Аномальные процессы массопереноса в резко-контрастных средах

Дворецкая, Ольга Александровна

Аномальные процессы массопереноса в резко-контрастных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Дворецкая, Ольга Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.14 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Аномальные процессы массопереноса в резко-контрастных средах»

Автореферат диссертации на тему "Аномальные процессы массопереноса в резко-контрастных средах"

российская академия наук Институт проблем безопасного развития атомной энергетики

На правах рукописи

005060727

Дворецкая Ольга Александровна

АНОМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАССОПЕРЕНОСА В РЕЗКО-КОНТРАСТНЫХ СРЕДАХ

Специальность 01.04.14 Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 О МАЙ 2013

Москва-2013

005060727

Работа выполнена в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор Кондратенко Петр Сергеевич

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Крайнов Владимир Павлович д.ф.-м.н. Семенов Владимир Николаевич

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт спектроскопии Российской академии наук (ИСАН РАН)

Защита состоится «20» июня 2013 г. в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 002.070.01 при Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук по адресу: 115191, г. Москва, ул. Б. Тульская, д. 52

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук.

Автореферат разослан «17» мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н.

В.Е.Калантаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. За последние десятилетия накоплен обширный массив данных, свидетельствующих о том, что во многих случаях перенос примеси в сильно-неоднородных средах не описывается классическими закономерностями [1,2]. Вместо обычной для классической диффузии зависимости от времени Л(() <хл/7, где — размер основной области локализации частиц примеси, часто встречается более общая зависимость /?(?) ос ¡г с показателем степени уф 1/2 {у >1/2 соответствует быстрым в сравнении с классической диффузией режимам переноса — супердиффузии, у <У2 —медленным режимам — субдиффузии).

Аномальные режимы массопереноса возникают при миграции частиц в геологических средах, неупорядоченных полупроводниках, плазме, турбулентных течениях жидкости, биологических тканях (например, клеточных мембранах) и т.д. [3—6]. Особое место в этом ряду занимают геологические среды, т.к. именно они, согласно современным представлениям, рассматриваются как место окончательной изоляции высокорадиоактивных отходов. В связи с этим, знание закономерностей миграции радионуклидов в таких средах исключительно важно для проведения оценок надежности возможных захоронений.

Одним из факторов, приводящих к возникновению аномальных режимов массопереноса, является резкий контраст в распределении структурных характеристик, особенно свойственный геологическим средам [7]. В настоящей работе проанализированы несколько физических моделей переноса в резко-контрастных средах. По сравнению с предыдущими исследованиями [7—10], рассматриваемые нами модели отличаются более общей и, соответственно, более реалистичной постановкой, как в отношении механизмов переноса, так и положения источника примеси в среде.

Все сказанное выше позволяет считать тему диссертации актуальной и важной для практики.

Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование закономерностей процессов переноса примеси в моделях резко-контрастной среды, демонстрирующих широкий набор неклассических режимов.

Основными задачами диссертации являются:

1. Установление режимов переноса примеси и асимптотических профилей концентрации в квазиодномерной и квазидвумерной гре-бешковых структурах.

2. Исследование закономерностей переноса примеси в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

3. Исследование роли диффузионного барьера с однородной структурой в процессах переноса примеси в регулярно-неоднородной среде.

4. Анализ влияния случайно-неоднородного распределения параметров диффузионного барьера на процессы переноса примеси во фрактальной среде.

Научная новизна. В работе впервые:

1. Исследован перенос примеси в гребешковой структуре с зубцами конечной длины при наличии адвекции и диффузии в хребте.

2. Получены режимы переноса примеси в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

3. Исследовано влияние однородного диффузионного барьера на режимы переноса примеси и асимптотические профили концентрации в регулярно-неоднородной и фрактальной среде.

4. Проанализированы особенности процессов переноса примеси во фрактальной среде, обусловленные присутствием случайно-неоднородного диффузионного барьера.

Практическая ценность.

1. Результаты работы могут быть использованы для построения общей теории переноса в геологических средах.

2. На основе установленных в диссертации закономерностей могут быть проведены оценки надежности захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях.

3. Полученные результаты могут быть применены как для тестирования, так и для создания, различных численных кодов, предназначенных для моделирования процессов переноса примеси в резко-контрастных средах.

Личный вклад автора состоит в следующем:

1. Проведено исследование процессов переноса примеси в квазиодномерной и квазидвумерной гребешковой структуре.

2. Найдены режимы переноса примеси в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

3. Проанализировано влияние диффузионного барьера с однородной структурой на процессы переноса примеси.

4. Исследовано влияние случайно-неоднородного распределения параметров диффузионного барьера на процессы переноса примеси во фрактальной среде.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Резкий контраст в распределении характеристик среды при наличии адвекции в сильно-проницаемой подсистеме может приводить к значительной деформации распределения примеси, так что позади пика образуется степенной шлейф.

2. В обобщенной модели Дыхне окончательный по времени режим переноса зависит от величины скорости адвекции в сильно проницаемой подсистеме. При больших скоростях таким режимом является квазидиффузия, при малых — режим медленной классической диффузии.

3. Диффузионный барьер приводит не только к замедлению роста основной области локализации примеси и перенормировке мощности источника на относительно малых временах, но и к модификации асимптотического профиля концентрации на далеких расстояниях от источника как на малых, так и больших временах.

4. Случайно-неоднородная структура диффузионного барьера (присутствие проколов) приводит к возникновению предвестника в распределении концентрации и дополнительной модификации асимптотического профиля концентрации. В дополнение, при малых площадях поверхности источника возникает значительный статистический разброс эффективной мощности источника и концентрации.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на молодежной научной конференции "Физика и Прогресс" СПбГУ (Санкт-Петербург, 2009), ежегодных конференциях для молодых ученых ИБРАЭ РАН (Москва, 2007-2012), международной конференции "WM Symposia 2011" (Феникс, Аризона, США, 2011), 54-ой научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2011), VIII и IX Курчатовской молодежной школе НИЦ «Курчатовский институт» (Москва, 2010, 20 П)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, четыре из них в изданиях из списка, рекомендованного ВАК Минобр-науки России.

Струетура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и практическая значимость работы, изложены основные цели и задачи исследования. Приведен краткий обзор работ по теме аномальной диффузии.

В главе 1 исследуется перенос частиц примеси в квазиодномерной гребешковой структуре с конечной длиной зубцов (Рис.1). Механизм переноса в хребте — адвекция и диффузия, в зубцах — только диффузия.

Рис. 1. Квазиодномерная гребешковая структура

В Разделе 1.1 сформулирована общая постановка задач, рассмотренных в первых трех главах диссертации. Получены основные соотношения для квазиодномерной модели.

В главах 1—3 исследуется перенос примеси в моделях среды с резким контрастом свойств, который возникает благодаря наличию слабо- и сильно- проницаемых областей. Перенос в сильно проницаемой подсистеме происходит за счет адвекции и диффузии в соответствии с классическим уравнением:

071 (/у)

(1)

где р —трехмерный радиус-вектор, и = {«,0,0}, О, п(г,() —скорость адвекции, коэффициент диффузии и распределение концентрации частиц примеси в этой подсистеме, соответственно.

Далее частицы, локализованные в сильно-проницаемой области, будем называть активными, а п - концентрацией активных частиц или просто концентрацией.

Перенос примеси в слабопроницаемой области описывается уравнением

(2)

здесь с — распределение концентрации примеси в слабопроницаемой подсистеме, а (1 — коэффициент диффузии, причем

Граничные условия заключаются в непрерывности концентрации и нормальной компоненты плотности потока частиц на границе между областями.

Характеристиками процессов переноса являются полное число активных частиц

дрейфовый снос и размер области локализации активных частиц

примеси :

В квазиодномерном гребешке (Рис.1) предполагается, что источник примеси расположен в хребте и задан начальным распределением и0(Я).

Нас будет интересовать поведение концентрации активных частиц на временах, когда её распределение по сечениям хребта (Я — его площадь) и отдельного зубца является однородным. Соответственно, при / »тах^,/-2}//), где Ь — период зубцов, уравнение (1) сводится к одномерному, отсюда и название модели.

В Разделе 1.2 найдены режимы переноса, распределение концентрации для основной области локализации и на далеких расстояниях от источника. Условием, определяющим, какой набор режимов переноса реализуется, является соотношение между тремя характерными временами: временем, когда доли частиц в зубцах и хребте одного порядка

г, =(15/5',)2/с/, где Я, — площадь поперечного сечения зубца, временем насыщения зубцов (2 = А2/4с/, где А — длина зубца и временем, когда смещение пика распределения концентрации за счет адвекции и его диффузионное расплывание одного порядка (а =ЛП/и2 . Далее приведем результаты для наиболее интересного случая — быстрой адвекции, <к .

(3)

"О

Перенос примеси на ранних временах Г <к I,, где Ц - (^„Г, ] происходит в режиме классической диффузии, затем при <к / <к /, наступает аномальный режим с резко-ассиметричным профилем концентрации (см. Рис.2), в следующем интервале г, <к (/2 реализуется режим квазидиффузия, и, наконец, на самых больших временах <»г2 — классическая адвекция-диффузия с перенормированными коэффициентом диффузии и скоростью адвекции. Размер области локализации примеси и дрейфовый снос имеют вид:

/ « <3

м/2 Д, «* <к г, л/3?, I 3> /2

О, г«

и/, /„ «г«г,

^/цТ. «<«<2 й/, /»

(5)

здесь й = /3 = Оф{/12 .

В интервале времени /3 < Г, реализуются аномальный режим с резко ассиметричным профилем концентрации (Рис.2): левое крыло распределения имеет форму степенного шлейфа, а правое — короткое экспоненциальное в далеком участке переходит в классическую Гауссову форму.

0<х)

Х=и1 X

Рис. 2. Качественное поведение функции Грина при Г3 <К Г Г,

Столь необычное поведение концентрации можно объяснить следующим образом: по мере продвижения пика распределения, часть активных частиц уходит в зубцы; затем пик двигается дальше, а позади него возникает обратный градиент концентраций, и потому, чтобы восстановить равновесие, частицы из зубцов возвращаются обратно в хребет.

Анализ хвостов распределения концентрации (концентрации на далеких расстояниях от источника) показал, что они имеют сложную многоступенчатую структуру, т.е. состоят из нескольких участков, для каждого

из которых своя асимптотика. Также имеет место закономерность "чем дальше, тем раньше", установленная ранее в работе [9]: чем более удален фрагмент хвоста, тем более ранний (по времени) режим переноса примеси определяет его форму.

В Разделе 1.3 получено полное число активных частиц N(t): N(t) s N„, tx «/; N(t) = N„yjtjm, /, «t«t2; N(t) = N0JtjT^ t»t2.

Таким образом, зубцы в гребешковой структуре работают как ловушки, в которых с течением времени оказывается основная масса частиц.

В Разделе 1.4 приведено обсуждение результатов и выводы.

Глава 2 посвящена обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии (Рис.2). Сильно-проницаемая среда I ограничена в одном измерении, а слабопроницаемая II занимает всё остальное пространство. Применительно к переносу примеси в геологических средах область I имитирует трещину, а II — матрицу. В качестве вспомогательной задачи рассмотрена квазидвумерная гребешковая структура.

Рис. 3. Модель Дыхне Рис. 4. Квазидвумерная гребешковая структура

В Разделе 2.1 сформулирована постановка задачи и получены основные соотношения. В качестве механизма переноса рассматривается диффузия и адвекция в трещине, и только диффузия — в матрице. Перенос примеси описывается уравнениями (1), (2). Источник примеси локализован в сильно-проницаемой подсистеме. Заметим, что на временах /» я2/В уравнение (1) может быть сведено к двумерному.

В Разделе 2.2 рассмотрена вспомогательная задача о переносе примеси в квазидвумерной гребешковой структуре с бесконечными зубцами. Показано, что, по сути, в направлении скорости адвекции реализуются те же режимы переноса, что и в квазиодномерной гребешковой модели с бесконечными зубцами: классическая диффузия, классическая адвекция-диффузия, субдиффузия, квазидиффузия. В поперечном направлении имеют место всего два режима: классическая диффузия — на временах / <к /,,

где = аг/4<Л и субдиффузия — на временах ?»г, .

В разделе 2.3 получены режимы переноса и зависимость полного числа активных частиц от времени в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

В поперечном направлении перенос примеси происходит так же, как и в простой модели Дыхне [9]. В продольном направлении поведение концентрации зависит от соотношения между временами /, и/,.

1) tu~» Did. В этом случае адвекция, практически, не влияет на формирование профиля концентрации, дрейфовый снос отсутствует, и миграция примеси происходит также, как в простой модели Дыхне: при /г, имеет место классическая диффузия, далее при где t2 =/,(d/£/)2, следует режим субдиффузии, и затем при t»t2 — медленная классическая диффузия. Размер области локализации примеси:

•JdI, /<кг,

й(0~ wWv> «/«'г (6>

Jdt, /»?2

2) /,<£/„<£ D/d. При t «: f, — классическая двумерная диффузия, далее, при «/«/4, где /4 = t] Д — субдиффузия, а затем при /»/4 — квазидиффузия 2-го типа.

V57, t <к t,

•l

sJd^I, tl «t«f4 (7)

t»t4

R(t)-

На самых больших временах дрейфовый снос ~ л/Ц/ ■

3) /„ «; . Здесь размер области локализации и дрейфовый сдвиг определяет формула (5), где последним является интервал Г» .

В случаях 2) и 3) режим медленной диффузии не наступает, т.к. размер области локализации примеси, определяемый переносом по быстрой

среде, порядка

Полное число активных частиц примеси определяет выражением:

^(0 = К ехр(///,)еф(:Щ)

(8)

Как видно на Рис.5, при / з>значительная доля частиц уходит из трещины в матрицу.

Рис. 5. Зависимость полного числа активных частиц от времени (логарифмический масштаб)

Раздел 2.4 посвящен обсуждению результатов, полученных в данной

главе.

В главе 3 рассмотрена обобщенная модель Дыхне с источником, локализованным в матрице на расстоянии А от трещины. Соответственно, на пути распространения примеси возникает диффузионный барьер. Проанализировано влияние диффузионного барьера на процессы переноса примеси в трещине.

В Разделе 3.1 изложена постановка задачи и получены основные соотношения. Далее мы будем ссылаться на модель, рассмотренную в предыдущей главе, как на "безбарьерный прототип", и относящиеся к ней величины обозначим *. Распределение концентрации активных частиц примеси для задачи с барьером я(Д/) и безбарьерного прототипа п (/3,/) связаны соотношением:

Чао а }*'/(/-/>• (АО. /(')=

(9)

где р -двумерный радиус-вектор и 1Ь = И2 /Лё — характерное время диффузии примеси через барьер.

Согласно соотношению (9) задача с барьером сводится к "безбарьерному прототипу" с непрерывно-действующим источником.

В Разделе 3.2 проанализировано поведение концентрации на временах 1) и 2) Г«Г,,. В первом случае «(Д/) = п (р,/) для не слишком

больших расстояний таких, где функция п (/V') слабо меняется в интервале <(' <1, и влияние барьера существенно только на далеких расстояниях. При I«функция /(г-/') из (9) принимает вид: /(*-*') = /(г)ехр(-/'//^), где эффективное время = Г2Д, ■ Заметим,

что на этих временах влияние барьера существенно как в основной области локализации примеси, так и на далеких расстояниях от источника.

В Разделе 3.3 получено выражение для полного числа активных частиц

При I = в трещине и в матрице находится одинаковое число частиц.

Рис. 6. Зависимость полного числа активных частиц от времени для

На Рис.6 представлена зависимость полного числа активных частиц от времени для задачи с барьером и безбарьерного прототипа. На временах Г «к Г(1, как мы видим, наличие диффузионного барьера приводит к перенормировке мощности источника примеси.

В Разделе 3.4 найдены режимы переноса примеси. Показано, что ключевые характеристики режимов переноса в задачах с барьером и без него связаны соотношениями:

(10)

-n11)

случая с барьером и без него

Д(0 ~ шах|л* (V), ; 1(0 -(/„).

(Н)

В зависимости от соотношения между характерными временами можно выделить несколько случаев, наиболее интересные из которых: 1) г, «/, «/„, /2 и2) /, «/„ «/„, /2.

Приведем результаты для случая 1. /„ <к/2. Размер области локализации примеси имеет вид:

и<2//Л, ^^¡^фА (12)

Дрейфовый сдвиг = О при /« , и \х(()\ ~ при / » фХ.

В Разделе 3.5 проанализирована структура хвостов концентрации активных частиц и показано, что диффузионный барьер приводит к их модификации.

На временах * <к структура хвостов концентрации имеет следующий вид. Ближняя ступень хвоста, которая соответствует расстояниям

Ф* (р,Г.#)Ф, «1 . где Ф* (р,1) - (\р\/я' (I))'-" и Л* (/) ~е — размер области локализации для безбарьерного прототипа (см. Главу 3) описывается соотношением:

„(Д,)-ехР(-Ф(Дг)), + ■ (13)

На более далеких расстояниях, т.е. когда справедливо Ф" (р,/с/г)'/>1, , распределение концентрации принимает вид:

и(р,/)«:ехр

(И)

В разделе 3.6 сформулированы основные результаты и выводы.

В Главе 4 исследован перенос примеси во фрактальных средах в присутствии случайно-неоднородного диффузионного барьера, состоящего из двух подсистем: слабопроницаемой матрицы и системы проколов (рас-

пределенных случайным образом чрезвычайно редких каналов высокой проницаемости, пронизывающих матрицу).

Рис. 7. Геометрия задачи. Б — источник, N — ближняя зона, И — дальняя зона

В Разделе 4.1 сформулирована постановка задачи и приведен вывод основных соотношений. Источник примеси (Б) окружен ближней зоной (IV), которая является слабопроницаемой средой (см. Рис. 7). В свою очередь дальняя зона (Р) окружает ближнюю и заполняет оставшуюся часть пространства. Радиус ближней зоны а считается большим в сравнении с радиусом источника а»«,. В начальный момент времени в источнике сосредоточено количество частиц равное .

Физическим механизмом переноса в N зоне является классическая диффузия. Причем, коэффициент диффузии внутри прокола £> существенно больше, чем в матрице (/«О. Распространение примеси в дальней зоне (Р) происходит за счет адвекции по неупорядоченной системе трещин. Система трещин обладает фрактальной геометрией, в результате чего корреляции флуктуаций скорости являются дальнодействующими (убывают по степенному закону).

Предполагается, что радиус ближней зоны имеет порядок нижней границы фрактапьности системы трещин, а, и площадь поверхности источника 5а2. На расстояниях от источника гз>а характеристики распределения концентрации активных частиц (локализованных в дальней зоне) ближнюю зону по отношению к дальней можно рассматривать как непрерывно-действующий точечный источник, эффективная мощность которого определяется потоком примеси через границу между зонами

Эффективную мощность, концентрацию и полное число частиц примеси удобно разбить на два слагаемых Q{t) = Qm(t) + Qp{t), с —ст+ се, N(t) = Np(t) + Nш(t) где индекс т относится к вкладу матрицы, а р — проколов.

Общая схема описания переноса примеси в дальней зоне может быть сформулирована в терминах уравнения непрерывности. Учитывая линейность задачи, среднюю по ансамблю реализаций концентрацию примеси < с, (г,/) > можно представить в виде:

здесь ¡ = т,р, а С?(г,/) - функция Грина в модели изотропной случайной адвекции [10], которая есть безбарьерный прототип для нашей задачи.

Характеристики процессов переноса определяются соотношениями, аналогичными (3), (4), дрейфовый сдвиг равен нулю. Асимптотика концентрации на далеких расстояниях от источника:

<с, (г, <)>осехр{-Ф, (г,Г)}, (16)

В Разделе 4.2 изложены результаты для модели изотропной случайной адвекции (безбарьерного прототипа) и приведена интерпретация результатов крупномасштабного трейсерного эксперимента [11] в рамках этой модели.

Разделе 4.3 посвящен исследованию вклада проколов и матрицы в эффективную мощность источника.

Вклад матрицы определяется выражением: где (т = а2¡4с1.

Геометрически прокол представляет извилистую нитевидную структуру с длиной / и площадью поперечного сечения <к /2.

Для вычисления суммарного вклада всех проколов в эффективную мощность, воспользуемся подходом, развитым Райхом и Рузиным [12].

применительно к задаче о проводимости туннельных барьеров в полупроводниках. Длина / может меняться в довольно широком диапазоне и является случайной, положим / = аи , где и — безразмерная случайная величи-величина. Суммарный вклад проколов в эффективную мощность:

"г

Qp(t) = s\dup(i,)q(au,t), (18)

где р(и) = ¿'о' ехр[-0(м)]— плотность проколов, отнесенная к единичному интервалу переменной и, S = Ала] — площадь поверхности источника. Верхний предел интегрирования отвечает такой длине прокола, при которой примесь за характерное время диффузии по нему t,, успевает уйти

в матрицу за счет медленной диффузии, так что ир ~ JsuD/a-fd . Функция £1(и) определяется свойствами среды и удовлетворяет неравенствам: П(г<)»1, 8Qjdu< 0, d2£l/dii2> 0. q(au, t) - поток примеси через индивидуальный прокол, причем он существенно различается для интервалов 1) t <s t,, 2) , 3) /»ts, где t, = l2/4D, ts = a2/4d. Соответственно,

поведение эффективной мощности принципиально отличается для временных интервалов: 1) t<itp, 2) (p<Kt<t:ts, 3) t^>ts, где

tp=a2u;/4D = s0/4d, ts=aj4d.

На временах t <к tp вклад проколов в эффективную мощность имеет

вид:

ß,(f)oc«p(-F(r)), (19)

где = + при S > SiT и F(t) = ^u2 при S<Scr.

Здесь к = р при и( >ир и к = / при и) < ир. и^ - оптимальное значение и, соответствующее наиболее эффективным проколам, определяется из Ъаи

+-— = 0. Критическое значение площади по-

Ш(н) уравнения:-—

ди

верхности источника = .5,1)е'^""г''. При £ > 5 , число оптимальных проколов велико В противоположном случае работают, так называемые, типичные проколы (см. [12]), число которых на площади по-

верхности источника порядка единицы. Для них характерное значение случайной величины и(иг) определяется условием 5/7(мг)~ 1.

На более поздних временах г»гр для £ > имеем:

о^ЧкТ (20)

тЧг1

Таким образом, на временах ^ ? <г: реализуется квазистационарный

режим. Заметим, что здесь 5 , = ^ .

Вычисление относительного статистического разброса значений эффективной мощности источника и концентрации примеси Д дает: Д«1, 5>5,.(/); Д~1, 5<5„.(/); Д»1, 5«(/)•

Раздел 4.4 посвящен исследованию режимов переноса примеси в дальней зоне в присутствии диффузионного барьера. Отдельно рассмотрены вклад матрицы и проколов в процессы переноса.

Полное число активных частиц и размер основной области локализации определяются соотношениями:

Л',(0 = }<//'й(/')> Я;(0 = -¡-'\cifR1, (/')а(<-<'). (21)

о '*/ о

здесь Я. (/) — размер области локализации примеси для безбарьерного прототипа.

Несмотря на то, что количество частиц примеси, диффундирующей по проколам, значительно меньше, на ранних временах проколы, в отличие от матрицы, являются быстрым каналом миграции примеси, и именно они обеспечивают приход частиц в дальнюю зону (см. Рис. 8).

(схематически)

В Разделе 4.5 найдены асимптотические профили концентрации (хвосты). Первые две ступени хвоста определяются поведением концентрации примеси, пришедшей по матрице, а последняя (наиболее удаленная) формируется частицами, которые были доставлены проколами к границе между зонами на самых ранних временах. На далеких расстояниях, как и на ранних временах в основной области локализации примеси, проколы дают определяющий вклад.

В разделе 4.6 сформулированы основные результаты и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. В квазиодномерной гребешковой структуре с конечной длиной зубцов возможны семь различных режимов переноса, три из которых являются аномальными. В квазидвумерной гребешковой структуре перенос примеси является сильно анизотропным. Вдоль направления скорости адвекции реализуются все режимы, присущие квазиодномерной модели, а в поперечном направлении — только два режима: классическая диффузия и субдиффузия.

2. В обобщенной модели Дыхне окончательным по времени режимом переноса может быть как аномальный режим квазидиффузии, так и режим медленной классической диффузии. Первый реализуется при больших скоростях адвекции, а второй — при малых.

3. В регулярно-неоднородных резко-контрастных средах может происходить значительная деформации распределения примеси: позади пика образуется степенной шлейф, который обусловлен временным уходом частиц в слабопроницаемую область с их последующим возвращением в сильно-проницаемую.

4. Диффузионный барьер на временах, меньших характерного времени диффузии через него, приводит как к перенормировке мощности источника и замедлению роста основной области локализации примеси, так и к модификации асимптотических профилей концентрации. На поздних временах наблюдается только модификация асимптотик.

5. При наличии у диффузионного барьера случайно-неоднородной структуры (проколов) в распределении примеси возникает предвестник. На самых далеких расстояниях от источника, поведение концентрации определяют "самые ранние" частицы, пришедшие через проколы. В результате появляется дополнительная (самая удаленная) ступень концентрационной асимптотики. Вследствие случайного распределения проколов при малых площадях поверхности источника возникает значительный статистический разброс эффективной мощности источника и концентрации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bouchaud J.P. and Georges А. // Phys. Rep. 1990. Vol. 195. P. 127

2. Isichenko M. B. // Rev. Mod. Phys. 1992. Vol. 64(4). P. 961

3. Kosakowski G. // J. Contam. Hydrol. 2004. Vol. 72. P. 23

4. Weiss M et al // Biophys. J. 2003. Vol. 84. P. 4043

5. Banks D. S. and Fradin C. // Biophys. J. 2005. Vol. 89. P. 2960

6. Montroll E. W. and Weiss G. H. // J. Math. Phys. 1965. Vol. 6. P. 167

7. Bolshov L.A. et al //Vadose Zone J. 2008. Vol. 7. P. 1181

8. Dykhne A.M., Dranikov I.L., Kondratenko P.S. // Journ. Hydr. Res. 2005.

Vol. 43(2). P. 213

9. Кондратенко П.С., Матвеев Л. В. // ЖЭТФ. 2007. Т. 131. С. 494.

10. Dykhne A.M. et al . // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 061104

11.M. Becker, A. Shapiro // Water Resour. Res. 2000. Vol. 36. P. 1677

12. M. E. Raikh and I. M. Ruzin, in: Mesoscopic Phenomena in Solids, edited by В. I. Altshuler, P. A. Lee, and R. A. Webb, Elsevier Science, Amsterdam, (1991), p. 315

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дворецкая O.A. Асимптотические профили концентрации при диффузии в гребешковых структурах. Сборник трудов VIII Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, 25—26 апреля 2007г. М.: ИБРАЭ РАН, 2007. — 74 с.

2. Дворецкая O.A. Аномальная диффузия в гребешковых структурах / Сборник трудов IX Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, 24—25 апреля 2008г. М.: ИБРАЭ РАН, 2008. — 142 с.

3. Дворецкая O.A., Кондратенко П.С. Асимптотические профили концентрации при диффузии в гребешковых структурах // Труды ИБРАЭ/ под общ. ред. чл.-кор. РАН J1.A. Большова; Ин-т проблем безопасного развития атомной энергетики РАН. — М.: Наука, 2007 / Вып. 7: Физические модели аномального переноса примеси в сильно неоднородных средах / науч. ред. Л.А. Большое. 2008. С. 103.

4. Dvoretskaya O.A., Kondratenko P.S. Anomalous transport regimes and asymptotic concentration distributions in the presence of advection and diffusion on a comb structure // Phys. Rev. E 79. — 2009. — 041128.

5. Дворецкая O.A. Обобщенная модель Дыхне. Сборник трудов X Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, 22—23 апреля 2009 г. М.: ИБРАЭ РАН, 2009. — 102 с.

6. Дворецкая O.A., Кондратенко П.С., Матвеев JI.B. Аномальная диффузия в обобщенной модели Дыхне // ЖЭТФ. — 2010. — Том 137. — Вып. 1. — с. 67—76.

7. Дворецкая O.A. Влияние диффузионного барьера на процессы переноса примеси в резко-контрастных средах. Сборник докладов VIII Курчатовской молодежной научной школы 22—25 ноября, 2010 г. Москва, НИЦ Курчатовский институт.

8. Дворецкая O.A. Миграция радионуклидов в геологической среде при наличии диффузионного барьера. Сборник трудов XI Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, 22—23 апреля 2010 г. М.: ИБРАЭ РАН, 2010, —98 с.

9. Leonid Bolshov, Olga Dvoretskaya, Peter Kondratenko. Anomalous transport in heterogeneous media with sharply contrasting properties: The

role of diffusive barriers / Сборник ежегодной международной конференции WM Conference, March 7—11, Phoenix. — 2011. — 11142.

10. Leonid A. Bolshov et. al. Anomalous transport in geologic media: Basic physical models / Сборник ежегодной международной конференции WM Conference, March 7—11, Phoenix, AZ. — 2011. — 11134.

11. Дворецкая O.A. Перенос примеси во фрактальных средах при наличии диффузионного барьера со случайно-неоднородной структурой. Сборник трудов XII Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, 28—29 апреля 2011 г. М.: ИБРАЭ РАН, 2011,— 108 с.

12. Дворецкая O.A. Диффузионный барьер со случайно-неоднородной структурой и его влияние на процессы переноса примеси во фрактальных средах. Сборник докладов IX Курчатовской молодежной научной школы 22—25 ноября, 2011 М. : НИЦ Курчатовский институт.

13.Dvoretskaya O.A., Kondratenko P.S. Transport phenomena in sharply contrasting media with a diffusion barrier // J. Phys. A: Math. Theor. — 2011.—44,—465001.

14. Дворецкая O.A. Явления переноса в неоднородных средах с резким контрастом свойств при наличии диффузионного барьера, Труды 54-й конференции МФТИ 10—30 ноября, 2011, М.: МФТИ, 176 с.

15. Дворецкая O.A. Влияние пространственных флуктуации характеристик среды на процессы переноса примеси. Сборник трудов XIII Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, 26—27 апреля 2012 г. М.: ИБРАЭ РАН, 2012. — 124 с.

16. Большов JI.A., Дворецкая O.A., Кондратенко П.С., Матвеев J1.B. Аномальные режимы переноса примеси в регулярно-неоднородных резкоконтрастных средах // Фундаментальные проблемы моделирования турбулентных и двухфазных течений: Т.З / под ред. акад. РАН A.A. Саркисова и Г.А. Филиппова; Ин-т проблем безопасного развития атомной энергетики РАН. — М.: Комтехпринт, 2012 — 487 с.

17. Дворецкая O.A., Кондратенко П.С. Аномальные режимы переноса примеси во фрактальных средах в присутствии диффузионного барьера // ЖЭТФ. — 2013. — Т. 143. — Вып. 4. — С.799.

Дворещая Ольга Александровна

АНОМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАССОПЕРЕНОСА В РЕЗКО-КОНТРАСТНЫХ СРЕДАХ

Подписано в печать 16.05.13. Формат 60 х 84 '/|6. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 120 экз.

Печать на аппарате Rex-Rotary. ИБРАЭ РАН.

115191, г. Москва, Б.Тульская ул., 52

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Дворецкая, Ольга Александровна, Москва

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ БЕЗОПАСНОГО РАЗВИТИЯ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

04201358597

Дворецкая Ольга Александровна

АНОМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАССОПЕРЕНОСА В РЕЗКО-КОНТРАСТНЫХ СРЕДАХ

01.04.14 Теплофизика и теоретическая теплотехника Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор П. С. Кондратенко

Москва

2013

/ у

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................3

ГЛАВА 1. Квазиодномерная гребешковая структура...............................................9

1.1. Постановка задачи.....................................................................................10

1.2. Режимы переноса примеси.........................................................................14

1.3. Полное число активных частиц.....................................................................23

1.4. Обсуждение результатов и выводы................................................................24

ГЛАВА 2. Обобщенная модель Дыхне.................................................................25

2.1. Постановка задачи....................................................................................25

2.2. Квазидвумерная гребешковая структура........................................................28

2.2.1. Режимы переноса и структура хвостов концентрации..............................29

2.3. Режимы переноса примеси в обобщенной модели Дыхне....................................33

2.4. Обсуждение результатов и выводы...............................................................35

ГЛАВА 3. Влияние диффузионного барьера на процессы переноса примеси в регулярно-неоднородной среде........................................................................................35

3.1. Постановка задачи и основные соотношения...................................................36

3.2. Распределение концентрации активных частиц................................................38

3.3. Зависимость числа активных частиц от времени...............................................39

3.4. Режимы переноса......................................................................................40

3.5. Асимптотические профили концентрации.......................................................43

3.6. Обсуждение результатов и выводы................................................................46

ГЛАВА 4. Аномальные режимы переноса примеси во фрактальных средах в присутствии случайно-неоднородного диффузионного барьера...................................................47

4.1. Постановка задачи и основные соотношения....................................................47

4.2. Безбарьерный прототип..............................................................................51

4.3. Эффективная мощность источника................................................................54

4.4. Режимы переноса в присутствии диффузионного барьера...................................60

4.5. Асимптотические профили концентрации.......................................................65

4.6. Обсуждение результатов и выводы................................................................68

Заключение..................................................................................................70

Благодарности..............................................................................................71

Литература..................................................................................................72

АНОМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАССОПЕРЕНОСА В РЕЗКО-КОНТРАСТНЫХ СРЕДАХ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

За последние десятилетия накоплен обширный массив данных, свидетельствующих о том, что во многих случаях массоперенос в сильно-неоднородных средах не описывается классическими закономерностями [1—3]. Вместо обычной для классической диффузии зависимости от времени ос yft, где R[t)— размер основной области локализации частиц примеси, часто встречается более общая зависимость

Я(0«'т (!)

с показателем степени у ф 1/2.

Режимы переноса с у < 1/2, более медленные, нежели классические, называют субдиффузионными, а более быстрые с у >1/2 — супер диффузионными. Показатель у >1 возникает при турбулентной диффузии [4—11]. Субдиффузия наблюдается при переносе зарядов в неупорядоченных полупроводниках [12—16], белков и липидов через клеточные мембраны [17—21], миграции частиц примеси в пористых средах [22—23]. В свою очередь, супердиффузионные режимы переноса возникают при движении бактерий [24—25], диффузии атомов и атомных кластеров на поверхности металлов [26, 27], частиц примеси в неоднородных скальных породах [28, 29]. Особый интерес представляет перенос примеси в геологических средах, т.к., согласно современным представлениям, именно они рассматриваются как наиболее безопасное место окончательной изоляции высокорадиоактивных отходов. В связи с этим, знание закономерностей миграции радионуклидов в таких средах исключительно важны для проведения оценок надежности и безопасности возможных захоронений.

Одним из факторов, приводящих к возникновению аномальных режимов переноса, является резкий контраст в распределении структурных характеристик среды, особенно свойственный геологическим формациям [30]. В настоящей работе будут исследованы несколько физических моделей переноса в сильно-неоднородных средах с резким контрастом свойств. По сравнению с предыдущими исследованиями таких систем [31—33], эти модели отличаются, бол ее общей и, соответственно, более реалистичной постановкой, как в отношении механизмов переноса, так и положения источника примеси в среде. В частности, в большинстве существующих неклассических моделей переноса источник примеси занимает

либо усредненное по неоднородностям среды положение, либо локализован в сильно проницаемой подсистеме. Между тем, интерес, в том числе и с точки зрения практических приложений, представляют ситуации, когда источник отделен от основной среды диффузионным (слабопроницаемым) барьером.

Всё сказанное выше позволяет считать тему диссертации актуальной и важной для практики.

Исторический обзор

Впервые отклонение от классического закона диффузии обнаружил Ричардсон в 1926 году [2]. Анализируя экспериментальные данные по переносу частиц в атмосфере, он пришел к выводу, что расстояние между двумя изначально близкими частицами увеличивается со временем ос tvl. На тот момент работа не вызвала интереса, и только спустя десятилетия его идеи привлекли внимание исследователей [5—11]. Теорией аномального переноса в твердых телах, по-видимому, впервые заинтересовались Шер и Монтролл [39], стимулом послужили эксперименты по измерению фотопроводимости аморфных полупроводников [12, 13]. В своих исследованиях они использовали предложенную в 1965 году Монтроллом и Вейсом модель случайных блужданий непрерывных во времени — «continuous time random walks» (CTRW) [40], в рамках которой перенос частицы происходит за счет последовательных прыжков произвольной длины, отделенных друг от друга некоторым, распределенным случайным образом, временем ожидания. Причем распределения вероятностей времен ожидания между двумя последовательными прыжками и/или длины свободного пробега частицы примеси являются степенными функциями. Впоследствии модель CTRW стала чрезвычайно популярной и нашла применение не только в физике [41, 42], но и в биологии [43, 44] и экономике [45—49]. Также были предложены и другие методы исследования аномальной диффузии, такие как дробное броуновского движение (англ.: fractional Brownian motion (FBM)) [50, 51], обобщенное уравнение диффузии (англ.: generalized diffusion equation) [52], уравнение Ланжевена (англ.: Langevin equation) [53—56] и обобщенное уравнение Ланжевена (англ.: generalized Langevin equation) [57—60], обобщенные кинетические уравнения (англ.: generalized master equations (GME)) [61, 62]. Преимущества и недостатки этих методов, а также их развитие широко обсуждаются в литературе (см. например [63—65]), поэтому мы не будем останавливаться на этом подробно, а отметим лишь несколько наиболее важных моментов. На наш взгляд, главный недостаток моделей CTRW и GME заключается в том, что в них достаточно проблематичен учет внешних сил и граничных условий. Кроме того, возникают трудности и при описании систем со сложной динами-

кой, где наблюдается весьма характерная для реальных физических объектов смена режимов переноса во времени. Для учета такого рода динамических эффектов было предложено обобщение модели CTRW [67], впоследствии названное aging CTRW (ACTRW) [68].

В настоящий момент большой популярностью пользуются феноменологические подходы, базирующиеся на уравнениях в дробных производных [69—76], наиболее известным из которых является уравнение Фоккера—Планка в дробных производных (англ.: fractional Fokker-Planck equations (FFPE)) [75, 76]. В отличие от CTRW, при использовании FFPE не возникает трудностей, обусловленных заданием начальных и граничных условий. Однако уравнение Фоккера-Планка в дробных производных не годится для описания процессов переноса в случае, когда потенциал (внешнее поле) зависит от времени [см. например 78]. В дальнейшем обобщение уравнения и на этот случай было получено в работе [77].

Помимо указанных выше математических способов описания аномальной диффузии существуют и альтернативные подходы, основанные на анализе физических моделей [31— 38], которые имеют наглядную интерпретацию и в предельных случаях допускают аналитическое решение.

Несмотря на столь продолжительные и интенсивные исследования аномальной диффузии, многие важные вопросы до сих пор остаются открытыми, некоторые из них будут рассмотрены в настоящей работе, их мы уже обозначали в разделе Актуальность.

Цель работы

Целью работы является теоретическое исследование закономерностей процессов переноса примеси в моделях резко-контрастной среды, демонстрирующих широкий набор неклассических режимов.

Основными задачами диссертации являются:

1. Установление режимов переноса примеси и асимптотических профилей концентрации в квазиодномерной и квазидвумерной гребешковых структурах.

2. Исследование закономерностей переноса примеси в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

Научная новизна

В работе впервые:

2. Получены режимы переноса примеси в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

Практическая ценность

1. Результаты работы могут быть положены в основу общей теории переноса в геологических средах.

2. Установленные в диссертации закономерности могут быть использованы оценки надежности захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях.

Личный вклад автора состоит в следующем:

2. Найдены режимы переноса примеси в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

3. Проанализировано влияние диффузионного барьера с однородной структурой на процессы переноса примеси в регулярно-неоднородных средах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Резкий контраст в распределении характеристик среды при наличии адвекции в сильнопроницаемой подсистеме может приводить к значительной деформации распределения примеси, так что позади пика образуется степенной шлейф.

Публикации и апробация работы

По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, 4 из них в изданиях из списка, рекомендованного ВАК Минобрнауки России.

Основные результаты работы были представлены на молодежной научной конференции "Физика и Прогресс" СПбГУ (Санкт-Петербург, 2009), ежегодных конференциях для молодых ученых ИБРАЭ РАН (Москва, 2007-2012), международной конференции "WM Symposia 2011" (Феникс, Аризона, США, 2011), 54-ой научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2011), VIII и IX Курчатовской молодежной школе НИЦ Курчатовский институт (Москва, 2010, 2011).

План работы

Глава 1 посвящена исследованию переноса частиц примеси в квазиодномерной гребешко-вой структуре с конечной длиной зубцов при наличии в хребте адвекции и диффузии, и только диффузии - в зубцах. Найдены режимы переноса примеси и асимптотические профили концентрации.

В Главе 2 рассмотрена задача о переносе примеси в обобщенной модели Дыхне, которая представляет собой плоскопараллельную трещину, окруженную слабопроницаемой матрицей. Приведен анализ вспомогательной задачи - квазидвумерной гребешковой модели. Получены режимы переноса примеси для этих моделей.

В Главе 3 исследовано влияние диффузионного барьера с однородной структурой на процессы переноса примеси в регулярно-неоднородной среде.

Глава 4 посвящена исследованию переноса примеси во фрактальной среде при наличии случайно-неоднородного диффузионного барьера. Проанализировано влияние случайных пространственных флуктуаций параметров барьера на процессы переноса.

ГЛАВА 1. Квазиодномерная гребешковая структура

Весьма популярная среди исследователей [79-84] гребешковая структура представляет собой регулярно-неоднородную среду с резким контрастом свойств, последний проявляется в том, что хребет гребенки является сильно-проницаемым относительно зубцов. По сути, гребёнка — простейшая модель бесконечного перколяционного кластера с мёртвыми концами (dead ends), в роли которых выступают зубцы.

В работе [79] впервые были рассмотрены случайные блуждания в гребешковой модели с бесконечными зубцами и показано, что блуждания на оси структуры (в хребте) не подчиняются классическому закону диффузии. В русскоязычной литературе первыми на эту модель обратили внимание Архинчеев и Баскин [80], они исследовали перенос примеси в хребте, базируясь на уравнении диффузии, и получили субдиффузионный режим i?(/) ос /|/4.

Кроме того, они обратили внимание на то, что у структуры с конечной длиной зубцов на больших временах субдиффузионным режим сменяется классическим с перенормированным коэффициентом диффузии. Более сложная геометрия гребешка рассмотрена в [81], авторами были получены уравнения в дробных производных, описывающие субдиффузию в гребешковых структурах с отростками различной геометрии (гирлянды, разветвленная структура). В работах [82, 83] предполагалось, что в хребте гребешка помимо классической диффузии имеет место и адвекция, скорость которой степенным образом зависит от координаты, в результате были получены суб- и супер- диффузионные режимы переноса. Стоит отметить, что, несмотря на большое количество работ, посвященных исследованию переноса примеси в различных гребешковых моделях [79], всё ещё остаются открытыми такие важные вопросы, как структура хвостов концентрации (профилей концентрации на далеких расстояниях), режимы переноса при наличии адвекции и диффузии в хребте гребешковой структуры с конечной длиной зубцов. Этим вопросам будет посвящена настоящая глава. Мы рассмотрим гребешковую модель, хребет которой является сильно-проницаемым и представляет собой прямой цилиндр бесконечной длины, слабопроницаемые зубцы также являются прямыми цилиндрами, но конечной длины. Перенос примеси в хребте осуществляется за счет адвекции и диффузии, в зубцах — только за счет диффузии.

В Разделе 1.1. изложена постановка задачи и получены основные соотношения. В следующем Разделе 1.2. получены режимы переноса примеси. Полное число активных частиц найдено в Разделе 1.3. Краткие выводы приведены в заключительном Разделе 1.4.

1.1. Постановка задачи

В Главах 1—3 диссертации будут рассмотрены задачи о переносе примеси в регулярно-неоднородных средах с резким контрастом свойств, где имеются две взаимодействующие подсистемы: сильно- и слабо-проницаема�