Асимптотические свойства решений краевых задач для систем гидродинамики вращающейся жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Задача Коши для систем гидродинамики вращающейся жидкости. Асимптотические свойства решений при t ®® .••••♦••

§ I. Представление решения задачи Коши для систем линейных уравнений со стационарной и периодической правыми частями

§ 2. Асимптотическое разложение при решения задачи Коши для однородной линеаризованной системы гидродинамики вращающейся жидкости.

§ 3. Поведение при решения задачи Коши для линеаризованной системы гидродинамики в случае стационарных и периодических внешних возмущений и однородных начальных условий.

§4. Единственность решения линейной стационарной системы, соответствующей случаю стационарных и периодических внешних возмущений.

§5, Построение фундаментального решения линейной системы. Оценки производных элементов тензора, соответствующего вектору скорости

§ 6. Однозначная разрешимость "в целом" при достаточно малых быстро убывающих начальных данных задачи Коши для однородной нелинейной системы гидродинамики вращающейся жидкости и асимптотика полученного решения при

ГЛАВА 2. Первая начально-краевая задача в полупространстве R; . Асимптотика при Ьоо

§ 7. Представление решения задачи через неизвестную функцию

§ 8. Исследование свойств корней характеристического уравнения задачи и нахождение неизвестной функции

§ 9. Представление решения первой начально-краевой задачи

§10, Исследование асимптотических свойств интегралов, входящих в тензор Грина

§ II. Асимптотика при -Ь-»»» решения первой начальнокраевой задачи

§12. Единственность решения задачи.

ГЛАВА 3. Начально-краевая задача в слое К

Асимптотика при

§ 13. Представление решения задачи для систем уравнений с однородными, стационарными и периодическими правыми частями

§ 14. Исследование асимптотических свойств интегралов, входящих в тензор Грина.

§ 15. Асимптотика решения задачи цри

§16. Единственность решения стационарной задачи

§ 17. Единственность решения начально-краевой задачи

Работа посвящена изучению асимптотических свойств при решений начальной и начально-краевых задач для систем гидродинамики вращающейся жидкости. Начало систематическому изучению математической теории вращающихся жидкостей было положено в известных работах С.Л.Соболева [32 , 33] . Уравнения движения вращающихся жидкостей отличаются от известных уравнений Навье-Стокса наличием слагаемого, характеризующего эффект вращения [7] . Учет эффекта вращения оказывается важным в случае, когда рассматриваемое движение носит глобальный характер, например, в динамике атмосферы и океана.

В работах С.Л.Соболева исследовалось движение идеальной вращающейся жидкости. Им было доказано, что при определенных условиях система идеальной вращающейся жидкости (система С.Л.Соболева) эквивалентна уравнению которое получило название уравнения С.Л.Соболева. Асимптотическое поведение при большом времени решений начальных и начально-краевых задач для системы уравнений С.Л.Соболева (и уравнения С.Л.Соболева) исследовалось в работах Р.А.Александряна [I] , Т.И.Зеленяка [9] , В.Н.Масленниковой [16-20] , В.П.Маслова 128] , В.Г.Лежнева [14] и других авторов.

В частности, в цикле работ В.Н.Масленниковой [16-20] , посвященном исследованию асимптотического поведения при t решений начальных и начально-краевых задач для системы С.Л.Соболева, при различном числе пространственных переменных были получены равномерные по пространственным переменным асимптотические оценки и асимптотические разложения при большом времени решений рассматриваемых задач, исследовано явление погранслоя, возникающее цри изучении краевых задач, изучен принцип предельной амплитуды и получены условия типа Зоммерфельда на бесконечности.

Следующим важным шагом по пути исследования качественных свойств решений задач математической теории вращающейся жидкости явились работы [21, 221 В.Н.Масленниковой, в которых при различном числе пространственных переменных были получены равномерные по пространственным переменным асимптотические оценки при t> 0 решений задачи Коши для системы С.Л.Соболева с вязкостью.

Наряду с идеальной и вязкой вращающейся жидкостью, Б.Н.Масленниковой рассматривались также сжимаемые [23, 24 \ и вязкие сжимаемые жидкости [25 \ . Однако, в случае вязкой сжимаемой жидкости, полученные асимптотические оценки при 0 решения справедливы лишь при 1>0 , где <L - коэффициент при слагаемом Б четвертом уравнении системы гидродинамики, что не позволяет получить асимптотические свойства вязких жидкостей из асимптотических свойств вязких сжимаемых жидкостей.

Отметим, что наряду с изучением асимптотических свойств при большом времени решений задач гидродинамики вращающейся жидкости, в работах В.Н.Масленниковой, Р.А.Александряна, Т.И.Зеленя-ка, С.В.Успенского, Г.В.Демиденко и других авторов, рассматривались вопросы получения априорных оценок решений исследуемых задач в пространствах С.Л.Соболева, изучались спектральные свойства операторов, соответствующих рассматриваемым задачам, а также ряд других вопросов.

Подробное изложение современного состояния математической теории вращающихся жидкостей можно найти в обзорных статьях [2,8,10,27] .

Из работ, посвященных исследованию асимптотических свойств при решений начальных и начально-краевых задач в неограниченных областях для нелинейной системы уравнений Навье-Сток-са, следует отметить работы [13,30,46-48,50] .

Б частности, в работах [47,48] исследуется вопрос асимптотического поведения при большом времени решения задачи Коши для нелинейной системы уравнений Навье-Стокса.

Целью настоящей работы является:

- построение асимптотических разложений при решения задачи Коши для линеаризованной системы гидродинамики вязкой вращающейся жидкости как в случае отсутствия внешних сил, так и в случае стационарных и периодических внешних сил;

- выделение классов единственности для решений соответствующих начальной задаче стационарных систем;

- доказательство, в случае достаточно малых быстро убывающих начальных данных, однозначной разрешимости "в целом" задачи Коши для однородной нелинейной системы гидродинамики вязкой вращающейся жидкости и исследование асимптотических свойств полученного решения при -1-»®® ;

- получение на произвольном компакте в полупространстве асимптотических оценок при большом времени решения первой полупространственной начально-краевой задачи для линеаризованной однородной системы гидродинамики вязкой вращающейся жидкости;

- исследование, как в случае отсутствия внешних сил, так и в случае стационарных и периодических внешних сил, асимптотических свойств при -I:-=»«=> решения линейной начально-краевой задачи гидродинамики вязкой вращающейся жидкости в слое R3 = {. х: с граничными условиями, возникающими в динамике атмосферы и океана;

- выделение классов единственности соответствующих начально-краевой задаче в слое решений стационарных краевых задач.

Результаты диссертационной работы могут найти применение как в линейной, так и в нелинейной теории движения вращающихся жидкостей. Особый интерес результаты диссертации могут представлять при изучении вопросов динамики атмосферы и океана в неограниченных областях, то есть в случае, когда для адекватного математического описания происходящих процессов необходимо учитывать эффект вращения Земли, влияние которого является весьма существенным.

Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Университета дружбы народов, на семинаре под руководством проф. А.А.Дезина и проф. В.Н.Масленниковой в Математическом институте им.В.А.Стекло-ва АН СССР, на семинаре под руководством цроф. В.В.Пененко в ВЦ СО АН СССР (Новосибирск), на конференциях молодых ученых (Университет дружбы народов, I98I-I983 г.г.) и на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук (I98I-I983 г.г.) Университета дружбы народов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [40-43] .

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

Рассматривается линеаризованная система гидродинамики вращающейся жидкости вида diVTJ-O.

Здесь - искомый вектор скорости,

- искомое давление; = (, & Л)) -заданная вектор-функция внешних сил; - коэффициент вязкости жидкое

I ^ ти; [•, -1 - векторное произведение; w - постоянный вектор угловой скорости, который мы рассматриваем в виде £0 = (о, о,со),

Наряду с системой (I), будем рассматривать нелинейную систему

Ш- t^VVAV + ltf/^V+Vp: о, г)

Без ограничения общности будет рассматриваться только случай соленоидальных правых частей.

Везде, где специально не оговорено, под словом решение понимается классическое решение рассматриваемой задачи.

1. Александрии Р.А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева. -Труды Моск. матем.об-ва, 1.60, т.9, с.455-505.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. -2-е изд. М.: Наука, 1974, т.2-295 с.

3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 4-е изд., испр. и доп. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 5-е изд. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

5. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции, вып.З: Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физ-матгиз, 1958. - 275 с.

6. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере. М.: Мир, I970.-532 с.

7. Дезин А.А., Масленникова В.Н. Неклассические граничные задачи. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды конф., посвященной 60-летию акад. С.Л.Соболева. М.: Наука, 1970, с.81-95.

8. Зеленяк Т.И. Об асимптотике решений одной смешанной задачи. -Диф. уравнения, 1966, т.2, Л I, с.47-64.

9. Зеленяк Т.И., Михайлов Б.П. Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач математической физики приВ кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды конф., посвященной 60-летию акад.С.Л.Соболева. М.: Наука, 1970, с.96-118.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965л£- 537 с.

11. Калашников А.С. Классы единственности решения задачи Коши для линеаризованной системы уравнений вращающейся жидкости. -УМН, 1976, т.31, В 4, с.263-264.

12. Колмогоров А.Н. К вырождению изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости. ДАН COOP, 1941, т.31, № 6, с.538 - 541.

13. Лежнев В.Г. Убывание решения одной краевой задачи для уравнения Соболева. Диф. уравнения, 1973, т.9, Л 3, с.511-526.

14. Маркушевич А.й. Краткий курс теории аналитических функций. -4-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1978. - 415 с.

15. Масленникова В.Н. Оценки в Lf и асимптотика при t-»®o решения задачи Коши даю системы С.Л.Соболева. Тр. МИАН СССР, 1968, т.103, C.II7-I4I.

16. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. О системах Соболева с тремя пространственными переменными. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. (Труды семинара С.Л.Соболева). Новосибирск: Наука, 1976, с.49-68.

17. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. О системах Соболева в случае двух пространственных переменных. Сиб. мат. жур., 1977, т.18, Я> 5, c.I088-III0.

18. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Асимптотическое поведение решений краевых задач для системы Соболева в полупространстве и явление погранслоя. В кн.: Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978, с.109-152.

19. Масленникова В.Н., Пал Прадип Кумар. О стабилизации и предельной амплитуде решения задачи Коши для неоднородных систем Соболева. ДАН СССР, 1981, т.259, & 6, с.1297-1302.

20. Масленникова В.Н. О скорости затухания вихря в вязкой жидкости. Тр. ШАН СССР, 1973, т.126, с.46-72.

21. Масленникова В.Н. О скорости убывания при большом времени решения системы Соболева с учетом вязкости. Матем. сб., 1973, т.92 (134), №4 (12), с.590-610.

22. Масленникова В.Н. Решение в явном виде задачи Коши для одной системы уравнений с частными производными. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1958, т.22, с.135-160.

23. Масленникова В.Н. Асимптотика при {-+<*> решения задачи Коши для одной гиперболической системы, описывающей движение вращающейся жидкости. Диф. уравнения, 1972, т.8, Л I,с.85-96.

24. Масленникова В.Н., Глушко А.В. Теоремы тауберового типа об асимптотическом поведении интегральных преобразований и их применения в гидродинамике. УМН, 1983, т.38, $ 5 (233), с.126.

25. Масленникова В.Н. Решение смешанной задачи для нестационарного движения вращающейся вязкой жидкости и исследование дифференциальных свойств этого решения. Сиб. мат. жур., 1961, т.2, & 5, с.708-718.

26. Масленникова В.Н.Математические исследования по гидромеханике вращающейся жидкости. В кн.: Труды всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. М.: МГУ, 1978, с.153-156.

27. Маслов Б.П. О существовании убывающего при t-решения уравнения Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области. Сиб. мат. жур., 1968, т.9, Л 6, с.1351-1360.

28. Математические модели циркуляции в океане /Под общ. ред. Г.И.Марчука, А.С.Саркисяна. Новосибирск: Наука, 1980. -285 с.

29. Миллионщиков М.Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости. ДАН СССР, 1939, т.22, № 5, с.236-240.

30. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. -М.:Наука, 1981, т.1. 798 е., 1983, т.2. - 749 с.

31. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики. -Изв. АН СССР, Сер.матем., 1954, т.18, & I, с.3-50.

32. Соболев СЛ. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. Ж. Прикл. мех. и техн. физ., I960, т.1, JB 3, с.20-55.

33. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса. Тр. МИАН СССР, 1964, т.70, с.213-317.

34. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной системы Навье-Стокса. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1973, т.38, $ 7, с.153-231.

35. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 342 с.

36. Фукс Б.А., Левин Б.И. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. М.: ГИТТЛ, 1951. - 307 с.

37. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М.: Физматгиз, 1961. - 436 с.

38. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. -443 с.

39. Петунии И.М. О стабилизации при и классах единственности решений линеаризованных задач гидродинамики в слое вязкой жидкости. ДАН СССР, 1983, т.273, В 2, с.296-301.

40. Петунин И.М. Об асимптотической оценке решения первой краевой задачи в полупространстве для движения вязкой вращающейся жидкости. Б кн.: Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. М.: УДН, 1983, с.64-85.

41. Петунин И.М. Асимптотика при слабого решения задачи Коши для нелинейной системы гидродинамики вязкой вращающейся жидкости. М., 1984. - 16 с. - Рукопись представлена Университетом дружбы народов. Деп. в ВИНИНИ 18 июля 1984, № 516484 Деп.

42. Ки'цШч б On a c£ass of yloU soEutlons o^ He NwLetStokes

43. ГКп1йШц6 A CaucV рго^еум ^ot He N(m€t- Stokes A W R. SoWeir Spaces. Neio-^V-Saia WawctsWAcacle^icMasu<U К On He sU^Lt^ oJf lvic.ompiessiUe vLscousejects.49.50,