Профилирование сверхзвуковых частей пространственных сопел по данным на характеристических поверхностях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОСТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТОКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАМЫКАЮЩИХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

§ 1Л. Постановка вариационной задачи.

§ 1*2* Использование метода неоцределенной контрольной поверхности для получения необходимых условий экстремума.

§ 1.3. Численное решение задач с данными на волновых характеристических поверхностях различных семейств. Примеры расчетов

ГЛАВА П. СХЕМА МЕТОДА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПРЯМОГО ТИПА В КООРДИНАТАХ

§ 2.1. Расчетные формулы метода пространственных характеристик с использованием би-характеристических соотношений

§ 2.2. Расчет пространственного течения разрежения с использованием двух схем метода пространственных характеристик. Сравнение схем.

ГЛАВА Ш. ПРОФИЛИРОВАНИЕ СВЕРХЗВУКОВЫХ ЧАСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОПЕЛ С ЗВЕЗДООБРАЗНЫМИ ФОРМАМИ ЗАМЫКАЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

§ 3.1. Постановка вариационной задачи

§ 3,2. Необходимые условия экстремума и их анализ.

§ 3.3. Цримеры расчета сверхзвуковых частей пространственных сопел с равномерным потоком на выходе • • • •

Определение оптимальных аэродинамических форм при заданных ограничениях - одна из важнейших цроблем современной аэродинамики. В настоящее время существуют различные подходы к ее решению. В последние годы широкое распространение получили црямые методы оптимизации. С их помощью к настоящему времени решен целый ряд задач оптимизации аэродинамических форм [10,14,21,56,63,65,68] . Однако, успехи, достигнутые в этом направлении, не могут заменить необходимости исследования структуры оптимальных решений с црив-лечением необходимых условий экстремума. Широкое распространение в таких исследованиях получили метод А.А.Никольского ж общий метод множителей Лагранжа.

Вариационные задачи сверхзвуковой газовой динамики, как задачи оптимизации систем с распределенными параметрами, в рамках точных и линеаризированных уравнений начали рассматриваться с 50-х годов. В это время для решения двумерных оптимальных задач был предложен метод А.А.Никольского [40] , связанный с переходом к контрольному контуру (в трехмерном случае переход осуществляется к контрольной поверхности). С помощью этого подхода была решена серия двумерных оптимальных задач газовой динамики [31,50,55] . Отметим, что метод А.А.Никольского позволяет свести двумерную задачу оптимизации к одномерным задачам оптимального управления (искомыми являются функции, оцределенные на контрольном контуре). Правда, после того, как искомые функции оцределены на контрольном контуре, для оцределения формы оптимального тела цриходится все же решать двумерную задачу с данными на характеристиках - задачу Гурса [з] * Следует отметить, что при некоторых ограничениях формулировка вариационных задач в рамках метода контрольного контура невозможна. Необходимость учета таких ограничений привела к разработке общего метода множителей Лагранжа, рассматривающего плоские и осесимметричные вариационные задачи газовой динамики, как двумерные задачи оптимального управления. Разработка этого подхода осуществлена К.Г.Гудерлеем, Д.В.Армитейджем и А.Н. Крайко [19,30,31] .

При решении вариационных задач газовой динамики с использованием метода контрольного контура необходимо учитывать дополнительные ограничения. В качестве таких ограничений выступают со -отношения, оцределяющие геометрию контрольного контура, и дифференциальные соотношения, связывающие между собой искомые функции на контрольном контуре. Для характеристического контрольного контура такими соотношениями являются условия характеристических направлений и условия совместности, связывающие газодинамические параметры на характеристиках. Естественно, что эти условия, являющиеся дополнительными ограничениями, должны учитываться при построении расширенного функционала с помощью множителей Лагранжа [55] . Однако Рао [б7] не учел эти дополнительные ограничения и, тем не менее, получил правильные соотношения, определяющие экстремальный контрольный контур. Правильный окончательный результат, полученный в [б7] , является, в известной мере, случайным [4,62]. Обоснованием подхода Рао является метод неопределенного контрольного контура, предложенный А.Н.Крайко [3l] . Примеры использования метода неопределенного контрольного контура для решения дву

Пространственные вариационные задачи сверхзвуковой газовой мерных вариационных задач газовой динамики

- 6 динамики начали рассматриваться во второй половине 50-х годов. Первыми работами в этом направлении явились работы М«Н.Когана [28^ и Ю.Л.Шилина [22} . В этих работах с помощью метода контрольной поверхности в рамках линеаризированных уравнений газовой динамики были рассмотрены задачи об оцределении поверхностей крыльев минимального волнового сопротивления цри заданной подъемной силе. Для некоторых типов 1фыльев авторам этих работ удалось аналитически оцределить форму экстремальных замыкающих характеристических поверхностей и распределение газодинамических параметров на них, что в конечном счете позволило определить экстремальные значения волнового соцротивления рассматриваемых 1фыльев. Однако, оцределить формы поверхностей 1фыльев, при обтекании которых реализуется течение с экстремальным волновым сопротивлением, авторам работ [22,28] не удалось, поскольку для этого необходимо было решить трехмерную задачу для волнового уравнения с данными на характеристических поверхностях различных семейств. Именно после решения этой задачи определяется искомая форма 1фыла. Аналогичные вариационные задачи рассматривались также Жерменом [6l] .

Следует отметить, что трудности в решении задач для уравнений газовой динамики с данными на характеристических поверхностях обусловлены, главным образом, принципиальными отличиями сверхзвуковых пространственных течений от аналогичных им плоских или осесиммет-ричных течений. Так, например, несмотря на кажущуюся на первый взгляд схожесть постановок пространственных и аналогичных им двумерных задач сверхзвуковой газовой динамики, пространственные задачи имеют ряд существенных отличий. Основное отличие трехмерных задач состоит в том, что в них допустимыми являются любые возмущения потока, расцространяющиеся внутри коноида влияния. Другой важной особенностью сверхзвуковых пространственных течений является наличие в них поверхностей, не совпадающих с характеристическими, для которых некорректна задача Коши (некорректность типа Ада-мара [3,39] )• Отмеченные особенности цредьявляют новые требования к численным алгоритмам, цредназначенным для решения пространственных задач. При этом недопустим формальный перенос алгоритмов, использовавшихся ранее для решения аналогичных двумерных задач. Одним из способов решения подобных задач является сведение их к последовательному решению серии корректных задач Коши с подбором таких начальных условий, которые обеспечивают выполнение интересующих нас условий. Наконец, при решении цространственных вариационных задач возникает необходимость рассмотрения качественно новых допустимых трехмерных форм, к которым относятся тела, имеющие продольные ребра (ребра вдоль вектора скорости). Впервые Г.Н,Майкапар в работе [Зб] показал, что волновое сопротивление таких цространственных аэродинамических форм может быть меньше, чем волновое сопротивление эквивалентных (по площади поперечного сечения) оеесимметричных аэродинамических форм. В аэродинамике гиперзвуковых скоростей этот эффект был подтвержден как теоретически (в рамках цриближенной модели Ньютона) А.Л.Гонором и Г.Г. Черным [50] , так и экспериментально fl5,I8,20] .

Метод контрольной поверхности для решения пространственных вариационных задач газовой динамики в рамках точных уравнений использовался в работах [69-7l] . В работах [70,7l] Томпсоном и Мюрти были получены необходимые условия экстремума, определяющие замыкающую характеристическую поверхность и газодинамические параметры на ней. Однако эти условия были получены в слишком громоздком виде, что не позволило провести их детальный анализ. Кроме то

- 8 го, цри составлении расширенного функционала авторы работ [70,7l] учли лишь одну связь на замыкающей характеристической поверхности. Такой подход требует дополнительного обоснования. Это обоснование будет дано в первой главе настоящей работы с помощью метода неопределенной контрольной поверхности. Следует также отметить, что в работах [70,7l] не было цриведено цримеров экстремальных замыкающих характеристических поверхностей, удовлетворяющих полученным необходимым условиям экстремума.

Примеры экстремальных замыкающих характеристических поверхностей были цриведены в работе Томпсона и Снайдера [б9] . Однако при составлении расширенного функционала Томпсон и Снайдер не учли никаких связей на замыкающей характеристической поверхности. В результате при оцределении экстремальной характеристической поверхности ими было упущено одно из условий совместности, учет которого в пространственном случае носит цринципиальный характер. Кроме того, определив, хотя и нецравильно, экстремальную характеристическую поверхность, авторы работы [бэ] не решили задачу с данными на характеристических поверхностях и не определили формы пространственного тела, при обтекании которого реализуется поток с известной замыкающей характеристической поверхностью.

Общий метод множителей Лагранжа для решения трехмерных вариационных задач газовой динамики использовался в работах В.М.Борисова и И.Е.Михайлова [5,11,38,57] , которым в окончательном варианте на основе высокоскоростного метода пространственных характеристик прямого типа [д] удалось разработать методику расчета гладких экстремальных цространственных аэродинамических форм. Однако, успехи, достигнутые в этом направлении, нисколько не уменьшают значения метода консольной поверхности, поскольку в задачах, в

- 9 которых этот метод црименим, он является на порядок более экономичным в смысле времени счета на ЭВМ.

В первой главе диссертации рассмотрены воцросы построения поверхностей тока с использованием замыкающих экстремальных характеристических поверхностей. В первом параграфе обсуждаются воцросы, связанные с постановкой вариационной задачи об определении экстремальной замыкающей характеристической поверхности. Во втором параграфе этой главы с помощью метода неопределенной контрольной поверхности получены необходимые условия экстремума, определяющие форьдг гладкой экстремальной замыкающей характеристической поверхности и газодинамические параметры на ней. Эти условия записаны в форме,удобной для последующего анализа. Цроведен анализ этих условий. Оказалось, что рассматриваемые необходимые условия экстремума являются частным классом условий экстремума, полученных в [57J с использованием общего метода множителей Лагранжа. Отметим, что это важное обстоятельство не было в свое время замечено в работах [70,71] . В третьем параграфе разрабатывается алгоритм оцределения пространственной поверхности, при обтекании которой реализуется поток с экстремальной замыкающей характеристической поверхностью. Приведены примеры численного определения таких поверхностей.

Прогресс в решении цространственных вариационных задач газовой динамики в значительной мере связан с разработкой быстрых и достаточно точных методов расчета сверхзвуковых пространственных течений. В настоящее время для расчета сверхзвуковых установившихся цространственных течений предложены различные численные методы. Среди них отметим методы сквозного счета, позволяющие рассчитывать сверхзвуковые течения со скачками уплотнения. К ним относятся сверхзвуковой аналог метода С.К.Годунова, предложенный в [24] ,

- 10 различные варианты схемы Мак-Кормака [49] . В качестве примеров использования указанных подходов отметим работы [l,23] , в которых опубликованы результаты численного исследования сверхзвуковых течений около цространственных тел сложной формы с использованием первого метода и работу [52] , в которой цроведено численное исследование сверхзвуковых течений в пространственных соплах с использованием схемы Мак-Кормака,

Расчеты сверхзвуковых пространственных течений с использованием понятия характеристик впервые были цроведены в работах П.И. Чушкина [27,54] • Разработанный им метод является комбинацией двух методов: метода интегральных соотношений и метода обратных характеристик. Среди зарубежных работ в этой области отметим предложенный Батлером бихарактеристический метод [58] , который также относится к методу пространственных характеристик обратного типа. С помощью этого метода и его различных модификаций в работах [38,59,60,64,66] исследовались сверхзвуковые установившиеся пространственные течения в соплах и лопаточных машинах. Отметим, что во всех перечисленных методах расчетная сетка является фиксированной.

Разностные схемы метода характеристик прямого типа традиционно используются при решении вариационных задач газовой динамики сверхзвуковых течений, поскольку в этих задачах необходимо рассматривать точные области зависимости и влияния решения. В этом случае расчетная сетка не является априорно заданной, а выстраивается в процессе решения задачи. Первые тетраэдральные схемы метода пространственных характеристик прямого типа были разработаны и реализованы в работах [43-46] • К настоящему времени наиболее совершенной среди схем этого типа оказалась схема, разработанная в работах [7,8] .

- II

Во второй главе диссертации разрабатывается вариант схемы метода пространственных характеристик црямого типа, позволяющий с высокой точностью рассчитывать пространственные сверхзвуковые течения на сетках с сильно меняющейся геометрией. В первом параграфе получены расчетные формулы и обсуждаются вопросы организации алгоритма определения координат узлов характеристической сетки и газодинамических параметров в этих узлах. Во втором параграфе на примере задачи расчета цространственного течения разрежения демонстрируются цреимущества нового варианта схемы метода црост-ранственных характеристик по сравнению со схемой, разработанной в работах [7,в] .

Третья глава диссертации посвящена профил!фованию сверхзвуковых частей пространственных сопел с кусочно-гладкими замыкающими характеристическими поверхностями. В первом параграфе формулируется вариационная задача об отыскании кусочно-гладкой экстремальной замыкающей характеристической поверхности. В следующем параграфе с помощью метода неопределенной контрольной поверхности получены условия экстремума, определяющие форму экстремальной замыкающей характеристической поверхности. Проведен анализ полученных необходимых условий экстремума. В третьем параграфе с использованием разработанного во второй главе варианта схемы метода пространственных характеристик численно определяются формы сверхзвуковых частей пространственных сопел, реализующих на выходе равномерный поток и имеющих замыкающую характеристическую поверхность в виде пирамиды, основанием которой является цравильный звездообразный многоугольник. Как показано во втором параграфе, такие замыкающие характеристические поверхности удовлетворяют всем необходимым условиям экстремума. Результаты расчетов показали, что длина полученных сверхзвуковых частей пространственных сопел меньше, чем

- 12 длина аналогичных осесимметричных сверхзвуковых частей [32] , реализующих на выходе равномерный поток с тем же числом Маха и имеющих тот же расход.

В заключение отметим, что основные результаты диссертации опубликованы в работах [9,12,33-35] и докладывались на семинарах лаборатории механики сплошных сред Вычислительного центра АН СССР под руководством профессора Ю.Д.Шмыглевского, на УП конференции молодых ученых ШШ и на 1У Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. С помощью метода неопределенной контрольной поверхности в удобном виде получены необходимые условия экстремума, оггреде-ляющие форму гладких замыкающих характеристических поверхностей и газодинамические параметры на них. Проведен анализ этих условий. Получены цримеры сверхзвуковых частей цространственных сопел, реализующих на выходе сверхзвуковой поток с гладкими экстремальными характеристическими поверхностями. Показано, что такие решения возможны для специальных входных и выходных контуров.

2. Разработан и реализован вариант схемы метода цространственных характеристик црямого типа, позволяющий рассчитывать црост-ранственные течения на сетках с сильно меняющейся геометрией.

3. Разработан и реализован алгоритм решения задач для уравнений газовой динамики с данными на характеристических поверхностях в некорректном случае.

4. С помощью метода неоцределенной контрольной поверхности получены необходимые условия экстремума, определяющие форму кусочно-гладких замыкающих характеристических поверхностей и газодинамические параметры на них.

5. В качестве частных примеров рассчитаны формы сверхзвуковых частей цространственных сопел, реализующих на выходе равномерный поток с кусочно-гладкими замыкающими характеристическими поверхностями.

6. Показано, что в случае звездообразной формы поперечных сечений замыкающих характеристических поверхностей максимальная длина полученных сверхзвуковых частей цространственных сопел заметно меньше длины осесимметричных частей цри той же тяге.

1. Аукин М.К., Тагиров Р.К. Расчет сверхзвукового обтекания модели самолета, имеющего сдвоенные двигатели. - Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 3, с. 1.6-I4I.

2. Ахметов Г.Б. Об устойчивости разностных схем для системы уравнений гиперболического типа с тремя независимыми переменными.- Изв. АН Каз.ССР. Сер. физ.-матем., 1972, № I, с.6-14.

3. Бицадзе А»В. Некоторые классы уравнений в частных производных. M.s Наука, 1981, 448с.

4. Борисов В.М., Шмыглевский Ю.Д. К постановке вариационных задач газовой динамики. Прикл. матем. и механ., 1963, т. 27, вып. I, с. 183-185.

5. Борисов В.М. Вариационная задача о трехмерных сверхзвуковых течениях. Црикл. матем. и механ., 1965, т. 29, вып. I, с. 206-213.

6. Борисов В.М., Михайлов И.Е. Об установившихся трехмерных безвихревых движениях газа со сверхзвуковой скоростью. Ж. выч. матем. и матем.физ., 1970, т. 10, № 4, с. I006-I0I5.

7. Борисов В.М. Аппроксимирующая система уравнений для расчета пространственных сверхзвуковых течений методом характеристик.- Докл. АН СССР, 1976, т. 228, № 4, с. 813-816.

8. Борисов В.М., Михайлов И.Е. Метод характеристик для расчета цространственных сверхзвуковых безвихревых течений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, т. 18, № 5, с. 1243-1252.

9. Борисов В.М., Левин М.П., Михайлов И.Е. Использование сплайн-аппроксимаций для расчета давления по стенкам сверхзвуковыхпространственных сопл. Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. 10, № б. с. II8-I2I.

10. Ю.Борисов В.М., Михайлов И.Е. Об оптимизации сверхзвуковых частей црос-цэанственных сопел. Ж. вычисл. матем. и матем.физ.,1981, т. 21, № 2, с. 517-519.

11. Борисов В.М., Михайлов И.Е. Расчет экстремальной формы сверхзвуковой части пространственного сопла. М.: ВЦ АН СССР,1982, 32с.

12. Борисов В.М. Численное исследование некоторых задач оптимизации сверхзвуковых частей цространственных сопел: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. (Рукопись). М.: ВЦ АН СССР, 1982.

13. И.Бутов В.Г., Васенин И.М., Шелуха А.Н. Црименение методов нелинейного программирования для решения вариационных задач газовой динамики. Црикл. матем. и механ., 1977, т. 41, вып.1, с.59-64.

14. Ведерников Ю.А., Гонор А.Л., Зубин М.А., Остапенко Н.А. Аэродинамические характеристики звездоообразных тел цри числах М=3-5 . Изв. АН СССР. МЖГ, 1981, № 4, с.88-93.

15. Верховский В.П. Численный расчет сверхзвуковых профилированных пирамидальных сопл (осееимметричное течение). Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. 10, № 3, с. 105-109.

16. Вос1фесенский Г.П., Иванов О.В., Стебунов В.А. Расчет сверхзвукового обтекания тел сложной формы. Препринт Ин. црикл.матем. АН СССР, 1981, № 67, 17с.

17. Гудерлей К.Г., Армитейдж Д.В. Общий метод оцределения оптимальных сверхзвуковых ракетных сопл. В кн.: Механика, М.: ИЛ, 1963, № 6 (82), с. 85-101.

18. Гусаров А.А., Левин В.А. Пространственная форма тела минимального аэродинамического соцротивления в гиперзвуковом потоке газа. Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № б, с. 98-103.

19. Дритов Г.В., Тишин А.П. О профилировании сопел, работающих на газе с частицами конденсата. Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № I, с. 170-175.

20. Жилин Ю.Л. Крылья минимального соцротивления. Прикл. матем. и механ., 1957, т. 21, вып. 2, с. 213-220.

21. Зарубин А.Г. Реализация конечно-разностного метода Крайко для расчета обтекания комбинации крыла и фюзеляжа сверхзвуковым потоком идеального газа. Труды ЦАГИ, 1978, вып.1941, с.3-18.

22. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. Ж, вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, № 3, с.805-813.

23. Каргашин А.Ю. Свойства кубических -сплайнов и комплекс программ для работы с ними. Прецринт Ин.прикл.матем. АН СССР, 1979, № 174, - 33 с.

24. Кацкова О.Н., Шмыглевский Ю.Д. Таблицы параметров осесиммет-ричного сверхзвукового течения свободно расширяющегося газас плоской переходной поверхностью. М.: Изд-во АН СССР, 1962, 363 с.

25. Кацкова О.Н., Чушкин П.й. Трехмерное сверхзвуковое равновесное течение газа около тел под углом атаки. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1965, т. 5, № 3, . с. 503-518.

26. Коган М.Н. О телах минимального сопротивления в сверхзвуковом потоке газа, Прикл.матем. и механ., 1957, т. 21, вып.2, с. 207-212.

27. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965, 426с.

28. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики неравновесных и равновесных течений. Црикл. матем. и механ., 1964, т.28, вып. 3, с. 285-295.

29. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979, 448с.

30. Крайко А.Н., Шеломовский В.В. О профилировании плоских и осе-симметричных сопел и каналов, реализующих заданный сверхзвуковой поток в сечении выхода. Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 4,с. 94-102.

31. Левин М.П. К использованию метода контрольной поверхности в пространственных вариационных задачах. Сб. "Труды УП конференции молодых ученых". Моск. физ.-техн. ин-т., М., 1981, чЛ. с. 130-135, ВИНИТИ, № 3690-82, ДЕЛ (РЖ "Математика", 1982,1. И).

32. Левин M.II. Об оптимальных поверхностях тока в сверхзвуковых цространственных течениях. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1982, т. 22, № 4, с.1003-1008.

33. Левин М.П. Метод контрольной поверхности в пространственных вариационных задачах газовой динамики. М.: ВЦ АН СССР, 1983,32с.

34. Майкапар Г.Н. О волновом сопротивлении неосесимметричных тел при сверхзвуковых скоростях. Прикл. матем. и механ., 1959, т.23, вып. 2, с, 376-378.

35. Михайлов И.Е. Форма сверхзвукового пространственного сопла, обладающего максимальной тягой. Ж.вычисл.матем. и матем. физ., 1973, т. 13, № I, с. 257-262.

36. Михайлов И.Е. О численном решении пространственного аналога задачи fypca. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1983, т. 23, № 5, с. 1238-1240.

37. Никольский А. А. О телах вращения с протоком, обладающих наименьшим волновым соцротивлением в сверхзвуковом потоке. В кн.: Сборник теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборон-гиз, 1957, с. 56-63.

38. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981, 368с.

39. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Течения газа в соплах. М.: Издательство Московского университета,1978, 228с.

40. Подладчиков Ю.Н. К расчету пространственных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. Докл. АН СССР, 1965, т. 163, № 5, с. 1092-1095.

41. Подладчиков Ю.Н. Метод характеристик для расчета цространственных сверхзвуковых течений газа. Изв. АН СССР, механика, 1965, № 4, с. 3-12.

42. Русанов В.В. Метод характеристик для пространственных задач. -В кн.: Теоретическая гидромеханика, М.: Оборонгиз, 1953, вып. 3, № II, с. 3-62.

43. Русанов В.В. Характеристики общих уравнений газовой динамики.- Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1963, т. 3, № 3, с. 508-527.

44. Рылов А.И. К построению сверхзвуковых несимметричных сопел.- Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, № 3, с. 87-94.

45. Рылов А.И. О построении компактных несимметричных сопел максимальной тяги цри заданной подъемной силе. Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 6, с. 132-136.

46. Рицци А.В., Клавинс Э., Мак-Кормак Р.У, Обобщенный численный метод гиперболического типа для трехмерных сверхзвуковых течений с ударными волнами. В кн.: Численное решение задач гидромеханики. (Ред. Р.Рихтмайер). М.: Мир, 1977, с. 87-96.

47. Теория оптимальных аэродинамических форм. (Ред. А.Миеле). М.: Мир, 1969, 508 с.51. . Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, 228с.

48. Ткаченко А.С. Численное исследование тяговых характеристики структуры цространственных течений в соплах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 5, с. 168-173.

49. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М.: Гостехиз-дат, 1953, 463с.

50. Чушкин П.И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений. М.: ВЦ АН СССР, 1968, 123с.

51. Шмыглевский Ю.Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамики. М.: ВЦ АН СССР, 1963, 142с.

52. JICLnan J. Ho-f-fman J.^.TJesljn o-f maximum 1itu.s"t noE^fct cohiotaLS cl.Lnft.ct optimization methods.— AIA Ai9H, v. МУ*6, p.750-751.

53. Вот-Uov V. H. Mikha.i.fov I. E. Opt Imaf skcipe o-f погн U s ■fon. dimensional -j^tow of ^as.—Xn : Ftu.iol Di-namLcsvd, Woomawd: p.i^9-iS3.

54. Bu.ife.rt 15.S. Tke п.и.теплса£ sofution o-f k^jDe.n.Mle siskins of posit Lai oli-f-fe^nilol equations "ttl&e. Independent van.la6^s.— Pnoceedugs of Rojjai Society

55. Ctlne M.С Ho-f-fman J/Б. Compaiiston of cka^actenistic scke&ms fo*t "tt/uefi.- dimens lona£> steady lsen*btoplc ffow— AIAA Jowinfli^^^.iOjA^i^p.USa-i'fSS.

56. Cfthe M.C.3 W off man J/fc. Tke a.na.£tsLs of ckemical^j 4£actu^ supotsohic -fбои/ dimensions u&in^ ol fUekcmacten,LsiLcs me*tf»odXounnoJ? of Comput,

57. P. Star, fe minimum de tncunee ol>une aide de fo^me en pfan donnee.—Coi-nptes Rendus oU L* Acoude'mLe dies Sciences. fWs> 19S?

58. On R<xo>s meilioot -j-оч computation o-f nozzles.- ^.FftLju/iss., 1959, B. H.12^ s. 345-350.

59. Hicks R.H.^Henne P. A. Wincj design (hj nu.men.icaf optimisa-iion.-AIAA Papen.

60. Hoffman J. ^Vadijak J. TWe-dlmensicmaf {tow -fie?d c-ompujtoctiohs Ui scoot fed Its KS'mq a slvockftfcfcUuj EicWacten.is-tte meiAodl.-AIA А Papem

61. А81-258у198^-1£ p. 6S\ Powers S.A."fHaxj mlnlmliailoh u.SLhcj exaci metfods.—

62. AIA A Jotau^W*, v.Z^S, p. i 9^3.

63. Rcxnson V.M^Hoffrmn J.^.^TKompson Ю.А second-onA*. iicкan.ac.ien.i s tLcs taetAod {on. dimensionalsteady supersonic ffov.- AIAA Тоилла^ i-0,дГМ^ p. iS?3-i 6?. R.ao G\V. R. Exhaust contour -fot. optlmu.miVtusf.-Jet

64. R.a.0 G-. V. R. Approximation of optimum "t^iust nottde.—

65. JRS Joun.hci:><9GO)v.30)A/^6>p>69. -Si-ujden. 1>. "Tkompsoh H .li. dimensional tWitst noiiifi. design {on. waxtmum axiai tiU.u.st.~ AIAA Pap en. p. ^ AIAA Jotoum.^

66. Tko^pson MuniA^ S.AT. B.'besL^n of optlmUeol iW- dimensional n>ocket moto*t noezies.—AIA A

67. Pcxpea ЛfetS-SGS 196 S^-S£p.

68. Thompson МинИд -S. ЛГ. B/besujn of opilmUeoltfiniue.-ctlmenslonaf noaifcs.— Journal of Spac£c.n.0L-f"t and Rockets, 4966, v.35 лГя^ p. 13*4-1393.1. Тип схеш ? X г и tr IATн 0 5.1468 I.2I92 2.1339 0.5263 0.0000

69. Г/2 15.5946 7.2129 2.1350 I.OIII 0.0247от II8.I4I5 86.6178 1.9535 1.4566 0.0000

70. Ч О 5.1762 I.23I0 2.1430 0.5324 0.0000зг/z 15.8386 7.3455 2.1350 I.0II3 0.0076зг 117.2722 86.0243 1.9533 1.4568 0.0000

71. Ч О 5.1779 1.2294 2.1428 0.5294 0.00005Г/а 15.8431 7.3455 2.I35I I.OIIO 0.00789Г 116.9719 85.8260 1.9530 I.457I 0.0000

72. S6- О 5.2327 1.2464 2.1467 0.5253 0.0000

73. ЭГ/2 13.5719 6.0480 2.1354 0.9966 -0.0095аг 116.7166 85.7469 1*9511 1.4593 0.0000