Корректность и аппроксимация задач магнитной газовой динамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Исследование сходимости разностных схем для уравнений баротропного движения газа в маг- . . нитном поле методом срезок.

§ I. Метод прямых

§ 2. Полная дискретизация уравнений баротропного .движения газа в магнитном поле

Глава П. Сходящиеся разностные схемы для одномерных нестационарных уравнений вязкого теплопроводного газа и магнитной газовой динамики

§ I. Об однозначной разрешимости начально-краевых задач для одномерных: уравнений магнитной газовой .динамики

§ 2. Сходящиеся разностные схемы для уравнений вязкого теплопроводного газа

§ 3. Сходящиеся разностные схемы для уравнений магнитной газовой динамики

Глава Ш. Параболические аппроксимации уравнений магнитной газовой динамики

§ I. О параболической аппроксимации уравнений магнитной газовой динамики

§ 2. Конечно-разностные схемы, для уравнений с малым параметром, аппроксимирующих уравнения магнитной газовой динамики

Работа посвящена вопросам корректности и аппроксимации уравнений магнитной газовой динамики и обоснованию ряда разностных методов решения начально-краевых задач для одномерных уравнений магнитной газовой динамики.

Необходимость исследования движений электропроводящих жидкостей и газов в электромагнитном поле возникает в связи с изучением ряда известных проблем физики и техники, таких, как исследование управляемых термоядерных реакций, астрофизика, геофизика, проблема превращения энергии, радиосвязь и т.д.

Математические исследования уравнений магнитной газовой динамики, как и уравнений механики вообще, составляют один из разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, задачи, связанные с этими уравнениями, представляют самостоятельный теоретический интерес, который стимулируется развитием численных методов решения краевых задач на основе ЭВМ.

Система уравнений магнитной газовой динамики в моделях, учитывающих помимо вязкости такие свойства среды, как сжимаемость и теплопроводность, имеет вид [i], £2] t (j: * и Wot OW и), (u k] diir(* * 9) + 1ot £KjV»HtotH - HeU X H ).

Здесь 9 » ^ Лв и В соответственно плотность, давление, энтальпия торможения, "ИЛ.Д и абсолютная температура, U - вектор скорости, Н - вектор напряженности магнитного поля,- тензор напряжений, + i!±S \ + ^ 8- , (dl^).- ^ ,

Ч * ч}^ 3xL ) И Ч ' 4 ^ ^Kj

- символ Кронекера, - декартовы координаты точек области течения, "t - время, - теплоемкость при постоянном давлении, ^ - магнитная проницаемость, Const>оз и W - коэффициенты магнитной вязкости и теплопроводности, К >. о^и у, ^ - обычный и второй коэффициенты вязкости,

Система дополняется уравнениями состояния, причем обычно рассматривается совершенный политропный газ: где £ - внутренняя энергия, Су - теплоемкость при постоянном объеме.

Основные уравнения магнитной газовой динамики (мгд) (0.1) являются нелинейными и относятся к системе составного типа. Система уравнений мгд (0.1) более сложна по сравнению с системой уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой жидкости, свойства которых еще полностью не изучены. Надо сказать, что математические свойства основных уравнений мгд еще менее исследованы. В силу нелинейности и отсутствия определенного типа не существует общего метода отыскания решений системы уравнений (0.1). Поэтому одним из основных мощных способов решения задач мгд является конечно-разностный метод или метод сеток. Известно, что для линейных дифференциальных уравнений существует хорошо развития теория разностных схем, а для нелинейных уравнений в частных производных теория разностных схем менее развита.

В связи с этим и вышеуказанными многочисленными приложениями практическая потребность решения задач мгд повышена.

Поскольку между уравнениями Навье-Стокса и уравнениями мгд существует широкая аналогия [I}, то естественно, что для решения задач мгд можно применять методы и идеи, используемые в вязкой газовой динамике. Поэтому кратко остановимся на результатах по уравнениям вязкого сжимаемого газа. Вопросы корректности краевых задач для системы уравнений, описывающих движение вязкой сжимаемой жидкости исследовались в работах Д.Серри-на [3], Д.Нэша [4], И.Итая [51 - [71, А.И.Вольперта и С.И.Худя-ева [8], В.А.Солонникова [91, А.Тани [10, III, Я.И.Канеля [12],

A.В.Кажихова [131 - [19], А.Мадумуры и Т.Нишиды [20, 211,

B.В.Шелухина [22] - [2б] и других авторов. Разрешимость уравнений вязкого газа в целом по времени изучена в настоящее время только в случае одномерного движения с плоскими волнами. Исследование корректности в целом начально-краевых задач для упрощенных моделей (модель Бюргерса, модель баротропного газа) проведено в работах [б1, [п]. В работах [l3l, [14] А.В.Кажиховым был предложен другой способ получения априорных оценок и в [l5l - [l9] им установлены глобальные теоремы существования основных начально-краевых задач и задачи Коши для полной системы одномерных уравнений вязкого газа и исследовано поведение решений при неограниченном возрастании времени. Некоторые качественные вопросы теории дифференциальных уравнений вязкого газа, как вопросы существования периодических, почти периодических и ограниченных решений, стабилизации решений исследованы В.В.Ше-лухиным 1.22] - [26], а в [271 - [29] получены результаты, относящиеся к одномерным осесимметрическим течениям. Неоднородные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости исследованы в [.30] - [331; отметим, что на трудности в неоднородных задачах впервые обратил внимание Н.Итая [6^. Более подробный анализ исследований по корректности моделей вязкого газа приведен в монографии ["343. и обзорной статье ['21\. Численным методам решения задач вязкого сжимаемого газа посвящено довольно много публикаций (см. [35 - 40} и библиографии к ним), в которых предложены различные схемы, однако существует мало работ со строгими математическими результатами по обоснованию их устойчивости и сходимости. Вопросы устойчивости и сходимости разностных решений для уравнений вязкого сжимаемого газа в настоящее время изучены только в случае одномерного движения. В цикле работ [41 - 43-] Ш.Смагулова, Б.Г.Кузнецова и Ш.Смагуло-ва эти вопросы исследовались только для простейших моделей (модель Бюргерса, модель баротропного газа) и лишь недавно Ш.Смагуловым [44^ доказана сходимость построенных им разностных схем, аппроксимирующих одномерные уравнения вязкого сжимаемого газа с учетом теплопроводности. Следует упомянуть работу Т.Нишиды и Д.Смоллера [45}, в которой доказывается сходимость класса конечно-разностных аппроксимаций для одной нелинейной параболической системы дифференциальных уравнений.

Основным объектом нашего исследования является система уравнений (0.1) в случае одномерного движения. Предположим, что а) течение вязкой сжимаемой жидкости параллельно оси ос. и имеет одну компоненту и вектора скорости; б) магнитное поле И является плоским и перпендикулярным к полю скорости; в) все величины являются функциями только от одной пространственной декартовой координаты ОС и от времени "t . Тогда система (0.1) при сделанных выше предложениях и 09 s-C.on.S't^o, const > О поле некоторых преобразований запишется в виде [I"}

0.2)

Математические трудности, возникащие при анализе уравнений (0.2), как и в случае вязкого газа без учета магнитного поля, связаны с необходимостью иметь оценки строгой положительности и ограниченности плотности ^ .

Наряду с системой (0.2) рассматривается более простая модель, учитывающая по-прежнему свойства вязкости и сжимаемости среды, ею являются уравнения баротропного движения газа в магнитном поле, когда давление р зависит только от плотности ^ at

Как видно, от системы (0.3) уравнение для температуры Q отделено и решается после определения скорости, напряженности магнитного поля и плотности.

Исследование корректности в целом задачи Коши и краевых задач, а также поведения решений при t для системы (0.3) было проведено Ш. Смагуловым £46]. В серии работ ^47 - 50^ И.Ферсте установлены локальные теоремы для различных моделей (0.1). Для модели более близкой системе. (0.2) глобальная теорема существования получена А.В.Кажиховым £51].

Из (0.1), пренебрегая влиянием сжимаемости среды, получим систему уравнений магнитной гидродинамики. Вопросы разрешимости краевых задач для системы уравнений магнитной гидродинамики исследовались в работах О.А.Ладыженской и В.А.Солонникова £52], [531, Ш.Сахаева и В.А.Солонникова [54], Л.И.Ступялиса £55, 5б}. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных численным методам решения задач магнитной гидродинамики (см. £40*1, [57 - 5S[1 и библиографии к ним). Отметим, что в основе предложенных в "£57}, £59} алгоритмов численного решения системы уравнений магнитной гидродинамики лежит идея расщепления исходной системы дифференциальных уравнений на отдельные группы: уравнения газовой динамики, уравнение энергии и уравнения, определяющие электромагнитное поле, которые решаются методом конечных разностей с последующей совместной их итерацией. Однако все еще отсутствуют работы . со строгими доказательствами устойчивости и сходимости разностных схем для уравнений магнитной газовой динамики, даже в случае одномерного движения.

Известно, что в одномерных нестационарных задачах вязкой газовой динамики априорные оценки удобнее всего получать в массовых лагранжевых переменных, переход к которым изложен в £3б], а для уравнений вязкого теплопроводного совершенного газа в С 34]. Поэтому исследование задач магнитной газовой динамики ведется в массовых лагранжевых переменных, поскольку после вывода априорных оценок строгой положительности и ограниченности плотности задачи в эйлеровых и лагранжевых переменных становятся эквивалентными.

Система (0.2) в безразмерных переменных Лагранжа имеет вид (см. £34}, Цзб}) ay* at*

3if ^ a**' ^ tf* лг^ЖЧ - U f± ч in . w ~ эх* ' vf* а** г г а** ' W*

Здесь «Х*е (0,^ Theorist >0, \J*=4/p* - удельный объем; введенный вещественный параметр n) фактически равен единице, в дальнейшем будем предполагать, что Oi ^^ 1 • Безразмерные переменные определяются соотношениями u*=u/ub f*.?/,?< , ©"=&/©, ,Н=Н/Н, где -t, = Lfy /0/5) p , = 0/5)pIfy,

Переменная C^ - массовая лагранжева координата, О - лагранжева координата, ^ £ Со L - длина отрезка x€[o|Q

В дальнейшем для удобства записи в системе (0.4) знаки * будем опускать.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 76 наименований. Нумерация формул и теорем ведется отдельно в каждом параграфе. Параграфы для удобства разбиты на пункты. Объем диссертации 146 страниц.

1. Бай Ши-и. Магнитная газодинамика и динамита плазмы. - М.: Мир, 1964. - 301 с.

2. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. -М.: Физматгиз, 1962. 248 с.

3. SestsUn У. On. of SfiusUoL VYW- JtstK, ZcuL . XUch. Awed. , 1959 , V. 3 , hi. 3 , \>. ZH-2,99.

4. УЬьуЛ' N. Л Susvuy, сУК the. ^лшем^АОьсА,zyutdbion. vertAM. л- ptx^su/te mx>ch£ -Ьеллц. jou/ш, Ma*h. Kfoto ^Uwtr. ,

5. Вольперт А.И., Худяев С.И. 0 задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1972, т. 87, № 4, с. 504 - 528.

6. Солонников В.А. 0 разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости. В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. У1. Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 56. -Л.: Наука, 1976,с. 128 142.

7. Tatti Л. Он Ыи. ииЛСаЛ- S^cn^vcicuc^ Vcl£ccC- fiM. lei. 1. ДаЛМ. v. AO} ыА9 p. toq-^гг.Тсигс Л. On. -the -j-u^S-t tIvUkCaJL-P tM&VL c4 COm,plZ4si@rLt ЛПЛип^ yyiabCQVL .fU*. iift^.Sei.^n^v.^w.^p.^-AW,

8. Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа. Дифф. уравнения, 1968, т. 4, В 4, с. 721 - 734.

9. Кажихов А.В. Корректность в целом смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа. В кн.: Течение жидкости со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1975, вып. 21, с. 18 - 47.

10. Кажихов А.В. 0 глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа. В кн.: Динамика жидкости со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1976, вып. 24, с. 45-61.

11. Кажихов А.В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости. В кн.: Нестационарные проблемы гидродинамики. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1979, вып. 38, с. 33 - 47.

12. Кажихов А.В. 0 стабилизации решений начально-краевой.задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости. Дифф. уравнения, 1979, т. 15, J& 4, с. 662 - 667.

13. Кажихов А.В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа. В кн.: Краевые задачи гидродинамики. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1981, вып. 50, с. 37 - 62.

14. Кажихов А.В. 0 задаче Коши для уравнений вязкого газа. -Сиб. мат. журн., 1982, т. 23, № I, с. 60 64.

15. Кажихов А.В., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа. Прикл. матем . и механика, 1977,т. 41, В 2, с. 282 291.

16. Л1&Ь$ипилЛ4ъ J\^ ushCdc^ Тr Т 1пЛ иплЛСаЛ vraMuc РЧ/Mtm -for -Ыы O^MUvbCevvs &f- HutriCen. ojctnxi tovuiA^vvvUro. c^cus^ 4. Mouth, У^уоЪо№80з v. HOj N.l, p.$>4-404.

17. Л, t Nt^kiUsU- Т. УъСАхаА •fowu^-fox, "the. моЪCon OOkV^t^SCMt лП4сои4 f^uA.- Con*.MM., МП , v/ttjp. 109-416.

18. Шелухин В.В. Стабилизация решения одной модельной задачи о движении поршня в вязком газе. В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1978, вып. 33, с. 131 - 146.

19. Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа. В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1979, вып. 42, с. 80 102.

20. Шелухин В.В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса. IMM, 1979, т. 43, вып. 6, с. 992 -997.

21. Шелухин В.В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа. В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980, вып. 44, с. 147 - 163.

22. Шелухин В.В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе. В кн.: Динамика жидкости со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982, вып. 57, с. 131 - 152.

23. Николаев В.Б. О разрешимости смешанной задачи для уравнении одномерного осесимметричного движения вязкого газа. -В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980, вып. 44, с. 83-92.

24. Николаев В.Б. Глобальная разрешимость уравнений движения вязкого газа с осевой и сферической симметрией. В кн.: Динамические задачи механики сплошной среды. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1983, вып. 63, с. 136 - 141.

25. Николаев В.Б. Глобальная разрешимость обобщенной системы уравнений Бюргерса в осесимметричном случае. В кн.: Задачи гидродинамики со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984, вып. 64, с. 76-81.

26. Белов С.Я. 0 неоднородных задачах для уравнений Навье-Стокса вязкого газа. В кн.: Материалы ХШ Всесоюзной научной студенческой конференции. Математика. Новосибирск: НГУ, 1979, с. 18 - 24.

27. Белов С.Я. Разрешимость в "целом11 задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости. В кн.: Краевые задачи для уравнений гидродинамики. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1981, вып. 50, с. 3-14.

28. Белов С.Я. 0 задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982, вып. 56, с. 22 43.

29. Белов С.Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом. В кн.: Математические проблемы гидродинамики. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1983, вып. 59, с.23 -38.

30. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск; Наука, 1983. - 319 с.

31. Полежаев В.И. Численное решение системы одномерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа. -Изв. АН СССР, сер. механики жидкости и газа, 1966, № 6, с. 34 44.

32. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их применения к газовой динамике. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1978. - 687 с.

33. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. - 304 с.

34. Численное исследование современных задач газовой динамики. О.М.Белоцерковский, Д.Г.Головачев и др. М.: Наука, 1974. - 397 с.

35. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. -616 с.

36. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. 2-е изд., исправл. и доп. - М.: Наука, 1980. - 352 с.

37. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа. Препринт № 17, Новосибирск: Ин-т теор. и прикл. механики СО АН СССР, 1982. - 45 с.

38. Смагулов Ш. Об устойчивых разностных схемах дяя модели Бюргерса. В кн.: Динамика жидкости со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982, вып. 57, с. 77 - 89.

39. Смагулов Ш. Об устойчивых дивергентных разностных схемах для уравнений вязкого газа. В кн.: Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск, 1983,с. 39 50.

40. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа. Докл. АН СССР, 1984,т. 275, Jfc I, с. 31 35.

41. А/йЫи Т., $тхуЩл> 0. of fuwfce сЦ-^isocnct р irruxA^ow<z -to илпАсп^аЛ. р СЬЛМЛХДАЛ. SysbLm^. CoyJz. Mcuth., IMS; v.^, p . №-\Z4 .

42. Кажихов А.В. Начально-краевые задачи для уравнений вязкого газа и неоднородной жидкости. Дисс. доктора физ.-мат. наук, Новосибирск, 1982. - 288 с.

43. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН . СССР. - М. - Л.: Изд. АН СССР, I960, т. 59, с. 115 - 173.

44. Сахаев Ш., Солонников В.А. Оценки решений одной краевой задачи магнитной гидродинамики. Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. - Л.: Наука, 1975, т. 127, с. 76 -82.

45. Ступялис Л.И. Нестационарная задача магнитной гидродинамики. В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 8. Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР. - Л.: Наука, 1975, т. 52, с. 175 - 217.

46. Ступялис Л.И. Нестационарная задача магнитной гидродинамики для случая двух пространственных переменных. Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. - Л.: Наука, 1980,т. 147, с. 156 168.

47. Самарский А.А., Волосевич П.П., Волчинская М.И., Курдю-мов С.П. Метод конечных разностей для решения одномерных нестационарных задач магнитной гидродинамики. Журн. выч. и матем. физики, 1968, т. 8, № 5, с. 1025 - 1038.

48. Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений магнитной гидродинамики. -Журн. выч. матем. и матем. физики, 1970, т. 10, № 4,с. 990 998.

49. Кацнельсон С.С., Славин B.C. Расчет нестационарных одномерных задач магнитной гидродинамики в эйлеровых координатах. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1975, т. 6, № 5, с. 51 - 71.

50. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. 407 с.

51. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Ha-jjка, 1967.736 с.

52. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с.

53. Ривкинд В.Я. Сеточный метод решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. - Л.: Наука, 1973, т. 125, с. 173 - 186.

54. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.- 656 с.

55. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

56. Самарский А.А., 1Улин А.В. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973. 416 с.

57. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. Об аппроксимации уравнений Навье-Стокса уравнениями эволюционного типа. В кн.: Семинар "Численные методы решений уравнений баланса".- А\иХ. IUvjAvl 2)2)Я ; Rep. MR- OF/SO,ie#0 } s, qe

58. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1982. 331 с.

59. Новиков В.А. Теоремы существования и единственности для одной нелинейной системы. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1975, т. 6, № I, с. 75 -92.

60. Шелухин В. В. Параболическая аппроксимация одной модели вязкого газа. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1979, т. 10, J& 5, с. III - 126.

61. Фридман А.А. Уравнения параболического типа. М.: Мир, 1968. - 427 с.

62. Байбатшаев Б.Н. О приближенных методах решения одномерных уравнений магнитной гидродинамики. В кн.: Математическиепроблемы гидродинамики.Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1983, вып. 59, с. 3 22.

63. Смагулов Ш., Байбатшаев Б.Н. О разрешимости и приближенных методах решения уравнений магнитной гидродинамики. -В кн.: Краевые задачи для нелинейных уравнений. Новосибирск, Ин-т матем. СО АН СССР, 1982, с. 62-68.

64. Байбатшаев Б.Н., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1984, т. 15, & 5, с. 31 - 47

65. Байбатшаев Б.Н. Об устойчивости и сходимости разностных схем для одномерных задач магнитной газовой динамики. -В кн.: Тезисы докладов УШ Республиканской научн. конф. по матем. и механ., Алма-Ата, 1984, часть П, с. 9.

66. Байбатшаев Б.Н. О параболической аппроксимации уравнений магнитной гидродинамики. В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982, вып. 56, с. 8 - 21.