Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

АБООД Хайдер Джаббар

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БОЛЬШИМИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ

01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики механико-математического факультета Ростовского государственного университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук Левенштам Валерий Борисович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Седенко Василий Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор Климентов Сергей Борисович

Ведущая организация

Кубанский государственный университет

Защита состоится

_» ИС^Да&^тС 2005 г в 16 50 на заседании диссертационного совета К212 208 Об по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу 344090, г Ростов-на-Дону, ул Зорге, 5, механико-математический факультет, ауд 239

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу 344006, Ростов-на-Дону, ут Пушкинская, 148 Автореферат разослан « 2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета К212 208 Об

Кряквин В Д

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Решения дифференциальных уравнений, как правило, не удается представить в квадратурах, выраженных через элементарные или специальные функции В связи с этим, очень важен вопрос приближенного решения дифференциальных уравнений К приближенным методам относят численные и асимптотические методы В диссертации рассматриваются уравнения, содержащие большие высокочастотные слагаемые Присутствие высокочастотных слагаемых (не говоря уже о том, что они большие) создает известные серьезные проблемы их непосредственного численного решения Поэтому к таким уравнениям обычно вначала примененяют асимптотические методы

Важным асимптотическим методом исследования дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми является метод усреднения, который также называется методом Н М Крылова — Н Н Боголюбова — Ю А Митропольского Приведенные в диссертации исследования посвящены дальнейшему развитию классической теории усреднения Отметим, что уравнения с высокочастотными слагаемыми часто встречаются в различных разделах естествознания

В основных теоремах классической теории метода осреднения исследуются системы обыкновенных дифференциальных уравнений в так называемой стандартной форме Их можно представить в следующем виде

(0 1)

где обладает средним по

Напомним, что для периодической по вектор-функции сред-

нее определяется формулой

йх

т

В последующих многочисленных работах результаты теории метода усреднения были перенесены на новые различные классы уравнений Здесь мы отметим лишь некоторые исследования, в которых фигурируют дифференциальные уравнения с быстро осциллирующими во времени членами, среди которых имеются пропорциональные положительным степеням высокой частоты осцилляции

Первыми среди таких работ являются исследования Н Н Боголюбова и П Л Капицы о том, что в результате высокочастотных вибраций точки подвеса математического маятника его верхнее положение может стать устойчивым В Н Челомеем было показано, что высокочастотные сжатия-растяжения балки могут повышать ее устойчивость И Б Си-моненко и СМ Зеньковской установлено, что с помощью высокочастотных вибраций сосуда с подогреваемой жидкостью можно подавить конвекцию В М Волосовым исследовались так называемые системы уравнений с быстрыми и медленными переменными В В Стрыгин предложил эффективный алгоритм асимптотического интегрирования некоторых классов уравнений с высокочастотными членами В И Юдович в своих лекциях (1991 г) по методу усреднения на мехмате Ростовско го государственного университета отметил актуальность развития теории усреднения для уравнений (обыкновенных дифференциальных и в частных производных), содержащих быстро осциллирующие слагаемые, пропорциональные положительным степеням частоты осцилляции ы, и рассмотрел некоторые такие задачи В частности, он исследовал задачу о движении механической системы со связями и задачу о движении идеальной жидкости в высокочастотных силовых полях Им было предложено исследовать системы уравнений типа

где вектор-функции f(x,t1т) и ^-периодические по г, причем

имеет нулевое среднее, и некоторые другие уравнения с указанной спецификой Отмечалось, что а = 1/2 — это минимальный показатель степени, в лекциях он назван «первым перестроечным показателем», при котором усредненная задача для (0 2) может отличаться от усредненной задачи для (0 1), т е от задачи (0 2) с вычеркнутым большим слагае-

мым, для уравнений же второго порядка

где т/|(х,е,£,т) и являются ¿--периодическими по т и (х) = О,

первый перестроечный показатель ¡5 — 1 Для уравнений (0 2) и (0 3) можно ставить и задачу Коши и задачу о £и)_1-периодических на всей временной оси решениях В последнем случае правые части этих уравнений предполагаются не зависящими явно от t, как в (0 4) (см ниже) Для уравнения п-го порядка

где

периодических решениях первым перестроечным показателем является 7 = п/2 В Б Левенштам и Г Л Хатламаджиян рассмотрели задачу о периодических решениях (работа направлена в печать), а Д А Ба систая и В Б Левенштам — задачу Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих высокочастотное слагаемое, пропорциональное корню квадратному из большой частоты Для этих задач обоснован метод усреднения и построена обоснованная асимптотика решения В Б Левенштам рассмотрел задачу Ко ши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими членами 2-го и произвольного, п-го, порядков (работа в печати) При этом уравнения второго порядка содержат высокочастот ные слагаемые, пропорциональные частоте осцилляции, а уравнения п-го порядка — пропорциональные степени частоты Для этих задач

обоснован метод усреднения и построена обоснованная асимптотика

Важно отметить, что если а, /? и 7 в уравнениях (0 2), (0 3) и (0 4) превышают соответствующие первые перестроечные показатели, т е

то для этих уравнений пока неизвестно, как построить главный член даже формальной асимптотики решения Рассмотрение же показателей а < 1/2, /3 < 1, 7 < п/2, по-видимому, менее интересно, чем так как в этом случае

задача для главного члена асимптотики та же, что и для уравнений с вычеркнутыми большими слагаемыми Цитировавшиеся же выше

известные физические эффекты (для маятника, балки, конвекции) связаны именно с участием больших слагаемых в построении задач для щ

Цель работы. В диссертационной работе рассмотрены задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, среди которых имеются пропорциональные определенным положительным степеням частоты осцилляции Эти задачи рассматриваются в окрестностях стационарных решений соответствующих усредненных задач Исследуются уравнения 2-го, 3-го и п-го порядков в случае первых перестроечных показателей 1 Для уравнения второго порядка обоснован метод усреднения, т е доказаны существование и локальная единственность решения и установлена асимптотическая близость соответствующих решений исходной и усредненной задач, при естественных дополнительных условиях гладкости данных задачи построена и обоснована полная асимптотика решения 2 Для уравнения третьего порядка установлено существование периодического решения, которое асимптотически близко к соответствующему стационарному решению усредненной задачи, и при достаточной гладкости данных задачи для него имеет место построенная и обоснованная в диссертации асимптотика 3 Для систем уравнений порядка в виде асимптотического ряда построено формальное решение (формальная асимптотика) Для систем уравнений 2-го и 3-го порядков при достаточной гладкости их данных установлены результаты, аналогичные указанным выше для случая одного уравнения Построение асимптотики осуществляется эффективно

Методы исследования. В диссертационном исследовании используются методы математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа и классической теории метода усреднения

Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты являются новыми Они носят не только теоретический, но и практический характер, поскольку могут быть использованы при решении многих конкретных задач с большими быстро осциллирующими членами Эти результаты могут быть использованы и при чтении спецкурсов

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры алгебры и дискретной математики Ростовского государственного университета, на международной школе-семинаре по геометрии и анализу, памяти Н В Ефимова (Абрау-Дюрсо), 5 11 сентября 2004г

Публикации. По теме диссертации соискателем опубликованы работы [1]- [4]

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 7 параграфов и списка литературы, содержащего 29 наименований Объем диссертации 103 с

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук В Б Ле-венштаму за постановку задач, постоянное внимание, оказанную им помощь в работе и полезные советы

Содержание работы

Во введении дана общая характеристика, описание тематики, а также обзор результатов по главам

В первой главе работы рассмотрена задача о 27г/а-периодических решениях дифференциального уравнения 2-го порядка

d2u

= /o(u,wi) + wfi(u,uit),

(0 5)

где ш — большой параметр, функции /о(и,т) и /\(и,т) определены на множестве (и, т) € (а, Ь) х Е, где а, 6 € К непрерывны и дважды дифференцируемы по и, а также являются 2тг периодическими по г Функция /1(и!т) обладает нулевым средним по т

2тг

(ЛК т)) = ^ J fi(u, s) ds = 0,

в котором и 6 К — параметр

Пусть и>(т) = (р(и,т) — 27г-периодическая по г с нулевым средним функция, которая удовлетворяет уравнению

d2w

dr2

= /i(«,t)

Уравнение

^ I п \ , дМг><т) /■ Л

назовем усредненным Предположим, что оно имеет стационарное ре-

д/1 (и, т)

шение V = щ, т е для функции Ф(и) = ^/о(и,т) H----—<р(и,т)

справедливо равенство Ф(мо) = О

Будем также предполагать, что решение щ невырожденное, т е

ф,ы = (Щ^г) + dhMdvM + Щ^^м) Ï о

Пусть (i G (0,1) Обозначим через СДК) пространство Гельдера, состоящее из непрерывных ограниченных функций и К —» К, удовлетворяющих условию

н il , ,ч, W(t")-u(t')\

F с„(В) =sup|u(í)|+ sup <00

^ ' t€& —00<í <í <+00 ~t Г

В параграфе § 1 1 обоснован метод усреднения для задачи (0 5) Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.1.1. Существуют такие положительные числа uiq и6, что при ы > и>о уравнение (0 5) имеет единственное в шаре

1Иг) -ио||с„(ш) < ¿

27го>-1 периодическое решение ии и при этом справедливо равенство lim ||иы - и0|1с„(К) = 0

LI-+00 '

Во втором параграфе первой главы при выполнении условий § 1 этой главы и некоторых естественных дополнительных предположениях построена и обоснована полная асимптотика периодического решения задачи (0 5) Построение формальных асимптотик (формальных решений) в диссертации осуществляется с помощью алгоритма, который использовал В В Стрыгин в случае задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков Асимптотика в § 2 ищется в виде

00 00 «=0 1=1

ГДР функции и,(т) являются 2 тг-периодическими по тс нулевым средним, а и, — константы

Для нахождения коэффициентов ряд (0 6) подставляется вместо и в уравнение (0 5), а функции

формально разлагаются в ряды Тейлора по первой переменной После приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях и применения операции усреднения получается цепочка соотношений, из которых последовательно находятся все коэффициенты разложения (0 6) в следующем порядке VI, Иь 1)2, Щ, ^з, и так далее

Пусть частичная сумма асимптотического ряда (0 6)

«=1

Основным результатом § 1 2 является следующая Теорема 1.2.1. Для любого натурального к найдутся такие положительные числа Ск и Шк, что при и) > ш/ц справедлива оценка

эффективно Именно, их построение сводится к нахождению 2п-пе-риодических с нулевым средним решений уравнений вида

/х(ио + ш_1(м! + «1) + ш~2(щ + г>2) + ,т)

к

УшЦ) = щ + +

При этом коэффициенты асимптотики и$ и «3(г) определяются

где

В § 1 3 рассмотрена задача о 27Го;~1-периодических решениях системы

дифференциальных уравнений 2-го порядка следующего вида

(0 7)

Здесь

40 =

( «1(4) \ «2(0

V "»(*) )

> /о(е,т) =

/ /01(е,т) \

/ог(е,г)

//пКт) \

/12 («,-г)

\ /ш(и, т) У

\ /оп(е,т) / п — произвольное натуральное число

Пусть ] = 0,1 — ограниченные области в пространстве Кп, По = {(е,т) е € Со х г € К} и = {(и,г) и е г 6 К} Предположим, что вектор-функции /о(е,г) и Д (и, г) определены на множествах Г2о И ^ь соответственно, принимают значения в К" и удовлетворяют следующим условиям

1) их компоненты /ог(е,т) и /ъ{и,т) (1 ^ г ^ п) непрерывны, 27Г-периодичес кие по переменной т, имеют непрерывные производные по и и е любого порядка,

2) средние (/и)(и) = (/ь(и,т)) вектор-функции /х,(и,т) по г равны нулю

2тг

</ь)(") = ^ J Л.(«> в) = 0,

3) пусть ш(г) = ¡р(и,т) — 27Г-периодическая по г с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению

<Ри>

с1т2

= Ми,т)

Уравнение

<12и / / г) \ дЬ(и,т)

назовем усредненным и предположим, что оно имеет стационарное решение и = щ, то есть для вектор-функции

Ф(и) = <^/о (и,

д<р(и,т) \ д/!(и,т)

т\+-^-т)

дт

ди

справедливо равенство

Ф(ио) = 0,

4) решение щ невырождено, то есть матрица Ф'(ио) обратима

Асимптотическое разложение 2ттш 1-периодического по т решения задачи (0 7) ищется в виде

оо

■иш (г) = щ + ("»+ ч М) > (°8)

1=1

где vг{^) — 27г-периодические вектор-функции со значениями в К", имеющие нулевые средние, а и, — векторы в К" к

Пусть Уи — к-ая частичная сумма асимптотического ряда (0 8)

к к к Уи М = +

8=0 5=1

Основным результатом § 1 3 является следующая Теорема 1.3.1. 1) Найдутся такие положительные числа щ и 5, что при ш > и>о уравнение (0 7) имеет единственное в шаре

НмМ - "оНс^К") < 6

2жш~1-периодическое решение иш и при этом выполняется равенство

Ьгп К - «о||С(Л1) = 0

2) Для любого натурального к найдутся такие полоо/сительные числа аь и шк, что при ш > и>к справедлива оценка

к

зир|иш(<)- уш (¿)| < аки~(к+1)

(еИ

Коэффициенты асимптотики и8 и у3 определяются эффективно Именно, их построение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 2-к-перио-дических с нулевым средним решений систем дифференциальных урав нений вида

<Ру

где Х(т + 2тг) = х(т), (Х) = 0

Во второй главе рассмотрена задача о 27г/ш-периодических решениях дифференциального уравнения 3-го порядка

$и

^з = ¡й{иМ) (0 9)

где ш — большой параметр Предполагается, что функции /о(и,т) и определены на множестве непре-

рывны и трижды дифференцируемы по и, а также являются 27Г-перио-дическими по причем обладает нулевым средним по

Исследование уравнения (0 9) оказалось существенно более сложным, нежели уравнения (0 5) Такая сложность проявляется уже при доказательстве существования периодического решения, когда мы преобразуем (используются замены переменных типа классической замены Крылова-Боголюбова) исходное уравнение к уравнению, не содержаще му больших слагаемых Так вот, при проведении второй замены переменных в случае (0 9) (для уравнения (0 5) дело ограничивается одной заменой), в связи с тем, что большое слагаемое преобразуемого уравнения зависит от производной зависимой переменной, мы вынуждены отказаться от структуры уравнения 3-го порядка и смотреть на него, как на систему двух уравнений 1-ю и 2-го порядков Отметим в связи с этим, что в случае уравнений произвольного порядка п обозреть в целом процедуру соответствующих замен, которая бы приводила к уравнению без больших слагаемых, нам не удается

Пусть — -периодическая по с нулевым средним

функция, которая удовлетворяет уравнению

в? ю

Лг3

= Ыи,т)

Предполагается, что усредненное уравнение

^ Л/ \ I дМу>т) ( \

имеет невырожденное стационарное решение

В параграфе § 2 1 доказана следующая теорема Теорема 2.1.1. Существует такое положительное число шо, что при ш > а>о уравнение (0 9) имеет 2тги/~1 -периодическое решение ии, для которого справедливо равенство

1ип \\иш - и0||

с„(К)

О

В § 2 2 при дополнительном предположении о достаточной гладкости вектор-функций /о(м,т) и /1 (и,т) построена и обоснована полная асимптотика периодического решения задачи (0 9) Асимптотика ищет-

где функции иДт) являются 2тг-периодическими по т с нулевым средним, а иг — константы

Рассматриваются частичные суммы асимптотического ряда (0 10)

к к

к

Уи

-Зг/2.

Основным результатом § 2 2 является следующее утверждение Теорема 2.2.2. Существует такое шо > 0, что при ш > уравнение (0 9) имеет 27тш-1 -периодическое решение иш с асимптотическим разложением (0 10) При этом для любого натурального к найдутся такие положительные числа й^ и что при и > ы^ справедлива

Коэффициенты и, г>, асимптотики находятся эффективно Именно, их построение сводится к нахождению 2тг -периодических решений с нулевым средним уравнений вида

В третьем параграфе второй главы рассмотрена задача о -пе-

риодических решениях системы дифференциальных уравнений 3-го порядка следующего вида

(И3

где — большой параметр, а удовлетворяют некоторым естественным условиям

= /о (и,^,^ (0 11)

При определенных условиях асимптотическое разложение 27гш ^периодического по т решения задачи (0.11) ищется в виде

ОО 00

Иш(«) = ^иГ'/2«, + (0 12)

1=0 >=3

где и, — векторы пространства К", а и,(г) — 2я--периодические вектор-функции со значениями в К", имеющие нулевые средние.

Рассматриваются частичные суммы асимптотического ряда (0 12). к к \Vuit) = $>-,/2и, +

8=0 в=3

Основным результатом этого параграфа является Теорема 2.3.2. Существует такое положительное число щ, что при ш > а>о уравнение (0 11) имеет 2жи-периодическое решение ии, для которого справедливо равенство

Нт 1К - ыо||с„(Е") = О,

а также имеет место асимптотика (0.12), причем для любого натурального к найдутся такие положительные числа ск и Шк, что при ш > Шк справедлива оценка

вир^СО- VИ (01 < СкШ-3^'2.

При этом коэффициенты щ V, асимптотики находятся эффективно. Именно, их построение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 2ж-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида

¿4

где х(т + 2тг) = Х(т), (х) = 0.

В третьей главе рассмотрена система дифференциальных уравнений п-го порядка вида Апи

— = }0{иМ)+ип'2Ь{чМ), (0.13)

где ш — большой параметр Пусть D — ограниченная область в пространстве К", £7 = {(и, т): и = («i, иг,..., ип) € Д г 6 R} Предположим, что вектор-функции /о(и, т) и /i(u,r) определены на множестве fi, принимают значения в R" и удовлетворяют следующим условиям-

1) их компоненты /ог{и,т) и /b(«,r) (1 ^ i ^ п) непрерывны, 2тг-периодические по переменной т и, кроме того, имеют непрерывные производные по и любого порядка;

2) средние (fu){u) = (/ii(m,t)) вектор-функции /i,(u,r) по т равны нулю:

2тг

(/i.)(u) = ^ J fu{% s) ds = 0. о

3) пусть w(t) — tp(u,T) — 27г-периодическая по т с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению

dnw

drn v '

Уравнение

<Fv / N , dh{v,T) \

назовем усредненным и предположим, что оно имеет стационарное решение V — щ, то есть для вектор-функции

справедливо равенство Ф(ио) = 0;

4) решение щ невырождено, то есть матрица Ф'(ио) обратима. Асимптотическое разложение решения задачи (0.13) строится в виде

00

"ыИ = «о + £ ш-,п/2(м, + (0.14)

»=1

где щ — векторы К", а г>г(т) — 27г-периодические вектор-функции со значениями в Еп, имеющие нулевые средние. Подстановка к-ой частичной к

суммы щ + + в уравнение (0.13) приводит к невязке

!=1

0(и>-^п'2), со —^ оо. Это позволяет ряд (0.14) называть формальным решением уравнения (0.13).

Все коэффициенты асимптотики (0 14) эффективно определяются Их нахождение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 27Т-периодичес-ких с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений

На защиту выносятся следующие основные результаты

Рассмотрены задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, среди которых имеются пропорциональные определенным положительным степеням частоты осцилляции Эти задачи рассматриваются в окрестностях стационарных решений соответствующих усредненных задач

1 Для уравнения второго порядка обоснован метод усреднения, т е доказаны существование и локальная единственность решения и установлена асимптотическая близость соответствующих решений исходной и усредненной задач, при естественных дополнительных условиях гладкости данных задачи построена и обоснована полная асимптотика решения

2 Для уравнения третьего порядка установлено существование периодического решения, которое асимптотически близко к соответствующему стационарному решению усредненной задачи, и при достаточной гладкости данных задачи для него имеет место построенная и обоснованная в диссертации асимптотика

3 Для систем уравнений п-го порядка в виде асимптотического ряда построено формальное решение (формальная асимптотика) Для систем уравнений 2-го и 3-го порядков при достаточной гладкости их данных установлены результаты, аналогичные указанным выше для случая одного уравнения Построение асимптотики осуществляется эффективно

Список публикаций по теме диссертации

[1] Абоод X Д Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения, со-

держащего большие высокочастотные слагаемые // Деп в ВИНИТИ 26 02 2004 № 338-В2004 28 с

[2] Абоод X Д Обоснование метода усреднения для задачи о периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка, содержащего большие высокочастотные слагаемые // Труды аспирантов и соискателей Ростовского гос ун-та 2004 Т 10 С 3-4

[3] Абоод X Д Асимптотика периодического решения одного обыкно венного дифференциального уравнения третьего порядка с быстро осциллирующими членами // Деп в ВИНИТИ 05 08 2004 № 1357-В2004 32 с

[4] Абоод X Д Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, содержащего большие высокочастотные слагаемые // Тезисы докладов Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2004 г С 243-244

Печать цифровая Бумага офсетная Гарнитура «Таймс» Формат 60x84/16 Объем 1,0 уч -изд -л Заказ №395 Тираж 100 экз Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г Ростов-на-Дону, ул Суворова, 19, тел 247-34-Е

383

Введение

Глава 1. Уравнения второго порядка.:.

§1. Обоснование метода усреднения

§ 2. Построение асимптотического разложения решения и обоснование асимптотики

§ 3. Некоторые обобщения

Глава 2. Уравнения третьего порядка.

§ 1. Существование решения и его асимптотическая близость к стационарному решению усредненного уравнения

§ 2. Построение и обоснование полной асимптотики решения

§ 3. Некоторые обобщения

Глава 3. Уравнения п-го порядка

§1. Построение формальной асимптотики

Решения дифференциальных уравнений, как правило, не удается представить в квадратурах, выраженных через элементарные или специальные функции. В связи с этим, очень важен вопрос приближенного решения ные и асимптотические методы. В диссертации рассматриваются уравнения, содержащие большие высокочастотные слагаемые. Присутствие высокочастотных слагаемых (не говоря уже о том, что они большие) создает известные серьезные проблемы их непосредственного численного решения. Поэтому к таким уравнениям обычно вначале применяют асимптотические методы. Задачи, рассматриваемые в асимптотической теории условно разбивают на два класса: регулярно возмущенные и сингулярно возмущенные (см. [1]). Задачи с быстро осциллирующими коэффициентами являются сингулярно возмущенными.

Важным асимптотическим методом исследования дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми является метод усреднения, который также называется методом Н. М. Крылова — Н. Н. Боголюбова — Ю. А. Митропольского (см. [2]-[4]). Приведенные в диссертации исследования посвящены дальнейшему развитию классической теории усреднения. Отметим, что уравнения с высокочастотными слагаемыми часто встречаются в различных разделах естествознания.

В основных теоремах классической теории метода осреднения [2] (см. также [4]) исследуются системы обыкновенных дифференциальных уравнений в так называемой стандартной форме. Их можно представить в следующем виде дифференциальных уравнений. К приближенным методам относят числен

0.0.1) где /(я, т) обладает средним по т: т о

Напомним, что для ¿-периодической вектор-функции /(ж, г) среднее определяется формулой: г = о

В последующих многочисленных работах'результаты теории метода усреднения [3] были перенесены на новые различные классы уравнений, как обыкновенных дифференциальных, так и в частных производных (см., например, [4], [5]) и библиографию в них. Здесь мы отметим лишь исследования, в которых рассматриваются уравнения с быстро осциллирующими во времени членами, среди которых имеются пропорциональные положительным степеням высокой частоты осцилляций.

Первыми среди таких работа являются исследования Н. Н. Боголюбова [7] и П. Л. Капицы [8] о том, что в результате высокочастотных вибраций точки подвеса математического маятника его верхнее положение может стать устойчивым.

В работе В. Н. Челомея [9] было показано, что высокочастотные сжатия-растяжения балки могут повышать ее устойчивость.

В работе С. М. Зеньковской, И. Б. Симоненко [10] показано, что с помощью высокочастотных вибраций сосуда с подогреваемой жидкостью можно подавить конвекцию.

В известных работах В.М. Волосова [11, 12] (см. также [4]) исследовались так называемые системы уравнений с быстрыми и медленными переменными.

В работах В. В. Стрыгина [13, 14] предложен эффективный алгоритм асимптотического интегрирования некоторых классов уравнений с высокочастотными членами.

В 1991 г. В. И. Юдович в своих лекциях по методу усреднения на мехмате Ростовского государственного университета отметил актуальность развития теории усреднения для уравнений (обыкновенных дифференциальных и в частных производных), содержащих быстро осциллирующие елагаемые, пропорциональные положительным степеням частоты осцилляций ш, и рассмотрел некоторые такие задачи (см. [15]-[18]). В частности, он исследовал задачу о движении механической системы со связями и задачу о движении идеальной жидкости в высокочастотных силовых полях. Им было предложено исследовать системы уравнений типа: dx = f(x,t,ut) +ua(p(x,t,ujt), а > О, (0.0.2) иь где вектор-функции f(x,t:r) и ip(x,t,r) ¿-периодические по т, причем (р имеет нулевое среднее, и некоторые другие уравнения с указанной спецификой. Отмечалось, что а = 1/2 — это минимальный показатель степени, в лекциях он назван «первым перестроечным показателем» [17], при котором усредненная задача для (0.0.2) может отличаться от усредненной задачи для (0.0.1), т.е. от задачи (0.0.2) с вычеркнутым большим слагаемым; для уравнений же второго порядка х = ф{х, х, t,cut) + uj^x{xi (0.0.3) где ф(х, е, t, г) и х(х, т) являются ¿-периодическими по т и (х) = 0, первый перестроечный показатель (3 = 1. Для уравнений (0.0.2) и (0.0.3) можно ставить и задачу Коши и задачу о ^периодических на всей временной оси решениях. В последнем случае правые части этих уравнений предполагаются не зависящими явно от t, как в (0.0.4) (см. ниже). Для уравнения n-го порядка х(п) = д(х, cut) + оPh(x, cut), (0.0.4)' где f(x,r) и h(x,r) — ¿-периодические по г и (h) = 0, в задаче о £си~1-периодических решениях первым перестроечным показателем является j = п/2.

В работе Д. А. Басистой, В. Б. Левенштама [19] рассмотрена задача Коши, а в работе В. Б. Левенштама, Г. Л. Хатламаджиян (направлена в печать) — задача о периодических решениях для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих высокочастотное слагаемое, пропорциональное корню квадратному из большой частоты. Для этих задач обоснован метод усреднения и построена обоснованная асимптотика решения.

В работе В. Б. Левенштама «Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. I, II» (в печати) рассмотрена задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими членами 2-го и произвольного, п-го, порядков. При этом уравнения второго порядка содержат высокочастотные слагаемые, пропорциональные частоте осцилляций, а уравнения п-го порядка — пропорциональные степени [п/2] частоты. Для этих задач обоснован метод усреднения и построена обоснованная асимптотика.

Важно отметить, что если а, ¡3 и 7 в уравнениях (0.0.2), (0.0.3) и (0.0.4) превышают соответствующие первые перестроечные показатели( а = 1/2, /3 = 1, 7 = п/2] то для этих уравнений пока неизвестно, как построить главный член даже формальной асимптотики решения. Рассмотрение же показателей а < 1/2, /3 < 1, 7 < п/2, по-видимому, менее интересно, чем а — 1/2, Р = 1,7 = п/2, так как в этом случае задача для главного члена асимптотикиЧ'а же, что и для уравнений с вычеркнутыми большими слагаемыми. Цитировавшиеся же выше известные физические эффекты (для маятника, балки, конвекции) связаны именно с участием больших слагаемых в построении задач для щ.

В диссертационной работе рассмотрены задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, среди которых имеются пропорциональные определенным положительным степеням частоты осцилляций. Эти задачи рассматриваются в окрестностях стационарных решений соответствующих усредненных задач. Исследуются уравнения 2-го, 3-го и п-го порядков в случае первых перестроечных показателей. 1. Для уравнения второго порядка обоснован метод усреднения, т. е. доказаны существование и локальная единственность решения и установлена асимптотическая близость соответствующих решений иш и щ исходной и усредненной задач; при естественных дополнительных условиях гладкости данных задачи построена и обоснована полная асимптотика решения. 2. Для уравнения третьего порядка установлено существование периодического решения, удовлетворяющего условиям: оно асимптотически близко к соответствующему стационарному решению усредненной задачи^при достаточной гладкости данных задачи для него имеет место построенная и обоснованная в диссертации асимптотика. 3. Для систем уравнений п-го порядка в виде асимптотического ряда построено формальное решение (формальная асимптотика). Для систем уравнений 2-го и 3-го порядков при достаточной гладкости их данных установлены результаты, аналогичные указанным выше для случае одного уравнения. Построение асимптотики осуществляется эффективно.

Перейдем к обзору содержания работы. Диссертация состоит из трех глав, разделенных на 7 параграфов.

В первой главе работы рассмотрена задача о 27г/о>-периодических решениях дифференциального уравнения 2-го порядка

Ри - Ми,шЬ)+ыГ1{и,иЛ), (0-0.5) где ш — большой параметр, функции /о(и, т) и /х(и, г) определены на множестве (и, т) £ (а, Ь) х К, где а, Ъ 6 К, непрерывны и дважды дифференцируемы по и, а также являются 27Г-периодическими по т. Функция /1 (и, т) обладает нулевым средним по т:

2тг

Л К г)) = ^ У №>^ = о в котором ибМ - параметр.

Пусть и>(т) = (р(и,т) — 27г-периодическая по г с нулевым средним функция, которая удовлетворяет уравнению d2w

Уравнение d2v / , dfi(y, r) dt2 назовем усредненным. Предположим, что оно имеет стационарное решение д f (и \ v = щ, т. е. для функции Ф(и) = (fo(u, т) Н--—т) ) справедливо равенство Ф(гхо) = 0.

Будем также предполагать, что решение щ невырожденное, т. е. ф'Ы = II + дЫио,т)д<р(щ,т) + о.

Пусть ¡j, £ (0,1). Обозначим через СЦ(Ш) пространство Гельдера, состоящее из непрерывных ограниченных функций и: М —f М, удовлетворяющих условию: u(t,f) - u{t')\ r ,m = sup \u(t)\ + sup ————-— < oo.

В параграфе §1.1 обоснован метод усреднения для задачи (0.0.5). Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.1.1. Существуют, такие положительные числа ujq и 5, что при uj > too уравнение (0.0.5) имеет единственное в шаре

IW*) - ^оЦ^(М) < 5

2пш~1 -периодическое решение иш и при этом справедливо равенство:

Jim |K-Uo||C|1(R) = 0.

Во втором параграфе первой главы при выполнении условий § 1 этой главы и некоторых естественных дополнительных предположениях построена и обоснована полная асимптотика периодического решения задачи (0.0.5). Построение формальных асимптотик (формальных решений) в диссертации осуществляется с помощью алгоритма, который использовал В. В. Стры-гин [13, 14] в случае задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Асимптотика в § 2 ищется в виде

00 оо л*) = + (°-0-6) г=0 г=1 где функции Ví(t) являются 27г-периодическими по г с нулевым средним, а щ — константы.

Для нахождения коэффициентов ряд (0.0.6) подставляется вместо и в уравнение (0.0.5), а функции fo(uQ + и~1{иг + vi) + iü~2(v,2 + v2) + ., r) и l(u0 + L)~l{ui + Vi) + íü~2(u2 + v2) + . . . , r) формально разлагаются в ряды Тейлора по первой переменной. После приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях ш и применения операции усреднения получается цепочка соотношений, из которых последовательно находятся все коэффициенты разложения (0.0.6) в следующем порядке: vi, щ, v2) и2, г>з, и так далее. к

Пусть У и — к- ая частичная сумма асимптотического ряда (0.0.6): к к

Уиф = Щ + e[we + ve(wí)]. s=1

Основным результатом § 1.2 является следующая Теорема 1.2.1. Для любого натурального к найдутся такие положительные числа Ck и cok) чгпо при ш > uj^ справедлива оценка к sup г^— Уш tm

При этом коэффициенты асимптотики и8 и •уДт) определяются эффективно. Именно, их построение сводится к нахождению 2ж-периодических с нулевым средним решений уравнений вида

2и где х(т + 2тг) = х(т), (х) = 0.

В § 1.3 рассмотрена задача о 27га;~1-периодических решениях системы дифференциальных уравнений 2-го порядка следующего вида: dt2 о;>1. (0.0.7)

Здесь u(t) (Л u2{t) un(t) о(е,т) = оi(e, т) /о2(е,т) fll{u,r) ^ /12 (W, Г) Ап(Ц,т) J о п(е,г) п — произвольное натуральное число.

Пусть = 0,1 —- ограниченные области в пространстве Мп, Г2о = е, т): е Е Со х С1, г £ 1} и = {(гх, т): и Е Со, г Е М}. Предположим, что вектор-функции /о(е, т) и /1(1/, т) определены на множествах По и П1, соответственно, принимают значения в 1" и удовлетворяют следующим условиям:

1) их компоненты /о¿(е,т) и /и(гг,т) (1 ^ г ^ п) непрерывны, 27г-перио-дические по переменной г, имеют непрерывные производные помие любого порядка;

2) средние {¡ц){и) = {¡ц{и,т)) вектор-функции /н(м,т) по т равны нулю:

2тг fii){u) = ^ J Ыщ s) ds = 0;

3) пусть и(т) = <р(и,т) — 2-7г-периодическая по г с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению сРи dr2 fi(u,r).

Уравнение dt2 дт ди назовем усредненным и предположим, что оно имеет стационарное решение и = щ, то есть для вектор-функции справедливо равенство

Ф(«о) - 0;

4) решение ^о невырождено, то есть матрица Ф'(^о) обратима.

Асимптотическое разложение 27га;'1-периодического по г решения задачи (0.0.7) ищется в виде

00 иы(г) + + (0.0.8) г=1 где Уг{т) — 27г-периодические вектор-функции со значениями в Еп, имеющие нулевые средние, а щ — векторы в Мп. к

Пусть Уш — &-ая частичная сумма асимптотического ряда (0.0.8): к к у* м = +

Основным результатом § 1.3 является следующая Теорема 1.3.1. 1) Найдутся такие положительные числа сио и 5, что при и > шо уравнение (0.0.7) имеет единственное в шаре

2ttuj~1 -периодическое решение иш и при этом выполняется равенство: lim |K-«o|U (К) = 0.

2) Для любого натурального к найдутся такие положительные числа а^ и и>к, что при ш > шь справедлива оценка к sup teR v*,{t)-Vu (t)\ ^ акш-<к+1\

Коэффициенты асимптотики и8 и у3 определяются эффективно. Именно, их построение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 2тг-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида где х(г + 2тг) = х(т), (*) = 0.

Во второй главе рассмотрена задача о 27г/с<;-периодических решениях дифференциального уравнения 3-го порядка сРи - /о(и, иЬ) + а,3/2/!иЛ), (0.0.9) где и> — большой параметр. Предполагается, что функции /о (и, т) и /г(и, т) определены на множестве (и, т) £ (а, Ь) х М, где а, Ъ 6 М непрерывны и трижды дифференцируемы по и, а также являются 27г-периодическими по т, причем /х(и, т) обладает нулевым средним по т.

Исследование уравнения (0.0.9) оказалось существенно более сложным, нежели уравнения (0.0.5). Такая сложность проявляется уже при доказательстве существования периодического решения, когда мы преобразуем (см. замены переменных (1.1.5) и (2.3.1), (2.1.9) типа классических замен Крылова-Боголюбова [2]-[5]) исходное уравнение к уравнению, не содержащему больших слагаемых. Так вот, при проведении второй замены переменных (т.е. (2.1.9)) для уравнения (0.0.9) (для уравнения (0.0.5) дело ограничивается одной заменой), в связи с тем, что большое слагаемое предыдущего уравнения (2.1.7) зависит от производной зависимой переменной, мы вынуждены отказаться от структуры уравнения 3-го порядка и смотреть на него, на систему двух уравнений: 1-го и 2-го порядков. Отметим в связи с этим, что в случае уравнений произвольного порядка п обозреть в целом процедуру соответствующих замен, которая бы приводила к уравнению без больших слагаемых, нам не удается.

Пусть w(t) = <р(и,т) — 2-7г-периодическая по г с нулевым средним функция, которая удовлетворяет уравнению d3w

Предполагается, что усредненное уравнение

Л /1( ^ , dh(v>T) ( Л з = г) + — <p(v, г) J имеет невырожденное стационарное решение v = щ.

В параграфе §2.1 доказана следующая теорема. Теорема 2.1.1. Существует такое положительное число щ, что при oj > ojq уравнение (0.0.9) имеет 2ituj~1-периодическое решение идля которого справедливо равенство:

Jim IK-iioHc^R) = 0.

В §2.2 при дополнительном предположении о достаточной гладкости вектор-функций fo(u,r) и /i(w,r) построена и обоснована полная асимптотика периодического решения задачи (0.0.9). Асимптотика ищется в виде сю оо г=0 г=1 t) = + Y^u-^Viiujt), (0.0.10) где функции Уг(т) являются 27г-периодическими по г с нулевым средним, а щ — константы.

Рассматриваются частичные суммы асимптотического ряда (0.0.10): й=0 в=1 Основным результатом § 2.2 является следующее утверждение:

Теорема 2.2.2. Существует такое и>о > 0, что при си > шо уравнение (0.0.9) имеет 27га;-1 -периодическое решение иш с асимптотическим разложением (0.0.10). При этом для любого натурального к найдутся такие положительные числа и что при ш > иь справедлива оценка sup ¿ем k

Ucj- Vu

3(fc+l) dkOJ 2

Коэффициенты щ V{ асимптотики находятся эффективно. Именно, их построение сводится к нахождению 2тт-периодических решений с нулевым средним уравнений вида d3v где х(т + 2тг) = (х) = 0.

В третьем параграфе второй главы рассмотрена задача о 27га;~1-перио-дических решениях системы дифференциальных уравнений 3-го порядка следующего вида: = /о (u^ut^j +u?l2h(uM)> (0.0.11) где и — большой параметр, а /о, /i удовлетворяют некоторым естественным условиям.

Асимптотическое разложение 27га;~1-периодического по г решения задачи (0.0.11) ищется в виде оо оо иМ = Ylw~i/2ui+Y,u}~i/2vi(wty> (0.0.12) г=0 г=3 где щ — векторы пространства Ж", а г>г-(т) — 27Г-периодические вектор-функции со значениями в Rn, имеющие нулевые средние.

Рассматриваются частичные суммы асимптотического ряда (0.0.12): к к wu(t) = ^2uj-s'2Us + 5]w-s/2ü5(wi). s=0 s=3

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 2.3.2. Существует такое положительное число шо, что при lü > cjo уравнение (0.0.11) имеет 2ттш~1-периодическое решение иш, для которого справедливо равенство lim || ии - tto|U(R») = °>

UJ—^оо а также имеет место асимптотика (0.0.12), причем для любого натурального к найдутся такие положительные числа Ск и что при ш > Шк справедлива оценка к

Бир и^)- Vы <

При этом коэффициенты щ асимптотики находятся эффективно. Именно, их построение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 2тт-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида Л гдех(т + 2п)=х(т), (х) = О

В третьей главе рассмотрена система дифференциальных уравнений п- го порядка вида йпч = /о (и, а;«) +шп/2Л(«,иЛ), (0.0.13) где ш — большой параметр. Пусть И — ограниченная область в пространстве Еп, = {(и, т): и = (щ, и2,., ип) € В, т Е Е}. Предположим, что вектор-функции /0 (и, г) и т) определены на множестве принимают значения вМ" и удовлетворяют следующим условиям:

1) их компоненты /о{{и,т) и /ц(и,т) (1 < г ^ п) непрерывны, 2тг-периодические по переменной г и имеют непрерывные производные по и любого порядка;

2) средние {/и)(и) = (/и(ц,т)) вектор-функции /ц{и,т) по т равны нулю:

2тг

1г)0) = J Ь(и, 5) йв = 0.

3) пусть ъи(т) = <р(и,т) — 27Г-периодическая по т с нулевым средним вектор-функция, которая удовлетворяет уравнению

Уравнение , дЬ(у, г) ' - /оК Т) +-—-(р{у, г) сЙп \ 4 ' ду назовем усредненным и предположим, что оно имеет стационарное решение

V = щ, то есть для вектор-функции справедливо равенство Ф('Ио) = 0;

4) решение щ невырождено, то есть матрица Ф'(«о) обратима. Асимптотическое разложение решения задачи (0.0.13) строится в виде

00 =Щ + + УгМ), (0.0.14)

1=1 где щ — векторы а У{(т) — 27г-периодические вектор-функции со значениями в Еп, имеющие нулевые средние. Подстановка к-ой частичной к суммы г^о + + в уравнение (0.0.13) приводит к невязке г=1

0(а;(А:"1)п/2), и —> оо. Это позволяет ряд (0.0.14) называть формальным решением уравнения (0.0.13).

Все коэффициенты асимптотики (0.0.14) эффективно определяются. Их нахождение сводится к решению однозначно разрешимых систем линейных алгебраических уравнений и к нахождению 27г-периодических с нулевым средним решений систем дифференциальных уравнений вида

ПУ где х(т + 2тг) = х(т), (х) = 0.

Отметим еще, что соискатель участвовал в работе [28] о построении асимптотического разложения решения одной задачи для системы уравнений в частных производных.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему руководителю доктору физико-математических наук Валерию Борисовичу Левенштаму за постановку задач, постоянное внимание и оказанную им помощь в работе.

1. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

2. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике // Изд-во АН УССР. 1945.

3. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

4. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

5. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.

6. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд. Московского университета, 1971.

7. Боголюбов H.H. Теория возмущений в нелинейной механике //Сб. института строит, механики АН УССР. 1950. Вып. 4, С. 9-34.

8. Капица П.Л. Динамическая устойчивость чаятника при колеблющейся точке подвеса //ПММ. 1995. т. 59. вып. 6, С. 922-929.

9. Челомей В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // ДАН СССР. 1956. 110, № 3. С. 345-347.

10. Зеньковская С. М., Симоненко И. Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции // Механика жидкости и газа. 1966. № 5. С. 51-55.

11. Волосов В.М. О методе усреднения // ДАН СССР. 1961. Т. 137, № 1. С. 21-24.

12. Волосов В. М. О высших приближениях при усреднении // ДАН СССР. 1961. Т. 137, № 5. С. 1022-1025.

13. Стрыгин В. В Об одной модификации метода усреднения при отыскании высших приближений // ПММ. 1984. Т. 48, вып. 6. С. 1042-1045.

14. Стрыгин В.В Об асимптотическом интегрировании уравнений движения механических систем, находящихся под воздействием быстро ос-цилирующих сил // ПММ. 1989. Т. 53, вып.З, С. 845-853.

15. Юдович В. И. Вибродинамика систем со связями // Докл. РАН. 1997. Т. 354, № 5. С. 622-624.

16. Юдович В. И. Динамика материальной частицы на вибрирующей гладкой поверхности // ПММ. 1998. Т. 62. вып. 6. С. 968-976.

17. Юдович В. И. Вибродинамика и виброгеометрия систем со связями // Деп. в ВИНИТИ 17.07.2003. № 1407-В2003.

18. Юдович В. И. Вибродинамика и виброгеометрия систем со связями. Часть 2 //Деп. в ВИНИТИ 17.07.2003. № 1408-В2003.

19. Басистая Д. А., Левенштам В. Б. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки, 2004. Спецвыпуск.

20. Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами //В печати.

21. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1966.

22. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осцилирующих сил и для других параболических уравнений // Мат. сб. 1972. Т. 87 (129), № 2. С. 236-253.

23. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений // Мат. сб. 1970. Т. 81 (123), № 1. С. 53-61.

24. Абоод X. Д. Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения, содержащего большие высокочастотные слагаемые // Деп. в ВИНИТИ 26.02.2004. № 338-В2004. 28 с.

25. Абоод X. Д. Асимптотика периодического решения одного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с быстро осциллирующими членами // Деп. в ВИНИТИ 05.08.2004. № 1357-В2004. 32 с.

26. Levenshtam V. В., Abood Н. D. Asymptotic integration of the problem on heat distribution in a thin rod with rapidly varying sources of heat // Contemporary Mathematics and its Applications. 2003. V. 7. Nol. P. 137149.

27. Левенштам В. Б. Некоторые вопросы теории метода осреднения на всех оси для параболических уравнений. Дис. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1977.