Интегральные представления и качественные свойства решений функционально-дифференциальных параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

409 I«**""

Муравпик Андрей Борисович

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

з о НЮН 2011

Москва - 2011 год.

4851300

Работа выполнена на кафедре «Дифференциальные уравнения и математическая физика» Российского университета дружбы народов.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. Л. Скубачевский.

доктор физико-математических наук, профессор М. С. Агранович, Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

доктор физико-математических наук Г1. Л. Гуревич,

Свободный университет Берлина

доктор физико-математических наук, профессор В. Д. Репников, Воронежский государственный технический университет.

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, факультет Вычислительной математики и кибернетики.

Защита диссертации состоится 22 ноября 2010 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д.212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117419, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан

'1 \ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Л.Е. Ростовский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Диссертация посвящена следующим вопросам: существование классических решений задачи Коши для параболических функционально-дифференциальных уравнений, представление указанных решений интегральными формулами пуассоновского типа и качественные свойства указанных решений.

Рассматриваются уравнения второго порядка, содержащие, кроме дифференциальных операторов, операторы сдвига (обобщенного сдвига), действующие по пространственным переменным. Эта задача принадлежит к классу нелокальных задач, изучение которых было начато еще в классических работах Я.Д.Тамаркина, М.Пиконэ и Т.Карлемапа. Дальнейшее свое развитие теория функционально-дифференциальных (в частности, дифференциально-разностных) уравнений получила в трудах А.Д.Мышкиса, а впоследствии она глубоко и интенсивно развивалась многими математиками (см. монографии1,2,3 и имеющуюся там библиографию. Общая теория эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений (разрешимость, априорные оценки, гладкость обобщенных решений, спектральные свойства операторов) разрабатывалась в 4,5,6,7,8,3,9,10,11 (см. также имеющуюся в этих работах библиографию) и многих других работах различных авторов.

Основное внимание диссертационной работы сосредоточено на интегральных представлениях и качественных свойствах решений исследуемых задач. Как известно, весьма характерным для параболических задач эффектом является стабилизация их решений. Это явление, впервые отмеченное еще в довоенных работах И.Г.Петровского и А.Н.Тихонова, заключается в существовании у решения конечного предела (в том или ином смысле) при t —* оо. Классическим примером результатов такого рода является

1 Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

2 Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

3 Skubachevskii Л. L. Elliptic functional differential equations and applications. Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997.

4 Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. ^-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delay in highest-order derivatives //J. Math. Anal. Applications. 1984. V. 102. № 1. P. 38-57.

5 Skubachevskii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations // J. Diff. Eq. 1986. V. 63. № 3. P. 332-361.

6 Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Матем. сб. 1995. Т. 186. № 8. С. 67-92.

необходимое и достаточное условие (поточечной) стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с ограниченной начальной функцией: указанное решение стремится (поточечно) к константе тогда и только тогда, когда

существует и равен той же самой константе. Это необходимое и достаточное условие было найдено в12, а свое дальнейшее развитие теория стабилизации решений параболических уравнений получила в13,14,15,16,17 (см. также имеющуюся в этих работах библиографию) и многих других работах различных авторов.

В настоящее время классическую теорию стабилизации можно считать в основном построенной; в последние десятилетия исследовательские интересы сместились в направлении неклассических параболических задач. Данная диссертационная работа посвящена одной из таких пеклас-

7 Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and mulidimensional diffusion processes // Rus. J. Math. Phys. 1995. V. 3. № 3. P. 327-360.

8 Скубачевский А. Л. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений // УМН. 1996. Т. 51. № 1. С. 169-

9 Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифф. ур-я. 1998. Т. 34. № 10. С. 1394-1401.

10 Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics // Nonlinear Anal. 3998. Vol. 32. № 2. P. 261-278.

11 Скубачевский А. Л., Шамин P. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 145-153.

12 Репников В. Д., Эйделъман С. Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши // ДАН СССР. 1966. Т. 167. 2. С. 298-301.

13 Гущин А. К., Михайлов В. П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения // Дифф. ур-я. 1971. Т. 112. № 2. С. 297-311.

14 Гущин А. К. Стабилизация решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. Т. 101. № 3. С. 459-499.

15 Жиков В. В. О стабилизации решений параболических уравнений // Матем. сб. 1977. Т. 104. № 4. С. 597-616.

16 Денисов В. Я., Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // Дифф. ур-я. 1984. Т. 20. № 1. С, 20-41.

17 Денисов В. Н., Жиков В. В. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // Матем. заметки. 1985. Т. 37. № 6. С. 834-850.

170.

сических областей - функционально-дифференциальным параболическим уравнениям.

Кроме регулярных уравнений (т. е. уравнений, коэффициенты которых не содержат особенностей), в диссертации изучаются сингулярные функционально-дифференциальные параболические уравнения, в которых по одной или нескольким пространственным переменным действует оператор Бесселя

с положительным параметром к.

Особенности такого рода возникают в тех моделях математической физики, где характеристики среды (например, диффузионные или тепло-проводящие) имеют вырождающиеся неоднородности степенного вида.

Функционально-аналитические методы, необходимые для исследования таких особенностей, и построенная на основе этих методов общая теория указанных сингулярных уравнений разработаны в18. Параболические уравнения, содержащие оператор Бесселя, глубоко и подробно исследовались в19,20 (см. также имеющуюся в этих работах библиографию). Необходимые и достаточные условия стабилизации решений указанных сингу-лярпых параболических уравнений найдены в [4], [14].

В диссертации исследуются сингулярные уравнения, содержащие, кроме оператора Бесселя, операторы обобщенного сдвига. Таким образом, изучаемые функционально-дифференциапьные уравнения являются не только дифференциально-разностными, но и интегродифференциаль-ными.

Приложения теории параболических функционально-дифференциальных уравнений возникают в теории многослойных пластин и оболочек (см.3), теории диффузионных процессов, включая биоматематические приложения (см.7), моделях нелинейной оптики (см.21,22,9,10).

18 Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М: Наука,

19 Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М. О краевых задачах в области общего вида для сингулярных параболических систем уравнений // ДАН СССР. 1976. Т. 230. № 6. С. 1271-1274.

20 Матийчук М. И. Задача Коши для одного класса вырождающихся параболических систем // Укр. матем. ж. 1984. Т. 36. № 3. С. 321-327.

21 Razgulin А. V. Rotational multi-petal waves in optical system with 2-D feedback // Chaos in Optics. Proceedings SPIE. 1993. V. 2039. P. 342-352.

22 Vorontsov M. A., Firth W. J. Pattern formation and competition in nonlinear optical systems with two-dimensional feedback // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. № 4. P.

1997.

Цели исследования.

1. Доказать существование классических решений задачи Коши для дифференциально-разностных параболических уравнений второго порядка и получить представления указанных решений интегральными формулами пуассоновского типа.

2. Доказать существование классических решений сингулярной (неклассической) задачи Коши для сингулярных функционально-дифференциальных параболических уравнений второго порядка, содержащих операторы Бесселя, действующие по нескольким пространственным переменным, и получить представления указанных решений весовыми интегральными формулами пуассоновского типа.

3. Исследовать поведение найденных решений при £ —> оо.

Основные результаты. Научная новизна

1. До сих пор разрешимость задачи Коши для исследуемых дифференциально-разностных уравнений была установлена в весовых соболевских классах (существование сильных решений)23,24.

В диссертации доказано существование классического решения, т.е. решения, обладающего всеми производными (в классическом смысле), содержащимися в уравнении, и удовлетворяющего уравнению поточечно в полупространстве Е" х (0, -|-оо), а начальному условию - в смысле одностороннего предельного соотношения при £ —> + 0 (поточечно в пространстве М"). Построен аналог фундаментального решения и доказано, что его свертка с любой непрерывной ограниченной начальной функцией определена во всем полупространстве М" х (0, + оо) и удовлетворяет (в указанном классическом смысле) исследуемой задаче Коши. Доказано, что указанная свертка ограничена в слое Ж™ х [0, Т] для любого положительного Т, а значит, полученное решение единственно в классе функций, ограниченных в слое К" х [О, Г] для любого положительного Т.

2. Результатами изучения качественных свойств полученных классических решений являются теоремы об их близости к решениям «эталонных» дифференциальных параболических уравнений (уравнений, для которых асимптотические свойства решений хорошо изучены). Ранее такое исследование было невозможно, поскольку указанные теоремы о близости являются утверждениями о поведении решений на многообразиях малых

2891-2906.

23 Рабинович В. С. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве // Дифф. ур-я. 1980. Т. 16. X" 11. С. 2030-2038.

24 Рабинович В. С. О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами // Дифф. ур-я. 1983. Т. 19. № 6. С. 1032-1038.

размерностей (вплоть до одномерных многообразий), а существование следа на таком многообразии не может быть гарантировано вообще говоря, даже, для сильного решения.

В диссертации показано, что имеют место два принципиально различных случая: случай, когда нелокальными являются только члены нулевого порядка в уравнении (т.е. операторы сдвига действуют только на саму неизвестную функцию, но не на ее производные), и случай, когда нелокальными являются все члены уравнения (включая старшие производные). В первом случае по коэффициентам исходного параболического дифференциально-разностного уравнения строится вспомогательный дифференциально-разностный оператор, который затем исследуется на сильную эллиптичность в пространстве К": если она имеет место, то доказывается теорема о (весовой) близости решений, заключающаяся в равенстве нулю, при каждом фиксированном х из К", предела

здесь константы *с,р\,... ,рп, ql,..., дп определяются коэффициентами исходного дифференциально-разностного параболического уравнения, и(х, £) - исследуемое классическое решение, а у(х, ¿) - классическое решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией у0(х) — щ(р\Х1,... ,рпхп), где щ(х) - начальная функция задачи Коши для исходного дифференциально-разностного параболического уравнения. Отметим, что в случае дифференциальных параболических уравнений подобный эффект преобразования аргумента «эталонного» решения наблюдается только при наличии в уравнении младших членов первого порядка, в то время как исследуемое дифференциально-разностное параболическое уравнение содержит только младшие члены нулевого порядка.

В случае, когда нелокальными являются члены любого порядка, ключевую роль играет сильная эллиптичность дифференциально-разностного оператора в правой части исходного дифференциально-разностного параболического уравнения: она обеспечивает и классическую разрешимость, и справедливость теорем о близости решений. В качестве «эталонного» уравнения в данном случае выступает дифференциальное параболическое уравнение, полученное из исходного функционально-дифференциального уравнения обнулением всех сдвигов.

Отметим, что, как и в случае ограниченной области (см. §9 монографии3), сильная эллиптичность дифференциального и дифференциально-разностного операторов различаются существенным образом.

Ига

-»+«> Ч о.

хп + дгЛ Рп

3. Для сингулярных функционально-дифференциальных параболических уравнений, в которых по нескольким пространственным переменным (особые переменные) действуют операторы Бесселя и соответствующие им операторы обобщенного сдвига, а по остальным пространственным переменным (неособые переменные) - вторые производные и операторы сдвига, рассматривается задача в сегменте пространства, в котором время и все особые пространственные неременные положительны. На гиперплоскости {/ = 0} задается обычное начальное условие, а на остальных граничных гиперплоскостях (т.н. особью гиперплоскости) - равенство нулю первой производной по соответствующей (нормальной) особой переменной (эти условия называются условиями четности). Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения указанного вида ранее не изучались, а для сингулярных дифференциальных параболических уравнений указанная задача (называемая сингулярной задачей Коши) исследовалась в19,20 (см. также имеющуюся в этих работах библиографию).

В диссертационной работе доказано, что классическое решение исследуемой задачи, т.е. решение, обладающее всеми производными (в классическом смысле), содержащимися в уравнении, и удовлетворяющее уравнению в области поточечно, а условиям на граничных гиперплоскостях -в смысле одностороннего предельного соотношения, существует. Найден аналог фундаментального решения и получено интегральное представление решения задачи Коши в виде его обобщенной свертки с (непрерывной и ограниченной) начальной функцией (в обобщенной свертке по особым переменным вместо операторов сдвига действуют соответствующие операторы обобщенного сдвига, а мера Лебега заменяется на соответствующую весовую вырождающуюся меру). Установлен класс единственности решения. Доказана неклассическая (весовая асимптотическая) близость найденного решения и решения сингулярной задачи Коши для соответствующего сингулярного дифференциального параболического уравнения.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы, кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории параболических функционально-дифференциальных уравнений и неклассических сингулярных задач, могут иметь применения в нелинейной оптике, теории многослойных пластин и оболочек, теории диффузионных процессов (включая случаи, когда характеристики среды имеют вырождающиеся неоднородности степенного вида).

Апробация диссертационной работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством акад. С.М. Ни-

кольского и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева; на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством В.А. Кондратьева, под руководством В.В. Власова и А.Г. Костючеико, под руководством В.В. Жикова, A.C. Шамаева и Т.А. Шапашниковой; на семинаре факультета ВМК МГУ под руководством акад. Е.И. Моисеева; на семинаре МАИ под руководством А.Л. Скубачевского; на семинаре МЭИ под руководством Ю.А. Дубинского; на семинаре МИИТ под руководством А.Д. Мышкиса; на симпозиуме Международного союза теоретической и прикладной механики (IUTAM) в Уорике (Великобритания) в 2000 году; на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и смежным вопросам, посвященных И.Г. Петровскому, в Москве в 2001, 2004 и 2007 годах; на второй и третьей международных конференциях «Аналитические методы в анализе и дифференциальных уравнениях» в Минске в

2001 и 2003 годах; на третьей международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в Москве в

2002 году.

Публикации По теме диссертации опубликовано 27 работ, из них 15 статей в научных журналах и 12 тезисов докладов на международных конференциях.

Структура диссертации. Диссертация "Интегральные представления и качественные свойства решений функционально-дифференциальных параболических уравнений" состоит из пяти глав и списка литературы из 112 наименований.

Содержание работы

Первая глава носит вводный характер и содержит, кроме общей характеристики работы, обзор литературы по теме диссертации.

Во второй главе исследуется задача Коши для уравнения вида

du т

— = Au + Y]aku(x-bkh,t), (1)

dt ti

где a,b - произвольные параметры из Em. h - фиксированный вектор единичной длины в Кп.

Вводится в рассмотрение функция

,, f -i(li|2~E akcosbkh-t) / ™ \

£(п)0М) = /е k=1 cos (ж sin M-iK (2)

и доказывается, что в R" x (0, +эо) она корректно определена, бесконечно дифференцируема и удовлетворяет уравнению (1). Исследование поведения функции (2) и ее производных при \х\ —> оо показывает, что ее свертка

с любой непрерывной ограниченной начальной функцией ио(х) корректно определена в полупространстве Е" х (0, +оо), имеет все производные, входящие в уравнение (1), и удовлетворяет указанному уравнению в каждой точке указанного полупространства. Чтобы показать (это сделано в разделе 2.4 диссертации), что указанная свертка удовлетворяет и начальному условию, к функции £(п) (х, £) применяется метод разложения на плоские

волны, а начальная функция представляется в виде Дг [ и0(х)<1£.

7Г2 ]

К"

Это позволяет представить разность между найденным решением уравнения (1) и начальной функцией в виде многомерного несобственного интеграла, зависящего от параметров, а для его оценки при £ —> +0 (при каждом фиксированном х) его область интегрирования разбивается так же, как при разбиении сингулярного интеграла на большую и малую части.

Отсюда вытекает основной результат о разрешимости и интегральном представлении решения для случая нелокальных членов нулевого порядка:

Теорема 1. Если функция щ(х) непрерывна и ограничена в М", то функция У £(п){х — является классическим решением задачи Коши Ш"

для уравнения, (1) с начальной функцией Ио(х).

Далее доказывается, что при любом положительном Т найденное решение ограничено в слое М™х[0, Т], а значит, других решений, обладающих указанным свойством, указанная задача Коши не имеет.

В разделе 2.5 для исследования асимптотических свойств найденного решения уравнение (1) представляется в форме

ди "

Аи + ^ £ азкФ- + ,€) (3)

¿=1к=1

где (/^1,..., - взаимно ортогональные (при ] = 1,п) в К" векторы единичной длины, е Е1 при к = 1, тг^, ] = 1,п. При этом предполагается (без ограничения общности), что каждая (конечная) числовая последовательность 3 ~ ^упорядочена по неубыванию. Кроме функционально-дифференциального оператора Ь, в рассмотрение вводится вспомогательный функционально-дифференциальный оператор С, действующий следующим образом:

п

Си + ^ -(-

¿=1 к<т°.

Здесь т° = шт^ к для каждого ] 6 1,п, а для тех при которых о^к < О для любых к € l,mj, полагаем тп° = тпл- + 1.

п

Обозначим оператор 53 53 а^/ — С через Д и рассмотрим веще-¿=1 к<то

ственную часть его символа (или, что то же самое, символ оператора Д + Д*):

п п

ЯеВ(£) = + ^ ~ X X в^садЬ^-

.7=1 к<т'! .7=1 к<т°

(см. §8 монографии3). Назовем Д(£) положительно определенным, если существует такое положительное С, что КеД(£) ^ для любого £ из И". По аналогии с дифференциальными операторами, оператор Д, обладающий указанным свойством, можно назвать сильно эллиптическим во всем пространстве оператором второго порядка.

Основным результатом о близости решений для уравнений с нелокальными членами нулевого порядка является

Теорема 2. Пусть Д(£) положительно определен. Тогда для любого х из К"

п. т3

Нт

2_> А* <Чк /;

е и(х,Ь)~юу-

Р1 Рп

О, (4)

где ги (х, £) - ограниченное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией • • • ,Рпхп),

Рз

\

1 + о 53 Ъ ~ = 53 азкЪзк, 3 = V"-

2

к=1 к=1

Доказательство осуществляется следующим образом. Вначале доказываем, что положительная определенность Д(£) гарантирует строгую по-

1 "Ч _

ложительность констант 1 + — 53 а]к^к1 3 = ^ п1 а затем представляем ре-

2 к=1

шения и а и> интегральными формулами пуассоновского типа и исследуем получепный многомерный несобственный интеграл, зависящий от параметров, аналогично разделу 2.4, с тем отличием, что его поведение оценивается не при I —* +0, а при £ —> +оо.

Отметим, что условие положительной определенности вспомогательного оператора, обеспечивающее справедливость результатов (весовой) асимптотической близости решений, эквивалентно следующему требованию: если в исходном дифференциально-разностном уравнении заменить все нелокальные члены их разложениями Тейлора до второго порядка включительно, то полученное дифференциальное уравнение должно быть параболическим. Это показывает двойственную природу младших нелокальных членов: при исследовании разрешимости они не имеют никакого значения (разрешимость задачи Коши определяется старшими членами -имеет значение только параболичность уравнения, получаемого из исходного отбрасыванием всех нелокальных членов), а при исследовании асимптотических свойств они уже не могут трактоваться как младшие - имеет значение параболичность уравнения, которое строится по коэффициентам этих нелокальных членов.

В третьей главе рассматривается задача Коши для функционально-дифференциальных параболических уравнений с нелокальными старшими членами. Рассматриваемое однородное (т.е. содержащее только члены второго порядка по пространственным переменным) уравнение имеет вид

где a.fcj, hkj € R1, k.j = 1 , n, a e.j обозначает единичный вектор j-го координатного направления.

Для исследования задачи Коши для уравнения (5) (при условии сильной эллиптичности функционально-дифференциального оператора в его правой части) строится функция (аналог фундаментального решения)

£а,к{х, t) J e~tGl <« cos [a: • £ - tG3(0]d6, (6)

n n

где Gi(£) — akj£lcoshkj£j, = Y. akjit s'n Устанавлива-

fc,j=i k,j=l ется, что в Rnx(0, +oo) она корректно определена, бесконечно дифференцируема и удовлетворяет уравнению (5). Затем изучается ее поведение (а также поведение ее производных при |а;| —» оо) и доказывается, что ее свертка с любой непрерывной ограниченной начальной функцией и0(х) корректно определена в полупространстве Rnx(0,+oo), имеет все производные (в классическом смысле), содержащиеся в уравнении (5), и удовлетворяет указанному уравнению в каждой точке указанного полупространства. То,

что указанная свертка удовлетворяет исследуемой задаче Коши в смысле обобщенных функций, вытекает, например, из25. В диссертации доказано, что в Мпх(0, +оо) это решение является классическим, то есть обладает всеми производными (в классическом смысле), содержащимися в уравнении, и удовлетворяет уравнению поточечно в указанном полупространстве. Это позволяет исследовать его асимптотические свойства. Основным результатом этого исследования является

Теорема 3. Если оператор в правой части уравнения (5) сильно эллиптичен, то для любого х 6 R"

lim [и(х, t) — v(x, t) 1 = О,

t—>+оо

где v(x,t) - классическое ограниченное решение задачи Коши (с той же начальной функцией щ) для дифференциального параболического уравнения

dv А d2v

(7)

k=1 Ä

71 _

Pk = akj, kei,n.

j=i

Доказательство осуществляется следующим образом. Вначале доказываем, что наложенное условие сильной эллиптичности гарантирует строгую положительность констант рь (а значит, уравнение (7) действительно является параболическим), а затем представляем решение и в виде свертки с £a,h, а v - классической формулой Пуассона. Далее полученный многомерный несобственный интеграл, зависящий от параметров, исследуется аналогично разделу 2.5.

Если, кроме нелокальной главной части, в уравнение (7) добавить нелокальные младшие члены, то к асимптотической близости решений, описанной теоремой 3, добавятся еще и специфические эффекты, описанные в главе 2.

В четвертой главе нелокальными членами уравнения являются специальные операторы обобщенного сдвига, которые играют роль операторов сдвига в теории уравнений, содержащих оператор Бесселя. Указанные операторы обобщенного сдвига являются интегральными, поэтому и исследуемые уравнения с необходимостью являются не дифференциально-разностными, а интегродифференциальными. Таким образом, интерес к указанной тематике обусловлен как стремлением обобщить модели21,22,10 на

25 Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 3: Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958.

сингулярный случай, так и сугубо теоретическими аспектами перехода от дифференциально-разностного уравнения к интегродифференциальному.

, В данной главе рассматривается модельное уравнение

Я s

+ (8)

к=i

где

Вх -J—JL(¿b>+iJL) = +2и + 1 9

х х2и+1 дх\ дх) дх2 х дх

- оператор Бесселя rio переменной х,

7Г

Ttf{x) dá:f / / ( y/x2 + h2-2xhcose ) sin2" 9d6

о

- соответствующий ему оператор обобщенного сдвига, a,h &RS, v > —

Уравнение (8) рассматривается в четверти плоскости {х > 0, t > 0}, а для обеспечения единственности решения к начальному условию добавляется, как и в случае дифференциального сингулярного уравнения (см., например,18), условие равенства нулю первой производной по х на гиперплоскости {х = 0}. Отметим, что решение такой задачи определено только в четверти плоскости (0, +оо) х (0,+оо), в то время как для применения оператора обобщенного сдвига требуется, вообще говоря, чтобы функция была определена и при отрицательных значениях переменной х; в этом случае используется четное по х продолжение решения - такое продолжение возможно в силу граничного условия на {х — 0}. Иными словами, уравнение (8) можно рассматривать на всей полуплоскости (—оо,0) х (0,+оо), заменяя требованием четности решения по переменной х граничное условие на гиперплоскости {х = 0} (поэтому последнее условие называют также условием четности). Для дифференциальных параболических уравнений с оператором Бесселя такие задачи корректны (см., например,19,20 и имеющуюся там библиографию); по аналогии назовем рассматриваемую задачу сингулярной задачей Коши. Для исследования данной задачи на (0, + оо) х (0, +оо) вводится функция

^ (9)

о

нормированная (в равномерной норме) фун-

кция Бесселя первого рода.

Используя свойства операторов Бесселя и обобщенного сдвига, а также функций Бесссля (см., например,18), доказываем, что £(х, t) корректно определена в каждой точке области {х > 0, t > 0}, а после формального применения оператора дифференцирования по t, операторов Бесселя и обобщенного сдвига под знаком интеграла соответствующие интегралы остаются абсолютно и равномерно сходящимися. Тем самым обосновываются вышеуказанные формальные операции, и непосредственной подстановкой доказывается, что £(х, t) удовлетворяет уравнению (8) в (0, -t oo) х (0, +оо) в классическом смысле. Далее, исследуя поведение £{х, t) при х — > +0 и х —* +оо, и учитывая четность нормированной функции Бесселя и непрерывность оператора обобщенного сдвига (см., например,18), получаем, что обобщенная свертка

со

(10)

о

корректно определена на (0,+оо) х (0,+оо). Далее, чтобы доказать, что указанная обобщенная свертка удовлетворяет уравнению (8), оценивает-

д£

ся поведение функций Вх£, Т^к£ и — на бесконечности и в нуле (по х), и учитывается тот факт, что оператор Бесселя и оператор обобщенного сдвига коммутируют друг с другом (см., например,18).

Четность функции (10) по переменной х вытекает из четности функции T££((,,t) по той же переменной и самосопряженности оператора обобщенного сдвига в пространстве I>2,2i/+i(0, +оо) функций, суммируемых с весом х2"+1 на вещественной полуоси (см., например,18). Осталось показать, что функция

оо

и{х>t] = 4^(1 + 1) / ЩХМ№ (11)

о

стремится к ио(я) при t - ► +0 для каждого фиксированного значения х. Для этого щ(х) представляется в виде

оо

4vT2(i/ + 1) / +

о

что позволяет представить оцениваемую разность u(x,t) — uq(x, t) в виде несобственного интеграла, зависящего от параметра, поведение которого при t —> +0 оценивается затем аналогично разделу 2.4. Основным результатом данной главы является

Теорема 4. Если начальная функция непрерывна и ограничена, то функция (11) является классическим решением сингулярной задачи Когии для уравнения (8).

Тем самым доказана классическая разрешимость иеклассической сингулярной задачи Коши для уравнения (8) и построено интегральное представление ее решения (11).

В пятой главе исследуется пеклассическая задача Коши для сингулярного параболического уравнения наиболее общего вида: оно является не только интегродифференциальным, но и дифференциально-разностным. Кроме указанного теоретического аспекта, эта задача представляет и прикладной интерес, заключающегося в обобщении моделей21,22,10 па случай среды с характеристиками, вырождающимися вдоль выделенных направлений.

Найдено фундаментальное решение указанного уравнения, исследованы его свойства и получено (в предположении о непрерывности и ограниченности начальной функции и правой части) интегральное представление решения рассматриваемой задачи. Тем самым доказывается теорема существования.

Для доказательства единственности решения используется метод преобразований Фурье. Необходимый для применения этого метода функционально-теоретический аппарат (преобразование Фурье-Бесселя и шкала обобщенных функций, соответствующая вырождающейся мере у*' ¿хйу)

I

глубоко и полно разработан в18 (см. также имеющуюся там библиографию), поэтому в соответствии с общей схемой монографии25 указанный метод мог бы быть применен и для исследования разрешимости. Однако решение, существование которого доказывается таким методом, является обобщенной функцией, причем, вообще говоря, не принадлежащей даже классам С.Л.Соболева и Л.Шварца, в то время как в диссертации получено классическое решение, т.е. функция, дифференцируемая (в классическом смысле) достаточное количество раз и удовлетворяющая уравнению и граничным условиям в каждой точке.

Будем использовать следующие обозначения:

Ь — 2щ + 1 - положительный параметр (I е 1,п).

к,'У1 = уЬдуЛ*1 дУ1)~ ду! +У1 дуг

оператор Бесселя по переменной y¡.

ям** г(1/+1)

х / / (\/у2 + /г2 - 2у/г cos в ) sin2" 0d0 л/г! (i/+,7 V /

о

- соответствующий оператор обобщенного сдвига (со скалярной переменной у), в случае векторных у, h оператор обобщенного сдвига определяется как суперпозиция одномерных операторов: Ту = Т!^ ■ ■ ■ Ту". Через К"г+™ обозначим множество

{(x,y)|a-elRm,í/i>0,...,yri>0}.

В ]R'"+n х (0, оо) рассматривается уравнение

ди ~8t

Е

д1 дх'1

j + У^aisu(x + his,y,t)

3=1

" / 'Ч \

+ £ \Bkl,y¡u + YlbirT^u) (12)

г=1

Г= 1

с краевыми условиями

9и

2/1=0

: 0 (Z = 1, Ti), Í > 0,

(13)

(14)

и =щ{х,у), (i,!/)eR++n

Здесь wo - непрерывная и ограниченная функция, векторы his при каждом s параллельны г-Й координатной оси пространства Кт (г £ 1, т), а коэффициенты ai3,bir,gir предполагаются вещественными при всех значениях своих индексов.

Так же, как и в главе 4, задачу (12)-(14) можно рассматривать во всем jjm+n х ^ -f-oo), заменяя условие (13) требованием четности функции и по каждой из переменных yi (корректность таких задач для дифференциальных параболических уравнений с оператором Бесселя известна, например,

из

,204

Фундаментальное решение £(т,п){х, У, уравнения (12) строится в виде произведения функций

m гтц

-t(lí|2~ Ё £ ai.coshi.-í) ( ^ \

е ¿=n=i coslx-Z + t^^ausmhis-ZjdZ (1!

Rm ^ i=i'

ПГ к. -t v?~ £ bir3vt (aw) . , ч .

Vie hn(yiVi)dvi,

1=1 {

о

а исследование ее свойств опирается на свойства фундаментального решения модельного сингулярного уравнения (8), установленные в главе 4. Основным результатом о разрешимости в главе 5 является

Теорема 5. Функция

i^n—rn

- /

t)T2uo(x-i,ri)dZdTi (17)

'fcz +

; 1 ~ \

i=i

является классическим решением задачи (12)—(14).

Исследование единственности найденного решения задачи (12)—(14) проводится в разделе 5.6. Применяется метод преобразований Фурье (см. гл. 2, § 4 и Добавление 1 монографии20) с использованием преобразования Фурье-Бесселя (см., например, гл. 1 монографии18'). Получаем следующее утверждение:

Теорема 6. Функция (17) есть единственное решение задачи (12)—(14), которое при каждом положительном Т ограничено в слое R™+™ х [О, Г].

Для изучения асимптотических свойств указанного решения введем введем вспомогательный оператор £, действующий следующим образом:

тп п

Си = ¡С + absu{x + his,y,t)+ bwT°?u.

г=1 i (=1 ais<0 b,r< О

Далее, без ограничения общности, будем считать, что вектор his имеет вид (О,..., 0, his, 0,..., 0), где здесь his - уже скалярная величина, обозначим

¿—1 раз

оператор ^ ^ a,s + ^ h^jl — С через R и рассмотрим вещественную

«¿„<0 bir< о часть его символа:

ReR(^rj) = + ^ tor + |£|2+M2-^ ais cos '¿Г birjVl(glrrn).

<ц,<0 blr< 0 ais< 0 btr< 0

Назовем г/) положительно определенным, если существует такое положительное С, что ИеЩ£,т]) ^ С(|£|2 + Для любого (£, т?) из

из

Наряду с уравнением (12) рассмотрим уравнение

д2и дх:?

о га п _

^ - Е Й + XX««. М е ЦТ,«> о,

¿=1/=1

и начальное условие

(19)

где №о непрерывна и ограничена.

Как известно из19 (см. также20), задача (18),(13),(19) имеет единственное классическое ограниченное решение -ш(х,у^).

Основным результатом о близости решений в главе 5 диссертации является

Теорема 7. Пусть г/) является положительно определенным. Тогда

для любого (х, у) из

Р 1 = 1 /

го

•л?! + ■ Р\

и(х, у, £) Хт + Ят Ъ У У

V-

т

__Уп

1 ' ' ' 1 Ртп+1 Рт-^п

•'У

о,

(20)

где

Рг =

^ ТТЧ 1ТЧ

1+- 52 > 9»=52пРи * - то>

5 = 1

8 = 1

Рш+г

\

1 +

при 1 = 1,71,

т +1) ^

1 РтхттиРт+1У1: ■ ■ ■ Рт+пУп)-

Доказательство осуществляется по следующей схеме. Вначале доказывается, что положительная определенность Д(£, 7?) гарантирует положительность подкоренных выражений в константах р\,..., рт+п, а затем используются интегральные представления функций и(х, у, £) и ?и(х, г/, £): это позволяет представить оцениваемую разность в виде многомерного несобственного интеграла, зависящего от параметров, поведение которого при £ —> +оо исследуется далее аналогично разделу 2.5.

Публикации по теме диссертации.

Статьи в научных журналах.

1. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых дифференциально-разностных уравнений параболического типа // Доклады РАН. 2002. Т. 385. № 5. С. 604-607.

2. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 4. С. 538-548.

3. Муравник А. Б. О стабилизации решений некоторых сингулярных квазилинейных параболических задач // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 6. С. 858-865.

4. Муравник А. Б. Об однозначной разрешимости задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифф. ур-я. 2004. Т. 40. Л'а 5. С. 692-701.

5. Муравник А. Б. О единственности решения задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифф. ур-я. 2004. Т. 40. № 10. С. 1385-1389.

6. Муравник А. Б. On properties of the stabilization functional of the Cauchy problem for quasilinear parabolic equations //' Тр. Ин-та математики HAH Беларуси. 2004. Т. 12. № 2. С. 133-137.

7. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 3. С. 308-310.

8. Муравник А. Б. Об асимптотике решения задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифф. ур-я. 2005. Т. 41. № 4. С. 538-548.

9. Муравник А. Б. Об асимптотике решений некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами // Труды Семинара им. И.Г.Петровского. 2006. Вып. 25. С. 143-183.

10. Muravnik А. В. Properties of stabilization functional for parabolic Cauchy problem // Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 2000. V. 42. P. 217-221.

11. Muravnik A. B. On Cauchy problem for parabolic differential-difference equations // Nonlinear Anal. 2002. V. 51. № 2. P. 215-238.

12. Muravnik A. B. On non-classical Cauchy problem for singular parabolic integrodifferential equations // Rus. J. Math. Phys. 2002. V. 9. № 3. P. 300-314.

13. Muravnik A. B. On stabilisation of solutions of singular quasi-linear parabolic equations with singular potentials // Fluid Mech. Appl. 2002. V. 71. P. 335-340.

14. Muravnik А. В. On the Cauchy problem for differential-difference parabolic equations with high-order nonlocal terms of general kind // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2006. V. 16. X°- 3. P. 541-561.

15. Muravnik A. B. On non-classical Cauchy problem for parabolic functional-differential equations with Bessel operators // Funct. Differ. Equ. 2006. V. 13. № 2. P. 225-256.

Тезисы международных конференций

16. Muravnik А.В. On properties of stabilization operator arised in mixed parabolic problems. Abstr. of International Conference on Mathematical Analysis and its Applications. Kaohsiung. 2000. P. 54-55.

17. Muravnik A.B. On stabilization of Cauchy problem solutions for non-linear parabolic equations with Bessel operator. Abstr. of Colloquium on Differential and Difference Equations. Brno. 2000. P. 51.

18. Muravnik A.B. On properties of stabilization operator arising in diffusion models. Abstr. of International Functional Analysis Meeting on the Occasion of the 70tli Birthday of Professor Manuel Valdivia. Valencia. 2000. P. 94-95.

19. Muravnik A.B. On stabilization of positive solutions of singular quasilinear parabolic equations. Abstr. of the Second International Conference on Stability and Control for Transforming Nonlinear Systems. Moscow. 2000. P. 33.

20. Muravnik A.B. On fundamental solutions of parabolic differential-difference equations. Abstr. of the Second International Conference "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations". Minsk. 2001. P. 117-118.

21. Muravnik A.B. Fundamental solutions and Cauchy problem solvability for parabolic differential-difference equations. Abstr. of International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the lOOtli Anniversary of I.G. Petrovskii. Moscow. 2001. P. 284.

22. Muravnik A.B. On Cauchy problem for quasi-linear singular parabolic equations with singular potentials. Abstr. of IUTAM Symposium on Tubes, Sheets and Singularities in Fluid Dynamics. Zakopane. 2001. P. 51.

23. Muravnik A.B. On large-time behaviour of Cauchy problem solutions for parabolic differential-difference equations. Abstr. of the Third International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow. 2002. P. 77-78.

24. Muravnik A.B. On function-theory aspects of quasi-linear stabilization problems. Abstr. of International Conference "Kohnogorov and Contemporary Mathematics". Moscow. 2003. P. 72-73.

25. Muravnik A.B. On non-classical Cauchy problem for singular parabolic functional-differential equations. Abstr. of the Third International Conference "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations". Minsk. 2003. P. 129-130.

26. Muravnik A.B. Long-time behavior of the Cauchy problem solutions for differential-difference parabolic equations with nonlocal high-order terms. Abstr. of the 21st International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to I. G. Petrovskii. Moscow. 2004. P. 144-145.

27. Muravnik A.B. On asymptotic closeness of solutions of differential and differential-difference parabolic equations. Abstr. of the 22st International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the memory of 1". G. Petrovskii. Moscow. 2007. P. 204.

Мурашшк А.В.

Интегральные представления и качественные свойства решений функционально-дифференциальных параболических уравнений

Аннотация

Изучаются задача Копш для дифференциально-разностных параболических уравнений второго порядка и сингулярная неклассическая задача Коши для сингулярных функционально-дифференциальных параболических уравнений, в которых по нескольким пространственным переменным действуют операторы Бесселя и соответствующие им операторы обобщенного сдвига, а по остальным пространственным переменным - вторые производные и операторы сдвига. Доказано существование классических решений, т.е. решений, обладающих всеми производными (в классическом смысле), содержащимися в уравнении, и удовлетворяющих уравнению поточечно. Установлены классы единственности найденных решений. Получены представления указанных решений интегральными формулами пуас-соновского типа. Исследованы качественные свойства найденных решений: в условиях сильной эллиптичности соответствующих функционально-дифференциальных операторов доказаны теоремы о их неклассической (весовой асимптотической) близости к решениям некоторых дифференциальных параболических уравнений.

Muravnik А.В.

Integral representations and qualitative properties of solutions of functional-differential parabolic equations

Abstract

The Cauchy problem for second-order differential-difference parabolic equations and the nonclassical singular Cauchy problem for singular functional-differential equations such that Bessel operators and corresponding generalized translation operators act with respect to several spatial variables, while second-order derivatives and translation operators act with respect to the remained spatial variables, are studied. The existence of classical solutions, i.e., solutions possessing all the derivatives (in the classical sense) of the equation and satisfying the equation in the pointwise sense is proved. Uniqueness classes are established for the found solutions. Poisson-type integral representations of the specified solutions are obtained. Their qualitative properties are investigated: under the strong ellipticity assumption for corresponding functional-differential operators, nonclassical (weight asymptotical) closeness theorems are proved for the said solutions and solutions of certain differential parabolic equations.

1 Введение

2 Уравнения с нелокальными младшими членами

2.1 Определение фундаментального решения в случае одной пространственной переменной.

2.2 Свертка фундаментального решения с ограниченными функциями.

2.3 Решение задачи Коши.

2.4 Многомерный случай.

2.5 Единственность решения.

2.6 Асимптотические свойства решения

2.7 О смысле условия положительной определенности

3 Уравнения с нелокальными старшими членами

3.1 Случай факторизуемого фундаментального решения

3.2 Существование и единственность решения задачи Коши.

3.3 Поведение решения при £ —> со.

3.4 Случай нескольких пространственных переменных

3.5 Стабилизация решения в случае нескольких пространственных переменных.

3.6 Общий случай неоднородного эллиптического оператора

3.7 Общий случай нефакторизуемого фундаментального решения.

4 Сингулярные интегродифференциальные уравне

4.1 Основные определения и обозначения.

4.2 Фундаментальное решение сингулярного интегро-дифференциального уравнения.

4.3 Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными функциями.

4.4 Решение неклассической задачи Коши.

4.5 Случай неоднородного уравнения.

5 Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения

5.1 Постановка задачи.

5.2 Фундаментальное решение сингулярного функционально-дифференциального уравнения.

5.3 Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными начальными функциями.

5.4 Решение неклассической задачи Коши для сингулярного функционально-дифференциального уравнения

5.5 Случай неоднородного сингулярного уравнения

5.6 Единственность решения сингулярной задачи

5.7 Асимптотика решения сингулярной задачи

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

2. Борок Б. М., Житомирский Я. И. О задаче Коши для линейных уравнений в частных производных с линейно преобразованным аргументом // ДАН СССР. 1971. Т. 200. № 3. С. 515-518.

3. Власов Б. В. Об одном классе дифференциально-разностных уравнений в гильбертовых пространствах и некоторых спектральных вопросах // Доклады РАН. 1992. Т. 327. № 4-6. С. 428-432.

4. Власов В. В. О поведении решений некоторых дифференциально-разностных уравнений с операторными коэффициентами // Изв. ВУЗов. Математика. 1992. № 8. С. 80-83.

5. Власов В. В. О свойствах решений одного класса дифференциально-разностных уравнений и некоторых спектральных вопросах // УМН. 1992. Т. 47. № 5. С. 173-174.

6. Власов В. В. Корректная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Изв. ВУЗов. Математика. 1996. № 1. С. 22-44.

7. Власов В. В., Сакбаев В. Ж. 'Корректная разрешимость некоторых дифференциально-разностных уравнений в шкале пространств Соболева // Дифф. ур-я. 2001. Т. 37. № 9. С. 1194-1202.

8. Гельфапд И. М., Шилов Г. Е. Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши // УМН. 1953. Т. 8. № 6. С. 3-54.

9. Гельфапд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 3: Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958.

10. Гущин А. К. О скорости стабилизации решения краевой задачи для параболического уравнения // Сиб. мат. ж. 1969. Т. 10. № 1. С. 43-57.

11. Гущин А. К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка // Тр. Матем. ин-та РАН. 1973. Т. 126. С. 5-45.

12. Гущин А. К. Некоторые свойства обобщенного решения второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1975. Т. 97. № 2. С. 242-261.

13. Гущин А. К. Стабилизация решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. Т. 101. № 3. С. 459-499.

14. Гущин А. К. О поведении при £ —* сю решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // ДАН СССР. 1976. Т. 277. № 2. С. 273-276.

15. Гущин А. К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1982. Т. 119. № 4. С. 451-508.

16. Гущин А. К., Михайлов В. П. О стабилизации решения за-■ дачи Коши для параболического уравнения // Дифф. ур-я.1971. Т. 112. № 2. С. 297-311.

17. Гущин А. К., Михайлов В. П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с одной пространственной переменной // Тр. Матем. ин-та РАН. 1971. Т. 112. С. 181-202.

18. Данфорд Н., Шварц Дою. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966.

19. Денисов В. Н. К вопросу о необходимых условиях стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности во всем пространстве Ем и на любом его компакте // ДАН СССР. 1981. Т. 260. № 4. С. 780-783.

20. Денисов В. Н., Жиков В. В. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // Матем. заметки. 1985. Т. 37. № 6. С. 834-850.

21. Денисов В. Н., Муравнш А. Б. Об асимптотике решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения в полупространстве // Сб. "Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения". Физматлит. 2003. С. 397-417.

22. Денисов В. Н., Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // Дифф. ур-я. 1984. Т. 20. № 1. С. 20-41.

23. Жиков В. В. О стабилизации решений параболических уравнений // Матем. сб. 1977. Т. 104. № 4. С. 597-616.

24. Жиков В. В. Критерий поточечной стабилизации для параболических уравнений второго порядка с почти-периодическими коэффициентами // Матем. сб. 1979. Т. 110. № 2. С. 304-318.

25. Жиков В. В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболического уравнения второго порядка с младшими членами // Тр. ММО. 1983. Т. 46. С. 69-98.

26. Жиков В. В., Калашников А. С., Олейник О. А. О С-сходимости параболических операторов // УМН. 1981. Т. 36. № 1. С. 11-58.

27. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М: Физматлит, 1993:

28. Жиков В. В., Сиражудинов М. М. Усреднение недивергентных эллиптических и параболических операторов второго порядка и стабилизация решения задачи- Коши // Матем. сб. 1981. Т. 116(158). № 2. С. 166-186.

29. Иванов Л. А. Задача Коши для некоторых операторов с особенностями // Дифф. ур-я. 1982. Т. 18. № 6. С. 10201028.

30. Ильин А. М:, Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. 1962. Т. 17. № 3. С. 3-145.

31. Катрахов В. В. О задаче на собственные значения для сингулярных эллиптических операторов // ДАН СССР. 1972. Т. 207. № 2. С. 284-287.

32. Киприянов И. А. Преобразования Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов // Тр. Матем. ин-та РАН.1967. Т. 89(2). С. 130-213.

33. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М: Наука, 1997.

34. Киприянов И. А., Вогачев В. М. О свойствах функций из весового пространства на дифференцируемых многообразиях // Тр. Матем. ин-та РАН. 1980. Т. 156. С. 110-120.

35. Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М. О краевых задачах в области общего вида для сингулярных параболических систем уравнений // ДАН СССР. 1976. Т. 230. № 6. С. 1271-1274.

36. Крехивский В. В., Матийчук М. И: Фундаментальные решения и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Бесселя // ДАН СССР. 1968. Т. 181. № 6. С. 1320-1323.

37. Крехивский В. В., Матийчук М. И: О краевых задачах для параболических систем с оператором Бесселя // ДАН СССР. 1971. Т. 139. № 4. С. 773-775.

38. Ладыоюеиская О. А. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения // Матем. сб. 1950. Т. 27(69). № 2. С. 175-184.

39. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // УМН. 1951. Т. 6. № 2. С. 102-143.

40. Матийчук М. И. Фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применения к краевым задачам. I // Дифф. ур-я. 1974. Т. 10. № 8. С. 1463-1477.

41. Матийчук М. И. Фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применения к краевым задачам. II // Дифф. ур-я. 1975. Т. 11. № 7. С. 1293-1303.

42. Матийчук М. И. Фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применения к краевым задачам. III' // Дифф. ур-я. 1978. Т. 14. № 2. С. 291-303.

43. Матийчук М. И. Фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применения к краевым задачам. IV // Дифф. ур-я. 1978. Т. 14. № 5. С. 885-899.

44. Матийчук М. И. Задача Коши для одного класса вырождающихся параболических систем // Укр. матем. ж. 1984. Т. 36. № 3. С. 321-327.

45. Муравник А. Б. О стабилизации решений сингулярных эллиптических уравнений // Фундамент, и прикл. матем. 2006. Т. 12. № 4. С. 169-186.

46. Мышкис А. Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

47. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М: Наука, 1984.

48. Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела // Прикладная механика. 1979. Т. 15. № 5. С. 39-47.

49. Подъяпольский В. В., Скубачевский А. Л. Спектральная асимптотика сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов // Дифф. ур-я. 1999. Т. 35. № 6. С. 793-800.

50. Порпер Ф. О., Эйдельман С. Д. Теоремы о близости решений параболических уравнений и стабилизация решений задачи Коши // ДАН СССР. 1975. Т. 221. № 1. С. 32-35.

51. Порпер Ф. ОЭйдельман С. Д. Асимптотическое поведение классических и обобщенных решений одномерных параболических уравнений второго порядка // Тр. ММО. 1978. Т. 36. С. 85-130.

52. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М: Наука, 1983.

53. Рабинович В. С. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве // Дифф. ур-я. 1980. Т. 16. № 11. С. 2030-2038.

54. Рабинович В.< С. О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами // Дифф. ур-я. 1983. Т. 19. № 6. С. 10321038.

55. Репников В. Д. О стабилизации решений параболических уравнений с осциллирующими коэффициентами // Дифф. ур-я. 1987. Т. 23. № 8. С. 1353-1359.

56. Репников В. Д. Об асимптотической близости и стабилизации решения параболического уравнения // Дифф. ур-я. 1988. Т. 24. № 1. С. 146-155.

57. Репников В. Д. Некоторые уточнения теоремы о стабилизации решений уравнения теплопроводности // Дифф. ур-я. 1998. Т. 34. № 6. С. 812-815.

58. Репников В. Д., Эйдельман С. Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши // ДАНСССР. 1966. Т. 167. № 2. С. 298-301.

59. Репников В. Д., Эйдельман С. Д. Новое доказательство теоремы о стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности // Матем. сб. 1967. Т. 73. № 1. С. 155159.

60. Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения // Матем. заметки. 1983. Т. 34. № 1. С. 105-112.

61. Скубачевский A. JI. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений // УМН. 1996. Т. 51. № 1. С. 169-170.

62. Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифф. ур-я. 1998: Т. 34. № 10.'С. 1394-1401.

63. Скубачевский А. Л., Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 145-153.

64. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

65. Хейл Дою. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

66. Denisov V. N. On stabilization of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations // Nonlinear Anal. 1997. Vol. 30. № 1. P. 123-127.

67. Denisov V. N., Muravnik A. B. On asymptotic behavior of solutions of the Dirichlet problem in half-space for linear and quasilinear elliptic equations // Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 2003. V. 9. P. 88-93.

68. Desch W., Schappacher W. Spectral properties of finite-dimensional perturbed linear semigroups //J. Diff. Eq. 1985. V. 59. № 1. P. 80-102.

69. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. L2-regularity for parabolic partial integrо differential equations with delay in highest-order derivatives //J. Math. Anal. Applications. 1984. V. 102. № 1. P. 38-57.

70. Gurevich P. L. Solvability of the boundary value problem for some differential-difference equations // Funct. Differ. Equ. 1998. V. 5. № 1-2. P. 139-157.

71. Gushchin A. K. On the behaviour as t —> oo of solutions of the second mixed problem for a second-order parabolic equation // Appl. Math. Optimization. 1980. V. 6. № 2. P. 169-180.

72. Inone A., Miyakawa T., Yoshida K. Some properties of solutions for semilinear heat equations with time lag //J. Diff. Eq. 1977. V. 24. № 3. P. 383-396.

73. Kunisch K.; Schappacher W. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate Co-semigroups // J. Diff. Eq. 1983. V. 50. № 1. P. 49-79.

74. Muravnik A. B. On stabilization of solutions of elliptic equations containing Bessel operators // Integral methods in science and engineering. Analytic and numerical techniques. Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 2002, P. 157-162.

75. Razgulin A. V. Rotational multi-petal waves in optical system -with 2-D feedback // Chaos in Optics. Proceedings SPIE. 1993.V. 2039. P. 342-352.

76. Skubachevskii A., L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations //J. Diff. Eq. 1986. V. 63. № 3. P. 332-361.

77. Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and mulidimen-sional diffusion processes // Rus. J. Math. Phys. 1995. V. 3. № 3. P. 327-360.

78. Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997.

79. Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics // Nonlinear Anal. 1998. Vol. 32. № 2. P. 261-278.

80. Vorontsov M. A., Firth W. J. Pattern formation and competition in nonlinear optical systems with two-dimensional feedback // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. № 4. P. 2891-2906.

81. Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G., Abernathy R. L. Diffractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation // Chaos, Solitons, and Fractals. 1994. V. 4. P. 1701-1716.

82. Vorontsov M. A., Ivanov V Yu., Shmalhausen V. I. Rotary instability of the spatial structure of light fields in nonlinear media with two-dimensional feedback // Laser optics in condensed matter. Plenum Press, New York, 1988, P. 507-517.

83. Yoshida K. The Hopf bifurcation and its stability for semilinear diffusion equations with time delay arising in ecology // Hiroshima Math. J. 1982. V. 12. P. 321-348.Публикации автора по теме диссертации

84. Денисов В. Н., Муравник А. Б. О стабилизации решения задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений // Дифф. ур-я. 2002. Т. 38. № 3. С. 351-355.

85. Муравник А. Б. О стабилизации решения одной сингулярной задачи // Сб. "Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики". Ин-т математики СО АН СССР. 1987. С. 99-104.5

86. Муравник А. В. О задаче Коши для некоторых дифференциально-разностных уравнений параболического типа // Доклады РАН. 2002. Т. 385. № 5. С. 604-607.

87. Муравник А. В. О задаче» Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 4. С. 538-548.

88. Муравник А. Б. О стабилизации решений некоторых сингулярных квазилинейных параболических задач // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 6. С. 858-865.

89. Муравник А. Б. Об однозначной разрешимости задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифф. ур-я. 2004. Т. 40. № 5. С. 692-701.

90. Муравник А. Б: О единственности решения задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифф. ур-я 2004. Т. 40. № 10. С. 1385-1389.

91. Муравник А. Б. On properties of the stabilization functional of the Cauchy problem for quasilinear parabolic equations //Тр. Ин-та математики HAH Беларуси. 2004. Т. 12. № 2. С. 133-137.

92. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 3. С. 308-310.

93. Муравник А. Б. Об асимптотике решения задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифф. ур-я. 2005. Т. 41. № 4. С. 538-548.

94. Муравник А. Б. Об асимптотике решений некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами // Труды Семинара им. И.Г.Петровского. 2006. Вып. 25. С. 143-183.

95. Muravnik А. В. Properties of stabilization functional for parabolic Cauchy problem // Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 2000. V. 42. P. 217-221.

96. Muravnik A. B. On Cauchy problem for parabolic differential-difference equations // Nonlinear Anal. 2002. V. 51. № 2. P. 215-238.

97. Muravnik A. B. On non-classical Cauchy problem for singular parabolic integrodifferential equations // Rus. J. Math. Phys. 2002. V. 9. № 3. P. 300-314.

98. Muravnik A. B. On stabilisation of solutions of singular quasilinear parabolic equations with singular potentials // Fluid Mech. Appl. 2002. V. 71. P. 335-340.

99. Muravnik A. B. On the Cauchy problem for differential-difference parabolic equations with high-order nonlocal terms of general kind // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2006. V. 16. № 3. P. 541-561.

100. Muravnik А. В. On non-classical Cauchy problem for parabolic functional-differential equations with Bessel operators // Funct. Differ. Equ. 2006. V. 13. № 2. P. 225-256.Тезисы международных конференций

101. Muravnik А.В. On properties of stabilization operator arised in mixed parabolic problems. Abstr. of International Conference on Mathematical Analysis and its Applications. Kaohsi-ung. 2000. P. 54-55.

102. Muravnik A.B. On stabilization of Cauchy problem solutions for non-linear parabolic equations with Bessel operator. Abstr. of Colloquium on Differential and Difference Equations. Brno. 2000. P. 51.

103. Muravnik A.B. On properties of stabilization operator arising in diffusion models. Abstr. of International Functional Analysis Meeting on the Occasion of the 70tb Birthday of Professor Manuel Valdivia. Valencia. 2000. P. 94-95.

104. Muravnik A.B. On stabilization of positive solutions of singular quasi-linear parabolic equations. Abstr. of the Second International Conference on Stability and Control for Transforming Nonlinear Systems. Moscow. 2000. P. 33.

105. Muravnik A.B. On fundamental solutions of parabolic differential-difference equations. Abstr. of the Second International Conference "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations". Minsk. 2001. P. 117-118.

106. Muravnik A.B. On Cauchy problem for quasi-linear singular parabolic equations with singular potentials. Abstr. of IUTAM Symposium on Tubes, Sheets and Singularities in Fluid Dynamics. Zakopane. 2001. P. 51.

107. Muravnik A.B. On large-time behaviour of Cauchy problem solutions for parabolic differential-difference equations. Abstr. of the Third International Conference on Differential and Functional Differential, Equations. Moscow. 2002. P. 77-78.

108. Muravnik A.B. On function-theory aspects of quasi-linear stabilization problems. Abstr. of International Conference "Kol-mogorov and Contemporary Mathematics". Moscow. 2003. P. 72-73.

109. Muravnik A.B. On non-classical Cauchy problem for singular parabolic functional-differential equations. Abstr. of the Third International Conference "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations". Minsk. 2003. P. 129-130.