Теоретический анализ динамических моделей диффузионного переноса реагирующих примесей

Жидкова, Марина Исаковна

Теоретический анализ динамических моделей диффузионного переноса реагирующих примесей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Жидкова, Марина Исаковна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Хабаровск; Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Теоретический анализ динамических моделей диффузионного переноса реагирующих примесей»

Автореферат диссертации на тему "Теоретический анализ динамических моделей диффузионного переноса реагирующих примесей"

На правах рукописи

Жидкова Марина Исаковна

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИФФУЗИОННОГО ПЕРЕНОСА РЕАГИРУЮЩИХ ПРИМЕСЕЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск, Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Дальневосточной академии государственной службы и в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Алексеев Г. В.

Научный консультант: академик Монахов В. Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Кашеваров А. А.,

кандидат физико-математических наук, доцент Соппа М. С.

Ведущая организация: Институт вычислительной мате-

матики и математической геофизики (СО РАН)

Защита состоится « 10 » мая 2005 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском Государственном Университете по адресу:

630090, Новосибирск - 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского Государственного Университета.

Автореферат разослан « 7 » апреля 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н. Макаренко Н. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена теоретическому анализу моделей диффузионного тепломассопереноса реагирующих примесей различными потоками вязкой жидкости.

Актуальность проблемы математической корректности начально-краевых задач для уравнений вязкой жидкости (моделей типа Навье-Стокса, пограничного слоя и других) обусловлена многочисленными приложениями в механике сплошных сред. Кроме того, задачи, связанные с этими проблемами, представляют самостоятельный интерес для теории дифференциальных уравнений. Наконец, исследование корректности указанных задач способствует созданию численных алгоритмов их решения.

В 50 - 70 гг. прошлого века в связи с проблемой защиты космических аппаратов при входе их в плотные слои атмосферы в СССР и за рубежом начались активные разработки моделей этого процесса. При этом необходимо было учесть различные физические факторы, из которых наиболее важным является учет химических реакций на обтекаемой стенке и в ее окрестности.

Поэтому первые исследования этих процессов проводились в рамках теории пограничного слоя смеси ионизированных газов в основном в виде численных расчетов этих задач. Отметим здесь работы: Щенникова В. В. (1961), Хошизаки X. (1962), Паллоне А., Ван Тассе-ля В. (1962), Авдуевского В. С, Глебовой Г. А. (1970), Суслова О. Н., Тирского Г. А., Щенникова В. В. (1971).

Теоретическому анализу этих нелинейных моделей посвящены работы Хуснутдиновой Н. В. (1975, диагональная матрица диффузии) и Соппа М. С. (1978, общая матрица диффузии).

Разрешимость начально--краевых задач для погранслойных моделей тепломассопереноса была доказана в последних работах в малом по длине обтекаемой стенки.

Теоретический анализ для моделей взаимопроникающих сред (модель Рахматулина) был проведен Кажиховым А. В., Петровым А. Н. (1978).

Диффузионные процессы, описываемые системами линейных параболических уравнений, изучались Эйдельманом С. Д. (1964), Солонни-ковым В. А. (1965) и другими. Точные ссылки на все указанные выше работы имеются в библиографии к диссертации автора.

Сильно нелинейные стационарные диффузионные процессы исследованы Монаховым В. Н. (Сиб. мат. жур. т.44, N 5, 2003).

В последнее время интерес к изучению моделей конвективно-диффузионного переноса реагирующих примесей потоками вязкой жидкости возродился, в частности, в связи с экологическими проблемами: Пененко В. В. (1981), Кашеваров А. А. (1999) и другие.

Теоретическому анализу этих моделей посвящены работы Алексеева Г. В. (2001), Темама Р. (1993), Нормана Д. Е. (1999, 2000) и других. Во всех этих исследованиях рассмотрены только частные модели, например, в случае матрицы диффузии единичная матрица, Л = const > 0. Кроме того в этих работах не устанавливаются необходимые физические свойства концентраций примесей: 0 < s* < 1, ^^к — 1В работах автора изучается общая квазилинейная модель, для решений которой устанавливается справедливость указанных выше свойств концентраций примесей.

Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость начально-краевых задач для диффузионных моделей переноса реаги-

рующих примесей тепловыми потоками вязкой жидкости в магнитном поле или пористой среде с учетом сил сопротивления.

Соответствующие этим процессам системы уравнений состоят из сильно связанных уравнений параболического (модель диффузии) и составного типа (модель типа Навье-Стокса).

Методы исследования. Производится специальная е— регуляризация задачи (0 < е 1), формально расщепляющая ее на две независимые модели : модель диффузии примесей на заданном поле скоростей жидкости и модель типа Навье-Стокса вязкой жидкости при известном распределении концентраций примесей и температуры.

Классическая разрешимость начально -краевых задач для регуля-ризованных моделей устанавливается на основе справедливых для их решений оценок шаудеровского типа, зависящих, вообще говоря,

Затем с помощью более детального анализа решений регуляризо-ванных задач получаются оценки, не зависящие от е и позволяющие осуществить предельный переход при

Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и ее результаты могут быть использованы при численном решении задач конвективно-диффузионного тепломассопе-реноса реагирующих примесей.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях: Международная научная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики", г. Хабаровск (2003), Всероссийская конференция "Математические методы в механике природных сред и экологии", г. Барнаул (2002), Дальневосточная математическая школа-семинар им. Е. В. Золото-ва, г. Владивосток (2002 - 2004).

Результаты диссертации доложены также на семинарах : Хабаровского государственного технического университета, "Дифференциальные уравнения" под руководством профессора Зарубина А. Г. (2003), Института прикладной математики ДВО РАН, "Экстремальные задачи" под руководством профессора Алексеева Г. В. (2004), Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" под руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П. И. (2004, 2005)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы.

Общий объем диссертации 97 страниц машинописного текста, библиография содержит 51 наименование в основном монографического характера.

Содержание работы

Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения по ее теме, изложение причин и целей проводимых в ней исследований и перечисление основных положений работы.

Глава I посвящена доказательству разрешимости общей задачи нестационарной и стационарной диффузии примесей при конвективном переносе их заданным потоком вязкой жидкости.

В первом параграфе в основном излагаются известные результаты из теории параболических и эллиптических уравнений Здесь же в виде теорем сформулированы три новых результата автора и найдены достаточные условия (условия стирания) возможности преобразования смешанной начально-краевой задачи во вторую начально-краевую задачу

Во втором параграфе приводятся дифференциальные уравнения модели и формулируются условия на их коэффициенты

Плотность смеси р(х,1) = £ р„ х = (2:1,2:2) и вектор скорости и = £ в,и, = (щ,и2) потока неоднородной жидкости считаются известными и рассматривается следующая система уравнений для концентраций компонент и относительной температуры

Здесь скорости химических реакций, по-

тенциал источников тепла, диффузионные

потоки в форме Гиршфельдера, ¿в,/<й = 9в,/сЙ+и Vs1 Коэффициенты уравнений (1) подчиняются предположениям

Предположения (2) приводят к соотношениям

обеспечивающим физический смысл величин в,, как концентраций примесей

Дополнительное предположение:

(г) расширенная матрица диффузии Д)(£) = {А(;}, («',_/) = 0, т является квази-треугольной, т. е.

О < <1 < Л, = А„ < с2-1, г = 0,тп- 1, причем Хт] = -Ат_1, 3 = 1,771-1.

Интервал (01, изменения температуры в = 5о обычно задан из физических соображений и без нарушения общности можно считать, что

Тогда при > 1 приток тепла должен отсутствовать и коэффициенты уравнения (1) для подчиняются условиям

(А0л, йо)«0=±1 = 0, к = 17т. (5)

Третий параграф посвящен доказательству разрешимости регуля-ризованной задачи и установлению некоторых свойств ее решений.

Пусть ограниченная область с гладкой границей

дП с С2**, а > 0(|П| < оо), Я = П х (0,Т), (т.'л,2) С С2^, 0 > 0 (г = М) — смежные дуги на 30, Г? = 7* х (0, Т) (* = 1,2, г = 1Д Г* = Ц^Г*, П0 = {я € П, * = 0}, Г = Г1 и Г2 — боковая поверхность. Для решений системы (1) рассматривается задача

Здесь 8(х,$,С(х,Ьа) = (Со, --.(?т) — продолжения в ф = П х (О, Г)

векторов, заданных на причем по физическому смыслу имеем

единичный вектор

внешней нормали к

Для решений регуляризованной задачи устанавливается также справедливость неравенств (3), (4), обеспечивающих физический смысл ис-

комых функций Sk(x,t), к = Q,m.

В четвертом параграфе доказываются теоремы существования решений задачи (1), (б).

Предполагается, что в (1) р = 1. Случай не постоянс -следован в главе III.

Целью параграфа является получение равномерных относительно параметра регуляризации е оценок решен^ч^льно-краевой задачи (1), (6).

На основе этих оценок с помощью предельного перехода при е —> О доказаны теоремы существования обобщенных и классических решений задачи

Прежде всего доказываются оценки

Ыал^^и^^Над+ад), (7)

IMU < Ci(H(h, u)||,,Qr + N4(R)), q > 2, (8)

где R(x,i) — решение начально-краевой з а (S и R) л я уравнения теплопроводности

Устанавливается также оценка < С2, а > 0.

Теорема 1 (существования обобщенных решений). Пусть выполняются предположение) u условия

IKh.u.S^.G)!!^ < щ, ||(Ai;if,G)[|C(J) < М1)

Тогда существует по крайней мере одно обобщенное решение s{x,t) € Bp(Qr) = W^Q) П W™{QT) П Ha(QT), q> 2ta>0 задачи (1), (6), в смысле интегрального тождества.

Если Г1 = 0 или Г2 = 0, или же выполняется условие стирания в q > 2, а > 0, то обобщенное решение

задачи (1), (6) s{x,t) € B^a{Q) (QT = Q).

Теорема 2 (о сильных обобщенных решениях). Пусть выполняются условия теоремы 1 и дополнительное предположение

(¿i): ||h|U < /ц, ||и||рЛ < т, IKS,, G)||J2 < /и,

где р = qqo(q — go)_1> <7 > <?о > 2, q — число в неравенстве (8).

Тогда существует по крайней мере одно сильное обобщенноереше-ние s(M) е ti?(Qr) = w},0(Q) n wpm n H°(Qr) задачи (1), (6),

для которого справедлива оценка

Пустьудовлетворяется предположение

или выполняется условие стирания

* Bb*(Q) (Qr s Q), a > 0, 2 < g0 < <?•

Тогда оценка

Доказано также утверждение.

Теорема 3 (существования классического решения). Пусть выполняется предположение (ij) теоремы 2 с до > 4 и имеет место гельдеровская непрерывность коэффициентов (1), (б) по всем аргументам.

Тогда существует по крайней мере одно классическое решение s(x,t) е W2,0{Q)r\H2+a{Qr), Vr > 0 задачи (1), (6), удовлетворяющее неравенству

Если дополнительно выполняется предположение теоремы то последнее неравенство справедливо в области

|s|§r+o) < С-

Разрешимость стационарной задачи (1), (6) (я^ = 0) доказана в §5. В отличие от нестационарного случая здесь установлены более сильные оценки:

В §6 доказана оценка устойчивости:

И^ + КИ»А < + ЫцДг), 9 > 2-

Здесь э = в1 — в2 — разность двух решений зада Р е ч а ю -

щих различным значениям и*, Б*, й*, к = 1,2 скоростей и граничных функций, Я— решение задачи (6) для уравнения Б* — ДЛ = 0.

Прямым следствием этой оценки при в = в (¡с, является теорема единственности решения задачи (1), (6).

Глава II посвящена проблеме переноса реагирующих примесей при свободной конвекции вязкой жидкости.

Изучаются общие краевые задачи, когда на обтекаемой поверхности заданы потоки тепла и масс (вторая краевая задача), либо значения температуры и концентраций (первая краевая задача), либо имеет место сочетание этих условий (смешанная краевая задача).

В главе доказывается разрешимость общих начально-краевых задач для описанной нелинейной модели тепломассопереноса и изучаются качественные свойства ее решений.

Уравнения обобщенной конвекции и граничные условия для и имеют вид :

$t + (u • V)0 - V • (ДоV0) - Щх, S, ax) - ho(x, s) = 0,

где температура.

Если жидкость движется в магнитном поле или в пористой среде, то слагаемое соответствует силе сопротивления маг-

нитного поля или пористой среды.

К уравнению Навье-Стокса (10) для скорости и и давления р смеси добавляется система уравнений для концентраций компонент и относительной температуры

Аналогично главе I производится регуляризация задачи (10), (11) и доказывается разрешимость совместной регуляризованной задачи А = {(1), (6), (10), (11)} для ш = (u,p,s). После этого устанавливаются равномерные относительно параметра оценки решений и предельным переходом при £ -»• 0 доказываются теоремы существования обобщенных и классических решений совместной задачи .¡4(§§1 — 4).

В §5 доказаны оценки устойчивости для разности двух

решений совместной задачи А, соответствующих различным граничным данным

I"Iq + C(N4(R) + ||их||ад) = Л, (12)

Следствием оценок является теорема единственности

решений совместной задачи обладающих свойствами:

и М е Wl\Q), Vp € ьш s(*,i) е H°(Q) nW^0(Q),q > 2,а > 0.

Глава III посвящена теоретическому анализу процесса переноса реагирующих примесей открытыми и фильтрационными потоками вязкой несжимаемой жидкости.

В первом параграфе главы исследуется хорошо зарекомендовавшая себя в метеорологии и океанологии модель неоднородной вязкой несжимаемой жидкости, в которой дополнительно учитываются силы сопротивления магнитного поля или пористой среды. Другим объектом исследования в главе является предложенная Монаховым В. Н. (1977) модель фильтрации неоднородной несжимаемой жидкости в пористых средах (§2). В обеих моделях гидродинамические потоки определяют движение смеси в целом, а распределения температуры и концентраций компонент неоднородной жидкости описываются общей нелинейной системой (1) уравнений диффузионного тепломассопереноса.

Для описания плоских течений неоднородной жидкости привлекаются следующие уравнения типа Навье-Стокса для вектора скорости давления и плотности смеси:

где динамическая вязкость,

pi — вектор внешних сил. Последнее уравнение в (14) является условием несжимаемости жидкости, а соотношение следствием этого условия и уравнения pt + V • (pu) = 0 неразрывности потока.

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для решения w = (и, р,s) уравнений (1), (14):

Предполагается :

11(7, Ay, VAy, hi, Р°, P°t, V/Л f, U, S, G)||c"»(£) < M, a > О,

где е = {(м) еЯ,ре (Л г1), 50 е (-1,1),в4 е (о, 1), к = 1,т}.

Продолжим векторы (7, Ац, Л*, ^ коэффициентов уравнений (1), (14) и и, в, С) граничных функций в (15), (16), заданные на множестве Е = (} X (г0, Г1) X (-1,1) X (0,1)т на все пространство 1", п = т + 5:

по переменным (р, з) крайними значениями их компонент, а по (х, ¿) с сохранением гладкости до финитных при функций.

Затем применим ко всем этим функциям операцию стекловского усреднения.

В уравнении (1) к продолженным в К3 коэффициентам р(х, I) и и(х, £) также применяется операция усреднения.

Теорема 4. Пусть выполнены предположения (17). Тогда, если Г2 = 0 ИЛИ Г1 = 0, то существует классическое решение (и,Р,Р,&) € (Я2+а \НаХ Я1+а X Я2+а)(<5) совместной задачи

{(1), (14)-(16)} = А

Если Г* ф 0, к = 1,2, то решение совместной задачи А также существует, причем

р е яо(0) п я1+0(<?г), з е п я2+а(дТ), а > о.

В §2 исследуется фильтрация неоднородной несжимаемой жидкости в пористой среде.

Для описания процесса плановой фильтрации используется предложенная Монаховым В. Н. (1977) модель:

Здесь положительно определенный тен-

зор фильтрации, динамические вязкости

компонент, сг(х) — коэффициент пористости. Как и в системе (14), последнее равенство является условием несжимаемости смеси, соотношение следствием этого условия и уравнения

неразрывности потока. Первое соотношение в (18) — обобщенный закон Дарси. Температура во и концентрации в» = Ач/р, » = 1 ,тп компонент смеси удовлетворяют уравнениям (1).

Граничные условия (16) для вектора s сохраняются, а (15) для заменяются на следующие

Аналогичным образом, как и в §1, с помощью е— регуляризации совместной задачи и последующего предельного перехода при в интегральных тождествах, приходим к утверждению.

Теорема 5. Пусть выполнены предположения, аналогичные условиям в теореме 4.

Тогда совместная задача В, описывающая процесс фильтрации вязкой неоднородной несжимаемой жидкости в пористых средах, имеет по крайней мере одно решение (и, р,8), обладающее свойствами: и(М) € !«,[0,Т; П Яа(<Эг), р(х,*) € Яа(<2т),

в(х,0 € И^*?) П Н2+а{ЯТ), Я > 2, а > 0. Если Г1 = 0 или Г2 = 0, то <?г = С?.

Основные результаты диссертации:

— получены равномерные оценки обобщенных и классических решений нестационарных и стационарных задач переноса реагирующих примесей при свободной конвекции вязкой жидкости (задача СК), на основе которых доказана их разрешимость;

— в задаче СК получены оценки устойчивости решений относительно вариации граничных данных и доказана теорема единственности;

— установлена разрешимость нестационарной задачи конвективно-диффузионного переноса реагирующих примесей потоком неоднородной вязкой жидкости (задача А);

— доказана теорема существования обобщенных решений задачи диффузии реагирующих примесей в фильтрационном потоке неоднородной жидкости (задача В).

Литература

[ЦЛадыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева КН., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., Наука, ФМЛ, 1967,736 с.

[2]Ладыженская О.А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, М, Наука, ФМЛ, 1970,288 с.

[3]Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н., Краевые задачи механики неоднородных жидкостей, Новосибирск, Наука СО, 1983,316 с.

[4]Монахов В.Н., Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений, Новосибирск, Наука СО, 1977,420 с.

Публикации автора по теме диссертации

[5]Алексеев Г.В., Зарубин А.Г., Жидкова М.И., Разрешимость краевых и обратных задач для стационарных уравнений распространения многокомпонентной примеси в вязкой жидкости, Материалы Всероссий-

ской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии", Барнаул, 2002, с. 4-5.

[6]Жидкова М.И., К задаче о распространении многокомпонентной примеси в вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости, Дальневосточная математическая школа-семинар им. Е. В. Золотова, Тезисы докладов. - Владивосток, 2002, с. 20-21.

[7] Алексеев Г.В., Жидкова М.И., Кожушная Е.Р., Исследование краевых задач для стационарных уравнений распространения многокомпонентной примеси в вязкой жидкости, Дальневосточная математическая школа-семинар им. Е. В. Золотова, Тезисы докладов. - Владивосток, 2002, с. 32-33.

[8]Алексеев Г.В., Жидкова ММ., Кожушная Е.Р., Разрешимость краевых задач для стационарных уравнений распространения многокомпонентной примеси в вязкой жидкости, Вычислительные технологии, Спец. вып., Ч. 1,2002, с. 251-257.

[9]Зарубин А.Г., Жидкова М.И., О разрешимости начально-краевой задачи распространения многокомпонентной примеси, Дальневосточная математическая школа-семинар им. Е. В. Золотова, Тезисы докладов. - Владивосток, 2003, с. 64-65.

[10]Зарубин А.Г., Жидкова ММ., Задача о распространении многокомпонентной примеси, Фундаментальные и прикладные вопросы механики: Сборник докладов международной конференции, Хабаровск, 2003, с. 378-389.

[11]Жидкова М.И., Стационарные задачи неоднородной жидкости, Дальневосточная математическая школа-семинар им. Е. В. Золотова, Тезисы докладов. - Владивосток, 2004, с. 31-32.

[12] Монахов В. К, Жидкова М.И., Реагирующие примеси в потоках вязкой жидкости, IV Международная конференция по математическому моделированию, Тезисы докладов. - Якутск, 2004, с. 18.

[13]Монахов В.Н., Жидкова М.И., Теоремы существования нестационарных потоков реагирующих смесей, ДАН, т. 398, № 1, 2004, с. 23-26.

[14] Монахов В.Н., Жидкова ММ., Нестационарные потоки неоднородной вязкой несжимаемой жидкости, Прикладная механика и техническая физика, т. 46, №2,2005, с. 44-51.

Жидкова Марина Исаковна

Теоретический анализ динамических моделей диффузионного переноса реагирующих примесей

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ИД № 03637 от 25.12.2000 Подписано в печать 31.03.2005. Формат 60x841/16 Печать офсетная. Усл. печ.л. - 0,79 Тираж 100 экз. Заказ № а

Отпечатано в Печатно-множительном бюро Дальневосточной академии государственной службы, 680682, Хабаровск, ул. Муравьева-Амурского, 33

0/.P/-0/Û3

7 2*пощ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Жидкова, Марина Исаковна

ВВЕДЕНИЕ

I МОДЕЛЬ КОНВЕКТИВНОЙ ДИФФУЗИИ ПРИМЕСЕЙ

§ 1. Свойства решений параболических и эллиптических уравнений.

1°. Обобщенные решения из У(С5).

2°. Смешанная начально-краевая задача в У{0)

3°. Оценки в И^'Чф) и в Я2+а(<£).

4°. Квазилинейные уравнения.

5°. Уравнения типа диффузии.

6°. Оценки в УУ^^).

7°. Стационарная задача.

8°. Условия стирания.

9°. О гельдеровской непрерывности решений второй и смешанной начально-краевых задач.

§ 2. Дифференциальные уравнения модели.

§ 3. Разрешимость регуляризованной задачи.

§ 4. Теоремы существования.

1°. Обобщенные решения.

2°. Сильные обобщенные решения.

3°. Классические решения.

§ 5. Стационарная задача.

1°. Обобщенные решения.

2°. Сильные обобщенные решения.

3°. Классические решения.

§ 6. Устойчивость и единственность решений.

II ПЕРЕНОС РЕАГИРУЮЩИХ ПРИМЕСЕЙ ПРИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

§ 1. Вспомогательные сведения.

§ 2. Уравнения модели.

§ 3. Равномерные оценки решений.

1°. Регуляризация задачи.

2°. Оценки решений совместной задачи.

§ 4. Теоремы существования.

1°. Обобщенные решения.

2°. Классическая разрешимость задачи.

3°. Смешанная начально-краевая задача.

§ 5. Теорема устойчивости и единственности.

III НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОТОКИ НЕОДНОРОДНОЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

§ 1. Диффузионная модель неоднородной вязкой несжимаемой жидкости.

1°. Уравнения модели.

2°. Начально-краевая задача.

3°. Регуляризованная задача.

4°. Теорема существования.

§ 2. Фильтрация неоднородной несжимаемой жидкости в пористой среде.

1°. Постановка задачи

2°. Разрешимость фильтрационной задачи.

§ 3. Модели с диффузией плотности.

Введение диссертация по математике, на тему "Теоретический анализ динамических моделей диффузионного переноса реагирующих примесей"

Поэтому первые исследования этих процессов проводились в рамках теории пограничного слоя смеси ионизированных газов в основном в виде численных расчетов этих задач. Отметим здесь работы: Щен-никова В. В. [32], Хошизаки X. [33], Паллоне А., Ван Тасселя В. [34], Авдуевского В. С., Глебовой Г. А. [35], Суслова О. Н., Тирского Г. А., Щенникова В. В. [7], Лиза Л. [40], Риддела Ф., Фэя Д. [41].

Разрешимость начально-краевых задач для погранслойных моделей тепломассопереноса была доказана в работах Хуснутдиновой Н. В. [36] и Соппа М. С. [8] в малом по длине обтекаемой стенки.

• Теоретический анализ моделей взаимопроникающих сред (модель Рах-матулина) был проведен Кажиховым А. В., Петровым А. Н. [28].

Диффузионные процессы, описываемые системами линейных параболических уравнений, изучались Эйдельманом С. Д. [37], Со-лонниковым В. А. [38] и другими.

Сильно нелинейные стационарные диффузионные процессы исследованы Монаховым В. Н. [17].

Интерес к изучению моделей диффузионного переноса реагирующих примесей потоками вязкой жидкости возродился, в частности, в связи с экологическими проблемами: Пененко В. В. [25], Кашеваров А. А. [26], Годунов С. К. [27] и другие.

Теоретическому анализу этих моделей посвящены работы Алексеева Г. В. [24], Темама Р. [9], Нормана Д. Е. [10, 11] и других. Во всех этих исследованиях рассмотрены только частные модели, например, в случае матрицы диффузии D = АЕ, Е — единичная матрица, А = const > 0. Кроме того в этих работах не устанавливаются необходимые физические свойства концентраций s*;, к = 1,т примесей: тп о < Sk < 1, £ sk = 1. k=i

В работе Жидковой М. И., Монахова В. Н. [50] изучается общая квазилинейная модель, для решений которой устанавливается справедливость указанных выше свойств концентраций примесей.

Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость начально-краевых задач для диффузионных моделей переноса реагирующих примесей тепловыми потоками вязкой жидкости в магнитном поле или пористой среде с учетом сил сопротивления.

Методы исследования. Производится специальная е— регуляризация задачи (0 < е <С 1), формально расщепляющая ее на две независимые модели : модель диффузии примесей на заданном поле скоростей жидкости и модель типа Навье-Стокса вязкой жидкости при известном распределении концентраций примесей и температуры.

Классическая разрешимость начально-краевых задач для регуляризо-ванных моделей устанавливается на основе справедливых для их решений оценок шаудеровского типа, зависящих, вообще говоря, от е.

Затем с помощью более детального анализа решений регуляризован-ных задач получаются оценки, не зависящие от е и позволяющие осуществить предельный переход при е —> 0.

Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и ее результаты могут быть использованы при численном решении задач конвективно-диффузионного тепломассопере-носа реагирующих примесей.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Жидкова, Марина Исаковна, Хабаровск; Новосибирск

1. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Гидродинамика (теоретическая физика т.V1., М., Наука, ФМЛ, 1988, 730 с.

2. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Бунимович А.И., Зверев H.H., Газовая динамика, М., Высшая школа, 1965, 718 с.

3. Нигматулин Р.И., Динамика многофазных сред, ч.1, М,, Наука, ФМЛ, 1987,456 с.

4. Гиршфелъдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, М., ИЛ, 1961, 916 с.

5. Бай Ши-и, Магнитная газодинамика и динамика плазмы, Мир, М., 1964, 296 с.

6. Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н., Гидродинамика нефтедобычи, Наука (Гы-лым), Алма-Ата, 2001, 335 с.

7. Суслов О.Н., Тирский Г.А., Щенников В.В., Описание химически равновесных течений многокомпонентных ионизированных смесей в рамках уравнений Навье-Стокса и Прандтля, Прикладная механика и техническая физика, № 1, 1971, с. 73 -89.

8. Соппа М.С., О существовании многокомпонентного теплового пограничного слоя в случае общей матрицы диффузии, в сб. Динамика сплошной среды, институт гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, в. 35, 1978, с. 99-121.

9. Manley О., Marion M., Temam R., Equations of combustion in the presence of complex chemistry, J. Ind. Univ. Math., 1993, V. 42, № 3, P. 941 967.

10. Norman D.E., Chemically reacting fluid flows: weak solution and global at-tractors, J. Differ. Eq., 1999, V. 152, № 1, P. 75 135.

11. Norman D.E., Chemically reacting fluid flows: strong solution and global attractors, J.Dynam. Diff. Eq., 2000, V. 12, № 1, P. 273 307.

12. Ладыженская O.A., Солонииков B.A., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., Наука, ФМЛ, 1967, 736 с.

13. Ладыженская О.А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, М., Наука, ФМЛ, 1970, 288 с.

14. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н., Краевые задачи механики неоднородных жидкостей, Новосибирск, Наука СО, 1983, 316 с.

15. Миранда К, Уравнения с частными производными эллиптического типа, М., ИЛ, 1957, 252 с.

16. Боярский Б.В., Теория обобщенного аналитического вектора, Ann. Pol. Math., V. 17, 1966, P. 281 -320.

17. Монахов B.H., Нелинейные диффузионные процессы, Сиб. мат. журнал, т. 44, № 5, 2003, с. 1082 1097.

18. Монахов В.К, Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений, Новосибирск, Наука СО, 1977, 420 с.92

19. Лионе Ж., Манженес Э., Неоднородные граничные задачи и их приложения, М., Мир, 1971, 367 с.

20. Монахов В.Н., Об одном вариационном методе решения задач гидродинамики со свободными границами, Сиб. мат. журнал, т. 41, № 5, 2000, с. 1106-1121.

21. Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, М., Мир, 1968, 427 с.

22. Ладыженская O.A., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М., Наука, 1973, 576 с.

23. Монахов В.Н., Математическая модель фильтрации неоднородной жидкости в сб. Динамика сплошной среды, институт гидродинамики СО АН, Новосибирск, в. 94, 1989, с. 64 71.

24. Алексеев Г.В., Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса, Сиб. мат. журнал, 2001, т. 42, №5, с. 971 -991.

25. Пененко В.В., Методы численного моделирования атмосферных процессов, Гидрометеоиздат, Д., 1981, 351 с.

26. Кашеваров A.A., Математическое моделирование процессов солеперено-са взаимосвязанными течениями подземных и поверхностных вод, Прикладная механика и техническая физика, 1998, т. 39, № 4, с. 118 126.

27. Годунов С.К., Галилеево-инвариантная и термодинамически согласованная модель составной изотропной среды, Прикладная механика и техническая физика, 2004, т. 45, № 5, с. 3 12.

28. Кажихов А.В., Петров А.Н., Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси, в сб. Динамика сплошной среды, институт гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, в. 35, 1978, с. 61 -73.

29. Кажихов А.В., Смагулов Ш., О корректности краевых задач в одной диффузионной модели неоднородной жидкости, Доклады академии наук СССР, т. 234, № 2, 1977, с. 330 332.

30. Hoshizaki H., Heat transfer in planetary atmospheres at super-satellite speads, ARS Journal, v. 32, № 10, 1962.

31. Pallone A., Van Tassell W., Stagnation point heat transfer for air in the ionization regime, ARS Journal, v. 32, № 3, 1962.

32. Авдуевский B.C., Глебова Г.А., Теплообмен в передней критической точке неразрушаемого тела, омываемого потоком частично ионизированного воздуха, Инж.-физ. ж., т. 18, № 2, 1970.

33. Хуснутдинова Н.В., Тепловой пограничный слой на пластине, Доклады академии наук, т. 285, № 3, 1975, с. 605 608.

34. Эйдельман С.Д., Параболические системы, М., Наука, 1964.

35. Солонников В.А., О краевых задачах для линейных параболических уравнений общего вида, Труды МИАН, 83, 1965.

36. Монахов В.Н., Математические вопросы гидродинамики неоднородных жидкостей, Труды III конгресса по механике, Варна, 1977, с. 229 234.

37. Лиз Л., Ламинарный теплообмен на тупоносых телах при больших сверхзвуковых скоростях, в сб. Научные проблемы искусственных спутников, М., ИИЛ, 1959.

38. Риддел Ф., Фэй Д., Теоретический анализ теплообмена в лобовой точке, омываемой дисоциированным воздухом, в сб. Проблемы движения головной части ракет дальнего действия, М., ИИЛ, 1959.Публикации автора по теме диссертации

39. Жидкова М.И., К задаче о распространении многокомпонентной примеси в вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости, Дальневосточная математическая школа-семинар им. Е. В. Золотова, Тезисы докладов. -Владивосток, 2002, с. 20 21.

40. Алексеев Г.В., Жидкова М.И., Кожушиая Е.Р., Разрешимость краевых задач для стационарных уравнений распространения многокомпонентной примеси в вязкой жидкости, Вычислительные технологии, Спец. вып., Ч. 1,2002, с. 251 -257.

41. Зарубин А.Г., Жидкова М.И., О разрешимости начально-краевой задачи распространения многокомпонентной примеси, Дальневосточная математическая школа-семинар им. Е. В. Золотова, Тезисы докладов. Владивосток, 2003, с. 64 - 65.

42. Зарубин А.Г., Жидкова М.И., Задача о распространении многокомпонентной примеси, Фундаментальные и прикладные вопросы механики: Сборник докладов международной конференции, Хабаровск, 2003, с. 378 -389.

43. Жидкова М.И., Стационарные задачи неоднородной жидкости, Дальневосточная математическая школа-семинар им. Е. В. Золотова, Тезисы докладов. Владивосток, 2004, с. 31 - 32.

44. Монахов В.К, Жидкова М.И., Реагирующие примеси в потоках вязкой жидкости, IV Международная конференция по математическому моделированию, Тезисы докладов. Якутск, 2004, с. 18.

45. Монахов В.Н., Жидкова М.И., Теоремы существования нестационарных потоков реагирующих смесей, ДАН, т. 398, № 1, 2004, с. 23 26.

46. Монахов В.Н., Жидкова М.И., Нестационарные потоки неоднородной вязкой несжимаемой жидкости, Прикладная механика и техническая физика, т. 46, № 2, 2005, с. 44 51.