38. Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившееся движение жидкости со свободной границей. — Новосибирск, НГУ, 1975. 136 с.

39. Пухначев В.В.,Солонинков В.А. К вопросу о динамическом краевом угле. — Новосибирск, ПММ, 1982. т.46. вып.6. с.961-971.

40. Пухначев В. В. Движение вязкой жидкости со свободными границами. — Новосибирск, НГУ, 1989. 96 с.

41. Korobkin A.A. and Pukhnachov V. V. Initial stage of water impact.

42. Annual. Rev. Fluid Mech., 1988. V. 20. P. 159-185.

43. Korobkin A.A. Acoustic effect on water impact. — Proc. 10th Int. Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Oxford, 1995. P. 25.125.4.

44. Коробкин A.A. Акустическое приближение в задаче погружения затупленного контура в идеальную жидкость. — ПМТФ. 1992. N 2. с. 48-54.

45. Korobkin A.A. Jetting under body impact on a liquid free surface.— Proc. 4th Int. Symp. on Nonlinear and Free-Surface Flows, Hiroshima Univ., 1995. P. 5-8.

46. Черкесов Л. В. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. — Киев, "Наукова думка", 1976. 364 с. Сиб. от.-ние. 1983.

47. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Линейная задача о погружении контура через поверхность тяжелой жидкости. — /Асимптотические методы в теории ситем. Иркутск, ИНЦ СО АН СССР, 1991. с. 38-47.

48. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Задача о погружении контура через поверхность тяжелой жидкости. — /Современные проблемы механики жидкости и газа. Иркутск, ИНЦ СО АН СССР, ИМ МГУ, 1990.с. 247-248.

49. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Обобщенная задача Вагнера — Препринт N2. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 1998, с.47

50. Орлов Ю. Ф., Тирских В.В. Волны на поверхности тяжелой жидкости, генерируемые несимметричным ударом по плоской пластинке на ее поверхности — Известия РАН, МЖГ, 1999, N 4, с.177-181.

51. Шварц Л. Математические методы для физических наук. — М., "Наука", 1966. 412 с.

52. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.—М., ГИТТЛ, 1954. 444 с.

53. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. — М., Гостехиздат, 1953. 415 с.

54. Орлов Ю. Ф. Потенциал ускорений в гидродинамике корабельных волн.— Новосибирск, "Наука", Сиб. от.-ние. 1979. 216 с.

55. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. — М., "Наука", 1977. 283 с.

56. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М., "Наука", 1977. 640 с.

57. Орлов Ю.Ф. Теория потенциала ускорений и асимптотические методы. — В кн. Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск, "Наука", Сиб. от. -ние, 1987. с. 6-38.

58. Рид.М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. — М., "Мир", 1978, 396 с.

59. Морс Ф., Фешбах Т. Методы теоретической физики, т.1. — М., "Изд-во иностр. литер.", 1960, 930 с; т.2. 886 с.

60. Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. — М., "Изд-во "Янус-К", 1997, 280 с.