Развитие теории метода усреднения для квазилинейных параболических начально-краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Александров Владимир Юрьевич

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2011

4845813

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Левенштам Валерий Борисович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Власов Виктор Валентинович кандидат физико-математических наук, доцент Моргулис Андрей Борисович

Ведущая организация:

Воронежский государственный универси-

тет

Защита состоится «05» апреля 2011 г. в 15.45 на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 в Южном федеральном университете, по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан марта 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 212.208.29

Кряквин В. Д.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертационной работе теория метода усреднения, которую связывают с именами Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и 10. А. Митропольского, развита для квазилинейных параболических начально-краевых задач с нестационарной (то есть зависящей от пространственных и временной переменных) главной частью.

Классическая теория метода усреднения, построенная, в основном, Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым, получила дальнейшее развитие в трудах многочисленных исследователей. Отметим монографии Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского 1974 г., Ю. А. Митропольского 1971 г., В. М. Болотова, Б. И. Моргунова 1971 г., В. Ф. Журавлева, Д. М. Климова 1988 г., И. Б. Симоненко 1989 г., В. Б. Левенштама 2008 г. В этих монографиях имеются обширные библиографические списки.

Отметим теперь работы, наиболее близкие к диссертации.

В работе И. Б. Симоненко [Матем.сб., 1970]1 метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений в банаховых пространствах с линейной, вообще говоря, неограниченной стационарной главной частью, порождающей аналитическую полугруппу, и подчиненной (в определенном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью. В исследовании И. Б. Симоненко [Матем.сб., 1972]1 указанные результаты перенесены на широкие классы полулинейных параболических уравнений с не зависящими от времени старшими коэффициентами и с краевыми условиями в ограниченных пространственных областях. Эти работы стимулируют обоснование метода усреднения для абстрактных параболических уравнений с нестационарной главной частью и для квазилинейных параболических уравнений с зависящими от

1 См. также монографию И. Б. Симоненко "Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложениями к задачам гидродинамической устойчивости". Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. 1989.

пространственных и временной (и только от пространственных) переменных старшими коэффициентами.

В работах В. Б. Левенштама [Дифференц. уравн, 2003, Изв. вузов. Ма-тем., 2004] разработан и обоснован эффективный алгоритм построения полных асимптотик решений для полулинейных параболических начально-краевых задач со стационарной главной частью. Естественно распространить эти результаты на квазилинейные параболические начально-краевые задачи с нестационарной главной частью.

Отметим также, что абстрактным параболическим уравнениям с нестационарной главной частью без связи с методом усреднения посвящена важная работа П. Е. Соболевского [Труды Моск. матем. об-ва, 1961].

Упомянем еще о работах В. В. Жикова [Докл. АН СССР, 1975; Изв. АН СССР. Сер. матем., 1976] и В. Б. Левенштама [Изв. РАН. Сер. мат., 1992; Сиб. мат. журн., 2000] по теории метода усреднения для параболических уравнений с быстро осциллирующей по времени главной частью. В. В. Жиков рассмотрел задачи на всей временной оси t е R (а не с начальным условием) с довольно жесткими (по сравнению с требованиями диссертации, где главная часть зависит от t, но не от wt, а> » 1) условиями на нелинейность, а В. Б. Ле-венштам — задачи во всем пространстве х е ?."'. Отметим, что требования на нелинейность в диссертации имеют тот же характер, что и у И. Б. Симоненко [Матем.сб., 1972].

Исследования, представленные в диссертации, поддерживались научной программой "Университеты России" (грант № УР.04.01.029 - руководитель В. Б. Левенштам).

Цели работы.

I. 1. Обосновать метод усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью и подчиненной (в определенном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью в случае задачи

Коши.

2. Применив результаты пункта 1, обосновать метод усреднения для полулинейных параболических уравнений второго порядка в случае первой начально-краевой задачи.

3. Применив результаты пункта 1, обосновать метод усреднения для начально-краевых задач для полулинейных параболических уравнений произвольного порядка.

II. 1. Обосновать метод усреднения для абстрактных параболических уравнений с нелинейной главной частью и подчиненной ей быстро осциллирующей нелинейностью в случае задачи Коши.

2. Применив результаты пункта 1, обосновать метод усреднения для начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка.

III. 1. Построить и обосновать полную асимптотику решения первой параболической квазилинейной (в частности, полулинейной) начально-краевой задачи произвольного порядка. Главная часть указанной задачи зависит от пространственных и временной переменных и содержит быстро осциллирующие по времени младшие члены.

Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются следующие известные методы: методы теории линейных абстрактных параболических уравнений с нестационарной главной частью, включая методы теории полугрупп и дробных степеней неограниченных операторов; ряд других методов функционального анализа; классические методы теории усреднения; метод пограничного слоя Вишика-Люстерника.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

I. 1. Обоснован метод усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью и подчиненной (в опреде-

ленном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью в случае задачи Коши.

2. Обоснован метод усреднения для полулинейных параболических начально-краевых задач произвольного порядка; в частности, 2-го порядка в случае первой начально-краевой задачи.

II. 1. Обоснован метод усреднения для абстрактных параболических уравнений с нелинейной главной частью и подчиненной (в определенном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью в случае задачи Коши.

2. Обоснован метод усреднения для начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка.

III. 1. Построена и обоснована полная асимптотика решения первой параболической квазилинейной (в частности, полулинейной) начально-краевой задачи произвольного порядка. Главная часть указанной задачи зависит от пространственных и временной переменных и содержит быстро осциллирующие по времени младшие члены.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании математических моделей, представленных рассмотренными в диссертации задачами. Они могут применяться, в частности, для приближенного решения таких задач, как правило, в сочетании с численными методами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 11-й Международной научной конференции "Математические модели физических процессов" в городе Таганроге в 2005 году; на Крымской Осенней Математической Школе-Симпозиуме в 2010 году; на научных семинарах факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ: кафедры алгебры и дискретной математики в 2005 и в 2010 годах; кафедры вычислительной математики и математической физики в 2011 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1] - [10]. Работы [1] - [4] выполнены совместно с научным руководителем. В них В. Б. Левенштаму принадлежит постановка задач, выбор методик исследования и общее руководство работой. В. 10. Александрову принадлежит реализация предложенных методик. Работа [3] опубликована в журнале, входящем в список журналов ВАК. Кроме того, работы [1] и [2] опубликованы в специальных (посвященных юбилеям профессоров JL М. Зубова и И. Б. Симоненко соответственно) рецензированных выпусках журнала "Известия вузов Северо-Кавказского региона", входящего в список журналов ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 37 наименований. Общий объем работы — 125 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы и приводятся основные результаты диссертации.

В первой главе обоснован метод усреднения для параболических уравнений с нестационарной линейной главной частью.

§ 1. Абстрактные параболические уравнения с начальными условиями

Пусть Д-банахово пространство и A(t), где t е [О, Г], Г = const > 0-линейный, вообще говоря, неограниченный оператор в В, удовлетворяющий следующим условиям.

1. ¿4(0 имеет не зависящую от t всюду плотную в В область определения, обратим, и для любых t, т, s е [О, Г] при некотором сг е (0,1] справедливо неравенство:

||[А(0-А(г)]А-Ч.)||„В)^с]г-гГ. Здесь и далее через IIom(B\, В2), когда В\,В2- банаховы пространства, обо-

значается пространство линейных ограниченных операторов, действующих из В] в В2, с обычной операторной нормой. 2. При некоторой постоянной с > О

Обозначим /1(0) через А и пусть Ду, у > 0 - банахово пространство векторов, принадлежащих области определения оператора (-А)г, с нормой IWIbv = Н(-Л)7*11в- Пусть a е [0,1], е е (0,1], D - открытый шар 2 в В", a G - D х [0, Г]. Предположим, что / : G х [0,оо) В£ - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям.

3. Семейство отображений /г : G —» Ве, т > 0 : fr(x,t) = f(x,t,T), (.х, t) е G, равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

4. Отображение / непрерывно (В", ВЕ)~ дифференцируемо в смысле Фре-ше по первой переменной и семейство отображений (Df)T: G —> IIom(B'\ Ве): (.Df)T(x,t) = (Dxf)(x,f,r), (x,t) sG, также равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

5. Семейство отображений FN : G —> ВЕ, N > 0, определяемое ра-

венством Рн(х,1) = л I f{x,t,т)dт, при ЛГ со равномерно относительно о

(х, 0 е б й' - сходится к некоторому отображению Г : С —> ВЕ.

6. Семейство отображений ОЛ^ы) при N оо равномерно относительно (х, /) 6 С Нот(В', Ве) - сходится.

Пусть /3 е [а, 1], е О п ВР. Рассмотрим возмущенную и усредненную задачи Коши:

||[Л/-Ж0Г'|[

I Нот(В,В)

< с (1 + И1Г1, ReA > 0.

n

(1)

2 под О можно подразумевать произвольный шар, содержащий векторы >(/), г € [0, Г], где >•— решение

усредненной задач» (2)

dy

dt (2) [>•(0) = л-о. te[0,T1 Решением задачи (1) будем называть непрерывное отображение х : [О, Т] —> В/3, удовлетворяющее следующим условиям: x(t) € D для любого t е [О, Т] и х(0) = х0; x(t) е В1 для всех t е (О, Т] (В1 - область определения оператора А); вектор - функция х(0, рассматриваемая, как отображение в В, дифференцируема в каждой точке t е (О,Г]; вектор - функция x(t) удовлетворяет при t е (О, Т] дифференциальному уравнению (1). Аналогично определяется решение задачи (2).

Через С([0, Т],Е), где £-банахово пространство, будем обозначать обычное банахово пространство непрерывных вектор-функций и : [О, Т] —> Е с max - нормой. Через СД[О, Т],Е), р е (0,1]— обычное гельдерово простран-

Теорема 1. Пусть данные задачи (1) удовлетворяют указанным выше условиям, и усредненная задача (2) имеет решение уо. Тогда существует такое а)о > 0, что при всех а> > а>о задача (1) также имеет единственное решение хш, и при этом справедливо соотношение

2™ ~ >'оИс([0,г],в") = О-

§ 2. Полулинейные начально-краевые задачи второго порядка

Пусть О- ограниченная область пространства Ж'" с С2-гладкой границей дО, Г > 0, с\ > т, а > 0 и при г е [О, Т\, х е О выполнены следующие

условия.

т ->

1. 2 аф,хУу(у}>аЪ7М- ^(уьУ2, • • • - Ут) е К".

2. Функции а,7 (г, х) непрерывно-дифференцируемы поли все функции (/, х), °а"д^х\ а, (¡,х), а (г, х) непрерывны по совокупности переменных.

3. Функции Ду (г, л), а, (7, х), а (г, х) удовлетворяют по г условию Гель-дера с показателем у е (0,1] равномерно по х.

Пусть Т > О, К - открытый шар в Сш+1, Е - О х К, у(х,и,1,т)~ непрерывная комплексная функция, определенная на множестве Е х [О, Т] х [0, +оо) и удовлетворяющая следующим условиям.

4. Функция <р вместе со всеми производными по компонентам и удовлетворяет условию Гельдера с показателем г] е (0,1] по совокупности переменных х, и, г равномерно по т, когда (х, и, г) е Е X [О, Г].

5. Семейство средних функций <рц, определенных на Ех [О, Г] равенством

n

<Рн(х, и, г) =

и, Г, т) йт

при N —» +оо сходится равномерно на Е х [О, Г] к некоторой функции Ф. То же справедливо и для первых производных функции (р по компонентам вектора и.

Рассмотрим две начально-краевые задачи :

г о т г.1 т о

А" п , . Л V , ч<^ , . |,у=1 ■'1=1

= </>(х, ¿V,/, ш), хеД г 6 (О, Г], (3)

V (л:, 0 = О, хедД г € [О, Г], у(х, 0) = у0(х), х б Д

п т т п

V / ч 5 ^ V , ч^ , ч

& ~ 2,+ ^<'• ^ + й^ =

1,;=1 7 (=1

= Ф(х, ¿IV, о, X е Д ? е (О, Г], (4)

н> (х, г) = 0, хедД ге[0,Г], IV (х, 0) = у0 (х), хе О, где ш > 0, = {у, ..., у0 е (х, Ш(х)) е Е, когда х е Д

Их решения понимаем в смысле определения, данного ниже для задач

(7), (8).

Теорема 2. Пусть Т > 0 таково, что задача (4) разрешима на временном отрезке t е [О, Г]. Тогда существует такое coq > 0, что при со > соц задача (3) однозначно разрешима на отрезке t е [О, Т] и при со —> оо решение задачи (3) стремится к решению задачи (4):

sup [[V (•, t) - IV (•, ОНцЛ(Я) -»о, со -» оо

/еЮ,Г]

В § 3 доказана теорема, аналогичная теореме 2, для полулинейных начально-краевых задач произвольного порядка.

Во второй главе обоснование метода усреднения выполнено для параболических уравнений с нелинейной главной частью.

§ 1. Абстрактные параболические уравнения с начальными условиями

В банаховом пространстве В рассмотрим задачу Коши для нелинейного абстрактного параболического уравнения вида:

' dx

— - A{x,t) х + f(x, t, Lût),

■ dt (5)

x(O) = x0, t<-[0,T],

зависящего от большого параметра а». Предположим прежде всего, что действующий в В линейный оператор Л(х, t) и вектор xq е В таковы, что оператор -Ао = -А(хо,0) является позитивным, а оператор Ад1 вполне непрерывен.

Через Ву,у > 0 обозначим банахово пространство, являющееся областью определения оператора (-Ао)у, с нормой \\х\\вг = ||(-Ао)г-*11-

Пусть а е [0,1), R > 0, S = Sixo,R) — шар в В" с центром ха и радиусом R и G = S х [0,Г]. Будем предполагать, что операторнозначная функция А(х, t) определена на множестве G и удовлетворяет следующим условиям.

1. A(x, t) имеет не зависящую от (х, t) е G плотную в В область определения D и для всех Л с Re Л > 0 справедливо неравенство:

ll^-AUOJ-'H^^cd+H)-1, c = const.

2. Существует такое число сг е (0,1], что при любых (х, г), (х, г) б G выполняется оценка:

\\Л(х, t) - А(х, т)\\тт(в',в) < с |Г - тГ, с = const.

3. Отображение A(-,t) : S —> Нот(В\В) имеет производную Фреше (DxA)(x,t) = (DA)(x,t), которая непрерывна и ограничена, как отображение G Нот(В",Нот(В\В)).

Пусть ее (0,1]. Будем предполагать, что отображение / : G X [0, оо) —> Ве удовлетворяет следующим условиям.

4. Отображение / непрерывно, причем семейство отображений fr(x,t) = f(x, f,r), (х, i) € G с параметром т е (0, со), равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

5. Существует непрерывная производная Фреше (Dxf)(x,t,T) отображения / по первой переменной, такая что семейство отображений (D/)г : G —» HomiB", ВЕ), определяемое равенством (D/)г(х, f) = (Dxf){x, f, т), (х, 0 е G равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

6. Семейство отображений Fx : G —> ВЕ, /V > 0, определяемое равенством

n

fix, f,r)i/r

при М —> со равномерно относительно (х, /) € С Ве-сходится к некоторому отображению Т7 : О —» Ве.

7. Семейство отображений £>/> : (7 —> Нот{В", Ве) при N—>00 равномерно относительно (х, г) е б Нот(В", б';)-сходится.

Пусть р е (а, 1], xq е B!i. Наряду с возмущенной задачей (5) рассмотрим усредненную задачу Коши:

^=A(y,t)y + F(y,f), dt (6) j(0) = *o. /е[0,Г].

Решение задачи (5) ((6)) определяется аналогичным § 1 главы 1 образом.

Теорема 3. Пусть усредненная задача (6) имеет решение yo е С№([0, Г], Вр), где р е [а,/5) и ро е (0,1) — некоторые числа, причем уо вместе с некоторой С([0, Т], Вр)-окрестностъю лежит в G. Тогда существуют такие числа wo > 0 и р 6 (0,1), при которых справедливы следующие утверждения. 1. При со > ojo возмущенная задача (5) имеет решение Ха> 6 C¡A[0, Т], Вр). 2. Решение хш единственно в пространстве 0, Т], В"). 3. Справедливо соотношение lim \\хш - уоИадо.г],®') = 0.

LO—too

§ 2. Квазилинейные начально-краевые задачи

Пусть k и т — натуральные числа, Q — ограниченная область пространства Rm с С2*-гладкой границей дй. Для любой функции <р(х), имеющей все частные производные до порядка 2к - 1 включительно, через (ó2k~]ip)(x) обозначим вектор-функцию, естественным образом составленную из всех этих производных (включая и производную нулевого порядка). Через р обозначим размерность векторов (6lk~xíp){x), а через К открытый шар в С.

Рассмотрим дифференциальное выражение

L(t, е) и = аа(х, t, e)D"u(x), xeü,

\a\~2k

где а = (ai,...,ат) — мультииндекс, D" = Д'"^„д, (t, е) е [0, Т] х К. Относительно коэффициентов аа сделаем следующие предположения.

1. Функции aa(x,t,e), определены и непрерывны на множестве V = Q х [0, Г] х К, принимают вещественные значения, имеют непрерывные

в V производные по компонентам вектора е, которые вместе с самими функциями удовлетворяют равномерному условию Гельдера с показателем у о е (0,1] по переменным х, е, t.

2. При всех (х, t, é) е V и £ б Ет, £ Ф О выполняется неравенство

(-1 )к+1 Yj а«(х''>> с W2k. c=const>0.

\a¡=2k

Рассмотрим теперь граничные дифференциальные выражения

(Bju)(x) = £ bßj(x)[fu(x), х 6 дй,

I/3\<mj

где j = \,... ,к, rtij < 2к - 1, которые удовлетворяют следующим условиям.

3. Коэффициенты bßj е С2к~т'(дй) и при любой л е дй и нормальном к дй векторе £ выполняется соотношение 2 bßj(sФ 0.

]ßl=mj

4. Данная система граничных дифференциальных выражений накрывает дифференциальное выражение (L(t, е)и)(х) при любых значениях {х, t, е) е V.

Рассмотрим в L4{Q), q > т эллиптический оператор A(t, е) с областью

определения D(A) = {и е W]¡k(Q) : В¡u = 0, j = 1.....к\, определяемый

равенством

A(t, é)u = L{t, е) и

и удовлетворяющий следующему требованию.

5. Для любых (í, е) 6 [0, Г] X К каждый луч arg Л = в, в е является лучем минимального роста3 резольвенты R,¡{t, е) = [A.I -A(t, е)]~\ то есть при argÄ = в и достаточно больших |Л| справедлива оценка И^лН HomiL,(SJ).L,m < Т7Щ' гдс с не зависит от Л.

Пусть íp(x,t,e,r) — непрерывная функция, определенная на множестве V х [0, +оо] и удовлетворяющая следующим условиям.

3 S. Agmon. Comm. Pure and Appl. Math., 1962; И. Б. Симоненко, Мат.сб.,1972

6. Функция ¡р дифференцируема по компонентам вектора е и удовлетворяет вместе с производными условию Гельдера с показателем 77 е (0,1] по х, е, / равномерно относительно (х, /, е, т) е V х [0, +оо).

7. Существует определенная на V непрерывная функция Ф(х, /, е), обла-

дФ

дающая непрерывными производными ——(х,(,е) I - 1 для которой

Не,

равномерно относительно (х, е) е V справедливы соотношения

N

11гп 77

N —юо N

1р(х, Г, е, т) 1.1т - Ф(х, е),

о

N

Тт

N^>0о N

д<р. . , дФ(х,?,е)

—(х, г, е, г) ¿т =---,

ое, ае,

«'= 1.....Р-

Рассмотрим две начально-краевые задачи

/ л _

0 = У дЛх, г, 0 + ^(х, г, 52*"1 и, Ш),

01

\ е\=2к

г е (О, Г], хе£, ^ Ь(](х)(Оеи)(х, г) = 0, х € <9Й, г е [О, Г], у = 1,... ,к

и(х,0) = и0(х), хеО, г е [О, Т]

(7)

(В)

л ___

у(х,0 = а{(х,1,62к-1у)(Оеу)(х,1) + Ф(х,1,62к-^),

\е\=2к

I е (О, Г], х е О, 2 ¿0(х)(//у)(х, 0 = 0, х е (9Д / е [О, Г], у = 1

у(х, 0) = ко(х), л: ей, г б [О, Г]

Будем предполагать, что для начальной функции щ выполнены следующие условия.

8. мо е \VfiQ), (В¡Щ))

во

= 0, ./=1

Решением задачи (7) мы назовем функцию и е С([О, Г], такую

что {62к~[и)(х, 0 е -К', при (х,0 е х [О, Г], и(х,0 удовлетворяет начальному

15

условию, а также при г е (О, Т] ¿ч(£?)-непрерывно дифференцируема по г и удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям (7). Аналогично определяется решение (8).

Теорема 4. Пусть усредненная задача (8) имеет решение v(x, t). Тогда существуют такие числа coq > 0 и cr, (i € (0,1), что справедливы следующие утверждения. 1. При w > сиц задача (7) имеет решение иш{х, t).

2. Решение иы 6 СД[0, Т\, C2k~u<T(Q)') и в этом пространстве единственно.

3.^ГГП^ IIиш - У]1С^([0,Г],С2*~1+<г(£5)) = 0.

В третьей главе рассматривается асимптотическое интегрирование параболических начально-краевых задач. § 1. Полулинейные задачи

Пусть от, к и s - натуральные числа, Т > 0, Q - ограниченная область пространства R"! с С°°-гладкой границей dQ. В цилиндре Q = Q х [0, Г] с боковой поверхностью Г = 3D х (0, Т] рассмотрим задачу

£ t)D"u = £ /, (х, t, 62k-lu) е"-', (9)

М=2 к

ди

и1г = т on

дпк~х

= 0, и(х, 0) = <р(х), (10)

г

где а)»1, а = (аь...,ат)-мультииндекс, \а\ = а\+ ... +ат,

дыи ч

Оаи = ——г---——, х = (х\,...,хт), 6 'и - вектор-функция, естествен-

ох, ... охш ™

ным образом составленная из функции и и всевозможных ее производных по х до порядка 2к - 1 включительно, п - внутренняя нормаль к Г. Пусть выполнены следующие условия.

1. Вещественные функции а„(х, г) определены на <2 и бесконечно дифференцируемы по переменным (х, 0 е Ц, и, кроме того, для задачи (9)—(10) выполнено условие равномерной параболичности, т.е. при всех х е О, ? е [0, Т]

и ненулевых векторах £, g г.'" справедливо неравенство

(-1)*+1 Yj a'¿x> № > с - c=const>0 М=2 к

Рассмотрим в Lq{Q), q > m эллиптический оператор Ait) с областью определения D(A) = {и е Wf(fí) : и|г = ||г = ... = = 0), определяемый равенством

A(t) и= ^ аа(х, t)Dau(x), xeQ,

Ы=2 к

и удовлетворяющий следующему требованию:

2. Для любого t е [0, Г] каждый луч arg Л = в, в е является лучем минимального роста резольвенты [Л1 - A(f)]-1-

3. Обозначим через р размерность вектора (62к']и)(х), а через D -ограниченную область комплексного пространства С. Предположим, что комплексные функции f¡(x,t,e), где е = (е\,...,ер) € D, |/| < s, определены и бесконечно дифференцируемы на множестве Q х D, и при 0 < |/| < í справедливы следующие соотношения:

dJ

g-D"f,(x,t,e)

= 0, 0"ф)

u,/)ea0x(0)

= 0, М + у<Л/Ь. (11)

хеОй

где Щ - некоторое натуральное число. 4. Предположим, что задача ду

Y.-I* aJx>t)D"v = /оr'ô2t~'v)' (í2)

\а\=2к

I 9V

dk~lV

г дпк 1

= 0. v(x,0 ) = <p{x), (13)

г

которую мы будем называть усредненной, имеет решение V = но е С/[0,Г],С2*-1+<т(й)) при некоторых р,сг е (0,1).

Старшие приближения решения иы задачи (9)—{10) будем искать в виде:

п

ип(х, f,c) = 2 OJ~j,2kUj(x, t) + j=О

n

+ cj'x Yj io'ink[Vj{x, t, cat) + Wj(tp,p, t) + Zj(tp,p, t, CJt)], j=0

где p = rcoxllk, (r,tp)~ криволинейные координаты в окрестности dQ, uj и vy -регулярные, a Wj и Zj - погранелойные функции. Кроме того, функции Vj(x,t,cot) и z.j((p, р, t, <nt) 2л--периодические по г = cot с нулевым средним, а погранелойные функции w; и zj в области Q \ Qn, где координаты (ip, г) не определены, равны нулю. В диссертации подробно описана процедура построения и".

Теорема 5. Существует такое число а>о > 0, что при о» > а>о для произвольного I > 0 и любого натурального п найдется число Nq такое, что при выполнении условий 1-4 с этим значением Nq в соотношениях (11) эффективно строится функция и" и справедлива оценка:

IIиш - и"Нс^а, < с„,бГ("+1-та*('-ад>/2', CnJ = const

Здесь Cu/2k(Q), I > 0 — известное гельдерово пространство функций.

В § 2 получены результаты, аналогичные результатам § 1, для квазилинейных параболических задач.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Валерию Борисовичу Левенштаму за постановку задач, помощь, терпение, постоянную поддержку и внимание к работе.

Публикации по теме диссертации.

1. Александров В. Ю., Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений с переменной главной частью // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Спец. выпуск. Исследования проблем механики сплошной среды. 2003. С. 92-95.

2. Александров В. Ю., Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Спец. выпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. 2005. С. 26-33.

3. Александров В. Ю., Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. № 2. С. 5-11.

4. Александров В. Ю., Левенштам В. Б. Усреднение параболических уравнений с нелинейной главной частью // Деп. в ВИНИТИ 14.01.2005, N 23-В2005.

5. Александров В. Ю. Асимптотическое интегрирование начально-краевой задачи для полулинейного параболического уравнения с быстро осциллирующими членами // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. 2004. Т. X. С. 4-6.

6. Александров В. Ю. Принцип усреднения для системы Навье-Стокса с зависящей от времени вязкостью // Математические модели физических процессов: Материалы 11-й Международной научной конференции (29-30 июня 2005 г.) Физико-математические и физико-технические модели, проблемы технологии. Т. 1. 2005. С. 96-98.

7. Александров В. Ю. Обоснование метода усреднения для полулинейных начально-краевых задач произвольного порядка // Труды научной школы И. Б. Симоненко. 2010. С. 30-37.

8. Александров В. Ю. Обоснование метода усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью // Тезисы докладов Крымской Осенней Математической Школы- Симпозиума. 2010. С. 3.

9. Александров В. Ю. Обоснование метода усреднения для параболического уравнения второго порядка с зависящей от времени главной частью в случае первой начально-краевой задачи // Деп. в ВИНИТИ 10.02.2004, N 219-В2004.

10. Александров В. Ю. Асимптотическое интегрирование начально-краевой задачи для квазилинейного параболического уравнения с быстро осциллирующими членами // Деп. в ВИНИТИ 14.02.2005, N 207-В2005.

Зак. №81 от 28.02.11. Тираж 100 экз.

Отпечатано: «Первая типография АРО» г. Ростов-на-Дону, ул. Соколова, 15 тЙпографЙяаро Тел. (863) 240-53-27; факс (863) 240-52-89

Введение.

Глава 1. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений с нестационарной линейной главной частью.

§1. Абстрактные параболические уравнения с начальными условиями

§2. Полулинейные начально-краевые задачи второго порядка

§3. Полулинейные начально-краевые задачи произвольного порядка

Глава 2. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений с нелинейной главной частью.

§1. Абстрактные параболические уравнения с начальными условиями

§2. Квазилинейные начально-краевые задачи.

Глава 3. Асимптотическое интегрирование параболических начально-краевых задач.

§ 1. Полулинейные задачи

§2. Квазилинейные задачи.

Метод усреднения - один из важнейших асимптотических методов интегрирования дифференциальных уравнений. История его зарождения уходит в XVIII век и связана с работами по небесной механике. Так, идеи метода усреднения встречаются в работах А. Клеро, Ж. Лагранжа, С. Лапласа, К. Гаусса. В начале XX века этот метод активно развивал Ван-дер-Поль, при этом ни он, ни тем более его предшественники вопросами его математического обоснования не занимались. Впервые корректность использования метода усреднения была обоснована в работах П. Фату (1928 г.) и Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1934 г.), связанных с нормальными системами дифференциальных уравнений с начальными условиями и периодическими по времени правыми частями.

Систематическое развитие теории метода усреднения связано с именами Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, которые исследовали определенные широкие классы систем дифференциальных уравнений с малым параметром. Их результаты получили дальнейшее развитие в трудах многочисленных исследователей, причем изучались не только обыкновенные дифференциальные уравнения, но и интегральные уравнения, уравнения в частных производных, разностные уравнения и другие.

Прежде чем перейти к обзору результатов по методу усреднения, наиболее близких к теме диссертации (то есть относящихся к параболическим задачам), отметим некоторые книги по теории этого метода. Это монографии И. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского [1], Ю. А. Митропольского [2], В. М. Волосова, Б. И. Моргунова [3], В. Ф. Журавлева, Д. М. Климова [4], И. Б. Симоненко [5], В. Б. Левенштама [6].

В работе И. Б. Симоненко [7] (см. также [5]) метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений с1и = Аи + /О, ш), а> » 1 (0.0.1) ш в банаховых пространствах с линейной, вообще говоря, неограниченной стационарной главной частью А, порождающей аналитическую полугруппу, и подчиненной (в определенном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью f{u, т), обладающей средним по т n 1

F(u, t) = lim —

ДГ->оо N f(u, t, r)dr.

Здесь рассмотрена задача Коши и задача о периодических решениях, последняя — в окрестности стационарного невырожденного решения усредненного уравнения. В работе [8] указанные результаты перенесены на широкие классы полулинейных параболических уравнений с не зависящими от времени старшими коэффициентами и с краевыми условиями в ограниченных пространственных областях: $11 = У aa{x)Dau + ip(x, д2к~1и, t, cot) at ¿—I

W=2* (0.0.2) ^T bpj(x)lfu = 0, xedQ, j=l,.,k IP\<mj

Здесь 62k~[u - вектор-функция, естественным образом составленная из всевозможных частных производных и по х до порядка 2к — 1 включительно. В той же работе [8] метод усреднения обоснован для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих по времени сил. В работах [9],[10] предложена и обоснована одна схема построения асимптотики решения задачи Коши для упоминавшихся выше абстрактных параболических уравнений и начально-краевой задачи для параболических уравнений.

В работе В. Б. Левенштама [11] метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений (0.0.1) в случае общих ограниченных и почти периодических по времени решений. Аналогично [8] этот результат перенесен на широкие классы полулинейных параболических задач с краевыми условиями в ограниченных областях. В [12] - [14] разработаны эффективные алгоритмы построения асимптотик решений для широких классов полулинейных параболических уравнений с не зависящими от времени старшими коэффициентами и краевыми условиями.

В работе В. В. Жикова [15] метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений вида с1и = А(Ш)и + /(и, а){) ш с линейной главной, вообще говоря, неограниченной частью А(т) и подчиненной ей нелинейностью /(и,т), где А(т) и /(и,т) обладают средним по т. В публикации [16] этот метод обоснован для некоторого класса полулинейных параболических уравнений с зависящими от быстрого времени старшими коэффициентами. В [15], [16] речь идет о задаче на всей временной оси (а не с начальным условием). Нелинейная часть параболических уравнений, к которой применимы результаты [15], [16], подчинена довольно жестким (например, по сравнению с требованиями к нелинейностям в данной диссертации, где главная часть уравнений зависит от t, но не от Ш, со » 1) ограничениям.

В работах В. Б. Левенштама [17], [18] указанные выше жесткие ограничения сняты для полулинейных параболических уравнений с зависящими от быстрого времени главными коэффициентами, но для задач во всем пространстве. При этом в [17] рассматривается задача Коши, а в [18] - задача об ограниченных и почти периодических по времени решениях.

Отметим еще цикл работ В. Б. Левенштама [19]-[21], где обоснован метод усреднения, и построена и обоснована асимптотика решения для различных классов полулинейных параболических уравнений с не зависящими от времени старшими коэффициентами, содержащих высокочастотные нелинейности с амплитудами, пропорциональными положительным степеням частоты.

Упомянутые работы [7], [8] стимулируют обоснование метода усреднения для задач видов (0.0.1) - (0.0.2) в тех случаях, когда А и аа(х) не являются стационарными, то есть зависят и от t. Отметим еще, что с помощью результатов [7], [8], [5] не представляется возможным обосновать метод усреднения для квазилинейных параболических задач даже со стационарной главной частью, то есть для задач вида (0.0.2) с аа = аа(х,б2к~1и). В диссертации квазилинейные параболические задачи исследованы в главе 2.

Приступим к описанию результатов диссертации.

В первом параграфе главы 1 метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений с переменной главной частью вида du = A{t)u + f(u, t, cot), со » 1, t e [0, T] dt в случае задачи Коши. Здесь A(t) - действующий в банаховом пространстве линейный, вообще говоря, неограниченный оператор, имеющий не зависящую от t область определения и при каждом / порождающий аналитическую полугруппу, а /(и, t, cút) — подчиненная в определенном смысле оператору А(0) нелинейность.

Во втором параграфе главы 1 результаты первого параграфа применены для параболических уравнений второго порядка в случае первой начально-краевой задачи вида л т „2 >п л v V" / N ° v / ч/ \

Q~t ~ 2^1 a¿j Х'дх дх- + Щ ~дх- + а = i,7=1 1 J Í—1 1 íp(x, óv, t, cút), x e Q, t e (0, T], v (x, t) = 0, xedQ, t g [0, T], v (x, 0) = vq (x), x e Q,

В третьем параграфе главы 1 результаты первого параграфа перенесены на широкий класс начально - краевых задач для полулинейных параболических уравнений вида ди \—1 <37 1 = > аа(х, t)Dau + ip{x, 8 и, t, Ш) ot а|=2 к bpj(x)DPu = 0, xedQ, j = 1,. Д

J3Hnij и(х, 0) = uq(x), t е [0, Т]

Отметим, что при доказательстве результатов данной и следующей глав широко используются результаты, идеи, методы и подходы, представленные в работах И. Б. Симоненко [5] и П. Е. Соболевского [22].

В первом параграфе главы 2 метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений вида du = А(и, t)u + /(и, t, cot), te [0, Т]. dt

Здесь оператор А(и, I) при фиксированных и, t порождает аналитическую полугруппу, а отображение / того же типа, что и в главе 1.

Во втором параграфе главы 2 результаты первого параграфа перенесены на широкий класс начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений вида дм = У аа(х, 82k~lu, l)Dau + tp(x, 82k~lu, t, aot). ot ¿—i a\=2k

Третья глава диссертации посвящена построению и обоснованию полной асимптотики решения первой параболической начально-краевой задачи произвольного порядка. В первом параграфе коэффициенты в главной эллиптической части зависят от пространственных и временной переменных, а во втором параграфе еще и от неизвестной функции. При доказательстве результатов этой главы существенно используются методика построения старших приближений и ее обоснование, разработанные В. Б. Левенштамом (см., например, [21]) для параболических начально-краевых задач с не зависящей от времени главной частью.

Перейдем к подробному описанию полученных результатов.

1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва: Наука, 1974.

2. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Науковадумка, 1971.

3. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. Москва: изд-во МГУ, 1971.

4. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. Москва: Наука, 1988.

5. Симоненко И. Б. Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1989.

6. Левенштам В. Б. Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2008.

7. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений//Матем.сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 53-61.

8. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Матем.сб. 1972. Т. 87(129), № 2. С. 236-253.

9. Симоненко И. Б. Старшие приближения метода осреднения для абстрактных параболических уравнений//Матем.сб. 1973. Т. 92. С. 541-549.

10. Левенштам В. Б. Построение старших приближений метода усреднения для параболических начально-краевых задач методом пограничного слоя // Изв. вузов. Матем. 2004. № 3. С. 4Н5.

11. Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующими по времени коэффициентами // Изв. вузов. Матем. 2002. № 5. С. 36-43.

12. Левенштам В. Б. О методе усреднения для квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами // Изв. вузов. Матем. 2000. № 7. С. 22-30.

13. Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 6. С. 1380-1408.

14. Жиков В. В. Принцип усреднения для параболических уравнений с переменной главной частью // Докл. АН СССР. 1975. Т. 208, № 1. С. 31-35.

15. Левенштам В. Б. Принцип усреднения в случае задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений с переменной главной частью // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 41, № 4. С. 839-857.

16. Левенштам В. Б. Усреднение квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью. Экспоненциальная дихотомия // Изв. РАН. Сер. мат. 1992. Т. 56, № 4. С. 813-851.

17. Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для параболическихуравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70, № 2. С. 174-205.

18. Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами 1,11 // Дифференциальные уравнения. 2005. Т.41, №6. С. 761-770; //№8. С. 1084-1091.

19. Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование параболических задач с большими высокочастотными слагаемыми // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №4. С. 805-821.

20. Соболевский П. Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Труды Моск. матем. об-ва. 1961. Т. 10. С. 297-350.

21. Функциональный анализ (под общей редакцией С. Г. Крейна). Спавочная мат. библ. Москва: Наука, 1972.

22. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elleptic boundary value problems // Comm. Pure and Appl. Math. 1962. T. 15, № 2. C. 119-152.

23. Соломяк M. 3. Применение теории полугрупп к исследованию дифференциальных уравнений в пространствах Банаха // ДАН СССР. 1958. Т. 122, № 5. С. 766-769.

24. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Москва: Наука, 1966.

25. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 83. С. 3-162.

26. Александров В. Ю., Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. № 2. С. 5-11.

27. Александров В. Ю., Левенштам В. Б. Усреднение параболических уравнений с нелинейной главной частью // Деп. в ВИНИТИ 14.01.2005, N 23-В2005.

28. Александров В. Ю. Асимптотическое интегрирование начально-краевой задачи для полулинейного параболического уравнения с быстро осциллирующими членами // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. 2004. Т. X. С. 4-6.

29. Александров В. Ю. Обоснование метода усреднения для полулинейных начально-краевых задач произвольного порядка // Труды научной школы И. Б. Симоненко. 2010. С. 30-37.

30. Александров В. Ю. Обоснование метода усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью // Тезисы докладов Крымской Осенней Математической Школы-Симпозиума. 2010. С. 3.

31. Александров В. Ю. Обоснование метода усреднения для параболического уравнения второго порядка с зависящей от времени главной частью в случае первой начально-краевой задачи // Деп. в ВИНИТИ 10.02.2004, N 219-В2004.

32. Александров В. Ю. Асимптотическое интегрирование начально-краевой задачи для квазилинейного параболического уравнения с быстро осциллирующими членами // Деп. в ВИНИТИ 14.02.2005, N 207-В2005.