Исследование устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

(V чл

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СШРСКОЕ ОТДЕЛЕН®-Институт математики

V •

На правах рукописи УДК 537.84

ДРУШШН Иван Юрьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ В МАГНИТНОЙ ГИДРОдаКАЬСШЕ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой1 степёнй1 кандидата фи з и ко-математИЧёекй5с' наук

Новосибирск - 1990

Ргбета выполнена в Институте математики Сибирского отделения АН СССР.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор A.M. Блсхин

Официальные оппоненты:доктор физико-матемауических наук

доцент В.М. Тешуков, кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник С.А. Егорушкин

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. •

М.В. Келдыша АН СССР

Защита диссертации состоится _" _1990 г. в_

часов на засе^нии специализированного совета К 002.23.02 по присуадению уч^ой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090, г.Новосибирск, Университете кий проспект, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики GP АН СССР.

Автореферат разослан

1990 г.

Ученый секретарь специолизироранногр субе к.ф.-м.н.

В.В. Иванов

ОЩАЯ ХЛРШЕРИС'ШКА РАЕШИ

Актуальность темы." Магнитная гидродинамика изучает движение проводящего гада в магнитном поле. При этом часто .¡созывается, что » газе образуется сильный разрыв - некоторая поверхность, на которой терпят разрыв основные величины. Возникает вопрос об устойчивости сильного разрыва, может ли он существовать как структура с течением врг г;ни? Отпет на этот вопрос весьма ватен как в теоретическом плаче, так и для приложений.

Цель работы. Работа посвящена исследованию корректности смешанной задачи с граличными.условиями на сильном разрыве в магнитной гидродинамике в линейной постановке.

Основная методика исследования. Применяется следующая методика (см. Блохин A.M. ¡'.нтегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики.- Новосибирск: Наука, 1986). Сначала выделяются области некорректности смешанной задачи путем построения примера некорректности типа примера Ддамара. Затем для тех областей, где такого примера построить нельпя, методом интегралов энергии получается априорная оценка решения, позволяющая сделат[ утверждение о корректности задачи.

Научная новизна. 'See основные результаты диссертации являются новыми.

Основные результаты работы. .

1. Сформулированы- математические постановки смешанных задач об устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике.

2. Доказана устойчивость быстрой магнитогид; динамической ударной волны при слабом магнитном поле.

3. Доказала корректность задач Си устойчивости быстрых параллельной и поперечной магнитогидродинамических ударных волн при слабом магнитном поле (слова "параллельная"» "поперечная" указывают на вэаимоналравленность.невозмущенного вектора напряженности магнитного поля и нормали к фронту ударной волны).

4. Доказана неустойчивость медленно" магнитогидродинами-ческой ударной волны при сильном магнитном поле.

5. Исследована корректность задачи об устойчивости контактного разрыва в магнитной гидродинамике.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический ха4 актер. Практическая значимость оп-

ределяется тем, что получены конкретные результаты по устойчивости сильных разрывов, применимые для объяснения течений газа б плазме, в астрофизике и т.д.

Апробация работа. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, июнь 1989), на семинаре проф. А.Г. Куликовского и д.ф.-м.н. A.A. Бармина "Методы гид ромеханики", на семинаре од,-корр. АН СССР А.Ф. Сидорова "Нелинейные задачи математической физики".'

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ.

Структура и объем. Диссертация объемом 176 машинописных страниц состоит из введения, пяти глав и приложения (разбитых на 21 параграф),заключения. Список литературы содержит 24 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержится обзор исследований по устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике, кратко описывается применяемая методика, указывается цель работы и приводится аннотация полученных результатов.

Первая глава носит предварительный характер- В § I приведены уравнения магнитной гидродинамики в дивергентной форме. Б § 2 обсуждается вопрос о симметризации уравнений магнитной гидродинамики (см."Годунов С.К. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск," 1972, т. 3, № I, с. 26-34)* В § 3 производится линеаризация полученной симметрической t -гиперболической системы (по Фридрихсу) относительно постоянного основного решения. В § 4 обсуждшотся некоторые свойства j-..неари-зованных уравнений магнитной гидродинамики.

Во второй главе рассматриваются поверхности сильного разрыва в магнитной гидродинаи/- че. В § I приведены соотношения на ильном разрыве. В § 2, в самом общем виде, формулируется задача об устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике.

В последующих главах и в приложении изучаются отдельно задачи об устойчивости всех типов разрывов. При этом заранее не

_ 4 w

предполагается известным, что малые возмущения удовлетворяют соотношениям на данном типе разрыва. Относительно возмущений предполагается только, что они удовлетворяют общим сос-мошени-ям на разрыве. Это приводит к тому, что в случае контактного, тангенциального и вращательного разрывов появляются дополнительные задачи.

В третьей и четвертой главах исследуется устойчивость быстрой и медленной магнитогидро^.намических ударных волн. Задачи об устойчивости магнитогидродинамических ударных волн относительно одномерных возмущений изучались в работе Ахиезе-раА.И., Любарского Г.Я., Половина Р.В. (ЖЭТС, 1958, т. 35, Ji 3, с. 731). (îa-bctiux с. $., XxKskbl M. 0. ( Тка j» ur ftmds , 1364 * y.i z&S, р.ЦОО) показали устойчивость быстрых параллельной и поперечной магни-тогидродинамических ударных волн. Необходимо также отметить работы по численному исследованию устойчивости ыагнитогидродина-мических ударшх волн ( £essan, М„„ Des kpa. Л с{ а №. V. Э. pCoiSma. pk^sicj, 1967,¥.1, > 4, p. 403; Филиппова О.Л. Дисс.канд.физ.-мат.наук, МГУ, 1987), в которых было показано, что как быстрые, так и медленные магнитогидродинамипес-кие ударные волны могут быть неустойчивы.

В третьей главе доказана корректность задач об устойчивости быстрых параллельной и поперечной магнитогидродинамических ударных волн при слабом магнитном поле. В § I формулируется математическая постановка задачи об устойчивости быстрой магнито-гидродинамической ударной волны (в случае дёу* пгостранственных переменных).

Задача ^ . Ищется решение U * t/("£ j j^g) системы уравнений

..Lj» * «^i-V tr S Qf

US - 0? \

LH - (v- t>0.

_ 5 -

удовлетворяющее при "(; > 0 , О } IХ2 \ следующим

граничным условиям:

нг= и,л V

Б = V +

и начальным да'~*ым при Т = О . .... -О

5, 1Г, И - малые возмущения фронта^разрыва, давле ия, ен-тропии, векторов скорости и напряженности магнитного поля;

1Лн"1 = кг " , к« к »У*; Ь-^к^к^, М,

> ••• 5 - некоторые постоянные.

В § 2 изучается стационарный разрыв при слабом и сильном магнитных полях. В § 3 доказано, что задача £ не допускает построения примера некорректности типа примера Дцамара при сла,~ бом магнитном поле. 3 § 4 изучены некоторые свойства задачи .

В § 5 получена априорная оценка решения задачи у при слабом магнитном поле в случае параллельной, а в § 6 - в случае поперечно? ударных волн.

В четвертой главе доказана некорректность задачи об устойчивости медленной магнитогидродинамической ударной волны для случая сильного магнитного поля. В § I сформулирована математическая постановка задачи об устойчивости медленной магнитогиг-родинамической ударной волны (задача «¿> ). В § 2 изучается стационарный разрыв при слабом и сильном магнитных полях. В 5 3 для задачи <3 при сильном магнитном поле построен пример некорректности типа примера Адамара.

В пятой главе исс..одована корректность смешанной задачи об устойчивости контактного разрыва. В § I сформулироза',ы математические постановки задач Сл , С ^ ос устойчивости контактного разрыва (задача С » - дополнительная). В § 2 для задачи С 4 получена априорная оценка решения. В 5 3 для задачи Сэ_ построен пример некорректности типа примера Адамара.

В приложении формулируются и обсуждается задачи об устойчивости вращател: :гого и тангенциального разрывов.

Заключение содержит краткое изложение результатов исследования.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Ело,.ин A.M., Дружинин И.КЗ. Постановка задач об устойчивости разрывов в магнитной гидродинамике.- КраеЕые задачи для уравнений с частными производными, Новосибирск, 1988,

с. 16-38. !

2. Дружинин И.Ю. О постановке задач об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике.- Некоторые приложения функционального анализа к*задачам математической физики, Новосибирск, 1988, с. 72-61. . . •

3. Блохин A.M., Дружинин И.О. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике.-.Сиб.матем.яурн., 1989, т.ЗО, ■ П 4, с. 13-29. •

4. Елохин A.M.,. Дружинин b.*1 Об устойчивости быот^й иагнитогидродинамическсй ударной волнц для слабого.магнитного

полп•— Дифференциальные уравнения с частными производными, Новосибирск, 1989, с. 15-32. .

5. Дружинин И.О. О постановках задач об устойчивости разрывов в магнитной гидродинамике,- Теоремы вложения и ,х приложения к зацачам математической физики, Новосибирск, 1989, с.100-112.

6. Блохин A.M., Дружинин И.Ю. Корректность некоторых линейных задач об устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике.- Сиб.матем.журн., 1990, т. 31, № 2, с. 3-8.

Подписано к печати 16.03.90 Ш 03449

Формат бумаги 60x84 1/16 Объем 0,5 п.л.,0,35 уч.из.п.л.

Заказ 79 . Тира» 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР 630090, Новосибирск, 90