Задача Коши и граничные задачи для некоторых сингулярных параболических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ И ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЩИХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ПО И.Г.ПЕТРОВСКОМУ СИСТЕМ СО СТЕПЕННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ

§ i. Леммы о свойствах специальных объемных потенциалов

§ 2. Построение фундаментальной матрицы решений задачи Коши

§ 3. Разрешимость задачи Коши

Глава П. ЗАДАЧА КОШ И СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ В-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 1. Некоторые вспомогательные утверждения и леммы.

§ 2. Внутренние оценки шаудеровского типа решений

В -параболических систем

§ 3. фундаментальные решения задачи Коши для

В-параболических систем с особенностями в коэффициентах

§ 4. Разрешимость задачи Коши для В -параболических систем с особенностями в коэффициентах

§ 5. Теоремы Лиувилля для решений В-параболических систем

§ б. Фундаментальные решения задачи Коши для

В-параболических систем с дисспацией . ПО

Глава Ш. МАТРИЦА ГРИНА ОДНОРОДНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ. СЛУЧАЙ НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ И СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ.

§ I. Вспомогательные утверждения о функции Грина и леммы об оценках некоторых объемных потенциалов в нецилиндрических областях

§ 2. Теорема о существовании и свойствах матрицы р и н а

Л И ТЕ РА ТУРА

Диссертационная работа посвящена некоторым вопросам теории линейных параболических систем с коэффициентами, имеющими особенности. В ней: I) построена фундаментальная матрица решений задачи Коши для произвольных параболических в смысле И.Г.Петровского систем в случаях, когда коэффициенты имеют степенные особенности на прямых Х = Х0 и гиперплоскости "t ="t0 (глава 1) и систем с оператором Бесселя по lt-ой пространственной координате (глава П);2)построена матрица Грина и изучены ее свойства для параболической краевой задачи в нецилиндрической области со степенными особенностями в коэффициентах системы (глава Ш).

Для уравнений с частными производными с помощью классических методов решены многие важные задачи. Исследованию задачи Коши и граничных задач для линейных параболических систем посвящены работы И.Г.Петровского [66], С.Д.Эйдельмана [80], В.П.Михайлова [бI], Т.Я.Загорского [19], О.А.Ладыженской, В.А.Солонни-кова, Н.Н. Уральце вой [47], Е.М.Ландиса [481, А.Фридмана [78], М.И.Матийчука [bl\ , С.Д.Ивасишина [21-24"! и других авторов.

Важные результаты для вырождающихся уравнений с частными производными и оператором Весселя получены Я.И.Нитомирским [18], И.А.Куприяновым [ЗЗ-Зб] , В.И.Кононенко [30-32], М.И.Ключанцевым [37], В.В.Катраховым [2$,[28], Л.И.Камыниным [26], М.И.Матийчуком [54-60], М.М.Смирновым [?3, [72], А.В.Ивановым [20].

В работах В.В.Крехивского, М.И.Матийчука [41], [42] изучаются фундаментальное решение и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Весселя, рассматриваются краевая и смешанная задачи для данных систем. О.Н.Козлова [38-39] изучила свойства положительных решений параболических уравнений с оператором Бесселя.

В настоящее время исследуются такие задачи для важных, с теоретической и прикладной точек зрения, классов уравнений с особенностями в коэффициентах. В работах Л.Г.Михайлова [62], [63] изучается обобщенная система Коши-Римана, коэффициенты которой имеют особенности. Л.С.Парасюк [77"] исследовала свойства обобщенного фундаментального решения эллиптической системы с разрывными коэффициентами. Задачу Коши и основные задачи математической физики для параболических систем с разрывными коэффициентами рассмотрел М.И.Матийчук [53], а в работах [54 - 58] им же строится и изучается фундаментальное решение названных систем и исследуются краевые задачи параболического типа с разрывными коэффициентами на гиперплоскости. Принцип максимума для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами получен И.Д.Пукальским, М.И.Матийчуком [67].

Краевые задачи для некоторых сингулярных дифференциальных операторов изучались В.В.Катраховым [27],[28] , а фундаментальное решение дифференциального оператора с особенностью рассмотрели В.С.Серов [70], Л.С.Парасюк [65].В работе С.Д.Эйдельмана,С.Д.Ива-сишена [81] исследована матрица Грина однородной параболической граничной задачи для систем с разрывными коэффициентами.

В работе изучаются граничные задачи для линейных параболических дифференциальных операторов в весовых пространствах Соболева. Коэффициенты оператора имеют особенности в нижней части цилиндра.

Общие эллиптические задачи с сильным вырождением изучались Я.А.Ройтбергом и З.Т.Шефтелем [68].

Как свидетельствует проведенный анализ, получены глубокие результаты по исследованию фундаментального решения и классической разрешимости граничных задач, изучена классическая задача Коши для параболических систем. Изучены многие вопросы разрешимости граничных задач для эллиптических и параболических вырождающихся уравнений и систем, имеющих особенности в коэффициентах.

До настоящего времени не были изучены задача Коши для общих параболических по И.Г.Петровекому систем со степенными особенностями в коэффициентах, параболических систем с оператором Бесселя и степенными особенностями в коэффициентах.

В данной диссертационной работе изучаются свойства решений параболических систем первого и высших порядков по t со степенными особенностями в коэффициентах при младших производных, вырождающиеся уравнения с такими же особенностями в коэффициентах.

Здесь построены фундаментальные решения для а) систем высшего порядка по "t с особенностями в коэффициентах; б) параболической системы с оператором Бесселя ( В-параболиче-ской) с особенностями в коэффициентах; в)В-параболической системы с диссипацией; г) однородной краевой задачи для параболической системы со степенными особенностями в коэффициентах системы в нецилиндрической области.

Полученные результаты применены к решению задачи Коши для соответствующих систем. Кроме этого доказаны теоремы Лиувилля и внутренние оценки решений В -параболических систем.

При исследовании поставленных задач используется методика, разработанная вышеупомянутыми авторами в работах, описывающих свойства решений эллиптических, гиперболических, параболических уравнений с гладкими и вырождающимися коэффициентами.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы.

1. Аббасов А.Т. О поведении на границе решений вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка в разрывными коэффициентами. - Дифференц.уравнения,1970, т.б, № б, с.1073-1085.

2. Агмон С.,Дуглис Н.,Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: Мир, 1962. 205 с.

3. Бадерко Е.А. 0 потенциалах для 2р -параболических уравнений. -Дифференц.уравнения, 1983, т.19, № I, с.9-18.

4. Введенская Н.Д. 0 зависимости гладкости решения вырождающегося параболического уравнения от параметров области. Журн.вычислит, математики и мат.физики,1971,т.11, № б, с.1453-1461.

5. Веренич I.I., 1васишен С.Д. Матриця Грша загальних однор1дних парабол 1чних крайових задач у нещшндричних областях. Допо-В1Д1 АН УРСР. Cepifl А, 1970, № 12, с.1063-1066.

6. Веренич И.И.,Матийчук М.И. 0 свойствах решений параболических систем с оператором Бесселя. Математический сборник. К.: Нау-кова думка, 1976, с.151-154.

7. Веренич И.И. Внутренние оценки решений параболических уравнений с оператором Бесселя. Доклады АН УССР.Серия А,физико-матем.и технич.науки, 1977, № II, с.969-974.

8. Веренич И.И. Фундаментальные решения параболических систем высшего порядка по t с особенностями в коэффициентах и их применение к решению задачи Коши. Черно виц.гос.ун-т,Черно вцы,1981, 30 с. Рукопись деп.в ВИНИТИ, 20 июля 1981 г.,№ 3606-81 Деп.

9. Веренич И.И. 0 фундаментальных решениях параболических систем высшего порядка по t с особенностями в коэффициентах. -Доклады АН УССР. Серия А, физико-матем. и техн.науки, 1982,№ 2, с.5-8.

10. Веренич И.И. Задача Коши для В -параболических систем с особенностями в коэффициентах. Мат.физика. Вып.33, 1983,с.61-65.

11. Веренич И.И. О матрице Грина параболической краевой задачи в нецилиндрической области с особенностью в коэффициентах системы. Черновиц.гос.ун-т, Черновцы, 1983, 25 с. Рукопись деп. в Укр.НИИНТИ 4 июля 1983?.,№ 670 Ук-Д83.

12. Веренич И.И. О матрице Грина параболической краевой задачи в нецилиндрической области с особенностью в коэффициентах системы и ее применение. Республ.конференция по нелинейным задачам математической физики. Тезисы докладов, Донецк, 1983, с.23.

13. Веренич И.И. 0 решении задачи Коши для квазилинейных параболических систем с особенностью в коэффициентах. В кн.: Общая теория граничных задач. Сб.науч. тр. Киев: Наукова думка, 1983, с.255-256.

14. Глаголева Р.Я. Априорная оценка нормы Гельдера и неравенство Харнака для решения нелинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Матем.сборник. Т.76. Вып.2, 1968, с.167-185.

15. Глаголева Р.Я. Лиувиллевы теоремы для решения линейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Матем.заметки. Т.5. Вып.5, 1969, с.599-606.

16. Гусаров Л.А. Оценки решений первой краевой задачи для параболических уравнений высших порядков. Доклады АН СССР. Т.166, № 4, 1966, с.767-770.

17. Гусаров Л.А. Лиувиллевы теоремы для эллиптических уравнений в цилиндре. Успехи мат.наук. Т.34. Вып.2, 1979,с.195-196.

18. Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальным оператором типа Бесселя. Матем.сборник. Т.36(78), № 2, 1955, с.299-310.

19. Загорский Г.Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. -Львов. Изд-во Львовского ун-та, 1961. 115 с.

20. Иванов А.В. Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка. Труды мат.ин-та им.Стеклова. Т. '160. 1982, с.249-285.

21. Ивасишен С.Д. Внутренние оценки ^-параболических систем. -Доклады АН УССР. 1962, № 8, с.ЮП-1016.22. 1васишен С.Д. AnpiopHi оцшки розв"язк1в задач! Komi для Я&-парабол1чних систем. Допов1Д1 АН УРСР. 1965, № 9, с.1121-1125.

22. Ивасишен С.Д. Матрица Грина граничных задач для параболических по И.Г.Петровскому систем общего вида I, П. Математический сборник. 1981, 114(156), № I, с.110-166; 114(156), }о 4, с.523-565.

23. Ивасишен С.Д. 0 корректной разрешимости параболических граничных задач в пространствах растущих функций. Укр.матем. журн., 1982, т.34,!,' I, с.25-30.

24. Камынин Л.И., Масленникова В.Н. Граничные оценки шаудеров-ского типа решения задачи с косой производной для параболического уравнения в нецилиндрической области. Сиб.матем. журн. 1966, 7, № I, с.83-128.

25. Камынин Л.И., Химченко В.Н. Об априорных оценках решения параболического уравнения 2-го порядка вблизи нижней крышки параболической границы. Сиб.матем.журн. 1981, 22, Г° 4,с.94-113.

26. Катрахов В.В. К теории уравнений с частными производными ссингулярными коэффициентами. Докл.АН СССР, 1974,218,}f° I,с.17-20.

27. Катрахов В.В. О краевых задачах для некоторых сингулярных дифференциальных операторов. Труды НИИ. Вып.13. 1974,г»г-. яС,00-4i .

28. Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. Докл. АН СССР. 1964, 158, )? 2, с.275-278.

29. Киприянов И.А., Кононенко В.И. 0 фундаментальных решениях уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. Докл. АН СССР, 1966, 170, $ 2, с.261-264.

30. Киприянов Й.А., Кононенко В.й. фундаментальные решения В -эллиптических уравнений. Дифференц.уравнения. 1967, 3,№ 1, с.114-129.

31. Киприянов И.А., Кононенко В.И. 0 фундаментальных решениях В-эллиптических уравнений. В сб.: Материалы У1 межвузовской физ.-мат.научн.конференции Дальн.-Вост., 1967, т.З,с.100-105.

32. Киприянов И.А. Об одном операторе, порожденном преобразованием Фурье-Бесселя. Сиб.матем.журн., 1967, 8, f 3,с.601-620.

33. Киприянов И.В. Оценки в решений краевых задач для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. Тр. Матем.ин-та АН СССР. 1967, 91, с.27-46.

34. Киприянов И.А., Ключанцев М.И. Оценки поверхностного потенциала, порожденного оператором обобщенного сдвига. Докл. АН СССР. 1969, 188, № 5, с.997-1000.

35. Киприянов И.А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов. 1. Дифференц.уравн. 1971, 7, № II, с.2066-2077.

36. Ключанцев М.И. Оценки решений краевых задач с оператором Бесселя. Докл.АН СССР. 1969, 188,Г 6, с.1227-1230.

37. Козлова О.Н. О положительных решениях параболического дифференциального уравнения с оператором Бесселя. Латв.мат. енегодник. 1976, 19, с.145-149.

38. Козлова О.Н. О суммировании классических положительных решений параболических систем с оператором Бесселя. Латв.мат. ежегодник. 1979, 23, с.73-81.

39. Кружков С.Н., Кастро A., Jlonec М. Оценки шаудеровского типа и теоремы существования решений основных задач для линейных и нелинейных параболических уравнений. Доклады АН СССР. 1975, 220, № 2, с.277-280.

40. Крехивский В.В., Матийчук М.И. фундаментальные решения и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Бесселя. Докл.АН СССР. 1968, 181, f 6, с.1320-1323.

41. Крех1вський B.B.j Мат1йчук МЛ. Про зв"язок м1ж фундаменталь-ними матрицями розв"язк1в параболхчних i елштичних системз оператором Беселя. Допов1Д1 АН УРСР. Сер1я А, ф1з.техн. та матем.науки. 1970, № 3, с.210-214.

42. Крехивский В.В., Матийчук М.И. О краевых задачах для параболических систем с оператором Бесселя. Докл.АН СССР. 1971, 199, № 4, с.773-775.

43. Крехивский В.В. Смешанная задача для параболических уравнений с оператором Бесселя. В кн.: Краевые задачи математической физики. К. 1978, с.45-50.

44. Кудинцева И.Г. Теорема типа Лиувилля для решений систем дифференциальных уравнений в частных производных. Изв.вузов. Матем., 1979, Р 9, с.81-84.

45. Кузьменко Ю.Т. О теореме Лиувилля для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений. Мат.заметки. Т.29.Вып.3. 1981, с.367-408.

46. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейныеи квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

47. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971.- 289 с.

48. Левитан М.Б. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье. Успехи мат.наук. 1951, т.6, вып.2(42),с.102-143.

49. Малицкая А.П. Построение фундаментального решения для одного класса вырождающихся параболических уравнений высокого порядка. Укр.мат.журн., 1950, т.32,№ 6, с.754-762.

50. Матийчук М.И., Зйдельман С.Д. 0 фундаментальных решениях и задаче Коши для параболических систем, коэффициенты которых удовлетворяют условию Дини. Тр.семинара по функц.анализу. Вып.9. Воронеж, 1967, с.54-83.

51. Матийчук М.И., Зйдельман С.Д. Задача Коши для параболических систем, коэффициенты которых имеют малую гладкость. Укр. мат. журн., 1970, 22, Jf I, с. 22-36.

52. Матийчук М.И. Задача Коши и основные задачи математической физики для параболических систем с разрывными коэффициентами. Докл. АН УССР. 1973, }? 5, с.409-412.

53. Матийчук М.И. Задача Дирихле и Неймана для параболических уравнений с оператором Бесселя в пространствах Дини. В рес-публ.межведомственном сб."Математическая физика", К.: Науко-ва думка, 1973, в.1, с.113-118.

54. Матийчук М.И. фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применение к краевым задачам. I. Дифференц.уравнения, 1974, т.10, № 8, с.1463-1477.

55. Матийчук М.И. фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применение к краевым задачам. П. Дифференц.уравнения, 1975, II, № 7, с.1293-1303.

56. Матийчук М.И. фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применение к краевым задачам. Ш. Дифференц.уравнения, 1978, 14, № 2, с.291-303.

57. Матийчук М.И. Применение фундаментальных решений к исследованию граничной сингулярной задачи параболического типа. -Тр.Всес.конф.по уравн.с частн.произв., посвящ. 75-летию со дня рождения акад. И.Г.Петровского. М.: 1978, с.379-380.

58. Матийчук М.И., Пукальский И.Д. Задача с косой производной для вырождающегося параболического уравнения. Мат.заметки,1980, 28, № 4, с.633-644.

59. Матийчук М.И. 0 функции Грина общей линейной вырождающейся граничной задачи. Сборник научных трудов АН УССР. Институт прикладной математики и механики. К.: Наукова думка, 1981, с.77-78.

60. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 391 с.

61. Михайлов Л.Г. Исследование обобщенной системы Коши-Риммана, когда коэффициенты имеют особенности первого порядка. -Докл.АН СССР. 1959, 129, № 3, с.507-510.

62. Михайлов Л.Г. Первая краевая задача для эллиптического уравнения с сингулярными коэффициентами. Докл.АН Тадж.ССР. 1980, 3, № 5, с.3-8.

63. Олейник О.А. 0 сходимости решений эллиптических и параболических уравнений при слабой сходимости коэффициентов. Успехи мат.наук. Т.30. Вып.4. 1975, с.257-258.

64. Парасюк Л.С. Обобщенное фундаментальное решение эллиптических систем дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. Укр.матем.журн., 1966, 18, № 4, с.124-126.

65. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.

66. Пукальский И.Д., Матийчук М.И. Принцип максимума для параболических уравнений второго порядка • с разрывными коэффициентами. Редколлегия ж. Изв.высш.учебн.заведений. Математика. Казань, 1976. Рукопись деп.в ВИНИТИ, № 1079-76 Деп.

67. Ройтберг Я.А., Шефтель З.Г. Об общих эллиптических задачах с сильными вырождениями. Докл.АН СССР, 1980, £54, № 6, с.1336-1342.

68. Сандаков Е.Б. 0 стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения высокого порядка. Дифференц. уравнения, 1977, 13, }> 12, с.2256-2264.

69. Серов B.C. Фундаментальное решение дифференциального оператора с особенностью. Дифференц.уравнения, 1980, 16, № 3, с.522-531.

70. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. 160 с.

71. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 106 с.

72. Солонников В.А. Об оценках фундаментальных матриц для общих параболических систем с постоянными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1964, 158, № 3, с.532-535.

73. Солонников В.А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа. Тр. матем.ин-та АН СССР. 1964, 70,r"S О О о

74. Солонников В.А. 0 краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. Тр. матем. ин-та им.Стеклова, 1965, 83, № 3, с.3-163.

75. Тавхелидзе М.Н. Теоремы Лиувилля для эллиптических и параболических уравнений второго порядка. Вестн.Моск.ун-та. Cep.i. Математика, механика, 1976, № 4, с.28-35.

76. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 724 с.

77. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 427 с.

78. Шифрин М.А. Теоремы лиувиллевского типа для уравнений высокого порядка. Труды Моск.матем.о-ва. Т.33. 1976, с.263-278.

79. Зйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. -443 с.

80. Зйдельман С.Д., Ивасишен С.Д. Матрица Грина однородной параболической граничной задачи для систем с разрывными коэффициентами. Докл. АН СССР. 1968, 1983, 183, № 4, с.797-800.

81. Зйдельман С.Д., Ивасишен С.Д. Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи. Труды Московского матем.о-ва. 1970, 23, с.179-234.

82. Зйдельман С.Д., Порпер Ф.О. Об асимптотическом поведении решений параболических систем с диссипацией. Докл. АН СССР. .971, 197, А- 2, с.299-302.

83. Зйдельман С.Д., Порпер Ф.О. 0 поведении решений параболических уравнений второго порядка с диссипацией. Дифференц. уравнения. 1971, 7, ?,* 9, с. 1684-1695.

84. Зйдельман С.Д., Малицкая А.П. 0 фундаментальных решениях и стабилизации решения задачи Коши для одного класса вырождающихся параболических уравнений. Дифференц.уравнения. 1975, 11, № 7, с.1316-1330.

85. Зйдельман С.Д., Малицкая А.П. Теоремы Лиувилля для одного класса вырождающихся уравнений. Мат.сборник. К.: Науковадумка, 1976, с.250-253.