О существовании решений с поверхностью сильного разрыва для гиперболических законов сохранения: приложения к магнитной и радиационной гидродинамике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Трахинин Юрий Леонидович

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ СИЛЬНОГО РАЗРЫВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ: ПРИЛОЖЕНИЯ К МАГНИТНОЙ И РАДИАЦИОННОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Иркутск - 2006

Работа выполнена в Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Блохин Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Рудых Геннадий Алексеевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 8 июня 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 при Институте динамики систем и теории управления по адресу: 664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института динамики систем и теории управления по адресу: 664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

Автореферат разослан "¿0" .уЦа/^Гл. 2006 г.

доктор физико-математических наук, профессор Сидоров Николай Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Шелухин Владимир Валентинович

Ученый секретарь диссертационного совета, Д.т.н

Г.А. Опарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При движении сплошных сред часто образуются тонкие переходные зоны больших градиентов, в которых параметры среды испытывают резкие изменения. Математическими моделями идеальных сплошных сред, т.е. таких, что процессами диссипации в них можно пренебречь, являются обычно гиперболические законы сохранения, а упомянутые тонкие переходные зоны моделируются движущимися поверхностями сильного разрыва, на которых функции, описывающие движение сплошной среды, меняются скачком. В то же время сами квазилинейные гиперболические системы уравнений обладают свойством образования сингулярностей (типа градиентной катастрофы) даже из гладких начальных данных за конечное время. То есть сильные разрывы (например, ударные волны) в решениях гиперболических систем являются их неотъемлемым свойством. Поэтому, как известно, для задачи Коши для квазилинейной симметрической гиперболической системы может быть доказана только локальная по времени теорема существования регулярного решения [1-3].

С другой стороны, формально рассматриваемое решение с поверхностью сильного разрыва, т.е. такое слабое решение квазилинейной гиперболической системы, которое является гладким с обеих сторон от разрыва, на поверхности которого выполняются соотношения Ренкина-Гюгонио, может реально не существовать даже локально по времени. Нахождение условий на кусочно-гладкие начальные данные, при которых имеет место локальная теорема существования и единственности решения с конкретным видом сильного разрыва является первым и необходимым этапом на пути построения общей теории глобального по времени существования слабых решений гиперболических систем законов сохранения. Если для случая одной пространственной переменной, а также для случая скалярного закона сохранения такая теория является в настоящий момент, в некотором смысле, законченной (см., например, работы Glimm'a, Кружкова, DiPerna, Bressan, Панова и др.), то для многомерного случая общей теории пока нет. С другой стороны, актуальность вопроса существования решений с поверхностью сильного разрыва несомненна и с точки зрения приложений в различных областях естествознания. Например, для уравнений магнитной гидродинамики (МГД) идеальной сжимаемой жидкости исследование ударных волн и других типов сильных разрывов имеет большое значение для приложений в астрофизике и геофизике.

Локальная теорема существования и единственности решения с ударной волной была впервые доказана Блохиным [4, 5] для уравнений газовой динамики. При этом основным условием на начальные данные (помимо условий Лакса [6], согласования и т.д.) в этой теореме является требование выполнения равномерного условия Лопатинского в каждой точке поверхности ударной волны. Теорема была доказана Блохиным с помощью энергетического метода. Позднее [7, 8], используя тех-

нику симметризатора Крайса [9] и исчисление псевдодифференциальных операторов, доказал аналогичную теорему для абстрактной симметрической гиперболической системы, удовлетворяющей так называемым условиям блочной структуры [10, 11].

Условие Лопатинского вводится для соответствующей линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами для плоского разрыва. Если оно выполнено, то сильный разрыв по традиции, идущей от физиков, называют устойчивым, а в противном случае — неустойчивым. Если же условие Лопатинского выполняется в слабом смысле, т.е. нарушается так называемое равномерное условие Лопатинского [9], то разрыв называют нейтрально (слабо) устойчивым. Первые результаты по исследованию многомерной устойчивости сильных разрывов (в указанном смысле) были получены физиками в 50-х - 60-х годах XX века [12-15] и относятся к ударным волнам в газовой динамике. Границы параметрических областей неустойчивости, нейтральной устойчивости (спонтанного излучения звука разрывом) и равномерной устойчивости для газодинамических ударных волн были впервые найдены Дьяковым [12] (в дальнейшем некоторые уточнения сделаны Конторовичем [13] и Иорданским [14]).

В отличие от газовой динамики, в МГД проблема устойчивости ударных волн (кроме ударных волн в МГД имеются контактные, тангенциальные и вращательные разрывы) еще полностью не решена. После выхода классической работы Сагёпег'а и КгиБкаГа [16] можно отметить лишь некоторые исследования по устойчивости МГД ударных волн. Известно, что в МГД в рамках гиперболической ("невязкой") теории существуют два типа допустимых (лаксовских [6]) ударных волн. Это быстрые и медленные ударные волны, которые были введены в работе [17].

В [16] найдено условие слабой устойчивости быстрых ударных волн для общего уравнения состояния газа, но в частном случае параллельных и перпендикулярных волн, т.е. когда магнитное поле параллельно или перпендикулярно нормали к фронту разрыва. Позднее для этого

частного случая при дополнительном предположении слабости магнитного поля Блохиным и Дружининым [18] была доказана равномерная устойчивость быстрых ударных волн в политропном газе (с помощью техники интегралов энергии). Отметим также работы [19, 20], в которых численно найдены некоторые области неустойчивости для быстрых и медленных МГД ударных волн в политропном газе с -у — 5/3.

Условия блочной структуры [10, 11] выполняются для уравнений газовой динамики, но существует немало примеров гиперболических систем, для которых они нарушаются. В частности, это так для системы МГД. На такие системы упомянутый выше результат Ма]с1а [7, 8] не распространяется. Для преодоления этой трудности в диссертации использован метод интегралов энергии, с помощью которого получена априорная оценка решения линеаризованной задачи для плоской быстрой ударной волны при слабом магнитном поле. В свою очередь, формализация энергетического метода с помощью введения понятия строго диссипативного р-симметризатора позволила автору доказать локальную теорему существования и единственности решения с лак-совской ударной волной для абстрактной гиперболической системы законов сохранения при наличии упомянутого строго диссипативного р-симметризатора. Обобщение техники получения априорной оценки, использованной Блохиным для газодинамической ударной волны, на случай быстрых МГД ударных волн может быть формализовано как построение строго диссипативного 2-симметризатора. Со ссылкой на доказанную теорему автором получен первый нелинейный результат для МГД ударных волн в виде локальной теоремы существования для быстрых ударных волн в политропном газе при слабом магнитном поле.

Заметим, что основная трудность при нахождении параметрических областей равномерной устойчивости, нейтральной устойчивости и неустойчивости МГД ударных волн связана с тем, что уже на первом этапе не удается аналитически найти корни характеристического уравнения гиперболической системы (дисперсионного соотношения) через переменные Лапласа и Фурье. Поэтому не может быть выписан в явном виде и определитель Лопатинского, возникающий из условия ограниченности решений краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся после применения преобразования Лапласа по времени и преобразования Фурье по тангенциальным пространственным переменным к линеаризованной задаче с граничными условиями на плоской ударной волне. Однако для гиперболических систем с нехарактеристической границей, для которых все характери-

стики кроме одной уходящие, в [16] был предложен способ обойти эту трудность. Воспользовавшись идеей этой работы, автор сформулировал эквивалентные определения условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для линейных задач для лаксовских ударных волн индекса 1. Это, с одной стороны, позволило автору существенно уточнить результат Сагс1пег'а и КгиэкаГа [16] и найти точное условие равномерной устойчивости быстрой параллельной МГД ударной волны, а с другой стороны, с помощью предложенного алгоритма численной проверки условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для ударных волн индекса 1 полностью решить вопрос об устойчивости быстрых ударных волн в политропном газе с 7 = 5/3. То есть найдены области равномерной устойчивости (выполнено равномерное условие Лопатинского), нейтральной устойчивости (выполнено слабое условие Лопатинского) и неустойчивости (задача некорректна) для быстрых МГД ударных волн.

С учетом недавней работы [21], в которой техника симметризато-ра Крайса [9] и работы [7] распространяется на случай гиперболических систем с переменными кратностями, удовлетворяющих некоторым условиям, выполненным, в частности, для МГД, можно делать вывод о наличии нелинейной локальной теоремы существования для равномерно устойчивых МГД ударных волн. Более того, ввиду работы [22], в которой локальная теорема существования Ма]с1а [8] была значительно улучшена и сформулирована в форме теоремы Блохина [4, 5] для газовой динамики, нелинейная теорема для равномерно устойчивых быстрых МГД ударных волн, найденных автором, формулируется в классе решений П^_0Сл'([0,Г], Ш^3), где з > 3 как для задачи Коши.

В МГД помимо ударных волн большой интерес представляет так называемый тангенциальный разрыв. Он относится к характеристическим разрывам. Через его поверхность газ не протекает, магнитное поле параллельно фронту разрыва, а полное давление д ~ р + |Н|2/2 непрерывно. Особый интерес к этому разрыву возник с момента открытия в 1958 г. солнечного ветра американским астрофизиком Рахкег'ом (экспериментально это явление было подтверждено советскими учеными в 1960 г. с помощью аппаратуры, установленной на космических аппаратах "Луна-2" и "Луна-3")- Так, например, закрытая (ночная) магни-топауза (граница магнитосферы Земли) моделируется астрофизиками с помощью тангенциального МГД разрыва. Более того, в 1970 г. Барановым, Краснобаевым и Куликовским [23] предложена теперь общепринятая модель границы солнечной системы, возникающей в резуль-

тате столкновения солнечного ветра с локальной межзвездной средой. Эта граница называется астрофизиками гелиопаузой и моделируется тангенциальным МГД разрывом, находящимся между ударной волной торможения и головной ударной волной. Заметим, что в декабре 2004 г. американский космический аппарат "Вояджер-1" пересек ударную волну торможения, что повышает актуальность модели гелиопаузы.

Однако прогресс астрофизиков (см., например, [24-26]) в направлении нахождения условий макроскопической устойчивости гелиопаузы, т.е. условий устойчивости плоского тангенциального МГД разрыва (корректности соответствующей линейной задачи), был минимальным. Это связано с тем, что уравнение, получающееся из приравнивания нулю определителя Лопатинского, сводится к алгебраическому уравнению десятой степени для переменной Лапласа, которое зависит от семи безразмерных параметров. Поэтому условие устойчивости, т.е. условие Лопатинского, не может быть найдено аналитически (с помощью спектрального анализа). В то же время и численное исследование не может дать полной картины, поскольку число безразмерных параметров очень велико.

Предложенный автором альтернативный энергетический метод позволил впервые найти аналитически достаточные условия устойчивости плоского тангенциального МГД разрыва. Этот результат получается благодаря найденному новому симметрическому виду уравнений МГД, который позволяет построить диссипативный (но не строго дис-сипативный) О-симметризатор для линейной задачи. При этом априорная оценка решений переносится на случай переменных коэффициентов и неплоского разрыва. Эта оценка выводится в весовых анизотропных пространствах Соболева. Ранее эти пространства использовались для симметрических гиперболических систем в областях с (фиксированной) характеристической границей постоянной кратности (см., например, [27, 28]). Автором впервые рассмотрен пример нелинейной гиперболической задачи с граничными условиями на свободной характеристической поверхности разрыва. Из полученной априорной оценки для линейной задачи для случая переменных коэффициентов следует теорема единственности решения исходной нелинейной задачи.

Помимо классической модели МГД идеальной сжимаемой жидкости существуют также и другие гиперболические модели МГД. Это, например, уравнения МГД с анизотропным давлением [29], описывающие движение бесстолкновительной замагниченной плазмы, а также уравнения релятивистской МГД. Первые результаты по устойчивости

сильных разрывов в этих моделях получены в диссертации.

В последнее время в связи с разнообразными приложениями в астрофизике, космологии и физике плазмы возник интерес к моделям радиационной гидродинамики, которые описывают движение сплошной среды при наличии радиационных процессов. Известны различные модели радиационной гидродинамики, от достаточно простых, область применимости которых сильно ограничена, до довольно сложных моделей, в которых делаются попытки учесть влияние как можно ббльшего числа физических факторов. Автором исследуется модель идеальной радиационной гидродинамики, предложенной относительно недавно Anile, Pennisi и Sammartino [30]. В отличии от других моделей радиационной гидродинамики (в том числе одномерных), эта модель для случая трех пространственных является достаточно сложной и учитывает влияние многих физических факторов, в частности, релятивистские эффекты. С математической точки зрения модель представляет собой гиперболическую систему балансовых законов, т.е. в системе имеются правые недифференциальные части (функции источника).

Для нерелятивистских уравнений радиационной гидродинамики удалось доказать глобальную теорему существования и единственности решения задачи Коши для начальных данных, близких к постоянным, т.е. вблизи положения "постоянного" термодинамического равновесия. В диссертации получены первые результаты для радиационных ударных волн. Строятся строго диссипативные 2-симметризаторы для линейных задач как для нерелятивистских, так и для релятивистских радиационных ударных волн. Соответствующие нелинейные результаты следуют из доказанной автором локальной теоремы существования для абстрактных лаксовских ударных волн.

Цель работы. Цель работы заключается в математическом исследовании проблемы существования решений с поверхностью сильного разрыва (в частности, ударной волны) для систем гиперболических законов сохранения. Если для задачи Коши основным условием локального существования регулярного решения квазилинейной симметрической системы является легко проверяемое условие гиперболичности, то для смешанной задачи с граничными условиями Ренкина-Гюгонио на поверхности сильного разрыва сам вопрос о нахождении аналогичного условия на кусочно-гладкие начальные данные является отдельной и сложной проблемой. Решение этой проблемы для ударных волн и характеристических разрывов для систем уравнений магнитной и радиационной гидродинамики является ключевым моментом диссертации.

Методы исследования. При решении поставленных задач используются идеи и методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, уравнений математической физики и функционального анализа. В качестве основного метода вывода априорных оценок решений используется метод диссипативных интегралов энергии. Его идея состоит в получении некоторой системы для производных решения порядка р с диссипативными или строго диссипативными граничными условиями. Для ударных волн идея этого метода была впервые реализована Влохиным для уравнений газовой динамики. В диссертации энергетический метод вывода априорных оценок формализуется с помощью введения понятий диссипативного и строго диссипативного р-симметризатора. Такой симметризатор является чем-то вроде "вторичного" симметризатора Фридрихса для симметрической системы для вектора, составленного из производных порядка р. В диссертации используются также ссылки на технику симметризатора Крайса, первым этапом которой является нахождение условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского. В то же время построение диссипативного и, соответственно, строго диссипативного р-симметризатора может быть рассмотрено как косвенная проверка слабого и, соответственно, равномерного условия Лопатинского.

Научная новизна. Основные результаты диссертации. Автором диссертации выносятся на защиту следующие основные результаты:

1) Введено понятие строго диссипативного р-симметризатора смешанной задачи для линейной гиперболической системы уравнений. Доказана локальная по времени теорема существования и единственности решения с лаксовской ударной волной для системы абстрактных гиперболических законов сохранения при условии, что такой симметризатор построен для соответствующей линеаризованной задачи.

2) Построен строго диссипативный 2-симметризатор для быстрых МГД ударных волн при слабом магнитном поле, нерелятивистских радиационных ударных волн и "быстрых" релятивистских радиационных ударных волн.

3) Предложено эквивалентное определение равномерного условия Лопатинского для ударных волн индекса 1. С его помощью найдено необходимое и достаточное условие равномерной устойчивости быстрой параллельной ударной волны в классической и релятивистской МГД. Используя предложенное эквивалентное определение равномерного условия Лопатинского, разработан алгоритм численной его проверки для ударных волн индекса 1, с помощью которого впервые проведен

полный анализ двумерной устойчивости быстрых МГД ударных волн в политропном газе, т.е. найдены области их равномерной устойчивости, нейтральной устойчивости и неустойчивости.

4) Впервые найдено достаточное условие нейтральной устойчивости МГД тангенциального разрыва. Построена априорная оценка решений линеаризованной задачи в весовых анизотропных пространствах Соболева при выполнении этого условия для переменных коэффициентов задачи. С помощью этой оценки доказана теорема единственности решения исходной нелинейной задачи с граничными условиями на поверхности тангенциального разрыва.

5) Доказана глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для нерелятивистских уравнений радиационной гидродинамики для начальных данных близких к постоянным.

Теоретическая и практическая значимость работы. Путем введения понятия строго диссипативного р-симметризатора метод дис-сипативных интегралов энергии обобщен и сформулирован для абстрактной гиперболической системы законов сохранения, для которой доказана локальная теорема существования и единственности решения с лаксовской ударной волной при наличии упомянутого симметризато-ра. Этот результат применяется для ударных волн в магнитной и радиационной гидродинамике. Для ударных волн индекса 1 предложено эквивалентное определение равномерного условия Лопатинского, с помощью которого впервые удалось полностью проанализировать двумерную устойчивость быстрой МГД ударной волны. Таким образом, найдены условия на кусочно-гладкие начальные данные, при которых решение с указанной ударной волной существует локально по времени. Предложенное эквивалентное определение равномерного условия Лопатинского позволяет успешно применять метод симметризатора Крайса для широкого класса гиперболических задач, возникающих в различных приложениях. Впервые аналитически найдено достаточное условие устойчивости МГД тангенциального разрыва, которое в астрофизических приложениях трактуется как условие макроскопической устойчивости гелиопаузы — границы солнечной системы. Отдельные научные выводы диссертации могут быть в дальнейшем использованы в астрофизике и геофизике. Особенно это касается результата для МГД тангенциального разрыва и найденных численно условий устойчивости быстрых МГД ударных волн. Некоторые результаты диссертации получили свое отражение в настольной книге по математической динамике жидкости [52].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (рук. акад. РАН В.Н. Монахов); Институт динамики систем и теории управления СО РАН (рук. проф. Ю.Е. Боярин-цев, проф. В.Ф. Чистяков); Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (ИМ СО РАН) (рук. акад. С.К. Годунов), ИМ СО РАН (рук. проф. Г.В. Демиденко); ИМ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН И.А. Тайм-анов); МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. проф. В.А. Кондратьев, проф. Е.В. Радкевич) и других.

Отдельные результаты диссертации докладывались на Семинаре им. И.Г. Петровского (Москва, 1995), Международной школе-конференции "International School on Theory and Numerics for Conservation Laws" (Фрайбург, ФРГ, 1997), Международной конференции "9th International Conference on Waves and Stability in Continuous Media" (Бари, Италия, 1997), Международной конференции "7th International Conference on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications" (Цюрих, Швейцария, 1998), Международной конференции "8th International Conference on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications" (Магдебург, ФРГ, 2000), Международной конференции "UK MHD" (Кембридж, Великобритания, 2003), Международной конференции "Nonlinear Hyperbolic Waves in Phase Dynamics and Astrophysics" (Кембридж, Великобритания, 2003), Международной конференции "Mathematical Methods in Hydrodynamics" (Лилль, Франция, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [35-57]. Результаты работ [35-40,42,43,45-48] получены автором совместно с A.M. Влохиным и являются неделимыми. Это же относится и к работам [41, 44, 49], участие в которых итальянских ученых A.M. Anile и V. Romano состояло в предложении моделей радиационной гидродинамики и физической интерпретации полученных математических результатов. Большинство результатов диссертации получили свое отражение в монографиях [53, 55], а отдельные из них послужили основой для подготовки главы для "Handbook of Mathematical Fluid Dynamics" [52].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений и списка литературы. Общий объем работы 371 страница, библиография включает 189 наименований.

Автор искренне благодарен своему научному консультанту профессору A.M. Блохину за плодотворное сотрудничество.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое содержание диссертации.

Глава 1 имеет основополагающее значение для всей работы, поскольку в ней даются все основные определения и понятия, ставится в общем виде задача с граничными условиями на поверхности сильного разрыва, описываются и сравниваются различные методы исследований. Основным результатом главы 1 является локальная теорема существования и единственности решения гиперболической системы абстрактных законов сохранения с поверхностью ударной волны при определенных условиях на начальные данные.

Параграфы 1.1-1.5 имеют вводный характер. В параграфе 1.1 напоминаются основные определения, связанные с квазилинейными гиперболическими системами, а также кратко обсуждается вопрос их симметризации. Основным объектом исследований является система N законов сохранения

п

+ 0, (1) 7=1

где Та = 7>а(и) = и = и(«,х) = х =

(II.....хп) € К" , дь := д/дЬ, 3,- := д/дх^ . Для некоторых конкретных

моделей механики сплошной среды система (1) дополняется набором К дивергентных ограничений (связей)

Шуф^и)=0, ¿ = (2)

которым обязаны удовлетворять решения этой системы. Здесь = (и) = (Ф^,..., Ф"). Например, для системы МГД должно выполняться одно (К = 1) условие (11VII = 0, а решения уравнений Ландау сверхтекучей жидкости обязаны удовлетворять трем дивергентным связям го1;у8 = 0 (у5 — сверхтекучая компонента скорости). Обычно на практике дивергентные связи (2) являются ограничениями на начальные данные для системы (1).

Как известно, используя симметризацию по Годунову [31, 32], с помощью дополнительного и априори известного закона сохранения

&Ф°(и) + с1ЬгФ(и) =0

и с учетом дивергентных ограничений (2) система (1) может быть переписана в симметрическом виде (даже в терминах исходного вектора неизвестных XI):

п

л0(и)и4 + Л-(и)их, - О, (3)

з=1

где Ла — симметрические матрицы, Ф = Ф(и) = (ф1,..., Фп). Иногда симметрический вид (3) находится просто благодаря удачному выбору вектора неизвестных и. Симметрическая система (3) называется симметрической ¿-гиперболической, если Ло > 0. Далее для простоты предполагается, что исходная система (1) уже является симметрической,

В параграфе 1.2 формулируется смешанная задача с граничными условиями на поверхности сильного разрыва для гиперболических законов сохранения (1). Рассматривается система (1) при £ > 0 и во всем пространстве К" . Пусть гладкая гиперповерхность Г (4) = {ж1 — /(4,х') = 0} (х' = (х2, ■ ■ ■, хп)) является поверхностью сильного разрыва решения и(£, х) системы (1), которое является классическим решением (1) с обеих сторон от разрыва Г. Как известно, и — слабое решение системы (1) тогда и только тогда, когда в каждой точке Г выполнены соотношения Ренкина-Гюгонио

МТ°(Щ + Х>Л7>*(и)] - [РНЩ = 0. (4)

к—2

Здесь используется обычное обозначение [<?] — д+ — д~ для скачка некоторой регулярно разрывной функции д.

Смешанная задача для системы (3) в областях П±(4) {х^ ^ / х')} с граничными условиями (4) на гиперповерхности Г(4) является (в математическом смысле) задачей со свободной границей. Для того, чтобы свести задачу к задаче в фиксированных областях вместо областей (£), делается замена ("распрямление") переменных :— х\ — /(£, х'). Тогда смешанная задача сводится к следующей задаче:

¿(и, Р)и = 0 при х 6 ; (5)

Б(и+, и- )Г - [Vх (И)] =0 при ц = 0; (6)

и(0,х) = и0(х), х 6 ; /(0,х') = /о(х'), х'еГ"1. (7)

Здесь L = A0(V)dt + F = (/t,Vx</),

Л„ = AX(U) - /4Ло(и) - /xHft(U), U± := U|Sl=±0 ,

B{ u+, u-)F = Л[р°(и)] + YTk=2 Л» P>*(U)].

Для того, чтобы доказать существование решения с поверхностью сильного разрыва r(t) для системы законов сохранения (1), необходимо ответить на следующий вопрос: "Существует ли решение (U, /) задачи (5)-(7) по крайней мере локально по времени?"

Определение 1.2.1. Если граничная матрица Л„ такая, что det Л^ ф О, где Л* = Лр|Ж1=±о, то сильный разрыв называется ударной волной. В противном случае сильный разрыв называют характеристическим разрывом.

В первой главе рассматриваются в основном ударные волны. Как известно, условия Лакса [6]

3* (1 < k < N) : | \к{А+) < 0 < Аа+1(Л+) , А*_!(Л;7) < 0 < Ак{А~),

достаточны для того, чтобы граничная матрица Av была невырождена и необходимы для того, чтобы соответствующая линеаризованная задача с нехарактеристической границей, ассоциированная с (5)-(7) (см. ниже), была правильно поставлена по числу граничных условий. Здесь А|(Л^) (г = 1,N, Aj < ... < Ajv) — собственные числа матриц Л^ ; Ао := —оо, Адг+i := +со. При этом соответствующая ударная волна называется ударной волной индекса к (£-shock).

В параграфе 1.3 формулируется линеаризованная задача, ассоциированная с исходной нелинейной задачей (5)-(7).

Пусть (U,/) = (U(i, x),/(£, х')) — заданная вектор-функция (основное состояние), где Ü е П±С1([0,Т] х К£), / € ^([О.Т] х Е""1). В результате линеаризации системы (5) и граничных условий (7) получается следующая линейная задача с переменными коэффициентами для определения малых возмущений (SU, Sf) (ниже для простоты обозначений д опускается):

£■(0, F)U 4- CU = {L(U, F)f}ÜXl при х € ; (8)

B(Ü+, U-)F - [A,(Ü, F)U] = О при xi = 0; (9)

начальные данные для возмущений (и,/) имеют вид (7). Здесь Г = (Д,УХ'/), а матрица С = С(и,и4,Уи,Г) легко выписывается.

Дифференциальный оператор в системе (8) имеет первый порядок для / . Для преодоления этой трудности делается замена и = и—/иХ1 , после которой (8), (9) принимают вид

1,(0,1Г)й + СО + {1,(0, Е)0} =0 при х е ; (10)

В(0+,0-)Г - [ЛД0,Е)и] = -/[¿„(и, при ая = 0. (11)

На самом деле, если для (10), (11) получена априорная оценка без потери гладкости, то для доказательства теоремы существования и единственности для нелинейной задачи (5)-(7) достаточно удерживать только главную часть у дифференциальных операторов линеаризованных уравнений. В то же время в случае потери производных в априорной оценке необходимо выполнять истинную линеаризацию ("находить дифференциал") с целью возможного применения метода Нэша-Мозера для доказательства теоремы существования для нелинейной задачи.

Линеаризованные уравнения, ассоциированные с (5), (6) и полученные отбрасыванием младших членов в (10), (11), имеют вид

Ци.^и^Г* при х€®£; (12)

В(0+,0-)Г-[Л„(и,Р)и] при ®1=0. (13)

Здесь введены в рассмотрение правые части ^(¿,х) и g(i, х'). Это необходимо для доказательства существования и единственности решения исходной нелинейной задачи. Определяющее значение для анализа корректности линеаризованной задачи, а также для последующего нелинейного анализа имеет линейная задача с постоянными ("замороженными") коэффициентами для случая плоского (в геометрическом смысле) сильного разрыва. Для плоского разрыва функция f(t1^x.') линейная: /(<, х') - аЬ + (о-',х'), сг = (о-,сг') е Е" . Задача (12), (13) с "замороженными" коэффициентами и при Г^.х) = 0, g(i,x') = О является результатом линеаризации исходной нелинейной задачи относительно ее точного кусочно-постоянного решения

^ = I 0+ , XI > <т4+ (<г',х'),

О", XI < ег$ + (о-',х').

При анализе этой задачи, не нарушая общности, можно считать, что невозмущенньгй разрыв задается уравнением х\ = 0, т.е. сг = 0 и А^ = Л?.

В параграфе 1.4 обсуждается вопрос, связанный с нахождением параметрической области некорректности задачи (12), (13) для случая постоянных коэффициентов (т.е. неустойчивости соответствующего плоского сильного разрыва). Область параметров (и+,и-), для которой задача некорректна, находится путем нахождения экспоненциально растущих ("взрывным" образом) решений, т.е. путем построения примера некорректности типа примера Адамара.

В параграфе 1.5 вводятся важные понятия равномерной и нейтральной линеаризованной устойчивости сильных разрывов с помощью определений условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинско-го для соответствующей линейной задачи с постоянными коэффициентами. Нарушение условия Лопатинского, как известно, эквивалентно некорректности смешанной задачи. Для гиперболических задач важным уточнением условия Лопатинского является равномерное условие Лопатинского [9]. С физической точки зрения оно означает, что малые возмущения строго убывают со временем. С математической точки зрения, выполнение этого условия влечет наличие априорной оценки решения без потери производных от начальных данных и правых частей (это верно, по крайней мере, для большинства гиперболических задач). В зависимости от выполнения/нарушения условия Лопатинско-го/равномерного условия Лопатинского вся область физически допустимых параметров (и-, и+) е Ж2ЛГ задачи состоит из следующих подобластей:

1. Область выполнения равномерного условия Лопатинского (область равномерной устойчивости);

2. Область, где выполнено условие Лопатинского, но нарушается равномерное условие Лопатинского (область нейтральной устойчивости);

3. Область, где нарушается условие Лопатинского (область неустойчивости).

Объединение областей 1 и 2 называется областью слабой устойчивости.

В параграфе 1.6 дается новое понятие так называемого диссипатив-ного и строго диссипативного р-симметризатора для линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами для сильного разрыва. В предположении существования строго диссипативного симметризатора до-

называется корректность этой задачи для лаксовских (эволюционных) ударных волн.

Пусть для фиксированного неотрицательного целого числа р вектор

= \Ур := (да1и,а^и),

где А = Срп+р , И = р, » = М; а*,* при » ^ * , 3е := ■ • • ,

а = (оо,...,ап). В частности, \У0 := и, := (и4, Ц^,..., их„), := (и«,^!,....^,.^,.!!^,.,,) и т.д. Дифференцируя системы (12) с постоянными коэффициентами (если р Ф 0) и учитывая линеаризованные после "распрямления" переменных соотношения (2) (для простоты функции Ф^(и) предполагаются линейными), получаем системы

к

¿=1 Н=р которые переписываются так:

ДЦ*, сг)W = , х б , (14)

где фi — ((Ф^.Ы), Ф|,... , Ф?) , N = (1, -О, Ци*») = /^Ди^.а) , ^ = (да ... ,да Г±); 1,1 — единичная матрица порядка Л; = сг) и Р^ = Р(и±, сг) — соответственно векторы и невырожденные матрицы порядка N<1;

п

С = £(©±,(7) := + , Я* = Р±?± ;

3=1

Л^ = Л;(и±,сг), г = 0,п — матрицы порядка Л?" с?. Системы (14) являются, в некотором смысле, "вторичными симметризациями высокого порядка" симметрических систем (12) (с постоянными коэффициентами), если матрицы снова симметрические.

Граничные условия для систем (14) получаются "тангенциальным" дифференцированием (по í и по х') условий (13). Более того, сами системы уравнений, продифференцированные р — 1 раз и рассматриваемые при 2Г1 = 0, также могут использоваться в качестве граничных условий. К сожалению, граничные условия для (14) не могут быть в общем случае выписаны в конкретном виде, но ясно, что правые части в них

будут зависеть от <9fх,g при |а| = р и c^f^lx^io при |/5J = р - 1, где := с^сГ • • • 95'', а = (од, «2,..., а„).

Определение 1.6.1. Набор матриц и векторов § = S(U+ {Р+Р", ' fe W, н=р }

будем называть диссипативным р-симметризатором задачи (12), (13) (с постоянными коэффициентами), если матрицы Af в (14) симметрические и существует открытое подмножество D пространства состояний G такое, что

А$>0, Л~>0 и - [(-4aW,W)]|^i=0>0

для всех (U+,U~,<r) € D и всех W, удовлетворяющих граничным условиям для систем (14) при g = 0. Набор § будем называть строго диссипативным р-симметризатором задачи (12), (13), если он является диссипативным р-симметризатором этой задачи и существует такая фиксированная положительная постоянная 5, что

-[(*4iW, W)] |Ж1=0> <5 (|W+|2 + |W"|2)

-Wei £ l^x,g|2+c2 J2 KfU=o|2

L H=p \P\=p-i

где W± — проекция W* на ker Af (для случая ударных волн W± = w±), |^|х,=р|а ~ l^f+U^+ol2 + |^f-|I1=-o|2; с = C(U+,U_,tr), Ci = Ci(U+, U~,cr) — положительные постоянные.

Вывод априорной оценки для линейной задачи для газодинамических ударных волн, проделанный в работе Блохина [33], может быть теперь формализован как построение строго диссипативного 2-симметри-затора для этой задачи. В главах 2 и 5 диссертации техника построения такого 2-симметризатора обобщается на случай ударных волн в магнитной и радиационной гидродинамики, а в главе 4 строится диссипатив-ный (не строго) О-симметризатор для задачи для тангенциального МГД разрыва.

Предположение 1.6.1. Пусть для граничных условий (13) rank В —

■

п, т.е. векторы ['Р0(и)] ['Рк(и)] (к — 2,п) линейно независимы.

Из предположения 1.6.1 следует, что вектор-функция Е выражается через и1*1 на границе — 0. Это предположение является вполне естественным, т.к. оно справедливо для всех известных примеров ударных волн. Более того, в [22] показано, что оно всегда выполняется для равномерно устойчивых ударных волн.

Теорема 1.6.1. Пусть выполнены условия Лакса, предположение 1.6.1 и пусть задача (12), (13) с постоянными коэффициентами имеет строго диссипативный р-симметризатор. Тогда для этой задачи справедлива априорная оценка

для всех Ь € [0, Т]. Здесь Т — положительная постоянная; С = С(Т) — положительная константа, независящая от начальных данных и правых частей.

Вывод априорной оценки (15) основан на стандартном энергетическом методе вывода оценок. При этом из строгой диссипативности граничных условий следует оценка следа решения в старшей норме. С учетом предположения 1.6.1 это в свою очередь дает выигрыш одной производной для возмущения фронта разрыва, что очень важно для последующего нелинейного анализа. Так как оценка (15) без потери гладкости, то из нее выводится такое следствие.

Следствие 1.6.1. Пусть квазилинейная симметрическая гиперболическая система удовлетворяет либо условиям блочной структуры Аграновича-Ма](1а [10, 11} либо условиям МёИтег^итЬгип'а [21]. Тогда, если задача (12), (13) (с постоянными коэффициентами) для случая лаксовских ударных волн имеет строго диссипативный р-симметризатор, то для нее выполнено равномерное условие Лопатинского,

±

(15)

т. е. соответствующая ударная волна равномерно устойчива.

Наконец, в параграфе 1.7 результат параграфа 1.6 переносится на случай переменных коэффициентов, а затем доказывается локальная по времени теорема существования и единственности решения с ударной волной исходной нелинейной задачи при условии, что соответствующая линеаризованная задача обладает строго диссипативным р-симметри-затором.

Теорема 1.7.1. Пусть линейная задача с постоянными коэффициентами (12), (13) имеет строго диссипативный р-симметризатор. Пусть начальные данные (7) удовлетворяют условию гиперболичности Ао > 0 (при х 6 условиям Лакса и условиям согласования (см. [22]). Предположим также, что (и0|Ж1>01 По^со, /о) € О для всех х 6 Тогда для всех

(и0,Л) € {И^ад П ТУа'(К!1)} х И^+^Г1-1),

где з > [тг/2] + 2, существует такое достаточно малое время Т > О, что задача (5)-(7) имеет единственное решение

(и,/) 6 гь := {адо,Т]1®+)П-У.([0,Т]|К-)} X ^2+1([0,Т] х к"-!),

где

к

:= П с'ао.пи^-'та)

3=0

с нормой ¡| ■ Их,, = (тах^ ¡¡ЮХОШи^ •

Эта теорема имеет очень важное значение для всей работы, поскольку она применяется для ударных волн в МГД и радиационной гидродинамике. А именно, ссылаясь на эту теорему, из факта построения априорной оценки с помощью техники интегралов энергии для линейной задачи с постоянными коэффициентами можно делать вывод о структурной (нелинейной) устойчивости соответствующей ударной волны (в смысле локального существования и единственности решения нелинейной задачи). С некоторыми непринципиальными изменениями теорема вида теоремы 1.7.1 была впервые доказана Влохиным [4, 5] для равномерно устойчивых газодинамических ударных волн. В этом смысле теорема 1.7.1 является обобщением теоремы из [4, 5] на

случай абстрактных гиперболических законов сохранения. Доказательство теоремы 1.7.1 основано на применении теоремы Банаха о неподвижной точке. С этой целью вначале проводится анализ линеаризованной задачи (12), (13) с переменными коэффициентами. В априорной оценке для этой задачи используется следующая норма вектор-функции (u(t,x),<p(t,x')) eRN xR:

■Л/тК V») ■■= Y1 {Ни11ъ<[о,Т]щ) + llu±llwi{to,r]xR»-i}}

+1М1и'2м-,([°.:г]хк»-1)»

где к — неотрицательное целое число. Для заданного целого числа s > [п/2] + 2 рассматривается (U,/) € с некоторым временем Т > 0. Предположим, что существует константа М > 0 такая, что

Щ Ф,/)<М. (16)

Теорема 1.7.2. Пусть для заданного целого т >р задача (12), (13) с "замороженными" коэффициентами

(U|,1>0,U|X1<0,F) = (U+,U-,o-)

имеет строго диссипативный р-симметризатпор (р < [п/2] + 2) и вектор-функция (U, /) £ Zj., где s = шах{ш, [п/2] + 2} , удовлетворяет условиям Лакса и неравенству (16). Тогда для всех начальных данных

U0 € W2mTO П И^п(ЗС), /о € W2m+1(Mn-1),

f* € WT([0,T] хЩ, g € W2m([0 ,Г] х К"-1),

удовлетворяющих условиям согласования вплоть до порядка m — 1 включительно, смешанная задача (12), (13), (7) имеет единственное решение (U, /) € Z™ . При этом имеет место априорная оценка

U,/) < С(Г,М)| J2 {llf±Hwr«o,T]xKj) + ll|Uoilkr(K1)}

+ l|g||w2"4[0.t]xR—!) + ll/oilvv2m + l(K»-^) | • (17)

Здесь С = С(Т,М) — положительная постоянная, зависящая от Т и М, но независящая от начальных данных и правых частей.

Вывод априорной оценки (17) опирается на энергетический метод и стандартную технику, основанную на применении неравенств Гальярдо-Ниренберга. Далее нелинейный результат теоремы 1.7.1 следует из теоремы 1.7.2 и теоремы Банаха о неподвижной точке (принципа сжимающих отображений).

В главе 2 с помощью техники диссипативных интегралов энергии выводится априорная оценка без потери производных для линеаризованной задачи для быстрых МГД ударных волн в политропном газе при слабом магнитном поле. Получение этой оценки может быть формализовано с помощью введенного в главе 1 понятия р-симметризатора (фактически для линеаризованной задачи строится строго диссипатив-ный 2-симметризатор). Поэтому с учетом доказанной в главе 1 теоремы 1.7.1 делается вывод о структурной устойчивости быстрых МГД ударных волн при слабом магнитном поле, т.е. при условии, что начальные данные нелинейной задачи кроме всего прочего должны удовлетворять требованию малости (обезразмеренного) вектора магнитного поля.

В параграфах 2.1, 2.2 выписываются уравнения МГД для идеальной сжимаемой жидкости и соответствующие условия Ренкина-Гюгонио для них, дается классификация сильных МГД разрывов и определение быстрых и медленных ударных волн. Уравнения МГД в виде законов сохранения имеет вид

рг + ¿¿у {рч) ~ 0,

(ру)е + сИу (р\ ® V - Н ® Н) + V? = 0 ,

Не — ГОЦухН) = 0,

(рЯ + Р^ + И) + (Цу^я+^+ру) +НХ(ухН)) =0.

Здесь р, V = Ц,«2,«з), Н = (Н\,Н2,Нз), р — соответственно плотность, скорость, магнитное поле и давление газа, д = р 4- ¡Н|2/2 — полное давление; Е = Е(р, Б) — внутренняя энергия, Б — энтропия, V =г 1 /р. С учетом термодинамического тождества Тс1,3 — йЕ 4- рвУ система МГД является замкнутой системой уравнений. Дивергентное ограничение сПуН = 0 является ограничением на начальные данные для системы МГД. Для неизвестного и = (р, V, Н, 5) уравнения МГД, записанные в недивергентном виде, являются симметрической систе-

мой вида (3). Условие ее гиперболичности (Ао > 0) выполняется при естественных физических условиях р > 0, с2 = {р2Ер)р > 0. Соотношения Ренкина-Гюгонио для МГД записываются так:

[;/■]= 0, [Ям] = 0, ¿Ы + [?]=0, Яут) = НН[Кг],

НкЬгг] =з[УШт

VI2 |Н|2

Е+ Чг- +

2 2 р

+

■НУ* ,тт \

= о.

Здесь у = р(уу — /г) — поток массы через поверхность разрыва, Нн = (Н,]Я) , Од - , ЬТ, = (у,Т() , Ни = (Н,т<) , п = (Л, ,1,0) ,

Г2 = (/«,,0,1) , (гь1Ч) = 0 , г = 1,2 ; - (г;Г1,1>Г2) , Нт = (НТ1,НТ2), N = (1, —/г2, —/хз) ■ Ударными волнами являются разрывы, для которых з Ф 0, [р] /0.В МГД существуют три вида характеристических разрывов: тангенциальный разрыв 0 = 0, Як = 0), контактный разрыв (,7=0, Ян ф 0) и вращательный разрыв {] ф 0, [р] = 0). При этом лак-совские (эволюционные) МГД ударные волны — это быстрые ударные волны (индекса 1) и медленные ударные волны (индекса 3).

В параграфе 2.2 численно находится область допустимых параметров, удовлетворяющих соотношениям Ренкина-Гюгонио, условиям Лак-са, условию возрастания энтропии и т.д., для плоских быстрых ударных волн в политропном газе для случая двух пространственных переменных. В параграфе 2.3 формулируется линеаризованная задача для быстрых МГД ударных волн, а в параграфе 2.4 для нее выводится упомянутая выше априорная оценка для случая слабого магнитного поля и в двумерном случае. В силу теоремы 1.7.1 из нее следует следующая локальная теорема существования для нелинейной задачи.

Теорема 2.4.1. Пусть начальные данные для нелинейной задачи для системы МГД для политропного газа таковы, что в начальный момент времени t = 0 выполняются условия гиперболичности и условия Лакса с индексом к — 1 (для быстрых ударных волн). Пусть также начальные данные удовлетворяют соответствующим условиям согласования вплоть до порядка 5 — 1 включительно, где з >3, и существует такое достаточно малое положительное число е 1, что для начальных данных на ударной волне выполнено условие слабости магнитного поля: |Но(±0, г2)|2/ро(±0,жг) < е для всех Х2 € М. Тогда для всех

(и0, /о) € {Ида2.) П И7(й1)} х Ж28+1(Е), где 5 > 3, существует такое достаточно малое время Т > 0, что

задача (5)-(7) для системы МГД для политпропного газа имеет единственное решение (и,/) 6 (см. теорему 1.7.1).

Вывод априорной оценки для линейной задачи основывается на определенном обобщении техники, использованной ранее Блохиным для ударных волн в газовой динамике. Как и в газовой динамике, ключевую роль играет волновое уравнение для возмущения давления, но в МГД в нем присутствует "магнитная" добавка:

д2гр-д1р-д1р+^АЯ = О,

где д = + /¿2 < 1 (слабое поле), /ц = Н^/(сл/р), <5 = (Ь,Н), Н =

(ЯЬЯ2),Ъ = {-НфМ/д) (|Ь| = 1)Д = (.м/ь2)дид1 = д^м2/ъ*)ди

д2 - (1 /Ь)д2, ъ - у/1 - М2 6 К+; М = — число Маха. Из послед-

него уравнения выводится следующая (симметрическая по V) система:

BoYt + вхУХ1 + В2УХ2 + £ I АС* = О при X! > 0, (18)

где С} = {дгЯ,_дгЯ,д2Я), V = (УьУ2,_У_3)! V! = дг{д1Р,д1Р,д2р), Yi = д.^\(д1Р,д1р,д2р), г = 2,3; Рк (к — 1,3) — произвольные симметрические, а Р4 — произвольная антисимметрическая матрица порядка 3; симметрические матрицы Ва, зависящие от Р^, выписаны в диссертации. Далее решающее значение играет тот факт, что с учетом сНу II — О получается дивергентное представление

(V, ( 5 ) ДЧ) =

Это позволяет выписать интеграл энергии для системы (18). Граничные условия для нее являются в некотором смысле малым возмущением (при д < 1) коэффициентов соответствующих граничных условий в газовой динамике [33]. Эти граничные условия удается сделать диссипативными для достаточно малого д. В итоге получается оценка для всех компонент решения, вывод которой можно формализовать как построение строго диссипативного 2-симметризатора. Вопрос о выводе аналогичной оценки для трехмерного случая обсуждается в параграфе 2.5 на примере параллельных ударных волн.

В главе 3 предлагается эквивалентное определение условия Лопа-тинского и равномерного условия Лопатинского для линеаризованной задачи для случая лаксовских ударных волн индекса 1 (точнее, для всех линейных гиперболических задач, обладающих аналогичным свойством для характеристик). Это определение позволяет аналитически проверять условие Лопатинского и равномерное условие Лопатипского для ряда случаев, не поддающихся анализу с помощью стандартного определения. В параграфе 3.1 дается следующее определение (не нарушая общности, рассматривается случай трех пространственных переменных) для смешанной задачи для системы

з

+ X) = 0 ' > 0 > <19)

к=1

с граничными условиями вида

С0и + (?1и4 + С2ия:з + СзИ^з = 0 , хх = 0 . (20)

Заметим, что к виду (20) приводятся линеаризованные условия Ренкина-Гюгонио для плоского разрыва при выполнении предположения 1.6.1.

Определение 3.1.1. Будем говорить, что смешанная задача в полуплоскости £1 > 0 для симметрической ¿-гиперболической системы (19) с граничными условиями (20) удовлетворяет свойству 1-з1юск, если

1). Граница х\ — 0 не является характеристической, т.е. с^ ф 0;

2). Среди собственных чисел Ах < ... < Ап матрицы Ах только одно число отрицательное, а остальные положительные:

Ах < 0 , А2,...,А„>0.

Свойством 1-зЬоск обладают естественно все линеаризованные задачи для ударных волн индекса 1. Используя некоторые технические идеи работы [16] (в этой работе равномерная устойчивость не исследовалась), можно сформулировать следующие эквивалентные определения условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для задач со свойством 1-БЬоск.

Определение 3.1.2. Для задачи (19), (20) выполнено условие Лопатинского, если <1еЬ(}(г),£,ы,\) ф 0 для всех г) > 0, € К3, где А — решение характеристического уравнения ёе^йАо + ХАх + Ш2А2 +

Ш3А3) = 0 со свойством ReA > 0. Здесь s = rj + — переменная Лапласа, матрица Q — матрица из алгебраической системы <7Х = 0, составленной из уравнения

XMiÜo = О

и п — 1 линейно независимого уравнения системы

(sA0 + \At + iu2Ä2 + ги>3 Л3)Х = 0,

где Uo — постоянный вектор, удовлетворяющий граничным условиям для преобразования Фурье-Лапласа U(a;i).

Определение 3.1.3. Для задачи (19), (20) выполнено равномерное условие Лопатинского, если det ш, А) ф 0 для всех Т] > 0, (£, ш) € Ж3 (Л2 + £2 + \ш\2 Ф 0), где А — решение характеристического уравнения со свойством ReA > 0 и A(0,£,w) = lim A(tj,£,cj) .

Ч-++0

Основным преимуществом определений 3.1.2, 3.1.3 является прежде всего возможность аналитического нахождения определителя Лопатинского, для выписывания которого уже не нужно, как в общем случае, искать явно собственные числа А, зависящие от параметров преобразования Фурье-Лапласа s и ш , а затем либо приводить матрицу A4(s,u>) — —A^1{sAq +VJJ2A2 + Ш3А3) к форме Жордана, либо к форме Шура. Отметим, что, скажем, для линейной задачи для быстрой МГД ударной волны технически невозможно, пользуясь обычным определением, описать область выполнения равномерного условия Лопатинского (а также и просто условия Лопатинского). Для случая параллельной быстрой ударной волны удается аналитически найти область ее равномерной устойчивости, т.е. существенно уточнить результат работы [16], в которой исследовалась только слабая устойчивость.

Теорема 3.1.1. Быстрая параллельная МГД ударная волна в поли-тропном газе равномерно устойчива тогда и только тогда, когда

F (м + 2/(7-1)) > 0 ,

где F(z) = {zM - 1 )zi + q2{(zM - 1 )(z2 - 2)z2 - q2(z2 - l)2} .

В параграфе 3.2 предлагается алгоритм численной проверки условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского, основанный

на определениях 3.1.2, 3.1.3, для линеаризованных задач для лаксов-ских ударных волн индекса 1, с помощью которого впервые проводится полный анализ устойчивости быстрых МГД ударных волн в политроп-ном газе для двумерных возмущений в общем случае (без ограничений на угол наклона >р магнитного поля к фронту волны). То есть численно находятся границы областей равномерной устойчивости, нейтральной устойчивости и неустойчивости. В диссертации приведены рисунки для различных углов (р для области допустимых параметров Мо и д, где Мо — быстрое магнитное число Маха за волной, а д — обезразмеренное магнитное поле (см. (18)). С учетом недавнего результата [21] из равномерной линеаризованной устойчивости МГД ударных волн следует их структурная нелинейная устойчивость (в смысле локальной теоремы существования типа теоремы 1.7.1).

В параграфе 3.3 результат теоремы 3.1.1 обобщается на случай релятивистских уравнений МГД. При этом рассматривается общее уравнение состояния релятивистского газа. Найдены точные условия равномерной устойчивости, нейтральной устойчивости и неустойчивости быстрой параллельной ударной волны (они технически очень сложные и поэтому здесь не приводятся). В частности, показано, что области неустойчивости и слабой устойчивости полностью совпадают с соответствующими областями для ударной волны в релятивистской газовой динамике, найденными Конторовичем [34]. В то же время магнитное поле уменьшает область равномерной устойчивости по сравнению с соответствующей областью в релятивистской газовой динамике.

Глава 4 посвящена характеристическим разрывам в МГД, а именно, в ней исследуются тангенциальный и вращательный разрывы. Основной результат главы 4 связан прежде всего с тем, что впервые аналитически находятся достаточные условия трехмерной нейтральной устойчивости тангенциального МГД разрыва. Это удается сделать с помощью так называемой "вторичной" симметризации уравнений МГД. В параграфе 4.1 выписывается новый симметрический вид уравнений МГД, который играет решающее значение при исследовании решений системы МГД с поверхностью тангенциального разрыва. С этой целью, с учетом гПу Н — 0 из системы МГД, записанной в симметрическом виде (3), следует

з

РА0 и4 + £ Ак1]Хк + Я&уН = 0, (21)

1

где К = АГ; матрица Р = Р(и), вектор Г = Г(и) и функция А = А(и)

— пока произвольные. В диссертации выписывается такая матрица Р, зависящая от А, и такой вектор Р (= (1,0, Н, 0)), что система (21) снова является симметрической ("вторичная" симметризация):

з

Л)(и)и4 + = 0 . (22)

Симметрическая система (22) является гиперболической, если Ло > 0 (из этого следует, в частности, что с1е1Р ф 0). Последнее требование вьшолняется, если неравенства р > 0, {р2Ер)р > 0 справедливы вместе с дополнительным условием

рА2<тт^- (23)

где са = |Н|/у/р — альфвеновская скорость.

Утверждение 4.1.1. Пусть условия гиперболичности р > 0, (р2Ер)р > 0 и, соответственно, эти условия, дополненные неравенством (23), выполняются для систем (3) и (22), а начальные данные для этих систем удовлетворяют ограничению сНу Н = 0. Пусть функция А — А(и) : ®8 —> Е — достаточно гладкая функция своих аргументов. Предположим также, что [0, Т] — интервал времени, на котором обе гиперболические системы (3) и (22) имеют единственное классическое решение. Тогда на интервале [0,Т] классические решения задач Коши для этих систем совпадают.

На самом деле аналогичное утверждение может быть доказано и для решений с поверхностью тангенциального разрыва. На гладкой гиперповерхности Г (4) тангенциального МГД разрыва условия Ренкина-Гюгонио выполняются следующим образом:

Л = я£ = 0, [д] = 0.

В параграфе 4.2 доказывается, что условия параллельности магнитного поля фронту разрыва являются ограничением на начальные данные.

"Утверждение 4.2.1. Уравнение сН\>Н = 0 в П±(^ = {а;! ^ х')} и условия Н^ = 0 на Г(£) являются ограничением па начальные данные

(и,ли=о = (и0(х),/0(х')), X' е к2, X е п±(0).

(В диссертации это утверждение формулируется в терминах "распрямленного" переменного XI := XI — /х'))- В параграфе 4.2 формули-

руется также линеаризованная задача с постоянными коэффициентами для плоского тангенциального разрыва. Для этой задачи доказывается

Лемма 4.2.1. Для линейной смешанной задачи для плоского тангенциального МГД разрыва равномерное условие Лопатинского никогда не выполнено.

В параграфе 4.3 с помощью симметрического вида (22) выводится априорная оценка решения линейной смешанной задачи. При этом достаточные условия нейтральной устойчивости тангенциального разрыва следуют из условия гиперболичности (23) для удачно подобранной кусочно-постоянной функции А, для которой линейная задача с постоянными коэффициентами обладает сохраняющимся интегралом. Для этой задачи по существу строится диссипативный О-симметризатор S = {-Р+, Р~, R+,R-}, где Р± = Р(и±), R± = R(ܱ).

Теорема 4.3.1. Если Н+ х Н~ ф 0 и

|[v], < | sin(^ - <р~)\min { , _JC_} , {24)

то выполнено условие Лопатинского и справедлива априорная оценка

]С И1и(*)111^(н1) + H/llwj([o,rjxR») < ^l^lll^H^'^do.TlxK^)

+llluolllv?a,(Ri)} + Hsl!w22ao,T]xR») + ll/ollw^R^I (25)

при t e [О, Г]. Здесь 7± = с±Сд/-у/(c±)2 + (¿д )2 , ^ — угол между [v]

и Н±; Т > 0, С = С (Г) > 0 - константы. Если Н+ хН" =0, H±x[vj=0u

|[v]| < max {max{7+,7~} , 2min{7+,7"~}} ,

то выполнено условие Лопатинского и имеет место более слабая оценка (в оценке (25) f и /о в Li -норме). Последний случай соответствует переходу к некорректности. Здесь

li[U(t)[|j~^R3j = ll|Un(i)|||^(R|)+|||Uta„(i)lil2W2l.-(R|), Un = (д^иНг),

29

а1 =0, а0 + |а| < 1

(В диссертации оценка (25) выписана для случая ^ = 0, § е 0. Здесь принято во внимание замечание 4.3.3 из диссертации).

Важно отметить, что достаточное условие (24) нейтральной устойчивости тангенциального МГД разрыва не может быть найдено спектральным методом. Так кале в силу леммы 4.2.1 разрыв может быть только нейтрально устойчивым, то естественным в оценке (25) является потеря одной производной от § и одной производной для фронта Поскольку тангенциальный разрыв характеристический, то потеря контроля над производными по нормальному направлению от "характеристических" неизвестных иЬап также является вполне естественной.

В параграфе 4.4 априорная оценка (25) переносится на случай переменных коэффициентов и неплоского разрыва. Для случая переменных коэффициентов естественными функциональными пространствами являются весовые анизотропные пространства Соболева {— Н™).

Они определяются следующим образом (см., например, [28]). Пусть т > 1, П = Р4 или п = й- ■ Тогда

ИЪт,':={и€12(П) :| е Ь2{П) , \а\+2к<т},

М&г-е» := £ 11Э?0М1!а<П). Э^ИхО^Г1^?3-

|а|+2к<т

где функция <7(3:1) 6 С00(К+)ПС00(Е_) такая, что а(х 1) = |хх| в окрестности нуля и сг(х1) = 1 при [гсх ] > 1.

Теорема 4.4.1. Пусть основное состояние (и, /), 4

(и,/) € { П П И&М- И^М))} X Ш!([0,Т] х Е2),

удовлетворяет соотношениям на тангенциальном разрыве при Х\ — 0 и условиям гиперболичности (р > 0, с? > 0) при х € . Пусть, более того, существует константа 8 > 0 такая, что |Ь+(£,х') хЬ~(£, х')| > 6 > 0 для всех 4 е [0, Т], х' 6 К2 и условие

г(г,х) <Ь(<,х) (26)

выполнено для всех t € [О, Т] и таких х € , что й+(£, х') ф х'),

где Ь = (Нк,Н2, Й3), й = (ад - /{, Оз, «з),

Тогда для линеаризованной задачи с переменными коэффициентами справедлива оценка

£|!|и(*)|||^(1ф + \\fWwi([О,Т]**») < с|^{||Г±||И,1.»([0171хща;) +|ци0

при г 6 [0,Т]. Здесь Т > О, С(Т,О,/) > 0 — константы,;

ши(4)||!|й--(и1) = шиюн&г-ач) + .

2 Г 2

J о

Вывод оценки (27) основан на обобщении техники, использованной для случая постоянных коэффициентов, на переменные коэффициенты (неравенство (26) — аналог (24)), аккуратном анализе для младших членов и использовании неравенства Гальярдо-Ниренберга (дабы не завышать требования на основное состояние). Априорная оценка (27) является базовой оценкой. Справедливо следующее

Следствие 4.4.1. Пусть выполнены все условия теоремы 4-4-1 и (и,/) € {П п ^¿([О-П^Г''^))} X И/28+1([0,Т] х К2)

± 3=0

для некоторого в > 8 . Пусть 1 < т < в . Тогда справедлива оценка

± к ±

31

+ ll|Uo|||^m,,(R3 ) j + llgllw^+^lo.TjxR3) + ll/o|lwi"(R") f • (28)

Предполагая, что существование решения нелинейной задачи уже доказано, нетрудно показать единственность этого решения. А именно, имеет место следующее следствие из оценки (28).

Следствие 4.4.2 (теорема единственности). Пусть т > 8 и для некоторого достаточно малого Т > 0 существует решение исходной нелинейной задачи (после "распрямления" разрыва)

т

{13, f) € { П П С>([0,Г], W2m_J>(®±))} х Щ"([0,Т] х R2) ± }=0

с начальными данными (U0,/0) € | f|± VV2m,<T(P4)} х W^([Q,T] х R2), удовлетворяющими условиям согласования вплоть до порядка т — 1. Пусть начальные данные удовлетворяют неравенствам на (U,/) из теоремы 4-4-1 (после соответствующих переобозначений), а Т мало настолько, чтобы гарантировать выполнение этих неравенств для решения (U,/) при t € [0,Т]. Тогда (U, /) — единственное решение нелинейной задачи.

В главе 4 исследуется также устойчивость вращательного разрыва. А именно, описывается единственный пока результат, касающийся устойчивости вращательного разрыва в сжимаемой жидкости. В параграфах 4.5, 4.6 формулируется соответствующая линеаризованная задача и ее эквивалентные постановки, а в параграфе 4.7 доказывается неустойчивость вращательного разрыва при сильном магнитном поле путем построения примера некорректности типа примера Адамара.

В главе 5 рассматривается модель идеальной радиационной гидродинамики, предложенной Anile, Pennisi и Sammartino [30] и представляющей собой гиперболическую систему балансовых законов, описывающих взаимодействие между сплошной средой и радиацией. В параграфе 5.1 рассматривается более простой случай модели радиационной гидродинамики, когда сплошная среда неподвижна. Для этого (нерелятивистского) случая система состоит только из радиационных уравне-

ний:

dtJ + div H = -p0K(J - В),

(9tH + divX: = -ро«Н.

Здесь J — плотность энергии радиации, Н = (Hl,H2,H3) — JA = J (А1, Л2, Л3) — поток энергии радиации, ¡C — радиационный тензор напряжений с компонентами

Rij = J {т5ij+^^ } • iJ = 2'3;

tfi = 1 — (р, ip2 = V — v(^) = (2 — л/4 — ЗА) — модифицированный множитель Эддингтона, А = [Л|2; ро — плотность сплошной среды, через которую распространяется радиация, к — коэффициент абсорбции (р0к — 1), В = B(t,x) — заданная функция источника. Система (29) — замкнутая для вектора неизвестных U = (J, Н). Уравнения (29) были симметризованы в [30].

В параграфе 5.2 для системы (29) доказывается глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для начальных данных, близких к постоянным, т.е. вблизи положения "постоянного" термодинамического равновесия.

Теорема 5.2.2. Пусть В = В~с€ ¿«.(К, W23(M3)) П С(К, 1У23(К3)), где с — const > 0 . Пусть в начальный момент выполнены условия гиперболичности и другие физические ограничения (см. диссертацию). Пусть начальные данные Uo(x) € (К3) пе сильно отличаются от "постоянного" термодинамического равновесия (с, 0,0,0). Тогда для всех t, 0 < t < Т < оо, где Т — любое число, существует единственное гладкое решение задачи Коши для системы (29):

U = U(t,x) € С([0,Т], 1723(R3)) ПС1 ([0,Г],íf22(Е3)).

В параграфе 5.3 формулируется линеаризованная задача для нерелятивистских радиационных ударных волн, а в параграфе 5.4, по существу, доказывается их структурная (нелинейная) устойчивость путем построения априорной оценки для этой задачи с помощью техники интегралов энергии и ссылки на теорему 1.7.1. Техника вывода априорной оценки может быть формализована как построение строго диссипатив-ного 2-симметризатора, конструкция которого аналогична соответствующему сим метризатору для ударных волн в газовой динамике. Аналогичный результат для релятивистских радиационных ударных волн

описывается в параграфе 5.6. Сами уравнения релятивистской радиационной гидродинамики имеют вид [30]:

аЛ» + Е*=1 = 4тгЯ, 3 = 1,2,3,

(30)

9А + £1,1 = -Г, ^ = ОД

Здесь

= + «° = Г, = (11ав(-1,1,1,1),

= Л"«" + и"Я" + + Ь^К«" + 0"") + Щ-Н^Н" ;

О «/

Я0 = (V, Н), Н = (Я1, Я2, Я3); 1 — плотность энергии радиации, и — Гу; (Я0, Я1, Я2, Н3) — 4-поток энергии радиации, <рх = 1 — ф, ц>2 =

Ф = <^(А) = 2 - у^ЗА, А = ¿) Я"Я^/,72; /" = рк{Я" + «"(7 -

>1=0

В)}; к — коэффициент абсорбции, В — аТ4, — функция источника в форме Планка, а — постоянная Стефана-Больцмана. Система (30) — замкнутая для вектора неизвестных и = (р, в, и,./, Н).

Как и в МГД, для системы (30) существует 2 вида эволюционных ударных волн: ударные волны индекса 1 ("быстрые") и индекса 3 ("медленные"). В параграфе 5.6 доказывается равномерная устойчивость "быстрых" радиационных ударных волн при определенных ограничениях на уравнение состояния путем построения строго диссипативного 2-симметризатора. Главная часть его конструкции — это часть, отвечающая за уравнения релятивистской газовой динамики (первые четыре уравнения в (30)), а уравнения для радиации играют, в некотором смысле, пассивную роль. Наконец, в параграфе 5.7 доказывается неустойчивость "медленных" релятивистских радиационных ударных волн путем построения примера некорректности для соответствующей линеаризованной задачи.

В приложении А исследуются сильные разрывы для одной неклассической модели МГД, которая также выписывается в виде гиперболических законов сохранения. Это так называемая система уравнений

МГД с анизотропным давлением, описывающая движение бесстолкно-вительной плазмы в сильном магнитном поле. Эти уравнения были получены в [29]. Соответствующие результаты для ударных волн и вращательного разрыва в этой модели выносятся в приложение, поскольку являются в некотором смысле техническим обобщением соответствующих результатов глав 3 и 4 для классической МГД.

В приложении В для тангенциального разрыва в МГД несжимаемой жидкости описывается результат, аналогичный результату из главы 4 для случая сжимаемой среды. Заметим, что хотя формально система уравнений МГД для несжимаемой жидкости и не является системой гиперболических законов сохранения (собственно, поэтому ее исследование и относится в приложение), но техника получения априорных оценок для задачи с граничными условиями на поверхности тангенциального разрыва аналогична "гиперболическому" энергетическому методу. Вместе с тем, в технике построения априорных оценок для МГД тангенциального разрыва в несжимаемой среде имеется и определенное принципиальное отличие от энергетического метода для гиперболических задач. Оно связано прежде всего с тем, что, как известно, для линеаризованных уравнений МГД несжимаемой жидкости возмущение полного давления q является "эллиптической" неизвестной.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Вольперт А.И., Худяев С.И. О задачи Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Мат. сб. Т. 87 (1972), No. 4, 504-528.

[2] Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. SIAM Reg. Conf., No. 11, Philadelphia, 1973.

[3] Kato T. The Cauchy problem for quasi-linear symmetric hyperbolic systems. Arch. Rational Mech. Anal. 58 (1975), 181-205.

[4] Влохин A.M. Оценка интеграла энергии смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне. СМЖ. Т. 22 (1981), No. 4, 23-51.

[5] Влохин A.M. Единственость классического решения смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне. СМЖ. Т. 23 (1982), No. 5, 17-30.

[6] Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws (II). Commun. Pure and Appl. Math. 10 (1957), 537-566.

[7] Majda A. The stability of multi-dimensional shock fronts — a new problem for linear hyperbolic equations. Mem. Amer. Math. Soc. 41 (1983), no. 275.

[8] Majda A. The existence of multi-dimensional shock fronts. Mem. Amer. Math. Soc. 43 (1983), no. 281.

[9] Kreiss H.-O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems. Commun. Pure and Appl. Math. 23 (1970), 277-296.

[10] Агранович M.C. Теорема о матрицах, зависящих от параметров и ее приложения к гиперболическим задачам. Функц. Анализ. Т. 6 (1972), No. 2, 1-11.

[11] Majda A., Osher S. Initial-boundary value problems for hyperbolic equations with uniformly characteristic boundary. Commun. Pure and Appl Math. 28 (1975), 607-675.

[12] Дьяков С.П. Об устойчивости ударных волн. ЖЭТФ. Т. 27 (1954), No. 3, 288-295.

[13] Конторович В.М. К вопросу об устойчивости ударных волн. ЖЭТФ. Т. 33 (1957), No. 6, 1525-1526.

[14] Иорданский С.В. Об устойчивости плоской стационарной ударной волны. ПММ. Т. 21 (1957), вып. 4, 465-472.

[15] Erpenbeck J.J. Stability of step shocks. Phys. Fluids 5 (1962), 11811187.

[16] Gardner C.S., Kruskal M.D. Stability of plane magnetohydrodynamic shocks. Phys. Fluids 7 (1964), 700-706.

[17] Ахиезер А.И., Любарский Г.Я., Половин P.B. Устойчивость ударных волн в магнитной гидродинамике. ЖЭТФ. Т. 35 (1958), 731737.

[18] Блохин A.M., Дружинин И.Ю. Устойчивость ударных волн в магнитной гидродинамике. СМЖ. Т. 30 (1989), No. 4, 13-29.

[19] Lessen М., Deshpande M.V. Stability of magnetohydrodynamic shocks waves. J. Plasma Physics 1 (1967), no. 4, 463-472.

[20] Филиппова О.Л. Устойчивость плоских МГД ударных воли в идеальном газе. Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, 1991, No. 6, 128-136.

[21] Metivier GM Zumbrun К. Hyperbolic boundary value problems for symmetric systems with variable multiplicities. J. Differential Equations 211 (2005), 61-134.

[22] Metivier G. Stability of multidimensional shocks. Advances in the Theory of Shock Waves, Progress in Nonlinear PDE, 47, Birkhauser, Boston, 2001.

[23] Баранов В.Б., Краснобаев К.В., Куликовский А.Г. Модель взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой. Докл. АН СССР. Т. 194 (1970), вып. 1, 41-44.

[24] Parker E.N. Dynamical properties of stellar coronas and stellar winds. III. The dynamics of coronal streamers. Astrophys. J. 139 (1964), 690709.

[25] Fejer J.A. Hydromagnetic stability at a fluid velocity discontinuity between compressible fluids. Phys. Fluids 7 (1964), 499-503.

[26] Ruderman M.S., Fahr H.J. The effect of magnetic fields on the macroscopic instability of the heliopause. II. Inclusion of solar wind magnetic fields. Astron. Astrophys. 299 (1995), 258-266.

[27] Yanagisawa Т., Matsumura A. The fixed boundary value problems for the equations of ideal magnetohydrodynamics with a perfectly conducting wall condition. Comm. Math. Phys. 136 (1991), 119-140.

[28] Secchi P. Well-posedness of characteristic symmetric hyperbolic systems. Arch. Rational Mech. Anal. 134 (1996), 155-197.

[29] Chew G.F., Goldberger M.L., Low F.E. The Boltzmann equation and the one-fluid hydromagnetic equations in the absence of particle collisions. Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 236 (1956), 112-118.

[30] Anile A.M., Pennisi S., Sammartino M. Covariant radiation hydrodynamics. Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 56 (1992), 49-74.

[31] Годунов С.К. Интересный класс квазилинейных систем. Докл. АН СССР. Т. 139 (1961), 521-523.

[32] Годунов С.К. Симметрическая форма уравнений магнитной гидродинамики. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск. Т. 3 (1972), 26-34.

[33] Влохин A.M. Смешанная задача для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне. Изв. Сибирск. отдел. АН СССР, Сер. техн. наук, 1979, No. 13, 25-33.

[34] Конторович В.М. Об устойчивости ударных волн в релятивистской гидродинамике. ЖЭТФ. Т. 34 (1958), 186-194.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[35] Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике. СМЖ. Т. 34 (1993), No. 3, 3-18.

[36] Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением. СМЖ. Т. 34 (1993), No. 6, 10-22.

[37] Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением I. СМЖ. Т. 35 (1994), No. 1, 12-23.

[38] Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением II. СМЖ. Т. 35 (1994), No. 3, 10-20.

[39] Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of strong discontinuities in plasma with anisotropic pressure. J. Magnetohydrodynamics and Plasma Res. 4 (1994), 109-207.

[40] Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Investigation of the well-posedness of the mixed problem on the stability of fast shock waves in magnetohydrodynamics. Matematiche (Catania) 49 (1994), 123-141.

[41] Blokhin A.M., Romano V., Trakhinin Yu.L. Some mathematical properties of radiating gas model obtained with a variable Eddington factor. Z. angew. Math. Phys. 47 (1996), 639-658.

[42] Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Устойчивость ударных волн для одной модели радиационной гидродинамики. ПМТФ. Т. 37 (1996), No. 6, 3-14.

[43] Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Симметризация уравнений радиационной гидродинамики и глобальная разрешимость задачи Коши. СМЖ. Т. 37 (1996), No. 6, 1256-1265.

[44] Blokhin A.M., Romano V., Trakhinin Yu.L. Stability of shock waves in relativistic radiation hydrodynamics. Ann. Inst. H. Poincare Phys. Thior. 67 (1997), 145-180.

[45] Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Some aspects of the mathematical theory of strong discontinuities in continuum Mechanics. Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo serie II, 57 (1998), 5256.

[46] Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Hyperbolic initial boundary value problems on the stability of strong discontinuities in Continuum Mechanics. In: Hyperbolic problems: Theory, Numerics, Applications (ed. Fey M., Jeltsch R.), pp. 77-86, Basel, Boston, Berlin: Birkhauser, 1999.

[47] Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of fast parallel and transversal MHD shock waves in plasma with pressure anisotropy. Acta Mechanica 135 (1999), 57-71.

[48] Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of fast parallel MHD shock waves in polytropic gas. Eur. J. Mech. B/Fluids 18 (1999), 197-211.

[49] Anile A.M., Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Investigation of a mathematical model for radiation hydrodynamics. Z. angew. Math. Phys. 60 (1999), 677-697.

[50] Trakhinin Yu.L. On stability of shock waves in relativistic magnetohy-drodynamics. Quar. Appl. Math. 59 (2001), 25-45.

[51] Trakhinin Yu.L. On stability of fast shock waves in classical and relativistic MHD. In: Hyperbolic problems: Theory, Numerics, Applications (ed. Preistiihler H., Warnecke G.), pp. 911-919. Basel, Boston, Berlin: Birkhauser, 2001.

[52] Blokhin A., Trakhinin Yu. Stability of strong discontinuities in fluids and MHD. In: Handbook of mathematical fluid dynamics, vol. 1 (ed. Eriedlander S., Serre D.), pp. 545-652. Amsterdam: Elsevier, 2002.

[53] Blokhin A., Trakhinin Yu. Stability of strong discontinuities in magne-tohydrodynamics and electrohydrodynamics. New York: Nova Science Publishers, 2003.

[54] Trakhinin Yu. A complete 2D stability analysis of fast MHD shocks in an ideal gas. Comm. Math. Phys. 236 (2003), 65-92.

[55] Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Устойчивость сильных разрывов в магнитной гидродинамике и электрогидродинамике. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

[56] Trakhinin Yu. On the existence of incompressible current-vortex sheets: study of a linearized free boundary value problem. Math. Methods Appl. Sci. 28 (2005), 917-945.

[57] Trakhinin Yu. On existence of compressible current-vortex sheets: variable coefficients linear analysis. Arch. Rational Mech. Anal. 177 (2005), 331-366.

Трахинин Юрий Леонидович

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ СИЛЬНОГО РАЗРЫВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ: ПРИЛОЖЕНИЯ К МАГНИТНОЙ И РАДИАЦИОННОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 10.03.06. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ № 33.

Отпечатано в ООО "Омега Принт" просп. Академика Лаврентьева, 6, г. Новосибирск, 630090

Введение

0.1 Структурная устойчивость сильных разрывов для гиперболических законов сохранения. Актуальность вопроса . 5 0.2 Исторический обзор и основные методы исследования

0.3 Содержание работы.

0.4 Формулировка основных результатов

1 Локальное существование решений с ударной волной для абстрактных законов сохранения

1.1 Симметрический вид квазилинейных гиперболических систем

1.2 Постановка смешанной задачи с граничными условиями на поверхности сильного разрыва.

1.3 Постановка линеаризованной задачи.

1.4 Нахождение областей неустойчивости.

1.5 Равномерная и нейтральная устойчивость.

1.6 Строго диссипативный р-симметризатор и априорная оценка для задачи с постоянными коэффициентами.

1.7 Локальная теорема существования и единственности для нелинейной задачи.

2 Структурная устойчивость быстрых МГД ударных волн при слабом магнитном поле

2.1 Уравнения МГД для идеальной сжимаемой среды.

2.2 Соотношения на сильном разрыве и МГД ударные волны

2.3 Линеаризованная задача для быстрых МГД ударных волн

2.4 Вывод априорной оценки для случая слабого магнитного поля

2.5 О выводе оценки для трехмерного случая.

3 Равномерное условие Лопатинского для ударных волн индекса 1 и его приложение к МГД ударным волнам

3.1 Условие равномерной устойчивости быстрой параллельной

МГД ударной волны.

3.1.1 Линеаризованная задача для быстрой параллельной ударной волны.

3.1.2 Эквивалентные формулировки условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для гиперболических задач со свойством 1-shock.

3.1.3 Условие Лопатинского для задачи 3.1.1.

3.1.4 Равномерное условие Лопатинского для задачи 3.1.1 . 131 3.2' Полный анализ двумерной устойчивости быстрых ударных волн в политропном газе.

3.2.1 Численная проверка условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского.

3.2.2 Численное исследование устойчивости быстрых ударных волн

3.3 Уравнения релятивистской МГД.

3.4 Линеаризованная задача для параллельных ударных волн в релятивистской МГД.

3.5 Полный анализ устойчивости быстрых параллельных релятивистских МГД ударных волн.

4 Характеристические сильные разрывы: тангенциальный и вращательный разрывы в МГД

4.1 "Вторичная" симметризация уравнений МГД.

4.2 Линеаризованная задача для МГД тангенциального разрыва

4.3 Априорная оценка для задачи (4.17)—(4.19).

4.4 Анализ линеаризованной задачи с переменными коэффициентами для МГД тангенциального разрыва.

4.5 Линеаризованная задача для вращательного разрыва

4.6 Эквивалентные постановки задачи 4.5.1.

4.7 Неустойчивость вращательного разрыва при сильном магнитном поле.

5 Существование гладких решений и решений с ударной волной уравнений радиационной гидродинамики

5.1 Уравнения радиационной гидродинамики для неподвижной среды.

5.2 Существование глобального решения задачи Коши для системы уравнений (5.1), (5.2).

5.3 Линеаризованная задача для радиационных ударных волн

5.4 Вывод априорной оценки для задачи 5.3.2.

5.5 Уравнения релятивистской радиационной гидродинамики

5.6 Линеаризованная задача для релятивистских радиационных ударных волн.

5.7 Вывод априорной оценки для "быстрых" ударных волн

5.8 Неустойчивость "медленных" ударных волн.

0.1 Структурная устойчивость сильных разрывов для гиперболических законов сохранения. Актуальность вопроса

При движении различных сплошных сред (например, газа, плазмы и т.д.) часто образуются относительно тонкие переходные зоны больших градиентов, в которых параметры среды (плотность, давление, скорость, магнитное поле и т.д.) испытывают резкие изменения. Математическими моделями идеальных сплошных сред, т.е. таких, что процессами диссипации (например, вязкостью, теплопроводностью и т.п.) в них можно пренебречь, являются обычно гиперболические законы сохранения.

В этом случае упомянутые тонкие переходные зоны моделируются движущимися поверхностями сильного разрыва, на которых функции, описывающие движение сплошной среды, меняются скачком. В то же время, сами квазилинейные гиперболические системы уравнений обладают свойством образования сингулярностей (типа градиентной катастрофы) из гладких начальных данных за конечное время. То есть сильные разрывы в решениях гиперболических систем, например, ударные волны, являются их неотъемлемым свойством.

С другой стороны, формально рассматриваемое решение с поверхностью сильного разрыва, т.е. такое слабое решение квазилинейной гиперболической системы, которое является гладким с обоих сторон от разрыва, на по5 верхности которого выполняются так называемые соотношения Ренкина-Гюгонио, может реально не существовать даже локально по времени. В этом случае формально рассмотренный сильный разрыв не существует как физическая структура в рамках используемой математической модели, т.е. структурно неустойчив.

Таким образом, одним из отправных моментов исследования сильных разрывов для гиперболических законов сохранения должен являться вопрос их структурной устойчивости, т.е. вопрос, связанный с доказательством локального по времени существования и единственности решения с тем или иным видом сильного разрыва (например, с ударной волной). При этом ключевым пунктом в этом вопросе является проблема нахождения условий на кусочно-гладкие начальные данные, которые гарантируют наличие такой локальной теоремы существования и единственности (условия структурной устойчивости).

Сам термин "устойчивость сильного разрыва" был введен физиками и означает следующее. Пусть сильный разрыв является плоскостью. Пусть плоскость разрыва, а также параметры стационарного однородного потока сплошной среды перед и за разрывом слабо возмущены. Вопрос состоит в том ограничены ли со временем малые возмущения. Если да, то сильный разрыв называют устойчивым. В противном случае он называется неустойчивым. Понятно, что такое определение устойчивости есть, по существу, определение линейной (или линеаризованной) устойчивости плоского разрыва по отношению к малым возмущениям. Однако оказывается, что линейная (слабая) устойчивость не всегда гарантирует существование (по крайней мере, локально по времени) соответствующих разрывных решений гиперболической системы законов сохранения, т.е. структурную устойчивость.

С другой стороны, термин "устойчивость сильного разрыва" нужно понимать правильно. А именно, в идеале (для нелинейной постановки задачи) 6 он означает именно структурную устойчивость, т.е. локальную корректность соответствующей нелинейной задачи, но ни в КОЕМ СЛУЧАЕ не устойчивость по Ляпунову. Дело в том, что имеет смысл исследовать устойчивость по Ляпунову решений с поверхностью сильного разрыва только в том случае, когда доказана теорема существования таких решений глобально по времени или, по крайней мере, есть надежда, что такая глобальная теорема существования действительно имеет место. Для квазилинейных гиперболических уравнений в общем случае такой теоремы нет, как известно, даже для задачи Коши.

Необходимо, правда, отметить, что в одномерном случае (т.е. в случае одной пространственной переменной) при определенных условиях все же доказывается глобальная теорема существования слабых решений (теорема СШпт'а, 1965). Но в рамках диссертации нас будет интересовать только МНОГОМЕРНЫЙ случай, т.к., с одной стороны, именно он должен рассматриваться с физической точки зрения, а с другой стороны, математическая теория ударных волн для одномерных гиперболических законов сохранения имеет свое отдельное развитие. Отметим, что особняком стоит также случай скалярного закона сохранения, который тоже будет вне нашего рассмотрения, т.е. предполагается, что число законов сохранения БОЛЬШЕ ОДНОГО (для скалярного закона сохранения теория глобальных решений развита в работах Со1шау-8то11ег, Кружкова, Ьюпз-РегШате-ТасЫог; мы не приводим здесь точных ссылок, т.к. эта тематика выходит за рамки интересов диссертации).

Вопрос структурной устойчивости сильных разрывов (например, ударных волн) для различных моделей механики сплошной среды имеет огромное теоретическое и практическое значение. Так, например, для уравнений магнитной гидродинамики (МГД) это связано прежде всего с различными приложениями к астрофизике (солнечный ветер, межпланетные ударные волны и т.д.). Более того, в последнее время актуальность вопроса струк7 турной устойчивости возрастает в связи с многочисленными компьютерными расчетами течений сплошных сред с сильными разрывами. Понятно, что такие расчеты должны быть адекватны реальной физической картине явления. С этой целью необходимо придерживаться подхода математического моделирования, заключающегося в одновременном исследовании физической, математической и вычислительной моделей явления.

Что касается явления образования сильных разрывов (точнее соответствующих узких переходных зон больших градиентов, которые моделируются разрывами), то до проведения каких-либо расчетов необходимо быть уверенным в том, что сильный разрыв структурно устойчив, т.е. действительно существует как физическая структура в рамках "гиперболического" ("невязкого") приближения. Дело в том, что если сильный разрыв, введенный в рамках математической модели, неустойчив, то расчеты в таком случае могут быть абсолютно неадекватны физической модели рассматриваемого явления.

В связи с этим обратим особое внимание на современную ситуацию, связанную с расчетами уравнений МГД сжимаемой жидкости. В последние годы появилось очень много работ, в которых многомерные МГД течения рассчитываются с использованием вычислительных моделей, основанных на решении задачи Римана о распаде абстрактного одномерного МГД разрыва. Если в газовой динамике, по крайней мере, решен в полном объеме вопрос о структурной устойчивости ударных волн в политропном газе (см. ниже параграф 0.2, где приводится краткий исторический обзор), то в МГД не только не существует достаточных обоснований использования таких схем расщепления для расчета многомерных МГД течений, но и сам вопрос об устойчивости сильных разрывов еще далек от своего полного решения (см. параграф 0.2).

С другой стороны, ясно, что решение вопроса об устойчивости сильных разрывов является лишь первым, но необходимым этапом в матема8 тическом моделировании течений сплошных сред с поверхностями сильного разрыва. Так, например, в последнее время появилась серия работ (см. параграф 0.2), посвященных вязкой устойчивости ударных волн, т.е. устойчивости (в идеале нелинейной устойчивости по Ляпунову) ударных волн, рассматриваемых не как разрыв, а как так называемый вязкий профиль (или структура) для "вязких" законов сохранения (например, для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости). Интересно отметить, что в силу результатов этих работ структурная устойчивость ударной волны, т.е. локальная корректность задачи с ударной волной-разрывом, является достаточным условием устойчивости соответствующего вязкого профиля.

0.2 Исторический обзор и основные методы исследования

Сразу заметим, что здесь и далее в диссертации, говоря о сильных разрывах, мы будем иметь ввиду только разрывы, распространяющиеся в неограниченной сплошной среде (х G Шп; физический случай п = 2 или п = 3). Случай же, когда компактная поверхность сильного разрыва находится в ограниченной области с граничными условиями типа условий непротекания (в МГД, например, выставляется также условие параллельности магнитного поля границе), является с математической точки зрения просто техническим обобщением случая неограниченной области и неограниченной гиперповерхности разрыва и сводится к последнему стандартной техникой разбиения единицы.

Первые результаты по многомерной линейной устойчивости сильных разрывов (прежде всего ударных волн) были получены в 50-х - 60-х годах XX века Дьяковым [38], Freeman'oM [112], Конторовичем [45], Иорданским [42], Erpenbeck [108] и др. (см. также обзор [58]) и относятся к газовой динамике. Эти результаты получены с помощью стандартного подхода, осно9 ванного на анализе экспоненциальных решений (синусоидальных волновых пакетов [66]) у линейной задачи. А именно, следуя [38] (см. также, например, работы Ландау [51], Сыроватского [64], Сагс1пег'а, КгивкаГа [120] и др.) экспоненциальное решение соответствующей линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами ищется в следующем виде: и = Ио ехр{г(—иЬ + кх\ + 1х2 + шхз)} , (0.1)

0, Ж1>0, (х2,х3 )еЕ2, где и0 — постоянный вектор, ш , к , I , т — некоторые постоянные, £ — время, {х\,х2, Хз) — декартовы координаты (в общем виде для абстрактной системы законов сохранения линеаризованная задача как с постоянными, так и с переменными коэффициентами будет выписана в главе 1). Если существует такое решение, что

1т ш > 0 , 1т к > 0 , 1т / = 1т т = 0 , (0.2) то сильный разрыв неустойчив. В противном случае, в рамках подхода, например, работ [112,108, 120] он считается устойчивым. Мы будем далее называть такую устойчивость слабой. Заметим, что неустойчивость означает по существу возможность построения примера некорректности типа примера Адамара (см. главу 1), т.е. некорректность линейной задачи.

Как впервые было отмечено в работе Дьякова [38], необходимо выделить также случай, когда задача не имеет решений вида (0.1) со свойством (0.2), но у нее есть экспоненциальные решения (0.1) со свойством

1т а; = 1т к = 1т I — 1т т = 0 . (0.3)

Для газодинамических ударных волн область параметров линейной задачи, для которой имеет место описанная ситуация, названа Дьяковым [38] областью спонтанного излучения звука разрывом. В последствии такого типа разрывы, устойчивые по отношению к растущим возмущениям, но допускающие экспоненциальные возмущения со свойством (0.3), стали называть

10 нейтрально устойчивыми. На самом деле, в общем случае имеется также возможность существования волновых пакетов с1та; = 0,1т&>0, 1т / = 1т т = 0 (их называют иногда волнами Рэлея [80]; см. замечание 1.5.3).

Таким образом, описанный стандартный ("физический") подход к устойчивости сильных разрывов есть, по существу, подход к исследованию линейной (или линеаризованной) устойчивости. Ниже нами будут приведены аргументы, показывающие, что в промежуточном случае нейтральной устойчивости вывод о реальном существовании сильного разрыва не может быть сделан на линейном уровне.

С другой стороны, необходимо отметить, что сильный разрыв, для которого линейная задача с постоянными ("замороженными") коэффициентами не имеет экспоненциальных решений со свойством (0.2) и (0.3), является равномерно устойчивым (экспоненциальные решения убывают со временем). Этот случай соответствует тому, что для линейной гиперболической задачи выполнено так называемое равномерное условие Лопатинского [130] (см. главу 1). Оказывается, что в более или менее общем случае условие равномерной устойчивости, будучи выполненным поточечно для начальных данных исходной нелинейной задачи гарантирует (вместе с условиями гиперболичности, согласования начальных данных и т.д.) локальное существование и единственность решений этой задачи, т.е. структурную устойчивость.

Понятно, что условие равномерной устойчивости может быть, в принципе, найдено и с помощью стандартного анализа экспоненциальных решений. Но для того, чтобы осуществить переход от равномерной линеаризованной устойчивости к структурной (нелинейной) устойчивости необходимо воспользоваться другим, более строгим подходом. Он опирается на теорию смешанных задач для линейных и квазилинейных гиперболических уравнений и оперирует такими строгими математическими понятиями как равномерное условие Лопатинского, корректность задачи и т.д.

Этот подход к проблеме устойчивости сильных разрывов был предложен в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого века в работах Блохи-на [7, 8, 9, 10, И] (см. также [13]). Чуть позднее сходный по идеологии подход, но основанный на другой технике, был развит в работах Majda [141, 142, 143]. Прежде чем перейти к краткому описанию этого подхода перечислим основные результаты, полученные с помощью стандартного анализа экспоненциальных решений.

Наиболее полный анализ устойчивости ударных волн в газовой динамике был проведен в уже упомянутой выше работе Дьякова [38]. Им же впервые введены в рассмотрение спонтанно излучающие (или нейтрально устойчивые) ударные волны. В частности показано, что ударные волны в политропном газе всегда равномерно устойчивы. Необходимо правда отметить, что Дьяковым при описании границы между областями нейтральной и равномерной устойчивости была допущена ошибка, которая позднее была исправлена независимо Иорданским [42] и Конторовичем [45]. Заметим, что эти результаты также обобщены Конторовичем [46] на случай релятивистских ударных волн, т.е. им найдены области неустойчивости, нейтральной и равномерной устойчивости для ударных волн в релятивистской гидродинамике [53].

Из исследований зарубежных авторов, относящихся ко времени выхода статей [38, 42, 45, 46], отметим прежде всего работу Erpenbeck [108], в которой вслед за Дьяковым также были найдены условия на уравнение состояния газа, описывающие область слабой устойчивости газодинамических ударных волн (случай нейтральной устойчивости в [108] рассмотрен не был).

Как известно, кроме ударных волн в газовой динамике существуют и другой тип сильного разрыва. Это так называемый тангенциальный разрыв (или вихревая пелена; см. [53]), поверхность которого является харак

12 теристической границей для уравнений газовой динамики. Исследование устойчивости тангенциального разрыва восходит еще к работе Ландау [51] 1944 года, но окончательный вывод о его неустойчивости был сделан Сы-роватским [64].

Частным случаем тангенциального разрыва является контактный разрыв, для которого непрерывна не только нормальная, но и тангенциальная компонента скорости газа. Легко показать нейтральную устойчивость такого разрыва. Это справедливо также и для контактного разрыва в МГД, для которого Блохиным и Дружининым [18] получена априорная оценка решений линейной задачи с постоянными коэффициентами. Но открытым остается пока вопрос не только о структурной устойчивости контактного разрыва, но и о переносе этой оценки на случай переменных коэффициентов, поскольку граничные условия для него не являются эллиптическими [143], т.е. фронт разрыва из них не может быть исключен.

В отличие от газовой динамики, в МГД проблема линейной устойчивости ударных волн (кроме ударных волн в МГД имеются контактные, тангенциальные и вращательные разрывы [52, 48]) еще полностью не решена. После выхода классической работы Gardner'a и Kruskal'a [120] можно отметить лишь некоторые исследования по устойчивости МГД ударных волн.

Известно, что в МГД в рамках гиперболической ("невязкой") теории существуют два типа допустимых {эволюционных [52, 53] или лаксовских [132, 61]) ударных волн. Это быстрые и медленные ударные волны, которые были введены в работе Ахиезера, Любарского и Половина [3]. В упомянутой работе Gardner'a и Kruskal'a найдено условие слабой устойчивости быстрых ударных волн для общего уравнения состояния газа, но в частном случае параллельных и перпендикулярных воли, т.е. когда магнитное поле параллельно или перпендикулярно нормали к фронту разрыва. При этом доказана слабая устойчивость быстрых параллельных и перпендикулярных МГД ударных волн в политропном газе с 7 < 3 . Позднее Anile

13 и Russo [72] показали, что быстрые перпендикулярные ударные волны в по-литропном газе всегда слабо устойчивы (при всех 7 > 1). Более того, для частного случая, когда магнитное поле предполагается слабым, Блохиным и Дружининым [16,17] была доказана равномерная устойчивость быстрых параллельных и перпендикулярных ударных волн в политропном газе (с помощью техники интегралов энергии).

Отметим также работу Lessen, Deshpande [135], в которой численно найдены некоторые области неустойчивости (относительно двумерных возмущений) для МГД ударных волн в политропном газе с 7 = 5/3 (одноатам-ный газ). В частности они показали, что медленные ударные волны могут быть неустойчивыми. Аналогичное, но более полное численное исследование было проведено Филипповой [67], которая нашла некоторые области неустойчивости (в общем случае трехмерных возмущений) и для быстрых ударных волн. Забегая вперед, отметим, что, как- следует из результатов настоящей диссертации, в [67] для быстрых ударных волн найдена по существу лишь малая часть всей области неустойчивости. Наконец, известен результат Блохина и Дружинина [17], которые доказали, что медленные МГД ударные волны в политропном газе при сильном магнитном поле неустойчивы.

Необходимое и достаточное условие линейной устойчивости МГД тангенциального разрыва в несжимаемой жидкости найдено Сыроватским [63]. Что касается МГД тангенциального разрыва в сжимаемой жидкости, то до результата, полученного в данной диссертации были рассмотрены только очень частные случаи (см. главу 4). В частности, Дружинин и Пак [37] доказали его неустойчивость для случая слабого магнитного поля.

В МГД, по сравнению с газовой динамикой, существует еще один тип сильных разрывов. Это вращательный (или альфвеновский) разрыв [48, 52]. Линейная устойчивость вращательного разрыва в несжимаемой жидкости была еще в 1953 году доказана Сыроватским (см. [52]). Что же каса

14 ется вращательного разрыва в сжимаемой жидкости, то первый результат, свидетельствующий о возможности его неустойчивости получен в настоящей диссертации.

Говоря о сильных МГД разрывах, мы имели ввиду классическую модель МГД для идеальной жидкости. Существуют также и другие гиперболические модели МГД. Это, например, уравнения МГД Чу, Гольдбергера и Jloy [102], описывающие движение бесстолкновительной замагниченной плазмы (см. также [5]), а также уравнения релятивистской МГД (см. [2, 137, 138]). Первые результаты по структурной устойчивости сильных разрывов в этих моделях получены в настоящей диссертации. Заметим, что в диссертации изучаются также ударные волны для так называемых уравнений радиационной гидродинамики, полученных не так давно в работах Anile, Pennisi и Sammartino [74, 75]. Соответствующие результаты диссертации также являются первыми в этой области.

Ключевую роль в подходе, развитом в работах Блохина [7, 8, 9, 10, И, 13]), а затем (основываясь на другой технике) в работах Majda [141, 142, 143], играет, как и в стандартном подходе, анализ линеаризованной устойчивости. На самом деле, исследование экспоненциальных решений у линейной задачи с постоянными коэффициентами может быть выражено в терминах преобразования Фурье-Лапласа, что приводит к введению понятий условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского. В частности, понятие равномерного условия Лопатинского и развитие техники симметризатора Kreiss'a [130] для линейной задачи с линеаризованными условиями Ренкина-Гюгонио (в силу нестандартности граничных условий она отличается от смешанных задач для линейных гиперболических систем, рассмотренных в работе Kreiss'a [130]) являются основными моментами в исследованиях Majda по линейной теории сильных разрывов.

А именно, теория ¿2-корректности (точнее Z^'» см. главу 1), развитая Kreiss'oM (а также в работах [159, 160, 144, 141, 143, 101]) для линейных

15 гиперболических систем, была расширена Majda [141, 142, 143] на случай сильных разрывов, являющимися лаксовскими ударными волнами индекса к (ft-shocks; см., например, [128, 141, 143, 61] и главу 1). Для этого случая были получены априорные оценки без потери гладкости (см. главу 1) в весовых пространствах Соболева L2iT] , если выполнено равномерное условие Лопатинского.

Априорные оценки без потери производных от начальных данных для линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами были впервые получены Блохиным [7, 8] для случая газодинамических ударных волн. Заметим, что оценки в [7, 8] (см. также [13]), в отличие от "весовых" оценок Majda [141, 142, 143], имеют послойный вид и выписаны в стандартных соболевских нормах (см. главу 1).

Переход от равномерной линеаризованной устойчивости к структурной (нелинейной) устойчивости был впервые проделан Блохиным [9, 11] для ударных волн в газовой динамике. Он существенным образом опирается на априорные оценки без потери производных, полученные в [7, 8] для соответствующей линейной задачи. А именно, эти оценки выводятся с помощью техники диссипативных интегралов энергии (см., например, [49, 128, 34] и главу 1). При этом в [9, 11] для соответствующих конструкций интегралов энергии выписываются нелинейные аналоги, с помощью которых получаются априорные оценки для исходной нелинейной задачи с граничными условиями Ренкина-Гюгонио на поверхности ударной волны.

Блохиным [9, 11] доказана локальная теорема существования и единственности кусочно-гладкого решения системы газовой динамики с граничными условиями Ренкина-Гюгонио на ударной волне для начальных данных из IV2 (или с s > 3). При этом область изменения начальных данных определяется не только условиями согласования с граничными условиями Ренкина-Гюгонио, условием возрастания энтропии на разрыве и т.д., но и равномерным условием Лопатинского для соответствующей ли

16 нейной задачи.

Позднее Majda [142], используя другую технику (в частности, псевдодифференциальных операторов), доказал теорему существования кусочно-гладких решений квазилинейной системы законов сохранения, удовлетворяющих соотношениям на лаксовской ударной волне для начальных данных из W$ (s > 10 для трехмерного случая), если равномерное условие Лопатинского выполнено. При этом, делалось одно очень важное предположение, что квазилинейная симметрическая ¿-гиперболическая система удовлетворяет некоторым условиям блочной структуры [141,142] (см. также [1, 144]). В частности, эти условия выполнены для уравнений газовой динамики, но система МГД им не удовлетворяет [151].

Недавно теорема Majda [142] (см. также [143]) была значительно улучшена в работе Metivier [150], где нелинейная локальная теорема существования сформулирована в форме теоремы Блохина для газовой динамики [9, И, 93]. Это удалось благодаря /^-оценке, полученной в [150] для линейной задачи с нетривиальными (в отличие от работы [141]) начальными данными и включающей "послойную" Х^-норму решения (IK'XOII^)-В свою очередь, такую оценку удалось вывести благодаря использованию исчисления Bony [100] парадифференциальных операторов, позволяющего снять требование бесконечной гладкости коэффициентов линейной задачи. Такое требование было существенным в работе Rauch [160] при получении аналогичной оценки для смешанной задачи стандартного ("крайсовского") вида.

Таким образом, в [150] доказана локальная теорема существования и единственности кусочно-гладкого решения из П|=0С-7'([0, Т], W^-3) с лаксовской ударной волной для системы гиперболических законов сохранения при условии, что для соответствующей линеаризованной задачи выполнено равномерное условие Лопатинского, a s > [n/2] + 2 как для задачи Коши [31, 133, 129] или в теореме Блохина [9, 11] для газодинамической ударной

17 волны (при п = 3). При этом, также как и в [142], в работе Metivier [150] требуется, чтобы квазилинейная симметрическая гиперболическая система удовлетворяла условиям блочной структуры [141, 142].

Как было показано в [1, 149], условия блочной структуры выполняются для гиперболических симметризуемых систем с постоянными кратностями (имеется ввиду случай, когда алгебраические кратности собственных чисел характеристической матрицы являются постоянными, т.е., в частности, не зависят от вектора неизвестных величин). Так, например, уравнения МГД не относятся к таким системам. Однако, совсем недавно Metivier и Zumbrun [151] впервые построили симметризатор Kreiss'a для случая, когда условия блочной структуры [1,144] не выполнены, но гиперболическая система удовлетворяет некоторым другим условиям, которые справедливы, например, для системы МГД.

Это позволяет распространить результат Majda [141] и Metivier [150] на случай систем с переменными кратностями (в частности, на систему МГД) при выполнении определенных условий [151]. То есть, в силу этого нового результата Metivier и Zumbrun'a [151], из равномерной линеаризованной устойчивости следует структурная (нелинейная) устойчивость ударной волны в той или иной конкретной модели механики сплошной среды, записываемой в виде гиперболических симметризуемых законов сохранения и удовлетворяющих либо условиям условия блочной структуры, либо условиям из [151].

Вместе с тем, необходимо отметить, что техника интегралов энергии, впервые использованная для сильных разрывов в работах Блохина, все же имеет определенные преимущества перед техникой Kreiss'a-Majda. Они касаются прежде всего возможности использовать дифференциально-разностные аналоги интегралов энергии для построения "адекватных" вычислительных моделей (см., например, [22, 83]). Иногда техника интегралов энергии позволяет найти условия корректности линеаризованной задачи, которые не удается отыскать ни с помощью аналитического, ни с помощью численного анализа определителя Лопатинского (дисперсионного соотношения). Примером такой задачи является задача для тангенциального разрыва в МГД сжимаемой жидкости (см. главу 4 диссертации).

С другой стороны, прямой "энергетический" метод и "спектральный" метод Kreiss'a-Majda в некотором смысле дополняют друг друга. В диссертации, хотя основной упор и делается на метод интегралов энергии, ссылки на метод Kreiss'a-Majda, первым этапом которого является спектральный анализ, т.е. проверка равномерного и слабого условия Лопатинского, занимают большое место.

Что касается случая нейтральной устойчивости, т.е. когда для линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами выполнено условие Лопатинского, но не выполнено равномерное условие Лопатинского, то в более или менее общей постановке можно доказать, что в априорных оценках задачи всегда будет присутствовать в том или ином виде потеря производных (либо от правых частей и начальных данных, либо только от правых частей). Однако такие оценки удается перенести на случай переменных коэффициентов. Для нейтрально устойчивых ударных волн это проделано в работе Coulombel [104], а для характеристических разрывов в работе Coulombel, Secchi [105] (для тангенциальных разрывов в газовой динамике в двумерном случае) и автором (для МГД тангенциальных разрывов; см. главу 4 диссертации). В связи с этим, есть большая надежда, что для нейтрально устойчивых разрывов удастся доказать локальную теорему существования с помощью техники Нэша-Мозера (для гиперболических задач см., например, работу [69] и ссылки внутри нее).

С другой стороны, с физической точки зрения, правильный ответ на вопрос о реальном существовании тонких переходных зон больших градиентов, чьими "гиперболическими" аппроксимациями являются нейтрально устойчивые сильные разрывы, может быть видимо получен (по крайней

19 мере, для ударных волн) в рамках "вязкой" теории. То есть когда вместо ударной волны-разрыва рассматривается так называемый вязкий профиль (или структура) для "вязких" законов сохранения с малой диссипацией. Очень важные результаты по "вязкой" устойчивости ударных волн получены в последнее время в работах Zumbnm'a и его коллег (см., например, работы [187, 188, 147, 189] и ссылки внутри них).

Так, показано, что равномерная устойчивость ударной волны-разрыва является достаточным условием "вязкой" устойчивости. Более того, Zumb-run доказал, что, в отличие от гиперболической теории устойчивости/корректности, в "вязкой" теории отсутствует переходная (нейтральная) зона между областями нелинейной неустойчивости и устойчивости, а гиперповерхность их разделяющая лежит внутри области нейтральной устойчивости соответствующего сильного разрыва. Таким образом, установлено, что вязкие профили нейтрально устойчивых ударных волн могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми.

В диссертации же исследуется только структурная ("гиперболическая") устойчивость сильных разрывов. Однако, в свете сказанного выше информация о такой устойчивости/корректности абсолютна необходима для дальнейшего исследования устойчивости по Ляпунову соответствующих вязких профилей.

0.3 Содержание работы

Диссертация, помимо настоящего Введения, состоит из пяти глав, двух приложений (Приложения А и В) и списка литературы.

1. Агранович М.С. Теорема о матрицах, зависящих от параметров и ее приложения к гиперболическим задачам. Функц. Анализ. Т. 6 (1972), N0. 2, 1-11.

2. Ахиезер И.А., Половин Р.В. Теория релятивистских магнитогидроди-намических волн. ЖЭТФ. Т. 36 (1959), 1845-1852.

3. Ахиезер А.И., Любарский Г.Я., Половин Р.В. Устойчивость ударных волн в магнитной гидродинамике. ЖЭТФ. Т. 35 (1958), 731-737.

4. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. Атомиз-дат, Москва, 1979.

5. Баранов В.В., Краснобаев К.В. Гидродинамическая теория космической плазмы. Наука, Москва, 1977.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. Наука, Москва, 1976.

7. Блохин А.М. Смешанная задача для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне. Изв. Сибирск. отдел. АН СССР, Сер. техн. наук, 1979, N0. 13, 25-33.

8. Блохин А.М. Смешанная задача для трехмерной системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне. Динамика сплошн. среды, 1980, N0. 46, 3-13.

9. Блохин А.М. Оценка интеграла энергии смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне.СМЖ. Т. 22 (1981), N0. 4, 23-51.355

10. Блохин A.M. Смешанная задача для симметрической t-гиперболических систем акусти ческого типа. Динамика сплошн. среды, 1981, No. 52, 11-29.

11. Блохин A.M. Оценка интеграла энергии смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне. СМЖ. Т. 23 (1982), No. 5, 17-30.

12. Блохин A.M. Симметризация уравнений Ландау в теории свехтеку-чести гелия II. Динамика сплошн. среды, 1984, No. 68, 13-34.

13. Блохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Наука, Новосибирск, 1986.

14. Блохин A.M. Элементы теории гиперболических систем и уравнений. Изд-во НГУ, Новосибирск, 1995.

15. Блохин A.M., Доровский В.Н. Проблемы математического моделирования многоскоростного континуума. Наука, Новосибирск, 1994.

16. Блохин A.M., Дружинин И.Ю. Об устойчивости быстрой магнито-гидродинамической ударной волны для слабого магнитного поля. Сб. научн. тр. Дифференциальные уравнения с частными производными, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1989, 15-32.

17. Блохин A.M., Дружинин И.Ю. Устойчивость ударных волн в магнитной гидродинамики. СМЖ. Т. 30 (1989), No. 4, 13-29.

18. Блохин A.M., Дружинин И.Ю. Корректность некоторых линейных задач об устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике. СМЖ. Т. 31 (1990), No. 2, 3-8.

19. Блохин A.M., Дружинин И.Ю. Сильные разрывы в магнитной гидродинамике. Наука, Новосибирск, 1993.

20. Блохин A.M., Крымских Д.А. Симметризация уравнений магнитной гидродинамики с анизотропным давлением. Сб. научи, тр. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1990, 3-19.356

21. Блохин A.M., Крымских Д.А. Сильные разрывы в сверхтекучей жидкости. Труды Ин-та математики СО РАН. Т. 24 (1994), 20-62.

22. Блохин A.M., Соковиков И.Г. Об одном подходе к конструированию разностных схем для квазилинейных уравнений газовой динамики. СМЖ. Т. 40 (1999), No. 6, 1236-1243.

23. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике. СМЖ. Т. 34 (1993), No. 3, 3-18.

24. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением. СМЖ. Т. 34 (1993), No. 6, 10-22.

25. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением I. СМЖ. Т. 35 (1994), No. 1, 12-23.

26. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением II. СМЖ. Т. 35 (1994), No. 3, 10-20.

27. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Устойчивость ударных волн для одной модели радиационной гидродинамики. ПМТФ. Т. 37 (1996), No. 6, 314.

28. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Симметризация уравнений радиационной гидродинамики и глобальная разрешимость задачи Коши. СМЖ. Т. 37 (1996), No. 6, 1256-1265.

29. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Устойчивость сильных разрывов в магнитной гидродинамике и электрогидродинамике. Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2004.

30. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л., Меражов И.З. Об устойчивости ударных волн в сплошной среде с объемным зарядом. ПМТФ. Т. 39 (1998), No. 2, 29-39.

31. Вольперт А.И., Худяев С.И. О задачи Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Мат. сб. Т. 87 (1972), N0. 4, 504-528.

32. Годунов С.К. Интересный класс квазилинейных систем. ДАН СССР. Т. 139 (1961), 521-523.

33. Годунов С.К. Симметрическая форма уравнений магнитной гидродинамики. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, Т. 3 (1972), 26-34.

34. Годунов С.К. Уравнения математической физики. Наука, Москва, 1979.

35. Годунов С.К., Гордиенко В.М. Смешанная задача для волнового уравнения. Сб. научн. тр. Дифференциальные уравнения с частными производными, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, N0. 2,1977, 5-31.

36. Гордиенко В.М. Симметризация смешанной задачи для одного гиперболического уравнения второго порядка. СМЖ. Т. 22 (1981), N0. 2, 84-104.

37. Дружинин И.Ю., Пак Н.С. Об устойчивости магнитогидродинами-ческого тангенциального разыва. Сб. научн. тр. Дифференциальные уравнения с частными производными, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1991, 84-100.

38. Дьяков С.П. Об устойчивости ударных волн. ЖЭТФ. Т. 27 (1954), N0. 3, 288-295.

39. Егорушкин С.А. Нелинейная неустойчивость спонтанно излучающей ударной волны. Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, 1984, N0. 3, 110-118.

40. Егорушкин С.А., Куликовский А.Г. Об устойчивости решений некоторых смешанных задач для гиперболических уравнений. ПММ. Т. 56 (1992), N0. 1, 40-51.

41. Захаров В.Ю. К вопросу о возможности ударных волн разрежения в анизотропной плазме. Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, 1989, No. 4,161-164.

42. Иорданский C.B. Об устойчивости плоской стационарной ударной волны. ПММ. Т. 21 (1957), вып. 4, 465-472.

43. Иорданский C.B. О волнах сжатия в магнитной гидродинамике. ДАН СССР. Т. 121 (1958), 610-612.

44. Карталев М.Д. О теореме Цемплена для ударных волн в плазме с анизотропным давлением. ДАН СССР. Т. 205 (1972), No. 6,1316-1319.

45. Конторович В.М. К вопросу об устойчивости ударных волн. ЖЭТФ. Т. 33 (1957), No. 6, 1525-1526.

46. Конторович В.М. Об устойчивости ударных волн в релятивистской гидродинамике. ЖЭТФ. Т. 34 (1958), 186-194.

47. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитогидродинамические ударные волны ионизирующие газ. ДАН СССР. Т. 129 (1959), 52-55.

48. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. Гос. изд. физ.-мат. лит., Москва, 1962.

49. Курант Р. Уравнения с частными производными. Мир, Москва, 1964.

50. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. Наука, Москва, 1973.

51. Ландау Л.Д. Об устойчивости тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости. Докл. АН СССР. Т. 44 (1944), No. 4, 151-153.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Наука, Москва, 1982.

53. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Наука, Москва, 1988.

54. Ланкастер Р. Теория матриц. Наука, Москва, 1982.

55. Малышев А.Н., Роменский Е.И. Гиперболические уравнения теплопроводности. Глобальная разрешимость задачи Коши. СМЖ. Т. 27 (1986), No. 5, 128-134.

56. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. Мир, Москва, 1977.

57. Митницкий В.Я. Об устойчивости магнитогидродинамических тангенциальных разрывов. Журн. выч. мат. физ. Т. 24 (1984), No. 1, 124-131.

58. Неуважаев В.Е. Устойчивость ударных волн. В кн.: Исследование гидродинамической устойчивости с помощью ЭВМ. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, Москва, 1981, 229-250.

59. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Наука, Москва, 1981.

60. Половин Р.В., Демуцкий В.П. Основы магнитной гидродинамики. Атомиздат, Москва, 1987.

61. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. Наука. Москва, 1978.

62. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа к задачам математической физики. Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1950.

63. Сыроватский С.И. Устойчивость тангенциальных разрывов в магпи-тогидродинамической среде. ЖЭТФ. Т. 24 (1953), 622-629.

64. Сыроватский С.И. Неустойчивость тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости. ЖЭТФ. Т. 27 (1954), 121-123.

65. Сыроватский С.И. Устойчивость ударных волн в магнитной гидродинамике. ЖЭТФ. Т. 35 (1958), 1466-1470.

66. Уизем Д. Линейные и нелинейные волны. Мир, Москва, 1977.

67. Филиппова О.Л. Устойчивость плоских МГД ударных волн в идеальном газе. Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, 1991, No. 6, 128-136.

68. Alfven Н. On the existence of electromagnetic-hydroclynamic waves. Ark.Mat. Astron. FYs. В 29 (1943), no.2, 1-7.360

69. Alinhac S. Existence d'ondes de raréfaction pour des systèmes quasi-linéaires hyperboliques multidimensionnels. Comm. Partial Differential Equations 14 (1989), 173-230.

70. Anile A.M., Russo G. Corrugation stability for plane relativistic shock waves. Phys. Fluids 29 (1986), 2847-2852.

71. Anile A.M., Russo G. Linear stability for plane relativistic shock waves. Phys. Fluids 30 (1987), 1045-1051.

72. Anile A.M., Russo G. Corrugation stability of magnetohydrodynamic shock waves. Nonlinear wave motion, Pitman Monogr. Surv. Pure Ap-pl. Math. 43 (1989), 11-21.

73. Anile A.M., Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Investigation of a mathematical model for Radiation Hydrodynamics. Z. angew. Math. Phys. 50 (1999), 677-697.

74. Anile A.M., Pennisi S., Sammartino M. A thermodynamical approach to Eddington factors. J. Math. Phys. 32 (1991), no. 2, 544-550.

75. Anile A.M., Pennisi S., Sammartino M. Covariant radiation hydrodynamics. Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 56 (1992), no. 1, 49-74.

76. Axford W.I. Note on a problem of magnetohydrodynamic stability. Can. J. Phys. 40 (1962), 654-655.

77. Baranov V.B., Krasnobaev K.V., Ruderman M.S. On the model of the solar wind-interstellar medium interaction with two shock waves. Astro-phys. Space Sci. 41 (1976), 481-490.

78. Benzoni-Gavage S. Stability of multi-dimensional phase transitions in a van der Waals fluid. Nonlinear Analysis T.M.A. 31 (1998), 243-263.

79. Benzoni-Gavage S. Stability of subsonic planar phase boundaries in a van der Waals fluid. Arch. Rational Mech. Anal. 150 (1999), 23-55.

80. Benzoni-Gavage S., Rousset F., Serre D., Zumbrun K. Generic types and transitions in hyperbolic initial-boundary vaue problems. Proc. R. Soc.Edinb. Sect. A 132A (2002), 1073-1104.361

81. Bethe H.A. On the theory of shock waves for an arbitrary equation of state. Office of Scientific Research and Development, Report No. 545 (1942), in: Classic papers in shock compression science, Springer-Verlag, New York (1982), 421-492.

82. Blokhin A.M. Symmetrization of continuum mechanics equations. Sib. J. Diff. Eq. 2 (1995), 3-47.

83. Blokhin A.M. A new concept of construction of adaptive calculation models for hyperbolic problems. NATO ASI Ser., Ser. C, Math. Phys. Sci. 536 (1999), 23-64.

84. Blokhin A.M., Alaev R.D. Construction of adequate difference models for gas dynamics equations. Siberian J. Comput. Math. 1 (1992), no. 2, 169-189.

85. Blokhin A.M., Mishchenko E.V. Investigation on shock waves stability in relativistic gas dynamics. Matematiche (Catania) 48 (1993), 53-75.

86. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Investigation of the well-posedness of the mixed problem on the stability of fast shock waves in magnetohydrody-namics. Matematiche (Catania) 49 (1994), no. 1, 123-141.

87. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of strong discontinuities in plasma with anisotropic pressure. J. Magnetohydrodynamics and Plasma Res. 4 (1994), no. 3/4, 109-207.

88. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Some aspects of the mathematical theory of strong discontinuities in Continuum Mechanics. Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo serie II, 57 (1998), 52-56.

89. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of fast parallel and transversal MHD shock waves in plasma with pressure anisotropy. Acta Mech. 135 (1999), 57-71.

90. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of fast parallel MHD shock wavesin polytropic gas. Eur. J. Mech. B/Fluids 18 (1999), no. 2, 197-211.362

91. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. On stability of shock waves in a compressible viscous heat conducting gas. Acta Mech. 150 (2001), 267-275.

92. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of strong discontinuities in fluids and MHD, in: Friedlander S., Serre D. (eds.), Handbook of mathematical fluid dynamics, vol. 1, pp. 545-652, Elsevier, Amsterdam, 2002.

93. Blokhin A., Trakhinin Yu. Stability of strong discontinuities in magne-tohydrodynamics and electrohydrodynamics. Nova Science Publ., New York, 2003.

94. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. On a modified shock front problem for the compressible Navier-Stokes equations. Q. Appl. Math. 62 (2004), 221— 234.

95. Blokhin A.M., Merazhov I.Z., Trakhinin Yu.L. Investigation of stability of electrodynamic shock waves. Matematiche (Catania) 52 (1997), no. 1, 87-114.

96. Blokhin A.M., Romano V., Trakhinin Yu.L. Some mathematical properties of radiating gas model obtained with a variable Eddington factor. Z. angew. Math. Phys. 47 (1996), 639-658.

97. Blokhin A.M., Romano V., Trakhinin Yu.L. Stability of shock waves in relativistic radiation hydrodynamics. Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 67 (1997), no. 2, 145-180.

98. Boillat G. Sur l'existence et la recherche d'équations de conservation supplémentaires poor les systèmes hyperbolique. Comptes Rendues del'Academie des Sciences 278A (1974), 909-912.363

99. Bony J.-M. Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires. Ann. Sei. Ec. Norm. Super. 14 (1981), 209-246.

100. Chazarain J., Piriou A. Introduction to the theory of linear partial differential equations. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1982.

101. Chew G.F., Goldberger M.L., Low F.E. The Boltzmann equation and the one-fluid hydromagnetic equations in the absence of particle collisions. Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 236 (1956), 112-118.

102. Cohn. A. Uber die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise. Math. Z. 14 (1922), 110-148.

103. Coulombel J.-F. Weak stability of nonuniformly stable multidimensional shocks. SIAM J. Math. Anal. 34 (2002), 142-172.

104. Coulombel J.-F., Secchi P. The stability of compressible vortex sheets in two space dimensions. Indiana Univ. Math. J. 53 (2004), 941-1012.

105. Coulombel J.-F., Secchi P. On the transition to instability for compressible vortex sheets. Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 134 (2004), 885-892.

106. Ebin D. G. The equations of motion of a perfect fluid with free boundary are not well posed. Commun. Partial Differ. Equations 12 (1987), 11751201.

107. Erpenbeck J.J. Stability of step shocks. Phys. Fluids 5 (1962), 1181-1187.

108. Fahr H.J., Neutsch W., Grzedzielski S., Macek W., Radkiewitcz R. Plasma transport across the heliopause. Space Sei. Rev. 43 (1986), 329-381.

109. Fejer J.A. Hydromagnetic stability at a fluid velocity discontinuity between compressible fluids. Phys. Fluids 7 (1964), 499-503.

110. Francheteau J., Métivier G. Existence de chocs faibles pour des systèmes quasi-linéaires hyperboliques multidimensionnels. Astérisque (vol. 268), Paris, 2000.

111. Freeman N.C. A theory of the stability of plane shock waves. Proc. R. Soc. Lond., Ser. A 228 (1955), 341-362.

112. Freistiihler H., Liu, T.-P. Nonlinear stability of overcompressive shock waves in a rotationally invariant system of viscous conservation laws. Commun. Math. Phys. 153 (1993), 147-158.

113. Freistiihler H. The persistence of ideal shock waves. Appl. Math. Lett. 7 (1994), no. 6, 7-11.

114. Freistiihler H. A short note on the persistence of ideal shock waves. Arch. Math. 64 (1995), 344-352.

115. Freistiihler H. Contributions to the mathematical theory of magnetohy-drodynamic shock waves, AMS/IP Stud. Adv. Math. 3 (1997), 175-187.

116. Freistiihler H. Some results on the stability of non-classical shock waves. J. Partial Diff. Eqs 11 (1998), 25-38.

117. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations. Commun. Pure and Appl. Math. 27 (1974), 123-131.

118. Friedrichs K.O., Lax P.D. System of conservation equations with a convex extension. Proceedings of the National Academy of Science, U.S.A. 68 (1971), 1686-1688.

119. Gardner C.S., Kruskal M.D. Stability of plane magnetohydrodynamic shocks. Phys. Fluids 7 (1964), 700-706.

120. Gilbarg D. The existence and limit behavior of the one-dimensional shock layer. Amer. J. Math. 73 (1951), 256-274.

121. Harten A. On the symmetric form of systems of conservation laws with entropy. J. Comp. Phys. 49 (1983), no. 1, 151-164.

122. Hersh R. Mixed problems in several variables. J. Math. Mech. 12 (1963), 317-334.

123. Hoffman F., Teller E. Magnetohydrodynamic shocks. Phys. Rev. 80 (1950), no. 4, 696-703.

124. Lichnerowicz A. Shock waves in relativistic magnetohydrodynamics under general assumptions. J. Math. Phys. 17 (1975), 2135-2141.

125. Liu T.P. Nonlinear stability and instability of overcompressive shock waves. IMA Vol. Math. Appl. 52 (1993), 159-167.

126. Majda A. The stability of multi-dimensional shock fronts — a new problem for linear hyperbolic equations. Mem. Amer. Math. Soc., vol. 41, no. 275, Providence, 1983.

127. Majda A. The existence of multi-dimensional shock fronts. Mem. Ainer. Math. Soc., vol. 43, no. 281, Providence, 1983.

128. Majda A. Compressible Fluid Flow and Systems of Conservation Laws in Several Space Variables. Springer-Verlag, New York, 1984.

129. Majda A., Osher S. Initial-boundary value problems for hyperbolic equations with uniformly characteristic boundary. Commun. Pure and Appl. Math. 28 (1975), 607-675.

130. Majda A., Rosales R. A theory for spontaneous Mach stem formation in reacting shock fronts. I. The basic perturbation analysis. SIAM J. Appl. Math. 43 (1983), 1310-1334.

131. Majda A., Rosales R. A theory for spontaneous Mach-stem formation in reacting shock fronts. II. Steady-wave bifurcations and the evidence for breakdown. Stud. Appl. Math. 71 (1984), 117-148.

132. Mascia C., Zumbrun K. Stability of small-amplitude shock profiles of symmetric hyperbolic-parabolic systems. Commun. Pure Appl. Math. 57 (2004), 841-876.

133. Metivier G. Stability of multidimensional weak shocks. Comm. Partial. Diff. Equ. 15 (1990), 983-1028.

134. Metivier G.: The block structure condition for symmetric hyperbolic systems. Bull. Lond. Math. Soc. 32 (2000), 689-702.

135. Metivier G. Stability of multidimensional shocks. Advances in the Theory of Shock Waves, Progress in Nonlinear PDE, 47, Birkhauser, Boston, 2001.

136. Métivier G., Zumbrun K. Hyperbolic boundary value problems for symmetric systems with variable multiplicities. J. Differential Equations 211 (2005), 61-134.

137. Michael D.H. The stability of a combined current and vortex sheet in a perfectly conducting fluid. Proc. Cambridge Philos. Soc. 51 (1955), 528532.

138. Mihalas D., Mihalas B.V. Foundation of Radiation Hydrodynamics. Oxford University Press, New York, 1984.

139. Mokrane A. Problem es mixtes hyperboliques non lineaires. Thèse, Université de Rennes 1, 1987.

140. Ohno M., Shirota T. On the initial-boundary-value problem for the linearized equations of magnetohydrodynamics. Arch. Rational Mech. Anal. 144 (1998), 259-299.

141. Ohno M., Shizuta Y., Yanagisawa T. The trace theorem on anisotropic Sobolev spaces. Tôhoku Math. J. 46 (1994), 393-401.

142. Parker E.N. Dynamical properties of stellar coronas and stellar winds. III. The dynamics of coronal streamers. Astrophys. J. 139 (1964), 690-709.

143. Pennisi S., Sammartino M. A mathematical model for Radiation Hydrodynamics. Matematiche (Catania) 45 (1990), no. 2, 379-406.

144. Ralston F.V. Note on a paper of Kreiss. Commun. Pure and Appl. Math. 24 (1971), 759-762.

145. Rauch J. L2 is a continuable initial condition for Kreiss mixed problems. Commun. Pure and Appl. Math. 25 (1971), 265-285.

146. Rauch J. Symmetric positive systems with boundary characteristic of constant multiplicity. Trans. Amer. Math. Soc. 291 (1985), 167-187.

147. Rosales R., Majda A. Weakly nonlinear detonation waves. SIAM J. Appl. Math. 43 (1983), 1086-1118.

148. Rauch J.B., Massey F.J. Differentiability of solutions to hyperbolic initialboundary value problems. Trans. Amer. Math. Soc. 189 (1974), 303-318.368

149. Ruggeri T., Strumia A. Main field and convex covariant density for quasilinear hyperbolic systems. Relativistic fluid dynamics. Ann. Inst. H. Poincare Sect. A (N.S.) 34 (1981), no. 1, 65-84.

150. Ruggeri T., Strumia A. Convex covariant entropy density, symmetric conservative form, and shock waves in relativistic magnetohydrodynamics. J. Math. Phys. 22 (1981), 1824-1827.

151. Russo G., Anile A.M. Stability properties of relativistic shock waves: Basic results. Phys. Fluids 30 (1987), 2406-2413.

152. Sable-Tougeron M. Existence pour un probleme de l'elastodynamique Neumann non lineaire en dimension 2. Arch. Rational Mech. Anal. 101 (1988), 261-292.

153. Secchi P. On the equations of ideal incompressible magnetohydrodynamics. Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 90 (1993), 103-119.

154. Secchi P. On an initial-boundary value problem for the equations of ideal magnetohydrodynamics. Math. Methods Appl. Sci. 18 (1995), 841-853.

155. Secchi P. Linear symmetric hyperbolic systems with characteristic boundary. Math. Methods Appl. Sci. 18 (1995), 855-870.

156. Secchi P. The initial-boundary value problem for linear symmetric hyperbolic systems with characteristic boundary of constant multiplicity. Differential Integral Equations 9 (1996), 671-700.

157. Secchi, P. Well-posedness of characteristic symmetric hyperbolic systems. Arch. Rational Mech. Anal. 134 (1996), 155-197.

158. Secchi P. Some properties of anisotropic Sobolev spaces. Arch. Math. 75 (2000), 207-216.

159. Sen A.K. Effect of compressibiliy on Kelvin-Helmholtz instability in a plasma. Phys. Fluids 7 (1964), 1293-1298.

160. Shizuta Y., Yabuta K. The trace theorems in anisotropic Sobolev spaces and their applications to the characteristic initial-boundary value problem for symmetric hyperbolic systems. Math. Models Methods Appl. Sci. 5 (1995), 1079-1092.

161. Serre D. La transition vers l'instabilité pour les ondes de choc multi-dimensionnelles. Trans. Am. Math. Soc. 353 (2001), 5071-5093.

162. Shearer M., Schaeffer D.G., Marchesin D., Paes-Leme P. Solution of the Riemann problem for a prototype 2x2 system of non-strictly hyperbolic consevation laws. Arch. Rational Mech. Anal. 97 (1987), 299-320.

163. Schochet S. The compressible Euler equations in a bounded domain: existence of solutions and the incompressible limit. Commun. Math. Phys. 104 (1986), 49-75.

164. Trakhinin Yu.L. On stability of shock waves in relativistic magnetohydro-dynamics. Q. Appl. Math. 59 (2001), no. 1, 25-45.

165. Trakhinin Yu.L. A complete 2D stability analysis of fast MHD shocks in an ideal gas. Commun. Math. Phys. 236 (2003), 65-92.

166. Trakhinin Yu.L. On existence of compressible current-vortex sheets: variable coefficients linear analysis. Arch. Rational Mech. Anal. 177 (2005), 331-366.

167. Trakhinin Yu.L. On the existence of incompressible cur rent-vortex sheets: study of a linearized free boundary value problem. Math. Methods Appl. Sci. 28 (2005), 917-945.

168. Wu C.C. Formation, structure, and stability of MHD intermediate shocks. J. Geophys. Res. 95 (1990), 8149-8175.

169. Yanagisawa T., Matsumura A. The fixed boundary value problems for the equations of ideal magnetohydrodynamics with a perfectly conducting wall condition. Comm. Math. Phys. 136 (1991), 119-140.

170. Zajaczkowski W.M. Existence and uniqueness of solutions of some mixed problems for ideal incompressible magnetohydrodynamics. I: The case of impermeable boundary. Arch. Mech. 40 (1988), 265-274.

171. Zumbrun K., Howard P. Pointwise semigroup methods and stability of viscous shock waves. Indiana Univ. Math. J. 47 (1998), 741-748.

172. Zumbrun K., Serre D. Viscous and inviscid stability of multidimensional planar viscous shock waves. Indiana Univ. Math. J. 48 (1999), 937-992.

173. Zumbrun K. Stability of large-amplitude shock waves of compressible Navier-Stokes equations, in: Friedlander S., Serre D. (eds.), Handbook of mathematical fluid dynamics, vol. 3, pp. , Elsevier, Amsterdam, 2004.