Краевые задачи для нагруженных уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами и разностные методы их решения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

Глава I. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами

§ 1. Краевая задача для уравнения теплопроводности с постоянным разрывным коэффициентом теплопроводности. Теорема существования и единственности

§ 2. Краевая задача для параболического уравнения с переменным разрывным коэффициентом диффузии

§ 3. Априорные оценки для параболического уравнения общего вида с разрывными коэффициентами

§ 4. Метод Роте. Априорная оценка. Сходимость метода Роте

Глава II. Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами

§ 1. Теорема существования и единственности решения для нагруженного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами

§ 2. Априорные оценки для решения нагруженного уравнения теплопроводности

§ 3. Краевая задача для параболического уравнения с дробной производной в младшем члене

Глава III. Разностные схемы для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами

§ 1. Первая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Теорема существования и единственности

§ 2. Построение разностных схем второго порядка аппроксимации для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

§ 3. Случай третьей краевой задачи. Построение разностных схем повышенного порядка аппроксимации

Многие задачи математической физики, возникающие при моделировании процессов нагрева, плавления и поверхностного испарения от воздействия потоков энергии на материалы, приводят к необходимости решения краевых задач для уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами. В связи с этим возникает проблема постановки корректных краевых задач для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами, а также разработки численно-аналитических методов их решения.

В большинстве работ [1-10], посвященных изучению тепловых процессов в системе «основа-покрытие», используется одномерная теплофизическая модель нагрева двухслойной системы нестационарным тепловым потоком.

Модельным уравнением такого класса задач является уравнение ди{ . дги1 .

Разрыв коэффициента температуропроводности А:(х,г)имеет место и в случае, когда область рассмотрения является неоднородной и состоит из нескольких частей с разными свойствами.

При постановке задач помимо начальных и граничных условий необходимо задать условия сопряжения на границе раздела двух сред. Граничные условия сопряжения (их иногда называют граничными условиями IV рода) применяются в случае контакта двух твердых тел. Виды условиий сопряжения рассмотрены в [11,12]. Если между граничными поверхностями тел имеется идеальный тепловой контакт (тела очень тесно прижаты, например в спаях), то их температуры на поверхности контакта должны быть одинаковыми. Кроме того, тепловой поток, выходящий из одного тела через контактную поверхность, должен быть равен тепловому потоку, входящему в другое тело. Таким образом, если и} и и2- температуры тел, находящихся в условиях плотного теплового контакта, то для некоторой точки М на контактной поверхности условия сопряжения имеют следующий вид: и]к=«2№+0)-И,(^-0) = 0 дп ди2( 5-,+о) аи,(5^-Ь)0 дп дп

0.2) (0.3) где индексы 1 и 2 относятся к двум телам, и - общая нормаль к контактной поверхности в точке М, Х - коэффициент теплопроводности.

В случае неидеального теплового контакта между двумя телами (контактные поверхности разделены тонкой прослойкой) обычно вводится понятие контактного сопротивления Я (или контактной проводимости 1/К). Равенство тепловых потоков здесь имеет место, но появляется пропорциональная им разность между двумя поверхностными температурами. Соответствующие условия сопряжения имеют вид

2, ди.

Л, дп дих

5/,-0 дп л диг я-о дп

0.4)

0.5)

Я+о

В работе [12] исследуются различные виды соединений, включая как плотный контакт, так и случай разделения контактных поверхностей прослойками хорошей и плохой проводимости.

Условия сопряжения могут быть использованы при нахождении приближенного решения уравнения теплопроводности в неоднородной среде [13-16].

Практически важным является и несколько более простой случай, когда процесс теплопроводности происходит в конечном числе сред, но с разными (постоянными) коэффициентами (т.е. в кусочно-однородной среде), или, иными словами, когда коэффициенты уравнения ди ди д с(х)р(х)— = — ся ох

Я(х) дх

0.6) заменяют кусочно-постоянными функциями, которые в среде (0,1) терпят разрывы - скачки.

Если /г - точки разрыва коэффициентов, то промежуток (0,1), в котором ищется решение задачи, разбивается точками разрыва коэффициентов на несколько частей, внутри которых функция и(х,0 удовлетворяет уравнению теплопроводности, а на границах (т.е. в точках х= /г ) условиям сопряжения.

Тепловые задачи с граничными условиями сопряжения приобрели большое значение в последние годы в связи с развитием высокотемпературной теплофизики - расчет многослойных покрытий головок ракет, элементов преобразователей энергии и т.д.

Графический смысл граничных условий I, II, III родов и сопряжения рассмотрен в [17].

В случае контакта с идеальным проводником или с хорошо перемешиваемой жидкостью граничные условия, возникающие в контактных задачах, могут быть заменены на более простые, заменяющие в некотором смысле граничные условия сопряжения [18-19].

Упрощение граничных условий сопряжения (0.2) - (0.3) допускают также задачи стационарной теплопроводности в тех случаях, когда в некоторых средах мала вариация температурного поля по определенным направлениям. В частности, если рассматривается массивное твердое тело, на поверхности которого имеется совершенный тепловой контакт с тонкой оболочкой из другого материала, не содержащей источников теплоты, и граничные условия заданы на внешней поверхности оболочки, то можно приближенно ввести эффективные граничные условия непосредственно на поверхности массивного твердого тела [20-21].

При формулировке граничных условий теплового контакта (0.2)-(0.3) предполагается, что контактирующие тела разделены идеальной (математической) поверхностью, причем каждое из тел является однородным вплоть до поверхности раздела. В действительности между телами может иметь место некоторый переходный слои, свойства которого отличаются от свойств контактирующих тел.

При расчете температурного поля в системе таких тел пришлось бы задавать граничные условия сопряжения на всех контактных поверхностях, что, естественно, усложняло бы соответствующую задачу теплопроводности.

При рассмотрении краевых задач нестационарной теплопроводности на нагревание или охлаждение системы соприкасающихся тел (слоистые среды), когда теплообмен между ними происходит по закону теплопроводности и в постановке соответствующей краевой задачи, имеют место граничные условия сопряжения весьма эффективен операционный метод. В [11] в качестве примера приводится задача для двухслойной пластины, нагреваемой поверхностным источником теплоты постоянной интенсивности: ди. а, д2и, , „ ди2 1 , 0<х</, ¿>0; 2 дх ' дх2 г^,(х,0) = и2(х, 0) = 0; и2(х,0 —> 0, х —» оо; дХ д и2

I < х< оо, х > о

0.7)

1 дх х=0 дих

1 дх х=/ дх х=1

0.8)

Решение задачи ищется в классе функций, для которых применимо преобразование Лапласа по переменной ^ [22-24].

Ряд решений для двухслойной пластины при граничных условиях I и III родов и при наличии источников теплоты, получены в работах [25-27], а также в монографиях [17,18].

Аналитические решения краевых задач теплопроводности и родственного типа для многослойных сред связаны с определенными математическими трудностями. Здесь используются интегральные преобразования Фурье-Ханкеля с элементами операционного исчисления либо метод функции Грина 6

28-31]. Методика решения такого класса задач не отличается от методики решения задач для системы двух сред, однако трудоемкость выполнения преобразований возрастает резко с увеличением числа сред.

Для численного решения уравнения теплопроводности (диффузии) с разрывным коэффициентом теплопроводности по одним и тем же формулам без явного выделения точек разрыва коэффициентов используются однородные разностные схемы «сквозного» или «непрерывного» счета. Схема в окрестности разрывов не меняется и вычисления во всех узлах ведутся по одним и тем же формулам, независимо от того, разрывен или непрерывен коэффициент теплопроводности [13,14,32,33].

Целью настоящей работы является исследование краевых задач для уравнения теплопроводности как с постоянными, так и с переменными разрывными коэффициентами, также для дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной в группе младших членов и нагруженного уравнения, разработка численно-аналитических методов их реализации

Основными методами исследования являются:

- метод интегральных уравнений (или метод функции Грина);

- метод априорных оценок;

- метод баланса построения устойчивых разностных схем.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

- доказана теорема существования и единственности решения второй краевой задачи для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности, когда температура терпит разрыв, а тепловой поток непрерывен;

- получены априорные оценки решения для этой же задачи в случае параболического уравнения с переменным разрывным коэффициентом теплопроводности;

- доказана сходимость метода Роте для задачи нагрева двухслойной системы;

- для нагруженного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами (к1=сот^ доказана теорема существования и единственности путем сведения его к системе интегральных уравнений Вольтерра II рода;

- построены разностные схемы повышенного порядка точности третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности общего вида с разрывными коэффициентами при условии непрерывности тепловых потоков и разрывных температурах и доказана сходимость этих схем.

Результаты работы могут быть использованы для решения конкретных теплофизических задач при анализе процессов нагрева, плавления, испарения, охлаждения и затвердевания двухслойных систем, также при численной реализации этих задач.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по современному анализу, на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей и прикладной математики КБГСХА, опубликованы в [72-78].

Рассмотрим более подробно содержание каждой главы.

1. Углов A.A., Смуров И.Ю., Лашин A.M. «Моделирование нестационарного движения фазовых границ при воздействии потоков энергии на материалы». ТВТ, т.27, №1, «Наука», 1989, с.87-92.

2. Углов A.A., Смуров И.Ю., Лашин A.M. «Влияние структуры импульсно-периодического потока энергии на динамику фазовых границ плавления и испарения». ТВТ, т.29, №2, «Наука», 1991, с.294-302.

3. Углов A.A., Игнатьев М.Б., Смуров И.Ю. и др. «Особенности нагрева системы «покрытие-основа» при лазерном легировании поверхностей металлов». ТВТ, т.29, №3, «Наука», 1991, с.509-514.

4. Бункин Ф.В., Трибельский М.И. //УФН, 1980, т.130, с.193.

5. Любов Б.Я., Соболь Э.Н. //ФиХОМ, 1979, №1, с.12.

6. Любов Б.Я., Соболь Э.Н. //ИФЖ, 1983т.45„ №4, с.670.

7. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.,Наука, 1977, с.724.

8. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики т. 1,2. Гостехиз-дат, 1951, с. 220.

9. Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М.,1964.

10. Самарский A.A. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа.ЖВМ и МФ, 1963, тЗ, №2, с.266-288

11. Самарский A.A. Теория разностных схем. «Наука», М., 1977,с.656.

12. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. «Наука», М.,1975, 1981.

13. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, М., 1963.

14. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.Высшая школа, 1967, с.600.

15. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. Госэнерго-издат, 1963, с.53 5.

16. Коган М.Г. Нестационарная теплопроводность в слоистых средах. -журн.техн. физики, 1937, т.27, №3, с.522-531.

17. Равин B.C. Об эффективных граничных условиях в задачах стационарной тепло проводности ИФЖ, 1967, т.12, №4, с.540-541.

18. Шашков А.Г. Системно-структурный анализ процесса теплообмена и его применение. Энергоатомиздат, М.,1983. с. 279.

19. Карслоу Г., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. М., изд-воИл, 1948, с.292.

20. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.Наука, 1964. 487 с.

21. Ф.Франк и Р.Мизес. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, гл. XIII, Гостехиздат, 1937.

22. Ильченко О.Т. Температурное поле двухслойной пластины при переменных во времени граничных условиях теплообмена. ИФЖ, 1970, т. 19, №6, с. 1094-1099.

23. Павловский Г.И. Теплопроводность в двухслойной пластине при граничных условиях III рода. ИФЖ, 1962, т.5, №4, с.86-88.

24. Струнина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений. ИФЖ, 1961, т.4, №1, с.99-104.

25. Карташов Э.М., Нечаев В.М. Метод функции Грина при решении краевых задач уравнения теплопроводности в нецилиндрических областях. -Прикл.матем. и мех. (ZAMM, ГДР), 1978, №58, с.199-208.

26. Карташов Э.М. Метод функций Грина при решении краевых задач уравнения теплопроводности обогценного типа. Изв. АН СССР, «Энергетика и транспорт», 1979, №2, с. 108-116.

27. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач, «Мир», М., 1972,418с.

28. Самарский A.A., Лекции по теории разностных схем, ВЦ АН СССР, М., 1969.

29. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Физматиз-дат, 1959,с.232.

30. Ловитт У.В. Линейные интегральные уравнения. М.ГИТ-ТЛ, 1957, с.266.

31. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 1967,с.736.

32. Rothe Е. Math. Ann. 104, 1931, 340-362.

33. Солонников В.А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа, труды МИАН 70, 1964, 133-212.

34. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их применения. ДУ, 1983, т.19, №1, с.86-94.

35. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. «Высшая школа», М.,1995,с.301.

36. Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа. ДУ, 1977, т. 13, №1, с. 163-167.

37. Дикинов Х.Ж., Керефов A.A., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности. ДУ, 1976, т. 12, №1, с. 177179.

38. НахушевА.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка. ДУ, 1976, т. 12, №1, с.103-108.

39. Нахушев A.M., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод. -ДУ, 1977, т.13, №1. С.105-110.

40. Дженалиев Н.Т. Начально-краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа. «Теоретич. и приклад, вопросы дифференц. уравнений». Караганда, 1986, с.70-77.

41. Дженалиев Н.Т. Об одной краевой задаче для линейного нагруженного параболического уравнения с нелокальным и граничными условиями. -ДУ, 1991, т.27,№10, с. 1925-1927.

42. Кармоков М.М. Нелокальная краевая задача для разрывно-нагруженного уравнения теплопроводности. Методы матем. моделир. и вычисл., Нальчик, 1989, с. 129-133.

43. Ланин И.Н. Краевая задача для одного нагруженного гиперболопараболи-ческого уравнения третьего порядка. ДУ, 1981, т. 17, №1, с.97-106.

44. Фихтенгольтц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, II,М., «Наука», 1970., с.114.

45. Самко С.Г., Килбас A.A. Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск., «Наука и техника», 1987, 686 с.

46. Бэгли Р.Л., Товик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка. новый подход к расчету конструкций с вязкоупругими делепфированием. Аэрокосмическая техника, 1984, т.2, №2, с.84-93.

47. Вебер В.К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с.119-125.

48. Вебер B.K. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных функций. Фрунзе, Илим, 1985. Вып. 18, с.306-312.

49. Вебер В.К. Об одном дифференциальном уравнении нецелого порядка. Сб.тр. аспирантов и соискателей Кирг.ун-та. Сер.мат.наук, 1973, вып. 10, с.7-14.

50. Джарбашян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувиля. Изв. АН Арм.ССР, мат. 1970, т.5, №2, с. 71-97.

51. Джарбашян М.М, Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка. Изв. АН Арм. ССР мат., 1968, т.З, №1, с.3-29.

52. Желудев В.А. Производные дробного порядка и численное решение одного класса уравнений в свертках. ДУ , 1982, т.18, №3, с.1950-1960.

53. Кочубей А.Ю. Диффузия дробного порядка. ДУ, 1990, т.26, с.660-670.

54. Летников A.B. Теория дифференцирования с произвольным указателем. Мат.сб., 1968, т.З., с.1-68.

55. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные. Докл Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук, 1996, т.2, №1, с.43-45.

56. Нахушев А.М. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях, Нальчик-Майкоп, 1995, с.50.

57. Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной. Доклады РАН, 1996, т.348, №6, с.746-748.

58. Шхануков М.Х., Керефов A.A., Березовский A.A. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях и разностные методы их численной реализации. Укр.мат.журн., 1993, т.45, №9, с.1289-1298.

59. Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А.Р. Замечание к постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными. Сб.науч. трудов, Киев, 1996, с.286-287.

60. Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А.Р. Численное решение третьей краевой задачи для обобщенного уравнения диффузии дробного порядка. Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики. Нальчик, 1996, с. 103.

61. Бечелова А.Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка. Укр. матем. Журнал. Киев, 1998, т.50, №7, с.994-996.

62. Гарепекина И.ЮБ., Бечелова А.Р. Об одном итерационном методе решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник КБГУ. Вып.1., Нальчик, 1996, с.38-40.

63. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности. Матем. Сборник 935, т.42, №2, с. 199-216.

64. Фрязинов И.В. О решении третьей краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности в произвольной области локально-однородным методом. ЖВМ и МФ. 1966, т.6, №3, с.487-502.

65. Керефов A.A., Керефова И.Х. Краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения третьего порядка. // Сб. науч.тр. Киев, 1992,с.52-55.

66. Керефова И.Х. Об одной граничной задаче для нагруженного интегродифференциального уравнения. // Сб. «Материалы научно-практическойконференции». КБГСХА, 1995,с. 147-149.81

67. Керефова И.Х. Об одной задаче для вырождающегося эллиптического уравнения. // Сб.научных трудов. Кисловодск, 1996, с.25-26.

68. Керефов A.A., Шхануков М.Х., Керефова И.Х, Об одной математической модели нагрева системы «покрытие-основа». // Весник КБГУ, 1996,с.63-67.

69. Керефова И.Х. Об единственности решения одной задачи нагрева. // Функционально-дифференциально-интегральные уравнения и их приложения. ДГТУ, Махачкала, 1999,с.35-37.

70. Керефова И.Х. Об единственности решения одной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. // Сб. научных трудов. Киев, 2000.

71. Керефова И.Х, Об одной априорной оценке решения краевой задачи для нагруженного параболического уравнения с разрывными коэффициентами. // Доклады АМАН, Нальчик, 2000.