Некоторые задачи двухконтинуумной гиперболической теории массопереноса несжимаемых сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ОБУХОВА Елена Владимировна

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДВУХКОНТИНУУМНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МАССОПЕРЕНОСА НЕСЖИМАЕМЫХ СРЕД

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2006

Работа выполнена в Дальневосточном государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Буренин Анатолий Александрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Чехонин Константин Александрович; кандидат физико-математических наук Луценко Николай Анатольевич.

Ведущая организация:

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет.

Защита состоится «22» ноября 200£ года в 12 часов 30 минут на заседании диссертационного совета ДМ 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и Процессов управления ДВО РАН.

г

Автореферат разослан «20» октября 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Дудко О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационной работы. Известно, что использование закона диффузии Фика при изучении взаимопроникающих движений сплошных сред приводит к парадоксу бесконечной скорости массопереноса при диффузии так же, как и применение закона теплопроводности Фурье в процессах теплообмена — к парадоксу бесконечной скорости распространении тепла по теплопровод» щему телу. Данное обстоятельство требует отказаться от этих феноменологических линейных законов не только с общетеоретических позиций, но и иногда отталкиваясь лишь от нужд технологической практики. Наблюдаются эффекты, объяснение которым находится только в рамках гиперболической теории массопереноса. Примером тому могут служить закономерности изменения объема гранул ионообменников в процессах сорбции - десорбции и явление их разрушения в таких процессах. Классическая теория массопереноса может приводить к недопустимому разногласию с опытами в случаях существенно нестационарных переходных процессов диффузии.

Обобщения линейного закона теплопроводности, направленные на исключение бесконечной скорости распространения тепла, известны с середины прошлого века (Vernotte Р., Лыков A.B., Чернышов А.Д., Краснюк И.Б., Coleman ВCurtinM.E., Pipkin A.C., Day W.A., Norwood F.R., Nunzioto J.W.). В настоящее время, например, достаточно развита теория термоупругости, построенная на основе гиперболической теории теплопроводности {Подстригай Я.С., Коляно Ю.М.( Ломакин В,А., Бурак Я.И.). В теории массопереноса использование обобщенного закона Фика, приводящего к гиперболической теории (а именно, к гиперболическому уравнению диффузионного распространения вещества), встречается существенно реже {Ганжа В.Л., Журавский Г.И., Симкин Э.М., Буренин A.A., Селеменев В.Ф., Шаруда В.А.). В то же время, как уже отмечалось, явления, диктуемые переходными процессами в установлении массопереноса, встречаются. Заметим здесь, что регистрация фронтов концентрации, измерение их интенсивностей с учетом имеющихся закономерностей их изменения могут послужить инструментом теоретического изучения взаимопроникающих

движений компонент смеси в процессах массообмена. Указанные обстоятельства предопределяют актуальность темы диссертационной работы и задают ее цели.

Основной иелью диссертационной работы является составление математической модели взаимопроникающих движений двух химически не реагирующих несжимаемых сплошных сред в гомогенных смесях на основе обобщенного закона их взаимной диффузии; изучение закономерностей распространения поверхностей разрывов концентрации; постановка и решение на такой основе краевых задач о распространении жидкой примеси по потоку и о набухании полимерных материалов.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в следующем;

- разработана математическая модель взаимодиффузии двух химически не реагирующих сплошных сред на основе обобщенного закона диффузии, учитывающая конечную скорость продвижения фронта диффундирующих сред;

- вычислены скорости распространения поверхностей разрывов концентрации, получены и в простейших случаях проинтегрированы обыкновенные дифференциальные уравнения затухания интенсивности разрыва концентрации;

- в рамках разработанной модели на основе изучения свойств возникающих поверхностей разрывов поставлены и решены некоторые краевые задачи о распространении жидкой примеси по ламинарному основному потоку, о набухании сферических зерен ионитов.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании классических подходов механики гомогенных смесей, теории движущихся поверхностей разрывов и средств математической физики, а также на непротиворечивости классическим моделям, основанным на приближении Обербека-Буссинеска при предельном переходе к случаю малых концентраций. При решении конкретных краевых задач использовались общепризнанные численно-

аналитические процедуры и методы.

Теоретическая и практическая значимость результатов работы. Существенная нестационарность процесса распространения примеси по потоку, когда присутствует разрыв в начальных условиях, с необходимостью ставит вопрос о закономерностях распространения переднего фронта концентрации. Именно на таких движущихся поверхностях ставится часть краевых условий и, следовательно, они оказываются необходимым элементом уже в самой постановке задачи. То же относится к переднему фронту проникающей жидкости при набухании деформируемых тел. В этом состоит теоретическое значение работы. Ее практическая значимость связана с экологической проблемой регистрации места и интенсивности источников примеси, а также с оптимизацией технологических процессов очистки органических растворов в ионообменных установках.

Апробаг\ия результатов диссертации. Отдельные результаты реферируемой работы докладывались и обсуждались на Всероссийской математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2001, 2002, 2004), V Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2001), региональной научно-технической конференции «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, 2002). Диссертация в целом докладывалась на объединенном семинаре кафедры математического моделирования и информатики ДВГТУ и лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора A.A. Буренина.

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 16 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 103 наименований. Общий объем работы -125 страниц, в том числе 46 рисунков и графиков, включенных в текст.

Автор глубоко признательна за поддержку работы Российскому фонду фундаментальных исследований (грант № 06-01-96020).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы, связанной с движением многокомпонентных смесей. Основное внимание уделено гиперболической теории массопереноса. Отмечаются возможные обобщения линейных феноменологических законов Фика и Фурье, которые приводят к гиперболическим теориям массопереноса и теплопроводности. Указываются примеры природных и технологических процессов, где гиперболическая теория массопереноса может оказаться совершенно необходимой. Отталкиваясь от приведенного литературного обзора, формулируется цель, и определяются задачи исследований, проведенных в диссертационной работе.

Первая глава диссертации посвящена записи соотношений взаимопроникающего движения за счет диффузии двух несжимаемых, химически не реагирующих жидкостей в трех случаях: нестационарном, стационарном и существенно нестационарном. В качестве основополагающего предположения принимается условие сохранения объема каждой из составляющих смеси в процессе ее движения. Следствием этого принимаемого условия являются соотношения

(О « „ (2)Л

Рю />20

А у | РдУ/ Р\ О Яго

.,«0. (1)

Здесь использованы следующие обозначения: — компоненты вектора скорости, ри Р\о - приведенная плотность (в смеси) и истинная плотность (отдельно взятой до перемешивания) первой компоненты смеси (проникающая жидкость или примесь); Ръ> Рго - аналогичные параметры второй компоненты

(несущая жидкость или набухающее тело); индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей пространственной координате х}. Соотношения (1) эквивалентны условиям р=Сотг и =0, определяющим движение несжимаемой сплошной среды и играют в двухконтинуумном движении сплошных сред ту же роль. Если бы движение одной из составляющих смеси

первоначально не осуществлялось, например Уу(2)|,=0 =0, тогда и ^(|)|(=0 =0 в

исследуемом объеме. Возникающее движение за счет последующей диффузии подчинялось бы условию

о. (2)

А о Рю

То есть безвихревой процесс диффузии примеси в спокойном водоеме не вызывает вихревых движений в последнем. Но присутствующее, пусть даже безвихревое, движение основного потока за счет диффузии в него примеси может преобразовываться в вихревое, зависимость (2) для которого места не имеет.

В качестве определяющего закона диффузии можно принять классический закон Фика

ш + где ц, - ' - V.-), V, =—1-1--компоненты диффузионного пото-

Р1+Р2

ка и среднемассовой скорости смеси соответственно, Л - коэффициент диффузии, с = р}р~1- концентрация примеси, р=р)+р2 - плотность смеси. Тогда замкнутая модель переноса примеси в случае нестационарной диффузии и идеальных составляющих смеси имеет вид:

р _ Р10Р20 Ло^ + АоО-с)

• (р^™ - рс™Х = 0, (3)

РХ> ~ Ри = Му'2> ~с,0}+ {р(у/2)уу2> + ~

где = у/2> - у/1*. При учете вязкости составляющих последнее уравнение в системе (3) заменится на соотношение

= -/>>,+('ь + >?2)(*и + + ™и)ч+РХ,>

где г}а — коэффициенты вязкости компонент смеси (о={1,2}), Хг ~ интенсивность распределенной массовой силы, р- давление в смеси.

Во втором параграфе первой главы рассмотрен стационарный случай распространения примеси, при котором второе и последнее соотношения модели (3) упрощаются соответственно: р{0<2) - сп, )сч }- Лс>м = 0, р%, - рн = [р^р + c^vlwJ - су<% - .

При помощи теории потенциальных течений и функции комплексного переменного найдены простейшие решения этой модели для различных видов установившегося плоского 2}) течения и точечного источника постоянной малой концентрации, расположенного в начале координат.

В третьем параграфе доказано, что часто используемая для задач распространения примеси модель в приближении Обербека-Буссинеска является следствием общих уравнений построенной модели (3), но только при условии малости концентрации примеси.

Проблемным остается моделирование неустановившейся диффузии по потоку и особенно моделирование закономерностей первоначального прихода примесей в точки пространства, где возможно их регистрирование. Это заставляет рассмотреть особенности процесса при конечной скорости массопереноса, иначе, провести моделирование в рамках гиперболической теории. Для этого применяется простейшее обобщение закона Фика, исключающее бесконечность скорости диффузии

+ = (4)

д(

Новая константа г служит мерой релаксации диффузионного потока и поэтому носит название времени релаксации. С использованием этого закона второе и четвертое уравнения модели (3) заменятся следующими:

{дс д2с , РюРю д*

+ гр

оРю д{ )

Часть краевых условий для системы уравнений (5) следует поставить на движущихся фронтальных поверхностях разрывов концентраций. Знание закономерностей их движения, таким образом, является необходимым элементом математической модели.

Во второй главе диссертационной работы вычислена скорость С распространения поверхности Х(/) разрыва концентрации, В случае переднего фронта (с+~0) распространяющейся примеси <7 зависит лишь от скорости г((2)+ частиц перед фронтом и степени интенсивности процесса диффузии (ц — компоненты единичной нормали к !(/)):

Если водоем спокойный (у}2>+=0) или поверхность разрыва Ц/) является передним фронтом проникающей жидкости при набухании твердого тела, то

С = С0= —. Примеры движения Г(/) показаны на рис. 1 и 2 (уР)+=1.4 м/с, !0

Л= КГ6кг/(м-с), г= 4'10"9с).

(6)

РисД

Рис.2

На рис.1 иллюстрируются последовательные положения переднего фронта от точечного источника, расположенного в начале координат при постоянном ламинарном потоке жидкости вдоль оси абсцисс. Рис.2 иллюстрирует потерю устойчивости фронта от источника эллипсоидальной формы за счет переноса примеси набегающим потоком.

Во втором параграфе средствами теории рекуррентных условий совместности разрывов на движущихся поверхностях получено уравнение затухания интенсивности фронта примеси, которое в предположении малости разрыва концентрации имеет вид

М + [ф.5т-> -0.30-^47,.*"%, -HG)=0. (7)

Здесь H=0.5gaßbaß - средняя кривизна поверхности !(/), gaß - baß - х^ц

- коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности. В общем случае , Н, xjß зависят от координат рассматриваемой точки £(/). Проследить за изменением интенсивности фронта возможно последовательными вычислениями (по лучу) при указании первоначального положения выбираемой точки на £(/). Исключением являются случаи плоских и сферических фронтов разрывов. В первом случае из (7) следует

т/ = -[с] = с~-с+ = cQ ехр(— 0.5/г"1), (8)

во втором интенсивность разрыва tj зависит еще и от изменения кривизны г*1 фронта

т] = с0 ехр(~ 0.5/г~' +G0/r"'). (9)

В (8) и (9) со - первоначальный скачок концентрации при t=0. Заметим, что интенсивность разрыва концентрации может увеличиваться в сходящихся поверхностях разрыва за счет увеличения их кривизны. Данная особенность является причиной возникновения больших растягивающих напряжений в центре сферических зерен ионообменников, разрушающих их.

В последнем параграфе главы рассматривается применение построенной модели на примере задачи о нестационарной диффузии примеси от сферическо-

го источника малой концентрации в спокойном водоеме.

В третьей главе также в рамках гиперболической теории массопереноса моделируется процесс взаимодиффузии в системе жидкость — упругое тело. В общем случае модель, описывающая движение точек сплошной твердой среды, деформирующейся из-за проникновения (диффузии) в нее несжимаемой жидкости имеет вид

Р2ос + АоО-с)

у(2) _ Л2) , (2) (2)

Ч)

-------,

(Ю)

Рг

= Рг о ^ - 2/, + 2 /? - 2/2 -1 Л3 + 4/, 12 -| /,,

где и®- компоненты вектора перемещения точек твердого тела, /2 инварианты тензора деформаций ^ = + — «[¿и^]).

Приводятся решения двух одномерных краевых задач о набухании упругого тела: плоской и сферической. В первом случае краевые условия на движущихся поверхностях задаются в виде

«=0 при х =

угрю *

С -

Рю«>

= /(() при

Р20+(Ао-Рго)">Л о

где .ДО - некоторая функция, задающая изменение концентрации жидкости на границе набухающего тела, V — скорость движения данной границы (\т=г0 в начальный момент процесса диффузии), Оо - скорость фронта проникающей жидкости. Приведем здесь решение для случая постоянной концентрации проникающей жидкости на границе твердого телаД/)=с0:

и - —

Й20С0_

РгсА + АоО-^о)

(С?0/-*) +

+ Ргосо(со Ао - (Ао - РгоК(уо - С0>)./((72/2 _ Ав1г{р^с0 + АоО - Со))2 1

х2) +

^ +в0

В задаче о набухании сферического зерна ионообменника начального радиуса г0 краевые условия следующие:

и

г = г0 -С0/

= 0;

г = го РгоКдг г)

Г — Гп

-АО.

И тогда в предположении малости перемещений

Аог

-Л» М/

Ч)

{г-н}, о

П-Гп

/

Я-ГП

'о

¿п

;

% I

ж* - го(го - Со1)}/

/ Л

Со у

Используя эти соотношения, в обоих случаях найдены и проиллюстрированы функции концентрации проникающей жидкости и функции возникающих напряжений, Замечено, что при сходящейся ударной волне, то есть при г стремящемся к нулю, напряжения возрастают до бесконечности. Полученные результаты позволяют объяснить эффекты разрушения сферических зерен ионитов при их погружении в воду или какой-нибудь раствор и изменения их объема при переходе из водной среды в органическую и наоборот, также приводящего к быстрому их разрушению в процессах сорбции - десорбции.

В последнем параграфе приводится решение аналогичной сферической задачи о набухании с учетом сжимаемости обеих сплошных сред. В этом случае исследуется движение двух фронтальных поверхностей - фронта волны массо-обмена (фронта проникающей примеси) и фронта продольной ударной волны, возникающей при деформировании упругого тела. Функции перемещения обеих сплошных сред найдены как в области проникновения жидкой фазы, так и в области предшествующего деформирования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. На основе механики многокомпонентных гомогенных смесей разработана математическая модель взаимодиффузии двух химически не реагирующих сплошных сред, учитывающая конечную скорость диффузии.

2. Изучены закономерности распространения поверхностей разрывов концентрации, вычислены скорости их распространения в общем и частных случаях. Применяя теорию поверхностей разрывов, получено дифференциальное уравнение, отражающее процесс затухания интенсивности разрыва концентрации, которое в некоторых частных случаях позволило проследить за изменением данной характеристики процесса диффузии со временем.

3. В рамках разработанной модели на основе изучения свойств возникающих поверхностей разрывов поставлены и решены некоторые краевые задачи о распространении жидкой примеси по постоянному набегающему потоку.

4. Поставлены и решены некоторые краевые задачи о переходном процессе деформирования набухающей упругой среды; исследован процесс формирования больших растягивающих усилий в матрице сферического ио-нообменника в процессах сорбции-десорбции как в случае моделирования материала ионита несжимаемой, так и сжимаемой упругой средой.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1, Обухова Е.В. О переносе несжимаемой жидкой примеси потоком несжимаемой жидкости И Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золото в а: Тезисы докладов. Владивосток: Дальнау-ка, 2001. С. 78-79.

2. Обухова Е.В. Модель переноса несжимаемой жидкой примеси с учетом ее диффузии в основной поток в случае существенно нестационарности явления // V Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию (12 - 15 ноября 2001, Владивосток).

Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2001. С. 11-12.

3. Обухова Е.В. Вычисление скорости распространения фронта примеси потоком несжимаемой жидкости // Молодежь и научно-технический прогресс: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2002. С. 8183.

4. Обухова Е.В. Перенос несжимаемой жидкой примеси с учетом ее диффузии в основной поток // III Международная конференция (Интернет-версия) молодых ученых, студентов, старшеклассников и творческой молодежи «Актуальные проблемы современной науки»: материалы конференции. Самара: Изд-во ПовМАН, 2002. С. 93.

5. Обухова Е.В. К моделированию процесса распространения несжимаемой жидкой примеси по потоку жидкости // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 86.

6. Obukhova Elena V., Mantzubora Alexander A. About regularities concentration front distribution of impurity to a fixed stream of incompressible fluid // Fifth international Young Scholars* Forum of the Asia-pacific Region Countries. Russia. Vladivostok: Far East State Technical University, 2003. P. 224225.

7. Обухова E.B. К моделированию процесса распространения примеси по потоку // Вологдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2003. С. 62-63.

8. Буренин A.A., Обухова Е.В. Перенос несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток // Дальневосточный математический журнал. 2003. Т.4. №1. С. 101-107.

9. Обухова Е.В. Вычисление интенсивности переднего фронта концентрации примеси, переносимой потоком жидкости // Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (9-11 декабря 2003, Владивосток). Владивосток: Изд-во ИПМДВО РАН, 2003. С. 16-17.

Ю.Буренин АЛ., Обухова Е.В. О гиперболической задаче переноса несжимаемой жидкой примеси потоком несжимаемой жидкости // Современные проблемы механики и прикладной математики. Сборник трудов международной цисолы-семинара. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2004.4.1. С. 96-99.

П.Обухова Е.В- О затухании фронта концентрации примеси в потоке несжимаемой жидкости // Дальневосточный математический журнал. 2005. Т.6. №1-2. С. 112-116.

12.Обухова Е.В. Перенос жидкой примеси потоком несжимаемой жидкости при учете диффузии // Вологдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2004. С. 82-83.

13.Обухова Е.В. К задаче о диффузионном распространении жидкой примеси // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В, Золотова: тезисы докладов. Хабаровск: ДВГУПС, 2005. С. 166167.

14.0бухова ЕВ,, Рагозина В.Е. О переходных процессах в установлении взаимопроникающих движений несжимаемых сплошных сред // Современные проблемы механики и прикладной математики. Сборник трудов международной школы-семинара. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. 4.2. С. 6870.

15.Обухова Е.В. О диффузионном распространении жидкой примеси // Вологдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 20Р5- С. 21-22.

16.0бухова Е.Ц., Рагозина В.Е. О гиперболической теории массопереноса в двухкомпонентных несжимаемых смесях // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 103-105.

Личный вклрд автора Работы [1-5, 7, 9, 11-13, 15] выполнены автором лично. В работе [б, 14, 16] автор участвовала в постановке задач и выполняла все необходимые численные расчеты. В работах [8, 10] автором были разработаны алгоритмы решения поставленных задач и проведены необходимые вычисления.

ОБУХОВА Елена Владимировна

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДВУХКОНТИНУУМНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МАССОПЕРЕНОСА НЕСЖИМАЕМЫХ СРЕД

Автореферат

Подписано к печати 16.10.2006 г. Усл.пл. 0.8 Уч.-изд.л. 0.7 Формат 60x84/16. • Тираж 100. Заказ 63.

Издано ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5. Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5.

Введение.

Глава 1 Общие уравнения движения несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток.

1.1. Математическая модель переноса несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток.

1.2. Исследование влияния точечного источника концентрации в стационарном потоке.

1.3. Модель Обербека-Буссинеска, как следствие общих уравнений модели.

1.4. Проблема существенно нестационарного распространения примеси по движущемуся потоку.

Глава 2 Гиперболическая теория диффузионного распространения примеси по несущему потоку жидкости.

2.1. Закономерности движения переднего фронта примеси.

2.2. Затухание волнового фронта распространяющейся примеси.

2.3. Распространение примеси от сферического источника малой концентрации в спокойном водоеме.

Глава 3 Моделирование процесса диффузии в системе жидкость - твердое тело.

3.1. Постановка задачи о «набухании» упругого тела.

3.2. Плоская одномерная задача о «набухании».

3.3. Сферическая задача о «набухании».

3.4. Сжимаемость составляющих в задаче о «набухании».

Настоящая работа посвящена исследованию процесса взаимопроникновения двух несжимаемых сред, обусловленного диффузией. Моделирование проводится на основании обобщения закона Фика, который определяет гиперболический характер уравнений задачи. Интерес к гиперболической теории диффузии в смеси двух химически не реагирующих составляющих диктуется рядом обстоятельств. Во-первых, он связан с проблемой регистрации загрязняющей примеси, распространяющейся по основному потоку. По величине концентрации примеси и моменту ее регистрации при известном характере основного потока возможно сделать выводы как об интенсивности источника загрязнения, так и о его месте. В последнее время многие авторы обращаются к проблеме антропогенного загрязнения морских и пресноводных бассейнов [4, 9, 26, 28, 34, 44, 61, 69, 91]. В основном, массоперенос в задачах распространения примесей, описывается уравнениями Навье - Стокса в приближении Обербека-Буссинеска [2-6, 23, 25, 26, 34, 44, 67, 93], сформулированного в начале прошлого века и справедливого лишь для режима установившейся тепловой конвекции. Возникает вопрос об условиях справедливости применения приближения Обербека-Буссинеска для нестационарной диффузии. Кроме того, в этих моделях диффузионный поток определяется лишь градиентом концентрации и не зависит от времени, то есть скорость массопереноса полагается бесконечной и процесс диффузии протекает мгновенно. Применение таких параболических моделей оправдано лишь для стационарных течений или при малых значениях концентрации примеси. Приближение Обербека-Буссинеска неприменимо при скоростях диффузии сравнимых со скоростями основного потока. Составленная же в данной работе модель позволяет решать подобные задачи о диффузионном распространении примеси даже для режима неустановившейся диффузии и при малых параметрах тоже допускает вышеуказанное приближение.

Во-вторых, именно существенная нестационарность процесса диффузии, которую возможно описать только в рамках гиперболической теории массопе-реноса, определяет разрушение гранул ионообменников в процессах сорбции-десорбции [16, 24, 71, 89]. Известно, что данное разрушение является основной причиной, препятствующей широкому внедрению технологий очистки органических растворов в ионообменных установках. Указание основных причин, способствующих возникновению разрушающих внутренних усилий в материалах ионитов, является необходимым условием для исключения такого нежелательного явления, как разрушение гранул.

Закон диффузии Фика утверждает, что поток вещества пропорционален градиенту его концентрации. Данное положение хорошо согласуется с линейными законами неравновесной термодинамики о пропорциональности термодинамических сил термодинамическим потокам, поэтому классическая теория массопереноса основана на принятии этого закона. Однако, как уже отмечалось, построенная на таком основании теория содержит в себе парадокс бесконечной скорости распространения вещества при диффузии. Заметим, что этот же эффект характерен и для теории теплопроводности, основанной на законе Фурье: тепло распространяется по теплопроводящему телу с бесконечно большой скоростью. Закон теплопроводности Фурье вполне аналогичен закону диффузии Фика, в нем также содержится требование о пропорциональности теплового потока градиенту температуры. Но законы Фика и Фурье основаны только на опытных данных, то есть относятся к эмпирическим. Следовательно, для исключения указанного выше парадокса необходимо провести изменения в определяющем законе модели. Исследования отечественных и зарубежных авторов, направленные на исключение бесконечной скорости распространения тепла, известны с середины прошлого века [29, 31-33, 39-41, 65, 68, 73, 78, 80, 82-84, 86, 88, 94, 97, 98, 102, 103]. Особенно стоит отметить работы Вернотте [102], А.В. Лыкова [39-41] и А.Д. Чернышова [78], в которых впервые даются возможные обобщения линейных феноменологических законов Фурье и Фика. А.С. Предводителев [65] также пытался обойтись без введения гипотезы Фурье и в 1970 году получил гиперболическое уравнение переноса тепла методом огибающих поверхностей Монжа, рассматривая в качестве таковой поверхность фазового перехода. Однако наибольший интерес представляют дифференциальные уравнения теплопроводности материалов с переменной памятью, впервые полученные и проанализированные в работах [84, 86, 97, 98, 100, 102]. J^**' настоящее время, например, достаточно развита теория термоупругости, построенная на основе гиперболической теории теплопроводности [11, 20, 63]. В теории массопереноса нестационарные модели с учетом процесса релаксации используются в основном для описания гетерогенных, дисперсных потоков [22, 27, 35, 42, 43, 47, 64, 72, 79, 85, 92, 96] или газовых смесей [18, 27, 77, 90]. Соотношения для двухкомпонентных гомогенных смесей сплошных сред в литературе известны [4, 36, 81, 87, 91], но рассмотрение их взаимодиффузии на основе обобщения закона Фика, которое приводило бы к гиперболическому уравнению массопереноса, встречается очень редко [1, 16, 20]. В то же время, как уже отмечалось, наблюдаются эффекты, объяснение которым находится только в рамках гиперболической теории массопереноса. Классическая же теория, основанная на использовании закона диффузии Фика для взаимопроникающих движений сплошных сред, также как и закон теплопроводности Фурье в процессах теплообмена, в случаях существенно нестационарных переходных процессов может приводить к недопустимому разногласию с опытами. Указанные обстоятельства предопределяют актуальность темы диссертационной работы и задают ее цели.

Основной целью диссертационной работы является составление математической модели взаимопроникающих движений двух химически не реагирующих несжимаемых сплошных сред в гомогенных смесях на основе обобщенного закона их взаимной диффузии; изучение закономерностей распространения поверхностей разрывов концентрации; постановка и решение на такой основе краевых задач о распространении жидкой примеси по потоку и о набухании полимерных материалов. Сопутствующей целью является привлечение интереса к рассмотрению процесса массопереноса в двухкомпонентных однородных смесях с применением подобных гиперболических моделей, побуждение к дальнейшим исследованиям в этом направлении.

Диссертация написана по материалам работ [13, 14, 48-60, 99] и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 103 наименований.

Заключение

В данном заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. На основе механики многокомпонентных гомогенных смесей разработана математическая модель взаимодиффузии двух химически не реагирующих сплошных сред, учитывающая конечную скорость диффузии.

2. Изучены закономерности распространения поверхностей разрывов концентрации, вычислены скорости их распространения в общем и частных случаях. Применяя теорию поверхностей разрывов, получено дифференциальное уравнение, отражающее процесс затухания интенсивности разрыва концентрации, которое в некоторых частных случаях позволило проследить за изменением данной характеристики процесса диффузии со временем.

3. В рамках разработанной модели на основе изучения свойств возникающих поверхностей разрывов поставлены и решены некоторые краевые задачи о распространении жидкой примеси по постоянному набегающему потоку.

4. Поставлены и решены некоторые краевые задачи о переходном процессе деформирования набухающей упругой среды; исследован процесс формирования больших растягивающих усилий в матрице сферического ионооб-менника в процессах сорбции-десорбции как в случае моделирования материала ионита несжимаемой, так и сжимаемой упругой средой.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Буренину А.А. за ценные советы и постоянное внимание к данной работе.

1. Алексашенко А.А. Аналитическое исследование тепло- и массопереноса с учетом конечной скорости переноса. Дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук, ИТМО, Минск, 1968.

2. Алексеев Г.В. Обратные задачи обнаружения источников примеси в вязких жидкостях. Препринт № 8 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

3. Алексеев Г.В., Адамавичус Э.А. О разрешимости неоднородных краевых задач для стационарных уравнений массопереноса // Дальневост. мат. журн. 2001. Т.2. № 2. С. 138-153.

4. Алексеев Г.В., Жидкова М.И., Кожушная Е.Р. Разрешимость краевых задач для стационарных уравнений распространения многокомпонентной примеси в вязкой жидкости // Выч. техн. 2002. Т. 7. Спец. вып. Ч. 1. С. 251-257.

5. Андреев В.К. Бекежанова В.Б. Возникновение микроконвекции в плоском слое. Препринт № 1-01. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001.

6. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. М.: Наука, 1994.

7. Бабкин А.В., Селиванов В.В. Прикладная механика сплошных сред: В Зт. Т.1. Основы механики сплошных сред. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998.

8. Баренблатт Г.И., Черный Г.Г. О моментных соотношениях на поверхностях разрыва в диссипативных средах // Прикл. мат. механ. 1963. Т. 27. № 6. С. 784-787.

9. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в задачах защиты окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО-пресс, 1997.

10. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972.

11. Бурак Я.И., Подстригач Я.С. Об оптимизации напряженного состояния в нелинейных задачах термоупругости // Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. М., 1986. С.20-30.

12. Буренин А.А. Динамика упругих сред при ударных воздействиях. Докторская диссертация, ИАПУ ДВО РАН, Владивосток, 1990. С. 19-26.

13. Буренин А.А., Обухова Е.В. Перенос несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток // Дальневост. мат. журн. 2003. Т.4. № 1.С. 101-107.

14. Буренин А.А., Россихин Ю.А. Лучевой метод решения одномерных задач нелинейной динамической теории упругости с плоскими поверхностями сильных разрывов // Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С. 129-137.

15. Буренин А.А., Селеменев В.Ф., Шаруда В.А. Разрушение сферических гранул ионообменников при набухании. В кн.: Теория и практика сорбцион-ных процессов. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1982. Вып. 15. С. 1-12.

16. Буренин А.А., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // Прикл. матем. и механика. 1978. № 43. С. 711-717.

17. Буряков О.В., Куропатенко В.Ф. Структура фронта ударной волны в смеси двух газов // Пробл. динам, вяз. жидкости. Материалы 10 Всес. шк. Новосибирск, 1986. С. 47-49.

18. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998.

19. Ганжа В.Л., Журавский Г.И., Симкин Э.М. Тепломассоперенос в многофазных системах. Минск: Наука и техника, 1990.

20. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические ограничения на разрывы функций на движущихся поверхностях // Дальневост. мат. журн. 2004. Т.5. № 1. С. 100-109.

21. Гидродинамика и акустика одно- и двухфазных потоков: Сборник научных трудов / Под ред. И.Р. Шрейбера. Новосибирск: Наука, 1983.

22. Гневанов Н.В., Смородин Б.Л. Конвективная неустойчивость течения бинарной смеси в условиях вибрации и термодиффузии // Прикладная матем. и техн. физ. 2006 № 02. С. 77-84.

23. Денисюк Е.Я., Керешатов В.В. Автомодельные режимы набухания эластомеров в низкомолекулярных жидкостях // Физич. мезомеханика. 1999. Т. 2. №4. С. 31-40.

24. Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости. М.: Мир, 1981.

25. Калинина Е.А. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвекции диффузии // Дальневост. матем. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 4546.

26. Киселев С.П., Руев Г.А., Трунев А.П. Ударно-волновые процессы в двух-компонентных и двухфазных средах. Новосибирск: Наука, 1992.

27. Корнеев С.А. Анализ возможных подходов к тепловому парадоксу // Омский научный вестник. 2000. Вып. 12. G. 65-67.

28. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. Пер. под ред. Рыжова О.С.М.: Мир, 1972.

29. Краснюк И.Б. Теория особенностей в задачах теплопереноса: решения релаксационного типа // Инж.-физ. журн. 1994. Т. 67. № 1-2. С. 162.

30. Краснюк И.Б., Каражанов С.Ж. О некоторых свойствах решений гиперболического уравнения теплопроводности. Минск: Ред. Инж.-физ. ж. АН Бе-лоруси, 1997.

31. Краснюк И.Б., Ревизии Б.Л. Об одной модификации гипотезы Фурье // Инж.-физ. журн. 1994. Т. 67. № 5-6. С. 500.

32. Криксин Ю.А., Плющев С.Н., Самарская Е.Е., Тишкин В.Ф. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвективной диффузии // Ма-тем. моделирование. 1995. Т.7. № 11. С. 95-108.

33. Куксенко Б.В., Никитин В.Ф., Трофимова А.В. Движение несжимаемой двухфазной среды в приближении Стокса под действием силы тяжести // Вестн. МГУ. Сер. 1. 1999. N 3. С. 52-55.

34. Ландау Л.Д., Лившиц В.М. Гидродинамика. (Теоретическая физика. Т. VI). М.: Наука, 1988.

35. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

36. Луговский В.В. Гидромеханика. Л.: Судостроение, 1990. С.65-69, 74-79.

37. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованиям тепломассопереноса // Инж.-физ. журн. 1965. Т. 9. № 3. С. 624-631.

38. Лыков А.В. Некоторые проблемные вопросы тепломассопереноса // Инж.-физ. журн. 1974. Т. XXVI. № 5. С. 781-793.

39. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1978.

40. Ляпидевский В.Ю. Гиперболическая модель двухфазного потока, основанная на законах сохранения // XI Международный симпозиум по нелинейной акустики. Ч. 1. Новосибирск, 1987.

41. Ляпидевский В.Ю. Уравнения мелкой воды с дисперсией. Гиперболическая модель // Прикл. мех. и техн. физ. 1998. Т.39. N 2. С. 40-46.

42. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

43. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

44. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.

45. Нигматулин Р.И. Затухание и усиление ударных волн в жидкости с пузырьками газа и пара // 7 Всес. съезд по теор. и прикл. мех.: аннот. докл. М., 1991. С. 264.

46. Обухова Е.В. О переносе несжимаемой жидкой примеси потоком несжимаемой жидкости // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2001. С. 78-79.

47. Обухова Е.В. К моделированию процесса распространения несжимаемой жидкой примеси по потоку жидкости // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 86.

48. Обухова Е.В. Вычисление скорости распространения фронта примеси потоком несжимаемой жидкости // Молодежь и научно-технический прогресс: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2002. С. 81-83.

49. Обухова Е.В. К моделированию процесса распространения примеси по потоку // Вологдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2003. С. 62-63.

50. Обухова Е.В. Перенос жидкой примеси потоком несжимаемой жидкости при учете диффузии // Вологдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2004. С. 82-83.

51. Обухова Е.В. К задаче о диффузионном распространении жидкой примеси // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2005. С. 92-93.

52. Обухова Е.В. О диффузионном распространении жидкой примеси // Воло-гдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2005. С. 21-22.

53. Обухова Е.В. О затухании фронта концентрации примеси в потоке несжимаемой жидкости // Дальневост. мат. журн. 2005. Т.6, № 1-2. С. 112-116.

54. Обухова Е.В., Рагозина В.Е. О гиперболической теории массопереноса в двухкомпонентных несжимаемых смесях // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 103-105.

55. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука, 1985.

56. Пермяков В.В. Гидромеханика и газодинамика. Учеб. пособие. 4.1. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1990. С.104-112.

57. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984.

58. Поникаровский А.И., Сиренек В.А. Решение волновой модели диффузии вероятностным методом // 15 Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях»: сборник трудов. Т. 1. Секц. 1. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2002. С. 63-65.

59. Предводителев А.С. Учение о теплоте и римановы многообразия. В кн.: Проблема тепло- и массопереноса. М.: Энергия, 1970. С. 151-192.

60. Рауз X. Механика жидкости. М.: Стройиздат, 1967. С.66-100.

61. Рыжков И.И. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии бинарной смеси в случае плоского движения // Прикладная матем. и техн. физ. 2006. № 01. С. 95.

62. Сауди М.О. О расчете концентрации веществ загрязнения в водотоках при нестационарных выпусках сточных вод // Матеем. моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сборник трудов СПб.: СПбГАСУ, 2000. С. 134-138.

63. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1994. Т.1.

64. Селеменев В.Ф., Завьялова Г.А., Чикин Г.А., Шамрицкая И.П., Мелешко В.П. Об изменении физико-химических свойств анионита при очистке сахарных сиропов в рафинадном производстве. В кн.: Теория и практика сорбционных процессов. Изд. ВГУ, 1972. вып.4.

65. Тешуков В.М. Характеристики, законы сохранения и симметрии кинетических уравнений движения пузырьков в жидкости // Прикл. мех. и техн. физ. 1999. 40. N2. С. 86-100.

66. Толубинский Е.В. Исследования по теплопроводности. Минск: Наука и техника, 1967.

67. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964.

68. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. Пер. с итал. Д.А. Райкова. М.: Изд-во иностранной литературы, 1957.

69. Федяевский К.К., Войткунский Я.И., Фадеев Ю.И. Гидромеханика. Л.: Судостроение, 1968. С.78-90.

70. Хонькин А.Д. Уравнения гидродинамики смеси газов с конечными скоростями распространения возмущений// Моделир. в мех. (Новосибирск). 1988. 2. №5. С. 142-147.

71. Чернышов А.Д. О теории теплопроводности при конечной скорости распространения тепла//Инж.-физ. журн. 1975. Т. XXVIII. № 3. С. 523-527.

72. Bangad Madusudan, Bhasker C. Structure of shock wave in two phase flows // Numer. Meth. Laminar and Turbulent Flow: Proc. 6th Int. Conf. Vol. 6. Pt 2. Swansea, 1989. P. 1777-1787.

73. Barletta A., Zanchini E. A thermal potential formulation of hyperbolic heat conduction // Trans. ASME. J. Heat Transfer. 1999. Vol. 121. N 1. P. 166-169.

74. Boyer F. A theoretical and numerical model for the study of incompressible mixture flows // Computers & Fluids. 2002. Vol. 31. P. 41-68.

75. Chen Han-Taw, Lin Jae-Yuh Analysis of two-dimensional hyperbolic heat conduction problems//Int. J. Heat and Mass Transfer. 1994. Vol. 37. № l.P. 153164.

76. Coleman B. Some recent results in the theory of fading memory // Pure and Applied Chemistry. 1970. Vol. 22. № 3-4. P. 321.

77. Curtin M.E., Pipkin A.C. A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Arch. Rational Mech. Anal. 1968. Vol. 31. P. 113-126.

78. Dalai D.C., Mazumder B.S. Unsteady convective diffusion in viscoelastic fluid flowing through a tube// Int. J. Non-Linear Mech. 1998. Vol. 33. № 1. P. 135150.

79. Day W.A. The thermodynamics of simple Materials with Fading Memory. Springer-Verlag, Berlin, 1972.

80. Gavrilyuk S.L., Gouin H., Perepechko Yu.V. Hyperbolic models of homogeneous two-fluid mixtures // Meccanica. 1998. V.33. № 2. P. 161-175.

81. Gembarovic J., Majernic V. Non-Fourier propagation of heat pulses in finite medium//Int. J. Heat and Transfer. 1988. Vol. 31. N 5. P. 1073-1080.

82. Harries, Rice S.A. // Chem., Phys. 1958. Vol. 24. P. 1258.

83. Herczynski R., Tarczynski M., Walenta Z. Shock waves in binary gas mixtures // Shock Waves and Shock Tubes: Proc. 15th Int. Symp, Stanford (Calif.). 1986. P. 713-719.

84. Joseph D.D. Fluid dynamics of two miscible liquids with diffusion and gradient stresses // Eur. J. Mech. B. 1990. V. 9. № 6. P. 565-596.

85. Malankin P.V. Hyprbolic sey of equations for transient one-demensional two-phase flow // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1996. Vol. 75. P. 383-384.

86. Mihaljan J.M. A rigorous exposition of the Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid // Astrophys. Journ. 1962. Vol. 136. P. 1126-1133.

87. Mikic B. A model rate equation for transient thermal conduction // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1967. Vol. 10. P. 1899-1904.

88. Murnagan F.D. Finite deformations of an elastic solids // Phys. rev. 1953. Vol. 59.

89. Norwood F.R. Transient thermal waves in the general theory of heat conduction with finite wave speeds // Trans. ASME, ser. E, 1972. № 3. P. 35.

90. Nunzioto J.W. On heat conduction in materials with memory // Quarterly of Appl. Math. 1971. №7. P. 187.

91. Spalding D.B., Launder B.E. Mathematical models of turbulence, lectures. Imperial College of Science and Technology, 1971.

92. Suwan K., Anderson A. Method of lines applied to hyperbolic fluid transient equations //Int. J. Numer. Meth. Eng. 1992. Vol. 33. № 7. P. 1501-1511.

93. Vernotte P. La nouvella equation de la chaleur // Journ: De la Trams de la chaleur. 1961. №1. P. 76-82.

94. Wu Chih-Yang. Hyperbolic heat conduction with surface radiation and reflection // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1989. Vol. 32. N 8. P. 1585-1587.