Решение краевых задач для многомерных вырождающихся B-эллиптических уравнений методом потенциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

I

Чеботарева Эльвира Валерьевна

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ В-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

1 6 СЕН 2010

Казань — 2010

004608045

Работа выполнена на кафедре математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Мухлисов Фоат Габдуллович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сабитов Камиль Васирович,

доктор физико-математических наук, профессор Чугунов Владимир Аркадьевич

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита диссертации состоится 30 сентября 2010 года в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИЙММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан августа 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вырождающиеся и сингулярные эллиптические уравнения занимают важное место в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Они находят широкое применение при решении многих задач прикладного характера, в их числе задачи газовой динамики, теории оболочек, теории упругости, механики сплошной среды. Краевые задачи для таких уравнений обладают той особенностью, что иногда на границе области, где происходит вырождение, граничное условие не ставится или граничное условие ставится с некоторой весовой функцией.

Уравнения эллиптического типа, по одной или нескольким переменным которых действует оператор Бесселя

В = + к> О х дх2 х дх'

и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И. А. Киприяновым были названы В-эллиптическими.

В первых работах по В-эллиптическим уравнениям рассматривалось уравнение вида

= + (1) 1

И. А. Киприянов создал теорию весовых пространств, которая впоследствии была применена к изучению краевых задач для В-эллиптических уравнений с граничными условиями на нехарактеристической части границы. На характеристической части ставились однородные условия типа условий четности.

Н.Р. Раджабов построил поверхностные потенциалы простого и двойного слоев и применил их к исследованию краевых задач для уравнения (1) при условиях, когда нехарактеристическая часть границы есть поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. А.Ю. Сазонов обобщил данные результаты на общие линейные В-эллипти-ческие уравнения с переменными коэффициентами при тех же ограничениях на нехарактеристическую часть границы области.

А.Ш. Хисматуллин исследовал основные краевые задачи для следующих вырождающихся В-эллиптических уравнений

д2и

утВхи+ — = 0, т>0, г/>0, дуг

он ду2

Вхи+д^{уа^) =0'0<а<1'У-0-Вопросы о существовании и единственности решений основных краевых задач для многомерных вырождающихся В-эллиптических уравнений до последнего времени оставались открытыми.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для многомерных вырождающихся В-эллиптических уравнений

Л2и \ П2у

+ (2)

где гп > 0, р > 3;

[«М1=Ещ+*««+»■ <3>

где 0 < а < 1, р > 3;

г)2и Я2?/

Ев [«(*)] = + + Х?Щ = (4)

где т > 4, р > 3;

ъ М«И -1 щ + +(4 - о, (Ч

где 0 < а < 1, р > 3.

Цель работы. Постановка краевых задач для уравнений (2)—(5) и доказательство существования их единственного решения.

Методы исследования. Применяются методы классической теории потенциала, теории функций действительной переменной, дифференциальных и интегральных уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Построены фундаментальные решения вырождающихся многомер-

ных В-эллиптических уравнений (2)—(5).

2. Изучены основные свойства решений вышеуказанных уравнений, в частности, принцип максимума и их поведение при хр 0.

3. Даны постановки краевых задач для вышеуказанных уравнений и доказаны теоремы о единственности их решения.

4. Построены потенциалы простого и двойного слоев и исследованы их основные свойства, в частности, доказаны теоремы о предельных значениях потенциалов двойного слоя и конормальной производной потенциалов простого слоя на границе области.

5. Доказаны теоремы о существовании решения краевых задач для вышеуказанных уравнений методом потенциалов.

Теоретическая и практическая значимость. Данная работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для некоторых вырождающихся В-эллиптических уравнений, а также найти приложение в осесиммет-рических задачах теории потенциала, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета (руководитель — профессор Мухлисов Ф.Г.). Основные результаты работы докладывались на Седьмой Международной конференции "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2008), Восьмой международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2007), Шестой Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2009), Десятой международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009), Второй Всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти В.Ф. Волкодавова (Самара, 2009), научно-практических итоговых конференциях при кафедре математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора

[1ЦН]-

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 29 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации составляет 133 страницы. Список литературы содержит 59 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, а также кратко излагаются основные результаты диссертации.

Пусть Ер + — часть хр > 0, xp_i > 0 р-мерного евклидова пространства точек; fi — конечная область в ограниченная гиперповерхностью Г и частями Го и гиперплоскостей xv-\ = 0 и хр = 0 соответственно; fte = Ер+\ (ft U Г); Сд() — множество функций из класса Ск{ ), удовлетворяющих условию

--- о(1) при хр-1 0.

дхр-у

В первой главе доказывается существование единственного решения основных краевых задач для вырождающегося В-эллиптического уравнения первого рода (2).

В §1 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора Lb-

В §2 строится фундаментальное решение уравнения (2).

В §3 дается интегральное представление решения уравнения (2).

В §4 изучаются некоторые свойства решений уравнения (2), в том числе доказывается теорема о принципе максимума.

В §5 даются постановки основных краевых задач для уравнения (2) и доказывается единственность их решений. Ставятся следующие краевые задачи.

Внутренняя задача Дирихле (Задача А). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и{х) е С% (ft) П С (П) ,

Lb [«(я)] = 0, х € fi, и(х) = О (1) при Хр -ï О,

tt|r = ¥>(fUer, ¥>(£)€ С(Г).

Внешняя задача Дирихле (Задача Д.). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х) € С2В (fte) П С (â) ,

LB [u(S)} = 0, х е fie, и(х) — о(1) при Хр О,

и{х) = 0 ^(Ро) при |х| -> 00, 7 = р + к,

«|г = у(0.€ег, Г),

гдер^Е^ + ^Г-

Внутренняя задача Неймана (Задача ЭД). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х)€С2в(П)ПС1 (П и Г) П С (П),

Ьв [и(ж)] = 0, ж е П, и(х) = о(1) при хр О,

р-1

где А[ ] = сой + соя (п., --конормальная производная,

п — внешняя нормаль к границе Г.

Внешняя задача Неймана (Задача Л^). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х) б (Пе) П С1 (Пе и Г) П С (Й^ ,

[и(х)] = 0, х е Пе, и{х) — о(1) при Хр —¥ О,

и(х) = 0 при |х| 00,

л [и] |г = Ф(0, £ е г, ф(ОеС( г).

В §6 с помощью фундаментального решения £(хш,хо) уравнения (2) строятся поверхностные потенциалы простого и двойного слоев

г

1Г(х) = I иШЩ^хМ^Г.

г

Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности, доказываются теоремы о предельном значении потенциалов на границе Г области П.

Теорема 1. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Хр-1 = 0 и хр = 0 прямые углы. Тогда при v € С(Г) имеют место следующие предельные соотношения:

We(x0) = Ц +

где Wi(xo) и We(xо) означают предельные значения потенциала W(x) в точке хо £ Г при х -»• xq соответственно изнутри и извне границы Г, а W(xq) — прямое значение потенциала W{х) в точке xq € Г. Здесь Xq £ Г — фиксированная точка границы Г, i/0 = v{xq).

Теорема 2. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Хр-1 = 0 и хР = 0 прямые углы. Тогда при ц € С(Г) имеют место следующие предельные соотношения:

ЛХ0[УЫЬ = ^ + АХо[У(х0}},

A*olV(xo)]e = -^ + А,„№>)],

где Ах0 [VXzo)]¿ u Axo \V{xо)]е — предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке Хо G Г соответственно изнутри и извне границы Г, — l¿(xo), а Ахо [У(а;о)] — прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя.

В §7 поставленные краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

В §8 проводится исследование полученных интегральных уравнений, доказывается однозначная разрешимость поставленных задач.

Теорема 3. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр_i = 0 и хр = 0 прямые углы, то задача D¡ для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 4. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Хр-1 = 0 и Хр = 0 прямые углы, то задача Ne для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Теорема 5. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр-1 = 0 и хр = 0 прямые углы, то задача De для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 6. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Хр-1 = 0 и хр = 0 прямые углы, то задача для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Во второй главе доказывается существование единственного решения основных краевых задач для самосопряженного вырождающегося В-эллиптического уравнения (3).

В §1 строится фундаментальное решение уравнения (3).

В §2 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора Еав.

В §3 дается интегральное представление решения уравнения (3).

В §4 изучаются некоторые свойства решений уравнения (3), в том числе доказывается теорема о принципе максимума.

В §5 даются постановки основных краевых задач для уравнения (3) и доказывается единственность их решений. Ставятся следующие краевые задачи.

Внутренняя задача Дирихле (Задача Д). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х) е С| (П) П С (О) ,

Еав На)] = 0, х Е П, и(х) — о (1) при Хр -Л О,

Внешняя задача Дирихле (Задача Д.). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х)еС2в(Пе)Г)С(Щ,

ЕаВ [и(ж)] = 0, X С Пе,

и (х) = о (1) при хр 0, и(х) = 0 при |®| 00, 7 - р + к,

«|г = ¥>(£). Г, ^)6С7(Г),

где р1 = £ х] +

¡=1

Внутренняя задача Неймана (Задача Л^). Требуется найти функцию и{х), удовлетворяющую условиям:

и(х) € С2В (П) П С1 (П и Г) П С (П) ,

ЕаВ [«(ж)] = о, X е О, и(х) = о(1) при хр О,

V-1

где А [ ] = J2 cos (п, £,•) щг + cos (го, ~ — конормальная производная, j=1 ' п — внешняя нормаль к границе Г.

Внешняя задача Неймана (Задача Ne). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х) € С% (П.) П С1 (Пв U Г) П С (Г£) ,

ЕаВ [«(ж)] = О, X е fie, и(х) = 0 (1) При Хр Ч- О,

и(х) = О при |х| -4 00,

А[ч]\г = ф(ОЛеГ, Ф(0 е С (Г).

В §6 с помощью фундаментального решения £(х;хо) уравнения (3) строятся поверхностные потенциалы простого и двойного слоев

V(x) = J

г

w(x) = J

г

Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности, доказываются теоремы о предельном значении потенциалов на границе Г области fI.

Теорема 7. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями a:p_i = 0 и хр = 0 прямые углы. Тогда при и € С(Г) имеют место следующие предельные соотношения:

We(xQ) = j+W^o),

где \'Vi(x(i) и We(xo) означают предельные значения потенциала IV(х) в точке хо G Г при х -)■ х0 соответственно изнутри и извне границы Г , a W(xо) — прямое значение потенциала W(x) в точке Xq G Г.

Теорема 8. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр-1 = 0 и хр = 0 прямые углы. Тогда при fx £ С(Г) имеют место следующие предельные соотношения:

AXo[V(x0 )}. = ^ + АХо[У(х0)},

где Ахо [^(жо)]; и АХо [V(x0)]e — предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке хо G Г соответственно изнутри и извне границы Г, /;,0 = ц(х0), Ахо [V(a;o)] — прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя.

В §7 поставленные краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

В §8 проводится исследование полученных интегральных уравнений, что приводит к следующим теоремам.

Теорема 9. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Хр-1 =0 и хр = 0 прямые углы, то задача Di для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 10. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Xp-i = 0 и хр = 0 прямые углы, то задача Ne для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Терема 11. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр-1 = 0 и хр — 0 прямые углы, и при этом выполняется условие

/ =

г

то задача Ni для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Терема 12. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Xp-i — 0 и хр = 0 прямые углы, то задача De однозначно разрешима при любых граничных данных и решение можно представить в виде

и(х)= í + f vmUdT.

В третьей главе исследуются краевые задачи для вырождающегося В-эллиптического уравнения второго рода (4).

В §1 строится фундаментальное решение уравнения (4).

В §2 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора Ев, дается интегральное представление решения данного уравнения.

В §3 изучаются свойства решений уравнения (4), в том числе доказывается, что любое решение уравнения (4) в области П из СВ(П) П С1 (О) с граничными данными из С'т7(Г) принадлежит к классу Ст7(П), где Ст7() - множество функций из класса С( ), удовлетворяющих условию

и{х) = О 2 ^ при хр 0, 7 = р+к.

В §4 даются постановки краевых задач для уравнения (4) и доказывается единственность их решений. Ставятся следующие краевые задачи.

Внутренняя задача ЭЕ (Задача £>2?,). Требуется найти функцию и(х), удовлетвор5пощую условиям:

и(х) еС1(П)пСт^(Щ, Ев [и] = О, X е п,

«|г = /(€), /(С) е Оп^ (Г) -

Внешняя задача БЕ (Задача БЕе). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и (х) <Е С'Ъ (Пе) П Ст1 (о!), Ев [и] = 0, х е Ое,

и = О + ^ при р0 00,

«|г = /(0, /(О е Сту (Г) ,

Внутренняя задача ИЕ (Задача NEi). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и (х) Е С2В (О) П С1 (О и Г) П Ст7 (Й), Ев [и] = 0, х е П,

= <¿>(0 € Ст7 (Г),

р-1

где [ ] = Е соя (п, щ- + соз (п, £р) — конормальная производная, п — внешняя нормаль к границе Г.

Внешняя задача ЫЕ (Задача ИЕе). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и (ж) е с2в (пе) п С1 (пе и Г) п Сту (а),

Ев [и] = 0, х € Пе,

и ■

о (р2о)~\ 2 2(т_2)>' при ро 00 и хр > О,

В §5 с помощью фундаментального решения £(х; хо) уравнения (3) строятся поверхностные потенциалы простого и двойного слоев

У(х) = I г

т*\=/ ^штхмил г.

г

Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности, доказываются теоремы о предельном значении потенциалов на границе Г области П.

Теорема 13. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с координатными гиперплоскостями хр~х ~ 0 и хр — 0 прямые углы. Тогда если V (£) 6 Ст7 (Г), то для потенциала двойного слоя справедливы предельные соотношения:

Wi(x0) = --v{x0)+WW\ 1

УГе{х0) = -р(хо) + \У(хо),

где \\г{{х[]) и \¥е(хо) означают предельные значения потенциала двойного слоя IV(х) в точке хо 6 Г при х -> хо соответственно изнутри и извне Г, а \¥(х0) — прямое значение потенциала \¥(х) в точке хо £ Г.

Теорема 14. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр-1 = 0 и хр — 0 прямые углы. Тогда если плотность

/1 (0 6 Ст~! (Г), то для копормалъной производной потенциала простого слоя справедливы предельные соотношения:

АХо [У(х0)Ъ = ^ (х0) + Ахо [У(®0)], Ахо [УЫ]е = Ы + Ахо рфо)],

где Ахо [У(:ео)]; и Ахо [У(х0)]е — предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке хо € Г при х —>■ Хо соответственно изнутри и извне Г, а АХо [У(хо)] — прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя.

В §6 поставленные краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Исследование полученных интегральных уравнений приводит к следующим теоремам.

Теорема 15. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с координатными гиперплоскостями хр-1 = 0 и хр — 0 прямые углы. Тогда для этой поверхности при € Ст1 (Г) разрешима задача ИЕе и ее решение может быть представлено в виде потенциала простого слоя.

Теорема 16. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с координатными гиперплоскостями хр~\ = 0 и хр — 0 прямые углы. Тогда для этой поверхности при /(ж) € Ст7(Г) разрешима задача БЕ^ и ее решение может быть представлено в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 17. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с координатными гиперплоскостями хр-\ = 0 и хР — 0 прямые углы. Тогда для этой поверхности при /(х) € Ст7 (Г) разрешима задача ОЕе и ее решение может быть представлено в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 18. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с координатными гиперплоскостями хр-\ = 0 и хР = 0 прямые углы. Тогда для этой поверхности при <р{£) € Ст (Г) разрешима задача и решение может быть представлено в виде потенциала простого слоя.

В четвертой главе рассматривается сингулярное В-эллиптическое уравнение (5).

В §1 строятся фундаментальные решения уравнения (5).

В §2 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора Тв-Даются интегральные представления решений уравнения (5).

В §3 изучаются некоторые свойства решений уравнения (5), в том числе доказываются теоремы о принципе максимума и локальном принципе экстремума.

В §4 даются постановки основных краевых задач для уравнения (5) и доказывается единственность их решений. Ставятся следующие краевые задачи.

Внутренняя задача Дирихле (Задача А). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х) еС2в{П)пС(Щ,

Тв [«(а?)] = 0, х 6 П, и (х) = о (1) при хр -» О, «|г = ¥>(£), Г, ¥>фе<7(Г).

Вненшяя задача Дирихле (Задача Д.). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

Тв [и(®)] = О, X е Пе, и(х) = о(1) при хр -4 О, и(х)-0 ((р^)-1^) при \х\ оо, у-р + к,

«1г = ¥»(0 , е е г, те С (Г),

р

где = Х11 п ~ внешняя нормаль к границе Г.

»=1

Внутренняя задача Неймана (Задача Л7,). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х) е С2В {(I) П С1 (О и Г) П С (О), Тв [и(х)} = 0, х € П, и(х) = о(1) при Хр О,

//?/

^ |г = Ф(0 , е € Г, ^)еС(Г).

Внешняя задача Неймана (Задача Ме). Требуется найти функцию и{х), удовлетворяющую условиям:

и(х) & С% (Пе) П С1 (Пе и Г) П С (ОТ) , Тв [и(®)] = 0, х € Пе,

u{x) = о{ 1) при Хр О,

и (®) = О ((/?о)~при [х| -»• 00, fill

Внутренняя задача DE (Задача DEi). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х) е С% (П) П С (П) ,

Тв [щ(®)] = 0, х £ fi,

Хр^- = о(1) при Хр О, охр

Внешняя задача D.E (Задача DEe). Требуется найти функцию и(ж), удовлетворяющую условиям:

«(a) G С& (fie) п С (fie) ,

Тв [и(х)} = О, X е fie,

«/14 л.

х*дх~ = 0( ' иР03^-*0'

и — о (I) при )х| 00,

ti|r = v(0. ^)еС(Г).

В §5 с помощью фундаментальных решений £(х;х0) и £\{х\х0) уравнения (5) строятся поверхностные потенциалы простого и двойного слоев

V(x) = J

г г

вд = I

г

Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности, доказываются теоремы о предельном значении потенциалов на границе Г области О.

Теорема 19. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр-1 = 0 и хр = 0 прямые углы. Тогда при V £ С(Г) имеют место следующие предельные соотношения:

где И^(хо) и Ше(х0) означают предельные значения потенциала в точке хо £ Г при х хо соответственно изнутри и извне границы Г, а IV{хо) — прямое значение потенциала IV(х) в точке хо £ Г.

Теорема 20. Пусть Г- поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Хр-1 = 0 и хр = 0 прямые углы. Тогда при ц £ С(Г) имеют место следующие предельные соотношения:

(9У(х0)\ _мо | дУЫ V дпХ0 ){ 2 дпхо '

/5УЫХ цр ( Щ

V дпхо ) е 2 дпхо

где и — предельные значения производной потенциала

простого слоя по нормали п в точке хо £ Г соответственно изнутри и извне границы Г, /х0 = /х(хо)> <* — прямое значение нормальной

производной потенциала простого слоя.

Теорема 21. Пусть Г — поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями = 0 и хр = 0 прямые углы. Тогда если и (£) е С(Г), то для потенциала двойного слоя Ш\{х) справедливы следующие предельные соотношения:

Жн(хо) = - у + ЖЫ, ЖиЫ = у + Щ,

где Wl^{xо) и \У1е(х0) означают предельные значения потенциала \Viix) в точке Хо € Г при х —>• хо соответственно изнутри и извне границы Г, \¥х(хй) - прямое значение потенциала \¥\(х) в фиксированной точке х0 £Т,и0 = и(хо).

В §6 поставленные краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

В §7 проводится исследование полученных интегральных уравнений, доказывается однозначная разрешимость поставленных краевых задач.

Теорема 22. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр_! = 0 и хр — 0 прямые углы, то задача Di для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решете можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 23. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хР-1 = 0 и хр = 0 прямые углы, то задача Ne для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Терема 24. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр-1 = 0 и хр = О прямые углы, и при этом выполняется условие

J =

г

то задача N{ для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Терема 25. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Xp-i =0 и хр = 0 прямые углы, то задача De однозначно разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде

г 0 г

Терема 26. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями Хр-j = 0 и Хр — 0 прямые углы, то задача DE{ для поверхности Г разрешима при <р(х) £ С (Г) и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю, заслуженному деятелю науки РТ Ф.Г. Мухлисову за помощь и советы, которые он оказывал мне в период написания данной работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Чеботарева Э.В. Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося В-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Труды 2-го международного форума молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки". — Самара.: СамГТУ, 2006. - С. 107-111.

2. Чеботарева Э.В. Решение краевых задач для многомерного вырождающегося В-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. - Казань, 2007. №2-3. - С. 9-14.

3. Чеботарева Э.В. О краевых задачах для вырождающегося В-элли-птического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского (материалы международной научной конференции). - Казань, 2007. Т. 35. - С. 265-267.

4. Чеботарева Э.В. Решение краевых задач для вырождающегося В-эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов. / Э.В. Чеботарева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия "Физико-математические науки". — Самара: СамГТУ, 2008. №2(17) - С. 38-48.

5. Чеботарева Э.В. Решение краевых задач для многомерного вырождающегося В-эллиптического уравнения методом потенциалов. / Ф.Г. Мухлисов, Э.В. Чеботарева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия "Математическая". — Самара: СамГТУ, 2008. №2(8) - С. 89-107.

6. Чеботарева Э.В. Интегральное представление решения В-эллиптического уравнения с сильным характеристическим вырождением. / Э.В. Чеботарева // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. — Казань, 2008. №4(15). — С. 47-52.

7. Чеботарева Э.В. Фундаментальное решение одного вырождающегося сингулярного В-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Труды шестой Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". — Самара: СамГТУ, 2009. Ч.З. - С.234-237.

8. Чеботарева Э.В. Краевые задачи для одного вырождающегося сингулярного В-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского (материалы международной научной конференции). — Казань, 2009. Т. 38. — С. 299-300.

9. Чеботарева Э.В. Интегральное представление и свойства решений одного сингулярного В-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Материалы Второй Всероссийской конференции, посвященной памяти В.Ф. Волкодавова. - Самара: ПГСГА, 2009. С.79-82.

10. Чеботарева Э.В. Исследование краевых задач для сингулярного В-эллиптического уравнения методом потенциалов. / Э.В. Чеботарева // Известия вузов. Математика. — Казань, 2010. №5.— С. 88-90.

11. Чеботарева Э.В. Решение задачи N для одного сингулярного В-элли-птического уравнения методом потенциалов. / Э.В. Чеботарева // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - Тула: Издательство ТулГУ, 2010. Вып. 1. - С. 54-63.

г

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Казанского (Приволжского) федерального университета Тираж 120 экз. Заказ 30/8

420008, ул. Профессора Нужнна, 1/37 тел.: 233-73-59, 292-65-60

Введение

Глава 1. Краевые задачи для многомерного вырождающегося

-эллиптического уравнения первого рода

§1. Формулы Грина

§2. Фундаментальное решение.

§3. Интегральное представление решения.

§4. Свойства решений уравнения.

§5. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана.

Теоремы единственности.

§6. Потенциалы простого и двойного слоев и их свойства.

§7. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям

§8. Исследование интегральных уравнений.

Глава 2. Краевые задачи для многомерного самосопряженного вырождающегося В—эллиптического уравнения

§1. Фундаментальное решение

§2. Формулы Грина

§3, Интегральное представление решения.

§4. Свойства решений уравнения.

§5. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности

§6. Потенциалы простого и двойного слоев.

§7. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям

§8. Исследование интегральных уравнений.

Глава 3. Краевые задачи для многомерного вырождающегося

Б-эллиптического уравнения второго рода

§1. Фундаментальное решение

§2. Интегральное представление решения.

§3. Свойства решений уравнения.

§4. Постановка краевых задач DE и NE. Теоремы единственности

§5. Потенциалы и их свойства

§6. Существование решений краевых задач.

Глава 4. Краевые задачи для вырождающегося сингулярного В— эллиптического уравнения

§1. Фундаментальные решения.

§2. Интегральные представления решений

§3. Свойства решений уравнения.

§4. Постановка краевых задач. Теоремы единственности

§5. Потенциалы простого и двойного слоев.

§6. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям.

§7. Исследование интегральных уравнений.

Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой важный раздел современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упругости, механике сплошной среды и др. К числу первых в этой области относится работа М.В. Келдыша [19], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяться условием ограниченности решения. Позже А.В. Бицадзе в работе [7] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.

Теория вырождающихся эллиптических уравнений дальнейшее развитие получила в работах И.А. Кароля [17], К.Б. Сабитова [38, 39], Р.С. Хай-руллина [46], P.M. Асхатова [2], JT.C. Парасюка [35], A.M. Нигмедзяновой [34]. Хисматуллин А.Ш. некоторые результаты этой теории распространил на вырождающиеся 5-эллиптические уравнения с двумя независимыми переменными.

Уравнения эллиптического типа, по одной или нескольким переменным которых действуют операторы Бесселя и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И.А. Куприяновым были названы В-эллиптическими [20, 22]. Под вырождающимся В-эллиптическим уравнением следует понимать уравнение, в котором вырождение осуществляется по переменным, свободным от оператора Бесселя. Так, например, при у ^ 0 уравнение вида утВхч + 0 = 0, (0.1) где Вх — J^j + — оператор Бесселя, к > 0, т > 0 — постоянные, есть вырождающееся £?-эллиптическое уравнение первого рода, уравнение вида

Вхи + ут= 0, т > 0 (0.2) есть вырождающееся 5-эллиптическое уравнение второго рода, а уравнение вида д / ди\

Я," + — J = 0, 0 < а < 1 (0.3) представляет собой самосопряженное вырождающееся 5-эллиптическое уравнение.

Хисматуллин А.Ш. в работе [47] исследовал основные краевые задачи для уравнений (0.1)—(0.3). Вопросы о существовании и единственности решения основных краевых задач для многомерных вырождающихся В-эллиптических уравнений до последнего времени оставались открытыми.

Целью данной работы является изучение возможности распространения результатов, полученных для двумерных вырождающихся ^-эллиптических уравнений на многомерные вырождающиеся 5-эллиптические уравнения.

Результаты настоящего исследования могут найти приложение в осе-симметрических задачах теории потенциала, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера [1, 3, 4, 9, 12, 14, 29].

Перечислим некоторые часто встречающиеся обозначения.

1. х" = (х1,х2,.,Хр-2)] X = (х , Xp—i)',

X == (х , Хр—\) ^Ср) — ) Хр^.

2. — часть хр > 0, жрх > 0 р-мерного евклидова пространства точек.

О, — конечная область в ограниченная гиперповерхностью Г и частями Го и Гх гиперплоскостей хр-\ = 0 и хр = 0 соответственно. Пе = Е++\ (ПиГ). {х G Ер : |ar| < R, жрх > 0, хр > 0}. s++ = {х Е Ер : \х\ = R, Хр-1 > 0, хр > 0}.

3. С7д() — множество функций из класса Ск(), удовлетворяющих условию ди

--= о(1) при Xp-i -»• 0.

ОХр— х

4. Db{) — множество всех финитных в Е++ функций из класса ). Ст7() — множество функций из класса С(), удовлетворяющих условию г \ г\ ( ^("^Нт\ п и(х) = О 1хр* } ПРИ хр ~>

Другие обозначения будут ясны из текста.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 29 параграфов, и списка литературы.

1. Абрамян В.А. Осесимметрические задачи теориии упругости. / В.А. Абрамян, А. Я. Александрова // Труды 2-го Всес. съезда по теории и прикладной механике. — М., 1966. Вып. 3. — С. 7-37.

2. Асхатов P.M. Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ.-мат. наук / P.M. Асхатов — Казань 2000. — 123 с.

3. Арутюнян Н.Х. Некоторые осесимметрические контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим отверстием / Н.Х. Арутюнян, B.J1. Абрамян // Известия АН Арм. ССР. Механика. 1969. Т. 22. №3. С. 3-10.

4. Баблоян А.А. Осесимметричная задача полого бесконечного цилиндра с периодически насаженными на него дисками / А.А. Баблоян, А.П. Мел-конян // Известия АН Арм. ССР. Механика. 1968. - Т. 21.№3. С. 12-20.

5. Берс А. Уравнения с частными производными / А. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер — М.:Мир, 1966. 351 с.

6. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе — М.: Наука, 1976 296 с.

7. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе — М.: Наука, 1979. 295 с.

8. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе М.: Наука, 1981. — 448 с.

9. Бородачев Н.М. Динамическая контактная задача для толстой плиты в случае осевой симметрии / Бородачев Н.М. // Труды Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. — Ереван, 1964. — С. 125-130.

10. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров М.: Наука, 1981. — 512 с.

11. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик — М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.

12. Грилицкий Д.В. Осесимметрическая контактная задача для трансверсально-изоторопоного слоя, покоящегося на упругом основании / Д.В. Грилицкий, Я.М. Кизыма // Известия АН СССР ОТН. Мех. и машиностр. 1962. №3. - С. 134-140.

13. Грилицкий Д.В. Осесимметричные контактные задачи теории упругости и термоупругости / Д.В. Грилицкий, Я.М. Кизыма. — Львов: Вища школа, 1981. — 136 с.

14. Губенко B.C. Давление осесимметричного кольцевого штампа на упругое полупространство / B.C. Губенко, В.И. Моссаковский // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24. №. - С. 334-343.

15. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений /В.В. Катрахов // Матем. сб. 1980. Т. 112(154) №3(7) - С.354Ц-379

16. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств / Л. Карлесон — М.: Мир, 1971. — 125 с.

17. Кароль И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Матем. сб. — 1956. Т. 38. №3. С. 261-282.

18. Келдыш М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле / М.В. Келдыш // Успехи мат. наук. — 1941, Вып.8. — С. 171-231.

19. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Докл. АН СССР — 1951. Т. 77. Ш. С. 181-183.

20. Киприянов И.А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов / И.А. Киприянов // Дифференциальные уравнения. — 1971. — Т. 7. №11. С. 2066-2077.

21. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов — М.: Наука, Физматлит, 1997. — 208 с.

22. Киприянов И.А. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений / И.А. Киприянов, В.И. Кононенко // Дифференциальные уравнения. 1967. - Т. 3. №. - С. 114-129.

23. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн — Санкт-Петербург, Москва, Краснодар: "Лань", 2003. 832 с.

24. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов — М.: 1962.767 с.

25. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям /Ю.М. Крикунов — Казань: Изд-во Казанского университета, 1970. — 209 с.

26. Курант Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант — М.: Мир, 1964. 832 с.

27. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала /Н.С. ЛандкофМ.: Наука, 1966. — 513 с.

28. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // Успехи матем. наук. — 1951. Т.6. №2. — С. 102-143.

29. Мелконян А.П. Осесимметричная задача полого бесконечнго цилиндра с двумя насаженными дисками / А.П. Мелконян // Известия АН Арм. ССР. Механика. 1972. Т.25. №5. - С. 3-13.

30. Михлин С. Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин — М.: Наука, 1968.- 576 с.

31. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. МихлинМ.: Высшая школа, 1977.— 432 с.

32. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс. док. физ.-мат. наук. / Ф. Г.Мухлисов — Казань, 1993. 324 с.

33. Мухлисов Ф. Г. Решение краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов. / Ф.Г.Мухлисов,A.M. Нигмедзянова //Известия вузов. Математика. — Казань, 2009. т.- С. 57-70.

34. Нигмедзянова A.M. Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. / A.M. Нигмедзянова — Казань. 2007. — 152 с.

35. Парасюк JT.C. Краевые задачи для двух эллиптических дифференциальных уравнений 2-го порядка, вырождающихся на границе области. /Л.С. Парасюк // Укр. матем. журнал. 1962. Т. 14. №2. — С. 215-217.

36. Сазонов А.Ю. О свойствах весовых потенциалов для одного класса В-эллиптических операторов / А.Ю. Сазонов, Ю. Г. Фомичева// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки Ижевск, 2008. №2. - С. 126-128

37. Сабитов К.Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго рода на границе бесконечной области / К.Б. Сабитов // Сиб. мат. журнал. 1980. Т. 21. №4.

38. Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным вырождением / К.Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. — 1984. Т. 20. №1.

39. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов — М.: Наука, 1974. Т. 3. Ч. 2. - 671 с.

40. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / В.И. Смирнов — М.: Наука, 1964. — 206 с.

41. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / В.И. Смирнов — М.: Наука, 1966. — 292 с.

42. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / Тихонов А.Н.,Самарский А.А. — М.: Наука, 1972. — 735 с.

43. Тиман А.Ф. Введение в теорию гармонических функций / А.Ф. Тиман М.: Наука, 1968. - 207 с.

44. Уэрмер Дж. Теория потенциала / Дж. Уэрмер — М.:Мир, 1980. — 133 с.

45. Хайруллин Р.С. Теория потенциала для модельного уравнения второго рода / Р.С. Хайруллин // Известия вухов. Математика. 1992. №3. — С. 64-73.

46. Хисматуллин А.Ш. Решение краевых задач для некоторых вырождающихся В-эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. / А.Ш. Хисматуллин — Казань. 2008. — 107 с.

47. Хисматуллин А.Ш. Решение краевых задач для одного вырождающегося В-эллиптического уравнения 2-го рода методом потенциалов / А.Ш. Хисматуллин // Известия вузов. Математика. — Казань, 2007. №1.— С. 63-75.

48. Чеботарева Э.В. Решение краевых задач для многомерного вырождающегося В-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. Казань, 2007. №2-3. - С. 9-14.

49. Чеботарева Э.В. О краевых задачах для вырождающегося В-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского (материалы международной научной конференции). — Казань, 2007. Т. 35. С. 265-267.

50. Чеботарева Э.В. Интегральное представление и свойства решений одного сингулярного 5-эллиптического уравнения. / Э.В. Чеботарева // Материалы Второй Всероссийской конференции, посвященной памяти В.Ф. Волкодавова. Самара: ПГСГА, 2009. С. 79-82.

51. Чеботарева Э.В. Исследование краевых задач для сингулярного В-эллиптического уравнения методом потенциалов. / Э.В. Чеботарева // Известия вузов. Математика. — Казань, 2010. №5.— С. 88-90.

52. Чеботарева Э.В. Решение задачи N для одного сингулярного В-эллиптического уравнения методом потенциалов. / Э.В. Чеботарева j j Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула: Издательство ТулГУ, 2010. Вып. 1. - С. 54-63.