Развитие теории метода усреднения для дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

003452826

Хатламаджиян Гаспар Лусегенович

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БОЛЬШИМИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2008

003452826

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Левенштам Валерий Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Глушак Александр Васильевич

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится « 9 » декабря 2008 г. в 16 час. 50 мин. на заседании диссертационного Совета Д 212.208.29 в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, ул.Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

доктор физико-математических наук, доцент Жуков Михаил Юрьевич

211.

Автореферат разослан «ЪО » Сют&ЬьА 2008

г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кряквин В.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертационной работе исследуется задача о периодических по времени решениях для некоторых классов дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые, амплитуды которых пропорциональны определенным положительным степеням высокой частоты осцилляций.

Полученные результаты относятся как к обыкновенным дифференциальным уравнениям1, так и к дифференциальным уравнениям в частных производных: параболическим уравнениям и обобщенным системам Навье-Стокса (см. систему (10) ниже). Для указанных уравнений при естественных предположениях обоснован метод усреднения, исследованы вопросы устойчивости и неустойчивости (по Ляпунову) периодических по времени решений, а также обоснованы эффективные алгоритмы построения их полных асимптотических разложений. Для некоторых видов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами разработаны с обоснованием эффективные алгоритмы исследования их устойчивости и неустойчивости в критическом случае.

Интерес к уравнениям, содержащим быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами, связан с тем, что ряд известных задач естествознания, в которых обнаружены важные физические эффекты, связанные с высокочастотными вибрациями, описывается дифференциальными уравнениями с указанной спецификой.

Фундамент классической теории метода усреднения построен, в основном, H.H. Боголюбовым и Н.М. Крыловым. Их результаты получили дальнейшее развитие в работах целого ряда исследователей. Многие такие результаты современной теории усреднения содержатся в известных монографиях H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского 1974г.; Ю.А. Митропольского 1971г.; В.М. Волосова и Б.И. Моргунова 1971г.; А.Н. Филатова 1971г.; Я.А. Сандерса (J.A. Sanders) и Ф. Верхюльста (F. Verhulst) 1985г.; В.Ф. Журавлева и Д.М. Климова 1988г.; И.Б. Симоненко 1989г. Отдельно отметим, что важные результаты по параболическим уравнениям получены С.Д. Эйдельманом, Р.З. Хасьмин-

1Имеются в виду векторные обыкновенные дифференциальные уравнения, т.е. системы скалярных уравнений

ским, И.Б. Спмоненко, В.В. Жиковым, В.Б. Левенштамом и рядом других авторов. Устойчивость и неустойчивость линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами в критическом случае изучали И.З. Штокало, Ю.С. Коле-сов, В.В. Майоров и другие. Укажем еще, что различные дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми изучались с использованием идей теории метода усреднения в работах H.H. Боголюбова, П.Л. Капицы, В.Н. Челомея, В.М. Волосова, И.Б. Симоненко, С.М. Зеньковской, В.И. Юдовича, В.Б. Левснштама и других авторов. Ниже о некоторых результатах, наиболее близких к нашим, будет сказано подробнее.

Исследования, представленные в диссертации, поддерживались научной программой "Университеты России", грант № УР.04.01.029, и Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 06-01-00287-а.

Цели работы.

1. Для задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с быстро осциллирующими слагаемыми, пропорциональными корню квадратному из частоты осцилляций, а также для задачи о периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными:

а) обосновать метод усреднения;

б) исследовать вопросы устойчивости и неустойчивости (по Ляпунову) решений;

в) обосновать базирующийся на методе двухмасштабных разложений алгоритм построения полных асимптотик решений.

2. Разработать с обоснованием алгоритмы типа Штокало-Колесова исследования устойчивости и неустойчивости в критическом случае для трех классов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

а) для уравнений первого порядка с быстро осциллирующими слагаемыми, пропорциональными корню квадратному из частоты осцилляций;

б) для систем с быстрыми и медленными переменными;

в) для уравнений п-го порядка, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные натуральной степени р < | частоты.

3. Обосновать метод усреднения для задачи о периодических решениях аб-

страктных параболических уравнений с быстро осциллирующими слагаемыми, среди которых имеются пропорциональные частоте, но в этом случае не зависящие от неизвестной вектор-функции; исследовать вопросы устойчивости и неустойчивости решений. В качестве приложения полученного результата для параболических уравнений и обобщенных систем Навье-Стокса обосновать метод усреднения и базирующиеся на методе двухмасштабных разложений и методе пограничного слоя алгоритмы построения полных асимптотик периодических по времени решений.

Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются следующие методы: классические методы теории усреднения; методы теории полугрупп и дробных степеней неограниченных операторов, а также ряд других методов функционального анализа; метод двухмасштабных разложений; методика Штокало—Колесова исследования вопросов устойчивости решений линейных уравнений в критических случаях (см. [Колесов Ю.С., Майоров В.В., Дифференц. уравн., 1974]); метод пограничного слоя Вишика-Люстерника.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем.

1. Для задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с быстро осциллирующими слагаемыми, пропорциональными корню квадратному из частоты осцилляций, а также для задачи о периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными:

а) обоснован метод усреднения;

б) доказана устойчивость или неустойчивость (по Ляпунову) решений в зависимости от расположения спектра соответствующего линеаризованного оператора;

в) обоснован базирующийся на методе двухмасштабных разложений алгоритм построения полных асимптотик решений.

2. Разработаны с обоснованием алгоритмы типа Штокало-Колесова исследования устойчивости и неустойчивости в критическом случае для трех классов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

а) для уравнений первого порядка с быстро осциллирующими слагае-

мыми, пропорциональными корню квадратному из частоты осцилляций;

б) для систем с быстрыми и медленными переменными;

в) для уравнений п-го порядка, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные натуральной степени р ^ | частоты.

3. Обоснован метод усреднения для задачи о периодических решениях абстрактных параболических уравнений с быстро осциллирующими слагаемыми, среди которых имеются пропорциональные частоте, но в этом случае не зависящие от неизвестной вектор-функции. Доказана устойчивость или неустойчивость решений в зависимости от спектра соответствующего линеаризованного оператора. В качестве приложения полученного результата для параболических уравнений и обобщенных систем Навье-Стокса обоснован метод усреднения и базирующиеся на методе двухмасштабных разложений и методе пограничного слоя алгоритмы построения полных асимптотик периодических по времени решений.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты можно использовать при качественном изучении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, в том числе, в теории устойчивости, а также при исследовании математических моделей, описываемых такими уравнениями. Они могут также применяться при приближенном решении этих задач, как правило, в сочетании с численными методами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, п. Абрау-Дюрсо, на двух студенческих научных конференциях, проходивших на механико-математическом факультете Ростовского госуниверситета (ныне факультет математики, механики и компьютерных наук Южного Федерального университета), на двух семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики Южного Федерального университета, а также на семинаре кафедры алгебры и дискретной математики Южного федерального университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 6]. Работы [1, 6] выполнены совместно с научным руководителем. В них В.Б. Левенштаму принадлежит постановка задач, выбор методик ис-

следований и общее руководство работой. Г.Л. Хатламаджияну принадлежит реализация методик.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 67 наименований и трех приложений. Объем работы - 138 страниц машинописного текста н три приложения общим объемом 29 страниц машинописного текста.

Во введении дается общая характеристика работы и приводятся основные результаты диссертации.

В первой главе обоснован метод усреднения, а также некоторые эффективные алгоритмы построения полных асимптотик периодических решений двух классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих высокочастотные слагаемые с большими амплитудами.

В §1 рассматривается задача о периодических решениях системы уравнений

Вектор-функции /(х,т) и <р{х,т) заданы и непрерывны bDxI, где D — ограниченная область в R", Г-периодичны по г, причем среднее по т равно нулю:

о

Кроме того, /(ж, г) и т) дифференцируемы по компонентам х, причем ср(х, т) дважды, и эти производные непрерывны. Усредненное уравнение

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

dt

(1)

т

о

имеет стационарное решение у, н спектр а (А) матрицы А = |не содержит нуля.

Пусть Ъ - некоторое банахово пространство. Через (7(23) = С'о(В) и С,,(В), l_i € (0,1), обозначим обычные банаховы пространства непрерывных и ограниченных вектор-функций и : М —» Ъ с нормами

IMIc(3> = sup ||u(t)|b, \\и\\сЛЪ) = ||U||C(B) + sup

ig R ii.'2£R \t2~tir

h<t2

Аналогично, запись обозначает обычное бынахово пространство

непрерывных вектор-функций и : [а, Ь] —► Ъ с max-нормой.

Теорема 1.1.1 Существуют такие положительные числа Шо, го, ро, сто, Со и pi, что при ш > Wo справедливы следующие утверждения.

1. Уравнение (1) имеет единственное в шаре Цж — 2/||c(Rn) ^ го Тш~х-периодическое решение xu(t), и при этом

lim ||a;w - у\\с(ш») = 0.

UJ—>00 *

2. Если сг(А) лежит в левой открытой комплексной полуплоскости, то решение хш экспоненциально устойчиво равномерно относительно ш и начальных данных, т.е. для любых т G М и х£ R", таких что — ^ ро, задача Коши для уравнения (1) с начальным условием х(т) = х имеет единственное решение x(t), t ^ т, и выполняется оценка

\xa(t) - x(t)I < сое<^-(>Ыт) - S(r))l. t > г.

3. Если cr(Ä) содержит хотя бы одну точку в правой открытой комплексной полуплоскости, то решение хи неустойчиво, т.е. существует такая последовательность tk положительных чисел и такая последователь-

k к

ность векторов х е К™, что lim х = 3^(0), задача Коши для уравнения (1)

к—* оо

к к с начальным условием :г(0) = х имеет решение x(t), t € [O.tfc], и выполняется оценка

\Htk) ~ xu(tk)\ ^ pi.

Отметим, что схожие с теоремой 1.1.1 результаты содержатся в работе [Hartono, van der Burgh A.H.P., Nonlinear analysis, 2003], о которой мы узнали после выхода из печати нашей работы [1]. В ней рассматривалась задача о

периодических решениях уравнения, отличающегося от (1) слагаемым порядка О ^ —> оо, которое не вносит сколько-нибудь заметных изменений в исследование. Для этой задачи там тоже обоснован метод усреднения и исследованы вопросы устойчивости н неустойчивости решений, что аналогично нашей теореме 1.1.1. Однако в указанной работе в процессе доказательства используются более жесткие, нежели у нас, ограничения на главные члены / и ip и применяются несколько иные методы.

При дополнительном предположении, что вектор-функции f(x,r) и <р(х, т) имеют непрерывные производные по х любого порядка в §1 обоснован процесс построения полной асимптотики периодического решения уравнения (1). Частичные суммы асимптотики ищутся в виде

m

ХЛ0 = У + Y.+ ftM)], € R", vk : R -» R",

к=1

причем вектор-функции — Т-периодическне и имеют нулевые средние. Такого рода асимптотики строили В.В. Стрыгин [Стрыгин В.В., ПММ, 1984; ПММ, 1989] и В.И. Юдович [Деп. в ВИНИТИ, 2003; Успехи механики, 2006], однако, для уравнений с большими слагаемыми, без обоснования.

Нахождение и& и Vk сводится к решению однозначно разрешимых задач следующих двух видов

м-и

где непрерывная Т-периодическая вектор-функция ip и вектор Ь известны, причем (ф) = 0.

Теорема 1.1.2 Для любого m = 0,1,... найдутся тате положительные числа Cm и uim, что при и> > и>т выполняются оценки

В §2 изложены результаты, аналогичные теоремам 1.1.1 и 1.1.2, для системы векторных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными вида

§ = f(x,y,wt),

ft = <р(х, У, Ut) + шх(х, vt).

Здесь вектор-функции f(x,y,r), ip(x,y,r) и х(х>т) непрерывны по х,у,т и Т-периодичны по г, причем среднее x(x.t т) по т равно нулю. При этом, в частности, предполагается, что усредненная система

%=< f{u,p + q{u,r),r) >=F(u,p), dp

<й 1 ' л '; ~ 55

где т) = / в)^— < / >, имеет стационарное решение (ы,р)

о о

и А = 0 не является собственным значением матрицы

/ ар(8|) ог(8А \

г _- [ ди др I

1 ОФ(й^) I •

\ ди др /

Из-за недостатка места мы опускаем здесь полные формулировки теорем 1.2.1 и 1.2.2 §2.

Во второй главе даются достаточные условия устойчивости и неустойчивости по Ляпунову решений в критическом случае для некоторых классов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными почти периодическими коэффициентами. В §1 исследуется уравнение

х = ]Г М^е^х + у/й ]Г В^е^х, (2)

в §2 речь идет о линейной системе уравнений

х= Е e***(A,{t)x + B,(t)y),

\1\<1о

У= Е e'^iF^x + Gl(t)y) +ч> Е eiX^m(t)x, Щ^О l^KKio

а в §3 изучается уравнение п-го порядка

rw = £ +Е Е

(3)

xv

а=к+1 a—0 |1|<г0

ЕЕ Е (4)

?=1 Q = 0 1<|1|</0

Уравнения (2) - (4) являются векторными. Заглавными латинскими буквами обозначены матрицы-функции, элементами которых являются тригонометрические многочлены. Под последними мы понимаем конечные суммы гармоник (возможно, с рационально независимыми частотами). Все А;, щ вещественны, причем Л0 = О, A-i = -А; ф 0, /i-i = -щ ф 0 при I ф 0 и As Ф X¡, ф щ при s ф I. Коэффициенты в этих уравнениях считаются вещественными, т.е. А-1 = A¡, B-i = B¡ и т.д., где черта обозначает комплексное сопряжение. В (4) предполагается, что к +р = п, к ^ р.

В каждом из этих параграфов построено предельное уравнение вида

У = Су. (5)

Для уравнения (2)

С = A0{t) + для (3)

£ -

с =

Сц С42 С21 С22

Cu=A0(t)+ Y^ yBk(t)H„k(t), i

A¡

C2i = F0(t)+ J^

C12 = B0, (Gk(t)H-k(t) + Hk(t)A-k(t))~

£

H3(t)Bk(t)Hi(t),

C22 = G0(t)+ Y, yHk{t)B.k{t).

1фНко

Наконец, для уравнения (4)

/ О Е О О О О Е О

С =

0 0 0 0 У Во В\ В2 Дз

0 0

Е

Вп-2 В„

-1/

В а ■■

Г

+ Е Е ,д, )?+, Ад.к-д,1 (¿), если а € [0, к- р],

я=о кккь

Аа,а,о> если а Е (к—р, п),

где Е — единичная матрица. Предполагается, что матрица С постоянна, причем ее спектр о{С) не содержит точек правой комплексной полуплоскости, но имеет непустое пересечение с мнимой осью.

Пусть Хо(1) — матрица, столбцы которой представляют собой максимальный набор линейно независимых решений усредненного уравнения (5), принадлежащих нейтральному многообразию. Эту матрицу можно представить в виде Хо(£) = Zo(t)eDot, где элементами Zo(t) являются тригонометрические полиномы, а £>о — жорданова матрица с нулевой диагональю.

В процессе реализации алгоритма строится матричное асимптотическое разложение, столбцами которого являются линейно независимые формальные решения исходного уравнения ((2), (3) или (4)), отвечающие лежащим на мнимой оси собственным значениям матрицы С. Иначе говоря, ищется возмущение матрицы Хо(Ь), которое для уравнения (2) имеет вид

{ОО ОО | у-. ^

+ а*) ' ,

3=0 ]=1 )

для (3)

а для (4) —

00 - \

¿=1

\ 1=0

ХсЫ = < +

I 3=0 1=к

е>=

Здесь В] — постоянные матрицы, а элементами С/,, V}, Р3 и являются тригонометрические полиномы, причем среднее матриц V,- и С}] по второй переменной равно нулю, а [/о(£), Ро(<) определяются по Z0(t).

Пусть ] 6 Для уравнения (2) введем в рассмотрение частичные суммы

сомножителей Хс($,ш)\

-ччт+ш-^ц^м)).

1=0 1=0 Аналогичным образом определим частичные суммы Э^) и сомно-

жителей Хс{1,и) для (3) и (4). Введем число а, которое равно если речь идет об уравнении (2), и 1 для уравнений (3) и (4).

Следуя работе [Колесов Ю.С., Майоров В.В., Дифференц. уравн., 1974], дадим два определения.

Определение. Дифференциальное уравнение

V = Я»»? (6)

будем называть сильно устойчивым (неустойчивым), если по каждому г > 0 можно указать такое ш(г) > О, что при любом ш ^ ш(г) решения каждого из дифференциальных уравнений

устойчивы (неустойчивы), какова бы ни была матрица В, норма которой не превосходит г.

Определение. Будел1 говорить, что построение алгоритма может быть завершено, если существует номер ), для которого уравнение (6) является либо сильно устойчивым, либо сильно неустойчивым.

Теорема 2.1.1 (2.2.1, 2.3.1). Для любого натурального } эффективно находятся частичные суммы и

Пусть построение алгоритма может быть завершено, и ^'о — первый номер, при котором дuффepeнцuaJlьнoe уравнение

Ч = Ол{Ш)Г1 (7)

сильно устойчиво или неустойчиво. Тогда существует такое число и>\ > О, что при и> ^ и>1 решения дифференциального уравнения (2) ((3), (4)) экспоненциально устойчивы или неустойчивы в зависимости от аналогичных свойств решений дифференциального уравнения (7).

В случае теорем 2.1.1 и 2.2.1 под эффективным нахождением частичных сумм понимается то, что их построение сводится к нахождению каких-либо

х-- = j2B"x(a)+f®-

почти периодических решений конечного (зависящего от j) числа неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида

х = Сх + /(f), (8)

где /(f) — известный векторный тригонометрический многочлен, такой что указанная задача разрешима. В случае теоремы 2.3.1 приходится решать не (8), а системы линейных дифференциальных уравнения n-го порядка

п-1

г(»> =

а=0

В §§2, 3 изложенная теория иллюстрируется на примере линеаризованной задачи об устойчивости верхнего положения равновесия маятника с вибрирующей точкой подвеса.

В работе [Левенштам В.В., Изв. РАН. Сер. мат., 2006] разработан и обоснован алгоритм исследования критического случая устойчивости для линейного абстрактного параболического уравнения вида (2).

Третья глава состоит из единственного параграфа, в котором обоснован метод усреднения для абстрактных параболических уравнений. Рассматривается абстрактное параболическое уравнение

f = £ ОМдиФ^+ы £ ^ (9)

|fc|«feo KsOlfc

в банаховом пространстве X. Делаются следующие предположения.

I. Оператор А порождает аналитическую полугруппу в X, т.е. существуют (Ti £ К, в € (|, 7г), С а > 0, такие что операторы XI — А при всех Л € = {а 6 С : | arg(<7 — oj)| < в} обратимы, причем выполняются оценки

II. Пусть Yk,a> |fc| ^ ко, 1 ^ s < Пк, — банаховы пространства, имеющие с X общее плотное множество. Замкнутые линейные операторы D^.s) : Yk,s X имеют дробную степень a G [0,1) относительно —А справа:

Ср

(i + 1-М)1

||(А/ - AY'D^Wy^X < TTTTÜÜ^ Л е S^.í.

III. Нелинейные операторы gk¡s, ^ ко, 1 ^ s < тгк, представляются в виде

9кЛх) = 9Q'S\Bk,s,lXi, Вк^2х2,Вк^т^Хт,:,,)^^.

=1»! .=11

где m^s G BkiSj, )fc| ^ ko, 1 ^ s ^ nk, 1 < j ^ mk,s — замкнутые линейные операторы, действующие из X в банаховы пространства Yk,sj и имеющие дробные степени ßk:Sj G [0,1 — а) относительно оператора —А:

IIBkiSj(\I - ЛЩх-П., < + A G

При этом операторы g^ : YkM х Yk^2 х ... х Yk^mkt Yk_s имеют производные Фреше Djg^'s\ 1 ^ j < по j-ому аргументу, причем и Djg ограничены и равномерно непрерывны на любом ограниченном множестве.

IV. Существуют числа Ai G С и Д, G К, удовлетворяющие условиям

ReAi ^ cru Д, > 3 = max max max ßksj

и такие, что векторы (fk принадлежат множеству D((\il — А— области определения дробной степени сильно позитивного оператора Ai/ — А.

V. При некотором Ао G С оператор (Ао/ — определен и компактен.

VI. Усредненное уравнение

2л- Аи = h Е Е D(k'S) [ 9k,s(u + N(r))eik4r,

(ÍU ~dt

где N(t) = E {ikyl<Pke,kT, имеет стационарное решение и = щ.

VII. Нуль не принадлежит спектру оператора L = —А — Ai, где линейный оператор Ai определяется равенством

2ir

^ = ¿ Е Е D(k'S) f DgUu0 + N{r))elkTdr,

Dgk,s(x) = Dig{o's\Bk^ix,BktS,'1x,...,BKSirnktx)Bk^i+ D2gi,s){Bk,s,\x, Bk,s,2X,..., BkAmk>x)Bhs2 + ...+

ffo 's>(Bk.s,ix,BktS

Также в утверждении 2 теоремы 3.1.1 фигурирует условие VIII, усиливающее предположение III.

VIII. Операторы д^'^ линейны по всем аргументам:

\\9о'а){УьУ2,-,Утк„)\\гк,, < C'jll^lk.JNIw-ll^mJln,,.^,-

Ниже обобщенным (об.) решением уравнения (9) на участке f € р^Тг] (£ Е [Тх, +оо)) с начальным условием х{Т\) — Хо мы называем определенную и непрерывную на этом участке вектор-функцию х(£) со значениями в X,

если для нее при всех 4 € [Т\,Тг] (4 € р1,+оо)) выполняется равенство <

= е^^о + I е^г)Ад(х(т),т,ш)с1т, Т1

гдеЯ(®,«,Ш)= Е Е + ^ Е <ркё1Ы-

Об. 27го;-1-периодическим решением уравнения (9) мы называем непрерывную вектор-функцию х : К —> X, если она является периодическим продолжением на ось 4 € К об. решения уравнения (9) на участке £ 6 [0,27ги>-1] с некоторым начальным условием.

Для ¡1 £ [0,1) введем банахово пространство 7$ вектор-функций х, для которых определена норма

1Ми<1> = 1М1с(Х) + £ £ £ \\Вк,е,М\сАУк,,,)-

Пусть числа гк\к\ < ко, 1 < в ^ п^, 1 ^ «С т^.,, удовлетворяют

условиям ^ = £ -¿- < 1. ]=1

Введем банахово пространство Л2), -#1 < Яг, с помощью нормы

1

■Яз 1Л1

16

l|a;(lc[«i."2](x) + £ £ £

Поскольку оператор —Ь, как показано в работе, порождает аналитическую полугруппу в X, то при некотором вещественном 02 оператор (<тг/ + Ь) является сильно позитивным. Определим банаховы пространства Т1, 5 > О, введя на линейном множестве £>((<72/ + Ь)6) норму ||а||х' = + £>Уа\\х-Теорема 3.1.1. Предположим, что выполнены условия 1-УП и

О <^</3^,-/3, ¿¿<1-(а + Д).

Тогда для любого Н > О найдутся такие положительные числа и>о и г, что при и > Шо справедливы ыедующие утверждения. 1. Уравнение (9) имеет единственное в шаре

: ~ «о + {Щ

V КИЛ

гк^

< Г

7(1)

об. 2яи; 1 -периодическое решение хи{£), причем

1пп

и;—»ос

, - и + £ \ /

= 0.

7(4

2. Если, к тому же, справедливо предположение VIII, то имеет место единственность об. 2тти>~1-периодического решения х^, удовлетворяющего на участке £ € [0, Я] условию

х - \и0+ №) 1<Рке'

гкшЬ

<Г,

3. Если спектр оператора Ь лежит в открытой правой полуплоскости, то об. решение хш экспоненциально устойчиво в следующем смысле. Существуют такие положительные числа 5, Сто и с, что при всех ш > и>о, 5 6 В, хо из шара Цхо — ^ $ существует об. решение х°и{1), í ^ в, уравне-

ния (9) с начальным условием х^ (в) = хд, и справедлива оценка

Е Е Е

<

4. Если спектр оператора Ь содержит хотя бы одну точку в открытой левой полуплоскости, то об. решение хш неустойчиво. Это означает, что существует такое £ > 0, что для сколь угодно малых 6 > О и всех ш > шо найдется такое об. решение хуравнения (9), определенное на некотором участке [О, £*], что выполняются условия

-**(<*) 11*+

Е Е Е \\вьМп-*лт\гкм>е.

Также установлено, что если для всех к, й выполняются равенства = X и = то фигурирующие в теореме 3.1.1 об. решения являются его

решениями в обычном смысле.

В приложение 1 в диссертации вынесены громоздкие доказательства двух лемм, сформулированных в главе II.

В приложении 2 результаты главы III применяются к задаче о 2тг^1-периодических по времени £ решениях для некоторого класса параболических уравнений с граничными условиями, рассматриваемых в цилиндре (х, £) € Л х К, вида

ди

= V аа{х)Оаи+ ]Г егШ ]Г

дЬ ^

М<2! ОфК/с0 «=1

+

из

|7|<2г-|7*,.|

ЩЦ^ка

Здесь П - ограниченная область в К™, а, 7, - мультииндексы, ~ целые неотрицательные числа, д,а1

°аи = дх^дх^ дх^Щ а = (а1'а2,...,а„), |а| = «1 + а2 +... +ап,

а Нк(х) принадлежат соответствующим пространствам функций, определенным в работе [Коледов Л.В. Сиб. мат. журн., 1975] по конструктивному описанию областей определения дробных степеней эллиптических операторов. В п.

3° обоснован метод усреднения, включая вопросы устойчивости и неустойчивости по Ляпунову решений, а в п. 7° для более узкого класса параболических задач при бесконечной гладкости их данных обоснован алгоритм построения полной асимптотики 2л"а;_1-периодичсских по времени решений.

В приложении 3 рассматривается задача о 27Гш"1-периодических по времени решениях для некоторого класса обобщенных систем Навье-Стокса вида

и J2 ак{х)егШ, divu = 0, и|эп = 0 (10)

в цилиндре (x,t) 6 il х R, где П - ограниченная область в R3. Здесь з

(u, V)u = Y^ изЩ~> D^hk s(x, и) - дифференциальные выражения порядка 1 J

0 или 1, а трехмерные вектор-функции hklS(x,u) как мономы (произвольной степени) зависят от и. Теорема, содержащая обоснование метода усреднения для этих систем, включая вопросы устойчивости и неустойчивости решений, получена не в качестве непосредственного следствия теоремы 3.1.3, а в результате применения той же методики, что и при ее доказательстве. При дополнительных условиях бесконечной гладкости данных обоснован алгоритм построения полной асимптотики периодических по времени решений.

Укажем теперь работы, наиболее близкие к результатам третьей главы и их приложениям. В работах [Левенштам В.Б., Изв. РАН. Сер. мат., 2006; Левенштам В.Б., Сиб. мат. журн., 2005] осуществлено обоснование метода усреднения, включая вопросы устойчивости и неустойчивости решений, и алгоритма построения полной асимптотики периодических по времени решений для параболических уравнений, имеющих пропорциональные yfw слагаемые, которые могут зависеть от неизвестной, а в работах [Симоненко И.Б., Мат. сб., 1972; Левенштам В.Б., ЖВМнМФ, 2000; Левенштам В.В., Дифференц. уравн., 2001] - для традиционной системы Навье-Стокса (в (10) все h^, равны нулю), а также в двух из них - для задачи конвекции . Представленный в уравнении (9) класс нелинейностей без связи с методом усреднения рассматривался в монографии В.И. Юдовича (Изд-во РГУ, 1984).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Валерию Борисовичу Левенштаму за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

Публикации по теме диссертации.

1. Левенштам В.Б., Хатламаджиян Г.Л. Распространение теории усреднения на дифференциальные уравнения, содержащие быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. Задача о периодических решени-ях//Изв. вузов. Математика. 2006. №6. С. 35-47.

2. Хатламаджиян Г.Л. Исследование устойчивости решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае//Деп. в ВИНИТИ 10.01.2006, №15-В2006.

3. Хатламаджиян Г.Л. Об устойчивости решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка с большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае//Деп. в ВИНИТИ 11.05.2006, №636-В2006.

4. Хатламаджиян Г.Л. Об устойчивости решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. №1. С. 96-109.

5. Хатламаджиян Г.Л. Асимптотический анализ некоторых эволюционных задач с большими высокочастотными слагаемыми//Деп. в ВИНИТИ 24.09.2007, №889-В2007.

6. Левенштам В.Б., Хатламаджиян Г.Л. Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях системы с быстрыми и медленными переменными //Тр. участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, база отдыха Южного федерального университета "Лиманчик", 9-15 сентября 2008г. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ФГОУ ВПО "Южный федеральный университет", 2008. С. 230-232.

Издательство «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 28.10.08 г. Подписано в печать 28.10 08 г. Формат 60*84 1/16 Заказ № 983. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 1,0. Усл.печл. 1,0. Типография: Издательско-полиграфическая лаборатория УНИИ Валеологии

«Южный федеральный университет» 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

Введение

Глава I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§1. Уравнение с большими высокочастотными слагаемыми.

1°. Обоснование метода усреднения. Формулировка.

2°. Обоснование метода усреднения. Доказательство.

3°. Устойчивость.

4°. Построение асимптотики.

5°. Обоснование асимптотики.

§2. Система уравнений с быстрыми и медленными переменными

1°. Обоснование метода усреднения. Формулировка.

2°. Обоснование метода усреднения. Доказательство.

3°. Построение и обоснование асимптотики.

Глава II. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения

§1. Критический случай устойчивости линейных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми

1°. Формулировка результата.

2°. Описание алгоритма.

3°. Обоснование алгоритма.

4°. Замечания.

§2. Критический случай устойчивости линейных систем с быстрыми и медленными переменными.

1°. Формулировка результата.

2°. Описание алгоритма.

3°. Обоснование алгоритма.

Метод усреднения является важным методом асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими (высокочастотными) членами. Он зародился во второй половине XVIII века в работах А. Клеро, Ж. Лагранжа и С. Лапласа по небесной механике. Существенно позже, в начале XX века, нидерландский инженер Б. Ван-Дер-Поль изложил его применительно к дифференциальным уравнениям, описывающим колебания в системах с одной степенью свободы. Однако всё это время вопросы надлежащего обоснования метода усреднения, не говоря уже о построении и обосновании старших приближений, оставались открытыми.

Первые доказательства асимптотической корректности метода усреднения привели П. Фату [64] и Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси [36] для случая нормальных систем дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями.

Систематическая теория метода усреднения для широких классов систем дифференциальных уравнений была создана в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова [22] и Н.Н. Боголюбова [3, 4]. Эта теория получила затем дальнейшее развитие для различных новых классов дифференциальных (обыкновенных и в частных производных), интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. В настоящее время имеется достаточно большое число монографий, посвященных методу усреднения. Укажем некоторые из них: в [3, 5, 37, 7, 12, 67] рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, в [37, 40] - уравнения в частных производных, в [37, 49] - интегральные и интегро-дифференциальные уравнения.

Отдельно отметим некоторые работы, относящиеся к уравнениям типа параболических. С.Д. Эйдельман [59] и Р.З. Хасьминский [51] обосновали метод усреднения для некоторых видов параболических уравнений второго порядка; И.Б. Симоненко [38] обосновал его для абстрактных параболических уравнений с постоянной главной частью; В.В. Жиков [10, 11] - для абстрактных параболических уравнений с быстро меняющейся по времени главной частью, но с более слабыми, чем в [38], нелинейностями; В.Б.

Левенштаму [23] удалось избавиться от этих ограничений на нелинейности при рассмотрении параболических уравнений во всем пространстве.

Тематика настоящей диссертации относится к одному из таких направлений, посвященному развитию теории метода усреднения для уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые, пропорциональные определенным положительным степеням частоты осцилляций. Интерес к этому направлению связан с тем, что известные задачи естествознания, в которых обнаружены важные физические эффекты, связанные с высокочастотными вибрациями, описываются дифференциальными уравнениями с указанной спецификой.

Первой в ряду таких задач стоит задача об устойчивости верхнего положения равновесия маятника с вибрирующий точкой подвеса. В работах Н.Н. Боголюбова [3] и П.Л. Капицы [14] показано, что при достаточно высокой частоте вибраций верхнее положение равновесия маятника может стать устойчивым. Этот замечательный результат стимулировал появление ряда работ, посвященных не только маятниковым системам, но и задачам механики сплошной среды.

В статье В.Н. Челомея [56] показано, что высокочастотные сжатия-растяжения балки могут стабилизировать ее прямолинейную форму. В работе С.М. Зеньковской и И.Б. Симоненко [13] рассматривалась задача конвекции жидкости в контейнере, совершающем вертикальные колебания. Было установлено (без математического обоснования), что эти колебания стабилизируют состояние относительного покоя жидкости и даже могут предотвратить конвекцию при сколь угодно высоком градиенте температуры. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции проведено в работах И.Б. Симоненко [39] и В.Б. Левенштама [24, 25].

В цикле работ В.И. Юдовича1 (см. [62] и содержащуюся там библиографию) изложены (в основном, без обоснования) важные результаты об асимптотическом интегрировании дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) с высокочастотными слагаемыми, пропорциональными определенным положительным степеням частоты. Там имеются также интересные приложения к задачам нелинейной механики

1Первые лекции В.И. Юдовича по этим вопросам были прочитаны на мехмате Ростовского госуниверситета в 1991г. и гидродинамики. Работы [1, 2, 28 - 32] В.Б. Левенштама и его учеников посвящены развитию строгой математической теории метода усреднения для дифференциальных уравнений с такой же спецификой.

Настоящая диссертация относится к этому же направлению. В ней рассматривается задача о 27га;--^периодических решениях системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнения dx = f(x, cot) + ut), u > 1, (0.1.1) системы уравнений с быстрыми и медленными переменными dt

If = <pi{x, У, Wt) + wt),

0.1.2) dt а также абстрактного параболического уравнения = Ax+Yl Е DM9kAx)eikwt + " Е (°-L3)

Уравнение (0.1.1) рассматривается в (0.1.2) - в Em+n = Rm х Rn, а (0.1.3) — в некотором банаховом пространстве X. Вектор-функции f(x, т), <р(х,т), fi(x,y,r), ipi(ж,г/,г), х(ж,г) предполагаются 27г-периодическими по переменной т 2, причем (р их имеют по г нулевые средние: t т <р(®, О >= ^ J = ^ J <р(х, t)dt = 0,

-t о

В (0.1.3) — произвольное целое неотрицательное число, А — линейный, вообще говоря, неограниченный оператор, порождающий аналитическую полугруппу в X, а линейные операторы и вектор-функции gk,s в определенном смысле подчинены оператору А. При этом gk,s{x) могут быть мономами произвольных степеней относительно х.

Для задач указанного вида обоснован метод усреднения, включая вопросы, связанные с устойчивостью решения по Ляпунову. Для систем (0.1.1) и систем с быстрыми и медленными переменными (0.1.2) при дополнительных условиях гладкости их данных обоснованы некоторые эффективные

2Насамом деле, вектор-функции f(x,r), уэ{х,т), f\{x,y,r), i^i(x,y,T), х(х,т) у нас Т-периодические по г (и, соответственно, рассматриваются задачи о ^периодических решениях уравнений (0.1.1) и (0.1.2)), но здесь для единообразия мы взяли Т = 2п способы построения полных асимптотик решений. Получены приложения результатов по задаче (0.1.3) к параболическим уравнениям и обобщенным системам Навье - Стокса (см. (0.1.18)). Именно, для них обоснован метод усреднения и при дополнительных ограничениях обоснованы некоторые эффективные алгоритмы построения полных асимптотик решений.

В диссертации разработаны с обоснованием некоторые алгоритмы исследования критического случая устойчивости для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми следующих трех видов:

X = ]Г Mt)eiXlUJtx + v^ (0.1.4)

1^0 IHlo

Г x= E e^iMQx + BiWy),

0 15) y= E e^iF^x + Gi^+u; E eiX^Hi{t)x, n—1 к a=k+l a=0 \l\0o q=1 a=0

0.1.6)

Здесь заглавными латинскими буквами обозначены матрицы-функции, элементами которых являются тригонометрические многочлены. Под последними мы, вслед за авторами работы [17], понимаем конечные суммы гармоник (возможно, с рационально независимыми частотами). Все Л; являются вещественными, причем Ао = 0, X-i = —Л; и А& ф Л/ при к ф I. Коэффициенты в правых частях этих уравнений считаются вещественными, т.е. A-k = Ак, В-к = Вк и т.д., где черта обозначает комплексное сопряжение. В (0.1.6) предполагается, что к 4- р = п, к ^ р. Для уравнений (0.1.5) и (0.1.6) рассмотрены примеры, иллюстрирующие изложенную теорию.

Отметим близкие к нашим результаты других авторов. В работе [65], о которой мы узнали при оформлении диссертации, имеется теорема, аналогичная нашей теореме 1.1.1 (см. ниже). Последняя относится к системе

0.1.1), а первая - к системе (0.1.7), отличающейся от (0.1.1) несущественным слагаемым порядка О , о; —оо (см. замечание 1). В доказательстве теоремы [65] при этом используются некоторые более жесткие, нежели у нас, требования гладкости главных членов / и <р. Отметим далее, что результатов о полной асимптотике периодических решений системы (0.1.1) (или (0.1.7)) типа теоремы 1.1.2 в работе [65] нет: имеются лишь некоторые рассуждения, относящиеся к линейным системам. Укажем еще, что теоремы 1.1.1 и 1.1.2 опубликованы в нашей статье [32].

Обоснование метода усреднения и построение полного обоснованного асимптотического разложения в случае задачи Коши для уравнения типа (0.1.1) проведено в работе [2]. Для уравнений второго и произвольного порядков в случае задачи Коши и задачи о периодических решениях аналогичные результаты содержатся в работах [1, 28, 31].

Для построения полных асимптотик решений в диссертации использованы с обоснованием алгоритмы, базирующиеся на методе многомасштабных разложений. Такие алгоритмы для обыкновенных дифференциальных уравнений ранее применялись в работах [47, 48, 62], а для дифференциальных уравнений с частными производными — в [26, 27, 29]. Отметим, что в [39, 26, 27] обоснованы метод усреднения и алгоритмы асимптотического интегрирования задачи о периодических решениях для традиционной системы Навье-Стокса (в (0.1.18) все равняются нулю) и задачи конвекции, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные частоте ш > 1.

При исследовании критического случая устойчивости линейных уравнений в диссертации используется процедура, базирующаяся на алгоритме Штокало-Колесова [17] (см. также [57, 58, 9]), и, вообще, методика работы [17], в которой рассматриваются уравнения с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. В работе [30] разработан с обоснованием алгоритм типа Штокало-Колесова исследования критического случая устойчивости для линейного абстрактного параболического уравнения вида (0.1.4).

Класс нелинейностей уравнений (0.1.3), в отсутствие асимптотического параметра, рассматривался ранее В.И. Юдовичем в монографии [60].

Прежде, чем перейти к детальному изложению содержания диссертации, напомним определения некоторых пространств.

Пусть Q — открытое подмножество Шп, I — натуральное число, р ^ 1. Через Wp(£l), как обычно, будем обозначать пространство Соболева определенных на Г2 функций и, имеющих в Q обобщенные производные по всем переменным до порядка I включительно, с обычной нормой.

Пусть Ъ - некоторое банахово пространство, J — либо конечный отрезок, либо полуинтервал вида [а, +оо), а Е 1, либо вся вещественная ось. Через С"*(Ъ) и С^(!В), д е (0,1), будем обозначать пространства непрерывных вектор-функций и : J —> Ъ, с нормами и\\сцъ) = IMIctfCB) = SUP IW*)II®> teJ

II II it , С11ТЛ сцъ) = Мер) + sup h<t2 соответственно. Если J = М, используем обозначения С(Ъ) = Ск(23), C^^C^fJLE (0,1).

Через Ck,k/2l(Q), где к ^ 0, I 6 N, Q = П х М, П - область в Мп, обозначается (см. [44, с. 81]) банахово пространство определенных на Q функций и, которые имеют непрерывные производные по переменной х до порядка [&] включительно, а по переменной t до порядка [к/21] включительно, и удовлетворяют условию И

М|СМ/« = IMU = Е Е sup +

0 2lfi+\u\=j (x,t)eQ

5k

E sup ||l?Dv{u{Xbt) - \x2 - +

2lfi+\v\=[k] (x1,f),(x2,t)eQ

E sup \§tD»{u(x,t2) - «(®,ti)}| \t2

Q<k-2ln~\v\<2l

ЬфЬ J +oo.

Для двух банаховых пространств через Нот(Ъ\,Ъ2) обозначим банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из !Bi в Ъ2, с обычной операторной нормой. При этом для краткости будем писать ЦЛЦв^фз вместо ||^4||яош(Ъ1,ф2)- Норму матрицы определим как корень квадратный из суммы квадратов ее элементов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и трех приложений. В главе I рассмотрена задача о ^периодических решениях системы уравнений (0.1.1) с Т-периодическими по т вектор-функциями f(x, т), ip(x,r). Обоснован метод усреднения, а также один эффективный алгоритм построения полной асимптотики решения этой задачи.

1. Абоод Х.Д. Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2005.

2. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Изд-во АН УССР, 1945.

3. Боголюбов Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике//Сб. инта строит, мех. АН УССР. 1950. Т. 14. С. 9-34.

4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

5. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3-122.

6. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: изд-во МГУ. 1971.

7. Далецкий Ю.А., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534 с.

8. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

9. Жиков В.В. Принцип усреднения для параболических уравнений с переменным главным членом // Докл. АН СССР. 1973. Т. 208, №1. С. 31-35.

10. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1976. Т. 40, №6. С. 13801408.

11. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.

12. Зеньковская С. М., Симоненко И. Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН. СССР. Механика жидкости и газа, 1966. №5. С. 51—55.

13. Капица П. J1. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. эксперим. и теорет. физики, 1951. Т. 21, №5, с. 588-598.

14. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

15. Коледов Л.В. Конструктивное описание областей определения дробных степеней эллиптических операторов // Сиб. мат. журн. Сентябрь-октябрь, 1975. Т. 16, №5. С. 1011-1019.

16. Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравн. 1974. Т. 10, №10. С. 1778-1788.

17. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Физматгиз, 1963. 728 с.

18. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966.

19. Красносельский М. А., Бурд В. LLL, Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

20. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966, 499 с.

21. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Изд-во АН УССР, 1937.

22. Левенштам В.Б. Усреднение квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью. Экспоненциальная дихотомия // Изв. РАН. Сер. мат. 1992. Т. 56, №4. С. 813-851.

23. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях // Сиб. мат. журн. Март—апрель, 1993. Т. 34, т. С. 92-109.

24. Левенштам В.Б. Метод усреднения в задаче конвекции при высокочастотных наклонных вибрациях // Сиб. мат. журн. Сентябрь—октябрь, 1996. Т. 37, №5. С. 1103-1116.

25. Левенштам В.Б. Асимптотическое разложение решения задачи о вибрационной конвекции // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, т. С. 1416-1424.

26. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование системы Навье— Стокса с быстро осциллирующей массовой силой // Дифференц. уравн. 2001. Т. 37, №5. С. 696-705.

27. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Дифференц. уравн. 2005. Т.41, Ж). С. 761—770; // №8. С. 1084-1091.

28. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование параболических задач с большими высокочастотными слагаемыми j j Сиб. мат. журн. Июль-август, 2005. Т. 46, №4. С. 805-821.

29. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. мат. 2006. Т. 70, № 2. С. 174-205.

30. Левенштам В.Б. Асимптотические разложения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Дифференц. уравн. 2008. Т. 44, №1. С. 52-68

31. Левенштам В.В., Хатламаджиян ГЛ. Распространение теории усреднения на дифференциальные уравнения, содержащие быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. Задача о периодических решениях // Изв. вузов. Математика. 2006. №6. С. 35—47.

32. Майоров В.В. К объему понятий сильной устойчивости и неустойчивости // Вестн. Яросл. ун-та. 1975. Вып. 13. С. 146—152.

33. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Го-стехиздат, 1956.

34. Мандельштам Л.И, Папалекси Н.Д. Обоснование одного метода приближенного решения дифференциальных уравнений // Журн. экспе-рим. и теорет. физики. 1934. Т. 4, №2. С. 117-122.

35. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. К.: Наукова думка, 1971.

36. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений // Матем. сборник. 1970. Т. 81(123), №3. С. 53-61.

37. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Матем. сборник. 1972. Т. 87, №2. С. 236-253.

38. Симоненко И.Б. Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости. Ростов-н.Д.: Изд-во РГУ, 1989. 112 с.

39. Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 255 с.

40. Соболевский П.Е. Об уравнения параболического типа в банаховых пространствах // Тр. Моск. об-ва. 1961. Т. 10. С. 297—350.

41. Солонников В.А. О дифференциальных свойствах решений первой краевой задачи для нестационарной системы Навье—Стокса // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1964. Т. 73. С. 221-291.

42. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида //Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1965. Т. 83. С. 3-162.

43. Соломяк М.З. Применение теории полугрупп к исследованию дифференциальных уравнений в пространствах Банаха // ДАН СССР. 1958. Т. 122, №5. С. 767-769.

44. Соломяк М.З. Оценка нормы эллиптического оператора в пространствах Lp // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, №6 (96). С. 141-148.

45. Стрыгин В.В. Об одной модицикафии метода усреднения при отыскании высших приближений // ПММ. 1984. Т. 48, вып. 6. С. 1042-1045.

46. Стрыгин В.В. Об асимптотическом интегрировании уравнений движения механических систем, находящихся под воздействием быстро осциллирующих сил // ПММ. 1989. Т. 53, вып. 3. С. 845-853.

47. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент: ФАН, 1971.

48. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. СМБ. М.: Наука, 1972. 544 с.

49. Хасьминский Р.З. О принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией // Теория вероятностей и ее применения. 1963. Т. 8, №1. С. 23-25.

50. Хатламаджиян Г.Л. Исследование устойчивости решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Деп. в ВИНИТИ 10.01.2006, №15-В2006. Деп., РЖ Математика, 2006, 13Б.222.

51. Хатламаджиян Г.Л. Об устойчивости решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Деп. в ВИНИТИ 11.05.2006, №636-В2006.

52. Хатламаджиян Г.Л. Об устойчивости решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Ж. вычиел. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, №1. С. 96-109.

53. Хатламаджиян Г.Л. Асимптотический анализ некоторых эволюционных задач с большими высокочастотными слагаемыми // Деп. в ВИНИТИ 24.09.2007, №889-В2007.

54. Челомей В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // ДАН СССР, 1956. Т. 110, №3. С. 345347.

55. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Киев: Изд-во АН УССР, 1960.

56. Штокало И.З. Операционное исчисление. Киев: Наукова думка, 1972.

57. Эйдельман С.Д. О применении принципа усреднения к квазилинейным параболическим системам второго порядка//Сиб. матем. журнал, 1962. Т. 3, т. С. 302-307.

58. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-н.Д.: Изд-во РГУ, 1984. 190 с.

59. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия систем со связя-ми//Деп. в ВИНИТИ. 2003. №1407-В2003

60. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями // Успехи механики. 2006. Т. 4, №3. С. 26—158.

61. Agmon S. On the eigenfunetions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Comm. Pure and Appl. Math., 1962. V. 15, N 2. P. 119-158.

62. Fatou P. Sur le mouvement d'un systeme soumis a des forces a courte periode // Bull. Soc. Math. 1928. 56. P. 98-139.

63. Hartono, van der Burgh A.H.P. Higher order averaging: periodic solutions, linear systems and an application // Nonlinear analysis. 2003. 52. P. 17271744.

64. Hille H., Phillips R.S. Functional analysis and semi-groups. AMS Colloquium Publications, 1957. V. 31. 808 p. averaging of functional differebtial equations // Functional Differential Equations. 2002. V. 9, N 1-2. P. 165-200.

65. Sanders J.A., Verhulst F. Averaging methods in nonlinear dynamical systems. Springer-Verlag, Apllied Mathematical Sciences, 1985. V. 59. 247 P