Нелинейные экстремальные задачи газовой динамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ОМЕЛЬЧЕНКО АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2002

Работа выполнена на кафедре гидроаэромеханики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного ун] верситета (г. Санкт-Петербург).

НАУЧНЫЕ — член-корреспондент РАН,

КОНСУЛЬТАНТЫ профессор Дулов Виктор Георгиевич

— доктор технических наук, профессор Усков Владимир Николаевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ — доктор физико-математических наук, ОППОНЕНТЫ профессор Баранцев Рэм Георгиевич

— академик РАН,

профессор Рыжов Юрий Алексеевич

— доктор физико-математических наук, профессор Тропп Эдуард Абрамович

ВЕДУЩАЯ — Центральный институт авиационного

ОРГАНИЗАЦИЯ моторостроения им. П. И. Баранова

Защита состоится 2003 г. в часов на засе-

дании диссертационного совета Д 212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан "«?/" 200^ г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.30, доктор физико-математических наук,

профессор С.А.Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В широком классе задач проектирования устройств топливно-энергетического комплекса и ракетно-космической техники, создания новых наукоемких технологий в химической промышленности и металлургии необходимы эффективные методы расчета и управления параметрами газодинамических течений. Под управлением понимается получение таких параметров, или режимов, течения, при которых конкретное газодинамическое устройство, как рабочий инструмент, наиболее эффективно выполняет свои функции для рассматриваемой прикладной задачи.

Одним из возможных способов управления газодинамическими течениями является синтез в них оптимальных ударно-волновых систем и структур, обладающих особыми свойствами в отношении отдельных параметров течения. Введение в методики расчета газодинамических течений задач об оптимальных ударно-волновых системах и структурах существенно осложняет используемый математический аппарат и затрудняет газодинамическое проектирование конкретных технических устройств. Разработка единых подходов и методов создания оптимальных ударно-волновых структур в газодинамических течениях и определяет актуальность темы диссертационного исследования.

Цель работы: создание единой методологии проектирования и расчета ударно-волновых систем и структур, обеспечивающих экстремальные значения газодинамических параметров за ними.

Научная новизна работы:

1. Установлены основные особенности поведения газодинамических переменных за нестационарной косой ударной волной, а также за ударно-волновыми структурами, образующимися при взаимодействии таких волн между собой.

2. Решена задача о взаимодействии двух плоских сверхзвуковых равномерных потоков совершенного невязкого газа, встречающихся под углом Д) (задача о распаде произвольного стационарного разрыва).

3. Получена связь производных на сильном разрыве для общего случая

системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными.

4. Решена задача о взаимодействии волны Прандтля - Майера со сдвиговым слоем в случае, когда малы завихренность потока в сдвиговом слое или угол поворота потока в волне. Показано, что рассматриваемая задача относится к классу сингулярно возмущенных задач вихревой газовой динамики. С использованием метода деформируемых координат получено равномерно пригодное первое приближение.

5. Проведен численный и аналитический анализ задач взаимодействия скачков уплотнения и простых волн Прандтля - Майера. Доказан факт неравномерности течения за исходящими из области взаимодействия волнами. Предложены и обоснованы простые аналитические модели, описывающие течение в области взаимодействия. Результаты исследования использованы при построении простой аналитической модели течения в первой бочке плоской перерасширенной струи.

6. С использованием метода динамического программирования найдены глобально оптимальные и единственные решения некоторого класса дискретных задач оптимального управления, возникающих в сверхзвуковой газовой динамике. Приведен анализ предельных свойств полученных решений.

7. Исследованы на оптимальность системы, имеющие ограничения на суммарный угол поворота потока. На основе анализа оптимальных для статического давления систем установлена связь задач построения оптимальных систем при наличии геометрических ограничений с задачами интерференции скачков уплотнения и простых волн.

Достоверность представленных результатов подтверждается сравнением с экспериментальными и численными данными, а также использованием точных аналитических соотношений.

Практическая ценность работы. На основе проведенных исследований получены простые аналитические решения, позволяющие для заданной газодинамической переменной проектировать оптимальные ударно-волновые системы, состоящие из произвольного числа волн. Анализ ряда

конкретных газодинамических задач позволил обобщить полученные результаты на случай систем квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными.

Положения, выносимые на защиту:

1. Основы теории построения оптимальных ударно-волновых систем и структур, обладающих особыми свойствами в отношении отдельных параметров течения.

2. Аналитические решения, описывающие ударно-волновые структуры, образующиеся при взаимодействии нестационарных косых ударных волн.

3. Аналитические критерии, определяющие тип исходящих из точки распада произвольного стационарного разрыва отраженных волн, а также соотношения, описывающие границы областей исходных параметров, в которых существует решение задачи распада.

4. Теоремы о связи производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными. Дифференциальный инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия сильного разрыва со встречным слабым разрывом.

5. Аналитические решения задачи о взаимодействии простых волн между собой и с вихревыми слоями в случае, когда интенсивность одной из приходящих волн является малым параметром задачи.

6. Аналитические модели, описывающие поведение газодинамических переменных в области взаимодействия сильного разрыва с простой волной.

7. Аналитические решения задач построения оптимальных ударно-волновых систем, состоящих из произвольного числа косых скачков уплотнения, а также ударно-волновых систем с дополнительными ограничениями на суммарный угол поворота потока.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции "Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке" (Москва, ЦАГИ, 1994); XVI Всероссийском семинаре "Струйные и нестационарные течения в газовой динамике" (Новосибирск, 1995); IV, V, VI, VII, VIII и X научных конференциях ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1995, 1996,1997, 1998, 1999, 2001); XVII, XVIII и XIX Всероссийских семинарах "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997, 2000, 2002); V международном конгрессе по звуку и вибрации (Adelaide, South Australia, 1997); Международном симпозиуме "Transport noise and vibration" (Tallinn, 1998); II, III, IV Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 1998; Москва, 2000; Санкт-Петербург, 2002); XII Международном симпозиуме по газовым потокам и химическим лазерам (Санкт-Петербург, 1998); первых и вторых Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 1997, 2000); X Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" (Переславль-Залесский, 1999); школе-семинаре "Аналитические методы в газовой динамике" им. Н.Н.Яненко (Санкт-Петербург, 2000); V Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург, 2001); Всероссийской школе - семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (САМГОП-2002) (Сне-жинск, 2002); X школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидно-динамики" (Сочи, 2002); научном семинаре кафедры Плазмогазодина-мических импульсных систем БГТУ под руководством проф. В.Н. Ус-кова (Санкт-Петербург); научном семинаре кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета СПбГУ под руководством проф. В.Г. Дулова (Санкт-Петербург).

Публикации. Полный список научных трудов по теме диссертации содержит семьдесят шесть наименований.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 132 наименований. Работа содержит 366 страниц и 99 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, описывается ее структура и формулируются основные результаты. Диссертация состоит из шести глав. Первые четыре главы посвящены расчету газодинамических параметров как за отдельными волнами, так и за ударно-волновыми структурами, образующимися в процессе взаимодействия волн между собой и с твердыми поверхностями. При этом отдельные волны, а также ударно-волновые структуры, образующиеся при взаимодействии сильных разрывов между собой, являются простейшими реакциями системы - потока газа - на внешние воздействия. Газодинамические параметры за такого рода объектами определяются из решения алгебраических систем, следующих из условий динамической совместности на отдельной волне.

Для расчета основных функционалов за более сложными ударно-волновыми конфигурациями, образующимися при взаимодействии простых волн между собой и с сильными разрывами, используется комплексный подход, включающий в себя методы теории групп, теории сингулярных возмущений, а также теории систем квазилинейных уравнений. Точные аналитические решения задач расчета таких конфигураций возможны только в случае высокой симметрии задачи. Наличие приближенных решений задач, близких к точно решаемым, существенно расширяет возможности управления системой.

С точки зрения дискретного оптимального управления полученный в первых четырех главах работы набор точно и приближенно решаемых задач является основой для построения целевых функций и ограничений в дискретных задачах оптимального управления. В качестве объекта управления выступает поток газа, состояние которого характеризуется множеством Р газодинамических переменных. Под действием внешних воздействий в потоке образуются ударно-волновые конфигурации, интенсивнос-тями которых можно управлять. Цель управления состоит в минимизации или максимизации выбранной газодинамической переменной / £ Р на выходе из системы. Описанные возможности управления потоком демонстрируются в последних главах на простейших одномерных объектах - ударно-волновых системах, состоящих из невзаимодействующих между собой одиночных волн.

В первой главе в рамках модели совершенного невязкого газа проводится анализ одиночных ударных и простых волн, а также ударно-волновых конфигураций, образующихся при взаимодействии ударных волн. С точки зрения рассматриваемых в данной работе задач дискретного оптимального управления указанные газодинамические объекты выступают в качестве основных управляющих воздействий на поток.

Изложение начинается с анализа соотношений на нестационарной косой ударной волне. В качестве основных параметров, определяющих движение ударной волны, выбираются скорость w движения ударной волны вдоль прямолинейной траектории, составляющей угол а с направлением движения потока, угол а наклона скачка к траектории, а также связанная с ними соотношением

Т Р2 М , \ (Uln ~ D\2 7-1 /..ч

J = — = (1 + г) - -е, е=-—г (1)

Pi Ч ai / 7 + 1 w

интенсивность ударной волны, зависящая от нормальных к фронту компонент скоростей щп = wsin(cr — a), D = wsinа и от термодинамических переменных исходного потока (скорости звука aj и показателя адиабаты 7). На основе условий динамической совместности на фронте ударной волны выводятся простые соотношения, связывающие основные газодинамические параметры потока до ударной волны и за ней. Проводится исследование областей существования одиночной ударной волны, находятся интенсивности и скорости распространения косой волны, при которых происходят качественные изменения в поведении газодинамических переменных за волной.

Рассмотрим, к примеру, связь угла ¡3 поворота потока на косой волне с углом ае = а — а:

Mj eos ae \

J + C M

1 + e

Здесь x = ±1 _ показатель направления движения волны, Mi — v\/a\ -число Маха потока перед волной.

На рис.1 представлены кривые а((3), построенные для различных значений Md < Mi —1 при числе Маха Мх = 3. Как видно из рисунка, характер поведения исследуемых зависимостей существенно зависит от числа Маха Мд. Так, при числах Мд £ (Mz,Mi-l) функции <г(/3) (кривые 1-3

на рис.1) качественно не отличаются от кривой <т(/3), построенной для случая стационарной ударной волны {Мр = 0; пунктирная кривая на рисунке). В случае Мд < Мг для любого значения /3 € [0°,180°] существует ударная волна, разворачивающая поток на заданный угол /3 (кривые 5-8 на рис.1). Особое число Маха Мг рассчитывается по формуле

Mz =

(1 - 2e)Mi - yfajf + 4(1 - g)2 2(1 - e)

(3)

а, град

/3, град

Рис.1.

Стационарный косой скачок уплотнения (и? = 0) и нестационарная одномерная ударная волна (и = 7г/2), представляющие собой частные случаи нестационарной косой ударной волны, являются наряду с простыми волнами основными управляющими воздействиями на двумерный стационарный сверхзвуковой и одномерный нестационарный потоки. Графическое представление соотношений, выполняющихся на ударных и простых

волнах, на плоскости интенсивностей волн позволяет найти особые интенсивности волн, играющие важную роль как в задачах интерференции газодинамических разрывов, так и в задачах построения оптимальных ударно-волновых систем.

Появление в потоке нескольких газодинамических разрывов обычно приводит к их пересечению (интерференции). Образующиеся в результате такого пересечения ударно-волновые структуры представляют собой более сложные управляющие воздействия на поток газа. Задача расчета любой регулярной ударно-волновой структуры может быть сведена к более общей задаче - так называемой задаче распада произвольного стационарного или нестационарного разрыва. Задача о распаде произвольного стационарного разрыва, в отличие от решенной еще в начале прошлого века задачи распада одномерного нестационарного разрыва, является значительно более сложной. Сложность в ее решении связана с неопределенностью вида исходящих из области взаимодействия волн, а также с возможностью отсутствия решения данной задачи при определенных значениях исходных параметров. В работе на основе графического анализа задачи на плоскости интенсивностей волн выводятся аналитические критерии, определяющие тип исходящих из точки встречи потоков волн. Определяются границы областей исходных параметров, в которых существует решение задачи.

Заключительная часть главы посвящена проблеме обращения движения в задачах, связанных с нестационарными косыми ударными волнами. Приводятся простые соотношения, позволяющие переходить от лабораторной системы координат к системе, связанной с движущейся ударной волной. В качестве примера подробно рассматривается задача о регулярном отражении плоской ударной волны от клина с углом полураствора /3*. •

Обращение движения, часто помогающее упростить задачу, не всегда возможно. В работе приводится модельный пример движения тройной конфигурации ударных волн, в котором обращение движения осуществить невозможно. Для решения такого рода задач используются соотношения на косой нестационарной ударной волне, выведенные в начале главы.

Вторая глава служит основой для получения аналитических соотношений, позволяющих строить форму сильного или слабого разрыва, рас-

пространяющегося по неравномерному потоку. В первой части главы выводится связь производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений, гиперболической по г в некоторой од-носвязной области Ф переменных {х,Ь,и) и приводящейся к нормальной форме:

ди лди

т+Ад~х=ъ- <4>

Здесь и = «[Ж] - вектор неизвестных функций, N - индексное множество размером |ЛГ| = п, А = ТУ] и Ь — Ь[.ЛГ] - известные матрица и вектор, зависящие от вектора и и двух независимых переменных х и t. Домножая (4) слева на левый собственный вектор матрицы А, получим эквивалентную (4) систему в характеристической форме

Ь{к) V + \кЬ{к) и = Ь[к)Ь, Л = 1,...,п. (5)

Здесь V = <9и/сЙ, II = ди/дх, \к - соответствующее собственное значение матрицы А. Если в рассматриваемой области имеется единственная линия сильного разрыва, траектория которой задается уравнением = £), то решение системы (4) можно построить, разбивая область П на две подобласти - П1 и Пг, разделенные линией сильного разрыва, и записывая из соответствующих (4) интегральных законов сохранения на линии х(£) разрыва т.н. условия динамической совместности

Б[и] = [ф(и,х^)], [и] = и2 - щ, £) = ж'(г), (6)

связывающие левые (щ 6 П1) и правые (щ Е ^2) предельные значения решения на линии разрыва. Построенное таким образом решение удовлетворяет требованиям единственности и непрерывной зависимости решения от начальных, если на линии х{Ь) сильного разрыва выполняются неравенства

(7)

В работе для случая неособой матрицы А доказывается следующее утверждение:

Теорема 2.1. Пусть соотношения (6) на сильном разрыве имеют

вид

[и] = р(иь [«],£), (8)

и у матрицы Е — д<р/д[и] существует обратная. Тогда производные функции щ(х, I) за сильным разрывом линейно выражаются через производные функции щ{х,{) до него, а также через производную (Ю/йЬ, характеризующую ускорение сильного разрыва:

дщ , , дщ <Ш

"я^ = + Ф* "я1 + -77,

ох ох аг

(9)

дщ т т дщ т сШ

Ж = + +

В работе выводятся аналогичные результаты в более сложных случаях соотношений (6) на сильном разрыве, а также в случае особой матрицы системы. Подробно рассматриваются два важных частных случая данной задачи - случай искривленного скачка уплотнения в завихренном сверхзвуковом потоке идеального совершенного газа, а также случай движущейся с ускорением по одномерному вихревому потоку идеального совершенного газа нестационарной ударной волны.

Во второй части главы осуществляется переход от рассматриваемых систем к системам, записанным в инвариантах (так называемым продолженным системам). Используя полученные системы, записываются основные соотношения, выполняющиеся на слабых разрывах, выводятся транспортные уравнения, описывающие изменение интенсивности слабого разрыва вдоль траектории его движения, и производится их анализ.

В заключительной части главы рассматривается задача взаимодействия сильного и слабого разрывов. Хорошо известно, что линия слабого разрыва совпадает с одной из характеристик системы (5), т.е. существует такое к Е (1,...,п), что ¿х/йЬ — А к - Сама линия при этом называется линией слабого разрыва индекса к. Если слабый разрыв индекса к при I — О принадлежит подобласти Ох (т.н. встречный разрыв индекса к), то при любом к = 1,...,п он будет иметь точку (жь^) 6 П пересечения с сильным разрывом. В результате взаимодействия в подобласти П2 возникнут п — 1 исходящих из точки слабых разрыва индекса к,

к — 2,. ..,п, совпадающих по направлению с характеристиками,отвечающими А4(и2(£),а;(£),г), к = 2,..., тг. Кроме того, скачкообразно изменится кривизна сильного разрыва.

Пусть , и , С/'1) - векторы производных за сильным разрывом в зонах (тг) и (1) до и за точкой взаимодействия, [У]ш = — У^ и [[/]„, = — и^ - векторы разрыва производных за сильным разрывом. В работе доказываются следующие утверждения.

Лемма 2.1. В случае, когда сильный разрыв индекса 1 взаимодействует со встречным слабым разрывом, векторы [У]ш и [{/]«, разрыва производных за сильным разрывом ортогональны левому собственному вектору Ь^ , построенному по значениям и = и2 в подобласти •'

= 2Я[[О, = 0. (Ю)

Следствие Разрыв [«Ш/<Й] кривизны сильного разрыва линейно зависит от векторов [V]/. и [С/]*, разрыва производных на встречном разрыве индекса к.

0 = 2Я{фа Щ+ Фд 1

6Л .

(11)

Теорема 2.2. Произведение левого собственного вектора на производную йщ/Л вектор-функции щ по £ в направлении сильного разрыва не меняется в процессе взаимодействия сильного разрыва со встречным слабым разрывом и равно

£(1)^1 = =: = (12) а М ¿т 4

Теорема 2.3. Условием отсутствия слабого разрыва индекса т, исходящего из точки взаимодействия сильного разрыва индекса 1 со слабым встречным разрывом, является ортогональность векторов [У]ш и [£/]„, разрыва производных за сильным разрывом левому собственному вектору

= = 0. (13)

Формулы (11) и (12) служат основой для получения аналитических соотношений, позволяющих строить форму сильного или слабого разрыва, распространяющегося по неравномерному потоку.

Аналогичные результаты формулируются и в случае взаимодействия сильного разрыва с догоняющим его слабым разрывом. Подробно рассматриваются частные случаи рассмотренных задач, встречающихся в газовой динамике - задачи взаимодействия стационарного косого скачка уплотнения, а также нестационарной одномерной ударной волны со слабыми разрывами.

В третьей главе проводятся исследования ударно-волновых структур, образующихся при взаимодействии простых волн между собой. В первой части главы для случая однородной и автономной системы вводится понятие простой волны индекса к. Подробно анализируются простые волны, возникающие при изучении сверхзвуковых стационарных и одномерных нестационарных течений газа.

Во второй части главы описывается общая схема взаимодействия простых волн между собой. Анализируется возможность получения аналитических решений данной задачи, базирующаяся, в основном, на асимптотических разложениях искомых функций в ряды по малым параметрам исходной задачи в случае, если постановка задачи такие параметры содержит. В качестве примера подробно разбирается задача о взаимодействии волны Прандтля - Майера со сдвиговым слоем, часто возникающая в сверхзвуковой стационарной газовой динамике (рис.2).

Аналитические решения этой задачи получаются в случае, когда завихренность потока в сдвиговом слое мала, а также в случае малого угла поворота потока в простой волне Прандтля - Майера. В первом случае аналитическое решение строится на основе асимптотического разложения газодинамических функций по малому параметру 6 = тах|М(у) — М^/Мх, характеризующему величину завихренности потока в сдвиговом слое 2. Нулевое приближение представляет собой течение в центрированной волне Прандтля - Майера. Система уравнений, описывающая задачу в первом приближении, записывается в инвариантах. Матрица правой части такой системы оказывается треугольной. Отмеченные обстоятельства позволяют получить аналитическое решение, последовательно, одно за другим решая входящие в нее линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка относительно неизвестных функций /М.

Рис.2.

Как видно из рисунка, область взаимодействия неограниченна по г. Последнее обстоятельство является причиной неравномерности полученного асимптотического разложения: результате интегрирования описанной выше системы вдоль характеристик первого семейства в выражениях для /М появляются секулярные члены. Последнее делает разложение непригодным на больших расстояниях от стенки. Для получения равномерно пригодного разложения в работе используется метод деформируемых координат. Показывается, что в результате перехода от (г, у) к деформированным переменным («, по формулам

1р = з + <^г2(М) + • • •) г = в которых функция <р2 определена из условия

(14)

получается равномерно пригодное первое приближение.

На рис.3 представлены результаты расчетов числа Маха вдоль

характеристик первого семейства, построенные для Мг = 3, Мг = 3.3 (6 = 0.1), = 3°, 6° и 9° (кривые 1, 2 и 3 соответственно), а также распределения по кубической параболе профиля скорости в вихревом слое.

Сплошные кривые отвечают значениям, рассчитанным с помощью метода характеристик, а кривые, построенные точками - данные, полученные с использованием нулевого и первого членов асимптотического разложения. Как видно из рисунка, полученное аналитическое решение довольно неплохо описывает газодинамику в области взаимодействия.

М

Рис.3.

За последней характеристикой ОВз волны имеет место взаимодействие слабо завихренного слоя В1Е1В2Е2 со слабо искривленным течением в простой нецентрированной волне ^С^-СЬ (рис.4). В рассматриваемой области течение в нулевом приближении представляет собой плоскопараллельный безвихревой поток, газодинамические параметры и в котором совпадают с числом Маха МШ1 и углом #„1 за простой волной 1131. В работе строится равномерно пригодное первое приближение, с высокой степенью точности описывающее течение за ОВ3. Показывается, что при определенных распределениях скорости в сдвиговом слое

характеристики в образующейся в результате взаимодействия отраженной простой волне С^Я^Г^-Из пересекаются, и в потоке образуется скачок уплотнения. Находятся координаты зарождения скачка, а также функция,

Рис.4.

Второй, важной для практики подзадачей является задача взаимодействия вихревого слоя с волной, в которой сверхзвуковой поток разворачивается на малый угол. В заключительной части главы аналитическое решение такой задачи строится как на основе разложения по малому параметру (углу поворота потока), так и на основе разложения по одной из независимых переменных (полярному углу). Показывается, что подходы, развитые применительно к задачам взаимодействия простой волны Пран-дтля - Майера с вихревым слоем, можно использовать для построения аналитических решений в более простых задачах взаимодействия изэн-тропических волн между собой. Обсуждаются возможности применения этих подходов в задачах взаимодействия простых воли в нестационарной газовой динамике, а также в общей задаче взаимодействия простых волн.

В четвертой главе проводятся исследования ударно-волновых структур, образующихся при взаимодействии простых волн с сильными разрывами. В первой части главы описывается общая схема расчета поля течения в области взаимодействия сильного разрыва с простой волной. Отмечается, что в виду присутствия догоняющих сильный разрыв слабых возмущений область взаимодействия является неограниченной, а траектория

движения сильного разрыва - криволинейной. Присутствует возможность вырождения сильного разрыва, а также пересечение характеристик к-го семейства в процессе взаимодействия.

Точное аналитическое решение такого рода задач возможно лишь в исключительных случаях, поэтому обычно эти задачи решаются численно, например, методом характеристик. Однако с точки зрения теории дискретного оптимального управления такой подход неприемлем. Возникает необходимость в получении простых аналитических моделей, описывающих взаимодействие сильных разрывов и простых волн. Указанные модели должны давать интегральные характеристики потока на выходе из области взаимодействия, а также позволять при необходимости с достаточной степенью точности строить как траекторию сильного разрыва, так и геометрию области взаимодействия за ним.

Традиционно для приближенного аналитического решения такого рода задач постулируется, что область взаимодействия конечна, а результатом взаимодействия являются исходящий прямолинейный сильный разрыв и тг — 1 простая волна. Используя такого рода предположение, можно приближенно определить значения вектора и на границе данной области, а также форму сильного разрыва.

Недостатком описанного выше подхода является то, что погрешность, вносимую за счет упрощающих предположений, нельзя уменьшить никакими дальнейшими приближениями. Другая возможность получения аналитических решений основана на асимптотическом разложении искомых функций в ряды по малым параметрам задачи в случае, если таковые имеют место. В рассматриваемых задачах в качестве малого параметра могут выступать интенсивность сильного разрыва или интенсивность простой волны. В обоих случаях возможно выстроить как форму сильного разрыва, так и значения искомых функций во всей области за сильным разрывом. При этом в случае малой интенсивности Р¡¡. падающей простой волны использование изложенных во второй главе результатов решения задачи о взаимодействии сильного разрыва со встречным слабым разрывом позволяет выписать явное уравнение, описывающее в первом приближении траекторию сильного разрыва:

йР _ ь'г^хи

<и ~ ' 1 ]

Записанное соотношение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее в первом приближении форму сильного разрыва. Начальные условия для этого уравнения определяются из решения задачи о взаимодействии сильного разрыва со слабым.

I

Рис.5.

Во второй части главы указанные выше возможности демонстрируются на примере задачи расчета поля течения в области взаимодействия скачка уплотнения со встречной волной разрежения (рис.5). Пересечение скачка в! с первой, разрывной характеристикой О А волны ии\ приводит

к искривлению скачка уплотнения, а также к появлению преломленной разрывной характеристики AD, отделяющей область равномерного течения за si от течения Прандтля - Майера (область I на рисунке). Дальнейшее проникновение скачка si вглубь волны сопровождается плавным изменением его интенсивности J, равной отношению статических давлений за и до скачком, а следовательно, изменением приращения энтропии As на скачке. Исходящая из точки А линия тока т\ является, таким образом, нижней границей области II вихревого течения за искривленным скачком. Взаимодействие скачка с центрированной волной заканчивается в точке В пересечения скачка с замыкающей характеристикой OB волны. Результатом пересечения является преломленная характеристика ВС , уходящая вглубь вихревого слоя II, а также линия тока т2, отделяющая вихревую область II от области III, лежащей за исходящим из области взаимодействия скачком s2 •

В первой главе показывается, что в процессе взаимодействия между собой сильных разрывов возможно образование ударно-волновой конфигурации с исходящей из точки пересечения сильных разрывов центрированной волны разрежения малой интенсивности или, что то же самое, малой ширины 5V. При построении оптимальных ударно-волновых систем, в которых такая ударно-волновая конфигурация является одним из составляющих систему элементов, может возникнуть необходимость в решении задачи взаимодействия центрированной волны с расположенным за этой конфигурацией скачком уплотнения. Это соображение оправдывает попытки поиска аналитического решения задачи взаимодействия центрированной волны разрежения с косым скачком в виде рядов по малому параметру 59. В представленной работе получены первые два члена этого ряда, позволяющие описать как газодинамику, так и геометрию области взаимодействия.

Часто считается, что прошедший сквозь волну разрежения скачок уплотнения s2 — прямолинейный, а течение в области III за ним — равномерное. Однако это не так: течение за скачком s2 выше линии т2 остается вихревым, а сам скачок — криволинейным. Действительно, форма скачка на участке s определяется как прямым влиянием (со стороны волны w 1), так и обратным влиянием на него со стороны вихревого слоя, образующегося за скачком s в результате интерференции. На участке s2 прямое влияние отсутствует, но обратное остается: в произвольную точку Щ скач-

ка S2 приходят возмущения из точек вихревой области, лежащих левее характристики первого семейства H\H<i- Степень искривленности скачка s2, а также степень завихренности потока за ним можно определить, исходя из численных расчетов картины течения в области взаимодействия. Проведенные в настоящей работе численные исследования показали, что в широком диапазоне входных параметров как кривизной скачка s2, так и завихренностью течения за ним можно пренебречь. Это позволяет построить решение в области ABC в виде ряда по малому параметру задачи Ss, равному значению завихренности Р3 в точке А взаимодействия скачка sj со слабым разрывом О А (рис.5).

При таком выборе малого параметра в нулевом приближении течение в области ABC за скачком представляет собой простую нецентрирован-иую волну Прандтля - Майера, а скачок уплотнения рассчитывается из условия (15) отсутствия обратного влияния области ABC на скачок. В рассматриваемом частном случае уравнение (15) переписывается так:

= (1 - s)(M(¿)2 - 1) Г(М(у))(А„ + А21) - (-412 + А22)

М(<р)3г.(<р) А15 + А25 ' 1 j

Здесь M(v) - число Маха в волне u>i, A;¿(M, J(<p)) - коэффициенты при неравномерностях в формулах типа (9), J((p) - интенсивность скачка. Записывая выражение для кривизны в полярной системе координат, несложно из (16) получить обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее в нулевом приближении форму скачка и позволяющее определить все газодинамические параметры за ним.

Течение в области ABC в нулевом приближении представляет собой простую волну индекса 2. Это позволяет определить как геометрию, так и газодинамику течения в области взаимодействия.

Как показали проведенные расчеты, при тех значениях входных параметров, для которых справедливо предположение о малой завихренности потока за скачком, уже нулевое приближение дает хорошее совпадение с точным решением. Так, при числе Маха набегающего потока, равном Мо — 1.2, отличие в значениях числа Маха М^ и угла в области взаимодействия от соответствующих значений, полученных методом характеристик, не превосходит нескольких процентов. Аналогичное совпадение наблюдается и при больших (Mq > 2.6) числах Маха в случае, когда

интенсивность ,741 не слишком велика 1„\ < 2. С увеличением интенсивности точность нулевого приближения при больших числах Маха Мо ухудшается, и для удовлетворительного совпадения с численными результатами необходимо учитывать следующие члены в разложении искомых функций по малому параметру.

Несмотря на хорошее описание поля течения в области взаимодействия, описанное выше решение имеет один существенный недостаток - для определения газодинамических параметров на выходе из области взаимодействия даже в нулевом приближении требуется решать обыкновенные дифференциальные уравнения. Последнее затрудняет использование этого решения в задаче построения оптимальных ударно-волновых систем. Решения, полученные для случая малой ширины падающей волны , таким недостатком не обладают - параметры на выходе из области взаимодействия явно выражаются через параметры на входе. Однако при малых Мо или Jsl точность этих соотношений невелика.

Более простые аналитические соотношения можно получить, считая, что область взаимодействия конечна, а результатом взаимодействия являются исходящие из этой области скачок уплотнения , простая не-центрированная волна Прандтля - Майера , а также разделяющий их сдвиговый слой, ограниченный слабыми разрывами т\ и т<1. Газодинамические переменные за исходящими из области взаимодействия волнами в такой ударно-волновой конфигурации можно рассчитать, используя условия динамической совместности на сильном разрыве, а также алгебраические соотношения, связывающие переменные по обе стороны простой волны Прандтля - Майера и сдвигового слоя. Полученные с использованием данного подхода решения качественно совпадают с результатами численных расчетов.

Особый интерес представляет изменение числа Маха за криволинейным скачком. Расчеты поля течения методом характеристик показывают, что при малых Мо функция М^./^, А(р) больше единицы и монотонно возрастает с ростом А<р. Начиная с Мо й 1.7 функция М1(А^) при больших ведет себя немонотонно, достигая максимума при некотором Д(р = Д^0(М0, .7,1). В диапазоне Д^ £ [Ду>ь, Ду>тах] число Маха за криволинейным скачком уменьшается, оставаясь при этом сверхзвуковым. Наконец, при числах Маха М0 > М& яз 2 появляется диапазон значений Зех и <р, при которых Мах за скачком становится дозвуковым.

На рис.6 представлен график изменения числа Маха М1 за скачком, построенный для числа Маха Мо = 3. Как видно из рисунка, при таком Мо функция М1(<^) монотонно возрастает только при очень малых ин-тенсивностях приходящего скачка «1. Уже при = 1.1 у исследуемой функции появляется максимум, а при = 4 число Маха за скачком обращается в единицу при <р = ^гаах. Для 1ех > 4 на плоскости 1пМ! = О появляется область значений и <р, в которой Мх оказывается меньше единицы (заштрихованный криволинейный треугольник на рис.6). Заметим, что в этом случае расчет течения за скачком методом характеристик становится невозможным.

Параметрический анализ решений, полученных на основе условий динамической совместности, позволяет получить аналитические выражения, определяющие число Маха М&, начиная с которого возможно появление дозвуковой области за криволинейным скачком, а также области

значений и Д<р, при которых течение за скачком становится дозвуковым.

В заключительной части главы кратко обсуждается возможность применения описанных выше методов получения аналитических решений в задаче о взаимодействии скачка уплотнения с догоняющей простой волной, а также при построении простых аналитических моделей течения в первой бочке плоской перерасширенной струи.

В пятой главе рассматриваются ударно-волновые системы, каждый элемент которых представляет собой одиночную волну. Под оптимальной для заданной газодинамической переменной / ударно-волновой системой £„ понимается система, обеспечивающая экстремальные значения / за последней волной в 5„. Показывается, что задачи построения оптимальных систем являются дискретными задачами оптимального управления. При этом в роли управляющих параметров выступают интенсивности входящих в систему волн, а роль фазовых переменных играют множества ^ газодинамических переменных, характеризующие состояние потока газа за к-й волной. Записываются соотношения, позволяющие в явном виде вычислять функционалы, характеризующие качество управления, по заданному допустимому управлению и длительности (числу шагов) управления.

Во второй части главы подробно исследуются системы, содержащие простую изэнтропическую волну, а также системы, состоящие из п скачков уплотнения. На основе анализа систем с простой волной предъявляется набор газодинамических переменных, для которых оптимальные ударно-волновые системы существуют. Показывается, что для каждой газодинамической переменной из этого набора имеется свое особое число Маха М/, торможение или разгон потока до которого превращает ударно-волновую систему с простой волной в оптимальную. Это же число Маха является особым и для систем, состоящих из нескольких косых скачков уплотнения - такая система оказывается эффективнее одного скачка, доставляющего экстремум заданной газодинамической переменной, только если число Маха Мо набегающего потока больше или равно М/.

Построение оптимальных п-скачковых систем проводится на примере системы, состоящей из п косых скачков уплотнения и доставляющей максимальное значение статическому давлению за последним скачком.

При фиксированных п > 2, > 1, £ G (0,1/3] данная экстремальная задача может быть сформулирована так:

максимизировать

£1п Л

k=1

(17)

при ограничениях

1 <Jk< AifJ-k-i),

1 <Jn< В0xn_!), B(t) =

fik — ¡j.k-i<f(Jk), к = 1...п-1, (1 + e)t-l

Здесь

<p(t) =

t + s

t(l + ety

(i-11

4s2

Введем обозначение /х* = 1/(1 — е). В работе доказываются следующие утверждения.

Теорема 4.1. При fio € [1,/t*] единственным решением задачи (17) является набор J* = J2* = ... = — 1, J* = B(fi0). При /х0 > ц* единственное решение задачи (17) определяется так:

J* = J¡= ... = Jn-i =' J*, J*=B(/Ci), Здесь J* - единственный на [l,A(/¿o)j корень уравнения

#\"]П — 1

J

J + e

71 — 2

{l + eJ)n=M{l-e)(l + e)\

(18)

Экстремальное значение целевой функции задачи (17) обозначим через Ьп и будем рассматривать его как функцию параметра /¿о.

Теорема 4.2. Функция Ьп(цо) непрерывно дифференцируема на полуоси [1,+оо). При этом в критической точке ца — справедливы равенства

2 1-е2

= ь —-, =

Теорема 4.3. При фиксированном /¿о > имеет место предельное соотношение

1 + £ 2

Ит £„(/х0) = Ь[(1 - + Ь —-.

71

Аналогичные результаты доказываются и для других газодинамических переменных.

В последнем разделе главы содержится анализ n-скачковых систем при п оо. В первой его части осуществляется предельный переход в полученных в предыдущем разделе решениях и поясняется, что в результате такого перехода получается решение, имеющее ясный физический смысл. Во второй части предельный переход осуществляется не в решении, а в постановке задачи. В результате получается довольно простая непрерывная задача оптимального управления, которая допускает аналитические решения даже в том случае, когда не удается построить решение исходной дискретной задачи.

Заключительная, шестая глава посвящена важному с практической точки зрения подклассу дискретных оптимальных задач газовой динамики - задач с дополнительными ограничениями - равенствами. Простейшими примерами такого рода являются задачи построения оптимальных стационарных ударно-волновых систем, имеющих ограничения на суммарный угол поворота потока вида

Е ффк{Щ-ъ Jk) = const f3s. (19)

k=i

В представленной работе последовательно исследуются на оптимальность ударно-волновая система, состоящая из двух стационарных косых скачков уплотнения, система "скачок уплотнения и последующая волна разрежения", а также система "волна разрежения - скачок уплотнения". В каждой из этих систем считаются заданными все газодинамические параметры перед первой волной в системе, а также суммарный угол поворота потока в системе. Показывается, что подобно системам волн, описанным в предыдущей главе, рассматриваемые системы при определенных значениях интенсивностей входящих в них волн являются оптимальными для большинства газодинамических переменных. Приводятся аналитические решения, позволяющие определить границы областей монотонного и немонотонного поведения газодинамических переменных за системой, а также рассчитать значения интенсивностей волн в оптимальной системе.

Анализ областей немонотонного поведения статического давления в рассматриваемых системах показывает, что границы этих областей сов-

падают с границами областей смены типа отраженных разрывов, образующихся при взаимодействии входящих в эти системы волн. Указанное наблюдение позволяет дать простое обьяснение возникновению отраженной волны, исходящей из области взаимодействия догоняющих волн.

Рис. 7.

Действительно, рассмотрим, к примеру, задачу регулярного взаимодействия догоняющих скачков уплотнения 1 и 2 (рис.7). В результате

пересечения этих скачков возникают исходящие результирующий скачок 5 и отраженный разрыв 3, а также расположенный между ними тангенциальный разрыв. Отраженный разрыв может быть как волной разрежения (рис.7,а), так и скачком уплотнения (рис.7,в). В частом случае он является слабым разрывом (рис.7,б,г), а возникающая при этом структура называется тройной конфигурацией ударных волн.

Сравнение статического давления за скачком уплотнения (точка Ь на рис.7), за волной сжатия (тонкая прямая линия на рис.7) и за системой из двух скачков при ограничении (19) (толстая сплошная кривая на рис.7), проведенное в данной главе, позволяет дать простое обьяснение возникновению отраженного разрыва в точке взаимодействия догоняющих скачков уплотнения.

Вначале рассмотрим случай, когда интенсивность Зс волны сжатия много больше интенсивности скачка уплотнения, поворачивающего поток на тот же угол (очень малые или очень большие числа Маха; рис.7,а). Как показано в работе, статическое давление за системой из двух догоняющих скачков в этом случае превосходит статическое давление на одном скачке. При взаимодействии таких скачков обязана возникнуть центрированная волна разрежения (рис.7,а), выравнивающая статическое давление на тангенциальном разрыве 4. Такая волна, во-первых, понижает статическое давление за скачками 1 и 2, а во-вторых, доворачивает поток на угол, больший, чем (За — + /?2, увеличивая тем самым угол /З5 поворота потока на исходящем из точки А взаимодействия скачке 5 и повышая статическое давление за ним.

Обратная картина наблюдается при Зъ Зс (умеренные числа Маха; рис.7,в). В этом случае при одинаковом угле поворота статическое давление за одним скачком превышает давление за системой из двух скачков. Возникающий при взаимодействии входящих в систему скачков отраженный разрыв 3 должен быть скачком уплотнения (рис.7,в). С одной стороны, он повышает статическое давление за скачками 1 и 2, а с другой - снижает статическое давление за скачком 5 за счет уменьшения угла /35 поворота потока на нем по сравнению с углом ¡Зе поворота потока в системе.

Наконец, в ситуации, когда Зь »г Зс (рис.7,б,г), функция 3г(3\) может быть как больше, так и меньше Зь. В первом случае отраженный разрыв является волной разрежения, во втором - скачком уплотнения. В обоих

случаях его интенсивность близка к единице. Точное равенство ./з = 1 достигается при некотором из интервала (1,7ь) и соответствует тройной конфигурации ударных волн. Границы областей немонотонности при этом совпадают с границами областей существования тройных конфигураций.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В общем виде получены соотношения, определяющие поведение газодинамических переменных за нестационарным двумерным разрывом, и проведен их параметрический анализ.

2. В результате решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва аналитически определены области существования решения задачи, а также критерии смены типа исходящих волн.

3. Получена связь основных неравномерностей потока по обе стороны криволинейного скачка уплотнения и нестационарной ударной волны. Произведено обобщение на случай квазилинейных гиперболических систем как с неособенной, так и особенной матрицей.

4. Детально исследовано взаимодействие слабых и сильных разрывов. Найден инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия.

5. Исследованы особенности взаимодействия простых волн между собой, с сильными разрывами и с вихревыми слоями. Доказано, что в случае малой интенсивности одной из приходящих волн задача является сингулярно возмущенной. С использованием метода деформируемых координат построено равномерно пригодное решение.

6. Решена задача о построении оптимальных ударно-волновых систем, доставляющих экстремальные значения газодинамических переменных за последней волной в системе. Изучено поведение оптимальной системы при увеличении числа волн до бесконечности.

7. Найдены оптимальные ударно-волновые системы, имеющие ограничения на суммарный угол поворота потока. Установлена связь таких систем с ударно-волновыми структурами, образующимися при взаимодействии ударных волн.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Полученные в диссертационной работе результаты изложены в семидесяти шести научных трудах, основными из которых являются:

1. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы //Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1995. №6. С.118-126.

2. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы при ограничениях на суммарный угол поворота потока //Изв.РАН. Механика жидкости и газа. 1996. №4. С.142-150.

3. Омельченко A.B., Усков В.Н. Экстремальная система 'волна разрежения - скачок уплотнения' в стационарном потоке газа //Прикладная математика и техническая физика. 1997. Т.38. №2. С.40-47.

4. Омельченко A.B., Усков В.Н. Геометрия оптимальных ударно-волновых систем //Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т.38. N5. С.29-35.

5. Омельченко A.B., Усков В.Н. Максимальные углы поворота сверхзвукового потока в ударно-волновых системах //Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. №3. С.148-156.

6. Омельченко A.B., Усков В.Н. Распад центрированной волны сжатия Прандтля - Майера в стационарном потоке газа //Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т.39. №3. С.1-10.

7. Ерофеев В.К., Омельченко A.B., Усков В.Н. Анализ акустического импеданса в стационарных сверхзвуковых течениях //Инженерно-физический журнал. 1998. Т.71. №4. С.663-668.

8. Малоземов В.Н., Омельченко A.B., Усков В.Н. О минимизации потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока //Прикладная математика и механика. Т.62. Вып.6, 1998. С.1015-1021.

9. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные догоняющие скачки уплотнения с ограничениями на суммарный угол поворота потока //Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т.40. №4. С.99-108.

10. Кожемякин А.О., Омельченко A.B., Усков В.Н. Наклонное взаимодействие сверхзвуковых потоков //Изв.РАН. Механика жидкости и газа. 1999. №5. С.123-131.

11. Глазнев В.Н., Запрягаев В.И., Усков В.Н., Терехова Н.М., Ерофеев В.К., Григорьев В.В., Кожемякин А.О., Котенок В.А., Омельченко A.B. Струйные и нестационарные течения в газовой динамике. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

12. Омельченко A.B. Обобщенный инвариант Честера - Уизема //Письма в ЖТФ. 2001. Т.27. .Ya 21. С.6-12.

13. Омельченко A.B. Дифференциальные характеристики потока за ударной волной //Журнал технической физики. 2002. Т.72. Д° 1. С.20-27.

14. Омельченко A.B. О связи производных на сильном разрыве //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т.42. До 8. С.1246-1257.

15. Омельченко A.B., Усков В.Н. Интерференция нестационарных косых ударных волн //Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Л° 12. С.5-12.

16. Омельченко A.B., Тао Ган, Усков В.Н. О поведении газодинамических переменных за косой ударной волной /В сб. статей "Современные проблемы неравновесной газо- и термодинамики". СПб.: Изд-во БГТУ, 2002. С.179-191.

17. Мешков В.Р., Омельченко A.B., Усков В.Н. Взаимодействие скачка уплотнения со встречной волной разрежения // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер.1. 2002. Вып.2 (Л° 9). С.99-106.

18. Омельченко A.B. Взаимодействие простой волны Прандтля - Майера со слабо завихренным слоем //Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Л? .20. С.87-94.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97.

Подписано в печать СД Объем в пл. 4-.

Тираж /оо. ' Заказ

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства СПбГПУ 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Отпечатано на ризографе 1Ш-2000 БР Поставщик оборудования — фирма "Р-ПРИНТ" Телефон: (812) 110-65-09 Факс: (812) 315-23-04

Основные условные обозначения

Введение

1 Сильные разрывы и ударно-волновые структуры в газовой динамике

1.1. Основные соотношения на двумерном нестационарном газодинамическом разрыве.

1.2. Особые интенсивности и скорости распространения косой ударной волны.

1.3. Основные соотношения на скачке уплотнения. Плоскость интенсивностей волн.

1.4. Основные соотношения в волнах Прандтля - Майера.

1.5. Основные соотношения на ударной волне и в волне Ри-мана.

1.6. Ударно-волновые структуры и их отображения на плоскости интенсивностей волн.

1.7. Постановка задачи о взаимодействии двух плоских сверхзвуковых равномерных потоков, встречающихся под некоторым углом.1 »

1.8. Анализ задачи на плоскости интенсивностей волн.

1.9. Решения задачи при больших значениях угла /?0.

1.10. Решение задачи в случае, когда точка О принадлежит области, ограниченной огибающей и предельной кривой.

1.11. Решение задачи в случае, когда точка О расположена внутри области, ограниченной огибающей.

1.12. Постановка задачи о распаде центрированной волны сжатия.

1.13. Решение задачи о распаде центрированной волны.

1.14. Обращение движения в задачах о движении нестационарной косой ударной волны.

1.15. Регулярное отражение плоской ударной волны от клина.

1.16. Нестационарная ударно-волновая конфигурация, образующаяся при движении ветвящейся ударной волны в тройной конфигурации ударных волн.

2 Взаимодействие сильных и слабых разрывов

2.1. Постановка задачи о связи производных на сильном разрыве.

2.2. Связь производных на сильном разрыве в случае неособой матрицы А.

2.3. Связь производных на сильном разрыве в случае особой матрицы А.

2.4. Основные уравнения, описывающие стационарные сверхзвуковые течения совершенного невязкого газа.

2.5. Связь производных на криволинейном скачке уплотнения.

• 2.6. Основные уравнения, описывающие нестационарное одномерное течение совершенного невязкого газа.

2.7. Связь производных на нестационарной одномерной ударной волне.

2.8. Соотношения на слабых разрывах. Продолженные системы. Транспортные уравнения.

2.9. Слабые разрывы в стационарном сверхзвуковом потоке.

2.10. Слабые разрывы в нестационарном одномерном потоке.

2.11. Взаимодействие сильного и слабого разрывов.

2.12. Обобщенный инвариант Честера - Уизема.

2.13. Взаимодействие скачка уплотнения со слабыми разрывами.

2.14. Особые интенсивности скачка уплотнения.

2.15. Взаимодействие нестационарной ударной волны со слабым разрывом.

2.16. Кривизна скачка уплотнения в перерасширенной струе, истекающей из источника.

Взаимодействие простых волн между собой

3.1. Простые волны индекса к.в.

3.2. Простые волны в сверхзвуковой стационарной газовой динамике.

3.3. Простые волны в нестационарной одномерной газовой динамике.

3.4. Взаимодействие простых волн между собой.

3.5. Схема взаимодействия простой волны Прандтля - Майера со сдвиговым слоем.

3.6. Слой со слабой завихренностью.

3.7. Построение равномерно пригодного разложения методом деформируемых координат.

3.8. Построение решения в области за замыкающей характеристикой волны.

3.9. Образование скачка уплотнения в отраженной от стенки волне.

3.10. Взаимодействие вихревого слоя с простой волной, разворачивающей поток на малый угол. Разложение по параметру.

3.11. Взаимодействие вихревого слоя с простой волной, разворачивающей поток на малый угол. Разложение по координате.

3.12. Взаимодействие простой волны со встречной простой волной, кривизна линий тока в которой мала.

Взаимодействие простых волн с сильными разрывами

4.1. Общая схема взаимодействия сильного разрыва со встречной простой волной.

4.2. Приближенные аналитические методы решения задач взаимодействия сильного разрыва со встречной слабой волной.

4.3. Схема взаимодействия скачка уплотнения со встречной волной разрежения.

4.4. Анализ результатов численных расчетов поля течения в области взаимодействия.

4.5. Построение решения в случае малой ширины падающей волны.

4.6. Построение решения в случае малой завихренности потока в области за скачком.

4.7. Приближенные интегральные соотношения, описывающие поведение газодинамических переменных на выходе из области взаимодействия.

4.8. Взаимодействие волны разрежения с догоняющим скачком уплотнения.

4.9. Критерии типа отраженной волны.

4.10. Приближенная аналитическая модель течения в первой бочке перерасширенной струи.

5 Простейшие задачи дискретного оптимального управления в газовой динамике

5.1. Ударно-волновые системы в стационарном двумерном потоке.

5.2. Оптимальные ударно-волновые системы. Связь с теорией дискретного оптимального управления.

5.3. Оптимальные системы с простыми волнами.

5.4. Формулировка основных результатов в задаче о максимизации статического давления.

5.5. Вспомогательные предложения.

5.6. Оптимальные двухскачковые системы.

5.7. Оптимальные трехскачковые системы.

5.8. Оптимальные п-скачковые системы.

5.9. Свойства экстремального значения целевой функции.

5.10. Системы, оптимальные для плотности, скоростного напора и акустического импеданса.

5.11. Системы, оптимальные для восстановления полного давления.

5.12. Оптимальные волны Прандтля - Майера как предель---ный случай оптимальных многоскачковых систем.

5.13. Ударно-волновые системы в нестационарном одномерном потоке.

5.14. Оптимальные нестационарные ударно-волновые системы.

6 Оптимальные ударно-волновые системы с дополнительными ограничениями-равенствами

6.1. Оптимальные ударно-волновые системы при дополнительных ограничениях на суммарный угол поворота потока.

6.2. Ударно-волновая система, состоящая из двух косых скачков уплотнения.

6.3. Поведение статического давления в системе из двух скачков.

6.4. Особые интенсивности и числа Маха в системе из двух скачков.

6.5. Связь двухскачковой системы с волной сжатия.}

6.6. Физический смысл отраженного разрыва в задаче о взаимодействии догоняющих скачков уплотнения.

6.7. Ударно-волновая система "волна разрежения - скачок уплотнения".

6.8. Поведение статического давления в системе "волна разрежения - скачок уплотнения".

6.9. Поведение температуры в системе "волна разрежения -скачок уплотнения".

6.10. Ударно-волновая система "скачок уплотнения - волна разрежения".

6.11. Замечание о связи с задачами взаимодействия волн.

В широком классе задач проектирования устройств топливно-энергетического комплекса и ракетно-космической техники, создания новых наукоемких технологий в химической промышленности и металлургии необходимы эффективные методы расчета и управления параметрами газодинамических течений. Под управлением понимается получение таких параметров, или режимов, течения, при которых конкретное газодинамическое устройство, как рабочий инструмент, наиболее эффективно выполняет свои функции для рассматриваемой прикладной задачи.

Традиционно для решения такого рода экстремальных задач в газовой динамике используются вариационные методы [34, 35, 47, 85, 97]. Помимо'несомненных достоинств, указанные методы обладают рядом ограничений. Точные аналитические решения вариационных задач можно получить в исключительных случаях. Как правило, такие решения получаются методом контрольного контура, необходимым условием применимости которого является отсутствие у искомых оптимальных образующих внутренних изломов [47, 97]. Непосредственное применение прямых методов вариационного исчисления требует больших вычислительных ресурсов - в процессе решения необходим многократный расчет обтекания семейства образующих, ни одна из которых не является оптимальной.

Для снижения вычислительных затрат необходим предварительный анализ структуры оптимальной конфигурации с выявлением ее характерных особенностей [35]. Как правило, такой анализ основан на применении упрощенных моделей. Наиболее популярными являются т.н. локальные модели, позволяющие связать давление в любой точке поверхности тела с углом наклона между нормалью к поверхности и вектором скорости набегающего потока. Основной их недостаток -ограниченные диапазоны чисел Маха, при которых применимы полученные на основе локальных моделей формулы. В представленной ра боте предлагается альтернативный подход к рассматриваемой проблеме, основанный на генерации в потоке оптимальных ударно-волновых систем и структур, обладающих особыми свойствами в отношении отдельных параметров течения. Задачи построения такого рода систем относятся к дискретным задачам оптимального управления, трудоемкость решения которых много меньше трудоемкости аналогичных задач прямыми методами вариационного исчисления.

Впервые понятие оптимальных ударно-волновых систем возникло в сороковых годах прошлого века в связи с проблемой торможения сверхзвукового потока до дозвуковых скоростей с минимальными потерями полного давления [18, 68]. В России данной проблемой занимался Г. И. Петров, в Германии - К. Осватич. В их исследованиях было установлено, что потери полного давления в системе из нескольких косых и замыкающего прямого скачков уплотнения всегда меньше потерь полного давления на одиночном прямом скачке. При этом для заданного числа скачков всегда можно подобрать их интенсивности так, чтобы потери полного давления были минимальными. Г. И. Петров в своих работах исследовал также поведение статического давления в системе из нескольких косых и замыкающего прямого скачков уплотнения. Он показал, что при некоторых числах Маха набегающего потока справедлив аналогичный результат - такие системы оказываются эффективнее одного прямого скачка.

Интенсивности косых скачков в оптимальных системах в работах Г. И. Петрова определялись численно. Из результатов расчетов следовало, что эти интенсивности должны быть примерно равны между собой. К. Осватич решал задачу об оптимальном восстановлении полного давления аналитически. Он показал, что в точке, подозрительной на экстремум, интенсивности косых скачков должны быть равны между собой. Однако явный вид решения в его работах получен не был. Это было обусловлено, прежде всего, отсутствием простых и удобных для проведения аналитических выкладок соотношений, связывающих значения газодинамических параметров как на отдельной волне, так и в ударно-волновой системе.

В современном, удобном для практики виде соотношения на косом скачке уплотнения получил Ф. Шуберт в 1943 г. Однако до начала исследований, связанных с взаимодействием ударных волн, результаты Ф. Шуберта широкую известность не получили. В конце сороковых годов появилась группа работ, посвященных исследованию взаимодействия газодинамических разрывов между собой и с твердой поверхностью, и, в первую очередь, маховского отражения ударной волны. Первые комплексные (экспериментальные и теоретические) исследования отражения ударных волн от твердой поверхности были выполнены Г. Эгинком, Л. Смитом, В. Бликнеем и А. Таубом [103, 107]. Теория "разветвленных" скачков уплотнения, первоначально предназначенная для объяснения эффектов взаимодействия скачка с пограничным слоем на стенке, была разработана А. Вейзе, Г. Эгинком и Ф. Веккеном [16]. По совету Толмина в новой форме, более простой и удобной в применении на практике, эту теорию представил В. Вуст [17]. Для анализа течения в точке ветвления скачков он ввел "сердцевидные" кривые на плоскости А = 1п(рх/р),/3 ((3 — угол поворота потока на косом скачке уплотнения) и использовал соотношение Ф. Шуберта для описания параметров за скачком.

В наиболее удобной для практики форме соотношения на косом скачке уплотнения были записаны В. Н. Усковым [4, 78, 88]. В качестве основной независимой переменной им было предложено использовать интенсивность волны, представляющую собой отношение статических давлений за волной и до нее. Анализ изомах на плоскости А,/3 интенсивностей волн позволил В. Н. Ускову найти аналитическое решение задачи построения оптимальной для полного или статического давления системы, состоящей из косого и замыкающего прямого скачков уплотнения. Полученные результаты в начале 80-х годов прошлого века были доложены на семинаре у Г. И. Петрова, который предложил получить аналитическое решение задачи в общем случае п-скачковой системы.

Такое решение было предъявлено в работе [52], опубликованной в 1995 году. В ней наряду с системами, оптимизирующими статическое или полное давление, были исследованы системы, максимизирующие плотность или скоростной напор. В работах [24, 56] список газодинамических переменных, для которых существуют оптимальные ударно-волновые системы, был расширен, а в [55] была исследована геометрия таких систем. В работе [42] было отмечено, что рассматриваемые задачи относятся к задачам нелинейного программирования с нелинейными ограничениями-неравенствами. Для системы, оптимизирующей полное давление, были проверены достаточные условия локальной оптимальности в точке, подозрительной на экстремум. Однако вопрос о глобальной оптимальности и единственности полученного решения оставался открытым.

Наряду с одиночными волнами в ударно-волновую систему могут входить и более сложные ударно-волновые конфигурации, образующиеся при взаимодействии двух или нескольких волн. Простейшие ударно-волновые структуры образуются в результате взаимодействия сильных разрывов. Пересечение этих разрывов происходит в точке, из которой наряду с отраженными волнами исходит тангенциальный или контактный разрыв. Условия динамической совместности на этом разрыве позволяют свести задачу определения газодинамики в окрестности точки взаимодействия к решению алгебраической системы уравнений. Наиболее просто такая система решается в случае взаимодействия нестационарных одномерных ударных волн [8, 26,83,126]. Особенностью взаимодействия стационарных разрывов являются отсутствие решения при определенных значениях входных параметров, возможность смены типа исходящих волн, а также переход от регулярного к нерегулярному взаимодействию газодинамических разрывов [38, 40, 44, 66, 92]. Полученные в работах [4, 7, 66, 70, 74, 77, 78, 88], [107]—[113] результаты легли в основу современной теории интерференции сильных разрывов.

В случае регулярного взаимодействия любая задача об интерференции сильных разрывов может быть сведена к более общей задаче о распаде произвольного разрыва [76]. В случае изотермического газа задача о распаде нестационарного одномерного разрыва была впервые поставлена и решена Б. Риманом [75]. Качественное исследование этой задачи для политропных газов было проведено Н. Б. Кочиным [33], а для нормальных газов - Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [40]. Похожая задача о распаде разрыва на скачке сечения в полной постановке была решена В. Г. Дуловым [23] и И. К. Яушевым [101], а в линейной постановке - У. Честером [96]. Частные случаи задачи о распаде произвольного стационарного разрыва рассматривались в монографиях [20, 30] и в статье [57]. Качественный анализ задачи в общем случае проведен в работах [31, 32].

Более сложными являются задачи взаимодействия простых волн между собой и с сильными разрывами. Количество задач, допускающих точное аналитическое решение, сравнительно невелико. Как правило, эти решения получаются на основе группового анализа дифференциальных уравнений [11, 27, 48, 49, 50, 51, 80] или метода дифференциальных связей [76, 82]. Классическим примером такого рода является решение задачи взаимодействия изэнтропических волн Ри-мана [49, 76, 94]. Однако уже в случае взаимодействия простых волн Прандтля - Майера аналитическое решение задачи получить не удается. Аналогичная ситуация имеет место в задачах взаимодействия простых волн с сильными разрывами и с вихревыми слоями. Во всех этих примерах возможность получения аналитических решений связана, в основном, с наличием малого параметра. Если постановка задачи такие параметры содержит, решение можно строить на основе асимптотических разложений искомых функций в ряды по малому параметру [15, 45, 46].

Среди работ российских исследователей на эту тему следует прежде всего отметить монографию Г. Г. Черного [92], в которой на основе метода малых возмущений была решена задача об обтекании тела, близкого к клину, сверхзвуковым потоком газа. За рубежом аналогичные задачи рассматривались в [122, 130]. В этих работах было замечено, что строящееся асимптотическое разложение является неравномерным и оказывается непригодным вдали от профиля. М. Лайтхилл разработал общий метод устранения неоднород-ностей [121], применимый к широкому классу задач, описывающихся системами дифференциальных уравнений гиперболического типа [116, 117,123,124,127,130,131], — метод деформируемых коориднат [15] или метод Пуанкаре - Лайтхилла - Го [91].

Отмеченные выше методы оказываются эффективными при решении задач взаимодействия простых волн между собой, а также простых волн с сильными разрывами в случае, когда интенсивности взаимодействующих волн малы. При больших интенсивностях входящих в ударно-волновую систему волн обычно используются т.н. иррациональные приближения [15]. Характерным примером таких приближений является обобщенный метод волн разрежения [90, 92, 98], впервые использованный в задаче определения давления на криволинейном контуре, обтекаемом сверхзвуковым потоком. В основе метода лежит предположение о малости отраженных от скачка уплотнения возмущений. Пренебрегая этими возмущениями, можно приближенно определить форму ударной волны, а также поле течения за ним. Аналогичные идеи были реализованы в задаче о распространении нестационарной ударной волны по каналу переменного сечения [104, 105, 132], а также в задаче взаимодействия скачка уплотнения со сдвиговым слоем [5, 125].

В основу метода волн разрежения и его обобщений положены результаты решения задач о взаимодействии сильного и слабого разрывов. Расчет такого рода взаимодействий, а также изучение течений за искривленными ударными волнами привели к необходимости получения соотношений, связывающих такие характеристики сильных разрывов, как кривизна скачка уплотнения, ускорение ударной волны, с производными газодинамических переменных по обе стороны от сильного разрыва. Первые результаты в этой области, полученные в [92, 119, 129] еще в конце 40-х годов прошлого века, касались частного случая плоского или осесимметричного стационарного искривленного скачка уплотнения. Несколько позднее эти результаты были обобщены авторами работ [12, 29, 79, 120] на случай задач с большей размерностью. Удобные для практики соотношения для случая плоского или осесимметричного искривленного скачка уплотнения были получены в работах В.Н.Ускова (см., например, монографию [4]). Однако большинство соотношений, связывающих производные по обе стороны сильного разрыва, по-прежнему имеет довольно громоздкий вид.

Одновременно с решением конкретных газодинамических-задач в 50-60 годах появился целый ряд работ, касающихся теории сильных разрывов и волн в магнитной газодинамике [9,13, 36], теории детонации и горения [93, 94], а также обобщения полученных результатов на случай произвольных систем квазилинейных уравнений. Среди них особое место занимают монографии [39, 76]. Современное состояние рассматриваемых вопросов представлено в недавно вышедшей работе [37].

Уникальным объектом для исследований зарождения, развития и взаимодействия газодинамических разрывов является сверхзвуковая нерасчетная струя [2]-[4]. Скачки уплотнения возникают в сопле [69], в первой и последующей бочках затопленной струи. Отражение скачков от оси симметрии происходит нерегулярно, с образованием тройных конфигураций ударных волн. Неравномерность течения в струе вызывает искривление скачков уплотнения. Еще более сложная система волн образуется, если в поле течения струи имеется преграда [81]. Взаимодействие отошедшего от преграды скачка уплотнения с разрывами в затопленной струе приводит к новым ударно-волновым структурам. Неустойчивость к малым возмущениям является причиной возникновения нестационарных режимов течения. Введение в методики расчета струйных течений задач об оптимальном управлении параметрами течения существенно усложняет используемый математический аппарат. В связи с этим особую актуальность приобретают методы, основанные на генерации оптимальных ударно-волновых систем и структур.

Целью настоящей работы является создание единой методологии проектирования и расчета ударно-волновых систем и структур, обеспечивающих экстремальные значения газодинамических параметров за ними.

В главе 1 в рамках модели совершенного невязкого газа проводится анализ одиночных ударных и простых волн, а также ударно-волновых конфигураций, образующихся при взаимодействии ударных волн. С точки зрения рассматриваемых в работе задач дискретного оптимального управления указанные газодинамические объекты выступают в качестве основных управляющих воздействий на поток. Решается задача о распаде произвольного стационарного разрыва.

Основные результаты этой главы опубликованы в работах [19, 31, 57, 63, 64]. В монографии [19] автором работы совместно с А.О.Кожемякиным и В.Н.Усковым подготовлена вторая глава. В„Н.Усков принимал участие в написании введения к главе и в постановке задачи, а А.О.Кожемякин - в формулировке численного алгоритма решения задачи о распаде разрыва. В статьях [31, 57, 63, 64] В.Н.Усков принимал участие в постановке рассматриваемых задач. В работе [31] А.О.Кожемякин провел численный расчет областей существования решения задачи о распаде. В статье [64] численные расчеты провел Тао Ган.

В главе 2 выводится связь производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными, приводящейся к нормальной форме. Приводятся решения задач взаимодействия сильного разрыва со встречными и догоняющими слабыми разрывами. В случае взаимодействия сильного разрыва со встречным слабым разрывом выводится инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [60, 61, 62].

В главе 3 проводятся исследования ударно-волновых структур, образующихся при взаимодействии простых волн между собой. Анализируется возможность получения аналитических решений данной задачи, базирующаяся, в основном, на асимптотических разложениях искомых функций в ряды по малым параметрам исходной задачи в случае, если постановка задачи такие параметры содержит. В качестве примера подробно разбирается задача о взаимодействии волны Прандтля — Майера со сдвиговым слоем, часто возникающая в сверхзвуковой стационарной газовой динамике. Основные результаты этой главы опубликованы в работе [65].

В главе 4 проводятся исследования ударно-волновых структур, образующихся при взаимодействии простых волн с сильными разрывами. Описывается общая схема расчета поля течения в области взаимодействия сильного разрыва с простой волной. Обсуждаются простые аналитические модели, описывающие такие взаимодействия. В качестве примера подробно разбирается задача расчета поля течения в области взаимодействия скачка уплотнения со встречной волной разрежения. Основные результаты этой главы опубликованы в работе [43]. В этой работе В.Н.Усков принял участие в постановке задачи, а В.Р.Мешков провел численные расчеты.

В главе 5 рассматриваются простейшие оптимальные ударно-волновые системы, состоящие из п скачков уплотнения. Показывается, что задачи построения оптимальных систем являются дискретными задачами оптимального управления. Используя метод динамического программирования, определяются точки, подозрительные на экстремум, а затем доказывается глобальная оптимальность и единственность полученных решений. Исследуются предельные свойства экстремального значения целевой функции как функции параметров задачи.

Основные результаты этой главы опубликованы в работах [24, 42, 52, 55, 56]. В статьях [24, 42, 55, 56] В.Н.Усков принимал участие в постановке задачи. В работе [52] ему также принадлежат результаты, связанные с построением одно- и двухскачковых оптимальных систем. В.К.Ерофеев исследовал в статье [24] поведение акустического импеданса на тангенциальном разрыве. В.Н.Малоземов в работе [42] принял участие в доказательстве строгой локальной оптимальности полученного решения, а также в исследовании асимптотического поведения решения.

Заключительная, шестая глава посвящена важному с практической точки зрения подклассу дискретных оптимальных задач газовой динамики — задач с дополнительными ограничениями - равенствами, например, задач, имеющих ограничения на суммарный угол поворота потока. Последовательно исследуются на оптимальность ударно-волновая система, состоящая из двух стационарных косых скачков уплотнения, система "скачок уплотнения и последующая волна разрежения", а также система "волна разрежения - скачок уплотнения". Анализ областей немонотонного поведения статического давления в рассматриваемых системах показывает, что границы этих областей совпадают с границами областей смены типа отраженных разрывов, образующихся при взаимодействии входящих в эти системы волн. Указанное наблюдение позволяет дать простое обьяснение возникновению отраженной волны, исходящей из области взаимодействия догоняющих волн. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [53, 54, 59]. В этих работах В.Н.Усков принял участие в постановке задачи, а также в физической интерпретации полученных результатов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Основы теории построения оптимальных ударно-волновых систем и структур, обладающих особыми свойствами в отношении отдельных параметров течения.

2. Аналитические решения, описывающие ударно-волновые структуры, образующиеся при взаимодействии нестационарных косых ударных волн.

3. Аналитические критерии, определяющие тип исходящих из точки распада произвольного стационарного разрыва отраженных волн, а также соотношения, описывающие границы областей исходных параметров, в которых существует решение задачи распада.

4. Теоремы о связи производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными. Дифференциальный инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия сильного разрыва со встречным слабым разрывом.

5. Аналитические решения задачи о взаимодействии простых волн между собой и с вихревыми слоями в случае, когда интенсивность одной из приходящих волн является малым параметром задачи.

6. Аналитические модели, описывающие поведение газодинамических переменных в области взаимодействия сильного разрыва с простой волной.

7. Аналитические решения задач построения оптимальных ударно-волновых систем, состоящих из произвольного числа косых скачков уплотнения, а также ударно-волновых систем с дополнительными ограничениями на суммарный угол поворота потока.

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Установлены основные особенности поведения газодинамических переменных за нестационарной косой ударной волной, а также за ударно-волновыми структурами, образующимися при взаимодействии таких волн между собой.

2. Решена задача о взаимодействии двух плоских сверхзвуковых равномерных потоков совершенного невязкого газа, встречающихся под углом /?о (задача о распаде произвольного стационарного разрыва).

3. Получена связь производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными.

4. Решена задача о взаимодействии волны Прандтля - Майера со сдвиговым слоем в случае, когда малы завихренность потока в сдвиговом слое или угол поворота потока в волне. Показано, что рассматриваемая задача относится к классу сингулярно возмущенных задач вихревой газовой динамики. С использованием метода деформируемых координат получено равномерно пригодное первое приближение.

5. Проведен численный и аналитический анализ задач взаимодействия скачков уплотнения и простых волн Прандтля - Майера. Доказан факт неравномерности течения за исходящими из области взаимодействия волнами. Предложены и обоснованы простые аналитические модели, описывающие течение в области взаимодействия. Результаты исследования использованы при построении простой аналитической модели течения в первой бочке плоской перерасширенной струи. а

6. С использованием метода динамического программирования найдены глобально оптимальные и единственные решения некоторого класса дискретных задач оптимального управления, возникающих в сверхзвуковой газовой динамике. Приведен анализ предельных свойств полученных решений.

7. Исследованы на оптимальность системы, имеющие ограничения на суммарный угол поворота потока. На основе анализа оптимальных для статического давления систем установлена связь задач построения оптимальных систем при наличии геометрических ограничений с задачами интерференции скачков уплотнения и простых волн.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе проведенных исследований получены простые аналитические решения, позволяющие для заданной газодинамической переменной проектировать оптимальные ударно-волновые системы, состоящие из произвольного числа волн. Анализ ряда конкретных газодинамических задач позволил обобщить полученные результаты на случай систем квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными.

Основные результаты работы доложены и обсуждены на Международной конференции "Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке" (Москва, ЦАГИ, 1994); XVI Всероссийском семинаре "Струйные и нестационарные течения в газовой динамике" (Новосибирск, 1995); IV, V, VI, VII, VIII и X научных конференциях ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2001); XVII, XVIII и XIX Всероссийских семинарах "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург,

1997, 2000, 2002); V международном конгрессе по звуку и вибрации (Adelaide, South Australia, 1997); Международном симпозиуме "Transport noise and vibration" (Tallinn, 1998); II, III, IV Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 1998; Москва, 2000; Санкт-Петербург, 2002); XII Международном симпозиуме по газовым потокам и химическим лазерам (Санкт-Петербург, 1998); первых и вторых Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 1997, 2000); X Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" (Переславль-Залесский, 1999); школе-семинаре "Аналитические методы в газовой динамике" им. Н.Н.Яненко (Санкт-Петербург, 2000); V Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург, 2001); Всероссийской школе - семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (САМГОП-2002) (Снежинск, 2002); X школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2002); научном семинаре кафедры Плазмогазодинамических импульсных систем БГТУ под руководством проф. В.Н. Ускова (Санкт-Петербург); научном семинаре кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета СПбГУ под руководством проф. В.Г. Дулова (Санкт-Петербург).

Полный список научных трудов по теме диссертации содержит 76 наименований, в числе которых 16 статей в российских журналах "Известия РАН. Механика жидкостей и газов", "Прикладная математика и механика", "Прикладная механика и техническая физика", "Журнал вычислительной математики и математической физики", "Журнал технической физики", "Письма в журнал технической физики", "Акустический журнал", "Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1", "Инженерно-физический журнал". Часть полученных в работе результатов опубликована в монографии [19].

Основные результаты и выводы диссертационного исследования состоят в следующем.

1. В общем виде получены соотношения, определяющие поведение газодинамических переменных за нестационарным двумерным разрывом, и проведен их параметрический анализ.

2. В результате решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва аналитически определены области существования решения задачи, а также критерии смены типа исходящих волн.

3. Получена связь основных неравномерностей потока по обе стороны криволинейного скачка уплотнения и нестационарной ударной волны. Произведено обобщение на случай квазилинейных гиперболических систем как с неособенной, так и особенной матрицей.

4. Детально исследовано взаимодействие слабых и сильных разрывов. Найден инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия.

5. Исследованы особенности взаимодействия простых волн между собой, с сильными разрывами и с вихревыми слоями. Доказано, что в случае малой интенсивности одной из приходящих волн задача является сингулярно возмущенной. С использованием метода деформируемых координат построено равномерно пригодное решение.

6. Решена задача о построении оптимальных ударно-волновых систем, доставляющих экстремальные значения газодинамических переменных за последней волной в системе. Изучено поведение оптимальной системы при увеличении числа волн до бесконечности.

7. Найдены оптимальные ударно-волновые системы, имеющие ограничения на суммарный угол поворота потока. Установлена связь таких систем с ударно-волновыми структурами, образующимися при взаимодействии ударных волн.

Заключение

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. 4.1 М.: Наука, 1991.

2. Авдуевский B.C., Ашратов Э.А., Пирумов У.Г. Сверхзвуковые неизобарические струи газа. М.: Машиностроение, 1985.

3. Аверенкова Г.И., Ашратов Э.А., Волконская Т.Г. и др. Сверхзвуковые струи идеального газа. 4.2. М.: Изд-во МГУ, 1971.

4. Адрианов А.Л., Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995.

5. Адрианов А.Л. О модельной кривизне скачка уплотнения в неравномерном потоке //Вычислительные технологии, 2000. Т.5. №6. С.3-14.

6. Арсенин В.Я., Яненко H.H. О взаимодействии бегущей и ударной волн в изотермическом газе. ДАН. 1956. Т.109. №4.

7. Арутюнян Г.М., Карчевский Л.В. Отраженные ударные волны. М.: Машиностроение, 1973.

8. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука, 1977.

9. Бай Ши-и Магнитная газодинамика и динамика плазмы. М.: Мир, 1964.

10. Веллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. л-ры, 1960.

11. Виркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд-во иностр. л-ры, 1954.

12. Влохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1986.

13. Влохин A.M., Дружинин И.Ю. Сильные разрывы в магнитной гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1993.

14. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.

15. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.

16. Веккен Ф. Предельные положения вилкообразных скачков уплотнения. /В сб. переводов "Механика", 1950, №4. С.24-34.

17. Бюст В. К теории развлетвленных скачков уплотнения. /В сб. статей "Газовая динамика". М.:ИЛ, 1950. С.131-143.

18. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. М.: Физматгиз, 1960.

19. Глазнев В.Н., Запрягаев В.И., Усков В.Н., Терехова Н.М., Ерофеев В.К., Григорьев В.В., Кожемякин А.О., Котенок В.А., Омельченко A.B. Струйные и нестационарные течения в газовой динамике. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

20. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

21. Григоренко В.Л., Крайко А.Н. О внутренних скачках уплотнения при сверхзвуковом обтекании идеальным газом конфигураций клин — пластинка и конус — цилиндр //Прикл. математика и механика, 1986. Т.50. Вып.1. С.91-97.

22. Домбровский Г.А. Метод аппроксимации адиабаты в теории плоских течений газа. М.: Наука, 1964.

23. Дулов В.Г. Распад произвольного разрыва параметров газа на скачке площади сечения. //Вестник ЛГУ. Серия математики, механики и астрономии, 1958. № 19. Вып.4. С.76-99.

24. Ерофеев В.К., Омельченко A.B., Усков В.Н. Анализ акустического импеданса в стационарных сверхзвуковых течениях //Инженерно-физический журнал. 1998. Т.71. №4. С.663-668.

25. Жуков А.И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики. Труды Матем. ин-та1. АН СССР. № 7. i960.

26. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных явлений. М.: Физматгиз, 1963. '

27. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

28. Кацкова О.Н., Наумова И.Н., Шмыглевский Ю.Д., Шулиншина Н.П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М.: ВЦ АН СССР, 1961.

29. Кенцер Ч. Дискретизация граничных условий на движущихся разрывах/В сб. "Численные методы в механике жидкостей". М.:Мир, 1973.

30. Киреев В.И., Войновский A.C. Численное моделирование газодинамических течений. М.:Изд-во МАИ, 1991.

31. Кожемякин А. О., Омельченко A.B., У сков В.Н. Наклонное взаимодействие сверхзвуковых потоков //Изв.РАН. Механика жидкости и газа. 1999. №5. С.123-131.

32. Кожемякин А. О. Решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва: Дис. . к-та физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 2000.

33. Кочин Н.Е. К теории разрывов жидкости. Собрание сочинений. Т.2. М.: Гостехиздат, 1948.

34. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979.

35. Крайко А.Н., Пудовиков Д.Е., Якунина Г.Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. М.: Янус-К, 2001.

36. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Физматлит, 1962.

37. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

38. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Иностр. лит-ра, 1950.

39. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

41. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

42. Малоземов В.Н., Омельченко A.B., Усков В.Н. О минимизации потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока //Прикладная математика и механика. Т.62. Вып.6, 1998. С.1015-1021.

43. Мешков В.Р., Омельченко A.B., Усков В.Н. Взаимодействие скачка уплотнения со встречной волной разрежения // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер.1. 2002. Вып.2 (№ 9). С.99-106.

44. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. л-ры, 1961.

45. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

46. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

47. Никольский A.A. О телах вращения с протоком, обладающих наименьшим волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке. Жуковский: Труды ЦАГИ, 1950.

48. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

49. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

50. Овсянников Л.В., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики //Итоги науки и техники: Общая механика. М.-.ВИНИТИ, 1975. Т.2. С.5-52.

51. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

52. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы //Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1995. №6. С.118-126.

53. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы при ограничениях на суммарный угол поворота потока //Изв.РАН. Механика жидкости и газа. 1996. №4. С.142-150.

54. Омельченко A.B., Усков В.Н. Экстремальная система 'волна разрежения скачок уплотнения* в стационарном потоке газа //Прикладная математика и техническая физика. 1997. Т.38. №2. С.40-47.

55. Омельченко A.B., Усков В.Н. Геометрия оптимальных ударно-волновых систем //Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т.38. N5. С.29-35.

56. Омельченко A.B., Усков В.Н. Максимальные углы поворота сверхзвукового потока в ударно-волновых системах //Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. № 3. С.148-156.

57. Омельченко A.B., Усков В.Н. Распад центрированной волны сжатия Прандтля Майера в стационарном потоке газа //Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т.39. № 3. С.1-10.

58. Омельченко A.B. Оптимальные ударно-волновые системы: Дис. . к-та физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1998.

59. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные догоняющие скачки уплотнения с ограничениями на суммарный угол поворота потока //Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т.40. №4. С.99-108.

60. Омельченко A.B. Обобщенный инвариант Честера Уизема //Письма в ЖТФ. 2001. Т.27. № 21. С.6-12.

61. Омельченко A.B. Дифференциальные характеристики потока за ударной волной //Журнал технической физики. 2002. Т.72. № 1. С.20-27.

62. Омельченко A.B. О связи производных на сильном разрыве //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т.42. №8. С.1246-1257.

63. Омельченко A.B., Усков В.Н. Интерференция нестационарных косых ударных волн //Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. № 12. С.5-12.

64. Омельченко A.B., Тао Ган, Усков В.Н. О поведении газодинамических переменных за косой ударной волной /В сб. статей "Современные проблемы неравновесной газо- и термодинамики". СПб.: Изд-во БГТУ, 2002. С.179-191.

65. Омельченко A.B. Взаимодействие простой волны Прандтля Май-ера со слабо завихренным слоем //Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. №.20. С.87-94.

66. Основы газовой динамики /Под ред. Г.Эммонса. М.: Изд-во иностр. л-ры, 1963.

67. Панов Д.Ю. Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Гостехиздат, 1957.

68. Петров Г.И. Избранные труды. Аэромеханика больших скоростей и космические исследования. М.: Наука, 1992.

69. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990.

70. Подлубный В.В. К задаче взаимодействия трех ударных волн. //Уч. зап. ЦАГИ, 1978. Т.9. №4. С.102-106.

71. Полубояринов А.К. Метод характеристик и ударные волны. Д.: Изд-во ЛМИ, 1983.

72. Полубояринов А.К. Расчет обтекания тел вращения методом характеристик. Л.: Изд-во ЛМИ, 1987.

73. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

74. Райхенбах Г. Ударные волны в газах //Физика быстропротекаю-щих процессов. Т.З. М.: Мир, 1971. С.56-102.

75. Роман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды. Сочинения. М.: Гостехиздат, 1948.г»

76. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968.

77. Росляков Г. С. Взаимодействие плоских скачков одного направления. //Численные методы в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1965. С. 28-51.

78. Росляков Г.С., Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарных скачков уплотнения одного направления. //Изв. АН СССР. МЖГ, 1985. №4. С.143-152.

79. Русанов В.В. Производные газодинамических функций за искривленной ударной волной. Москва, 1973 (Препр. Ин-т прикл. мат. АН СССР; №18).

80. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Гостехиздат, 1957.

81. Семилетенко Б.Г., Собколов Б.Н., Усков В.Н. Приближенный расчет амплитудно-частотных характеристик неустойчивого взаимодействия сверхзвуковой струи с нормально расположенной плоской преградой //Известия СО АН СССР. Техническая серия. 1975. №13.

82. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

83. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Гостехиздат, 1955.

84. Тао Ган Тройные конфигурации скачков уплотнения в неравномерных сверхзвуковых потоках: Дис. . к-та физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 2001.

85. Теория оптимальных аэродинамических форм /Под ред. А.Миеле. М.: Мир, 1969.

86. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

87. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

88. У сков В.Н. Ударные волны и их взаимодействие. Л.: Изд-во Л МИ, 1980.

89. Усков В.Н. Бегущие одномерные волны. СПб.: Изд-во БГТУ, 2000.

90. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Иностранная лит-ра, 1962.

91. Цянъ Суэ-Сэнь Метод Пуанкаре Лайтхилла - Го. /Сб. статей "Проблемы механики". Вып.И. М.:ИЛ, 1959. С.7-62.

92. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959.

93. Черный Г.Г. Автомодельные задачи обтекания тел горючей смесью газов // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966. №6. С.10-21.

94. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988.

95. Чернышов М.В. Взаимодействие элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями: Дис. . к-та физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 2002.

96. Честер У. Распространение ударных волн в каналах переменной ширины. /Сб. "Механика". Вып.6, 1954. С.76-87.

97. Шмыглевский Ю.Д. Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М: Эдиториал УРСС, 1999.

98. Эггерс А.у Савин Р., Сайверстон С. Обобщенный метод применения теории скачков уплотнения и теории течения разрежения к обтеканию тел, движущихся с большими сверхзвуковыми скоростями. /В сб. переводов "Механика", 1956. №3 (37). С.3-16.

99. Элерс Ф.Э. Метод характеристик для изоэнергетических сверхзвуковых течений, приспособленный к быстродействующим цифровым вычислительным машинам. /В сб. переводов "Механика", 1960, №1. С.3-16.

100. Яненко Н.Н. Бегущие волны системы квазилинейных уравнений. //ДАН СССР, 1956. Т.109. №1. С.44-47.

101. Яушев И.К. Распад произвольного разрыва в канале со скачком площади сечения. //Изв. СО АН СССР. Серия техн. наук, 1967. №8. Вып.2. С.109-120.

102. Azevedo D.J., Liu C.S. Engineering approach to the prediction of shock patterns in bounded high-speed flows //AIAA J. 1993. V.31. №1. P.P.83-90.

103. Bleakney W., Taub A.H. Interaction of shock waves //Rev of modern phys. 1949. V.21. P.P.548-605.

104. Chisnell R.F. The motion of a shock wave in a channel, with applications to cylindrical and spherical shock waves //J. Fluid Mech., 1957. V.2. P.286.

105. Chisnell R.F. The normal motion of a shock wave through a nonuniform onedimentional medium //Proc. Roy. Soc., 1955. V.232. P.350.

106. Courant R, Lax P. On nonlinear partial differential equations with two independent variables //Communs Pure and Appl. Math., 1949. V.2. P.P.255-273.

107. Griffith W.C. Shock waves //J. Fluid Mech., 1981. V.106. P.P.81-108.

108. Henderson L.F. On a class of multishock interactions in a perfect gas. //Aeron. quart., 1966. V.17. P.P.1-20.

109. Henderson L.F. On the confluence of three shock waves in a perfect gas. //Aeron. quart., 1964. V.15. P.P.181-197.

110. Henderson L.F. The reflection of a shock wave at a rigit wall in the presence of a boundary layer. //J. fluid mech., 1967. V.30. №4.1. P.699.

111. Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on transition of Mach reflection //J. Fluid Mech., 1975. V. 68. Part 1. P.P.139-155.

112. Henderson L.F.f Lozzi A. Further experiments on transition of Mach reflection //J. Fluid Mech., 1979. V. 94. Part 3. P.P.541-559.

113. Homung H.G., Robinson M.L. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2. The steady-flow criterion //J. Fluid Mech., 1982. V.123. P.P.155-164.

114. Emanuel G., Yi T.H. Unsteady obliquue shock waves //Shock Waves, 2000. № 10. P.P.113-117.

115. Lax P.D. Giperbolic systems of conservation laws //Communs Pure and Appl. Math., 1957. V.10. P.P.537-566.

116. Legras J. Application de la methode de Lighthill a un ecoulement plan supersonique //Compt. Rend., 233, 1951. P.P.1005-1008.

117. Lee D.H., Sheppard L.M. Fn approximate second-order wing theory //AIAA Journal, 1966. V.4. P.P.1828-1830.

118. Li H.f Ben-Dor G. Oblique shock-expansion fan interaction analitical solution. //AIAA Journal, 1996. V. 34. №2. P.P.418-421.

119. Lighthill M.J. The flow behind a stationary shock. //Phil. Mag., 40, 1949. P.P.214-220.

120. Lighthill M.J. Dynamics of dissotiating gas. Part I. //J. Fluid Mech., 1957. V.2. P.P.1-32.

121. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid //Phil. Mag., 40, 1949. P.P.1179-1201.

122. Lighthill M.J. The shock strength in supersonic "conocal fields" //Phil. Mag., 40, 1949. P.P.1202-1223.

123. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid //Z. Flugwiss., 9, 1961. P.P.267

124. Lin C. C. On a perturbation theory based on the method of characteristic //J. Math, and Phys., 33, 1954. P.P.117-134.

125. Moeckel W.E. Interaction of oblique shock waves with regions of variable pressure, entropy and energy //Tech. Note NACA № 2725, 1952.

126. Neuman J. Collected works. Oxford: Pergamon press, 1963. V.6. P.P.239-299.

127. Rao P.S. Supersonic bangs //Aeron. Quart., 1956. №7. P.P.135-155.

128. Taub A.H. Interaction of progressive rarefaction waves //Ann. Math., 1947. №.4. P.P.811-828.

129. Truesdell C. On curved shocks in steady plane flow of an ideal fluid //J. Aeronaut. Sci., 1952. V.19. P.P.826-828.

130. Witham G.B. The flow pattern of a supersonic projectile //Comm. Pure Appl. Math., 5, 1952. P.P.301-348.

131. Witham G.B. The propogation of weak spherical shocks in stars //Comm. Pure Appl. Math., 6, 1953. P.P.397-414.

132. Witham G.B. On the propogation of a shock wave through regions of non-uniform area of flow //J. Fluid Mech., 1958. V.4. P.337.