Исследование корректности смешанных задач об устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

гго с л

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 537.84

ТРАХИНИН Юрий Леонидович

ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕКТНОСТИ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в Новосибирском госуниверситете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Блохин A.M.. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Ларькин H.A.; кандидат физико-математических наук, Шугрин С.М.

Ведущая организация - ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Зашита состоится /А/^Ш'Р^!^ 1993г. в час. на заседании Специализированного Совета К 063.98.04 в Новосибирском государственном университете по адресу:

G30090, Новосибирск-ЭО, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского . госуниверситета.

Автореферат разослан/^ 1993г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических наук

Б.В.Капитонов

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию корректности линейных смешанных задач об устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике (как в анизотропной, так и в обычной).Эти задачи возникают в связи с изучением разрывных течений в бесстолкновительной замагниченной плазме (магнитная гидродинамика с анизотропным давлением) и в плотных проводящих газообразных и жидких средах (обычная магнитная гидродинамика).

Цель работы. Целью данной работы является исследование корректности линейных смешанных задач об устойчивости сильных разрывов в анизотропной и в обычной магнитной гидродинамике.

Общая методика исследования. Исследование устойчивости этих разрывных течений, т.е. устойчивости сильных разрывов по отношению к малым возмущениям, проводится по следующей схеме.

На первом этапе осуществляется симметризация исходных уравнений. Уравнения анизотропной магнитной гидродинамики Чу, Гольд-бергера и Jloy (G. Chew, М. Goldberger, F. Low, 1956) были симме-тризованы, т.е. записаны в виде симметрической ¿-гиперболической (по Фридрихсу) системы, A.M. Блохнным и Д.А. Крымских в 1990 г. Симметризация уравнений обычной магнитной гидродинамики проведена С.К. Годуновым в 1972 г.

На втором этапе производится линеаризация полученной симметрической системы и уравнений сильного разрыва относительно так называемого кусочно-постоянного решения

исходных уравнений (анизотропной или обычной магнитной гидродинамики), удовлетворяющего соотношениям на сильном разрыве при условии, что фронт разрыва неподвижен и описывается уравнением а,1=0. В итоге получается линейная смешанная задача с граничными условиями при Xi = 0.

На третьем этапе исследуется корректность этой задачи. Если она корректна, то соответствующий сильный разрыв устойчив. В противном случае разрыв неустойчив, т.е. начальные малые возмущения со временем быстро растут, что приводит к разрушению разрыва.

С учетом специфики конкретного типа сильного разрыва (быстрые и медленные ударные полны, вращательный разрыв и т.д.), получаются различные математические постановки линейных смешанных задач. Доказательство корректности таких задач основывается на технике диссипативных интегралов энергии для симметрических (-гиперболических (по Фридрихсу) систем. С помощью этой техники, используя идеи работ A.M. Блохина (посвященных исследованию корректности задач в газовой динамике), получаются априорные оценки решений задач в Соболевских пространствах, которые свидетельствуют о корректности. Некорректность смешанных задач доказывается путем построения примеров некорректности типа примера Адамара.

В работе исследуется корректность задач об устойчивости быстрых параллельной и поперечной ударных волн, медленной параллельной ударной волны, вращательного разрыва в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением, ¡а также задачи об устойчивости вращательного разрыва в обычной магнитной гидродинамике.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты являются первыми теоретическими результатами в области математического исследования устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением. Практическая значимость работы состоит в открывающейся возможности численного анализа задач магнитной гидродинамики, корректность которых доказана автором.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре в Институте механики МГУ под руководством члена-корреспон-деита РАН А.Г. Куликовского и профессора A.A. Бармина, на семинаре в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша под руководством профессора К.Г. Брушлинского, на семинарах в Новосибирском государственном университете под руководством профессоров A.M. Блохина, A.B. Кажихова, на семинаре в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева под руководством члена-корреспондента РАН В.Н. Монахова, на семинаре в Институте математики СО РАН под руководством профессора Т.И. Зеленяка.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 155 страницах и состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 25 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения и шести глав. Во введении подробно излагается используемый Ъ диссертации подход к исследованию устойчивости сильных разрывов, а также основные идеи техники диссипативных интегралов энергии для симметрических i-гиперболических (по Фридрихсу) систем. Во введении также доказывается на первый взгляд очевидный, но тем неменее важный факт о некорректности недоопределенных смешанных задач для симметрических ¿-гиперболических (по Фридрихсу) систем. То есть в дальнейшем в работе исследуется корректность только правильно поставленных по числу граничных условий смешанных задач (это соответствует эволю-ционности соответствующих сильных разрывов).

Первая и вторая главы диссертации имеют предварительный характер. В первой главе описывается во всех деталях симметризация уравнений магнитной гидродинамики с анизотропным давлением (A.M. Бло-хин, Д.А. Крымских).

В §1 излагается формализм симметризации квазилинейных уравнений математической физики, записанных в дивергентном виде.

В §2 приведена дивергентная запись уравнений движения бесстолк-новительной замагниченной плазмы, симметризация которых описывается в §3.

В §4 обсуждается вопрос о линеаризации полученной симметрической ¿-гиперболической (по Фридрихсу) системы. Приводится запись линеаризованной системы в безразмерном виде для уравнения состояния плазмы Е = + ^ {Е — энергия, р — плотность, р", р1 — продольное и поперечное давления).

Глава II посвящена постановке линейной смешанной задачи об устойчивости сильных разрывов в анизотропной магнитной гидродинамике ( основная задача).

В §1 преведены уравнения сильных разрывов в плазме, которые замыкаются условием сохранения первого адиабатического инварианта. Дапа классификация типов разрывов.

В §2 формулируется основная задача.

Глава Ш занимает в диссертации центральное место, поскольку в ней с использованием техники интегралов энергии показана коррскт-

ность смешанных задач об устойчивости быстрых параллельной и поперечной ударных волн в анизотропной магнитной гидродинамике при большом давлении ги = |Н| — модуль вектора маг-

нитного поля),

В §1 формулируется математическая постановка задачи об устойчивости быстрой ударной волны в плоском случае.

В §2 приводятся математические постановки задач об устойчивости параллельной и поперечной ударных волн (задачи Т\, Т^), а также обсуждается вопрос об эволюционности этих двух типов ударных волн.

В §3 приводится доказательство теоремы 1 о корректности смешанной задачи Т\ при (д2 = ^г), т.е. доказана устойчивость быстрой параллельной ударной волны в этом случае.

Теорема 1. Смешанная задача при д<С1 корректна, причем имеют место следующие априорные оценки для решений этой задачи:

0 < 1<Т < оо,

где > 0, г = 1,2 — постоянные, определяемые в конечном итоге величинами Т, д; Г — малое возмущение фронта разрыва.

В §4 приведена схема доказательства для задачи Тч теоремы 2, аналогичной теореме 1. То есть быстрая поперечная ударная волна устойчива при 9<С1-

В главе IV доказана неустойчивость медленной параллельной ударной волны в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением при и р — |г = 0(1) Р1*^^ — случай холодной плазмы).

В §1 формулируется математическая постановка задачи об устойчивости медленной ударной волны в плоском случае (задача 5).

В §2 формулируется постановка задачи об устойчивости медленной параллельной ударной волны (задача й;), а также обсуждается вопрос о ее эволюционности.

В §3 доказана некорректность смешанной задачи 51 при р =

0(1), т.е. медленная параллельная ударная волна в этом случае неустойчива.

В главе V описывается очень важный результат, полученный для вращательного разрыва в анизотропной магнитной гидродинамике, а именно доказана неустойчивость вращательного разрыва для случая холодной плазмы и р = 0(1)).

В §1 получены математические постановки задач об устойчивости вращательного разрыва в анизотропной плазме (задачи 72.1,... ,72.5). Все эти задачи, кроме задачи 7^1, либо недоопределены (на одно граничное условие меньше, чем нужно), либо не удовретворяют условию р = 0(1) при

В §2 сформулирована смешанная задача у которой неизвестных функций меньше, чем в задаче 71\. Доказана эквивалентность задачи 7-2-1 задаче 72-1. Задача 71[ переформулируется затем как задача 72.".

В §3 для задачи 72." построен пример некорректности типа примера Адамара при и р = 0(1), что, с учетом доказанной во втором параграфе эквивалентности, свидетельствует о неустойчивости вращательного разрыва в бесстолкновительной замагниченной холодной плазме.

Глава VI посвящена исследованию устойчивости вращательного разрыва, ио уже в обычпой магнитной гидродинамике. Получен результат, аналогичный результату из главы V, а именно, доказана неустойчивость вращательного разрыва при сильном магнитном поле.

В §1 приведена линейная смешанная задача об устойчивости вращательного разрыва (задача 72.).

В §2 сформулирована задача 72', и доказана ее эквивалентность задаче 71. Задача 72.' переформулируется в целях удобства как задача 71".

В §3 доказана некорректность задачи 71" при (5 = с —

скорость звука).

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Доказана устойчивость быстрых параллельной и поперечной ударных волн в анизотропной магнитной гидродинамике при большом давлении.

2. Доказана неустойчивость медленной параллельной ударной волны в анизотропной магнитной гидродинамике для случая холодной плазмы.

3. Доказана неустойчивость вращательного разрыва в анизотропной магнитной гидродинамике для случая холодной плазмы.

4. Доказана неустойчивость вращательного разрыва в магнитной гидродинамике при сильном магнитном поле.

Публикации по теме диссертации

1. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике. — Сиб. мат. журн., 1993,т.34, Л^З, С.3-18.

2. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением, (принята к печати в Сиб. мат. журн.)

3. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением. Часть I. (принята к печати в Сиб. мат. журн.)

4. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением. Часть II. (принята к печати в Сиб. мат. журн.)