Профилирование сопла с центральным телом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Ким Чёл Вун

ПРОФИЛИРОВАНИЕ СОПЛА С ЦЕНТРАЛЬНЫМ ТЕЛОМ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственном университете)

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор Шифрин Эрнест Григорьевич

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

Бужинский Валерий Алексеевич

кандидат физико-математических наук, Каменецкий Дмитрий Сергеевич

Ведущая организация : ВЦ РАН им. А.А. Дородницына

Защита диссертации состоится « О » О 2005г. в Ю часов на заседании диссертационного совета К212.156.06 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан « ^ » 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М. В. Березникова

' 6Ш

Актуальность работы

Сопло является одним из самых необходимых элементов реактивного двигателя. Степень его совершенства может существенным образом повлиять на эффективность всего летательного аппарата в целом.

В последнее время сопло с центральным телом привлекает внимание учбных и исследователей в области аэродинамики и космической техники в разных странах.

Обычное сопло (сопло Лаваля) работает в расчётном режиме только на определённой высоте, а на других высотах его характеристики ухудшаются. Поэтому продолжается поиск форм сопел, которые бы оптимально работали на всех высотах. Интерес исследователей привлекло сопло с центральным телом. Считается, что оно обладает свойством авторегулируемости, т.е., что оно хорошо работает на всех высотах.

Кольцевое сопло позволяет также экономить вес и габариты, улучшает теплообмен, поскольку уменьшается площадь охлаждаемой поверхности сопла. Именно, при прочих равных условиях площадь поверхности сверхзвуковой части таких сопел приблизительно в три раза меньше, чем у наиболее коротких сопел, выполненных по обычной схеме. Внутреннюю полость центрального тела можно при этом использовать в качестве хранилища: в ней можно расположить турбонасосный агрегат или другие агрегаты, обслуживающие двигатель. В результате двигатель с соплом с центральным телом получается более компактным и коротким по длине.

Цель и задачи исследования

- Используя метод Чаплыгина, разработать программу вычисления координат контура дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом, имеющего прямую звуковую линию с угловой точкой на этой линии.

- Исследовать вопрос о возможности применения метода годографа Чаплыгина для профилирования дозвуковой части сопел для несовершенного газа.

- В случае совершенного газа определить влияние показателя адиабаты, а для несовершенного газа - изучить влияние отношения теплоёмкостей и температуры торможения на координаты профилируемого сопла.

- Профилировать сверхзвуковые части сопел с центральным телом для совершенного и несовершенного газа.

Научная новизна работы состоит в следующем :

- в профилировании осесимметричного сопла с центральным телом применена модификация численного метода годографа Чаплыгина, разработанного ранее для профилирования плоских и осесимметричных сопел Лаваля.

- произведено вычисление координат контуров до- и сверхзвуковых частей осесимметричного сопла с центральным телом, в котором реализуется трансзвуковое течение с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси симметрии и с изломом стенки в звуковой точке.

- создана программа численного решения для профилирования контуров сопел с центральным телом для несовершенного газа. При этом для профилирования дозвуковых частей сопел используется метод годографа Чаплыгина. Программа проверена на примере плоского сопла при заданных законах термодинамического состояния.

- исследовано влияние показателя адиабаты совершенного газа на контур сопла. Для несовершенного газа исследованы влияния отношения теплоёмкостей и температуры торможения на координаты сопла и скорости потока на выходе.

Практическая ценность.

- Созданная программа позволяет профилировать осесимметричные сопла с центральным телом при различных значениях определяющих параметров. В этом случае профилирование дозвуковой части методом годографа Чаплыгина заранее выполняет важное условие монотонности скорости на стенке, благодаря которому можно обеспечивать безотрывносгь обтекания на стенке сопла при любых числах Рейнольдса.

- Разработанная программа для сверхзвуковой части даёт возможность профилировать сопла с уменьшенной длиной центрального тела. (При этом контур центрального тела выходит не на ось симметрии и можно уменьшить массу, габариты и усовершенствовать охлаждение сопел).

- Профилирование сопел для несовершенного газа и исследование влияния показателя адиабаты и температуры торможения на координаты сопла и скорости потока на выходе даёт важную информацию для проектирования сопел для горячих газов, которое производилось до настоящего времени в рамках модели совершенного газа.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на ХЬУ1 и ХЬУН

Научной конференции в МФТИ в 2003г. и в 2004г. Список работ по теме диссертации приводится в конце автореферата.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1-5].

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 77 страницах и содержит 53 рисунка и 9 таблиц.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, даётся краткий исторический обзор работ по исследованию сопла с центральным телом, а также излагаются теоретические основы и численные методы для решения задач.

В первой главе рассматривается задача профилирования дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом, в котором реализуется трансзвуковое течение с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси симметрии и с изломом стенки в звуковой точке.

В § 1.1 сформулирована задача профилирования дозвуковой части осесимметричных сопел и приведена система в переменных годографа скорости (1):

2ту/„ +(3-2хЯ)у/, = - <гшД1 (1)

0 = • (уцзтр+у2®

Я=(т*-т)/2т*т(\-т)

у1 = ^ Д2г вт р-у/, + сое р ■ ч/ц]-^;

У о

' Здесь у - расстояние от оси симметрии, т (т = ) - отношение

скорости к максимальному значению, - угол наклона вектора скорости по отношению к оси Ох, к - показатель адиабаты. Для системы (1) решается задача Дирихле в плоскости годографа (Рис. 2) с граничным условием для функции тока, заданным в виде разрывной кусочно-постоянной функции (Таблица 1).

Сопло Лаваля Сопло с центральным телом

у> =0 (г° <Гг <(к-1)/(к+1), 0 = 0) ц/ =/ (т = (к-1)/(к+1), 0 <0 £0°) if/ =1 (т = г°, 0 <Р°) у/ =1 (т° <т <(к-1)/(к+1), Р=Р°) у =/ (т° <т <(к-1)/(к+1), Р = 0) Ч>=0 (т = (к-1)/(к+1), 0 <Р <Р°) у>=0 (т = т° 0 ¿Р <Р°) у =0 (х° <х <(к-1)/(к+1), р = р°)

Таблица 1

Контур сопла (Рис. 1), в силу выбранной постановки задачи в плоскости годографа скорости, состоит из прямолинейного участка Ьс, на котором поток монотонно разгоняется, и двух участков постоянной скорости аЬ, с&

0 в Т-1 с

Т-1 Т-1

Т-1 А D

Рис. 1

Рис.2

Решение аппроксимирующей системы проводилось методом итераций по схеме Якоби и методом итерационной прогонки соответственно вдоль прямых т = const (Рис. 2). Из полученного решения задачи Дирихле можно получить координаты стенки сопла (Рис. 1) путбм интегрирования выражений для ПРОИЗВОДНЫХ Хр, уъ у р.

Для проверки программы численного решения рассматривалась тестовая задача с классическим соплом Лаваля.

При разных углах((1) 0 = 90°, (2) р = 60°, (3) р = 45°, при г> = 0.01) наклона контуры сопел Лаваля приведены на рис. 3. На рис. 4 приведены контуры сопла в случае, когда поток в канале сопла имеет входную скорость г> = 0.05 (М = 0.513), г» = 0.01 (М = 0.225), и г> = 0.005 (М = 0.158) при условии, что угол наклона прямолинейного участка /? = 30°

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Распределения ц/,, в плоскости годографа при разных входных скоростях.

Результаты тестирования подтверждают правильность программы. На рис. 6 изображена схема осесимметричного сопла с центральным телом с прямолинейной внешней стенкой (обечайкой).

Рис. 6. Контуры дозвуковой части сопла при т0 = 0.01; пунктиром отмечен контур при т0 = 0.02. Разные кривые соответствуют различным отрезкам звуковой линии.

Произведено сравнение плоского дозвукового контура сопла с осесимметричным соплом

В § 1.2 рассматривается влияние показателя адиабаты к на контуры проектируемых сопел. При профилировании дозвуковой части сопла обычно задают диаметры на входе и в критическом сечении. При фиксированных значениях этих диаметров получено, что влияние к на контур незначительно. Вычисление проводилось для плоского и осесимметричного течения при разных значениях показателей адиабаты.

Рис. 7. В случае плоского течения при равных высотах на входе и в критическом сечении линией (1) показана разница контуров сопел „рты 2 -

при*-и), з линией (2) - при 3 приЛ^1 0,(3)при*-14 Уд при А" 1 (Уч при*-1 5 — Д|при«-1 |)> (5) "(У^прн*-! 6~^при*-| |), (6) * (Уч при*-1 7 _ Уц при*-1 О-

В § 1.3 рассмотрен вопрос об обеспечении монотонности потока на стенке сопла при использовании в качестве рабочего тела несовершенного газа.

Во второй главе рассматривается задача профилирования сверхзвукового части осесимметричного сопла с центральным телом.

В § 2.1 представлена схема сверхзвуковой части сопла с центральным телом и описаны теоретические основания алгоритма. При профилировании сверхзвуковой части методом характеристик некоторую трудность представляет необходимость «отхода» от прямой звуковой линии. С этой целью

использовано точное решение уравнения Трикоми, описывающего плоское

околозвуковое течение вблизи прямой звуковой линии.

1

Использование этого точного решения в осесимметричном течении можно обосновать следующим рассуждением. Так как радиальная компонента скорости на прямой звуковой линии, ортогональной оси симметрии, равна нулю, то уравнения характеристик плоского и осесимметричного течения на прямой звуковой линии совпадают. Поэтому, если характеристика (выпущенная из точки расположенной вдали от оси симметрии) близка к прямой звуковой линии, то она мало отличается от характеристики того же семейства в плоском течении.

На рис. 8 приведены результаты расчёта сверхзвуковой части осесимметричного сопла.

Рис: 8. Контуры сверхзвуковой части сопла при числах Маха на выходе М| = 2.125, М2 = 2.040, М3 = 1.881. Пунктиром показан контур, соответствующий слишком большому развороту потока в точке А.

В § 2.2 проводились профилирование сверхзвуковой части сопла для плоского течения и сравнение его контура с контуром сопла для осесимметричного течения.

В § 2.3 приведены результаты исследования влияния показателя адиабаты к на контур сопла. Оказалось, что контуры сверхзвуковой части заметно зависят от к. (Если сверхзвуковая часть сопла оказывается короче, чем нужно, то по теореме А.А.Никольского возникнет скачок уплотнения, что приводит к дополнительным потерям).

В § 2.4 приведен расчёт контуров сопел для разных размеров щели в критическом сечении (т.е. для разных высот угловой точки относительно оси х) при фиксированном 0 наружной обечайки. Выяснено влияние высоты критического сечения на контуры сопел с центральным телом.

В третье главе произведено профилирование сопла для несовершенного газа. (В алгоритме профилирования сопла использовалась теория Э. Г. Шифрина об изэнтропическом стационарном движении несовершенного газа.)

В § 3.1 воспроизведены элементы теории Э. Г. Шифрина. Именно, представлены уравнения движения для стационарных изэнтропических течений идеального газа с произвольной термодинамикой в инвариантной форме, в которой уравнения термодинамического состояния определяют лишь зависимости коэффициентов уравнений движения от скорости и температуры торможения. При этом в уравнениях можно совершить преобразование Чаплыгина в плоскость годографа скорости. Преобразованные уравнения также инвариантны относительно уравнений состояния. Поэтому, используя уравнения движения, инвариантные относительно уравнений состояния, можно проектировать сопла с учётом зависимости удельных теплоёмкостей от температуры. При 5 = сопз(уравнения состояния задаются в виде:

о 0

Несовершенный газ с уравнениями состояния (2) определен как «квазисовершенный». Зависимости СР(Т), СУ(7) заданы формулами:

г

г

Теплоёмкость смеси : Cp, Cv, к

C,i=A,+B|- f

c,2=a2 + b2- f

C,3 = A3 + B3- f

C,4 = A4 + B4- f • 0.37

C, = УгС,, + у2-С/>2+ Уз-С,3+У4"С,4

c., = c,,-/

C.2=C,2-/

С,з = Crj - 1

C„4=C,4- /

C,=yi-C,i + y2-C.2+ Уз'С,з + y4'C,4

k=C,/C,

A| = 5.30886 B, = 0.29682 У| = 0.1838

A2 =3.60820 B2 = 0.35166 Уг = 0.02

A3 =3.78380 Вз = 0.11131 Уз = 0.0102

A4 =3.35202 B4 = 0.14020 У4 = 0.786

f ^ T/273 °K C, = C//?„ Cv = Cv//?„ Ro =8 314 J/mole K

Динамическая вязкость:

ц = ц°Г 15- T+C

С = 0.4469

= 1.606 ■ 10'5 НС/М2, при 273 °К

L

Уравнения стационарного изэнтропического движения несовершенного газа, инвариантные относительно уравнений состояния, принимают вид

Л т £?(Л,Г0)

где \ = \У\ и 1пб(Л)= |(М2-1Х1пЛ)фс/ф.

В уравнениях (3), можно совершить преобразование Чаплыгина в плоскость годографа скорости, точно так же, как и в уравнениях для совершенного газа. Перекрестно дифференцируя выражения «р^ и получим окончательное уравнение для функции тока Ф(Л, Д) в несовершенном газе.

ЭУ (\+Мг) дц/ (\-Мг)д1ч/ _

дЖ+~ИГ~~5Л+~1Г~ (4)

После вычисления решения задачи Дирихле для получения координат сопла проводилось интегрирование вдоль линий йС, СВ и ВА в плоскости годографа по следующим формулам.

Вдоль линии £>С, ВА на рис. 2 : <к=Л*Л/<2 • сШ- сохД • 4>л ¿у =Л*Л/£> • с10- ипр • УА

(5)

Вдоль линии СВ на рис. 2 : ск = Л */() • еЫ ■ со$$ • (М'-О/Л • ¿у =Л*/<2 • <1Л • • (М'-Ц/Л •

Производные *РЛ, вычислялись по разностным формулам второго порядка точности. Результат расчета дозвукового контура при температуре торможения Т0 = 4000°К представлен на рис. 9 и таб. 2.

Рис. 9 Контур дозвуковой части плоского сопла при Т0 = 4000вК

Т0 на входе (в точке А) на выходе (в точке D)

Mach р/ро Q к V р/ро к

4000 0.358 0.938 0.570 1.2373 192.16 0.623 1.2454

Таб.2

В § 3.2 приведены результаты расчёта дозвуковых частей контуров для несовершенного газа при одинаковой ширине Л на входе в сопло. На рисунке всего 4 контура - первый, полученный при Т0 = 3000°К, второй - при Т0 = 5000°К (Таб. 3). Третий и четвёртый контуры были получены при решении задачи для совершенного газа при к = 1.242, к = 1.4 соответственно. Все контуры почти совпадают (Рис. 10).

Рис. 10 Контуры дозвуковой части осесимметричных сопел

То на входе (в точке А) на выходе (в точке D)

Mach V р/ро Q к V р/ро к

3000 0.265 46.80 0.966 0.438 1.260 167.08 0.625 1.268

5000 0.267 59.87 0.965 0.439 1.217 214.07 0.622 1.226

при к ~ 1.242, Хна входе = 2,793 (Mach = 0.2649) при к = 1.4, Хна входе = 2,806 (Mach = 0.2579)

Таб.3

В § 3.3 показаны контуры дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом для несовершенного газа. На рис. 11 приведены результаты расчёта контуров сопел для разной ширины щели в критическом сечении при фиксированной наружной обечайке. При этом разные кривые соответствуют различным отрезкам звуковой линии.

Рис. 11 Контур дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом при Т„ = 3000°К.

В § 3.4 описана вычислительная схема профилирования сверхзвуковой части сопла для несовершенного газа и получены контуры плоского и осесимметричного сопла. Схема вычисления течения для несовершенного газа не отличается от схемы для совершенного газа. Однако алгоритмы для программной реализации во всех этапах имеют некоторые отличия. Сверхзвуковая часть контура в несовершенном газе вычисляется в четыре этапа, как и в совершенном газе. При этом возникает трудность с выбором шага

интегрирования. По мере уменьшения шага интегрирования увеличивается точность, с другой стороны объём вычислений значительно возрастает. Такая же трудность возникает в вычислении методом характеристик на каждом этапе.

В § 3.5 рассмотрено влияние температуры торможения на контур и проводилось сравнение полученного контура в несовершенном газе с контуром в совершенном газе при прочих равных условиях. На рис. 12 линией показан контур сопла при температуре торможения Т0 = 1000°К, пунктиром - при Т0 =3000 °К, а треугольником - при Т0 =5000 °К. В этих случаях скорости потока, скорости звука и число Маха на выходе сопла написаны в таб. 4.

з —

0123456769

рис. 12. Контуры сверхзвуковой части осесимметричных сопел с центральным телом

т 1 о скорость потока Уе скорость звука ае число Маха Ме

1000 171.82 78.86 2.179

3000 299.82 140.41 2.135

• 5000 389.12 184.76 2.106

Таб.4

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Применен метод годографа Чаплыгина для профилирования дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом с прямой звуковой линией и изломом контура в звуковой точке. Метод позволяет определять контур сопла, в котором течение обладает свойством монотонного возрастания скорости. Разработан алгоритм профилирования осесимметричного сопла с центральным телом.

2. Выявлено, что в дозвуковой части сопла при разных высотах на входе и выходе в обоих случаях, плоского течения и осесимметричного течения, изменение значения показателя адиабаты не приводит к большому изменению контура сопла. При этом влияние показателя адиабаты в плоском случае приблизительно два раза больше влияния в осесимметричном случае. В сверхзвуковой части сопла в обоих случаях показатель адиабаты приводит к небольшому изменению контура сопла. Это изменение, однако, может привести к возникновению скачка уплотнения.

3. Создан и программно реализован алгоритм численного решения задачи о профилировании контура сопла для несовершенного («квази-совершенного») газа. Наблюдалось, что в дозвуковом случае влияние температуры торможения на контур сопла несущественно. (Влияние температуры торможения Т0 в плоском случае примерно два раза больше чем влияние в осесимметричном случае). Такой результат соответствует результату влияния адиабаты к на контуры при равных высотах на входе и выходе для плоского и осесиммеричного сопла для совершенного газа.

Список публикаций по теме диссертации

1. Ким Ч. В. Профилирование дозвуковой части осесимметричного кольцевого сопла методом плоскости годографа - Кафедральный сборник научных работ молодых учбных «МИТ-2004», Москва. 2004.

2. Шифрин Э. Г, Ким Ч. В. Профилирование сопла с центральным телом методом Чаплыгина. Доклады Академии Наук, Т. 401 № 1,2005.

3. Ким Ч. В. Профилирование сверхзвуковой части сопла с центральным телом и применение метода Чаплыгина для проектирования дозвуковых аэродинамических труб - Тезисы докладов XLVII Научной конференции в МФТИ. Часть III. Изд. МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2004.

4. Shifrirt KG, Kim Ch. V, Shaping a nozzle with a central body by the Chaplygin method, Doklady physics RAS, Vol 50, № 3,2005.

5. Ким Ч. В, Профилирование сопла с центральным телом, Исследовано в России, Москва, 2005.

Ким Чёл Вун

ПРОФИЛИРОВАНИЕ СОПЛА С ЦЕНТРАЛЬНЫМ ТЕЛОМ

Автореферат

Подписано в печать 14. 04. 05. Формат 60*90 Печать офсетная. У сл.печать, л. 1.2 тираж 50 экз.

Московский физико-технический институт (государственный университет) 141700, г. Долгопрудный, Институтский пер. 9.

№ 1 018 5

РНБ Русский фонд

2006-4 6133

Оглавление.

Введение.

Постановка задачи.

Цель работы.

Сопло с центральным телом как техническое устройство.

Некоторые вычислительные работы по соплам с центральным телом

Теоретические основы и численные методы.

Структура и объём диссертации

Глава I Профилирование дозвуковой части сопла.

§ 1. Профилирование дозвуковой части осесимметричного кольцевого сопла методом годографа Чаплыгина.

§ 2. Сравнение плоского сопла Лаваля с осесимметричным соплом

§ 3. Влияние показателя адиабаты к на контур сопла.

§ 4. Обеспечение монотонности потока на стенке сопла в случае использования несовершенного газа.

Глава II Профилирование сверхзвуковой части сопла.

§ 1. Профилирование сверхзвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом.

§ 2. Профилирование сверхзвуковой части сопла для плоского течения и сравнение с соплом для осесимметричного течения

§ 3. Влияние показателя адиабаты к на контур сопла.

§ 4. Влияние высоты критического сечения на контур сопла с центральным телом.

Глава III. Профилирование сопла с центральным телом для несовершенного газа.

§ 1. Теория профилирования сопла для несовершенного газа.

§ 2. Контуры при равной ширине h на входе в сопло.

§ 3 Контуры дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом для несовершенного газа.

§ 4 Профилирование сверхзвуковой части сопла для несовершенного газа.

§ 5 Влияние температуры торможения на контур сопла и сравнение с соплом для совершенного газа.

1. Постановка задачи.

Решается задача профилирования осесимметричного сопла с центральным телом («кольцевого сопла»). Во всей полноте задача решена для совершенного газа. Некоторые результаты пробного характера получены и для несовершенного газа.

Профилированию подлежит сопло с плоской звуковой поверхностью, отделяющей области дозвукового и сверхзвукового течения. Такое сопло наиболее удобно, так как в нем звуковая поверхность совпадает с характеристической. Поэтому в нем нет области смешанного до- и сверхзвукового течения, что позволяет рассчитывать дозвуковую и сверхзвуковую части сопла независимо друг от друга.

Кроме того, сопло с плоской звуковой поверхностью можно сделать с изломом стенки на пересечении со звуковой поверхностью. В этом случае сопло имеет минимальную длину, а в окрестности угловой точки поток останется монотонно ускоряющимся, что обеспечит отсутствие там отрыва потока.

Свойство монотонного возрастания скорости вдоль стенки сопла, гарантирующее безотрывный характер обтекания является очень важным, так как только при его выполнении метод профилирования, основанный на применении модели потенциального течения идеального (невязкого, нетеплопроводного) газа является адекватным при любых числах Re. Это в свою очередь, позволяет достичь высокой точности расчета.

Действительно, отсутствие развитых отрывных зон позволяет учесть влияние вязкости и теплопроводности в рамках теории пристеночного пограничного слоя.

При решении прямой задачи сопла Лаваля, в которой определяется поле скорости в канале заданной формы, распределение скорости вдоль стенки в общем случае оказывается немонотонным. Поэтому свойство монотонного возрастания скорости вдоль стенки сопла может быть обеспечено только путем решения специально разработанного метода профилирования дозвуковой части контура сопла. Такой метод был разработан в работах [1, 2] для профилирования сопел Лаваля, используемых в аэродинамических трубах. Метод основан на численном решении корректной математической задачи (задачи Дирихле) для уравнения Чаплыгина в плоскости годографа скорости. В работе этот метод обобщен для профилирования осесимметричного сопла с центральным телом.

Воспроизведение в реальности свойства монотонного увеличения скорости вдоль стенки сопла обеспечивается корректностью прямой задачи о течении в сопле Лаваля. Выполнение этого свойства было проверено в работе [3].

Итак, для профилирования дозвуковой части сопла применяется видоизмененный метод годографа Чаплыгина. Профилирование сверхзвуковой части контура проводится методом характеристик.

2. Цель работы.

Разработать программу вычисления координат контура осесимметричного сопла с центральным телом, имеющего плоскую звуковую поверхность и излом контура в точке пересечения со звуковой поверхностью.

Сопло должно обладать свойством монотонного увеличения скорости вдоль стенки, что обеспечивает безотрывный характер течения, а следовательно — адекватность потенциальной модели идеального газа. (В работе обеспечивается выбором формы области определения решения в плоскости годографа в виде прямоугольника, примыкающего к звуковой линии.)

С целью исследования вопроса о возможности профилирования сопел для реактивных двигателей изучается влияние показателя адиабаты и температуры торможения на координаты сопла при фиксированном отношении площади поперечного сечения сопла на входе к площади звуковой поверхности. С этой же целью исследуется вопрос о возможности обобщения разработанного метода на частном примере, когда термодинамические свойства газа определяются специальной таблицей.

3. Сопло с центральным телом как техническое устройство

Сопло является необходимым элементом реактивного двигателя. Степень его совершенства существенно влияет на эффективность всего летательного аппарата.

Так, увеличение потерь тяги сопла на 1% приводит к снижению полезной нагрузки на 5% или к уменьшению дальности полёта летательного аппарата примерно на 5% [4]. Поэтому основной целью создания сопел является обеспечение максимальной тяги при возможно меньшей массе и размере сопла.

За последние десятилетия в области исследований, разработки и создания реактивных сопел накоплен большой опыт. При этом исследовались разные виды сопел, в том числе и сопла с центральным телом [5, 6, 7, 8, 9].

Такое сопло привлекает к себе внимание в аэрокосмической технике уже давно, т.к., по мнению инженеров, оно обладает свойством авторегулируемости, т.е. приспособляемости к внешним условиям при полёте одноступенчатого воздушно-космического самолёта [10, 11, 12]. Дело в том, что применение обычных сопел Лаваля не всегда эффективно. Действительно, такие сопла на большей части траектории работают в нерасчетном режиме, что приводит к потерям энергии. (Нерасчетность связана с изменением давления из-за изменения высоты полета.)

По мнению зарубежных авторов, сопло с центральным телом более эффективно, так как граница струи может «автоматически» перестраиваться при полёте на всех высотах.

На самом деле, это не совсем так, поскольку граница газовой струи, истекающей из сопла традиционной формы, в целом будет «подстраиваться» аналогичным образом. Некоторое различие связано с тем, что в обычном сопле, работающем в режиме перерасширения, изменение формы струи может приводить к отрыву потока внутри сопла, инициируемого скачками уплотнения. В сопле с центральным телом этого не будет.

Кольцевое сопло позволяет также экономить вес и габариты, улучшает теплообмен, поскольку в нем меньше площадь охлаждаемой поверхности сопла [4]. (При прочих равных условиях площадь поверхности сверхзвуковой части таких сопел приблизительно в три раза меньше, чем у наиболее коротких сопел, выполненных по традиционной схеме.)

Внутреннюю полость центрального тела можно при этом использовать в качестве хранилища: например, там можно расположить турбонасосный агрегат или другие агрегаты, обслуживающие двигатель. Итак, двигатель, оборудованный соплом с центральным телом, получается более компактным и легким.

Следует, однако, отметить, что несмотря на вышеизложенное, удачных применений сопла с центральным телом до настоящего времени не было. Возможной причиной является то, что во время бурного развития космической техники ещё не было ни достаточно мощных компьютеров, ни адекватной математической теории трансзвуковых течений газа [13]. Конструирование сопел с центральным телом требует большей точности из-за относительно малой величины высоты критического сечения сопла. А создание высококачественных сопел с центральным телом на основе экспериментов и приближённых методик оказалось не возможным.

В последнее время в США, Европе и Японии разрабатываются проекты одноступенчатого воздушно-космического самолёта (Single Stage to Orbit : SSTO), например X-33, с двигателем, использующим плоское сопло с центральным телом.

В США в 1996 году проводились тесты Rocketdyne RS-2200 двигателя (Рис. 1) для проекта Х-33 (NASA). Однако этот проект отменили из-за высокой стоимости, вследствие чего применение этого сопла в действительном полёте не удалось [14].

Рис. 1)

Плоское сопло с центральным телом в двигателе Rocketdyne RS-2200 для Х-33. 1996г.

В Европе в 1998-2001 годах VKI(Von Karman Institute) и CEAT(Aeronautical Testing Center) совместно проводили экспериментально - вычислительные исследования, чтобы выяснить подробное действие сопла с центральным телом [15].

Была сконструирована экспериментальная установка, состоящая из модели сопла с центральным телом, и установленная в околозвуковой аэродинамической трубе СЕАТ. (Рис. 2) Исследователи VKI и СЕАТ обратили особое внимание на проектирование входной части сопла, что позволило получить высококачественный поток в окрестности критического сечения сопла.

20 сентября 2003г в США впервые проводили успешное летное испытание двигателя с кольцевым соплом, работающего с компонентами топлива жидкого кислорода и этанола (Рис. 3) [16].

Вышеизложенные аспекты технического характера, указывая на актуальность разработки, являются побудительным мотивом, хотя и не имеют прямого отношения к выполненному исследованию.

Рис. 2)

Сопло с центральным телом и околозвуковая аэродинамическая труба

Рис. 3) Кольцевое сопло в двигателе, созданное группой California State Univ. и Garvey Spacecraft Corp. в 2003г.

4. Некоторые вычислительные работы по соплам с центральным телом

Сопла с центральным телом можно разделить на три типа : с нулевым, положительным и отрицательным наклонами минимального сечения.

Сопла с нулевым наклоном минимального сечения подразделяются на три группы : с внешним расширением (сопло с прямолинейной и параллельной оси нижней стенкой), внутренним расширением (сопло с прямолинейной и параллельной оси верхней стенкой) и двойным расширением. Настоящая работа посвящена соплу с внутренним расширением, поэтому ниже будут рассмотрены только работы по соплам этого типа.

В работе [17] дано описание численного решения прямой задачи о смешанном до- и сверхзвуковом течении для разных кольцевых сопел методом установления. При этом краевая задача для эллиптико-гиперболической системы с двумя независимыми переменными сводится к задаче Коши для гиперболической системы с тремя независимыми переменными. Интегрирование уравнений, описывающих двумерное (плоское и осесимметричное) нестационарное течение, осуществлялось численным методом по разностной схеме работы [18]. Как обычно, при решении стационарной задачи итерационный процесс повторяется до тех пор, пока в пределах заданной точности поля параметров течения не перестают зависеть от времени. Как отмечают авторы, используемый численный метод имеет значительно меньшую точность в дозвуковых областях, близких к оси симметрии.

По нашему мнению, решение прямой задачи, даже если бы оно было получено с большой точностью, не представляет большой ценности с точки зрения решения задачи профилирования. Действительно, как говорилось, при задании произвольного контура сопла на стенке получается немонотонное распределение скорости, а это создает реальные предпосылки отрыва потока. Сам расчет при этом перестает описывать истинную картину обтекания, не говоря о том, что в сопле с отрывными зонами происходят потери энергии. Иначе говоря, попытки профилирования «хорошего сопла» путем перебора контуров стенок до тех пор, пока распределение скорости не станет монотонным, вряд ли будут успешными за обозримое время, так как множество контуров сопел с монотонными распределениями скорости является изолированным.

В работе [19] численно решалась обратная задача о течении в дозвуковой и трансзвуковой частях кольцевых сопел. Задавалась некоторая аналитическая кривая, являющаяся линией тока искомого течения. На ней задавалось аналитическое распределение давления (или скорости) в дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой областях. Для уравнений газовой динамики решалась задача Коши.

Численное решение обратной задачи позволяет определять сразу все течение (дозвуковое, трансзвуковое и сверхзвуковое), не используя метод характеристик в сверхзвуковой области.

Существенный недостаток этого метода состоит в том, что задача Коши некорректна в дозвуковой области, поэтому крутые сопла (а именно такие сопла представляют практический интерес) получаются с большой погрешностью.

В работах [7, 20, 21, 22], профилировалась только сверхзвуковая часть сопел.

Если дозвуковая часть контура сопла не спрофилирована специальным образом, то, как правило, звуковая поверхность оказывается криволинейной (не плоской), т.е. она не является характеристической поверхностью. Поэтому сверхзвуковая часть сопла, спрофилированная в каких-то предположениях о потоке на входе, будет находиться в противоречии с реальным полем скорости на выходе из дозвуковой части, т.е. течение в сопле окажется переопределенным.

В работе [21] решение вблизи звуковой поверхности вычислялось в виде степенных рядов. Затем вычислялось течение на разгонном участке, ограниченном прямолинейной стенкой в предположении, что разгон потока происходит через веер волн разрежения. Методом характеристик был рассчитан выравнивающий участок течения, обеспечивающий равномерный сверхзвуковой поток на выходе. Однако ввиду наличия прямолинейной стенки применение течения Прандтля-Майера в области ABE с прямолинейной внешней стенкой (Рис. 4) неправомерно. Такие же неприемлемые конструкции использовались в работах [6, 7, 8, 23]

Приближенный метод расчёта сверхзвукового течения в кольцевом сопле с отрицательным наклоном минимального сечения был рассмотрен в работах [6, 23].

В работе [23] в схеме течения (Рис.5) нет отдельного выравнивающего участка, в отличие от других работ, расчёт начинается вверх по потоку от характеристики АО прямо до поверхности перехода г О

J7

Рис. 4 О

Рис. 5

При определении координат контуров сопел сначала задавали число Ыо и радиус контура г0 в точке О. Расчет течения проводился вверх по потоку от характеристики АО до достижения звуковой скорости в угловой точке, при этом контур сопла определяется как линия тока с расходом, равным расходу через характеристику АО.

Расчёт проводился в предположении, что течение в области волн разрежения АВО незначительно отличается от плоского течения.

В работе [23] был предложен приближенный метод прямолинейных характеристик, основанный на «плоском» характеристическом течении в кольцевом сопле. В этом методе параметры на характеристиках обеих семейств предполагаются постоянными, а осесимметричность течения учитывается с помощью уравнения расхода [23].

Следует отметить, что, как показано в [24], в осесимметричном случае невозможно течение с плоской звуковой поверхностью, неортогональной оси симметрии. В схеме [23] звуковая линия является криволинейной, и следовательно, проектирование сверхзвуковой части сопла должно проводиться вместе с дозвуковой частью. Конечно, такого рода архаичные методы неприемлемы.

В работе [7] был предложен метод расчёта сверхзвуковых осесимметричных кольцевых сопел с двумя угловыми точками и с прямолинейной звуковой линией. В отличие от работы [21] околозвуковые характеристики принимались прямолинейными с постоянным числом М = 1.01 и направлением скорости, параллельным оси.

Рис. 6

Продолжалось исследование профилирования сверхзвуковых осесимметричных кольцевых сопел с двумя угловыми точками, предложенных А.Н. Крайко (Рис. 7) , при наличии ограничений (например, на минимально допустимый радиус центрального тела при заданном положении и размерах входного сечения сопла) [25].

Спрофилированное таким способом сопло оказывается более коротким, чем известные кольцевые сопла с равномерными параметрами на выходе, удовлетворяющих заданным ограничениям на относительное расположение входного и выходного сечений. В то же время предложенные сопла обладают недостатками, существенными при учёте ж

Рис. 7 вязких свойств газа : они могут содержать участки торможения сверхзвукового потока, а также относительно длинные участки малой ширины, и как следствие, реальное течение на выходе из таких сопел может существенно отличаться от расчётного равномерного потока.

5. Теоретические основы и численные методы для решения задач

В теории сопла Лаваля существуют два подхода, связанные с решением так называемых «прямой» и «обратной» задач [23, 26]. В прямой задаче определяют поле скорости внутри сопла при заданном контуре сопла. В обратной задаче требуется найти контур сопла, такой, чтобы на выходе из него поток был равномерный и прямолинейный.

В традиционной обратной задаче [23] контур сопла определяется, исходя из заданного на оси симметрии распределения скорости или давления. Однако этот подход приводит к задаче Коши с данными на оси симметрии, которая в дозвуковой области некорректна.

Вычисление решения этой задачи как условно-корректной приводит к тому, что профилируемое сопло получается слишком пологим, что не интересно для практики.

Ниже используется другой подход [27], приводящий к корректной задаче. Он основан на использовании преобразования Чаплыгина в плоскость годографа скорости. Метод годографа состоит в рассмотрении определяющих величин как функций — компонент вектора скорости. В данной работе переменными являются относительная величина скорости г (V/Vmax) и аргумент скорости р. Координаты х, у вычисляются после отыскания решения в плоскости годографа.

Преобразование Чаплыгина для плоских изэнтропических течений в плоскость годографа приводит к линейному уравнению Чаплыгина. В дозвуковой области в плоскости годографа решается задача Дирихле для уравнения Чаплыгина, в котором в качестве искомой функции берётся функция тока Ч*. (Использование функции тока в качестве независимой переменной особенно удобно для профилирования сопел, поскольку граничные условия задаются на поверхности тока — на прямолинейней стенке или на оси симметрии). Метод Чаплыгина для профилирования плоских сопел Лаваля был разработан в [1].

Далее, в работе [2] этот метод был применён к задаче профилирования осесимметричных сопел Лаваля, несмотря на то, что уравнение в плоскости годографа становится нелинейным. Однако его можно преобразовать к виду, в котором в левой части стоит линейный оператор Чаплыгина для плоских течений, а правая часть нелинейна. Такой приём позволяет вычислять решение методом итераций.

Описанный метод в данной работе был модифицирован для решения задачи профилирования осесимметричного сопла с центральным телом, в котором реализуется трансзвуковое течение с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси симметрии и с изломом стенки в звуковой точке. Аналогичная проблема для сопла Лаваля была решена в [30].

Сопло с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси симметрии, позволяет проектировать дозвуковую часть контура сопла независимо от сверхзвуковой области. При этом можно использовать схему сопла с угловой точкой, расположенной на прямой звуковой линии. В этом случае сверхзвуковая часть сопла оказывается короче, чем у наиболее коротких сопел, выполненных по обычной схеме.

Сверхзвуковая часть сопла рассчитывается в предположении, что на выходе из сопла поток равномерен и параллелен оси симметрии, т.е., что сверхзвуковая струя вытекает в затопленное пространство с тем же давлением. Расчет проводится методом характеристик; для «отхода» от звуковой плоскости используется точное решение уравнения Трикоми [13, 28] для околозвуковых течений с прямой звуковой линией.

В отличие от схемы [23], в которой поток разгоняется через веер разрежения волн Плантдля-Майера примыкающий к звуковой линии, такой подход является точным, следовательно, позволяет получить более высокую точность.

Распределение скорости вдоль сверхзвуковой части сопла получается также монотонным, что обеспечивает отсутствие отрыва пограничного слоя и, следовательно, адекватность модели идеального газа. Из результатов расчетов видно, что течение в сверхзвуковой части сопла непрерывно (скачков уплотнения нет).

Для профилирования сверхзвуковой части осесимметричного сопла её можно разделить на две подобласти : область предварительного расширения и область выравнивания потока. Расчёты сверхзвуковой части сопел целесообразно проводить численным методом характеристик. В нашей работе использовался метод, предложенный Элерсом [27, 29]. Этот метод состоит в преобразовании переменных в уравнениях характеристик с помощью рациональных алгебраических функций, что упрощает задание коэффициентов в дифференциальных уравнениях. Это позволяет значительно сокращать машинное время каждого шага в процессе численного решения.

6. Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы.

Выводы

1. Применен метод годографа Чаплыгина для профилирования дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом с прямой звуковой линией и изломом контура в звуковой точке. Метод позволяет определять контур сопла, в котором течение обладает свойством монотонного возрастания скорости. Разработан алгоритм профилирования осесимметричного сопла с центральным телом.

2. Выявлено, что в дозвуковой части сопла при разных высотах на входе и выходе в обоих случаях, плоского течения и осесимметричного течения, изменение значения показателя адиабаты не приводит к большому изменению контура сопла. При этом влияние показателя адиабаты в плоском случае приблизительно в два раза больше влияния в осесимметричном случае. Однако в сверхзвуковой части сопла в обоих случаях показатель адиабаты приводит к небольшому изменению контура сопла. Это изменение, однако, может привести к возникновению скачка уплотнения.

3. Создан и программно реализован алгоритм численного решения задачи о профилировании контура сопла для несовершенного («квазисовершенного») газа. Наблюдалось, что в дозвуковом случае влияние температуры торможения на контур сопла несущественно. (Влияние температуры торможения Т0 в плоском случае примерно в два раза больше чем, влияние в осесимметричном случае). Такой результат соответствует результату влияния адиабаты к на контуры при равных высотах на входе и выходе для плоского и осесиммеричного сопла для совершенного газа.

Список публикаций по теме диссертации

1. Ким Ч. В. Профилирование дозвуковой части осесимметричного кольцевого сопла методом плоскости годографа - Кафедральный сборник научных работ молодых учёных «МИТ-2004», Москва. 2004.

2. Шифрин Э. Г, Ким Ч. В. Профилирование сопла с центральным телом методом Чаплыгина. Доклады Академии Наук, Т. 401 № 1, 2005.

3. Ким Ч. В. Профилирование сверхзвуковой части сопла с центральным телом и применение метода Чаплыгина для проектирования дозвуковых аэродинамических труб - Тезисы докладов XLVII Научной конференции в МФТИ. Часть III. Изд. МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2004.

4. Shifrin E.G, Kim Ch. V, Shaping a nozzle with a central body by the Chaplygin method, Doklady physics RAS, Vol 50, № 3, 2005.

5. Ким Ч. В, Профилирование сопла с центральным телом, Исследовано в России, Москва, 2005.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Научная новизна работы состоит в следующем :

- в профилировании осесимметричного сопла с центральным телом применена модификация численного метода годографа Чаплыгина, разработанного ранее для профилирования плоских и осесимметричных сопел Лаваля.

- произведено вычисление координат контуров до- и сверхзвуковых частей осесимметричного сопла с центральным телом, в котором реализуется трансзвуковое течение с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси симметрии и с изломом стенки в звуковой точке.

- создана программа численного решения для профилирования контуров сопел с центральным телом для несовершенного газа. При этом для профилирования дозвуковых частей сопел используется метод годографа Чаплыгина. Программы проверены на примерах плоского и осесимметричного сопел при заданных законах термодинамического состояния.

- исследовано влияние показателя адиабаты для совершенного газа. Для несовершенного газа исследованы отношения теплоёмкостей и температуры торможения на координаты сопла и скорости потока на выходе.

Практическая ценность.

- Созданная программа позволяет профилировать осесимметричные сопла с центральным телом при различных значениях определяющих параметров. В этом случае профилирование дозвуковой части методом годографа Чаплыгина заранее выполняет важное условие монотонности скорости на стенке, благодаря которому можно обеспечивать безотрывность обтекания на стенке сопла при любых числах Рейнольдса.

- С созданной программой для сверхзвуковой части можно профилировать сопла с уменьшенной длиной центрального тела. (При этом контур центрального тела выходит не на ось симметрии и можно уменьшить массу, габариты и усовершенствовать охлаждение сопел).

- Профилирование сопел для несовершенного газа и исследование влияния показателя адиабаты и температуры торможения на координаты сопла и скорости потока на выходе даёт важную информацию для проектирования сопел для горячих газов, которое производилось до настоящего времени в рамках модели совершенного газа.

1. Подсыпанина Н. А., Шифрин Э. Г. Об одном методе профилированиякоротких плоских сопл. Изв. АН СССР, МЖГ, № 1, 1975.

2. Подсыпанина Н. А. Использование плоскости годографа при профилировании численным методом осесимметричного сопла Лаваля. Изв. АН СССР, МЖГ, № 1, 1977.

3. Шулаков М.А. Численное решение прямой задачи осесимметричногосопла Лаваля с использованием схемы Мурмена-Коула. Гидроаэромеханика и теория упругости. Киев, КГУ, Вып. 30, 1983.

4. Лаврухин Г.Р. Аэрогазодинамика реактивных сопел, том 1. внутренниехарактеристики сопел М: Физматлит, 2003.

5. Овсянников А. М. Расчет течения в дозвуковой и трансзвуковой частяхкольцевых сопел Изв. АН СССР МЖГ, № 6, 1971.

6. Межибовская Е. Г., Пирумов У. Г., Рубцов В. А., Сорокина Е. В.

7. Расчет кольцевых осесимметричных сопел Изд-во МГУ, 1961/ Тр. ВЦ МГУ, 1961.

8. Пирумов У. Г., Рубцов В. А. Расчёт осесимметричных сверхзвуковыхкольцевых сопел «Изв. АН СССР. Мех. и машиностр.» № 6, 1961.

9. Виленский Ф. А., Волконская Т.Г., Грязнов В.П., Пирумов У.Г. Исследование нерасчетных режимов осесимметричного кольцевого сопла с центральным телом. Изв. АН СССР, МЖГ, № 4, 1972.

10. Васильев А.Е, Кудрявцев В.М, Кузнецов В.А, и др., Основы теории ирасчета жидкостных ракетных двигателей, М., Высш. школа, 1983.

11. Korte J. J., Salas А. О., Dunn H. J., Alexandrov N. M., Follett W. W., Orient G. E., Hadid A. H. Multidisciplinary Approach to Aerospike Nozzle Design. AIAA Paper 97-3374, 1997.

12. Takashi Ito, Kozo Fujii, Koich Naeashi. Computations of the axisymmetric plug nozzle flow fields, 17th AIAA Applied Aerodynamics Conference. Virginia 1999.

13. Kraiko A.N, Tillyayeva N.I, Baftalovskii S.V, Optimal design of plug nozzles and their thrust determination at start, Journal of propulsion and power, Vol. 17, No. 6, Nov-Dec 2001.

14. Шифрин Э. Г. Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа. М: Физматлит, 2001.

15. Von Karman Institute for Fluid Dynamics. Study on the plug nozzle propulsion system. Research activities 98-99 (aerospace) http://www.vki.ac.be/research/themes/aeros99/5.html.

16. ROCI News "Team conducts first powered liquid propellant aerospike flight test". Vol 3, issue 09, RCI Indiana USA, October 2003.

17. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. Изв. АН СССР, МЖГ. № 5, 1969.

18. Годунов С. К., Забродин А.В., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчёт обтекания с отошедшей ударной волной. Вычислительная математика и математическая физика. Т. 1. № 6, 1961.

19. Овсянников А. М. Расчет течения в дозвуковой и трансзвуковой частях кольцевых сопел Изв. АН СССР МЖГ, № 6, 1971.

20. Кацкова О.Н. Расчёт равновесных течений газа в сверхзвуковых соплах. М: Вычислительный центр АН СССР, 1964.

21. Кацкова О.Н. Расчёт кольцевых сверхзвуковых сопел и диффузоров В.сб.^Вычислительная математика», № 3, М., Изд-во АН СССР, 1958.

22. Верховский В.П., Денисова Н.В., Межирова И.И. Расчёт сверхзвуковой части кольцевых профилированных сопл. Уч. Зап. ЦАГИ 1976. Т. 7, № 3.

23. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Течения газа в соплах. МГУ, 1978.

24. Шифрин Э.Г. О течениях идеального газа со звуковой поверхностью, совпадающей с характеристической. ПММ 1965, Т. 29. Вып. 4.

25. Тилляева Н.И., Широносова Е.Я. Профилирование сверхзвуковых частей кольцевых сопел с равномерными параметрами на выходе. М:. ЦАГИ, препринт № 25, 1995.

26. Овсянников А. М., Пирумов У. Г. Метод расчёта контуров аэродинамических сопл с переходом через скорость звука. Изв. АН СССР, МЖГ. № 1, 1975.

27. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, часть вторая. Государственное издательство физико-математической литературы, Москва 1963.

28. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Теоретическая физика М: Физматлит, 2003.

29. F. Edward Ehlers. The method of characteristics for isoenergetic supersonic flows adapted to high-speed digital computers J. Soc. Industrial Appl. Math Vol. 7, No. 1, March, 1959.

30. Шифрин Э.Г. Об использовании течений с прямой звуковой линией в соплах с угловыми точками. Изв. АН СССР, МЖГ, № 1, 1981.

31. Никольский А.А. О течениях газа вблизи остроконечных задних кромок тел вращения. Сборник теоретических работ по аэродинамике, М., оборонгиз. 1957.

32. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики, М., РЖИ, 2003.

33. Морс Ф.М. Фешбах Г. Методы теоретической физики. T.l. М., ИИЛ, 1958.