Качественное исследование решения начально-краевых задач для системы гидродинамики слабостатифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ5 ОД

На правах рукописи

Р а м и р о о М о н д о о а М а р и о

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛВДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ГИДРОДИНАМИКИ СЛАБО-СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискаиио ученой степени кандидата физико-математических наук ^ !

3

Москва - 1933 год

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского Университета дружбы народов

Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор В. Н. МАСЛЕННИКОВА

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор С. Ю. ДОБРОХОТОВ доктор физико-математических наук, профессор В. К. Р0МАНКО

Ведущая организация : Институт вычислительной математики РАН

Защита состоится ¿4*0^1 $ 1990 г. в 1 & чао. ЗО мин. на заседании диссертационного совета К 053.22.23 в Российском униворситете дружбы народов по адресу : 117923 г. , Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 485.

С диссертацией ' можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу : 117198 г, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан мая 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной математической гидродинамике и особенно в ее приложениях возникает важная задача о поведении внутренних гравитационных и гироскопических волн во вращающейся или стратифицированной жидкости, а том число о линейном приближении.

В большом число работ, начиная со знаменитых работ С.Л.Соболева и его учеников по вращающейся жидкости ( см. /1 /-/4/ ) была построена достаточно полная теория распростронения гироскопических волн, описываемых системами, гидродинамики идеальной, а затем вя?кой сжимаемой и несжимаемой вращающихся жидкостей о линейном приближении. Эти исследования качественных свойств решений при неограниченном возрастании времени привели к возникновению ряда новых научных направлений а теории дифференциальных уравнений в частных производных, а том число, в спектральной теории операторов в пространствах о индефинитной метрикой. Были исследованны бистро осцилирующио решения задачи Коши и начально-краевых задач в неограниченных областях при ' -> 03 .

Всо ети задачи характеризовались том, что в системы гидродинамики входили члены характеризующие наличие внутренних гироскопических роли, возникающих или от прзщсния ззмли или от вращения тела, заполненного жидкостью ( волчок),

Другой тип внутренних волн, возникающих о жидкости, характеризуется наличном гравитационных сип и описывается системами уравнений для стратифицированных жидкоотой, когда неоднородность а жидкости вызвана плотностной стратификацией. Отметим,

I.Coöonea СЛ. О движении симметрического волчка с полостью, наполненной «кдкосгъ», Прнхлгд*ея механика и техническая физика, 1080, № 3, стр. 20-55.

г.Миелемникоеа В. Н. Яшюэ предстаалониэ и асимптотика при t ~> 00 решения Задачи Коши линеаризованной системы ергщаощгйся сжимаемой жидкости. ДАЙ СССР. 1653, Т. 1G9 КЧ 0.

3.Мпсл<я<ттео«а П. Н. О скорости гатухания сихря в вязкой жидкости. Труды МИАН СССР, т. 123, С. 46-72, 1973.

4.Маелвниикоеа D, Н., Гимиатуллия А. И. Сгтэетральныв свойства операторов для систем гидродинамики вращающейся ямдкости и иводикствекност. предельной амплитуды, Сибирский Математический Журнал, т. 29, Na S, 1988.

что под стратифицированной жидкостью принято понимать жидкость, физические характеристики которой меняются лишь вдоль некоторого Выделенного направления, например по высоте.

Для стратифицированных жидкостей до сих пор но построена столь полная теория, как 8 случае вращающихся жидкостей. В этой связи отмотим прежде псего книгу /5/, где приводится вывод систем стратифицированных жидкостей и монографию /6/, где подведены итоги исследований по стратифицированной идеальной жидкости в линейной постановке, в частности, построено фундаментальное решение скалярного уравнения, к которому приводится линеаризованная система идеальной стратифицированной жидкости, изучены некоторыо задачи диффракции и решены другие вопросы. Наиболее близкий по тематике рассматриваемой диссертации результат монографии /б/, есть построение фундаментального решения Задачи К'оши для скалярного уравнения в ЭТ3, которое имеет вид

( 'р(1-к>) 2г?\х\Ш И где Л^-частс-та Войся/т-Брента, N .

откуда сяед/ет, что затухание внутренних волн во всем происходит со

О И) ,

скоростью . В работе /7/ впервые изучена асимптотика рашения при I —> «о нач.гльно-краевой задачи в полупространства для уравнения гравитационно-гироскопических волн, которое учитывает как вращение земли, так и стратификацию по плотности. Отдельным разделом адесь стоят задач* интрузии стратифицированной жидкости (см.,например, работу /8/ ).

Представленная диссертация посвещена математическому

У.Крехоиских Л.М., Гончаров 0.0. Введение в механику сплошных сред.- М. ; Наука.

1982.

6 Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей.-М.:Наукэ. 1986.

7.MacnatiHHK0E3 S. Н,, Петунии И. М. Асимптотика при / —> со решения начально-граеаой задачи -еории ««утренних волн. Дифференциальные Уравнения, т. 31, N» б, 1995.

-8.Масленникова В. Н., Гиниагуллин А. И О задаче интрузии в вязкой стратифицированной жидкости для трех-пространственных переменных. Математические Заметки, т. 51, вип. 4, 1992.

исследованию одной начально-краевой задачи для слабо-стратифицированной жидкости.

Целью работы является построение решений начально-краевой задачи для системы гидродинамики, описывающей слабо-стратифицмрооанную жидкость в слое при наличии начальных возмущений, при стационарных внешних возмущениях, а также при периодических по времени внешних возмущениях. В работа исследуется поведение решения при неограниченном возрастании врзмени, находится предельная амплитуда колебаний в случая периодических внешних возмущений; исследуется ее единственность. Изучаются также некоторые общие вопросы рассматриваемой задачи, такие как, сходимость метода Галеркина, единственность решения в классе быстро растущих функций в неограниченной области.

шагааь1Л1£СЛяяояш1ии. Применяются общие методы функционального анализа, метод Галеркина, методы преобразований Фурьа и Лапласа, метод построения функций Грина и метод Фурье.

новыми. В работе впервые построены решения начально-краевой задачи в слое для системы гидродинамики стратифицированной жидкости в трех

стационарными внешними позмугцониями, 3) о периодическими по времени внешними возмущениями. Оо всех случаях изучено поведение решения при неограниченном возрастании времени. Один из главных результатов состоит в том, что скорость затухания начальных возмущений при стратификации та же что при наличии кориолисов.ых сил, но только для и р{*'{\ в то

срамя как и стабилизируются к некоторым функциям,

зависящим от х. Другой важный полученный результат необычен : при

стационарных внешних возмущениях пола скоростей раотот при t—Ж>, а.

если наложить достаточные условия для стабилизации, то течение будет

отсутствовать при полученных стационарной плотности и давлении.

Доказаны теоремы единственности решения о класса быстро растущих

функций а неограниченных областях и обоснована применимость Метода

Галеркина.

характер. Результаты диссертации могут найти применения в практических задачах динамики атмосферы и океана, гдэ нужно учитывать появление с нутро ни их гравитационных волн.

и Все результаты, полученные в диссертации являются

случаях : 1) о неоднородными начальными возмущениями, 2) со

Аш.обдЩ1Н~райшьи Основные результаты диссертации докладывались на соминара кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского Университета дружбы народоа и на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН.

ПублякдинИл Основные результаты диссертации опубликованы в в работах, список: которых приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 46 наименоианий,

Общий объом диссертации составляет 101 страницу машинописного

текста.

.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ О диссертации рассматривается система первого порядка для идеальной стратифицированной жидкости вида

д! (1)

¿) дг»

_.р---р\,„0 с//у у =»0 (х.1)е(2т «Пх(0,Т)

^ » I

где р с. 91', может быть и неограниченная, с начальными условиями

и краевыми условиями

»0 при Очке

(3)

Здесь *М-(*|.Уа.У|).П,>лв скоростей; РМ .ПЛОТность; Жх-

динамическое давление; ; % -ускорение свободного падения; Р

- постоянная больше нуля - плотность стратифицированной жидкости в наоозмущонном, стационарном состоянии; N1 - коэффициент Вейсяля-

Брента; /С1»') -ооктор массовых сил, л- единичная нормаль к границе области.

В первой главе дано обоснование сходимости метода Галеркина для обобщенных решений начрпьно-краерой задачи о граничным условием непротекания в произвольной ограниченной или неограниченной области. В работе доказана априорная оценка

¡Ны^'^и^Ч, (Д1

гдо

9в(у„у},у„р)( са .постоянная на зависящая от .

Имоот место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.1, Задача (1}-(Э) имеот единственное обобщенное решение а класса

¡(хЛ^хЛЧрсФт)

для лябых

/(*,») х(д)в£з(П),

котороа есть слабый предел галоркинския приближений. Теперь а качество П рассмотрим слой

П-»{х *»(*'.*,), О<х,<я}

I > . (5)

Доказана теорема единственности а кпассэ быстро растущих функций о слое П. Определим отот клзсо единстсзннсзтн. Рошонио задачи (1),(2) а слое П о граничными условиями

ищется а екдо

у-и. У^.О-ХУЦ^.О^^)

гд?сь плотность обозначена через . 3седом обозначению :

Будем гогорить, что слзбоэ решение из 5' ( пространства Шварца ) здинстеенно а нзеоторем класса М , соли из соотношения 1).К(Лг),рЛ*'.г)}сМ,/(-\0«0 п.а.0 Щ, 2) у'(х\0)=.0 ав..з И3 сяздуот, что

уд(лг',г) = 0, Ур^х',!)" О п.а. в п; Пусть функция

/¡(р) еС([0,+оо|), Л(р)>О, ¿(Р.ЬМРа) при Э, <Ра .

Р

-> 0 при р со

Тогда класс единственности ЭДг определяется неравенством

|рЛ{*'.фл(М) п.в. о п; (7)

без каких-либо офаничений на рост при Iх I"*00 1 4-1.4.

ТЕОРЕМА 1.2. Слабоа решение однородной задачи (1) о условиями

(2),(0) единственно в класов .

Во второй главе рассмотрим начально-краевую задачу (1)-{3) о неоднородными начальными условиями в слоо П н построим оа рошониа с яином вид»; т.е. рассмотрим систему

Р* — V ч- Ур + ег'Р = О

& (0)

а я1 . п •.

"о ,

с начальными условиями

4-о р|,.0 = р°(*) (0)

и краевыми условиями

V I и 0 V I «= 0

'Ц-о ' (Ю)

Для получения решения задачи (8)-(10) , при заданных услосипх (9),(10) применяется метод преобразования Фурьо по х' и Лапласа по * . При этом строится функция Грина соотвотсвующей двухточечной по ** краевой задачи. Доказывается следующая теорема. ТЕОРЕМА 2.1 Пусть начальные данные

у'ЫУЫеСШ); |^ИЛрв(*))«А(П). О^р^з, 7-1,2.

и удовлетворяют условию согласования

Тогда решение задачи (8)-(10) можно записать в виде

|ЧЫ] (ЧМ+^Ы1

» 0

рМ р'М

1 о

^ЁМ^И^)0*

гдэ матрица О имеет вид

( гЛ

V0 1

V0 2

У

3

О

\р)

и.

имеют вид

" I Я г \ я г'

1

V0 V0

3

и>°.

,1-1.1.;/-1.4.

(12А)

2Я 2Я 2Ы*Нр' 2 Яр'

й, ---, Я, " <3,, ¡7, а-, Я4 а-—, О, =--—

Е Я Т^ Я

I

, (*> Л 2хл" л. уСо^Щу¡х'О

' М мЧ^+ОИ'+г1) у _

( . л с^)у,(гИ) , I) , '

* •

Далее,

I , л -х. 1 гИ . / , л -х, г уЯиЙ4(тМ) ,

• <

Наконец,

> I

где -функция Беосаля V -ого порядка,

/ ^«Чу»' Ы,

' Результат о поведении при / «> решения начально-краевой задачи (8)-(10) в олоэ П сформулируем в следующей теорема. . ^ ТЕОРЕМА 2.2. Пусть начальные данные

СХ} ОХ£

и удовлетворяют условиям Согласования

Тогда в слои П при 0 < го ^' , для решения задачи (8)-(10), справедливо следующее представление

Оценки равномерна по х еП; У<М аадпюгся выражением (12Л). О третьей главе рассмотрена та все началыт-кргсаая злдлча, из и систему входят стациокарныэ внешние силы. 3 о»ом случа® с помощь«' принципа Дюамвлп и рзшвния главы 2 строится явмоо решение- с н&однородной стационарной правой частью; из видп полученного решения видно, что ого компоненты поля скоростей неограниченно

созргстпют при ' ( шнойный роот ), а у*(х<г\ давление и

плотнооть быстро оецнлирухгг. Найдены достаточные ус/ое.ия на

с!*."'—', \тсби рапсу,'.".2 стабилизировалось при ' ч а-гпм

случаэ решение отвОилизируэшя т«!1!М образом, что течения отсутсгцует, а

р(*,() и р(*.') выходят на ненулевой стационарный овжим. Именно рассматривается система

Р'т^+УР*'ЯР «•/(*)

г/ (13)

3 Я* • л

—Р--р V. а О

81 г Й» У«0

в слоя Г1 о иулэеыми начальными а краевыми условиями

Ч»оя ри*0

(14)

%.«-0, V, -0

3 ц.я • <15)

Строиться рэшенио, по' аналогии о второй главой работы, молодом преобразований Фурьа-Лапласа. Имеет место следующая теорема. ТЕОРЕМА 3.1. Пусть правая часть

/(*)•<?№ 0*у» 1,2

ОХ] дх;

и удовлетворяет условию согласования /(х',0) "= /(Х',Н) = О

Тогда рашениз задачи (13-(15) через матрицу Грина может быть представлено в виде

K(v))

V.ÍJr.r) ptv)

J î I; М-Ж^)G''

7

Л,

гда »tsipnua G' имеет вид

Ч.?,', a,g:, ак;л I О1

aii'a О I

<jr''(*v)» ajr« О О

в А «*«« О О

,А*и 0 °J , и

F^-y.^-D'—AO . Д'-л'+i

2J7 2 H 2N'Hp"

a «---, a. «е., й, ■—, a. «-—, a. я a

it « V

A'^f Iy{y'+*И i(rVlXi^VnT Га{*',')-я!,(*'.«) /»(«'.O-Síií«'.»).*-*- .Даявэ,

C'Jx'j)

'jx'|)(i-au{eí

""VU ^ } (7TÍ) ù

Наконец,

? «•--—г~—от--, «.V V)г1! -г-;—\г т;—'л^г

2п{ (у'+1ДгаЧ>'+1П Иь (уЧШ^А'+у1)

./ . 1 ?Л(тМ)0-?«(<>')).>.

Мо (т +>Х« * +Т*) Главным результатом в исследовании при *-•>«> решения агдэчм (13)-(19) яалйотса следующий 7ВОРОЛА 3.2. Если

/,(*)-/, (л) я 0§

J * -

и ул г» я тггв л по «т условию согласованна

Л(*\о)-/,(*'.//)-о

тогда решение задачи (17)-(19) стабилизируйся при I —► к у «1.2,3,

(17) {18)

Л > I

V

< а,1, а I Я ) I и Д I

(19)

где

£>* = А' +1 , «Сг)-т-^^-ТЯ"

(тУ+у')*

• "'И---(/+1) . ФМг.МЬ--^тц-

(20)

(21)

(22)

В четвертой главе рассматривается следующая задача с праеой частью периодической по времени

р* Л. v + \'р л t'XP « / ¿V (23)

О Л" . .

— р------pv.«0

i>l' ' ' J/v v«О

° I

с куцыми начальными и краевыми условий ми

Ч.» ^ PU"° ' (24)

vJ «v.l ..«0 •Ц-» »««••• (25)

Очешнио сипы а рассыатриаазыом случао валяются периодическими по ороиини, они »лрагторязуются сощостссмныи параметром О . в отом случаи нвАдемы услоэия на f^ , частоту Вайскля-Брэнти N и частоту (н^нукдганним колебаний и , когда рошсннэ выходит на париэднчЕОкий

режим то е^н'остыа К В этой глава получай спадующий разультат. ТШРША 4.1, Пусть npssas часть

Д»)«СЧП). bi.frМП). 0SPS3. y-u.

и удоалатоор«ат ус/ю&иям согласованна

У,И)-/Л *\0)-0 . ««0Л.2.

тогда в слое П решение системы (23)-(25) представляется с сядэ v(jc.i)«(v(,r) + b*(.r))efc"+t{x,t)

где, функции уСызгюг при teas Г1 ,

{^•j^'p} -единственно» в рзШОииэ стационарной cj;ctcmu VfJ + egp™/(x)

(23)

о

Л aiv V « О

* »

и BupaxowTcn соотношениями (18)-{20). iw* а' }

i >э »т j .сдинстсанноэ решение стационарной системы

(27)

р'сошЧ*) + Vq'(x) + egt>'(x) => О N' _

/®ф'(*)----PX^)" -'ир W

J/V W* в О

о классе функций для которых, о случае N* >(а' ,

lim У - О t-*« •

а а случае «>' > N' , ^(ч*»)

удовлетворяют УСЛОВИЯМ ипяучрнин

Зоммзрфолыда

Т » о(~

и. lim ...

j« О

гдч

йяк'тр г-и

(29)

.7TJ

о условиями

Функции имвкугоид

где коэффициенты Фурье «моют, а случпа <»' > N1 ,

следующий вид

А о случае >а* :

здесь Л»

фунхци« Макдонадда

фуихцмя Неймана,

Н .

И для м«х, благодаря условием согльсоаання иаотойщзЯ теории, ммгют место оцендо :

•СдИ- О

Ш у)'

о

и1;

•&М- о <;(*•)- о

х и'

м

ЬЧ .

1/РйМ'.фао М.М. Асимптотика решения нзчашю-краоасй задачи в слоэ для идеальной стратифицированной жидкости.// Тсгмсы доаяздоа ХШИ научной конференции факультета фшию^матсматмческкх к сотостванных наук.-М.: Изд-по РУДО. 1092.-е. 20.

2/Рамирео М.М, О пределной амплитуде решения нанап^но-фааазй ездочи о слав для стратифицированной жидкости.// Тезисы дождадоа ЮОЛИ научной конференции факультете фнзико-мотематичпысил и рвтестиоины* наук.-М. : Изд-ео РУДН. 1032.-о. 29

З/Маслэнникова О.Н., Рамирэо ММ. Асимптотические саоГм.-гм рзшониа начально-краевой задачи для стратифицированной жидкости и ою*|. // Дифференциальные уравнения н функциональный анализ. М. : Изд-ео РУДН. 1092.-е.34-45.

4/Рамирсс М.М. Единственность в классе растущих функций решения начально-краэаоЯ задачи о слое для идеальной стрзтифицированио|1 жидкости.// Тезисы дохл аде з XXIX казной конференции факультета ф'лтико-математичсских и сстсстеанных наух.-М, : Иэ-дво РУДН. 1903,-с.5в

б/Рамирзо М.М. Асимптотическое разложение решения начально-краевой задачи а слоя для система гидродинамики стратифицированной жидкости.// Кроезыо задачи и пространства дифференцируемых функций. -М.: Изд-ео РУДН. 1094.-о. 73-07.

0/Ромирео М.М. О стабилизации и предельной амплитуде решения начально-краееой гадами а слое для стратифицированной жодкости. // Тезисы докладоа XXXII научной ксиферзнции факультета физико-математических и естеотсанних наук.-М.: Иэд-ео РУДН. 1£Ш.-с.1

РАМИРЕС МЕНДОСА МАРИО ( Мексика )

KAMIv.CTBf.HHOE ИССЯЕДОЬАмйЕ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ГИДРОДИНАМИКИ СЛАБО-СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ

ЖИДКОСТИ

Дл)»4ай работа поссящсна построению решений начально-краевых вддач для системы гидродинамики, описывающей слабо-стр.нифицированную жидкость с слое при наличии начальных возмущений, при стоцмонарных внешних возмущениях, а таюка при периодических по времени шшижпх ьоэмущзмиих, Исследуется понодониа решения при неогрпмтмном возрастании времени, находится предельная амплитуда колебаний л случаю периодических внешних возмущений; исслэдуотся со одиксшоиносгь. Икается тоюко некоторые общиэ вопросы рассматриваемой задачи, такие как, сходимость метода Гепэршна, сдннс1т?т!ос(ь решения в класс® быстро растущих функций о нвотрамичемисА области.

- flAMIREZ MENDOZA MARIO ( MaxJco )

QUALITATIVE ANALYSIS OF HIDRODYKAMIC SYSTEM SOLUTIONS OF SOME INITIAL-BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR STRATIFIED ÜQUiO

In this work boari obtained lha eolutiona of est lnltlal-boundary-valua p/oöloroa In layer for stratified liquid In ihrco diffcrents cosoa : 1) »Ith Initial

values, 2) »«hen /(*«')-/(*), 3) when /(*>')-/Me** Havo boon examined too asymptotic properties of solutions wtion 1 ca, tba stabilization end limiting amplitude In tha third case. Oihor questions &ro examined, liko tiia convergsnca of GaBofkin method, tha unSquanosa of solution cmong the rapidly Increasing functions tat In unbounded domain.