Некоторые начальные и начально- краевые задачи линейной гидродинамики с разрывными начальными или граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на правах рукописи

БАЕВА СВЕТЛАНА АЛЕКСАНДРОВНА

НЕКОТОРЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ И НАЧАЛЬНО -КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ С РАЗРЫВНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ИЛИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

01.01.02. — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук

Воронеж - 2006 год

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физшсо - математических наук Глушко Андрей Владимирович.

Официальные оппоненты: доктор физико — математических наук, профессор Репников Валентин Дмитриевич,

доктор физико — математических наук, профессор Мешков Виктор Захарович.

Ведущая организация: Белгородский государственный университет.

Защита состоится 3 октября 2006 года в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан

августа 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д. ф.-м. н., профессор

Ю. Е. Гликлих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Изучение вопросов разрешимости, гладкости и асимптотик при г->--н» решений начальных и начально - краевых задач для систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания жидкостей, важно для теории уравнений в частных производных и является актуальным научным направлением в современной математике.

Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. Л. Соболева. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. В работах Р. А. Александряна, Т. И. Зеленяка, В. Н. Масленниковой, В. Н. Масленниковой и М. Е. Боговского, В. П. Маслова исследовалась асимптотика при решений различных задач, описывающих движение

вращающихся жидкостей.

В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика, Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова. В монографии А. В. Глушко содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным операторам с неоднородным символом. В этой работе рассмотрены также вращающие вязкие сжимаемые жидкости. Следует отметить также, работу С. Л. Ляховой, в которой рассмотрена задача Коши для линеаризованной системы уравнений Навье -Стокса в случае, когда носитель правой части начального условия совпадает с кругом единичного радиуса.

Представляется актуальным исследование начальных и начально — краевых задач, описывающих малые колебания вязких сжимаемых и вязких стратифицированных жидкостей в случае разрывных начальных и граничных условий.

Цель работы. Построить явные формулы представления решений начальных и начально — краевых задач, описывающих малые колебания вязких сжимаемых и вязких стратифицированных жидкостей в случае разрывных начальных или граничных условий. Изучить, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия. Построить асимптотики решений по гладкости, то есть выделить разрывные и непрерывные компоненты решений. Получить асимптотические при t —> -ко представления решений таких задач.

Методы исследования. Используются методы теории

дифференциальных уравнений, различные методы получения асимптотических оценок, в частности, метод перевала, преобразования Фурье и Лапласа.

Научная новизна. В работе доказаны теоремы о существовании решений начальных и начально - краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания вязких сжимаемых и вязких стратифицированных жидкостей в случае разрывных начальных или граничных условий, построены явные формулы представления решений таких задач, изучено, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия, построены асимптотики решений по гладкости, получены асимптотические при * —> +оо представления решений таких задач.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем для построения асимптотических представлений при * —»+оо решений задач динамики жидкостей, изучения динамики разрывов решений, порожденных негладкими начальными или граничными условиями. Результаты работы также могут быть полезны для изучения многих важных для практики задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, например, коллапса интрузий в жидкостях, решения экологических задач (исследования поведения разливов нефти в океане) и в других случаях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 129 страниц. Библиография содержит 30 наименований.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались и докладывались: на международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронежская зимняя математическая школа, г. Воронеж, 2003 г.), на международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронежская зимняя математическая школа, г. Воронеж, 2004 г.), на международной конференции «Математика, компьютер, образование» (г. Дубна, 2004 г.), на международной школе — семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж, 2004 г.), на международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронежская зимняя математическая школа, г. Воронеж, 2005 г.), на Воронежской весенней

математической школе «Понтрягинские чтения -XV» (г. Воронеж, 2004 г.), на международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005г.), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения -XVII» (г. Воронеж, 2006г.), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна (г. Воронеж, 2006г.), семинарах кафедр уравнений в частных производных и теории вероятностей и математического моделирования воронежского госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] -[17]. Из совместных работ [1], [8], [9], [10], в диссертационную работу С. А. Баевой вошли только принадлежащие ей результаты.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассматривается задача Копш для системы уравнений, описывающей малые плоские колебания вязкой сжимаемой жидкости. На множестве Л* = {х еАа, „ . ¿>0} рассмотрим систему уравнений

0м, д2и, д2и. др „ д ,ди, ди2

—-~у(—т" + —г) + — - V/?-(—!- + —-) = 0;

Ы сЬс, дх\ Эк, сЦ йх, ах2

ди, ,д2щ Э2и,. др „ д ,ди. ди2.

—2——+ —+ ——уР-(—~ + —) = 0; (1)

дс дх; дх\ 5х2 дх2 дх^ дх2

2 dp Эи, ди2 а2 — + —- + —= dt дх1 дх2

Здесь V- динамический коэффициент вязкости, ß = \ + Л/Г1, где Х,р -первый и второй коэффициенты вязкости, а2 Ф 0- коэффициент сжимаемости жидкости, i7 = (w,(x,f), и2 (х,г)), xeR2,t> 0 - вектор скорости движения жидкости, p(x,t)- эффективное давление в жидкости, равное произведению отклонения давления от стационарного и величины р^, где ра- постоянная

плотность покоящейся жидкости.

Будем искать решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям:

м, (х, +0) = ы2 (х, +0) = 0, р(х, +0) = р0 (х). (2)

Пусть ilcÄ!- выпуклый компакт с гладкой границей. Моделируя включение в жидкость интрузии с разрывом начального давления, будем

считать, что функция р0(:с) удовлетворяет следующему условию: Условие 1.1. р0(х) = 1,если х е Г2 ; р0(х) = 0, если х g Q. Доказаны следующие утверждения:

Теорема 1.1. При выполнении условия 1.1 существует обобщенное решение (их(х^),и£х^),р(х,г)) задачи (1)42) такое, что Uj(x,t), j = 1,2-

непрерывные и ограниченные функции xeR2, t> 0; компонента решения p(x,t) представима в виде

p(x,t) = p0(x)exp(~a-2(l + ßrlv-lt) + R(x,i), (3)

где R(x,t)- непрерывная и ограниченная функция при xeR2,t>0. Начальные условия (2) выполнены в следующем смысле:

Теорема 1.2. При выполнении условия 1.1 для задачи (1)-(2) справедливы асимптотические представления и оценки при t —> +оо компонент решения

ux(x,t) = 0(Гг), и2(х,0 = 0(Г3), р{х,f) = -к(2жТ'а2Гг +0(СЪ), (5)

равномерные по всем х е R2. Здесь к мера множества П.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [1]-[5], [16]. Во второй, третьей и четвертой главах рассматривается система уравнений, описывающая малые плоские колебания вязкой сжимаемой жидкости.

На множестве = {х, е R1, х2 > 0, t > 0} рассмотрим • систему

уравнений следующего вида:

Si \ а^'Ч '

~ + -—г~) + = 0; (6)

dt дх2 8x1 дх.

2

2 диг ди1 ди1

а + 0) 81 охх ох2

где а 5*0, у>0 определены выше, и^х^), и2(х,/)- компоненты вектора скорости, и3отклонение давления от стационарного.

Задача состоит в нахождении решения системы (6), удовлетворяющего

начальным условиям

и1(х,,х2,+0) = 0, и2(х,,х2,+0) = 0, и3(х1,х2,+0)-0, и граничным условиям

и,(х,,+ 0,<) = 0, и3(х1,+0,0 = н>3(х1,0. (8)

Систему уравнений (6) можно записать в матричном виде следующим образом:

Л[/(х,0 = 0,

\

(9)

где А =

дг 0 8х1

0 д А --УА & 8 дх2

д д 2 д а — Ы

. а*, дх2

ах* 8x1'

и(х,{) = (их{х,г),и2{х^),и^{х^У)т, Т — знак транспонирования.

По вектор - функции и(х, (), заданной при л, е , х2 > 0, / > 0 построим вектор-функцию = следующим образом:

уДх,0 = /0"Д*,0, у2(х,1) = 11й2(х,0, (10)

где /0 - оператор продолжения функции нечетным образом на х2 < 0, а -оператор продолжения функции четным образом на х2 < 0. Знак «~» - это продолжение функции нулем при < < 0.

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 2.1.1. Если вектор-функция £/(х,<) является решением задачи (6)-(8), то вектор-функция построенная в (10) удовлетворяет в обобщенном

смысле уравнению:

= (И)

где Р = ф;Г1-0)т,

+ (12)

Пусть выполнено следующее условие:

Условие 2.1. Функция имеет вид Щ^г)^ р^х^р^), где рх{х^-

характеристическая функция отрезка [-1;1], а функция />2(*)еС°(0;+«о) и имеет компактный носитель, причем р2(0) = 0.

Лемма 2.2.1. При выполнении условия 2.1 обобщенное решение задачи

(11) можно формально представить в следующем виде

у,(х,о = --+

(К-ЛХЯ-Гэ) (13)

г^.Г.У* +7——ТГ-

(П ~Г\)(Г2 ~Гз) (Г}~Г1 )(Гз -7г)

^О^МУ*2*,. „л..,

(14)

(Г2-Г1ХГ2-Г3) (Гз-ПХГз-Г2)

(Гг-ГД^-^з) (.Гз-КХЪ-Гг)

(15)

где - обратное преобразование Фурье,

= х = (х1гх2), (16)

а функция 1**2{Ху ,х2,Г) определена в (12); УХ,У2,- корни уравнения:

Р(*,у) = 0, (17)

г) = (Г + V Н2)(« + V И2) + И2). (18)

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда в 5'(Д3) существует обобщенное решение 17 = (их,и2,иг) задачи (6)-(8) такое, что

!*,(*,г)='^(*,*-г)/2( г)А, (19)

о

где * = (дг„х2), /2(0 = 2р2(0 + 2а1ур'1 СО-

Функция В,(х,() является непрерывной, равномерно ограниченной функцией по (дГ[,д:2) еЛ2, ? ^ (5>0 при любом <5 >0. Справедливо следующее представление этой функции

КХ, [е"*'']^*. (*.'*>) + *«' (*•') + . (20)

2ж

где

1 ■

2 ^ 2 ** • (21) х22+(Х,+1) х22+(х1-1)

Функции В\ {х,{), Ву (х,г) есть непрерывные и ограниченные функции при всех

л:, е Л1, х, &0, < ^ 0. Свертки в правой части (20) непрерывны и равномерно по

х^еЯ1, х2 >0, /¿0 ограничены, -обратное преобразование Фурье; #(/)-

" функция Хэвисайда

н2(х,/) = )в2,{х,1 - г)/а(г>*г+}ям(*,/ - т)(/2 (г)-/2(0))^г, (22)

о о

где функция В2Л (х, ?), в (22), является непрерывной, равномерно ограниченной по {х1,х2) е Я2, * 2: > 0 функцией при любом > 0. Справедливо следующее представление этой функции

+Д„ + В2, + В2Л (*,*), (23)

где функции В21 (х,г), ¿21(х,г), ¿21(:е,г) непрерывные и ограниченные функции при всех <¿0, х1 еЯ1, х2~2:0. Свертки в правой части (23) непрерывны и равномерно по х1 е Л1, х2 > 0,1 й 0 ограничены;

(Д1+1) +х1 (^-1) +*

Функция £2Д(лг,г) , в (22), является непрерывной и равномерно ограниченной функцией аргументов х е Я1, / Й: 8 > 0 при произвольном 5 > 0. Для этой функции справедливо представление

(25)

где функции с, г), / = 1,2,3 - непрерывные и ограниченные функции при

всех х1 е Я1, х2 0, * & 0.

и3(х,/)= '¡В3(х,1-т)/2{т)с1т, (26)

о

где функция £3 (х,(), в (26), непрерывна и равномерно по х1еЯ1,х1>0, / Ь 5 > 0 ограничена. При < -> +0 для функции В3(х,{) справедлива оценка

|2?3(х,0|с постоянной о0, не зависящей от хеЛ2. Справедливо

следующее представление для функции В3 (х,?):

Въ = (*,,*,)+ -^В, {ха) + въ . (27)

Функции Вг{х,{) и ¿з непрерывны и равномерно по

е Л1, х2 > 0, г > 0 ограничены;

8](х1,х2) =1(агс1Е^- (28)

Ж х2 х2

Из теоремы 2.1 вытекает следующее утверждение:

Теорема 2.6. Компоненты и1(х,1), 7 = 1>2 решения задачи (б) - (8) являются непрерывными, равномерно по х1 е Я1, х2 > 0, ( > 0 ограниченными функциями, компонента и2(х,/) решения является непрерывной равномерно ограниченной функцией переменных х1 еЯ1, х2 > 0, / > 0, причем

Цшм,(х,/) = 0, у = 1,2,3. 1-++0 J

Перейдем к изложению результатов третьей главы диссертации, в которой изучается поведение при * —> со ядер и компонент решения задачи (6)-(8)

Теорема 3.1. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для решения (щ (х,1), и2 {х, Г), щ (л, О) задачи (6) - (8) справедливы формулы (19), (22), (26).

При этом для функций В2Х\ В22\ В1 справедливы при /->-ко

асимптотические представления и оценки

3(;с,/) = 0(ГгХ1+М2); (29)

,(*,*) = -^-Г1+0(Г2); (30)

¿ЖУ

522(^0 = -Г1+О(Г2); (31)

ж

Вг{х,0 = + , (32)

где функция е2(х1,х2) определена в (24). Асимптотические оценки О(-) в (29)-(32) равномерны по всем х1 еВ',х2 ¿0.

Следствие 3.1. При выполнении условий теоремы 3.1 справедлива асимптотическая при t -» -Ко оценка B3(x,t) — 0(t~3), которая равномерна по всем л, е Л\х2 > 0.

Теорема 3.2. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для решения (u,(x,t),u2(x,t),u3(x,t)) задачи (6) - (8) справедливы следующие

асимптотические оценки и представления при t —> +оо

КМ S c^U jl/2(i)ldf; ъ(ха) = —Д- + \y"\f2(t)dt + 0(Г15) |/2(0|Л;

• о ж о о

о

Проверка вьтолнения граничных условий (8) проведена в главе 4. Теорема 4.2. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для решения (uy(x,t),u2(x,t),u3(x,t)) задачи (6) — (8) справедливы соотношения:

lim Mj(xi,x2,<) = 0 при всех хх е Ä1, / >0 (33)

lim H3(xi,x2,i) = w3(x,,f) при всех х, е Я1, х, * ±1, i > 0; limoKj(±lпривсех />0.

(34)

(35)

Утверждения, доказанные во второй, третьей и четвертой главах, опубликованы в работах [6] — [7], [10] - [13], [16].

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными, описывающую малые колебания в вертикальной плоскости вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости:

AU =

8t 0 0 JLN 8лг,

0 5 А --vA Sf g 8 cbtj ГсО

0 g а 8t 0

a_ д дх2 0 0 /

— 0;

(36)

U(x,t) = (Ux (x,t), U2 (x,/), U3 (x, t), UA (x, t)f, T-знак транспонирования, xsRl = (x = (x[,x2);—oo<X! <co,0<x2 < oo};i >0. Здесь £/,(*,0 и U2(x,t)-

и-з(Х1>хц'+0) — 'Н'о(х)==\ п _____ 2 . - „о ^ п2

горизонтальная (вдоль оси Ох,) и вертикальная ( вдоль оси Ох2) составляющие скорости движения частицы жидкости в точке х в момент времени Г, 1/3(х,0~ отклонение плотности от стационарной в точке х в момент времени t, £/4(х,0 -давление жидкости в точке х в момент времени t, V- коэффициент вязкости жидкости, а>0 - частота Вейсяля — Брента, ускорение свободного падения. Систему (36) дополним начальными условиями С/1(х1,д:2,+0) = С/2(^,х!,+0) = 0;

[1, если х? +(хг-2К)2 < Я2; (37)

[О, если х? + (х2 - 2Л)2 к Я2 и граничными условиями

^Се,,+0,0 = 0; иА(х1,+0,0 = 0 . (38)

Теорема 5.1. Компоненты С/Дх,*), ./ = 1,2,4 решения задачи (36)-(38) являются непрерывными равномерно по х е Л2,0 < Г функциями при любом Т> 0. Компонента С/3(х, 0 представима в виде С/3 (х, 0 = % (х) + С/3" (х, 0, где разрывная функция >у0(х) определена в (37), а функция С/" (х,0 непрерывна и равномерно по xeR2,0^t<:T ограничена при любом Т > 0.

Рассмотрим начально-краевую задачу в полупространстве х, е Я' ,х2 > 0,Г > 0 для системы уравнений (36) с начальными условиями

Е/,(х,,х2,+0) = 0,./ = 1,2,3 (39)

и граничными условиями

г/1(х,,+0,0=0, с/4(х„+ 0,0=<г(01[-и](^)> (40)

где ^.¡д]^)- характеристическая функция отрезка [-1,1].

Задача (36),(39),(40) может быть сведена к обобщенной задаче Коши:

ЛК = ^ = (0,2?(01[^Ж*2),0,0)Г. (41>

Здесь

№0 = [и^^х2 <0 2'3' - 1-С/у(х„-х2,0,= 1Л (42) Ку(х,0 = 0 при * < 0 для всех х е Л2.

. Условие 5.1. Для функции /(0 конечен интеграл

]а+о!/(оИ=с„ <«>•

Теорема 5.2. Пусть д(0,9'(0 е ¿¡(О.оо), д(0) = 0 и выполнено условие 5.1 для функций д' (г). Тогда существует обобщенное решение уравнения (41), которое представило в виде

= + (43)

где

*?(х,0=^ . (44)

(45)

Я /2 ОТ

(46)

71 £ £ м

= ^ р-^Ч-^У^Х^О*(47)

* Л И р)

,0 = 0,7 = 1,2,Ъ-ХЫ-ЩИ (48)

Справедливы следующие оценки компонент решения при ? +0

|Г4Чх,/)|йС|х2р5. (51)

Кроме того, функции (44)-(47) являются непрерывными, равномерно по ? > 0,х е Кг ограниченными функциями, а функция есть непрерывная

функция при х, е ^0.

Теорема 5.3. . Пусть <ю), ^(0) = 0 и выполнено условие

5.1 для функций 9(0>9 (0- Тогда компоненты решения задачи (36),(39),(40) удовлетворяют условиям

НтЬг1(х1,х,,0 = 0, у = 1,2,3; Нт ^,0 = 0; Нт ||гУ4(.,х2,.)~зО'м.пЦ^, = °-

Эти утверждения доказаны в пятой главе и опубликованы в [8] - [9], [15], [16], [17].

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Баева CA. О выпуклой интрузии в вязкой сжимаемой жидкости / C.Ä. Баева, A.B. Глушко // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы конф. «Воронежская зимняя математическая школа», 26 янв.- 2 февр. 2003 г. - Воронеж, 2003. - С. 27-28.

2. Баева С.А. Задача Коши для уравнений динамики вязкой жидкости с начальными данными, разрывными на границе выпуклого компакта / С.А. Баева ; Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2004. — 58 с. — Деп. в ВИНИТИ 13. 01. 04, № 49-В 2004.

3. Баева С.А. О задаче Коши для уравнений динамики вязкой сжимаемой жидкости с начальными данными, разрывными на границе выпуклого компакта 1 С.А. Баева // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ / Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2003. — С. 13-19.

4. Баева С.А. Разрешимость задачи Коши с разрывными начальными условиями, моделирующей колебания вязкой сжимаемой жидкости / С.А. Баева // Воронежская зимняя математическая школа : материалы конф. — Воронеж, 2004. - С. 16-17.

5. Баева С.А. Асимптотика по времени решения задачи Коши для уравнений' динамики вязкой сжимаемой жидкости в случае разрывных начальных условий / С.А. Баева // Математика, компьютер, образование : тез. докл. 11 международ, конф., Дубна, 26-31 янв. 2004 г. - Дубна, 2004. - С. 82.

6. Баева С.А. Асимптотические при t —»-и» формулы решения начально-краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса в случае разрывного граничного условия / С.А. Баева // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. - 2004. - № 1. - С. 67-70.

7. Баева С.А. Теорема о существовании решения начально-краевой задачи для системы уравнений малых колебаний вязкой сжимаемой жидкости в случае разрывного граничного условия/ С.А. Баева // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. — 2004. — № 2. - С. 117-120.

8. Баева С.А. О начально-краевых задачах малых колебаний вязких экспоненциально — стратифицированных жидкостей / С.А. Баева, A.B. Глушко// Изв.Вузов.Математика.—2006. —№ 1(524). — С. 13-15.

9. Баева С.А. О динамике разрывов решений в начально — краевых задачах малых колебаний вязких экспоненциально-стратифицированных жидкостей / С.А. Баева, A.B. Глушко // Вестн. Елецкого гос. ун-та. Сер. Математика, Физика. - 2004. - Вып. 5. - С. 78-88.

10. Баева С.А. Об одной начально — краевой задаче гидродинамики с разрывными граничными условиями /А. В. Глушко, С.А. Баева // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. - 2005. - № 2. - С. 128-132.

11. Баева С.А. Разрешимость начально-краевой задачи с разрывными граничными условиями для одной задачи гидродинамики / С.А. Баева // Современные проблемы механики и прикладной математики : сб. тр. международ, шк.-семинара, Воронеж, 24-28 мая 2004 г. — Воронеж, 2004. — Ч. 1,т. 1.-С.57-59.

12. Баева С.А. Асимптотические представления решения одной начально-краевой задачи гидродинамики / С.А. Баева // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы конф. «Воронежская зимняя математическая школа», 27 янв.-2 февр. 2005 г. - Воронеж, 2005. — С. 22.

13. Баева С.А. О гладкости решения начально-краевой задачи с разрывными граничными условиями для одного уравнения гидродинамики / С А. Баева // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж, весен, мат. шк. «Понтрягянские чтения -XV», Воронеж, 3-9-мая 2004г. -Воронеж, 2004. - С. 21-22.

14. Баева С.А. О представлении решения одной начально-краевой задачи гидродинамики / С.А. Баева // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования : материалы международ, науч. конф., Воронеж, 12-17 дек. 2005 г. — Воронеж, 2005. - С. 15.

15. Баева С.А. О существовании обобщенного решения одной начально — краевой задачи, описывающей колебания вязкой экспоненциально — стратифицированной жидкости / С.А. Баева // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж, весен, мат. шк. «Понтрягинские чтения -XVII». - Воронеж, 2006. - С. 15-16.

16. Баева С. А. Начальные и начально - краевые задачи гидродинамики с разрывными начальными и граничными условиями / С.А. Баева // Труды математического факультета ВГУ / Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2006. -С. 7-14.

17. Баева С. А. Оценки решения одной начально — краевой задачи гидродинамики с разрывными граничными условиями / С.А. Баева // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна : материалы конф. - Воронеж, 2006. - С. 17-18.

Подписано в печать 1.08.2006. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 600.

Издатеяьско-полшрафггческий центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Введение.

Глава 1. Задача Коши для системы уравнений, описывающей малые колебания вязкой сжимаемой жидкости.

1.1. Некоторые вспомогательные утверждения.

1.2. Доказательство теоремы о существовании решения задачи

Коши.

1.3. Асимптотические представления при ^ -> +оо компонент решения задачи Коши.

Глава 2. Существование и гладкость решения задачи (6) - (8).

2.1. Сведение исходной задачи к обобщенной.

2.2 Построение формального решения обобщенной задачи (2.1.4).

2.3. Доказательство теоремы о существовании первой компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8).

2.4 Доказательство теоремы о существовании второй компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8).

2.5. Доказательство теоремы о существовании третьей компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8).

2.6. Теорема существования решения задачи (6) - (8).

Глава 3. Асимптотические при I -> со формулы решения задачи (6) - (8).

3.1. Асимптотические при * -> со формулы третьей компоненты решения задачи (6) - (8).

3.2. Асимптотическая формула при t -> оо для первой компоненты решения задачи (6) - (8).

3.3. Асимптотическая формула при t-> со для второй компоненты решения задачи (6) - (8).

3.4. Асимптотические оценки при 1-^со компонент решения.

Глава 4. Проверка выполнения граничных условий.

4.1. Проверка первого граничного условия.

4.2. Проверка второго граничного условия.

Глава 5. Начально - краевые задачи динамики экспоненциально стратифицированной жидкости.

5.1. Построение решения задачи динамики стратифицированной жидкости с разрывными начальными и однородными граничными условиями.

5.2 Изучение гладкости компонент решения задачи (36)-(38).

5.3 Построение решения задачи динамики стратифицированной жидкости при однородных начальных и разрывных граничных условиях.

5.4. Существование решения задачи (36), (39), (40).

5.5. Вспомогательные оценки.

5.6. Изучение гладкости компонент решения задачи (36), (39),(40).

5.7. Проверка выполнения условий (39), (40).

Настоящая работа посвящена изучению качественных свойств решений некоторых начальных и начально-краевых задач, описывающих малые колебания жидкостей. Под качественными свойствами решений понимаются точные асимптотические представления решений при / ->оо, изучение гладкости решений и динамики разрывов решений, порожденных негладкими начальными и граничными условиями.

Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. Л. Соболева [1], [2]. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. В работах Р. А. Александряна [3], Т. И. Зеленяка [4], В. Н. Масленниковой [5], В. Н. Масленниковой и М. Е. Боговского [5], [7], В. П. Маслова [8] исследовалась асимптотика при а> решений различных задач, описывающих движение вращающихся жидкостей.

В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика [9], Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова [10]. В монографии А. В. Глушко [11] содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным операторам с неоднородным символом. В [11] рассмотрены также вращающие вязкие сжимаемые жидкости. Следует отметить также работу С. Л. Ляховой [12], в которой рассмотрена задача Коши для линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса в случае, когда носитель правой части начального условия сосредоточен в круге единичного радиуса.

В настоящей работе рассматривается задача Коши и начально-краевые задачи для линейных систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания вязких сжимаемых и вязких стратифицированных жидкостей. Рассматриваются случаи разрывных начальных или граничных условий. Получены асимптотические при /->со формулы решений таких задач, доказаны теоремы о существовании решений этих задач, изучено, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия.

В первой главе рассматривается задача Коши для системы уравнений, описывающей малые плоские колебания вязкой сжимаемой жидкости. На множестве Я* = е Я2, / >0} рассмотрим систему уравнений 5 дщ к02«' Ч2 d2u, ч dp ■+—f)+— дх2 dxl

Ht ди2 dt Пдх2 d2u,ч dp + —f) + dx2 dx2 дхх дхх дх2

0 д ,ди. диг ч . -vß—(—L + —-) = 0. Hdx2dx, дх2

О)

2 dp du, дщ . а2—+—L + —- = 0 dt дх, Эх, v,

Здесь v - динамический коэффициент вязкости, ß = l + Aff\ где Л,/и -первый и второй коэффициенты вязкости, аФ О- коэффициент сжимаемости жидкости, й = (wx(х,t),щ(х,t)),xeR2,t> 0 - вектор скорости движения жидкости, p{x,t)- эффективное давление в жидкости, равное произведению отклонения давления от стационарного и величины р~0х, где р0- постоянная плотность покоящейся жидкости.

Будем искать решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: щ (х, +0) = и2 (дг, +0) = 0, р(х, +0) = р0 (х). (2)

Пусть QczR2- выпуклый компакт с гладкой границей. Моделируя включение в жидкость интрузии с разрывом начального давления, будем считать, что функция р0(х) удовлетворяет следующему условию:

Условие 1.1. р0(х) = 1 ,если х е Q; р0(х) = 0, если х <£ Q.

Доказаны следующие утверждения:

Теорема 1.1. При выполнении условия 1.1 существует обобщенное решение {u{(x,t),u2{x,i),p(x,t)) задачи (1)-(2) такое, что Uj(x,t),j = 1,2- непрерывные и ограниченные функции xeR2,t> 0; компонента решения p{x,t) представима в виде р(х, 0 = Ро (*) ехр(-сГ2 (1 + pf v~xt) + R(x, t), (3) где R(x,t)- непрерывная и ограниченная функция при xeR2,t> 0. Начальные условия (2) выполнены в следующем смысле: lim

->+0 0.

4)

Теорема 1.2. При выполнении условия 1.1 для задачи (1)-(2) справедливы асимптотические представления и оценки при t +оо компонент решения ф,0 = 0(Г3), u2(x,t) = 0(Г3), p(x,t) = -к{2ж)~ха2Г2 + 0(Г3), (5) равномерные по всем х е К2. Здесь к мера множества О.

Результаты главы 1 опубликованы в [14 ]-[19 ], [29].

Во второй, третьей и четвертой главах рассматривается система уравнений, описывающая малые плоские колебания вязкой сжимаемой жидкости.

На множестве Я1+ = {х, е Ях, лг2 >0, / > 0} уравнений следующего вида: рассмотрим систему

Эм, д2их д2их ди дt ди.

-к ы

-Кдх\ д2и, •

-) дх2 Эх, д2и, х ди 0; сЦ дх2 ох,

6) Эи, Эи. дщ Л а -г^- + + = 0, д1

Эх,

Эх, ^ где юО определены выше, щ{х,{),и2{х,()- компоненты вектора скорости, и3(х,/)- отклонение давления от стационарного.

Задача состоит в нахождении решения системы (6), удовлетворяющего начальным условиям ' и1(х1,х2,+ 0) = 0, и2(х1,х2,+0) = 0, и3(х,,х2,+0) = 0, (7) и граничным условиям щ (х,, +0, *) = 0, щ (х,, +0,0 = (8)

Систему уравнений (6) можно записать в матричном виде следующим образом:

Аи{х,1) = 0, (9)

А = э А 0 д д1 Эх, д , э

0 --М д1 Эх2 э д 2 Э

- —

Эх, дх2 д( дх2 дх22' и{х^) = {их{х^),и2{х,(),щ(х,{))т, Т - знак транспонирования.

По вектор - функции 11{х,{), заданной при ^ е Д1, х2 >0, г >0 построим вектор-функцию Р(х,0 = (п(хДу2(хДу3(л;,0)г следующим образом: vj(x,t) = l0йj(x,t), ] = \,3, у2(Х,0 = /,Й2(Х,0, (10) где /0 - оператор продолжения функции нечетным образом на х2 < 0, а /, -оператор продолжения функции четным образом на х2 < 0. Знак ~ - это продолжение функции нулем при / < 0.

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 2.1.1. Если вектор-функция является решением задачи (6)-(8), то вектор-функция У(х,0, построенная в (10) удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению:

АУ = ¥, (П) где /г = (0;^2;0)г, р2 = 2 + 2^30(Х^)8(Х2) . (12)

Пусть выполнено следующее условие:

Условие 2.1. Функция м>3(*Р0 имеет вид и>3(х,,0 = р{{хх)р2^), где ^(х,) - характеристическая функция отрезка [-1;1], а функция р2(0 е С°°(0;+оо) и имеет компактный носитель, причем р2(0) = 0.

Лемма 2.2.1. При выполнении условия 2.1 обобщенное решение задачи (11) можно формально представить в следующем виде

Г1-Г2)(У|-Гз)

-+7--Г/&.Г.УЧ (п-пХп-г,) 21

П-ГЖ-Ь) Ь-ГгЪ-Гг) ^ 1

-а^Г'5^"И*) Рг(*,ПУ< +

Г, -Уг)Ь\ -у,)

Уг ~ У\)(Уг ~ Уг) (Уз ~ Ух)(Уз ~ У г) где - обратное преобразование Фурье,

13)

14)

Л-*=(ад), (16) a функция F2(x,t) определена в (12); yl,y2,y3-корни уравнения:

P(s,r) = 0, (17)

P(s, y) = (r + v\sf)(a2y(y+v\s\2)+|s|2). (18)

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда в S'^R*) существует обобщенное решение U = (ul,u2,u3) задачи (6)-(8) такое, что t

B{(x,t -т)/2(т)с1т, (19) о где x = (xl,x2), f2(t) = 2p2(t) + 2a2vp/2{t).

Функция является непрерывной, равномерно ограниченной функцией по (xvx2)eR2,t>Ô>0 при любом ¿>0. Справедливо следующее представление этой функции xvx2) + в; (x,t) + В\ (x,t)e,a'2y'1, (20)

-±eta'2y'lF;\x 2л где

X* X>

Функции В\ (х,^), В2 (х,?) есть непрерывные и ограниченные функции при всех х1 е Я1, х2 > 0, / > 0. Свертки в правой части (20) непрерывны и равномерно по л^еД1, х2 >0, > 0 ограничены, -обратное преобразование Фурье; 6(() функция Хэвисайда. <

ЩШ) = \ви(х>* - + \в2>2(х^ - т )(//(г) - /2(0))</г, (22) о о где функция В21 (х,^ в (22) является непрерывной, равномерно ограниченной по (х15д:2) е Д2, / > ^ > 0 функцией при любом 8 > 0. Справедливо следующее представление этой функции

В2, (х^У"" + В2Х "" + В21 (*,/), (23) где функции В21(х^), В2Х (х^), В2Х(х^) непрерывные и ограниченные функции при всех />0, ххеЯ1, х2 >0. Свертки в правой части (23) непрерывны и равномерно по хх е х2 > 0, / > 0 ограничены;

Е2(х{,х2)= Х'+21 - (24)

1+1) +х\ (х, -1) +х\

Функция В22[х,{) в (22) является непрерывной и равномерно ограниченной функцией аргументов л;еЛ2,/>£>0при произвольном ¿>0. Для этой функции справедливо представление

В2>2 (*,г) = В22Х (х,()е'а'2у'1 + В2Х2 + В2Х з (х,(), (25) где функции В2г}(х,{), у = 1,2,3 - непрерывные и ограниченные функции при всех хх еЯ\ х2 >0, />0. щ(х^)=\вз(х^-т)/2(т)с1т, (26) о где функция Вг в (26) непрерывна и равномерно по хх е Я1, х2 > 0, * > 8 > 0 ограничена. При X -» +0 для функции Вг{х,() справедлива оценка \В3(х^)\<—^ с постоянной о 0, не зависящей от хеЯ2. Справедливо следующее представление для функции В3 (х,{): ч 1 .-2-1 1~/\~/ \ —1а~2у~1

В^ = 2Л " ^,х2)+-^В3(х,^ + Вг{х,()е2 . (27)

Функции В3 (л;,/) и В3(х^) непрерывны и равномерно по еД1 х2 >0, О0ограничены;

§з(х\'х2) = —(аг^-^-^ - ап^——-), (28)

ТС Х>£

Из теоремы 2.1 вытекает следующее утверждение:

Теорема 2.6. Компоненты и^х^),} = 1,2 решения задачи (6) - (8) являются непрерывными, равномерно по хх еЯ1, х2 £0, * £0 ограниченными функциями, компонента щ{х,{) решения является непрерывной равномерно ограниченной функцией переменных хх еЯ1, х2 >0, *>0, причем Ншм,(д:,0 = 0,/ = 1,2,3.

Перейдем к изложению результатов третьей главы диссертации, в которой изучается поведение при t-> оо ядер и компонент решения задачи (6)-(8).

Теорема 3.1. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для решения {ик(х,1),иг{х,1),иъ(х,1)) задачи (6) - (8) справедливы формулы (19), (22), (26).

При этом для функций В{; В2у, В22, Вг справедливы при t->+ оо асимптотические представления и оценки

В1(х,0 = О(Г2)(\+\х\2); (29)

30)

Ви(х,0 = -Г1 + О(Г2у, (31) ж

ЬМ = 0(Г3)+-±-е-***е2(х1,х2), (32)

2 а V где функция g2(xvx2) определена в (24). Асимптотические оценки 0(-) в (29)-(32) равномерны по всем х1 е Я\х2 > 0. Следствие 3.1. При выполнении условий теоремы 3.1 справедлива асимптотическая при ¿->+со оценка В3(х^) = 0(Г3), которая равномерна по всем х, еЯ\х2 >0.

Теорема 3.2. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для решения (щ(х,?),и2(х^),и3(х^)) задачи (6) - (8) справедливы следующие асимптотические оценки и представления при / -» оо и2(х,о=—(+1)г1 )/2(0Л+(Кг*)]|/2(0|Л; о п ^ о о

00 щ(х,0\<сГ3 \\/2«)\Ж. о

Проверка выполнения граничных условий (8) проведена в главе 4. Теорема 4.2. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для решения (щ (х, 0, и2 (х,/), Щ (х,0) задачи (6) - (8) справедливы соотношения: lim ux{xx,x2,t) = 0 при всех xx e R\ t > 0 lim u3(xx,x2,t) = w3(xx,t) при всех xx e R\ xx *±\,t> 0; lim u3 (± 1, x2, t) = — w3 (Xj, t) при всех t > 0.

Xj ~^+0 2

34)

35)

Утверждения, доказанные во второй, третьей и четвертой главах, опубликованы [19 ] - [20], [23] - [26], [29].

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными, описывающую малые колебания в вертикальной плоскости вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости:

AU = а л --vA dt 0 0 jT dxj

0 д д --m dt 8 d dx2 u2

0 -со\ g d dt 0 v, И д dxx d дх2 0 0 / 0;

36) и{х,{) = (£/, (л, {), иг (х, 0, и, (х, {), иА (х, 0)Г, Т- знак транспонирования, х е Яг+ = {х = (Хр^);-«) < хх < оо,0 < х2 < оо}; I > 0. Здесь их(х,{) и £/2(х,0 горизонтальная (вдоль оси Ох,) и вертикальная ( вдоль оси Ох2) составляющие скорости движения частицы жидкости в точке х в момент времени t, С/З(х,0-отклонение плотности от стационарной в точке х в момент времени I, £/4(подавление жидкости в точке х в момент времени у- коэффициент вязкости жидкости, со0 - частота Вейсяля - Брента, g - ускорение свободного падения.

Систему (36) дополним начальными условиями и2(х{,х2,+0) = 0;

1, если хх + (х2 - 2Я)2 < Я2; 0, если х2х+{х2-1К?>Кг

U3(xx,x2,+V) = w0{x) =

37) и граничными условиями

Ux{xx,+0,0 = 0; U4(xx,+0,t) = 0 .

Теорема 5.1. Компоненты £/.(*, 0,7 = 1,2,4 решения задачи (36)-(38) являются непрерывными равномерно по хеД2,0</<Г ограниченными функциями при любом Т> 0. Компонента из(х^) пред ставима в виде иг{х,() = ц>0(х) + и*г{х,{), где разрывная функция и^х) определена в (37), а функция С/З*(х,0 непрерывна и равномерно по xeR2,0<t<T ограничена при любом Т > 0.

Рассмотрим начально-краевую задачу в полупространстве хх е В.\х2 > 0,* > 0 для системы уравнений (36) с начальными условиями

С/,(*рх2,+ 0) = 0,; = 1,2,3 (39) и граничными условиями +0,0 = 0, £/4(*р+ 0,0 = дЩщ(Х1), (40) где 1[11](д;1)- характеристическая функция отрезка [-1,1].

Задача (36),(39),(40) может быть сведена к обобщенной задаче Коши:

АУ = Г1= (0,2д^)1111](х1)^(х2),0,0)т. (41)

Здесь х1}Х2,0,Х2>0 . и.(х1,х2, Цх2>0 [-и.(х1,-х2,0,х2<0'-] } д:,0 = 0 при I < 0 для всех х е Я2.

Условие 5.1. Для функции /(0 конечен интеграл оо

1+о|доИ=с5>1<оо. о

Теорема 5.2. Пусть #(0,^(0 6 (?(0) = 0 и выполнено условие 5.1 для функций ^(О^ЧО- Тогда существует обобщенное решение уравнения (41), которое представимо в виде 0 + ^,0, (43) где

КМ=Ш тУы (44) иг аг с) л- /2 Ы от с)

KM= 2

Км=m . mds.

71 R2 И

V](x,0 = 0, j = 1,2,3; Jffcr) = Ji-^ÄLД •

Справедливы следующие оценки компонент решения при t +0 у = 1,2;

2(0,«)

Vj°(,t)

Г4'(*,0|<С|;

0,«) 1-0,5

2(0,«) ; 7 = 3,4;

46)

47)

48)

49)

50)

51)

Кроме того, функции (44)-(47) являются непрерывными, равномерно по t>0,xeR2 ограниченными функциями, а функция V4l(x,t) есть непрерывная функция при xl eR\x2 =¿0.

Теорема 5.3. Пусть q(t),q'(t) е 12(0,со), ¿/(0) = 0 и выполнено условие 5.1 для функций q(t),q'(t). Тогда компоненты решения задачи (36),(39),(40) удовлетворяют условиям limi/1(x„x2,0 = 0,; = l,2,3; lim Ul(xl,x2,t) = 0; lim U4(.,x2,.)-q(.)lU] I =0.

Эти утверждения доказаны в пятой главе и опубликованы в [21] - [22], [28]-[30].

1. Соболев C.J1. Об одной новой задаче математической физики / C.JI. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. Математика. - 1954. - Т. 18, №1. - С. 350.

2. Соболев C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / C.JI. Соболев // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1960. - №3. - С. 20-55.

3. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С. JI. Соболева / P.A. Александрян // Тр. / Моск. Матем. о-во. 1960. - Т. 9. - С. 455-505.

4. Зеленяк Т.И. Об асимптотике решений одной смешанной задачи / Т.И. Зеленяк // Диф. уравнения. 1966. - Т. 2, №1. - С. 47-64.

5. Масленникова В.Н. Оценки в Lp и асимптотика при t-> со решениязадачи Коши для системы С. JI. Соболева / В.Н. Масленникова // Тр. / МИ АН СССР. 1968.-Т. 103.-С. 117-141.

6. Масленникова В.Н. Системы Соболева в случае двух пространственных переменных / В.Н. Масленников, М.Е. Боговский // Докл. АН СССР. -1975.-Т. 221,№3.-С. 563-566.

7. Масленникова В.Н. О системах Соболева с тремя пространственными переменными / В.Н. Масленникова, М.Е. Боговский // Дифференциальные уравнения с частными производными : тр. семинара C.JI. Соболева. Новосибирск, 1976. - С. 49-68.

8. Маслов В.П. О существовании убывающего при ¿-»со решения уравнения Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области / В.П. Маслов // Сиб. мат. журн. 1968. - Т. IX, №6.-С. 1351-1360.

9. Глушко A.B. Однозначная разрешимость задачи Коши для уравнений динамики вязкой жидкости / A.B. Глушко, C.JI. Ляхова // Труды математического факультета : сб. науч. тр. / Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1999.-С. 35-39.

10. Федорюк М.В. Метод перевала / М.В. Федорюк. М.: Наука, 1977. - 368 с.

11. Баева С.А. Задача Коши для уравнений динамики вязкой жидкости с начальными данными, разрывными на границе выпуклого компакта / С.А. Баева ; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2004. - 58 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.01.04, № 49-В 2004.

12. Баева С.А. Разрешимость задачи Коши с разрывными начальными условиями, моделирующей колебания вязкой сжимаемой жидкости / С.А. Баева // Воронежская зимняя математическая школа : материалы конф. Воронеж, 2004. - С. 16-17.

13. Баева С.А. Асимптотические при /-»+оо формулы решения начально-краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса в случае разрывного граничного условия / С.А. Баева // Вестн. Воронеж, гос. унта. Сер. Физика, математика. 2004. - № 1. - С. 67-70.

14. Баева С.А. О начально-краевых задачах малых колебаний вязких экспоненциально стратифицированных жидкостей / С.А. Баева, A.B. Глушко // Изв. Вузов. Математика. - 2006. - № 1(524). - С. 13-15.

15. Баева С.А. О динамике разрывов решений в начально краевых задачах малых колебаний вязких экспоненциально-стратифицированных жидкостей / С.А. Баева, A.B. Глушко // Вестн. Елецкого гос. ун-та. Сер. Математика, Физика. - 2004. - Вып. 5. - С. 78-88.

16. Баева С.А. Об одной начально краевой задаче гидродинамики с разрывными граничными условиями /А. В. Глушко, С.А. Баева // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. - 2005. - № 2. - С. 128132.

17. Баева С. А. Начальные и начально краевые задачи гидродинамики с разрывными начальными и граничными условиями / С.А. Баева // Трудыматематического факультета ВГУ / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2006. -С. 7-14.

18. Баева С. А. Оценки решения одной начально краевой задачи гидродинамики с разрывными граничными условиями / С.А. Баева // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна : материалы конф. - Воронеж, 2006. - С. 17-18.