Взаимодействие ударных волн и тангенциальных разрывов в магнитной гидродинамике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГб о

р МОСЮВСКИЙ .ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

САЗОНОВА ВИКТОРИЯ НИКОЛАЕВНА

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ ВОЛН И ТАНГЕНЩАЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

Специальность 01.02.05 "механика нздкости газа и плазмы"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фязшсо-матемагическиз наук

Москва - 1994 год

Работа выполнена в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.А.Бармш

Официальные оппонента:

доктор физико-математических наук профессор Б.А.Тверской

доктор физико-математических наук И.С.Шикш

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится " 1994 г.

в-^^час. на заседании специализированного совета Д 053.05.02 при Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова по

адресу :119899, Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, зона

"А", ауд. 16- 24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан ^^е^^^Р 199^г.

Ученый секретарь Специализированного совета

профессор " ______} В.П.Карликов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Работа посвящена исследованию взаимодействий ударных волн с тангенциальными разрывами в рамках магнито-гидродинамической модели.

Актуальность темы

В природных явлениях и технических приложениях часто встречается движение проводящей среды ( плазмы) при' наличии магнитного поля. Среди них течения в каналах мгд- генераторов, в электромагнитных ударных трубаз, в ускорителях различных конструкций, течения космической и солнечной плазмы. Для описания таких явлений успешно используется модель магнитной гидродинамики, позволяющая учитывать гидродинамические и электромагнитные эффекты и применять идеи и хорошо развитые методы классической газовой

динамики. ——.____________—„_

Для выявления характерных особенностей течений в механике широко используются автомодельные постановки задач, когда по тем или иным причинам количество независимых переменных уменьшается. К автомодельной стационарной постановке относятся задачи о пересечении различных сильных разрывов, одной из которых является задача о взаимодействии ударной волны с тангенциальным разрывом.

Исследования этой задачи позволяют описать ряд течений и служат важным элементом для понимания более сложых явлений, например таких как течения в электро-магнитных ударных трубах каналах МГД- генераторов, в плазменных ускорителях. В рамках автомодельности выявляются особенности, оОус^йТбшше самосогласованным воздействием магнитного шля и проводящей среды. Важность задачи о взаимодействии ударной волны и

тангенциального разрьша гак же связана с многочисленными приложениями в задачах ближнего космоса и астрофизики. Хотя магнитогидродинамическое описание явлений в солнечном ветре и ближнем космосе носит приближенный характер и не учитывает многих эффектов, таких как например, анизотропия давления, модель МГД успешно применяется для исследований гелиосферной плазш, при описании макроскопических образований в солнечном ветре. Ударные волны и тангенциальные разрывы играют существенную роль в динамике солнечной короны и солнечного ветра. Структуры магнитного поля и возмущения, рожденные на Солнце переносятся солнечным ветром к окрестности Земли, где, взаимодействуя с магнитосферой, приводят к таким часто наблюдаемым явлениям как полярные северные сияния и магнитные бури. Цель исследования

Целью настоящей работы является исследование не плоско-поляризованной задачи о взаимодействии тангенциального разрыва с быстрой и медленной ударной волной в общем случае. Научная новизна работы

Впервые рассмотрен не плоско-поляризованный случай взаимодействия сильных разрывов, когда вектора скорости и магнитной индукции не лежат в нормальной плоскости к волне. Предложен метод решения задачи путем сведения ее к исследованию двух не плоско-поляризованных течений, в которых вектора скорости и магнитной индукции параллельны, что позволяет существенно упростить систему уравнений МГД.

Найдены и исследованы все возможные конфигурации течений, определены границы между ниш в пространстве начальных параметров.

Впервые исследован наиболее интересный случай, когда одним из

пересекакщюся разрывов является медленная ударная волна. В результате пересечения изменяются интенсивности взаимодействующих разрывов.

Разработана методика, позволяющая по решению локальной задачи в окрестности точки пересечения разрывов, находить параметры течения и волн до взаимодействия.

Создан пакет программ, дахзций возможность решить любую задачу данного класса. Проведены расчеты в широком диапазоне начальных параметров и выявлены особенности течений всех типов. Практическая ценность

Полученные результаты могут быть использованы для анализа результатов численных расчетов и экспериментов, в которых возможны указанные взаимодействия, например, в электромагнитных ударных трубах и течениях струй проводящей жидкости в магнитном поле.

Результаты работы применимы для решения различных геофизических и астрофизических задач. Так , например, сильные разрывы, возникающие вследствие секторной структуры солнечной короны или в результате взаимодействий различных потоков плазмы, переносятся солнечным ветром в окрестности Земли, где пересекаются с головной ударной волной. Образовавшиеся при этом ударные волны распространяются внутрь переходного слоя и взаимодействуют с магнитопаузой Земли, которую принято аппроксимировать тангенциальным разрывом. Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на международной школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости и газа" в Самарканде в 1992 г., на семинарах " Методы гидромеханики" под руководством чл.-корр. А.Г. Куликовского , проф. A.A. Барминэ

в Институте механики МГУ. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы ( наименования ). Работа изложена на

//^страницах машинописного текста и содержит рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава посвящена детальному изложению свойств элементов стационарных автомодельных решений магнитной гидродинамики. Выбором системы координат перед ударной волной всегда можно добиться того, чтобы вектора v, н и нормаль к волне лежали в одной плоскости. Однако, при наличии еще одного направления, которым в случае взаимодействия разрывов является линия их пересечения, невозможно сделать течение плоско-поляризованным.

Поэтому приводится полное исследование быстрых и медленных ударных волн и течений типа Прандтля -Майера в не плоско-поляризованном течении в случае, когда вектор магнитной индукции параллелен вектору скорости перед волной. Законы сохранения на ударной волне преобразованы к наиболее удобному виду, когда все безразмерные величины за волной являются явными функциями числа Маха набегающего потока мо, числа Альфвена набегающего потока но , скачка плотности нз волне v. угла наклона волны ?>о и угла между вектором скорости и плоскостью нормали к волне:

h = sin«) cosd v = т]М h

m *o о nl о ill

1- a

h = cos© cose —--v = т)М h

xi ro о n - a xi о xi

1- а

Ь = --

о т) - а

=7)М Ь

О г!

= 1+ уЛ -

ро 0

(1-П) (1+ и-2ао)

2 (и - а )2

2 .2 2 + ГМ (1-7])31П « СОБ

О ' го о

2 2 2 2 2 Ь = © СОЭ I? + (1- 81П ф СОЭ 13 )

I 0 0 О О'

Р 2р /р + Ь ГИ

Ро 2 +• уКо2

(1-71) СОЭ(р

1д8 ---?-2—-

П - а + (I- 7})СОБ

- «„>

2 (7| - ао)г

271'

За т)+ а

2 (v - а)'

где р = р +

полное давление, 5

угол отклонения скорости к2

-?. Ь. =

потока за волной ог первоначального направления, а = -

ну 0

= д5- . V, = . ас - скорость звука.

о о

Параметры р , и ц связаны уравнением ударной адиабаты, разрешенном относительно и :

Э1П Ф =С031?" го о

2<ао-7))г+ М^о:о( ц^-т) <7+ 7осо+ао-2)+ао (г-1) ) 7)1? ( (г+ 1)7)2- (7- 1+ ао(у+2>) 7)+ гоо)

В случае V и н в зависимости от а перед волной могут возникнуть либо быстрые ( «о < I), либо медленные ( а > I) ударные юлны. С учетом условий эволюционности построены поляры.

Для быстрых волн на плоскости (а, р/р ) поляры представляют собой замкнутые кривые, подобные газодинамическим полярам. В плоско-поляризованном случае при наличии достаточно сильного магнитного толя они оканчиваются включающей ударной волной, тангенциальная составляющая магнитного поля перед которой равна

о

Т)

нулю, а за ней - отлична от нуля. Однако, дане при неболы отклонении вектора магнитной индукции от плоскости, нормальной волне, включающие волны не возникают и предельная интенсивное соответствует прямому скачку.

При «0 > I система уравнений, описывающая состояние поте перед медленной волной, может быть гиперболической или эллиптш гиперболической. В случае медленных волн, распространяющихся гиперболическому фэну, поляры состоят из двух замкнутых пете. Медленные волны, распространяющиеся по эллиптико-гшерболичесю состоянию, могут иметь только конечную интенсивность, их пол! аналогичны полярам быстрых волн.

Система дифференциальных уравнений, описывающая во. разрежения, может быть представлена в виде:

V*. (1- «0*> ( М02+ _ ) - V*

1-.а

V 2= Е^'г 1- а Щ 1- 1))+ а И V 2= М 2б1п2й •

<р 4 о к '' 0 г О О

1- аП

= к * ».= V*- м2+ - -А

5 = 90°- 9 - агс*д К=р/ро

<Р

Угол <р находится интегрированием: и

1 М0 О У- 1 * г- 1

V

-з1дп(НН ) <Р = V + -=--

хар 2

((г+1)к7-'+ За (М2+ 2 ж - 11±1Ш±11<хн' ^1 ' о1 о 7 - 1 у-1

V V

о. Г <Р

1 05

(Р = асоз ((-— - 1) (ос - 1))

хар о

М

Поляры ударных волн дополнены кривыми, соответствующими изменен

параметров потока за волной разрежения.

Определены пределы, в которых могут изменяться параме

течения за волной, а также области начальных параметров, в которых свойства волн качественно отличаются друг от друга. Исследованы качественные и количественные зависимости поляр от чисел Маха и Альфвена и изменения угла отклонения магнитного поля и скорости от нормальной плоскости перед волной.

Во второй главе изучены постановки задач о взаимодействии ударных волн с тангенциальными разрывами. Разрывы аппроксимируются плоскостями (рис I). Для простоты будем называть области О, I, 2 областью течения сверху от тангенциального разрыва, а области 3, 4 - снизу.

Выберем движущуюся систему координат, связанную с линией пересечения разрывов, которую примем за ось г. Ось х перпендикулярна ей, лежит в плоскости то и направлена так, чтобы «0 < 90° - ось у взята так, чтобы получилась правая декартова система координат (рис.1). Без нарушения общности можно считать, что в области О скорость и магнитное поле параллельны. В области 3 можно выбрать систему координат , в которой V и н всюду ниже тангенциального разрыва под т . В общем случае системы координат сверху и снизу от тангенциального разрыва движутся вдоль оси г относительно исходной с разными скоростями. То есть скачок скорости на тангенциальном разрыве ( его интенсивность ) изменяется. Поэтому, построенное решение должно быть пересчитано.

Так как задача не содержит характерного линейного размера, она допускает автомодельные решения, состоящие из ударных волн, течений типа Прандтля - Майера, тангенциального разрыва, разделяющего области с различными газодинамическими параметрами, и областей однородного течения (рис. I).

Для удовлетворения граничных условий на тангенциальном

-ю-

У

рис. 1

X

разрыве т1 ( у^ = о; = о,- р2+ = рз+ ) необходимо

наличие грех свободных параметров. Такими параметрами являются интенсивности двух волн - отраженной и преломленной и положение т .

1

При падении медленных волн на тангенциальные разрывы, а так же, когда скорости на тангенциальном разрыве противоположно направлены, в результате взаимодействия изменяются параметры набегающего потока или параметры потока под то соответственно, что приводит к изменению взаимодействующих разрывов. В этих случаях автомодельное решение применимо в окрестности точки взаимодействия, а параметры волн в этой окрестности отличаются от параметров на бесконечности. Формально можно рассмотреть все возможные решения в стационарной системе координат, но нельзя сказать, какой падающей Волне они соответствуют в действительности, если не учитывать условия на бесконечности.

Для учета этих условий для плоского течения найдены инварианты гиперболической системы, описывающей мапштогидро динамические течения:

х

5

■I.

а )(а (V -а ) + а ) о' о' о'

у/ (1 - а)

сЫ V"

ах

у

= Ьд (5 + п)

Г /{V2- а2) (а (У2-а2) + а2)

V (1 - а)

ау

ах Зу"

= tg (5 - ц) .

I = з

рУ Р

- всюду в области течения

I =

4 ру

I =

5

р ах

(7-1) р ' йу

= 1д Д

где

И = агсЪд J-

а (и2+ V2)+

(1- а) (иг+ V2- а2)

< I

характеристики, < I, « > г -случаях система не

В случае, когда у/ао > I и а соответствующие 11, 1г быстрые. Если 1 характеристики медленные. В других гиперболическая и этих характеристик нет.

Для корректной постановки задачи необходимо, чтобы количество тех характеристик, которые являются приходящими из бесконечности к точке взаимодействия и на которых значения инвариантов на бесконечности и вблизи точки взаимодействия совпадают, было достаточным для однозначного нахождения решения в локальной системе координат. Быстрые уходящие возмущения распространяются подобно газовой динамике назад по потоку, а медленные - вперед по потоку. Поэтому для медленной волны инвариант т2 постоянен на характеристике, уходящей в области течения перед волной.

Вначале' рассмотрим быструю падающую волну в случае, когда

V

скорости с двух сторон от т противоположно направлены и состояние снизу от т такое, что преломленная волна может быть толькс быстрой-

На тех характеристиках, которые являются приходящими иг бесконечности к точке взаимодействия, инварианты в локальной системе координат совпадают с соответствующими инвариантами на бесконечности, обозначенными звездочками. Так, в области О : г = I* , I = I* , I „ = I* , I = I* . г,„ приходит от

го 30 30 40 40 50 50 10 ^

тангенциального разрыва, который изменился после взаимодействия и поэтому не совпадает с х*0. В нумерации инвариантов первая цифра -номер инварианта, вторая - номер области.

В области I только приходит с бесконечности, все остальные инварианты изменят свои значения после взаимодействия. Е областях 2 и 4 нет характеристик, пришедших с бесконечности. Е области 3 : Хгз, 133 = 133, 143 = 143, 153 = 153 -

Посчитаем число неизвестных: в области 0 неизвестен I . Из

ю

условия 2г1 = с можно определить интенсивность эо через I . Тогда сверху от то неизвестной еще является интенсивность отраженной волны. В области 3 неизвестен I и интенсивность преломленной волны. Таким образом, число неизвестных совпадает с числом граничных условий на двух тангенциальных разрывах то и т к задача полностью определена.

Рассмотрим падение медленной волны. В области О сохраняю! свои значения следующие инварианты: хзо, I , I ( рис.2 ). I области I 121= 1% с. Пятым условием сверху от тангенциальны? разрывов является условие в области 2: I = 1% с . Числс граничных условий и переменных то же, что и в случае быстро! падающей волны, и задача полностью определена.

Аналогично рассматриваются случаи, когда скорости потоков на т сонаправлены, а преломленная волна медленная; когда скорости разнонаправлены и преломленная волна медленная; а так же все различные типы преломленных волн для падающей медленной волны.

Третья глава посвящена исследованиям всех возможных конфигураций течений, возникающих при взаимодействии ударной волны и тангенциального разрыва. Впервые аналитически доказана невозможность наличия в решении преломленной волны разрежения для однонаправленных скоростей на т. в случае разнонаправленных скоростей одна из двух волн - преломленной и отраженной всегда ударная, другая - волна разрежения. В пространстве начальных параметров построены границы существования решений, а также границы между решениями различных типов.

Численно построены и исследованы решения задачи во всей

области значений начальных параметров для которых они существуют.

^-Остановлено, что изменение направления скорости с одной из сторон на тангенциальном разрыве на противоположное . при остальных фиксированных параметрах, приводит к качественному изменению картины решения, в частности, вместо преломленной ударной волны может распространяться волна разрежения. При отсутствии скачка модуля скорости и наличии скачка модуля магнитного шля на тангенциальном разрыве, в отличие от газовой динамики, возможны решения с отраженной ударной волной при падении на менее плотную среду и, наоборот, с отраженной волной разрежения при падении на более плотную среду. Показано, что одно и то же решение существует для всех тангенциальных разрывов, на которых скачки плотностей

р , V 1 г

скорости связаны соотношением -у0 = const. Обнаружено, что

4 4'

цри определенных значениях параметров тангенциального разрыва, решение с медленной преломленной волной может переходить в решение с альфвеновским разрывом.

Четвертая глава посвящена применению полученных результатов к конкретным физическим задачам. Исследована задача о взаимодействии тангенциального разрыва солнечного ветра с головной ударной волной Земли. На основании решений, описаных в предыдущих главах, выявлены интересные качественные эффекты.

Дано объяснение тому факту, что временами головная ударная волна Земли не регистрируется космическими аппаратами. Это может быть следствием падения тангенциального разрыва на головную ударную волну, когда в результате взаимодействия она преломляется в виде медленной волны.

Рассмотрена задача о падении ударных волн на магнитопаузу

Земли. Выявлены области начальных параметров, при которых ударные волны являются геоэффектявными.

При рассмотрении конкретных задач важно связать построенное локальное автомодельное решение в случаае медленной преломленной волны или противоположно направленных скоростей на тангенциальном разрыве с картиной течения на бесконечности. Для этого предложен численный метод расчета интенсивно с тей разрывов до взаимодействия.

В заключении сделано обобщение проделанной работы и выделены основные качественные и количественные результаты

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ГО ТЫ® -ДИССЕРТАЦИИ

1. Барлин А. А., Пушкарь Е.А., Сазонова В. Н. Наклонное столкновение быстрых ударных волн, распространяющиеся навстречу ДРУГ другу в произвольном магнитном поле // Отчет Мн-та механтсиМГУ n 3800, 1989г.

2. Grib S.A., Pushkar Е.А., Sazonova v.n. Coronal shock waves generation at the transition through the directional discontinuity // солнечные данные i99i Бюллетень n II, ноябрь.

3. Сазонова В. Н. Магнитогидродинамическая модель взаимодействия возмущений солнечного ветра с магнитопаузой // Тезисы докладов vi мевдународной школы-семинара, Самарканд 26-30 октября 1992г.

4. Сазонова В. Н. Взаимодействие быстрой наклонной магнитогидродинамической волны с тангенциальным разрывом // Отчет Ин-та механики МГУ н 4260, 1993 г.

5. Grib S.A. Sazonova V.N. The apperance of slow shock waves in coronal streams.// Anales Geophisicae Supplement 1993,

t 3, v 11.