Метод усреднения в теории нелинейных параболических уравнений с приложениями к задачам гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ввведение .

Глава I. Метод усреднения для абстрактных параболических и полулинейных параболических уравнений со стационарной главной частью .

§1. Усреднение абстрактных параболических уравнений.

Первое приближение .

§2. Алгоритм построения старших приближений .

§3. Оценки старших приближений .

§4. Метод усреднения для параболических уравнений. .

Первое и старшие приближения .

§5. Эффективный способ построения старших . приближений для одного класса параболических . уравнений .

Глава II. Усреднение квазилинейных: параболических. уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами . в глзвной части. Первое приближение.

§1. Усреднение задачи Коши на конечном временном . отрезке .

§2. Связь метода .усреднения на всей временной оси с . экспоненциальной дихотомией .

§3. Усреднение на всей временной оси полулинейных . параболических уравнений. Задача об ограниченных . почти периодических, периодических) по времени . решениях .

§4. Усреднение на всей временной оси квазилинейных

374 параболических уравнений. Задача об ограниченных . почти периодических, периодических) по времени . решениях .

Глава III. Старшие приближения метода усреднения для . квазилинейных параболических уравнений с быстро . осциллирующими коэффициентами в главной части .

§1. Задача Коши .

§2. Задача о периодических по времени решениях .

Глава IV. Метод усреднения в гидродинамике. Первое . приближение .

§1 . Об одном свойстве проектора Вейля П .

§2. Непосредственные приложения результатов .

§1 гл. I .

§3. Задача о термовибрационной конвекции .

Глава V. Старшие приближения метода усреднения в . гидродинамике.

§1. Схема построения старших приближений для задачи о . термовибрационной конвекции .

§2. Старшие приближения задачи о термовибрационной конвекции в плоском случае .

§3. Старшие приближения задачи о термовибрационной конвекции в трехмерном случае .

Диссертация посвящена развитию математической теории метода усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского [32, 2, з, 63] для квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующими по времени коэффициентами и задач гидродинамики жидкости в высокочастотных силовых полях.

Метод усреднения впервые стал применяться в небесной механике. Он встречается уже в работах Лагранжа [113], Лапласа [114], а затем - Гаусса [НО] при исследовании эволюции планетных орбит под влиянием взаимного притяжения планет . В этих работах учитывается то обстоятельство, что правые части соответствующих систем дифференциальных уравнений (полученных из исходных задач с помощью метода Лагранжа вариации произвольных постоянных ) содержат быстроосциллирующие и медленноменяющиеся слагаемые и при этом последние определяют главную (плавную) часть решения, а быстроосциллирующие слагаемые приводят лишь к малым осцилляциям около этого плавного движения, поэтому их естественно отбрасывать, то есть усреднять систему.

Позднее метод усреднения переоткрыл Ван-дер-Поль [120], предложивший на интуитивном уровне изложения эффективный способ приближенного решения нелинейных задач теории колебаний с одной степенью свободы.

Первые работы по математическому обоснованию метода усреднения выполнены П. Фату [109] и Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси [62] для систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида 3 ft = £f(X,t), 0 < 8 « U (0.1) рассматриваемых при t <Е [0, Те 1 ], Т = const, с начальными условиями и периодическими по t вектор-функциями /. В монографии Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [32] аналогичный результат установлен для уравнений вида (0.1) с квазипериодическими по t правыми частями.

Здесь необходимо также отметить, что в развитии метода усреднения существенную роль сыграл весь цикл совместных исследований 30-х годов Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, где, в частности, предложен и разработан метод, позволяющий для широкого класса колебательных систем строить формальную асимптотику решений, главный член которой совпадает с решением, найденным методом Ван-дер-Поля (если он применим).

Классическая математическая теория метода усреднения для (векторных) уравнений вида (0.1), правые части которых обладают средними

F(x) = lim Т

Г-»оо г1

0.2) создана Н. Н. Боголюбовым [2]. Опишем некоторые проблемы этой теории, относящиеся к обоснованию метода усреднения и построению старших (часто говорят: "высших") приближений. При этом нам удобно (с точки зрения дальнейшего изложения наших собственных результатов) уравнение (0 Л) записывать в эквивалентном виде щ = / (X, ißt) , 0) » / . (0.3)

Наряду с возмущенным уравнением (о.з) будем рассматривать усредненное уравнение 4

§ = (0.4)

Обоснование метода усреднение для уравнения (0.3) заключается в решении следующих двух проблем:

1. Определение условий, при которых разрешимость усредненного уравнения (0.4) на участке t £ [О, Г], Т = const > О влечет разрешимость уравнения (0.3) при со >> 7 с тем же начальным условием (Х(0) = у {0) ) и на том же временной участке, и при этом указанные решения асимптотически близки.

2. Установление связи между различными свойствами решений усредненного уравнения (0.4) и возмущенного уравнения (0.3) на всей временной оси. В частности, определение уелоо вий, при которых из существования стационарного решения у уравнения (0.4) следует при со >> 7 существование и единст0 венность в некоторой окрестности у ограниченного (почти периодического, периодического) на всей временной оси t решео ния уравнения (0.3) , причем и у асимптотически близки о и устойчивость (неустойчивость ) по Ляпунову у влечет устойчивость (неустойчивость) д: .

Решение усредненного уравнения, о котором говорится в п. I или 2 называется нулевым (иногда, первым) приближением к соответствующему решению возмущенного уравнения.

Следующая проблема теории метода усреднения относится к построению старших приближений метода усреднения для уравнения (0.3) как в случае задачи на конечном временном промежутке, так и на всей временной оси.

3. Конструирование эффективного алгоритма построения старших приближений, то есть набора вектор-функций, с по5 мощью которых решение возмущенной задачи (0.3) можно аппроксимировать с точностью до бесконечно малой сколь угодно высокого порядка относительно СО 1, со -> со.

Классическая теория метода усреднения Н. Н. Боголюбова [2], в рамках которой поставлены и решены указанные выше проблемы для уравнения (0.3) (точнее, для (0.1)), получила дальнейшее развитие для различных классов уравнений в многочисленных работах отечественных и зарубежных математиков. Мы в какой-то мере коснемся лишь работ об усреднении по времени эволюционных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные и интегро-дифференциаль-ные уравнения. Здесь особенно много работ (см., например, библиографии в монографиях Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митро-польского [3] и В. М. Волосова, Б. И. Моргунова [9]), поэтому процитируем в алфавитном порядке фамилии лишь некоторых авторов: Д. В. Аносов, Г. А. Антосевич, В. И. Арнольд, В. М. Волосов, Е. А. Гребенников, С. П. Дилиберто, В. П. Демидо-вич, П. П. Забрейко, Д. Н. Зубарев, 0. Б. Лыкова, Ю. А. Мит-ропольский, Н. Н. Моисеев, Г. И. Моргунов, Ю. А. Рябов, Н.

A. Перестюк, П. Сетна, А. М. Самойленко, Т. Г. Стрижак, В.

B. Стрыгин, А. Н. Филатов, А. Халанай, М. М. Хапаев, Дж. Хейл, Ф. Л. Черноусько. Более полный список авторов и описание результатов см., например, в обзоре А. М. Самойленко [70].

Дифференциальные уравнения с ограниченными оператор-функциями в бесконечномерных пространствах. Для уравнения вида (0.3) в гильбертовом пространстве Н, правая часть / б которого ограничена и обладает средним (0.2) в Н, обоснование метода усреднения на конечном временном отрезке проведено М. А. Красносельским и С. Г. Крейном [31], а на всей временной оси - 3. Ф. Сирченко [79]. Аналогичные результаты для случая банахова пространства получены Ю. А. Далецким и М. Г. Крейном [13].

Стимулирующие задачи механики. Одним из наиболее ярких и известных приложений классической теории метода усреднения является результат Н. Н. Боголюбова [2], независимо на "физическом" уровне строгости установленный также П. Л. Капицей [23], о том, что при вертикальных высокочастотных вибрациях точки подвеса математического маятника его верхнее положение может стать устойчивым. Этот результат стимулировал появление многих работ, посвященных не только разнообразным маятниковым системам [87], но также и бесконечномерным моделям механики сплошных сред. Так, в работе В. Н. Челомея [99] установлена возможность повышения устойчивости упругих систем (например, стержней) при помощи вибраций. В другой работе этого же автора [100] описан ряд экспериментов, свидетельствующих о необычном поведении тел в вибрирующей жидкости. Оказывается, тела с плотностью, превышающей плотность жидкости, могут при быстрых вибрациях сосуда всплывать, и

Всюду, в диссертации, применения метода усреднения на всей временной оси подразумевается, если не оговорено противное, в окрестности стационарного решения усредненного уравнения. 7 наоборот, тела, которые легче жидкости, - тонуть. Такого рода задачам посвящены также теоретические работы [60, 71, 61]. Необычные явления в гидродинамике, связанные с высокочастотными вибрациями сосуда с жидкостью, обнаружены и при изучении тепловой конвекции жидкости. Так в работе С. М. Зеньковской, И. Б. Симоненко [22] установлено, что при любом числе Рэлея с помощью высокочастотных вертикальных колебаний вида z = ш 1 sin cot, а = const можно подавить конвекцию. В работах [Ю, и, 20, 21] показано, что при наклонных вибрациях конвекция возникает и при подогреве сверху, а также возможна конвекция в невесомости. Найдены также области характерных параметров задачи, при которых с помощью наклонных вибраций можно подавить конвекции. Имеются и другие работы, связанные с вибрациями (см. §5 [63] ).

В этих и целом ряде других работ важные физические эффекты установлены на основе исследования соответствующих усредненных задач. Однако, как правило, вывод самих усредненных задач из исходных (возмущенных ) осуществляется на "физическом" уровне строгости, путем применения формальной процедуры усреднения без математического обоснования.

В гидродинамике метод усреднения обычно применяется в форме, которую использовал П. Л. Капица при исследовании указанной выше задачи о вибрирующем маятнике [23]. Впервые такой подход использован в работе [22], где выведены усредненные уравнения задачи о термовибрационной конвекции.

Большинство же задач, для которых мы встречали обоснование, сводится к конечномерному случаю и, таким образом, исследуется с помощью конечномерной теории Н. М. Крылова - Н. Н. Боголюбова" 177, с. 33. Понятно, что такое сведение возможно лишь в исключительно редких случаях. Все это говорит о необходимости дальнейшего развития существенно бесконечномерной теории метода усреднения и об актуальности задач, указанных академиком Ю. А. Митропольским первыми в перечне аспектов развития этого метода: "Такими задачами являются дальнейшее развитие метода усреднения применительно к исследованию нелинейных уравнений в частных производных и математическое обоснование подученных здесь результатов и применение их к исследованию ноеых задач гидродинамики, магнитодинамики, нелинейной оптики, термоупругости, термовязкоупругости" (см. [63, с. 429]).

Ниже мы выделяем три класса существенно бесконечномерных задач и указываем имеющиеся для них результаты. При этом, в частности, будут отмечены и результаты данной диссертации.

Параболические уравнения со стационарной главной частью. Для параболических уравнений второго порядка линейных относительно всех производных метод усреднения на конечном временном отрезке обоснован в работах С. Д. Эйдельманз [1031 и С. Д. Эйдельмана, 3. Ф. Сирченко [1041.

В работе И. Б. Симоненко [72] метод усреднения на конечном временном отрезке обоснован для уравнений вида = Аи + ДиМ), ш » 1 (0.5) д в банаховом пространстве В. Здесь Л - линейный неограниченный оператор в В, порождающий аналитическую полугруппу, а / - пожженное, в определенном смысле, оператору Л нелинейное отображение, обладающее средним Р (см. (0.2)). Для уравнений (0.5) с периодической по т вектор-функций /(- и вполне непрерывным оператором А"1 в [721 метод усреднения обоснован на всей временной оси. В работе И. Б. Симонекко [74] эти результаты перенесены на полулинейные параболические уравнения вида с2и Ш и произвольного порядка 2£ в ограниченной области С граничными условиями

Ър(;с)(Л0(л;,Г) =0, х € ¿, 3 = 1,2,. где с* = с£1 ,С42 , . . .

Л = аНи

1 ж

1 (О.б) е Ет. С

0.7) б2*"1и : =

1л } • • я у } * » • у о и бх' О г) ^ 2&-1. Предполагается, что эллиптический оператор, определенный главной зллшггической частью уравнения (О.б) и условиями (0.7), порождает в

Ъ (О), ц > 1 аналитическую полугруппу. Достаточные условия я. для этого подучены в работах М. 3. Соломяка [831 и С. Агмона [ 107 ].

Для уравнений (0.5) и задач (О.б)- (0.7), в которых нелинейность / обладает средним (0.2) по последнему аргументу т (в отличие от требования периодичности / по т в [72, 741) метод усреднения на всей временной оси обоснован авто

10 ром [40, 4П (см. §1 вводной гл. I диссертации).

В книге Д. Хенри [951 метод .усреднения ка всея временппй птя ги^п.^чпсзи п тта л/потзиспзтлтТг тз7лтта п ^ /

01/-Т-10 п ти о п -гтл периодического по времени решения усредненного уравнения. В [951 имеются и другие результаты по обоснованию метода усреднения для уравнения (0.5), которые мы здесь не упоминаем, так как они, по существу, не являются новыми.

В работе М. И. Каменского [231 рассматриваются уравнения в банаховом пространстве В, отличающиеся по виду от

0.5) наличием дополнительного интегрального слагаемого: ± г

КЦ-5)Аи{з)(1з или

КЦ-з)Аи(з)(1з. Линейный оператор Л и о оо нелинейное отображение / в[23] удовлетворяют отмеченным выше существенным требованиям, а отображение К: [0, со) —> Нот(В,В) непрерывно дифференцируемо и коммутирует с А на 0(4). С помощью теории топологического индекса в [23] метод усреднения обоснован для указанных уравнений на конечном временном промежутке и на всей оси.

В работе А. Н. Филатова [93] для уравнений типа (0.5) в гильбертовом пространстве, удовлетворяющих условию диссипа-тивности, исследован вопрос об асимптотической близости аттракторов исходного и усредненного уравнений.

Перейдем к обзору работ о старших приближениях. Выше мы отметили различные .(зависящие от ш » 1) задачи, решения которых при ш —> со стремятся по определенным нормам к соответствующим решениям усредненных задач. Однако, если интересующая нас величина не является непрерывным по этой норме функ

11 ционалом (от решения возмущенной задачи), то возникает задача построения приближения б более сильных нормах. Кроме того, как и в конечномерном случае, желательно уметь строить приближения, аппроксимирующие в подходящей норме решение возмущенной задачи с точностью до бесконечно малой достаточно высокого порядка относительно аГ1, ш —> со.

В работах И. Б. Симоненко [75, 761 рассмотрены задачи с начальными данными для уравнений (0.5) и (0.6) - (0.7) на конечном временном промежутке. С помощью метода Ньютона-Канторовича здесь построены последовательности вспомогательных линейных задач, решения которых можно использовать в качестве старших приближений к решениям исходных задач. Для задач о периодических, почти периодических и общих ограниченных решениях уравнений (0.5) и (0.6) - (0.7) аналогичные результаты получены автором [39]. Однако недостатком работ [75, 76, 391 является незавершенность предлагаемого в них алгоритма построения старших приближений, поскольку построенные там вспомогательные линейные задачи сами содержат большой параметр ш и поэтому остается еще проблема их асимптотического интегрирования. Указанный недостаток был преодолен автором [42] (см. §4 гл. I диссертации) для полулинейных параболических уравнений в случае периодических по времени решений. В работе [42], по-видимому, впервые математически обоснована применимость метода пограничного слоя [8, 91 ] для построения асимптотики решен]/® параболических уравнений с быстроосцшишрующими по времени коэффициентами. Для полулинейных параболических уравнений с периодическими по

12 времени коэффициентами аналогичным образом нами построены старшие приближения и в случае начально-краевой задачи на конечном временном отрезке. Позднее аналогичные соображения автору .удалось применить и для задач динамики жидкости в высокочастотных силовых полях. (Об этом подробнее сказано ниже , при обзоре работ по гидродинамике.)

Параболические уравнения с быстроосщллирующими по времени коэффициентами. В работе Р. 3. Хасьминского [971 методами теории вероятностей обоснован метод усреднения для линейных параболических уравнений второго порядка с краевыми условиями б случае задачи с начальными данными на конечном временном промежутке и задачи без начальных данных на полуоси t ^ 0.

В работе В. В. Жикова, С. М. Козлова, 0. А. Олейник [16] метод усреднения обоснован для линейных параболических уравнений дивергентного вида любого порядкз Zk в случае задачи Коши на конечном временном отрезке.

В диссертации Е. П. Соболевского [80] метод у средне нгия на конечном временном отрезке в случае задачи Коши обоснован для квазилинейных параболических уравнений вида (0.8) (см. ниже) произвольного порядка с одной пространственной переменной х ç Я1 • При этом одномерность х в [80] существенна.

В работе автора [4-4] (см. §1 гл. II диссертации) метод усреднения на конечном временном отрезке обоснован для квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка 2k с любым числом m пространственных переменных (х ç Rm) вида

13 дИ- г—I 0, =) а+ Д^б^-'и,^), (0.8) а* |&Г=2* в случае задачи Коши.

Для квазилинейных параболических уравнений порядка 2& дивергентного вида обоснование метода усреднения на конечном временном отрезке в случае начально-краевой задачи проведено Р. Н. Куньчем [331.

В работе В. В. Жикова [151 метод .усреднения на всей временной оси обоснован для уравнений в банаховым пространстве Н вида ди

Ъ.и -.= — - А{ыг)и. = Ди,ш£), (0.9) где А(1) — линейный неограниченный оператор в Н, а /(•,т) -соответствующая нелинейность. Обоснование для нелинейного уравнения (0.9) в [15] опирается на предварительное исследование линейного уравнения I и = ср(шО. Для последнего метод усреднения обоснован с помощью доказанного в [151 свойства равномерной относительно ш регулярности0 семейства операторов I . В [151 выявлены также важные связи между свойствами регулярности, экспоненциальной дихотомии и корректности линейных параболических операторов. Однако в случае нелинейных параболических уравнений (0.9) "область действия" соответствующей теоремы об усреднении [15], как отмечает В. В. Жиков, Определения (равномерной) регулярности, зкспонен циальной дихотомии и корректности семейства Операторов см на стр. 2{'11. и довольно узкая", поскольку на нелинейность /в [15] наложены жесткие ограничения. Последнее замечание не относится к полулинейным параболическим уравнения второго порядка, для которых В. В. Жиков провел отдельное исследование [14].

В работе автора [54] (см. §2 гл. II диссертации) метод усреднения на всей временной оси обоснован для квазилинейных параболических уравнений вида (0.8) во всем пространстве х € В™. При этом в [54] на нелинейность нет никаких ограничений, кроме естественной гладкости. Результаты [54] получены нами под большим влиянием работы В. В. Жикова [15]. Однако рассмотрение нами нелинейностей общего вида, а также ке-дивергентностъ главной части параболического оператора и некомпактность оператора сдвига по траекториям в наших задачах потребовали отличных от [14, 15] подходов. В саду первого обстоятельства наше исследование базируется на предварительно установленных шаудеровских оценках (в [14, 15] - оценки типа соболевских) для параболических уравнений с быстросцил-лирующими старшими коэффициентами. Два других обстоятельства привели нзс к требованию почти периодичности коэффициентов по I, г ик использованию (при исследовании разрешимости параболических задач) идей Э. №. Мухамадиевз из теории предельных операторов, которые он применял для установления разрешимости эллиптических задач [69, ТО].

Сделаем еще замечание относительно шаудеровских оценок. Как известно из литературы, во всех таких классических оценках для линейных параболических уравнений порядка 2£ > 2, константы зависят от мо,дулей непрерывности старших коэффи

15 циентов по пространственным х и временной г переменным. Это обстоятельство представляет собой существенную сложность при обосновании метода усреднения для уравнений с быстро осциллирующими старшими коэффициентами. Поскольку в диссертации рассматриваются задачи с быстро осциллирующими по времени коэффициентами, то установлены и используются оценки, константы в которых не зависят от модулей непрерывности коэффициентов по I. Они выведены с помощью изложенной в монографиях С. Д. Эйдельмана [1031 и А. Фридмана [94] методики получения априорных оценок для параболических систем в случае задачи Коши. Следует уточнить, что используемые в гл. II диссертации оценки не являются частным случаем оценок [103, 94] - в последних константы ззвисят от модулей непрерывности коэффициентов по £; при выводе наших оценок существенно, что рассматривается одно уравнение, а не система.

В работах автора [115, 116] (см. гл. III диссертации) разработаны эффективные алгоритмы построения страших приближений метода усреднения для квазилинейных параболических уравнений вида (0.8) с периодическими по времени коэффициентами в случае задачи Коши (на конечном временном отрезке) и в случае задачи о периодических по времени решениях во всем пространстве (гД) 6 Идеи, лежащие в основе используемой в [115, 116] формальной процедуры, применялись ранее А. Б. Васильевой и.В. Ф. Бутузовым [6, 7] в других задачах для параболических уравнений второго порядка со стационарной главной частью. Для обоснования этой процедуры используются соображения гл. II диссертации. Для обыкновенных дифферен

16 цизлъных .уравнении в случае задачи с начальными данными аналогичные процедуры построения страших приближений использовались также X. Т. Мовлянкуловым, Л. В. Шаровой [651 и В. В. Стрыгиным С88, 98]. Заметим еще, что разработанные в гл. III диссертации алгоритмы применимы и к задачам в ограниченной области С ей771, (3 зтом случае, разумеется, приближения дополнительно содержат погранслойные слагаемые). Важно еще отметить, что в случае задач со стационарной главной частью эта алгоритмы более естественны и эффективны, нежели разработанные ранее .для таких задач алгоритмы [75, 76, 39, 42, 43] (см. §4 вводной гл. I).

Задачи гидродинамики. Упоминавшиеся выше результаты И. Б. Симоненко [72, 76, 77] и автора [39 - 42] по теории метода усреднения для абстрактных параболических уравнений, часть из которых изложена в гл. I диссертации, имеют непосредственные приложения к задачам гидродинамики. Это связано с тем, что линеаризованный оператор Навье-Стокса, как показал В. И. Юдович [105, 106], порождает аналитическую полугруппу. С помощью таких приложений удается, например, обосновать основанные на методе усреднения исследования о движе-нии жидкости в поле быстро осциллирующих сил вида или исследования о тепловой конвекции жидкости, когда содержащая ее полость подвержена вертикальным или наклонным вибрациям по закону 'иГ^сКшО, где р 2, а функция а{т) обладает средним. Будем далее считать а(г) тригонометрическим поснулевьгм средним. линомом~по чТГ При 6 <~2~~задачэ о конвекции, не укладывается в рамки упоминавшейся абстрактной теории, но именно при (3 = 1

17 б этой задаче, как отмечалось выше (см. стр. ( ), на основе исследования усредненых уравнений выявлены • неожиданные эффекта! высокочастотных вибраций*! Эти исследования потребовали отдельного обоснования метода усреднения для таких интенсивных вибраций. Для вертикальных вибраций вида г = оГ1соз шь обоснование метода усреднения (и, тем самым, обоснование обнаруженных в этом случае эффектов) выполнил И. Б. Симонен-ко [74-]. Для вертикальных и наклонных вибраций вида иГ1а(ш£) в поле силы тяжести и в невесомости аналогичные результаты существенно иным способом установлены автором [54, 56 1 (см. §3 гл. IV диссертации). Отличие нашего подхода от метода указанной выше работы [74] характеризуется следующими двумя обстоятельствами. В [741 основной шкалой банаховых пространств, используемой в процессе доказательства, являет

V« ся шкала В , и ;>- 0 областей определения дробных степеней соответствующего позитивного оператора; у нас - шкала £ р > 1, используемая в совокупности с априорными X -оценками х-'

В.И. Юдовича для линеаризованной системы Навье-Стокса [105, 106]. Далее, в [74] задача о периодических решениях исследуется посредством задачи с начальными данными, рассматриваемой на периоде; мы же используем соответствующее интегральное представление периодического решения. При этом наш под

4 При 1 < 8 < 2 (как и при {3 ^ 2) указанные зффекты не наблюдаются. Это легко устанавливается с помощью некоторых соображений, используемых в [54, 57]. ход не только позволил рассмотреть более общий класс вибраций, но и в частном случае [74] дает более простое и полное доказательство.

Отметим, что вопрос обосновния метода .усреднения для задачи конвекции жидкости при высокочастотных вибрациях, действующих в произвольных направлениях, был поставлен В. И. Юдовичем на его семинаре в 1978 году. Им же было отмечена, что используемая в [74] шкала .дробных степеней операторов для этой задачи не является естественной.

В гл. V диссертации изложены результаты работ [49, 55]. Здесь построены страшие приближения метода усреднения в сколь .угодно гладких гельдеровских нормах для задачи конвекции, рассмотренной автором в [57] (и в §3 гл. 17 диссертации). Схема исследования, здесь та же, что ив [42]. Однако ее реализация, особенно в трехмерной задаче конвекции (§3 гл. 7), существенно иная, что связано с гидродинамической спецификой задачи . Важную роль при этом, как и в [42], играет метод пограничного слоя, применение которого в гл. 7 к гидродинамическим задачам сопровождается математическим обоснованием.

Перейдем к систематическому изложению результатов диссертации.

Гл. I носит вспомогательный характер. Здесь, в основном без доказательств, ' изложены наши результаты, которые не являются основными, но существенно дополняют теорию. Это результата, относящиеся к параболическим уравнения со стационарной главной частью.

§1 посвящен обоснованию метода усреднения для задачи об ограниченных (в частности, почта-периодических и периодических) на всей временной оси решениях абстрактных параболических уравнений вида (0.5) (см. выше).

В §§ 2, 3 речь идет о построении старших приближений .для этих задач. С помощью метода Ньютона-Канторовича здесь для каждой такой задачи построена последовательность линейных задач, решения которых являются старшими приближениями к решению исходной задачи. Эти линейные задачи имеют единую не зависящую от ш линейную часть, а их правые части зависят от предыдущих приближений и

В §4 результаты §§1-3 перенесены на широкий класс краевых задач для полулинейных параболических уравнений со стационарной главной частью. При этом используются известные результаты [<33, 103] о том, что многие эл^птаеские операторы порождают аналитическую полугруппу.

В §5 для одного содержательного клзсса полулинейных параболических уравнений со стационарной главной частью завершен процесс построения старших приближений. Конкретнее, здесь проведено математическое обоснование асимптотического интегрирования методом пограничного слоя [3,91] упоминавшихся выше линейных задач, доставляющих старшие приближения.

1. Левенштам В.Б. Старшие приближения метода усреднения для задачи о вибрационной конвекции // Дифференц. уравн. 1995. Т. 31. №5. С. 814-822.

2. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для задачи о тепловой вибрационной конвекции // ДАН. 1996. С. 621-623.

3. Левенштам В.Б. Асимптотика периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими по времени коэффициентами // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, в. 5(311). С. 168.

4. Левенштам В.Б. Метод усреднения для квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами при старших производных // ДАН. 1998. Т. 363. №1.

5. Левенштам В.Б. Об условной устойчивости конвективных течений жидкости в высокочастотном вибрационном поле // ДАН. 1999. Т. 365. № 1. С. 54-57.

6. Левенштам В.Б. Старшие приближения метода усреднения для квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью в случае задачи Коши // Мат. заметки. 1999. Т. 65, в.4. С. 562-572.

7. Филатов А.Н. О близости аттракторов исходных и усредненных нелинейных диссипативных систем // ДАН. 1996. Т. 347, № 5. С. 601-603.

8. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М. Мир. 1968. 427 с.

9. Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М. Мир. 1985. 376 с.

10. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М. "Высшая школа". 1988. 184 с.

11. Хасьминский Р.З. О принципе усреднения для параболических уравнений и марковских процессов с малой диффузией // Теор. вероятн. и ее прилож. 1963. Т. 8. С. 3-25.

12. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М. 1963. 829 с.

13. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // ДАН СССР. 1956. Т. 110. № 3. С. 345-347.

14. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // ДАН СССР. 1983. Т. 270. № 1. С. 62-68.

15. Шубин М.А. Почти-периодические функции и дифференциальные операторы■с четными производными // Успехи мат. наук. 1978. Т. 33. № 2. С. 3-47.370

16. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. 444 с.

17. Юдович В.И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР. 1965. Т. 161. № 5. С. 1037-1040.

18. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов н/Д. Изд-во РГУ. 1984. 190 с.

19. Agmon S. On the eigenfunction and on the eigenvalues of general elleptie boundary value problems // Comm. Pure and Appl. Math. 1962. V. 15. №2. P. 119-158.

20. Cattabrigal L. Su un problema al coutorno relativo al sistema di equazioni di Stokes // Rend. Mat. Sem. Univ. Padova. 1961. V. 31. P.308-340.

21. Fatou P. Sur le mouvement d'un system soumis a des forces a courte period. Bull. Soc. Math. 1928. 56. P. 98-139.

22. Lagrange J.-L. Mecanique Analutique (2 vols), edition Albert Blanchard. Paris. 1788.

23. De Laplace S. P. Traite de Mecanique Celeste. Bachelier. Paris. 1799-1825.

24. Levenshtam V.B. Senior approximation of averaging method lor vibrational convection problem // IAC'94. International aerospace congress. Abstracts. August 15-19 1994. Moscow. Russia. P. 403.

25. Levenshtam V.B. The averaging method parabolic equations and convection problem with vibrations // Inetnational conference "Asymptotics in mechanics". Saint Petersbourg. Russia. 14-17 August 1994. Book of abstracts. P. 66-67.

26. Levenshtam V.B. Senior approximation of averaging method for quasilinear parabolic equations // International conference "Nonlinear Differencial Equations". Book of abstracts. Kiev. 1995. P. 98.

27. Sanders J. A., Verhulst F. Averaging methods in nonlinear dynamical systems. Applied Math. Sciences. V. 59. Spriuger-Verlag. New York. Berlin. Heidelberg. Tokyo. 247 p.

28. Simonenko I., Levenshtam V., Zenkovskaya S. The method of averaging and the problem of free convection in rapidly oscillating gravitational field. Conference on Applied and Industrial Math., Sweden, linkoping. 1994. Abs trac t.

29. Van der Pol B. A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations. The Radio Review. London. 1 . 1920. P. 701-710.373