Краевые задачи для нагруженных уравненийпараболического типа с разрывными коэффициентамии разностные методы их решения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Министерство образования Российской Федерации

г Го ОД

2 5 £ЕН т

На правах рукописи

Керефова Ира Хазизовна

Краевые задачи для нагруженных уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами и разностные методы их решения

Специальность 01.01.03 -Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нальчик-2000

Работа выполнена в Кабардино-Балкарской государственной сельскохозяйственной академии на кафедре высшей и прикладной математики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шхануков М.Х.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кусраев А.Г. кандидат физико-математических наук, доцент Канчукоев В.З.

Ведущая организация: Высокогорный геофизический

институт

Защита состоится 2 декабря 2000г. в 10— часов на заседании специализированного совета К063.88.06 при Кабардино-Балкарском государственном университете по адресу: 360004, КБР, г.Нальчик, ул.Чернышевского, 173.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КБГУ.

Автореферат разослан 30 октября 2000г.

Ученый секретарь ДС К063.88.06: , //

кандидат физ.-мат. наук ¿)1оиц\ь{ Кайгермазов A.A.

ßrs/, 62/, 3 ¿>3

^ /У,г vW, 2 JA ~ 3./9Я

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Многие задачи математической физики, возникающие при моделировании процессов нагрева, плавления и поверхностного испарения от воздействия потоков энергии на материалы, приводят к необходимости решения краевых задач для уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами. В связи с этим возникает проблема постановки корректных краевых задач для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами, а также разработки численно-аналитических методов их решения.

В большинстве работ, посвященных изучению тепловых процессов в системе «основа - покрытие», используется одномерная теплофизическая модель нагрева двухслойной системы нестационарным тепловым потоком. При постановке задач помимо начальных и граничных условий необходимо задать условия сопряжения на границе раздела двух сред.

Характер условий сопряжения может быть различным. В данной работе рассматриваются модели нагрева двухслойной системы, когда на границе раздела сред температура терпит разрыв, а тепловой поток непрерывен.

Изучение тепловых задач с граничными условиями сопряжения приобрело особую актуальность в последние годы в связи с развитием высокотемпературной теплофизики - расчет многослойных покрытий головок ракет, элементов преобразователей энергии и т.д.

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является исследование краевых задач для уравнения теплопроводности как с постоянными так и с переменными разрывными коэффициентами, также для дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной в группе младших членов и нагруженного уравнения, разработка численно-аналитических методов их реализации.

Методы исследования. Основными методами исследования являются:

- метод интегральных уравнений (или метод функции Грина);

- метод априорных оценок;

- метод баланса построения устойчивых разностных схем.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Доказана теорема существования и единственности решения второй краевой задачи для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности, когда на границе раздела сред температура разрывна, а тепловой поток непрерывен.

2. Получены априорные оценки решения этой задачи в случае параболического уравнения с переменным разрывным коэффициентом теплопроводности и нагруженного уравнения теплопроводности общего вида.

3. Доказана сходимость метода Роте для задачи нагрева двухслойной системы.

4. Для нагруженного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами (к, = const) доказана теорема существования и единственности путем сведения его к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

5. Построены разностные схемы повышенного порядка точности третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности общего вида с разрывными коэффициентами при условии непрерывности тепловых потоков и разрывных температурах и доказана сходимость этих схем.

Практическая полезность состоит в том, что результаты данной работы могут быть использованы для решения конкретных теплофизических задач при анализе процессов, плавления, испарения, охлаждения и затвердевания двухслойных систем, также при численной реализации этих задач.

Апробация работы. По материалам диссертации сделаны доклады на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей и прикладной математики КБГСХА, на Международном симпозиуме «Экономика и право - стратегия 3000» в г. Киловодске (1996 г.), на научно-исследовательских семинарах математических кафедр КБГУ, на конференции «Математические чтения, посвященные Мухтарову Х.Ш.» в г.Махачкала (1999).

Публикации. Основные результаты выполненных исследований опубликованы в семи работах, две из которых выполнены в соавторстве.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа объемом вЗ<£ страниц состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка из 78 наименований.

Содержание работы

Во введении сформулирована цель работы, обоснована актуальность темы. Изложена структура и содержание диссертации, показана научная новизна и практическая применимость результатов работы.

Глава I.

§ 1. В области Q = {(л,t):0<x<h2, 0<t< Т] исследуется следующая задача:

<'=>-2 <»

dt дх1

j^^fiM МУ = 0, (2)

дх дх

где \ - толщина покрытия, /г2- координата тыльной стороны системы, Xj - коэффициент теплопроводности, с(- - теплоемкость,

р; - плотность, kj = XjcjPj —const, г-номер слоя (/ = 1,2), R-тепловое сопротивление.

На границе х = \ между слоями системы задается условие сопряжения вида

ъщ^а = 1[!(2(+м_„2(_ М]>(3)

ох ох К

где ы1(-А1,/) = ы1(А1 -0;/), и2(+/г1,/) = и2(/г1 +0;/).

Получены интегральные представления решения задачи (1) -(3) в областях гладкости. Доказана теорема существования и единственности этого решения, поскольку для определения скачка решения уДх,/) при переходе через х = Ъ\ получено интегральное уравнение Вольтерра второго рода, которое имеет единственное решение.

§2. Для неоднородного уравнения диффузии с переменными коэффициентами

ди1 _ д Э/ ~ дх (*,/)> с,- > 0,

дх

(4)

удовлетворяющего условиям:

щ (х,0) = ит (х), 0 < х < Ь2,

йс ОС

в области П = {(л, /): 0 < х < /г2,0 < / < Г} ставится задача нахождения регулярного в области Г2, (г = 1,2) решения и^х,{)из класса \ {х = /г1}) и непрерывно дифференцируемого в О,

вплоть до х = 0, х = Нх и х = к2.

Методом априорных оценок доказана единственность решения задачи (4) - (5).

§3. Аналогичные результаты справедливы и в случае общего уравнения параболического типа

сЦ- _ д д( ~ дх

дх

- П - Чг (-V)», + /, (х,(), (6)

дх

1 = 1,2, &, (*,/), г;(д:,/), заданные достаточно

гладкие функции, причем А,- („т, /) > с, >0.

Для решения уравнения (6), удовлетворяющего условиям (5), получена априорная оценка:

Iй' 1(о д)+ !Ы1(,,Л) + У 1(0Л)+ II"2-

(7)

I

< АГ(410(х4л) ^»(ОЛ)

Лг)

где у>0, М(0 - положительная величина,

Л, Л2

о

о

о

§ 4. На отрезке [0,Г] введем сетку • = /г, ] = ОД,...у0]

и второй краевой задаче для уравнения (6) поставим в соответствие схему Роте:

У'г =

Эх

дх

/ = 1,2, 0 < х < И2, у,(х,6) = иДх),

дх дх

(8)

(9)

У-У

где у, = -——, у-у1, у = у' 1, х - шаг сетки. х

Получен дискретный аналог априорной оценки (7):

т=1

•Х<М

\т=1

■Т +

1КМ12

\

(10)

где М- положительная постоянная, ¡|>/||2 = Ц^Ц^) + |М!(Й1Л) ■

Обозначим через г = у-и, Здесь и = u{x,tj) - решение задачи на слое (,.

Тогда для погрешности г оценка (10) принимает вид:

Ы2^

У

2

т=1

т |

] т=1

(И)

что доказывает сходимость метода Роте со скоростью О(т) в норме

'¿1И

2

•т.

т=1

Глава II.

В этой главе рассматриваются краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами.

§1. В области П = |(х,/): 0<х <Л2, 0 < ?< г| для нагруженного уравнения

Зы / ■ \

= ТТ"" (*»')"/ (хо>Ч+ // (Н)

от

/ = 1,2, 4е(°Л)>

ставится следующая задача:

Найти регулярное в Qi решение г/;(х,/) уравнения (11) из класса

с(о, \ {х = \ })п С1 и х = 0 и х = Ъх) п С1 (0.2 и ^ = ¿1 V х = /г2 )> удовлетворяющее условиям второй краевой задачи и1 (х,0) = и ю (х), 0<х<к2,

и1ж((и) = «2х(Л2,г) = 0 (12)

и условиям сопряжения

(- М) = к2и2х (+ М) = "2 (+ М)~ «1 К Л (13)

Методом функции Грина вопрос разрешимости задачи (11) -(13) сводится к вопросу разрешимости интегральных уравнений

Вольтерра второго рода для определения и{[х'0,?^ г = 1,2, и разности и2(+/*!,/)- непрерывность ядер и правых частей которых доказывает справедливость утверждений теоремы 2 о существовании и единственности решения задачи (11) — (13).

Во втором параграфе получены априорные оценки для решения нагруженного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами вида

дui _ д 5/ ~ дх

ди1 дх

удовлетворяющего условиям (12) - (13).

§3. Здесь рассматривается смешанная краевая задача для параболического уравнения с дробной производной порядка а, ае(0,1):

дt дх _ дх

/ = 1,2,

и, (х,0) = «,0 (х), 0<х<к2, М1(0,/)=0, «2я(А2,/) = 0,

/)*<?,> 0, гг(х,/)>0, ^М^О

- г,-(х,0£>о>/ - + /, М> (14)

с условиями сопряжения

(- ¿1, * >#,, (- ^, *) = *2 (+ > ()и2 х (+ V) =

где - оператор дробного в смысле Римана-Лнувилля дифференцирования порядка а е (ОД):

1

L \ , 0<а<1.

Г(1-а)

Получена априорная оценка для решения задачи (14 - (15), доказывающая ее единственность.

Глава III.

§ 1. Для первой краевой задачи стационарного уравнения теплопроводности

Lu з

d_

dx

k(x)

du dx

- q{x)u = -/(x), 0<x<l,

w(o)= w(l) = 0

с условиями сопряжения

(16) (17)

du dx

du

' dx

S+o

С \ ,/ \ если 0 < X <

где х = с> - точка разрыва к\х), к{х) = <

если£<х<1,

выписываются решения в областях гладкости (0, (£Д) и доказывается, что справедлива следующая

Теорема. Для того, чтобы задача (16) - (17) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы

где gl (х) - решение задачи

Lgx= 0, gj(о) = 0, fc,

dx

= 1,

£гМ

решение задачи

g2 (l) = 0, h

dg2

dx

= 1.

4+o

§2. Дифференциальной задаче (16) - (17) на неравномерной сетке ставится в соответствие разностная схема, причем точка разрыва х = £ совпадает с одним из узлов сетки л,о - ^. В точках сетки х, ^ разностное уравнение пишется обычным образом, т.е.

(фх)*/Р/> '"'о» / = 1,2,...,ЛГ-1.

В узле уравнение пишется так: asly/" - уГ v= ;

У'р •''о/ - _ _ X-

0.5h ia io 0'

'о

<Vi>Wi - - д] + = _ ,+

¡Q У id Jig

0.5 h.

''0+1

Jo = ^¿V = 0 ■

Здесь через , обозначены значения >>,й слева и справа от узла соответственно.

Для нахождения неизвестных У1,У2>—,У1о-1>Ум>У?о> у1 о+1,.--5 Уы-\ применяется метод прогонки.

§3. В этом параграфе строится разностная схема повышенного порядка аппроксимации третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами:

ди1 _ д д( ~ дх

дщ дх

+ //(*, 4 0<х<к2, 0</<Г, (18)

к^ дх

-к ^ дх

= Р,(/)м1(0)/)-ц1(4

х=0

(19)

) = щ(х\

где

^(хД 0 < л- <

¿2(л,г), Ъ,<х<!ъ, £, = /?! - точка разрыва,

аМ

ае

[4 =

5м] Эх

ди2

•"аГ

Н.-0

5+0

Задаче (18) - (19) на неравномерной сетке поставлена в соответствие разностная схема, аппроксимирующая исходную дифференциальную задачу:

у|=Л(ау + (1-с)^)+<|>, у = у/+\ у^у1, («1 ('км -Р)Ы(0) + Й (') = 0.5ку,<(1,

- (% - Р2V + Рг (0 = Ъ.5}гу1Ы,

(20) (21)

где I = с— произвольное число, Ау = (ау-). - йу в узлах,

отличных от х,0.

В узле хI = ^ разностное уравнение пишется так:

j, = -^L-Wrj,- + /Г,

'о

-иУх,/„-H-g(yj ~ Ai) + Д'о+о- ^--

/q+1

Для решения разностной задачи (20) - (22) получена оценка в равномерной метрике

Г

j

*11с

J

с

к=1

откуда следует сходимость задачи (20) - (22) со скоростью О У/?!2 + г2 ), если

/г2

0<а<1, т<--—Я--л, где

(l-a)c-(l + 0.5Äoj

с = шах(с2,с3), С] <öi <с2, 0<^<с3, /г0 = min(A1,A2).

Публикации по теме диссертации:

1. Керефов A.A., Керефова И.Х. Краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения третьего порядка. // Сб. «Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения». Киев, 1992, с. 52-55.

2. Керефова И.Х. Об одной граничной задаче для нагруженного интегро-дифференциального уравнения. // Сб. «Материалы научно-практической конференции КБГСХА». Нальчик, 1995, с. 147-149.

3. Керефова И.Х. Об одной задаче для вырождающегося эллиптического уравнения. //По материалам Международного научного симпозиума «Экономика и право - стратегия - 3000». Кисловодск, 1996, с. 25-26.

4. Керефов A.A., Шхануков М.Х., Керефова И.Х. Об одной математической модели нагрева системы «покрытие - основа». // Вестник КБГУ, серия «Физико-математические науки». Нальчик, 1996, с. 63-67.

5. Керефова И.Х. Об единственности решения одной задачи нагрева. // «Функционально-дифференциально-интегральные уравнения и их приложения». (Тезисы докладов Вторых Мухтаровских. чтений 14-16 октября 1999 г.). Махачкала, 1999, с. 35-37.

6. Керефова И.Х. Об единственности решения одной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. // Сб. «Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения». Киев, 2000.

7. Керефова И.Х. Об одной априорной оценке решения краевой задачи для нагруженного параболического уравнения с разрывными коэффициентами. // Доклады Адыгской Международной Академии Наук. Нальчик, 2000.

Сдано в набор 23.10.2000. Подписано в печать 25.10.2000. Гарнитура Тайме. Печать трафаретная. Формат 60x84 1116. Бумага офсетная. Усл. п.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 521.

Типография Кабардино-Балкарской государственной сельскохозяйственной академии

г. Нальчик, ул. Тарчокова, 1а