Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Шарнн Евгений Фсдо}ювич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы ц оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск - 2010

1 1 НОЯ 2010

004612567

Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и информатики ФГАОУ ВПО "Северо-Восточный федеральный университет имени М.К.Аммосова"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор Попов Сергей Вячеславович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Пятков Сергей Григорьевич, Югорский государственный университет (г. Ханты-Мансийск), кандидат физико-математических наук, доцент Ошоров Батор Ватусвич, Восточно-Сибирский государственный технологический университет (г. Улан-Удэ).

Ведущая организация: Московский энергетический институт

(Технический университет).

Защита состоится 12 ноября 2010 года в 16:00 часов на заседании диссертационного совета К 212.306.05 при ФГАОУ ВПО "Северо-Восточный федеральный университет имени М.К.Аммосова" по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ссвсро-Восточного федерального университета имени М.К.Аммосова.

Автореферат разослан октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент ' В.Е. Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков. Причиной этому, по-видимому, является, с одной стороны, исключительная практическая важность параболических уравнений, а с другой — то, что их исследование связано с развитием различных разделов математики: теории рядов и интегралов, функционального анализа, теории приближений, теории вероятностей и случайных процессов.

К параболическим уравнениям и системам уравнений приводит математическое описание многих сложных явлений в современном естествознании. Экономикс и технике. Кроме классических задач теплопроводности и диффузии, параболические уравнения и системы встречаются, например, в теории тепло- и массопсрсноса при описании процессов сушки и охлаждения, в теории ядерных цепных реакций при изучении процесса замедления нейтронов, в теории сигналов при макроскопическом описании случайного процесса на выходе радиотехнического устройства, при изучении многих процессов в химической и биологической кинетике и в других задачах.

Краевые задачи с негладкими коэффициентами для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа являются одним из классических объектов исследования. Теории таких задач посвящена, например, монография O.A. Ладыженской.

Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых специальных классов параболических уравнений с разрывными коэффициентами. Краевые задачи для уравнений с разрывными коэффициентами были предметом исследований в работах O.A. Олейник, в которых рассмотрены первая краевая задача и задача Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка и первая краевая задача и задача Коши для общего параболического уравнения с разрывными коэффициентами, при-

чем поверхности разрывов коэффициентов параболического уравнения могут зависеть от времени.

В дальнейшем, решению различных краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами были посвящены работы Я.А. Ройтбсрга и З.Г. Шсфтсля, H.H. Уральцсвой, А.Х. Гудиева, Ю.А. Алхутова и И.Т. Мамс-дова и других. Из последних работ, посвященных исследованиям разрешимости краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, хотелось бы отметить работы И.Х. Керсфовой, А.Р. Алиева, М.Ф. Чсрсиовой, Э.А. Гасымова.

Также в работе рассмотрена краевая задача для параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Первыми работами, посвященными уравнениям параболического типа с меняющимся направлением времени, по-видимому, были работы М. Жсврс. Имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных авторов, в которых поставлены и исследованы краевые задачи для такого вида уравнений. Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением времени. Простейшей моделью является уравнение вида

g(x)ut + Lu = /, д(х) = sgn х, (1)

где L — эллиптический оператор второго порядка. Отметим, что граничные условия для уравнений вида (1) задают на части верхней и части нижней границы, и они представляют собой, по сути, одно граничное условие. Подобные задачи выходят за рамки общих вопросов теории граничных задач. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А. Тсрсснова. A.M. Нахушева, И.Е. Егорова, A.A. Ксрсфова, Н.В. Киелова, И.М. Петрушко, С.Г. Пяткова. С.Г. Подгасва, Т.Д. Джурасва, В.В. Катышева, Х.Х. Ахмсдова, М.С. Боуснди, П. Грисварда, К.Д. Пагани, Г. Талснти, О. Арены и других авторов. В последнее время активно изучались схожие задачи в работах Попова C.B., Пинигиниой Н.Р., Потаповой C.B., Туласынова М.С.

Помимо начально-краевых задач в диссертации для линейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами рассмотрен вопрос разрешимости нелокальной краевой задачи дифракции и связанной с ней обратной коэффициентной задачи. Ранее задачи в такой постановке не рассматривались.

Нелокальные краевые задачи — это задачи, в которых вместо задания значений решения пли (и) его производных на фиксированной части границы задастся связь этих значений со значениями тех же или иных функций на других внутренних или граничных многообразиях.

В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, их важными приложениями.

Впервые внимание к задачам с нелокальными условиями для параболических и для гиперболических уравнений было привлечено в работах Дж.Кэн-нона и Л.И.Камынина. Впоследствии в работах ряда авторов эта проблема получила дальнейшее развитие.

Задачи с нелокальными условиями для параболических уравнений активно изучаются в последнее время. Большую роль в развитии этого направления сыграли статьи A.B. Бнцадзс и A.A. Самарского, в которых были предложены новые постановки задач для уравнений в частных производных. A.M. Нахушсв исследовал нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типа. Подобные задачи в классах суммируемых функций с общими нелокальными по времени условиями были изучены в работах A.A. Ксрсфова, J. Chabrowski, B.B. Шсдухина, Г.М. Лнбсрмана, А.И. Кожанова. и др.

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения вместе с решением неизвестных коэффициентов дифференциальных уравнений, неизвестной правой части, неизвестных граничных или начальных условий. Неизвестные элементы начально-краевых

задач определяются по некоторой дополнительной информации. Такой информацией служат различного рода условия переопределения. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии, гсотомографии, диагностики плазмы, квантовой теории рассеяния, подводной акустики, квазиоптики, дифракции, теории колебаний молекул, гсорадиолокации приводят к обратным задачам, что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики и современного математического моделирования.

Теория обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений. Публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине 20-го века. Они были связаны с физикой, геофзикой, астрономией и другими областями естествознания. В 1943 году А.Н. Тихонов указал на практическую важность подобных задач и возможность устойчивого их решения. В 50-60-х годах появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привели к ней внимание многих математиков.

В настоящее время теория обратных задач активно развивается представителями целого ряда отечественных математических школ. Корректность обратных задач для параболических уравнений, а также краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении о независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственных переменных изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, Е.Г. Саватесва, А.И. Прилспко, В.В. Васина, А.И. Кожанова, Ю.Я. Белова, С.И. Кабанихина, Н.И. Иванчова, И.А. Калис-ва> М.М. Сабитовой, В.Е. Федорова, Д.С. Ткачснко, С.Г. Пяткова, Н.Л. Аба-шссвой и других. Целый ряд результатов в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, Франции, Японии и другие.

Цель диссертационной работы — доказательство теорем существования и единственности в пространствах Гсльдсра для параболических уравнений 2п-го порядка с разрывными коэффициентами; доказательство разрешимости в пространствах Соболева нелокальной задачи дифракции, а также связанной с ней обратной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых изучение краевых задач сводится к исследованию систем интегральных уравнений. Для доказательства разрешимости нелокальных и обратных задач применен метод продолжения по параметру.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: поставлены и исследованы краевые задачи в гсльдсровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами с общими условиями склеивания, найдены и явно представлены необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач; доказана безусловная разрешимость исходной задачи; доказана теорема единственности и существования решения краевой задачи для параболического уравнения 2и-го порядка с разрывными коэффициентами; доказана разрешимость нелокальной задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Область приложений полученных результатов — краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых крас-

BbLX задач для уравнений с разрывными коэффициентами, в том числе и для уравнений с меняющимся направлением времени.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре "Уравнения переменного типа" профессора С.В. Попова (кафедра математического анализа ИМИ СВФУ), на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" профессора И.Е. Егорова (ФГНУ "НИИ математики при ЯГУ"), на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007), на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2005, 2007), на IV и V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск. 2004, 2007), на Всероссийской школс-ссминарс и Всероссийской научной конференции для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ" (Якутск, 2005, 2006. 2007, 2008), на XLIII и XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно- технический прогресс" (Новосибирск, 2005, 2006), на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2007' (Москва, 2007), на Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009), на Международной конференции по математическому моделированию "Mathematical modeling" (КНР, г. Лнньи, 2010), на научном семинаре лаборатории обратных и некорректных задач ИМ СО РАН под руководством профессора Ю.Е. Аниконова (Новосибирск, 2010), а также на научном семинаре "Неклассические уравнения математической физики" ИМ СО РАН под руководством профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2010).

Работа выполнена при финансовой поддержке следующих грантов: гранта ректора ЯГУ (2005 г.); гранта НП МО РФ "Университеты России" (20022005 гг.); гранта ИМИ ЯГУ для студентов и магистрантов (2006 г.); гранта

ФЦНТП "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 2002-2006 годы по мероприятию 1.9 "Проведение молодыми учеными научных исследований по приоритетным направлениям науки, высоких технологий и образования" (2006 г.); грантов ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг. по мероприятию 1.3.1 "Проведение научных исследований молодыми учеными-кандидатами наук" (2009-2010 гг.) и по лоту "Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области математики" мероприятия 1.1; гранта Президента РС(Я) (2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах: 7 статьях и 15 тезисах докладов [1]-[22].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 118 страниц. Список цитируемой литературы содержит 227 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, в кратком виде приводится содержание работы.

Первая глава носит вспомогательный характер, состоит из трех параграфов. В первом параграфе даются определения и некоторые свойства гсльдс-ровских и соболсвских пространств, во втором параграфе приводятся некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений. В третьем параграфе приведены общие понятия о нелокальных и обратных задачах для уравнений с частными производными.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, доказываются теоремы существования и единственности решения краевых задач для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами.

Пусть Q = fi х (0,Т), где П = EL Q± = П± х (0,Т), fi+ = Q П {х > 0} и П~ = Пп{г < 0}.

В §2.1 и §2.2 исследована краевая задача для уравнения

f(x)ut = ихх. (2)

Пусть в уравнении (2) функция f(x) = А, х > 0 и f{x) = В, х < 0, где А, В - положительные постоянные. Известно, что решение уравнения (2) в классе ограниченных функций будет единственным при выполнении начальных условий

Г и(х, 0) = ух (х), х£П+, ^

[ -и(х, 0) = ср2 (ж), z€fi~, и условий непрерывности производных до 1-го порядка.

Решение уравнения (2) ищется из пространства Гсльдсра р =

2Z+7, 0 < 7 < 1, которое удовлетворяет полной матрице условий склеивания:

\ W,(+0,i) ) V 021 022 У V Ux( — Q,t) ) '

где ау — элементы невырожденной матрицы, Z > 1 — целое число.

В §2.1 поставлена и исследована следующая задача: в области Q найти функцию и(х, t) удовлетворяющую уравнению (2), для которой выполняются условия (3), (4).

Результатом настоящего параграфа является явное описание условий разрешимости краевой задачи (2)-(4). Условия разрешимости будут иметь вид:

= 0 {s — 1,. ■., 21), (5)

где Ls — линейные интегральные операторы от <pi(x) и ц>2{х)> выписываемые в явной форме.

Методом доказательства является метод параболических потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению систем интегральных уравнений. Этот метод, развитый в работах Е.Е. Леви, Е. Хольмгрена,

ю

М. Жсврс, Г.М. Мюнтца, А.Н. Тихонова, В.П. Михайлова, Б. Пнни, Л. Кат-табрига, O.A. Ладыженской, В.А. Солонникова и других, является одним из эффективных средств доказательства теоремы существования решения для параболических уравнений.

Основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть ^(х) € Н»(П+), <¿>2(я) € В"(П~), р = 21 + 7, О < 7 < 1, I > 1 - целое число, и выполнены следующие условия:

а11а22 ~ а12°21 Ф 0, «11022 + а12а21 > 0, йцО^! > 0, 012^22 ^ 0- (6)

Тогда

1) при ау2 = 0, ац\/~А + ayi\/~B /0 « выполнении 21 + 1 условий вида (5),

2) при а 12 ф 0 и выполнении 21 условий (5)

существует единственное решение краевой задачи (2)—(4) из пространства

Дифференциальные свойства решения рассмотренной задачи раскрывает следующая теорема 2.

Теорема 2. Пусть ipi(x) £ Hpl(Q+), ч>ъ{х) £ H,b(Q~) и выполнены, условия (6) при ai2 = 0, ацу/Ä + а22у/В ф 0. Тогда существует единственное решение u(x,t) £ Нl'jiQ^) (р ~ min{pi,p2}) краевой задачи (2)-(4) при выполнении,

1) одного условия вида (5), если 0 < р < 1. При эт,ом

uT{x,t) £ L2{Q), uxx{x,t) £ Li(Q);

2) двух условий вида (5), есл,и 1 <р < 2. При этом

u:rx{x,t), щ{хЛ) £ L2(Q):

3) трех условий вида (5), если 2 < р < 3. При этом

uXT(x,t), ut(x,t) £ Нl'f(Q) (0 < 7 < 1/2). 11

Следствие 1. Пусть <pi(x) G Я2(П+), щ{х) £ Н2(П~) и выполнены условия теоремы 2. Тогда существует, единственное решение u(x,t) € Cj'^Q*) краевой задачи (2)-(4) при выполнении трех условий вида (5) и при этан ихх(х,t), ut{x,t) е C(Q).

§2.2 состоит из двух частсй, в которых доказывается безусловная разрешимость исследуемой краевой задачи (2)-(4) в области Q. Путем расширения области решения достигается уменьшение количества условий разрешимости исходной задачи, также определяется область, в которой достигается безусловная разрешимость. Доказаны следующие две теоремы.

Теорема 3. Пусть <pi(x) G //1+7(П+), ^¿(х) G i/1+7(Q~) и выполнены условия, (6) при а 12 ф 0. Тогда при выполнении двух условий вида (5) существует единст,венное релиеиие краевой задачи (2) — (4) из пространства

Теорема 4. Пусть ifi(x) € И^(П+), <р2{х) е \У*(П~), 0 < 7 < Тогда существует единственное решение краевой задачи (2)—(4) из пространства

HiiiQ^nc^m.

В §2.3 исследована начально-краевая задача для уравнения теплопроводности 2п-го порядка: найти решение и(х, t) уравнения

я2п

+ = (7)

при выполнении условий склеивания

, 0 < t < T (k = 0,l,...,2n- 1) (8)

з-= + 0

; и начальных условий

и(х,0) = <pi(x), и(х,0) = <p2(z), х 6 fi-, (9)

: где fi{x), ^2(2;) — заданные функции.

Пусть функция î{x) > 0 терпит разрыв первого рода при х = 0, для простоты, возьмем f(x) — А при х € П+ и f(x) — В при х € fi-, где А, В -. положительные постоянные.

дки дхк

:г— —0

дки дхк

Пусть выполнено условие на коэффициенты А и В:

|А7\А)А2{В) + А^А.т ф 0, (10)

где Л'> — квадратные невырожденные матрицы п-го порядка, которые явно определяются в ходе доказательства теоремы.

Методом параболических потенциалов простого слоя с неизвестными плотностями построенными при помощи фундаментального решения и элементарных решений Пшш-Каттабрига, поставленная задача сводится к решению системы 2п уравнений

Л2(А)7?(1) - А2(В)$(1) =

где ,7ч(£), ~ заданные интегральные операторы от <¿>1 и (р2.

Если решение поставленной задачи разыскивать из пространства Гсльдера ¡¿р-р/'2"(д±). р — 2п1+^, 0 < 7 < 1, то для краевой задачи (7)-(9) справедлива теорема 5.

Теорема 5. Пусть (р\(х) € Н''(П+), <р2(х) € НР(П~) и выполнено условие (10). Тогда при выполнении 2п1+1 условий вида (5) существует сдипственное решение краевой ¿задачи (7)-(9) из пространства Щ'р/2п(^±).

В §2.4 исследована начально-краевая задача для параболического уравнения с меняющимся направлением времени

щ-^пх -ихх = /(х,1), (11)

при граничных условиях

0) = х > 0; и(х,Т) = <рт(х), х < 0; (12)

ы(+0,£) = и(-0,4 иД+0,£) = ыг(-0,£). (13)

Доказываются теорема и следствие, в которых уточняются теоремы разрешимости краевой задачи (11)—(13), полученные ранее в работах С.А. Терсенова и Н.В. Кислова.

Теорема 6. Пусть щ(х) <Е Яа(П+), <рТ{х) е р = тт{а,/3} €

(1;2), /(х,Ь) € то при выполнении двух условий вида (5) существу-

ет, единственное решение краевой задачи (11)—(13) и(х,Ь) е П'^'Ю:) при этом ихх(х,1), щ(х,Ь) 6 Ь'2{СЦ).

Следствие 2. Пусть щ{х) € Я2(П+), € Я2(П~), /(я,4) = 0, то

при выполнимости двух условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (11)—(13) и(х,Ь) € Сх'^ф*), туш этом ихх(х,1),щ(х,1) £

ст

Третья глава посвящена исследованию нелокальной краевой задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. В §3.1 рассматривается следующая нелокальная задача: найти функцию и(х,<), являющуюся в прямоугольнике <3 = П х (О,!/'), П = [—1; 1] решением уравнения

¿и = /(М), (14)

Щ ~ dxuxx + ci(x, t)u, х < 0, f fi(x, t), x < О,

f(x,t) — <

ut - d2Uix + c2(x, t)u, x > 0, [ fz(x, t), x > 0,

di > 0 — const,, i = 1, 2, и такую, что для нее выполняются условия

w(-l,i) = u(l,i) = 0, (15)

| u(-0,i) = u(+0,f), (16)

и{х, 0) = a(xju(x, Т) + щ(х). (17)

С помощью метода продолжения по параметру и принципа неподвижной точки Шаудсра доказана теорема существования и единственности решения нелокальной задачи (14)—(17).

Определим пространства V(} и Ц:

V0 = {v{x,t) : v{x,t) € L2(0,7'; H'|(Q)) n ЫО/i'; IV ¿(П)), vt(x, t) € L2{Q), dtV^-0, t) = c/2Wr(+0, t)}.

Ц = {v(x,t) : v{x,t) e Vo, €

Теорема 7. Пусть выполняются условия

ci{x,t) > ¿1 > 0, х £ [-1,0], t е [0,Г], c2(x,t) > ¿2 > 0, хе [0,1], t € [0,Т], (18)

С1(х,£) б Ы<Э~), с2(Х,£) е

м пусть

а(х) S W ^(П), |а(х)| <а0<1. (19)

Тогда дм любой функции f(x,t) из простра,иства L^iff) и любой функции

о

щ(х) из простра,нст,ва W 2(П), такой что щ(—1) = uo(l) = 0, мо(—0,£) = щ(+0,(). diUo.r(—0,i) — d2Uoj-(+0,1), кра.евая задача (14)—(17) имеет единственное решение u(x,t), принадлежащее пространству Vq.

В §3.2 установлено, что обратная коэффициентная задача: найти функции u(x,t), q(x) связанные в прямоугольнике Q уравнением

ut —LiU +q(x)u = f(x,t), (20)

где

Г dlUxx, X < 0, Г fi(x,t), х<0,

Liu = < j{x,t) = < di, a2 > ü — const,

[ d2uxx, x > 0, [ f2(x,t), x > 0,

при выполнении для функции и(х, t) следующих условий:

«(-м) = vi*). u{i,t) = m, (2i)

r.u(-o,i) = «(+o,i),

\ diux(-0,t) = d2ux(+0,t),

и(х,0) = щ(х), (23)

u(x,T) = щ(х)-, (24)

также имеет единственное решение в пространстве V^.

Теорема 8. Пусть выполнены условия

K(x)| > ко > 0, х € П, а(х)>а0>0, |/3(х)| < /30 > О, х € П, а(х) е И/ ^(Q), Ь(х) € |а(х)| < а0 < 1, х € О,

+ ^ <1, Дх < 1, А'о < Л/о.

ТЬгЭа обрат,пая задача (20)—(24) имеет, решение {и(х, t), <?(х)}, u(x,t) € Vi, <?(x) € LX(Q), для любых функций f(x, t), щ(х),щ{х), ¡p(t) и ф(1) таких, что f(x,t) e L-Ш ft(x,t) е L2{Q), <p{t) € WfCfO,77), ^(i) € 1УЦ[0,Т]), ы„(х) € W23(fi), И1(х) € И'|(П), «о(-1) - ¥>(0), uo(l) = Ф(0), щ(~ 1) = ^(T), ui(l) = ф{Т), «о(-0) = «о(+0), di«or(-0) = <*2«о*(+0), «i(-0) = t/iC+0),

dlUix{—0) = (¿2и1т(+0).

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Шарин, Е.Ф. Обратная коэффициентная задачи и связанная с ней нелокальная задача для параболического уравнения с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Математические заметки ЯГУ. Т. 17, Вып. 1. - Якутск, 2010. - С. 154-173.

[2] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // VII Лаврснтьсвскис чтения: Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция - математика, механика и физика: Сборник статей. Том 1,- Якутск, 2003. С. 149-153.

[3] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин /'/ Материалы XLII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / НГУ. Новосибирск, 2004. С. 55-56.

[4] Шарин, Е.Ф. Гсльдсровскис классы решений параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф, Шарин // IV Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. / Под ред. И.Е. Егорова.- Якутск: Изд-во ГУ "РОНПО", 2004. С. 49-50.

[5] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // VIII Лаврснтьсвскис чтения: Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция - математика, механика и физика: Сборник статей. Том 1- Якутск, 2004. С. 66-67.

[6] Шарин, Е.Ф. Гсльдсровскис классы решений параболических уравнений с полной матрицей условий сопряжения / Е.Ф. Шарин // Материалы XLIII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / НГУ. Новосибирск, 2005. С.55-56.

[7] Шарин, Е.Ф. Разрешимость краевых задач для параболических уравнений с полной матрицей условий сопряжения / Е.Ф. Шарин // IX Лаврентьев-ские чтения: Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция -математика, механика и физика: Сб. статей. Том 1.- Якутск, 2005. С. 55-59.

[8] Шарин, Е.Ф. Безусловная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Математические заметки ЯГУ. Т. 12, вып. 1. Якутск, 2005. С. 134-138.

[9] Шарин, Е.Ф. Гсльдсровскис классы решений для параболических уравнений с полной матрицей условий сопряжения / Е.Ф. Шарин // Труды МНСК "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. С. 193-198.

[10] Шарин, Е.Ф. Разрешимость параболических краевых задач с полной матрицей условий сопряжения / Е.Ф. Шарин // Математические заметки ЯГУ. Т. 12, вып. 2. Якутск, 2005. С. 109-115.

[11] Шарин, Е.Ф. О разрешимости параболических краевых задач с разрывными коэффициентами j Е.Ф. Шарин // Всероссийская научная конференция "Информационные технологии в науке, образовании и экономике";

Тез. докл. Часть I. / Якутск: РИЦ "Офсет", 2005. - С. 92.

[12] Шарли, Е.Ф. О гладкости решений краевых задач для уравнения теплопроводности с негладкими начальными функциями / Е.Ф. Шарнн /'/' Международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ, 2007. - С. 290.

[13] Шарил, Е.Ф. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с разрывными начальными функциями / Е.Ф. Шарин // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа (Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007 г.): Тезисы докладов / Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2007. -С. 378.

[14] Шарин, Е.Ф. Краевая задача для параболического уравнения четвертого порядка с разрывными начальными функциями / Е.Ф. Шарин // Всероссийская научная конференция "Информационные технологии в науке, образовании и экономике"; Тез. докл. Часть 2. / Якутск: Филиал Изд-ва ЯГУ при ИМИ ЯГУ, 2007. С. 85-86.

[15] Шарин, Е.Ф. Краевая задача для уравнения теплопроводности с разрывными начальными функциями / Е.Ф. Шарин // V Международная конференция по математическому моделированию, посвященная 75-летию со дня рождения академика В.Н. Монахова: Тез. докл. / Под ред. И.Е. Егорова. -Якутск: РИЦ "Офсет", 2007. - С. 52-53.

[16] Шарин, Е.Ф. Разрешимость краевых задач для параболических уравнений 2тг-го порядка с разрывными начальными функциями / Е.Ф. Шарин // VI Всероссийская школа-ссминар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка"; Тез.докл. / Якутск: Филиал Изд-ва ЯГУ при ИМИ ЯГУ, 2008. С. 45-46.

[17] Шарин, Е.Ф. Разрешимость краевых задач для параболических урав-

нений с разрывными начальными функциями и меняющимся направлением времени / Е.Ф. Шарин // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 100-лстию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 5-12 октября 2008 г.): Тез. докладов / Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2008. С. 235.

[18] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с разрывными начальными функциями и с меняющимся направлением эволюции / Е.Ф. Шарин, С.В. Попов // Математические заметки ЯГУ. Т. 15, Вып. 1. -Якутск, 2008. С. 91-105.

[19] Шарин, Е.Ф. Об одной задаче для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Материалы международной конференции, посвященной 70-лстню ректора МГУ академика В.А. Садовни-чего. - М.: Изд-во "Университетская книга", 2009. - С. 234.

[20] Шарин, Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени / С.В. Попов, С.В. Потапова, Е.Ф. Шарин // Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение. Всероссийская конференция, приуроченная к 90-лстию академика Л.В. Овсянникова (Новосибирск, 23-28 апреля 2009 г.): Тез. докладов / Ин-т гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. Новосибирск, 2009. С. 116-117.

[21] Шарин, Е.Ф. Об одной задаче для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами / Е.Ф. Шарин // Теория и числснныс методы решения обратных и некорректных задач. Молодежная международная научная школа-конференция (Новосибирск, 10-20 августа 2009 г.): Тез. Докладов / Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2009. - С. 114.

[22] Sharin, E.F. Inverse problem for parabolic equation with discontinuous coefficients / E.F. Sharin // International Young Scientists Conference on Mathematical Modeling. Linyi, China, May, 24-25, 2010. Abstracts. / Yakutsk: IMI YSU, 2010. - pp. 48-50.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

автореферат

ШАРИН Евгений Федорович

Подписано в печать 08.10.2010 г. Формат 60x84/16. Исч.л. 1,0- УЧ.-ИЭД. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 25.

Отпечатано в филиале издательства СВФУ, Институт математики и информатики С13ФУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковското, 48. Тел.: (4112) 406833

введение з

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1.1 Соболевские, Гельдеровские пространства.

§1.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений

§1.3 Некоторые вспомогательные теоремы из теории нелокальных и обратных задач.

2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§2.1 Уравнение второго порядка с разрывными коэффициентами с полной матрицей условий склеивания.

§2.2 Безусловная разрешимость при а12 Ф 0.

§2.3 Уравнение 2п-го порядка с разрывными коэффициентами

§2.4 Уравнение второго порядка с меняющимся направлением времени

3. НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА И СВЯЗАННАЯ С НЕЙ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§3.1 Нелокальная задача дифракции.

§3.2 Обратная коэффициентная задача.

Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков. Причиной этому, по-видимому, является, с одной стороны, исключительная практическая важность параболических уравнений, а с другой — то. что их исследование связано с развитием различных разделов математики: теории рядов и интегралов, функционального анализа, теории приближений, теории вероятностей и случайных процессов.

К параболическим уравнениям и системам уравнений приводит математическое описание многих сложных явлений в современном естествознании, экономике и технике. Кроме классических задач теплопроводности и диффузии, параболические уравнения и системы встречаются, например, в теории тепло- и массопереноса при описании процессов сушки и охлаждения, в теории ядерных цепных реакций при изучении процесса замедления нейтронов, в теории сигналов при макроскопическом описании случайного процесса па выходе радиотехнического устройства, при изучении многих процессов в химической и биологической кинетике и в других задачах (об этом см. [72, 36] и приведенную там литературу).

Краевые задачи с негладкими коэффициентами для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа являются одним из классических объектов исследования. Теории таких задач посвящена, например, монография O.A. Ладыженской [67].

Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых специальных классов параболических уравнений с разрывными коэффициентами.

Краевые задачи для уравнений с разрывными коэффициентами были предметом исследований в работах O.A. Олейник [86, 87]. В указанных работах рассмотрены первая краевая задача и задача Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка и первая краевая задача и задача Ко-ши для общего параболического уравнения с разрывными: коэффициентами, причем поверхности разрывов коэффициентов параболического уравнения могут зависеть от времени. Решение этих задач для уравнений с разрывными коэффициентами получены как предел решений соответствующих задач для уравнений с гладкими коэффициентами, приближающимися к заданным разрывным.

Использование интегральных априорных оценок решений эллиптических и параболических уравнений и применение теорем вложения С.М. Никольского позволяют рассмотреть эти задачи в общем виде.

В дальнейшем, решению различных краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами были посвящены работы Я.А. Ройтберга, З.Г. Шефтеля [126, 147], H.H. Уралыдевой [139], А.Х. Гудиева [28], Ю.А. Ал-хутова, И.Т. Мамедова [4] и других. В работах [126, 147] изучались граничные задачи для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, доказаны теоремы существования и единственности при выполнении некоторых условий, налагаемых на правые части.

Из последних работ, посвященных исследованиям разрешимости краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, хотелось бы отметить работы И.Х. Керефовой [52], А.Р. Алиева [3], М.Ф. Чсреповой [141, 142], Э.А. Гасымова [26].

Ранее, в работах [154, 159, 161, 173, 56, 190, 134] были изучены корректные краевые задачи для модельных уравнений вида

But = Lu + f, t G (0,Г), (Т< оо), (1) где В, L линейные операторы, действующие в комплексном гильбертовом пространстве Е со скалярным произведением (-,-). При исследовании вопросов разрешимости, единственности и устойчивости решений возникают ряд проблем, связанных в основном с тем фактом, что на данном временном интервале решение данной задачи не всегда существует. Как правило, оно существует (например, решение первой начально-краевой задачи), но на некотором малом временном промежутке, а далее может разрушиться в том смысле, что решение или его производные могут обратиться в оо. Примером может служить тот случай, когда коэффициенты уравнения на какой-то поверхности в области задания уравнения плохо себя ведут, например, обращаются в оо. Другими примерами, не очень хороших сингулярных параболических задач служат параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Это уравнения вида д(х, t)ut + L{x, i, Dx)u = f(x, i), (x, t) e Q = G x (О, T) (T < oo), (2) где L эллиптический оператор порядка 2m, определенный в некоторой области G С Rn и заданный некоторым дифференциальным выражением

Ьи- an(x,t)Dau а\<2т и набором краевых условий вида

BjU\s = £ М*, t)Dau\s, S — dG x (0, T). (3) q\<rrij

В большинстве работ рассматривались следующие краевые условия при i = 0 и i = Т: u\t=o = u0(x) (xeG+(0)), u\t=T = uT(x) (leG-(r)), (4) где G+(0) = {ж e G : g(x, 0) > 0}, G~{T) = {x E G : g{x,T) < 0}.

Параболические уравнения с меняющимся направлением времени и задачи вида (2)-(4) часто возникают в физике. Приведем ряд работ, где рассматривались различные физические процессы, описываемые этими уравнениями: теория переноса, рассеивание электронов [159, 181, 163, 177, 164], осцилляция плазмы [167], стационарные волны в плазме [205], кинетическая теория [170], диффузионные процессы и процессы переноса, уравнение Фоккера-Планка, Крамерса [158]—[162], [182], [204], теория вероятностей процессов ОЬгпзует-иЫепЬеск [191], перенос радиации [202], уравнения гидродинамики, теория фильтрации [21, 74, 75, 76, 77, 148, 70].

Первыми работами, посвященными уравнениям параболического типа с меняющимся направлением времени, по-видимому, были работы М. Жевре [173, 174]. Он рассматривал уравнение вида sgna; \х\рщ — а(х, €)ихх + Ь(х, + с(гс, €)и + /, где р > 0, а(х, Ь) > 5 > 0, показал, что при некоторых предположениях это уравнение есть каноническая форма параболического уравнения типа

А{х, = а(х, £)ихх + Ь(х, €)их + с(х, 1)и + /, где коэффициент А(х^) меняет знак, рассмотрел вопрос о единственности решений вышеприведенной краевой задачи (2)-(4) (принцип максимума) и свел вопрос о ее разрешимости к вопросу о разрешимости интегрального уравнения типа Абеля. В связи с этим отметим, что задача вида (2)-(4) в ряде работ была названа задачей Жевре.

После долгого перерыва наиболее интенсивно уравнения вида (2) начали исследоваться в 60-70 годы. В работе М.С. Бауэнди и П. Гривара [154] рассмотрено параболическое уравнение с меняющимся направлением времени д2ту

ХЩ + = е (а' х < 0 < 6, с краевыми условиями дки 0, к = 0, т — 1,

Vх х=а,Ь и(х,0) = и.(){х) при х > 0, и(х,Т) = ит{х) при х < 0.

Применение вариационных методов (проекционной теоремы Лионса) позволило им доказать существование и единственность слабого решения.

С.Д. Пагани и Г. Таленти [190] исследовали уравнение sgn xut = ихх - ки + /, (x,t) е (-1,1) х (0, оо).

С помощью теории интегральных уравнений Вииера-Хопфа доказаны теоремы существования классического (регулярного) решения этого уравнения.

С.А. Терсеновым (80-90 годы) в ряде работ исследовалось, в частности, модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением времени sgnхщ = ихх, (x,t) е (-1,1) х (0,Т), и ряд других модельных уравнений которые с помощью теории потенциала редуцировались к системе сингулярных интегральных уравнений. Как известно, в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных данных без дополнительных условий полностью обеспечивает принадлежность решения пространствам Гельдера . Но, в случае уравнений с меняющимся направлением времени, гладкость начальных и граничных данных далеко не обеспечивает принадлежность решения этим пространствам. С.А. Терсеновым в простейших случаях получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в пространствах Нр/\У2 при р > 2. При этом условия ортогональности, которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде.

Далее краевые задачи вида (1), (2) рассматривались в работах C.B. Попова [90j-[105], [195]—[200]. Его работы главным образом посвящены уравнениям вида дп ( дпи\ К(х)щ\\ xut - ) + с(х>*)и = где функции h(x), k(x,t) знакоопределены. Исследовался вопрос о существовании решений краевой задачи (2)-(4) в пространствах Гельдера. Им также, как и С.А. Терсеновым, выписывались условия типа ортогональности, при выполнении которых с повышением гладкости данных задачи повышалась и гладкость решений. Отметим, что в одномерном случае число необходимых условий ортогональности конечно. В то же время в многомерном случае число условий ортогональности (интегрального характера) бесконечно. По-видимому. впервые этот факт был отмечен в работах С.Г. Пяткова [117, 118]. В этих работах С.Г. Пятков исследовал параболическое уравнение с меняющимся направлением времени т Q т д{х)щ = ^ — (dij(ж, t)uXj) + ^ bi(x, t)uXi + с(х, t)u + /(ж, t), i,j = L 1 i=1 где x G П С Rm, t € (О,T) с краевыми условиями (4). Изучены свойства собственных функций соответствующей спектральной задачи, с помощью которых доказана разрешимость краевой задачи. Как упоминалось выше, в работах С. А. Терсенова в случае т = 1 при повышении гладкости данных задачи решение будет гладким при выполнении некоторого конечного числа условий ортогональности. С.Г. Пятковым показано, что в случае т > 1 число условий ортогональности бесконечно. Им доказаны теоремы о безусловном повышении гладкости решений с некоторым весом.

В работе [121] С.Г. Пятковым исследовалось уравнение в частных производных, называемое иногда ультрапараболическим уравнением т п q п

Y^ ki(x, у)иу> = —(Oijíx, y)uXj) + bi(x> + y)u + 2/)' i ¿j=i " 1 ¡—i где x 6 fi С R'Vi/ 6 íli С Шт. Это уравнение при m = 1 входит в класс рассматриваемых уравнений (1). Вариационными методами доказаны теоремы существования и единственности слабого решения. Также показано, что при повышении гладкости данных задачи повышается внутренняя гладкость решения.

Как было отмечено, уравнения вида (2) возникают в теории переноса [176, 167, 170]. Например, уравнение переноса нейтронов при определенных предположениях имеет вид уих(х, у) = а(у)и(х, у) - J К(у, v)u(x, u)du, (x, у) e {-a, a) x (-1,1).

-i

Уравнения такого вида исследовались, например, в работах М. Мохтар-Харуби и X. Латрака [187]—[189]. В частности, они занимались спектральной теорией.

В. Гринберг [175] исследовал систему уравнений, описывающих многогрупповой перенос нейтронов 1 шх(х, у) = £и(ж, у) — С J и(х, v)dv, (х, у) G (—а, а) х (—1,1),

-1 где и = (ui,., ип)т: Е - диагональная положительная матрица и С = \\cij\\i,j=Tin постоянная симметрическая матрица. Он рассматривал случай det{T, — С) ф 0. Используя функциональный подход, в частности, теорию пространств с индефинитной метрикой, он представил решение системы явно.

Также в теории переноса для описания процесса рассеивания электронов предлагается следующее уравнение ди д ди

Это уравнение и связанная с ним спектральная задача рассматривалась, например, в работах Р. Билса [159], X. Капера, Г. Леккеркеркера, А. Зеттла [181]. Р. Билсом были доказаны теоремы об однозначной разрешимости краевых задач (4) для этого уравнения.

В работе М. Клауса, К.В.М. ван дер Ми и В. Протопопеску [183] даны два эквивалентных метода построения в явном виде решения краевой задачи д ди и{0,/л) = и+(у), если to {у) > 0, и(х>р)\\ь2^а,ъ)=0(1) или 0(1) При X ¥ оо и и(х, удовлетворяет самосопряженным краевым условиям оператора Lh = — {ph'y. Функция uj меняет знак на (о, Ъ) конечное число раз. В класс рассматриваемых ими уравнений входят уравнение рассеивания электронов, уравнение Фоккера-Планка [161]. Первый из предложенных методов основан на разложении по собственным функциям, а второй использует теорию интегральных уравнений типа Винера-Хопфа и факторизацию.

Среди других работ, посвященных исследованиям уравнений вида (2) отметим работы Н.В. Кислова [53]—[56], Х.Х. Ахмедова [11], И.Е. Егорова [29]-[35], Б. Спиглер [204], М. Клаус, К.В.М. ван дер Ми и В. Протопопеску [183], С.Г. Пяткова [114]—[125], [201] Н.Л. Абашеевой [1, 2], Пинигиной Н.Р. [89], Потаповой C.B. [106], Туласынова М.С.

Помимо начально-краевых задач в диссертации для параболических уравнений с разрывными коэффициентами будут рассматриваться нелокальные и обратные задачи.

Нелокальные краевые задачи — это задачи, в которых вместо задания значений решения или (и) его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же или иных функций на других внутренних или граничных многообразиях. Теория нелокальных краевых задач важна и сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными, важна она и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах.

В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, их важными приложениями.

Впервые внимание к задачам с нелокальными условиями для параболических и для гиперболических уравнений было привлечено в работах Дж.Кэннона [165] и Л.И.Камынина [50]. Впоследствии в работах ряда авторов эта проблема получила дальнейшее развитие.

В одномерном случае нелокальные задачи изучали еще А. Sommerfeld [203], Я.Д. Тамаркин [131], М. Picone [192] и др. В двумерном случае одна из первых работ, посвященных нелокальным задачам, принадлежит, по-видимому, Т. Carleman [166], который рассмотрел задачу о нахождении гармонической в ограниченной области функции, удовлетворяющей нелокальному краевому условию, связывающему значения искомой функции в различных точках границы. I

Задачи с нелокальными условиями для параболических уравнений активно изучаются в последнее время. Большую роль в развитии этого направления сыграли статьи A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [19] и A.A. Самарского [130], в которых были предложены новые постановки задач для уравнений в частных производных.

A.M. Нахушев [80]-[85] исследовал нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типа. В предположении обратимости объединенного оператора при неизвестных функциях в нелокальных условиях доказал существования единственного решения нелокальных краевых задач. Для уравнения теплопроводности нелокальные краевые задачи исследованы в работах Н.И. Ионкина [42, 43].

Подобные задачи в классах суммируемых функций с общими нелокальными по времени условиями были изучены в работах A.A. Керефова [51], J. Chabrowski [171, 172], B.B. Шелухина [145, 146], Г.М. Либермана [71], А.И. Кожанова [61]. В работах [172, 71] нелокальное условие имеет наиболее общий характер; в этих работах, как и в работах [51, 171], доказывалось существование решений в классах гладких функций. В работе [61] исследовалась разрешимость краевых задач для параболических уравнений с общим нелокальным условием в классах суммируемых регулярных функций. В работах

145, 146] изучалась разрешимость нелокальной по времени задачи в классах суммируемых функций, но в менее общей постановке, нежели в [51, 171].

В настоящей диссертации рассматривается вопрос разрешимости краевой задачи для линейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами и с нелокальным начальным условием.

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения вместе с решением неизвестных коэффициентов дифференциальных уравнений, неизвестной правой части, неизвестных граничных или начальных условий. Неизвестные элементы начально-краевых задач определяются по некоторой дополнительной информации. Такой информацией служат различного рода условия переопределения. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии, геотомографии, диагностики плазмы, квантовой теории рассеяния, подводной акустики, квазиоптики, дифракции, теории колебаний молекул, георадиолокации приводят к обратным задачам, что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики и современного математического моделирования.

Теория обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений. Публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине 20-го века. Они были связаны с физикой, геофзикой, астрономией и другими областями естествознания. Ж. Адамар в 1902 году [178] сформулировал понятие корректности постановки задач для дифференциальных уравнений. В 1943 году А.Н. Тихонов [132] указал на практическую важность подобных задач и возможность устойчивого их решения. В пятидесятых и шестидесятых годах появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привели к ней внимание многих математиков.

В настоящее время теория обратных задач математической физики активно развивается представителями целого ряда отечественных математических школ. Корректность обратных задач для параболических уравнений, а также краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении о независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственных переменных изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы Ю.Е. Аниконова [6]-[10], [149]—[153], Б.А. Бубнова [5, 22], Е.Г. Саватеева [127]-[129], А.И. Прилепко [ЮГ]—[113], В.В. Васина [23], А.И. Кожанова [59]—[65], [184]—[186], Ю.Я. Белова [13]-[18], [155]-[157], С.И. Кабанихина [45]-[49], Н.И. Иванчова [ЗТ]—[41], [180], И.А. Калиева, М.М. Сабитовой [44], В.Е. Федорова [140], Д.С. Ткаченко [137], С.Г. Пяткова [124], С.Г. Пяткова, Б.Н. Цыбикова [125] и других. Целый ряд результатов в изучении обратных задач получили в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, США, Франции, Японии и другие.

В настоящей диссертации рассматривается вопрос разрешимости обратной коэффициентной задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами. Ранее задачи в такой постановке не рассматривались.

Цель диссертационной работы — доказательство теорем существования и единственности в пространствах Гельдера для параболических уравнений 2п-го порядка с разрывными коэффициентами; доказательство разрешимости в пространствах Соболева нелокальной задачи дифракции, а также связанной с ней обратной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых изучение краевых задач сводится к исследованию систем интегральных уравнений. Для доказательства разрешимости нелокальных и обратных задач применен метод продолжения по параметру.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: поставлены и исследованы краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами с общими условиями склеивания, найдены и явно представлены необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач; доказана безусловная разрешимость исходной задачи; доказана теорема единственности и существования решения краевой задачи для параболического уравнения 2п-го порядка с разрывными коэффициентами; доказана разрешимость нелокальной задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Область приложений полученных результатов — краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные в работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, в том числе и для уравнений с меняющимся направлением времени.

Краткое изложение содержания диссертации

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, в кратком виде приводится содержание работы.

Первая глава носит вспомогательный характер, состоит из трех параграфов. В первом параграфе даются определения и некоторые свойства гельдеровских и соболевских пространств, во втором параграфе приводятся некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений. Изложение в основном соответствует книге [79]. В третьем параграфе приведены основные теоремы и методы доказательства разрешимости нелокальных и обратных задач для уравнений с частными производными.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, доказываются теоремы существования и единственности решения краевых задач для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами.

Пусть С} = £1 х (0,Т), где П = М, ^ = ^ х (0,Т), 0+ - £1 П {х > 0} и = {х < 0}.

Пусть в уравнении (5) функция /(ж) — А, х £ и /(ж) = В, х £ где Л, В - положительные постоянные. Известно [69], что решение уравнения (5) в классе ограниченных функций будет единственным при выполнении начальных условий и(х, 0) = (рг (х), ^ и(х, 0) = (р2(х), х £ и условий непрерывности производных до 1-го порядка.

Решение уравнения (5) ищется из пространства Гельдера Щ'р/2((д±), р = 0 < 7 < 1, которое удовлетворяет полной матрице условий склеивания: где ац — элементы невырожденной матрицы, I > 1 — целое число.

В §2.1 поставлена и исследована следующая задача: в области найти функцию и(х,{) удовлетворяющую уравнению (5), для которой выполняются условия (6), (7).

В §2.1 и §2.2 исследована краевая задача для уравнения х)щ = ихх.

5)

Результатом настоящего параграфа является явное описание условий разрешимости краевой задачи (5)-(7). Условия разрешимости будут иметь вид:

Ls{ifi, ¥2) = 0, (s = 1, 2,., 21), (8) где Ls — линейные интегральные операторы от <ßi(x) и ^{х), выписываемые в явной форме.

Методом доказательства является метод параболических потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению систем интегральных уравнений. Этот метод, развитый в работах Е.Е. Леви, Е. Хольмгрена, М. Жевре, Г.М. Мюнтца, А.Н. Тихонова, В.П. Михайлова, Б. Пини, Л. Кат-табрига, O.A. Ладыженской, В.А. Солонникова и других, является одним из эффективных средств доказательства теоремы существования решения для параболических уравнений.

Основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть 1рг(х) е <р2(ж) € HP(Q~), р = 21 + 7,

О < 7 < 1, ¿>1- целое число, и выполнены следующие условия:

11^22 - 012*221 ф О, «11022 + 0-12(221 > О,

9) аца21 > О, ®12а22 > 0.

Тогда

1) при а\2 = 0, ац\/А + а,22^/~В ф О и выполнении 21 + 1 условий вида (8),

2) при а\2 ф 0 и выполнении 21 условий (8) существует единственное решение краевой задачи (5)-(7) из пространства n™t'2m.

Дифференциальные свойства решения рассмотренной задачи раскрывает следующая теорема 2.

Теорема 2. Пусть tpi{x) G #Pl(Q+), <¿>2 (ж) £ HP2(Q ) и выполнены условия (9) при а\2 = 0, all\/A + <222у/~В ф 0. Тогда существует единственное н решение u(x,t) G Б(Q*) (р = min{pi,p2}) краевой задачи (5)-(7) при выполнении

1) одного условия вида (8), если О < р < 1. При этом ux(x,t) <Е L2(Q), G Zq(Q);

2) двуж условий вида (8), ес/ш 1 < р < 2. При этом uxx(x,t), ut(x,t) € L2(Q)]

3) треж условий вида (8) если 2 < р < 3. При этом uxx{x,t), ut{x,t) Е Hl'hQ) (0 < 7 < 1/2).

Следствие 1. Пусть ^i(x) G Я2(^+), </?г(®) ^ Я2(^~) и выполнены условия теоремы 2. Тогда существует единственное решение u(x,t) G краевой задачи (5)-(7) при выполнении трех условий вида (8) и при этом uxx(x,t), ut{x,t) е C(Q).

§2.2 состоит из двух частей, в которых доказывается безусловная разрешимость исследуемой краевой задачи (5)-(7) в области Q. Путем расширения области решения достигается уменьшение количества условий разрешимости исходной задачи, также определяется область, в которой достигается безусловная разрешимость. Доказаны следующие две теоремы.

Теорема 3. Пусть (pi(x) € #1+7(f2+), ср2(х) в #1+7(П~) и выполнены условия (9) при ai2 ф 0. Тогда при выполнении двух условий вида (8) существует единственное решение краевой задачи (5)-(7) из пространства н1+1 ^(Q*) П С2'1^), 0 < 7 < 1.

Теорема 4. Пусть срг(х) G ср2(х) Е W2(TT), 0 < 7 < Тогда существует единственное решение краевой задачи (5)-(7) из пространства HlliQ^KC^Q*).

В §2.3 исследована начально-краевая задача для уравнения теплопроводности 2п-го порядка: найти решение и(х, ¿) уравнения

Я2 п при выполнении условий склеивания

Л^.Л^М, 0<4<Т(* = 0,1,.,2„-1) (И) охк охк и начальных условий и(х,0) = (р\(х), х 6 0) = жбО", (12) где ^1(^)5 (ж) — заданные функции.

Пусть функция /(ж) > 0 терпит разрыв первого рода при х = 0. Для простоты, возьмем f(x) = А при х £ и /(ж) = В при х £ О", где А, В -положительные постоянные.

Пусть выполнено условие на коэффициенты А и В:

А2\А)А2{В) + А^1(А)А1(В) ф 0, (13) где А2 — квадратные невырожденные матрицы п-го порядка, которые будут явно определены в ходе доказательства теоремы.

Методом параболических потенциалов простого слоя с неизвестными плотностями построенными при помощи фундаментального решения и элементарных решений Пини-Каттабрига [168, 169, 193, 194], поставленная задача сводится к решению системы 2п уравнений

А1{А)-3(г)+А1{В)1!(1) = Ръ А2{А)-3{1)-А2(В)^{1) = Е2.

Если решение поставленной задачи разыскивать из пространства Гельде-ра Яя'^2^^), Р = + 7, 0 < 7 < 1, то для краевой задачи (10)—(12) справедлива теорема 5.

Теорема 5. Пусть ц>\(х) Е Нр(0,+), (р2(х) £ Нр(0,~) и выполнено условие (13). Тогда при выполнении 2п1 + 1 условий вида (8) существует единственное решение краевой задачи (10)—(12) из пространства (^±) •

В §2.4 исследована начально-краевая задача для параболического уравнения с меняющимся направлением времени щ - sgna; ■ ихх = (14) при граничных условиях и(х,0) = фо(х), х > 0, и(х,Т) = (рт(х), х<0, (15) и(+0,*) = и(-О^), их(+0,*) = «*(-(),*). (16)

Доказываются соответствующая теорема и следствие. Теорема 6. Пусть (р0(х) Е На(П+), срТ(х) Е Я^ГГ), р = тт{а,Д Е (1;2), € 1,2(0). Тогда при выполнении двух условий вида (8) существует единственное решение краевой задачи (14)—(16) и(х,£) Е Н^2^"*1) при этом ихх(х^), щ(х,£) Е Ь2(С?)■

Следствие 2. Пусть ср0(х) Е Я2(^+), <рт(х) Е #2(Г2~), /(¡М) = 0, то при выполнимости двух условий вида (8) существует единственное решение краевой задачи (14)—(16) и(х,€) Е С2,1^^, при этом ихх(х^),щ(х,£) Е С (О).

Третья глава посвящена исследованию нелокальной краевой задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами.

В §3.1 рассматривается следующая нелокальная задача: найти функцию и(х, £), являющуюся в прямоугольнике <5 — ^ х (0) Т), £1 = (—1; 1) решением уравнения

17) где щ - ¿1ихх + С1(х,г)и, х < о, I Ь(х,г), х < о,

Ьи = <5 /ОМ) = \ щ - (12ихх + с2(х, х > 0, ^ /2(ж, ¿), X > 0, di, d2 > 0 — const, и такую, что для нее выполняются условия u(-l,t) = u(l,t) = 0, (18) u(-0,t) = u(+0,t), diux(~0,t) = d2ux(+0,t), u(x, 0) = a(x)u(x, T) + щ(х). (20)

С помощью метода продолжения по параметру и принципа неподвижной точки Шаудера [138] доказана теорема существования и единственности решения нелокальной задачи.

Определим пространства Vo и V\\

V0 = {v(x, t) : v(x, t) G L2{0, T] П £,«,(0, T; W vt{x,t) e L2(Q), d1vx(-0,t) = d2vx(+0,t)}.

Vi - {v{x,t) : v{x,t) G Vq, vt(x,t) G V0}.

Теорема 7. Пусть выполняются условия ci(x,t) > ci > 0, ж G [-1,0], t G [0,Т], c2(x,i) > ¿2 > 0, х G [0,1], t G [0,Г], (21) ci{x,t) G Loo(Q-), c2(x,t) G Loo(Q+) u пусть a(x)ewU^), \a(x)\<a0<l. (22)

Тогда для любой функции f(x,t) из пространства L2(Q) и любой функции о щ(х) из пространства W^ity* такой что щ(—1) — щ(1) = 0, = iio(+0); d\Uox(—0) = d2U{)x(-1-0), краевая задача (17)—(20) имеет, единственное решение u(x,t), принадлежащее пространству Vo.

В §3.2 установлено, что обратная коэффициентная задача: найти функции u(x,t), q{x) связанные в прямоугольнике Q уравнением ut - Liu + q(x)u = /(.т, I), (23)

25) где d\uxx, х < О, I f\(x,t), x < О, f(x,t) = < di, d2 > 0 — const, d2uxx, x > 0, ж > О, при выполнении для функции и(ж, t) следующих условий: u{-l,t) = p(t), ti(l,i)=VW, (24) u(-0,i) = iz(+0,i), diux(-0,t) =

0) = u0(®), (26)

M(a;,T)=«i(a;); (27) также имеет единственное решение в пространстве V\. Теорема 8. Пусть выполнены условия

1и1(ж)| > > 0, х Е О, а(ж)>а0>0, |/3(ж)|</30, Д, > 0, гбЙ, е ^io(fi), ¿(ж) G ^(fi), |а(ж)| <а0<1, х ей, ^ <1, Ri < 1, R0 < М0.

Тогда обратная задача (23)-(27) имеет решение {и{х, i), q(x)}, u{x,t) Е Vh g(x) E Loo(0); для любых функций f(x,t), uq{x), u\{x), tp(t) и ip{t) таких, что f(x,t) E L2(Q), ft(x,t) E L2(Q), tp(t) E W22([0,T]); ф(г) E Mx) E W$(Q), щ(х) E Wi(Q), и0(-1) = ^(0), i*,(l) = ^(0), щ(-1) = tp(T), «i(l) = -ф{Т), u0{-0) = u0(+0), diMox(-O) = <W(+0), wi(-0) = wi(+0); dlUlx(-0) = d2ulx(+0).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре "Уравнения переменного типа" профессора С.В. Попова (кафедра математического анализа ИМИ СВ

ФУ), на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" профессора И.Е. Егорова (ФГНУ "НИИ математики при ЯГУ"), на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007), на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2005, 2007), на IV и V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2004, 2007), на Всероссийском школе-семинаре "Математическое моделирование развития северных территорий" (Якутск, 2005, 2006, 2007, 2008), на XLIII и XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно- технический прогресс" (Новосибирск, 2005, 2006), на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2007" (Москва, 2007), на ежегодных Аспирантских чтениях ЯГУ, на Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009), на Международной конференции по математическому моделированию "Mathematical modeling" (КНР, г. Линьи, 2010), на научном семинаре лаборатории обратных задач математической физики ИМ СО РАН под руководством профессора Ю.Е. Аниконова (Новосибирск, 2010), а также на научном семинаре "Неклассические уравнения математической физики" ИМ СО РАН под руководством профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2010).

Работа выполнена при финансовой поддержке следующих грантов:

• гранта ректора ЯГУ (2005 г.);

• гранта НП МО РФ "Университеты России" (2002-2005 гг.);

• гранта ИМИ ЯГУ для студентов и магистрантов (2006 г.);

• гранта ФЦНТП "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 2002-2006 годы по мероприятию 1.9 "Проведение молодыми учеными научных исследований по приоритетным направлениям науки, высоких технологий и образования" (2006 г.);

• грантов ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг. по мероприятию 1.3.1 "Проведение научных исследований молодыми учеными-кандидатами наук" (2009-2010 гг.) и по лоту "Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области математики" мероприятия 1.1;

• гранта Президента РС(Я) (2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах: 8 статьях и 17 тезисах докладов [206]-[227].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 118 страниц. Список цитируемой литературы содержит 227 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

• поставлены и исследованы краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами с общими условиями склеивания, найдены и явно представлены необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач;

• доказана безусловная разрешимость исходной задачи;

• доказана теорема единственности и существования решения краевой задачи для параболического уравнения 2п-го порядка с разрывными коэффициентами;

• доказана разрешимость нелокальной задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.

Область приложений полученных результатов — краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, в том числе и для уравнений с меняющимся направлением времени.

1. Абашеева Н.Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. 60 с. (Препринт № 9)

2. Алиев А.Р. О разрешимости одного класса краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка с разрывным коэффициентом в' весовом пространстве // Дифф. уравнения. 2007. Т. 43. №10. С. 1423-1426.

3. Алхутов Ю. А., Мамедов И. Т. Первая краевая задача для недивергентных параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами. // Математический сборник 1986, 131(173), № 4(12)

4. Аниконов Ю. Е., Бубнов Б. А. Существование и единственность решения обратных задач для параболических и эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298. №. 4. С. 777-779.

5. Аниконов Ю. Е., Белов Ю. Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. №. 6. С. 1289-1293.

6. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1978.

7. Аниконов Ю. Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения // Мат. сб. 1990. Т. 181, № 1. С. 68-74.

8. Аниконов Ю. Е. Обратные задачи математической физики и биологии // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 6. С. 1350-1354.

9. Аниконов Ю. Е. Псевдодифференциальные операторы и обратные задачи. Новосибирск, 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, К2 671).

10. Ахмедов Х.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлнием времени: Дисс. .канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989. 98 с.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.2. Преобразование Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970. 327 с.

12. Белов Ю. Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // Докл. АН СССР. 1992. Т. 323, № 3. С. 385-388.

13. Белов Ю. Я. О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1995. Т. 345, № 4. С. 441-444.

14. Белов Ю. Я., Ермолаев А. С. Об одной обратной задаче идентификации коэффициентов многомерного параболического уравнения // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Красноярск: Крас-ГУ, 1996. С. 16-27.

15. Белов Ю. Я., Саватеев Е. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // Докл. АН СССР. 1991. Т. 334, № 5. С. 800-804.

16. Белов Ю. Я., Шипина Т. Н. Об одной задаче определения функции источника // Тез. докл. Междунар. конф. "Обратные задачи математической физики". Новосибирск, 21-25 сентября 1998 г. С. 18.

17. Белов Ю. Я., Яненко Н. Н. Влияние вязкости па гладкость решения в неполно-параболических системах // Мат. заметки. 1971. Т. 10, № 1. С. 93-99.

18. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач // ДАН СССР, 1969, Т.185, № 4.

19. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1998. 352 с.

20. Бочаров О.Б. О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопременным коэффициентом // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / СО АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1978. № 37. С. 27-39.

21. Бубнов Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений. Новосибирск, 1989. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, №87-714).

22. Васин И. А., Камынин В. JI. Об асимптотическом поведении решений обратных задач для параболических уравнений // Том 38 (1997), Номер 4, стр. 750-766.

23. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. 2-е издание, стереотип. - М.: Физматлит, 2002. 102-110 с.

24. Векуа H.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1968. 380 с.

25. Гасымов Э.А. Интегро-дифференциальные краевые задачи со стоящими производными для параболических систем с разрывными коэффициентами // Вестн. Бакин. ун-та. Сер. физю-мат. н. 2008. №1, С. 28-34.

26. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

27. Гудиев А.Х. К краевой задаче для линейныз параболических уравнений с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1968. - Т. 180, №6. - С. 1275-1278.

28. Егоров И.Е. Краевые задачи для уравнений высокого порядка и с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР, 1988. Т. 303, № 6. С. 1301-1304.

29. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.

30. Егоров И.Е. Нелокальные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа // Уч. зап. Якутск, ун-та., 1994. Сер.: матем., физ. С. 18-24.

31. Егоров И.Е. Введение в теорию уравнений смешанного типа 2-го порядка. Якутск: ЯГУ, 1998.

32. Egorov I.E. On one boundary value problem for an equation with varying time direction // Math. Zametki YaGU, 1998. V. 5, № 2. P. 77-84.

33. Егоров И.Е., Попов C.B. К теории краевых задач для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка / Третий конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященной памяти

34. С.Л.Соболева. Тез.докл., часть IV. Новосибирск: Ии-т математики СО РАН, 1998. С.16.

35. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов C.B. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 1999.

36. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д. Параболические уравнения : примеры, задача Коши, свойства решений // Математика сегодня. 1987 : Науч.-метод, сб.—К., 1987.-С. 74-108.

37. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сиб. матем. журн. Т. 39. № 3. 1998. С. 539-550.

38. Иванчов Н.И. Обратные задачи теплопроводности в двухкомпопентной среде // Диффер. уравн. 1992. Т. 28, № 4. С. 666-672.

39. Иванчов Н.И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Укр. мат. журн. 1993. Т. 45, № 8. С. 1066-1071.

40. Иванчов Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, 3. С. 612-621.

41. Иванчов Н.И., Пабыривска Н.В. Об определении двух зависящих от времени коэффициентов в параболическом уравнении // Сиб. матем. жури., Т. 43. № 2. 2002. С. 406-413.

42. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - №2. - С. 294-304.

43. Ионкин Н.И., Макаров B.JL, Фурлетов Д.Г. Устойчивость и сходимость в С-норме разностных схем для параболического уравнения с нелокальным краевым условием // Матем. моделирование, 4:4 (1992), С.63—73.

44. Калиев И.А., Сабитова М.М. Задачи определения температуры и плотности источников тепла по начальной и конечной температурам // Сиб. журн. индустр. матем. Т. 12. № 1. 2009. С. 89-97.

45. Кабанихин С.И. О задаче определения коэффициентов уравнения акустики // Неклассические проблемы математической физики. Новосибирск: ВЦ СО РАН СССР, 1981. С. 93-100.

46. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений, Новосибирск, Наука, Сибирское отделение, 1988.

47. Кабанихин С.И., Нурсеитов Д.Б. Линейные обратные и некорректные задачи для параболических уравнений. //Тезисы международной конференции «Тихонов и современная математика», Москва, июнь 19-25, 2006, стр. 81-82.

48. Кабанихин С.И., Шишленин М.А. Прямые и итерационные методы решения обратных и некорректных задач // Сибирские Электронные Математические Известия, 2008. Том 5, стр. 595-608.

49. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Сибирское научное издательство, 2008, 450 стр.

50. Камынин, Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями / Л.И.Камынин // Жв-МиМФ. Т. 4. - №6. - 1964. - С. 1006-1024.

51. Керефов A.A. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 74-78.

52. А. А. Керефов, М. X. Шхануков-Лафишев, Р. С. Кулиев.

53. Керефова И.Х. Краевая задача для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами: Тез. VII Всеросс. симпозиум по прикладной и промышленной математике, Кисловодск, 2-8 мая, 2006. Ч. 2] / Обозрение прикл. и пром. мат. 2006. 13, №2, С. 324-325.

54. Кислов Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально -операторного уравнения смешанного типа и их приложения // Мат. сб. 1984. Т. 125, вып.1. С. 19-37.

55. Кислов Н.В. Неоднородная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280, № 5. С. 1055-1058.

56. Кислов Н.В. Краевые задачи для дифференциально операторных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 8. С.1427-1436.

57. Кислов Н.В. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Докл. АН СССР. 1980. Т.255, №1. С.26-30.

58. Кислов Н.В., Червяков A.B. Краевая задача с меняющимся направлением времени // Вестн. МЭИ, 2002 № 6 С. 62-67.

59. Кислов Н.В., Червяков A.B. Об одной краевой задаче с меняющимся направлением времени // Вестн. МЭИ. 2001 № 6 С. 67-74.

60. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990.

61. Кожанов А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Сиб. мат. журн. 1994. Т.35, № 2. С.359-376.

62. Кожанов А.И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7, №1. С. 51-60.

63. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76. Вып. 6. С. 840-853.

64. Кожанов А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сибирский матам, журнал. 2005. Т. 46. №. 5. С. 1054-1071.

65. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44. №. 4. С. 694-716.

66. Кожанов А. И. Задача об определении коэффициентов при младших членах в слабо связанной параболической системе // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7. №. 2. С. 49-61.

67. Коробенко JI.B., Сакбаев В.Ж. О постановке и корректности задачи Коши для уравнения диффузии с разрывными вырождающимися коэффициентами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, №. 6. С. 1085-1102

68. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

69. Ладыженская O.A. О единственности задачи Коши для линейного параболического уравнения // Мат. сб. 1950. Т.27. Вып.2. С.175-184.

70. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

71. Ларькин H.A., Новиков В.А., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. 170 с.

72. Либерман Г.М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений // Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы: В честь акад. O.A. Ладыженской. Т. 1. Новосибирск, 2002. С. 233-254.

73. Лыков А. В. Тепломассообмен : Справочник.— М. : Энергия, 1978.— 480 с.

74. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. 424 с.

75. Монахов В.Н., Хуснутдинова Н.В. О сопряжении каналовых и фильтрационных течений вязкой несжимаемой жидкости // Журнал прикладной механики и теоретической физики. 1995. № 1. С. 95-99.

76. Монахов В.Н. Возвратные течения в пограничном слое // Динамика сплошной среды. 1998. № 113. С. 107-113.

77. Монахов В.Н., Попов C.B. Весовые оценки градиента решений сильно вырождающихся параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ, 1998. Т. 5, № 2. С. 46-51.

78. Монахов В.Н., Попов C.B. Контактные задачи математической физики // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр./ Ин-т гидродинамики СО РАН. 2000. № 115. С. 62-72.

79. Мукминов Ф.Х., Биккулов И.М. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. 2004. Т. 195. № 3. С. 114-142.

80. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

81. Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5, № 1. С.44-59.

82. Нахушев А. М. Методика постановки корректных задач для линей- ных гиперболических уравнений второго порядка на плоскости // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 1. С.191-195.

83. Нахушев A.M. О правильной постановке краевых задач для па- рабо-лических уравнений со знакопеременной характеристической формой // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9, № 1. С.130— 135.

84. Нахушев А. М. Нелокальная задача и задача Гурса для нагружен- ного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогно- зу почвенной влаги // ДАН СССР. 1978. Т. 242, № 5. С.1008-1011.

85. Нахушев A.M. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // ДАН СССР. 1988. Т. 300, № 4. С.796- 799.

86. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.

87. Олейник O.A. Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами, ДАН СССР, 124, № 6 (1959), 1219 -1222.

88. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами, Успехи матем. наук, XIV, вып. 5 (89) (1959), 164-166.

89. Петрушко И.M., Черных Е.В. О параболических уравнениях 2-го порядка с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ. № 6. 2003. С. 85-93.

90. Пинигина Н.Р. Попов C.B. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени / Мат. заметки ЯГУ, 2002. Т. 9, № 1. С. 71-82.

91. Попов С. В. О постановке краевых задач для одного уравнения третьего порядка // Краевые задачи для нелинейных уравнений. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. С.43-50.

92. Попов С. В. Безусловная разрешимость первой краевой задачи для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. С. 153-156.

93. Попов С. В. Контактная задача для итерированного уравнения теплопроводности // Уч. зап. Якутск, ун-та. 1994. Сер.: матем., физ. С. 24-31.

94. Попов C.B. Разрешимость краевых задач для уравнения щ — -u^sgria; при произвольном склеивании // Математический анализ и диффе-ренц. уравнения. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1992. С. 34-41.

95. Попов C.B. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. журн. "Сиб. мат. журнал". Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, № 8646-Б88.

96. Попов C.B. О разрешимости краевой задачи для одного уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1989. С. 39-47.

97. Попов C.B. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. № 102. С. 100-113.

98. Попов C.B. Нелокальные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Сибирская конф. по неклассическим уравнениям: тез. докл. Новосибирск: Новосиб. гос. унт, 1995. С. 78.

99. Попов C.B. О краевых задачах для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Материалы международной конференции "Современные проблемы математики", посвященные 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева. М.: МГУ, 1996. Т. 2. С. 292-296.

100. Попов C.B., Шахурдин К.А. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ, 1997. Т. 4, № 2. С. 49-56.

101. Попов C.B. О встречных потоках теплового пограничного слоя сжимаемой жидкости // Мат. заметки ЯГУ, 1999. Т. 6, № 2. С. 130-133.

102. Попов C.B. Нелокальные краевые задачи для операторно-диффереп-циальных уравнений четного порядка // Международная конференция "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс. Тез.докл. Новосибирск: НГУ, 1999. 4.1. С. 52-53.

103. Попов C.B. Об одной краевой задаче со сдвигом для параболического уравнения переменного типа // Динамика сплошной среды. 2000. № 116. С. 83-94.

104. Попов C.B. Параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, № 2. С. 93-112.

105. Попов C.B. О гладкости решений параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Доклады Академии Наук. 2005. Т. 400, № 1. С. 29-31.

106. Попов C.B. Гельдеровские классы решений параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. И, № 1. С. 84-100.

107. Потапова C.B., Попов C.B. Краевая задача для 2п-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции при п > 4 // Мат. заметки ЯГУ

108. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении. I // Сибирский матем. журнал. 1992. Т. 33. Ж 3. С. 146-155;

109. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении. II // Сибирский матем. журнал. 1993. Т. 34. Ж 5. С. 147-162.

110. Прилепко А. И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1992. С. 151-162.

111. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным переопределением // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 4. С. 49-68.

112. Прилепко А. И., Соловьев В. В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Диффер. уравн. 1987. Т. 23, № 1. С. 136-143.

113. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении // Изв. РАН. Сер. Математика. 1994. Т. 58, № 2. С.167-188.

114. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболических уравнений и единственность решений обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2003. Т. 43, № 4. С. 562-570.

115. Пятков С.Г. О разрешимости краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Дифференциальные и интегральные уравнения: тез. докл. г.Челябинск, 4-8 февр. 2002. С. 84-85.

116. Пятков С.Г. Краевая задача для некоторых классов сингулярных параболических уравнений // Мат. труды. 2003. Т. 6. № 2. С. 144-208.

117. Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1985. Т.285, т. С.1322-1327.

118. Пятков С.Г., Подгаев А.Г. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Сиб. мат. журн. 1987. Т.28, 3. С. 184-192.

119. Пятков С.Г. Разрешимость краевых задач для одного уравнения смешанного типа второго порядка // Неклассические дифференциальныеуравнения в частных производных: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск. 1988. С.77-90.

120. Пятков С.Г. Разрешимость краевых задач для одного ультрапараболического уравнения // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных: Сб. науч. тр. СО АН СССР. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1990. С. 182-197.

121. Пятков С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2: С. 409-426.

122. Пятков С.Г. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений // Спектральная теория дифференциальныех операторов и родственные проблемы. Тр. межд.науч.конф. 24-28 июня 2003г. г. Стерли-тамак, том 2. С. 98-105.

123. Пятков С.Г. Некоторые обратные задачи для параболических уравнений // Фундаментальная и прикладная математика, 2006. Т. 12. №. 4. С. 187-202.

124. Пятков С.Г., Цыбиков Б.Н. О некоторых классах эволюционных обратных задач для параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 2009. Т 50, №. 1.

125. Ройтберг Я.А., Шефтель З.Г. Общие граничные задачи для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами. ДАН. 148. №5, 1963, 1034-1037.

126. Саватеев Е. Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Сибирский матем. журнал. 1995. Т. 36. №. 1. С. 177-185.

127. Саватеев Е. Г. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1995. Т. 340, № 5. С. 595-596.

128. Саватеев Е. Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1995. Т. 344, № 5. С. 597-598.

129. Самарский, A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравне- ний / А.А.Самарский // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16. -№11. - С. 1925-1935.

130. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Петроград. 1917.

131. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, № 5. С. 195-198.

132. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР. Ин-т математики. 1982. 168 с.

133. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985. 105 с.

134. Терсенов С.А. Об основных краевых задачах для одного ультрапараболического уравнения // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. № 6. С. 1413-1430

135. Терсенов С.А. О первой краевой задаче для одного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. РАН, 1996. Т. 348, № 1. С. 27-29.

136. Ткаченко Д.С. Об одной обратной задаче для параболического уравнения // Матем. заметки. Т. 75. № 5. 2004. С. 729-743.

137. Треногин В. А. Функциональный анализ: Учебник. — 3-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 488 с. - ISBN 5-9221-0272-9.

138. Уральцева H.H. О невозможности И^-оценок для многомерных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами,— В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций, 1. Л., 1967, т. 5, с. 250-254.

139. Федоров В.Е., Уразаева A.B. Обратные задачи для некоторых неклассических уравнений математической физики // Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования. Матер. конф. ЮНИИИТ, Ханты Мансийск: Полиграфист, 2005. С.71-73.

140. Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения с растущими вблизи границы коэффициентами // Дифф. уравнения. 2007. Т. 43. Ж. С. 110-121.

141. Черепова М.Ф. Краевые задачи для параболического уравнения высокого порядка с растущими коэффициентами // Дифф. уравнения. 2008. Т. 44. №4. С. 507-516.

142. Черных Е.В. Петрушко И.М. О начально-краевой задаче для уравнения с меняющимся направлением времени //Вестн.МЭИ,2000. № 6. С. 6070.

143. Черных Е.В. О поведении решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени вблизи границы прямоугольной области. Моск. энерг. ин-т. Москва, 2001. 43 с.

144. Шелухин В.В. Задача со средними по времени данным для нелинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, №2. С. 154165.

145. Шелухин В.В. Нелокальные по времени задачи для уравнений гидродинамики и вариационные принципы: Дисс . д.ф.-м.н. Новосибирск, 1992.

146. Шефтель З.Г. Разрешимость в Lp и классическая разрешимость общих граничных задач с разрывными коэффициентами. УМН. 19, вып. 4, 1964, 230-232.

147. Яненко Н.Н., Новиков В.А. Об одном новом классе уравнений переменного типа // Успехи Мат. Наук, 1980. Т. 35, №. 4. С. 156.

148. Anikonov Yu. Е. Multidimensional inverse and ill-posed problems for differential equations. Utrecht: VSP, 1995.

149. Anikonov Yu. E. Formulas in inverse and ill-posed problems. Utrecht: VSP, 1997.

150. Anikonov Yu. E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. Utrecht: VSP, 2001.

151. Anikonov Yu. E. and Belov Yu. Ya. On unique solvability of an inverse problem for a parabolic equation // Sov. Math. Dokl. 1989. V. 39, No. 3. P. 601-605.

152. Anikonov Yu. E. and Belov Yu. Ya. Determining two unknown coefficients of the parabolic type equation //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2001. V. 9, No. 5. P. 469-488.

153. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une equation d'évolution changeante de type // J. Funct. Anal. 1968. V. 2, № 3. P. 352-367.

154. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations //J. Inverse Ill-Posed Problems. 1993. V. 1. №. 4. P. 283-305.

155. Belov Yu. Ya. and Shipina T. N. The problem of determining the source function for a system of composite type // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 6, No. 4. P. 287-308.

156. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

157. Beals R. Indefinite Sturm Liouville problems and half- range complete-ness//J. Differential Equations. 1985. V. 56, № 3. P. 391-408.

158. Beals R. On an equations of mixed type from electron scattering //J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 568, № 1. P. 32-45.

159. Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering //J. Funct. Anal. 1979. V. 34, № 1. P. 1-20.

160. Beals R. and Protopescu V. Half-range completness for the Fokker-Planck equation //J. Stat. Phys. 1983. V. 32, № 3. P. 391-408.

161. Beals R. Partial-range completness and existence of solutions to two-way diffusion equation //J. Math. Phys. 1983. V. 32, № 3. P. 565-584.

162. Bethe H.A., Rose M.E., Smith L.P. The multiple scattering of electrons // Proc. Amer. Philos. Soc. 1938. V.78. P.573-585.

163. Bothe W. Die Streneabsorption der Electronenstrahlen. Z. Phys. 1929. V. 5. P. 101-178.

164. Cannon, J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy / J.R.Cannon // Quart. Appl. Math. 1963. -V. 21. - P. 155-160.

165. Carleman T. Sur la th?orie des equations integrals et ses applications // Verhandlungen des Internat. Math. Congr. Z?rich. 1932. Bd. 1. P. 132-151.

166. Case K.M. and Zweifel P.F. Linear transport theory. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969.

167. Cattabriga L. Problemi al contorno per equazioni paraboliche di ordine 2n // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1958. V. 28, №2. P. 376-401.

168. Cattabriga L. Equazioni paraboliche in due variabili. //I: Rend. sem. fac. sc. Univ. Cagliari. 1961. V. 31, №1-2. P.48-79; II: Rend. sem. fac. sc. Univ. Cagliari. 1962. V. 32, №3-4.

169. Cercignani C. mathimatical Methods in kinetic theory. New York: Pergamon Press, 1969.

170. Ghabrowski J. On nonlocal problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. 1984. N 93. P. 109-131.

171. Chabrowski J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation // Funkcial. Ekvac. Ser.Intern. 198. N 27. P. 101-123.

172. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Appl. 1913. V. 9, № 6. P. 305-478.

173. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. de Math., 1914. V. 10, № 6. P. 105-148.

174. Greenberg W. Functional calculus for the symmetric multigroup transport operator // J. Math. Phys. 1976. V. 17, P. 159-162.

175. Greenberg W., Van der Mee C.V.M. and Protopopescu V. Boundary value problems in abstract kinetic theory. Basel: birkhäuser, 1987.

176. Greenberg W., Van der Mee C.V.M. and Zweifel P.F. Generalized kinetic equations // Integral Equations Oper. Theory. 1984. V. 7, № 1. P. 60-95.

177. Hadamar J. Sur les problems aux derives partielles et leur signification physique. Princeton: Bull. Univ., 1902.

178. Hilbert D. Grunzuge einer allgemeinen théorie der linearen intergleichungen. New York: Chelsea, 1953.

179. Ivanchov M. Inverse problems for equation of parabolic type. Math. Studies. Monograph Series. V. 10. Lviv: WNTL Publishers, 2003.

180. Kaper H.G., Lekkerkerker C.G., Zettl A. Linear transport theory and an indefinite Sturm-Liouville problem // Conference on Ordinary and Partial Differential Equations, Dundee: Lect. Notes in Math. Springer-Verlag, 1982. V.964. P.326-361.

181. Kaper H.G., Kwong M.K., Lekkerkerker C.G., Zettl A. Full and partial-range eigenfunction expansions for Sturm-Liouville problems with indefinite weights // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1984. V.A 98, №1-2. P.69-88.

182. Klaus M., Van der Mee C.V.M. and Protopopescu V. Half-range solutions of indefinite Sturm-Liouville problems // J. Funct. Anal. 1987. V.70, №2. P.254-288.

183. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

184. Kozhanov A. I. An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation II // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2003. V. 11. №. P. 505-522.

185. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2002. V. 10. №. 6. P. 611-627.

186. Latrach k. Compactness proporties for linear transport operator with abstract boundary conditions in slab geometry // Transp. Theory Stat. Phys. 1993. V. 22, P.39-65.

187. Latrach k. and Mokhtar-Kharroubi M. On an unbounded linear operator arizing in theory of growing cell population //J. Math. Anal. Appl. 1997. V. 211, P.273-294.

188. Latrach k. and Mokhtar-Kharroubi M. Spectral analysis and generation results for streaming operator with multiplying boundary conditions // Positivity. 1999. V. 3, № 3. P.273-296.

189. Pagani C.D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation // Ann. Mat. Pura ed Appl. 1971, V. 90. P. 1-58.

190. Papanicolau G., Varadran S.R.S. Ohrnsyein-Uhlenbeck process in a random potential // Comm. Pure and Appl. Math. 1985. V.38, №6. P.819-834.

191. Picone M. Equazione integrale traducente il pi? generale problema lineare per le equazioni differenziali lineari ordinarie di qualsivoglia ordine // Academia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni. 1932. V. 15. P. 942-948.

192. Pini B. Sul probleme fondamentale di valori contorno per una classe di equazioni paraboliche lineari // Ann. mat. pura ed appl. 1957. V. 43. P. 261297.

193. Pini B. Su una equazione paraboliche non lineare del quarto ordine // Rend, sem. fac. sc. Univ. Cagliari. 1957. V. 27. № 3-4. P. 136-168.

194. Popov S.V. On a boundary value problem for a singular parabolic eguation with changing time direction // Mat. Zametki YaGU, 1994. V. 1, № 1. P. 113-128.

195. Popov S.V. Nonlocal boundary value problems for a high-order operatordifferential eguation // Mat. Zametki YaGU, 1996. V. 3, № 1. P. 95-106.

196. Popov S.V. On boundary value problems for a high-order operatordifferential eguation // Mat. Zametki YaGU. 1997. V.4, №1. P.105-109.

197. Popov S.V. Smoothness of solutions to the boundary value problems for a high-order operator differential equations // Mat. Zametki YaGU, 1998. V. 5, № 1. P. 106-112.

198. Popov S.V. Nonlocal boundary value problems for operator differential equations of even oder//Mat.Zametki YaGU,1999.V. 6, № l.P. 90-103.

199. Popov S.V. Parabolic equations of the fourth order with varying evolution direction // Mat. Zametki YaGU. 2001. V.8, № 2. P.112-133.

200. Pyatkov S.G. Interpolation of some function spaces and indefinite Sturm-Liouville problems. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag Basel-Switzerland. 1998. V. 102. P. 179-200.

201. Siewert C.E. and Zweifel P.E. Radiative transfer, II // J. Math. Phys. 1966. V.7. P.2092-2102.

202. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodinamischen Erkl?rung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen // Proc. Intern. Congr. Math. (Rome, 1908). 1909. V. 3. Reale Accad. Lincei. Roma. P. 116-124.

203. Spigler B. Boundary layer theory in Kramers-Smoluchovski limit for the Fokker-Planck equation on a half-spaces // Boll. Unione Mat. Ital. 1987, Ser. VII. V. 1-B, № 3. P. 917-938.

204. Van Kampen N.G. On the theory of stationary waves in plasmas // Physica. 1977. V.221. P.458-472.

205. Шарин Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами // VII Лаврентьевские чтения: Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция математика, механика и физика: Сборник статей. Том 1.- Якутск, 2003. С. 149-153.

206. Шарин Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами // Материалы XLII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / НГУ. Новосибирск, 2004. С.55-56.

207. Шарин Е.Ф. Гельдеровские классы решений параболических уравнений с разрывными коэффициентами //IV Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. / Под ред. И.Е. Егорова-Якутск: Изд-во ГУ "РОНПО", 2004. С.49-50.

208. Шарин Е.Ф. Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами // VIII Лаврентьевские чтения: Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция математика, механика и физика: Сборник статей. Том 1,- Якутск, 2004. С.66-67.

209. Шарин Е.Ф. Безусловная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с разрывными коэффициентами // Математические заметки ЯГУ. Т. 12, вып. 1. Якутск, 2005. С. 134-138.

210. Шарин Е.Ф. Гельдеровские классы решений для параболических уравнений с полной матрицей условий сопряжения // Труды МНСК "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. С.193-198.

211. Шарин Е.Ф. Разрешимость параболических краевых задач с полной матрицей условий сопряжения // Математические заметки ЯГУ. Т. 12, вып. 2. Якутск, 2005. С.109-115.

212. Шарин Е.Ф. О разрешимости параболических краевых задач с разрывными коэффициентами // Всероссийская научная конференция "Информационные технологии в науке, образовании и экономике"; Тез. докл. Часть I. / Якутск: РИЦ "Офсет", 2005. С.92.

213. Шарин Е.Ф., Попов C.B. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с разрывными начальными функциями и с меняющимся направлением эволюции // Математические заметки ЯГУ. Т.15. Вып. 1. -Якутск, 2008. С.91-105.

214. Шарин Е.Ф. Об одной задаче для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами // Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовни-чего. М.: Изд-во "Университетская книга", 2009. - С.234.

215. JI.В. Овсянникова (Новосибирск, 23-28 апреля 2009 г.): Тез. докладов / Ин-т гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. Новосибирск,2009. С.116-117.

216. Шарин Е.Ф. Обратная коэффициентная задачи и связанная с ней нелокальная задача для параболического уравнения с разрывными коэффициентами // Математические заметки ЯГУ. Т.17. Вып. 1. Якутск,2010. С. 154-173.

217. Sharin E.F. Inverse problem for parabolic equation with discontinuous coefficients // International Young Scientists Conference on Mathematical Modeling. Linyi, China, May, 24-25, 2010. Abstracts. / Yakutsk: IMI YSU, 2010. pp.48-50.