Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ргб оа

1 3 дек м!

АСХАТОВ РАДИК МУХАМЕТГАЛЕЕВИЧ

РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ И ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук

Казань 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Казанского государственного педагогического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ф. Г. Мухлисов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р. С. Хайруллин; доктор физико-математических наук, профессор О. А. Репин

Ведущая организация - Самарский государственный

педагогический университет

Защита состоится 20 декабря 2000 года в 17 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К 053.29.27 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, д.17.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан _ 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор ф из. — мат. наук П лещинский Н. Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Краевые задачи для вырождающихся и сингулярных эллиптических уравнений предстапляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. (См. работы А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, И.А.Киприянова и др.).

Известно, что уравнения вида

Ав« = 0, (1)

где Ав = Ах'+ВХр, А т* —оператор Лапласа, =

сингулярный оператор Бесселя, связаны с вырождающимися эллиптическими уравнениями.

Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т.д.). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике.

Связь теории сингулярных эллиптических уравнений с теорией вырождающихся эллиптических уравнений позволила применить к ней методы, разработанные для последних. Работа И.Н.Векуа, где доказана корректность постановки задачи Дирихле для уравнения (1) в полуплоскости жз > 0 при р = 2 и к < 1, относится к числу первых и была основой для дальнейших исследований М.Н.Олевского, С.П.Пулькина, В.Ф.Волкодавова и др. В работах Ю.П.Кривенкова получены интегральные представления решения уравнения (1) при р = 2 через аналитические функции и применены к обоснованию постановки граничных условий на характеристической части границы области.

Впервые фундаментальные решения уравнения (1) при к = 1 и р = 2 были построены E.Beltrami; А.Вайнштсйном этот результат был распространен на любое значение к > 0, а И.А.Киприяновым и В.И.Кононенко - на общие линейные Л-эллиптические уравнения. В этих работах фундаментальные решения с особенностью в произвольной точке были построены с помощью оператора обобщенного сдвига. Такие фундаментальные решения могут быть применены к исследованию краевых задач с условием типа четности на характеристической части границы.

Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первого рода. (См., напр., работы А.В.Бицадзе, И.Н.Векуа, Л.С.Па-расюк и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго рода, то к числу первых в этом направлении относится работа М.В.Келдыша (1951 г.), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяется условием ограниченности решения. Позже А.В.Бицадзе в своей работе указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.

Одним из представителей вырождающихся эллиптических уравнений второго рода является уравнение вида

д2и д2и да

ы+уо?+а1ГГ0< (2)

которое впервые было рассмотрено И.Л.Каролем. Им были построены фундаментальные решения этого уравнения при а < 1. Позже Р.С.Хайруллин в своей работе с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для уравнения (2) при

тех же значениях а.

Среди методов решения краевых задач для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений серьезного внимания заслуживает метод потенциалов. Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем.

Целью настоящей работы является доказательство существования единственного решения основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений.

Методы исследования. В работе развиваются идеи и методы классической теории потенциала, теории функций действительной переменной, специальных функций, дифференциальных и интегральных уравнений.

Научная новизна:

1. Построены фундаментальные решения сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений.

2. Доказаны теоремы о принципе максимума для Т^РК Т^^, гармонических функций и на основе этого принципа доказаны единственность решения задач Дирихле для соответствующих уравнений.

3. Выведены формулы Грина для сингулярных и вырождающихся эллиптических операторов и на их основе доказаны единственность решения задач типа Неймана для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений.

4. Построены поверхностные потенциалы типа простого и двойного слоев и основные краевые задачи для указанных уравнений редуцированы к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма

второго рода. Доказана однозначная разрешимость этих интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений и найти приложение в теории краевых задач для уравнений смешанного типа, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.

Апробация работы. Весь материал, по мере его получения, обсуждался на семинаре кафедры математического анализа Казанского государственного педагогического университета (руководитель - профессор Ф.Г.Мухлисов). Были сделаны доклады на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 40-летию мехматг! КГУ (г.Казань, 1.103.10.2000), на Саратовской конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения" (г.Саратов, 27.01-02.02.2000), на межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г.Самара, 29.05-31.05.2000), на четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященном памяти М.А.Лаврентьева (Новосибирск, 26.061.07.2000) и на научно-практических итоговых конференциях в Казанском государственном педагогическом университете (г.Казань).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14]. Из них [3], [14] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат здесь постановки задач и общие указания о путях решения.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 101 страницу и состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов и 16 пунктов, и списка литературы из 46 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, а также кратко охарактеризованы результаты автора, изложенные в последующих главах.

В первой главе рассматривается сингулярное эллиптическое уравнение

при р = 2 (двумерном) и р > 2 (многомерном) случаях. Построены фундаментальные решения в двумерном и многомерном случаях. Устанавливается принцип максимума и на основе этого принципа доказывается единственность решения задач Дирихле для указанных уравнений. Также методом потенциалов доказывается существование решения основных краевых задач.

В §1 строятся фундаментальные решения сингулярного эллиптического уравнения (3). выраженные через гипергеометрические функции. Вводятся понятия Т'2' и Т'р)-гармонических функций, как регулярные решения уравнения (3) в областях, соответственно при р = 2 и р > 2. В §2 даются интегральные представления этих функций на основе первой и второй формул Грина для операторов Т^2' и соответственно в двумерном и многомерном случаях. В этом же параграфе доказывается очень важная для последующих исследований теорема (на примере многомерного случая).

Теорема 1. Если функция и{х , хр) £ Т'!''(С+), то она принима-

ет наибольшее и наименьшее значения на границе Л"1" и .Г'0'.

В §3 даются постановки основных краевых задач для уравнения (3) и доказываются единственность их решения. Ставятся следующие краевые задачи (на примере многомерного случая).

Внутренняя задача Дирихле (Б®). Требуется найти функцию и{х), Т^'-гармоническую в области С+, непрерывную в &'+ и удовлетворяющую граничным условиям

•и|г+ = ¡р(х), х Е Г+, гг|р(о) — О,

где ^(з;) - непрерывная функция.

Внешняя задача Дирихле (О^). Требуется найти функцию и{х), Т'р|-гармоническую в области непрерывную в Gt, равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничным условиям

= х в Г+,

гг|г(о) = О,

где ср(х) - непрерывная функция.

Внутренняя задача типа Неймана (К{). Требуется найти функцию и(ж), Т^р1-гармоническую в области С+, один раз непрерывно дифференцируемую в <?+, непрерывную в (7+ и удовлетворяющую граничным условиям

ди дп

= /(*), х£Г+,

г+

—■ О'

где /(х) - непрерывная функция.

Внешняя задача vгuna Неймана (Ке). Требуется найти функцию и(г), Т^'-гармоническую в области С*, один раз непрерывно диф-

ференцируемую в Gt, непрерывную в Gt, равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничным условиям

да дп

= /(ж), я 6 Г+,

м|г(0) = О,

где /(ж) - непрерывная функция.

Доказывается следующая теорема единственности.

Теорема 2. Внутренние задачи Дирихле (D®) и типа Неймана (Ki), а также внешние задачи Дирихле (D®) и типа Неймана (Ке) не могут иметь более одного решения.

В §4 строятся потенциалы типа простого и двойного слоев для уравнения (3), изучаются предельные значения этих потенциалов на границе области при р = 2 и р > 2. Краевые задачи сводятся к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, а также доказывается разрешимость этих интегральных уравнений на примере многомерного случая.

В §5 результаты, полученные в предыдущих четырех параграфах, применяются к исследованию основных краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения вида

= + + = о (0<т<*<1). (4)

Построены фундаментальные решения, выраженные через гипер-

(х> t

геометрические функции. Вводится понятие Тк.^-гармонических функций, как регулярное решение уравнения (4) я области, а также устанавливается принцип максимума. Рассматриваются следующие краевые задачи.

Внутренняя задача Дирихле (Df). Найти функцию и[х',хр), непрерывную в G+. Т^-гармоническую в G+ и удовлетворяющую граничным условиям

«|г+=р(Р), Р6Г+, и|Г(0) = О,

где <р{Р) - непрерывная функция.

Внешняя задача Дирихле (D®). Найти функцию и(х',хр), непрерывную в Gt, равную нулю на бесконечности, -гармоническую в Gf и удовлетворяющую граничным условиям

ix|r+= р(Р), Р G Г+,

tiLto) = Ü, 1 €

где ip(P) - непрерывная функция.

Внутренняя задача типа Неймана (Kj). Найти функцию и(х', хр), один раз непрерывно дифференцируемую в G+, непрерывную в G+, T^J,-гармоническую в G+ и удовлетворяющую граничным условиям

л[к]|г+ = Ф(Р), Р е г+, u|r(u) = О,

где ф{Р) - непрерывная функция,

., , v-^ , , du du

v - единичный вектор внешней нормали к Г+ в точке Р(х', хр).

Внешняя задача типа Неймана (Ке). Найти функцию и(х',хр), один раз непрерывно дифференцируемую в Gt, непрерывную в Gt,

равную нулю на бесконечности, Т^-гармоническую в Gf и удовлетворяющую граничным условиям

А[и]\г+ = Ф(Р), Р£Г+,

•а|г(0) = О, 1 £

где ф(Р) - непрерывная функция.

Верна следующая теорема единственности.

Теорема 3. Внутренние задачи Дирихле и типа Неймана

(К,), а также внешние задачи Дирихле (В®) и типа Неймана (К() не могут иметь более одного решения.

Также с помощью одного из фундаментальных решений строятся потенциалы типа простого и двойного слоев. С помощью этих потенциалов основные краевые задачи для уравнения (4) редуцируются к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

Во второй главе рассматривается вырождающееся эллиптическое уравнение

= + (0<Ь<1). (5)

их- ду- ду

В §1 построены фундаментальные решения уравнения (5) в терминах функции Макдональда. Также вводится понятие -гармонических функций, как регулярное решение уравнения (5) в области, обращающееся в нуль при у 0. В §2 выведены формулы Грина для вырождающегося эллиптического оператора, а также доказывается принцип максимума.

Теорема 4. Если функция и(х,у) Е и тождественно

не равна нулю, то она принимает положительное наибольшее, и отрицательное наименьшее значения на границе Г+.

В §3 даются постановки основных краевых задач. Внутренняя задача {Ej). Найти функцию и(х.у), непрерывную в £>+, Tj!"о-гармоническую в D+ и удовлетворяющую граничному условию

= <р(Р), Р£Г+,

где <р(Р) - непрерывная функция.

Внешняя задача (Ее). Найти функцию и(х,у), непрерывную в Df, равную нулю на бесконечности, Т^^'-гармоническую в D+ и удовлетворяющую граничному условию

и\г+ = р(Р), Р <= Г+,

где <р(Р) - непрерывная функция.

Внутренняя задача (К¡). Найти функцию и(х, у), один раз непрерывно дифференцируемую в £)+, ".¡'-гармоническую в D+ и удовлетворяющую граничному условию

л[ы]|г+ = ф(Р), р е г+,

где i{'(P) - непрерывная функция,

Л Г ! , , 1 ■ , N ди

A|uj = COS\X, р)—--1- у Sin\X,

v - единичный вектор внешней нормали к Г+ в точке Р(х, у).

Внешняя задача (Kfj. Найти функцию и{х,у), один раз непрерывно дифференцируемую в Df, равную нулю на бесконечности,

(°) -J-

2-гармоническую в Dj и удовлетворяющую граничному условию

А[и)\г+=ф(Р), Р е Г+,

где -ф(Р) - непрерывная функция.

Справедлива следующая теорема единственности.

Теорема 5. Внутренние задачи (Е{) и (К,), а также внешние задачи (Ве) и (Ке) не могут иметь более одного решения.

В §4 с помощью фундаментальных решений строятся потенциалы типа двойного и простого слоев. Также как в §4 главы 1 с помощью этих потенциалов основные краевые задачи для уравнения (5) сводятся к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается их разрешимость.

В заключение выражаю глубокую признательность моему научному руководителю Фоату Габдулловичу Мухлисову за помощь и советы, оказанные мне при написании данной работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Асхатов Р. М. Принцип экстремума и задача Дирихле для одного сингулярного эллиптического уравнения / Каз. гос. пед. университет. — Казань, 1999. - 14 с. - Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 04.11.99, N0.32894399.

2. Асхатов Р. М. Принцип экстремума и задача Дирихле для одного сингулярного эллиптического уравнения в многомерном случае / Каз. гос. пед. университет. — Казань, 1999. - 14 с. - Библиогр.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, N0.3525-1399.

3. Асхатов Р. М., Мухлисов Ф. Г. 0 потенциалах для одного сингулярного эллиптического уравнения в многомерном случае / Каз. гос. пед. университет. — Казань, 2000. - 21 с. - Библиогр.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.00, N0.234-1300.

4. Асхатов Р. М. О Т-гармонических потенциалах // Тез. докл. 10-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". - Саратов. 2000.

5. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения // Труды 10-й науч. межвуз. конф. "Математи-

ческое моделирование и краевые задачи." - Ч.З. - СамГТУ, ИАР. -Самара, 2000. - С. 20-21.

6. Асхатов Р. М. Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения / Каз. гос. пед. университет. — Казань, 2000. - 26 е.- Библиогр.: 7 назв. - Деп. в ВИНИТИ 30.05.00, Г^о.1559-В00.

7. Асхатов Р. М. Фундаментальные решения одного вырождающегося эллиптического уравнения // Неклассич. дифференц. уравнения: 4-ый Сиб. конгресс по прикл. и индустр. математике (ИНПРИМ-2000), поев, памяти М.А.Лаврентьева (Новосибирск, 26.06-1.07.00).-Новосибирск.: Изд-во Ин-та математики, 2000. - С. 43-44.

8. Асхатов Р. М. Решение краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов (часть 1) / Каз. гос. пед. университет. — Казань, 2000. - 21 с. - Библиогр.: 7 назв. -Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, Мо.1774-В00.

9. Асхатов Р. М. Решение краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов (часть 2) / Каз. гос. пед. университет. — Казань, 2000. - 21 с. - Библиогр.: 7 назв. --■ Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, Ко.1775-В00.

10. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода в многомерном случае / Каз. гос. пед. университет. — Казань, 2000. - 27 с. - Библиогр.: 5 назв. -Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, 1Чо.1776-В00.

11. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода / Каз. гос. пед. университет. Казань, 2000. - 26 с. - Библиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, Мо.1777-В00.

12. Асхатов Р. М. Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Изв. вузов. Математика. — Казань, 2000. - 21с. - Библиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ (в печа-

ти)

13. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Труды математич. центра им. Н. И. Лобачевского (Материалы Междунар. науч. конф. (Казань, 1.10-3.10.2000)). - Т.5. - Казань.: УНИПРЕСС, 2000 - С. 25-27.

14. Асхатов Р. М., Мухлисов Ф. Г. О краевых задачах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Труды математич. центра им. Н. И. Лобачевского (Материалы Междунар. науч. конф. (Казань, 1.10-3.10.2000)). - Т.5. - Казань.: УНИПРЕСС, 2000. - С. 27-28.

Лея,-

Подписано к печати 15.11.2000 Тир. 100 Зак. 153-2000

Лаборатория офсетной печати Казгоспедуниверситета 420015 г. Казань, ул. Пушкина, 31.

Введение.

Глава 1. Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных эллиптических уравнений методом потенциалов.

§1. Фундаментальные решения (п. 1.1-1.2).

§2. Интегральное представление Т^ и Т^-гармонических функций. Принцип максимального значения для Т^ и гармонических функций (п. 1.3-1.4).

§3. Краевые задачи и теоремы единственности (п. 1.5-1.6)

§4. Решение основных краевых задач методом потенциалов п. 1.7-1.8).

§5. Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения (п. 1.9-1.12).

Глава 2. Решение основных краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов.

§1. Фундаментальные решения (п. 2.1).

§2. Интегральное представление -гармонических функций. Принцип максимального значения для 2-гармонических функций (п. 2.2).

§3. Краевые задачи и теоремы единственности (п. 2.3).

§4. Решение основных краевых задач методом потенциалов (п. 2.4).

Краевые задачи для вырождающихся и сингулярных эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. (См. работы А. В. Бицадзе [17, 18], М. М. Смирнова [40, 41, 42], И. А. Киприянова [26, 27] и М. В. Келдыша [25]). Известно [35], что уравнения вида

Ави = 0, (0.1) д2 к д где Ав = Ах>+ВХр, Д^- оператор Лапласа, Вг = — сингулярный оператор Бесселя, связаны с вырождающимися эллиптическими уравнениями.

Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т.д.). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике.

Связь теории сингулярных эллиптических уравнений с теорией вырождающихся эллиптических уравнений позволила применить к ней методы, разработанные для последних. Работа И. Н. Векуа, где доказана корректность постановки задачи Дирихле для уравнения (0.1) в полуплоскости а?2 > 0 при р = 2 и к < 1, относится к числу первых и была основой для дальнейших исследований М. Н. Олев-ского, С. П. Пулькина, В. Ф. Волкодавова и др. В работах Ю. П. Кривенкова получены интегральные представления решения уравнения (0.1) при р = 2 через аналитические функции и применены к обоснованию постановки граничных условий на характеристической части границы области.

Впервые фундаментальные решения уравнения (0.1) при к = 1 и р — 2 были построены Е. Beltrami; А. Вайнштейном этот результат был распространен на любое значение к > 0, а И. А. Киприяновым и В. И. Кононенко - на общие линейные Б-эллиптические уравнения. В этих работах фундаментальные решения с особенностью в произвольной точке были построены с помощью оператора обобщенного сдвига. Такие фундаментальные решения могут быть применены к исследованию краевых задач с условием типа четности на характеристической части границы. В наших работах [1, 2, 3, 4] построены фундаментальные решения уравнения (0.1) с особенностью в произвольной точке, выраженные через гипергеометрические функции, и применены к исследованию краевых задач с обычными граничными условиями на характеристической части границы.

Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первого рода. (См., напр., работы А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, Л. С. Парасюк и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго рода, то к числу первых в этом направлении относится работа М. В. Келдыша (1951 г.), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяется условием ограниченности решения. Позже А. В. Бицадзе в работе [18] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.

Одним из представителей вырождающихся эллиптических уравнений второго рода является уравнение вида д2и д2и ди л ,п которое впервые было рассмотрено И. Л. Каролем [24]. Им были построены фундаментальные решения этого уравнения при а < 1. Позже Р. С. Хайруллин в работе [45] с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для уравнения (0.2) при тех же значениях а.

В данной диссертационной работе рассматривается более общее вырождающееся эллиптическое уравнение второго рода

Строятся фундаментальные решения и исследуются основные краевые задачи для этого уравнения при некоторых значениях тф 1, к в двумерном и многомерном случаях.

Среди методов решения краевых задач для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений серьезного внимания заслуживает метод потенциалов. Суть этого метода такова: решение задачи ищется в виде суммы заранее построенных потенциалов с неопределенными плотностями. Затем, требуя, чтобы она удовлетворяла краевым условиям, получают относительно этих плотностей систему интегральных уравнений. Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе, хорошо известны. В наших работах [3, 4, 5, б, 8, 9,10,11,12,13] построены и применены потенциалы типа двойного и простого слоев к исследованию краевых задач для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений (0.1) и (0.3).

Результаты настоящей работы могут найти приложение в теории краевых задач для вырождающихся и сингулярных эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.

Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Асхатов Р. М. Принцип экстремума и задача Дирихле для од-лного сингулярного эллиптического уравнения / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 1999. 14 с. - Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 04.11.99, No.3289 - В99.

2. Асхатов Р. М. Принцип экстремума и задача Дирихле для одного сингулярного эллиптического уравнения в многомерном случае / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 1999. -14 с. Библ.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, No.3525 - В99.

3. Асхатов Р. М., Мухлисов Ф. Г. О потенциалах для одного сингулярного эллиптического уравнения в многомерном случае / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. 21 с. -Библ.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.00, No.234 - В00.

4. Асхатов Р. М. О Т-гармонических потенциалах // Тез. докл. 10-й Саратовской зимн. школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Изд-во Саратовского унив-та. - Саратов, 2000. - С. 10-11.

5. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения // Труды 10-й науч. межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи." — Ч.З. -СамГТУ, И АР. Самара, 2000. - С. 20-21.

6. Асхатов Р. М. Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения / Казанский гос. пед. университет.- Казань, 2000. 26 е.- Библиогр.: 7 назв.- Деп. в ВИНИТИ 30.05.00, No.1559 - В00.

7. Асхатов Р. М. Решение краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов (часть 1) / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000.- 21 с. Библиогр.: 7 назв. - Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, No.1774- В00.

8. Асхатов Р. М. Решение краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов (часть 2) / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000.- 21 с. Библиогр.: 7 назв. - Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, No.1775 -BOO.

9. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода в многомерном случае / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. 27 с. -Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, No.1776 - В00.

10. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. 26 с. - Библиогр.: 3 назв.-Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, No.1777 - В00.

11. Асхатов Р. М. Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Изв. вузов. Математика. — Казань, 2000. 21 с. - Библиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ 02.11.00, No.2782 - В00.

12. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Труды математич. центра им. Н.И.Лобачевского (Материалы Междунар. науч. конф.(Казань, 1.10-3.10.2000)). Т.5.- Казань.: УНИПРЕСС, 2000. - С. 25-27.

13. Берс JL, Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1966. С. 158-161.

14. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Hayяка, 1976.- С. 40-84.

15. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981.- 448 с.

16. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164 с.

17. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. — Ч.1.- М.: ИЛ, 1949.

18. Вишик М. И. О краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // ДАН СССР. — 1953.- т.93 No.2. - С. 225-228.

19. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 4-е изд. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

20. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. 3-е изд. - М.: Наука, 1977. -640 с.

21. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. 1100 е., илл.

22. Кароль И. Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сб. 1956. -т.38(80). -N0.3.- С. 261-282.

23. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. — 1951. т.77.- N0.2.- С. 181-183.

24. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов // Дифференц. уравнения. — 1971. т.7.- No.ll.

25. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. 1969. - т.5 - N0.8.- С. 14701483.

26. Кошляков Н. С., Глинер Э. В., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. 712 е., илл.

27. Крикунов Ю. М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. — Казань: Изд-во Казанского унив-та, 1970. 248 с.

28. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.М.: Высшая школа, 1989. т.З.- 352 е., илл.

29. Кузнецов Д. С. Специальные функции. — М.: Высшая школа, 1962.- 248 с.

30. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. — М.: ИЛ, 1961. 256 с.

31. Михлин С. Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения // Вестник Ленинградск. унив-та. 1954.- т.З.- N0.8.- С. 19-48.

32. Михлин С. Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968.- 576 е., илл.

33. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс.док. физ.-мат. наук.Казань, 1993. 324 с.

34. Олейник О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области // ДАН СССР. — 1952. т.87-N0.6.-0. 885-888.

35. Парасюк Л. С. Краевые задачи для двух эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка, вырождающихся награнице области // Укр. матем. журн.— 1962. т.14. - N0.2.-С.215-217.

36. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. 400 с.

37. Раджабов Н. Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингуляряной линией или сингулярными поверхностями. Ч.З.- Душанбе, 1982. - 171с.

38. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. — М.: Наука, 1966. 292 с.

39. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. — М.: Наука, 1964. 206 с.

40. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. — М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

41. Терсенов С. А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сибирск. матем. журн. — 1965. т.6. - N0.5.- С. 1120-1143.

42. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.- 736 е., илл.

43. Хайруллин Р. С. Теория потенциала для модельного уравнения второго рода // Известия вузов. Математика. 1992.- N0.3-С. 64-73.

44. Янушаускас А. И. Задача о наклонной производной теории потенциала.— Новосибирск: Наука, 1985. 262 с.