Исследование интегральных многообразий интегро-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1. ВВЕДЕНИЕ.

2. ГЛАВА I. Исследование интегрального многообразия нелинейного интегро-дифференциального уравнения в бесконечномерном банаховом пространстве . II

3. § I. Приведение основного уравнения к системе специального вида. II

4. § 2. Существование и некоторые свойства интегрального многообразия преобразованной системы

5. ГЛАВА II. Исследование интегрального многообразия нелинейного интегро-дифференциального уравнения не разрешенного относительно производной

6. § I. Приведение исходного уравнения к системе специального ввда .„-.

7. § 2. Существование и 'некоторые свойства интегрального многообразия преобразованной системы

8. ГЛАВА Ш. Исследование почти периодического решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения в бесконечномерном координатном гильбертовом пространстве

9. § I. Приведение исходного уравнения к специальному виду.

10. § 2. Существование и некоторые свойства почти периодических решений преобразованных уравнений

11. ГЛАВА 1У. Исследование решения интегро-дифференциального уравнения с частными производными гиперболического типа методом усреднения академика Н.Н. Боголюбова.

При изучении многих прикладных задач часто приходим к рассмотрению интегро-дифференциальных уравнений.

Интегро-дифференциальные уравнения встречаются при изучении щелевых антенн /42, 43/, качки корабля на спокойной воде /46/, распространение вязкопластического течения с учетом упрочнения для случая сдвига /28/, в гидродинамической теории смазки, в теории автоматического регулирования /29/, в процессах сейсмостойкости сооружений /31/.

К исследованию интегро-дифференциальных уравнений приводятся, например, изучения явления последействия в твердом теле /49/, изучение процессов деформации реальных тел /32, 33, 34 /, механические, электромагнитные и тепловые процессы с учетом явления фактора времени, процесс распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической и магнитной вязкостью /35, 36, 37/, колебания физического маятника с полостью, заполненной вязкой жвдкостью /16/.

Известно, что A.M. Ляцунов является одним из основоположников теории фи1*ур равновесия однородной и слабо неоднородной вращающейся жидкости, частицы, которой взаимно притягиваются согласно закону всемирного притяжения. Ляпунов доказал существование фигур равновесия близких к элипсовдальным. Он выявил также существование близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной жидкости в случае изменения ее полости с глубиной.

Эта теория A.M. Ляпунова получила глубокое развитие в работе /48/, где вся проблема фигур равновесия вращающейся в жидкости связана с теорией интегро-дифференциальных уравнений.

К интегро-дифференциальным уравнениям приводятся задачи динамики вязкой упругости / 12 /, а также задачи ядерной физики / 8, 41, 47 / и многие другие задачи механики, физики, теории колебаний.

Вышеприведенные примеры задач, иэе связь с теорией интегро-дифференциальных уравнений позволяют утверркдать, что изучение интегро-дифференциальных уравнений имеет важное теоретическое и практическое значение.

Этим прежде всего обмясняется тот факт, что за последнее время появились многочисленные работы /6,7,8,12,15,16/, в которых исследуют существование, единственности, устойчивость и многие другие свойства решений интегро-дифференциальных уравнений, Обзор исследований интегро-дифференциальных уравнений дан в / 6,7,15,45/.

Сравнительно недавно, но весьма интенсивно, стал развиваться классический метод усреднения академика Н.Н. Боголюбова для интегро-дифференциальных уравнений / 12, 45/ и в настоящее время уже получен ряд результатов как в направлении разработки алгоритма построения усредненных уравнений, так и в направлении установления различных теорем. Полученные алгоритмы уже находят эффективное применение в различных задачах механики сплошной среды, в частности, в теории вязко-упругих систем -/12 /, в теории колебаний тел, имеющих полости, заполнения жидкостью / 16 / и т.п.

На возможность исследования динамики вязко-упругих систем классическим методом усреднения академика Н.Н. Боголюбова указал А.А. Ильюшин / 12 /. Им же была показана принципиальная возможность сведения определенного класса таких задач к системам интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром.

Приведем конкретную прикладную задачу, приводящуюся к ин~ тегро-дифференциальным уравнениям и ее решении с методом усреднения .

Колебание физического маятника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, описывается интегро-дифференциальным уравнением следующего вида / 16 /: после введение в это уравнение новых переменных (Z и / согласно формулам

Qz Oi o&lj-t-lsinY, Qz-OLSirff+lcjtff и полученную систему усредняя пор , получаем систему уравнений первого приближения

Uztfk'.^^M-i)

Нетрудно видеть, что для границы области неустойчивости получаем соотношение (Xz£ji J L2E)Z £* - Х'

Это уравнение гиперболы с ассимптомами cXz !& / - Е | Оно и характеризует смещение границы области неустойчивости и величину смещения в зависимости от вязкости жидкости.

Ццею интегрального многообразия выдвинул академик Н.Н. Боголюбов а своей монографии /I/. Он доказал при достаточно общих условиях классическую теорему о существовании и свойствах интегрального многообразия для уравнений = £ Xc-t'

Эта классическая теорема академика Н.Н. Боголюбова стала отправной точкой для дальнейшего развития метода интегральных многообразий. Этот классический метод интегральных многообразий академика Н.Н. Боголюбова является одним из новых и эффективных методов качественной теории дифференциальных уравнений.

Этот метод представляет собой некоторый новый подход в качественной теории дифференциальных уравнений. Качественное исследование решений системы значительно упрощается, если они лежат на многообразии меньшего числа измерений, чем исходное фазовое пространство. Особенно это относится к случаю устойчивых интегральных многообразий.

Интегральные многообразия позволяют также достаточно полно исследовать окрестности стационарных решений рассматриваемых уравнений в критических случаях.

Этот метод дает возможность строго обосновать так называемый одночастотный метод в нелинейной механике и значительно расширить область его применения»

Интегральные многообразия являются образованиями более стабильными по отношению к малым изменениям правых частей уравнений по сравнению с индивидуальными решениями.

Метод интегральных многообразий является самостоятельным и эффективным направлением в теории дифференциальных уравнений, позволяющих получать не только качественные, но и количественные результаты при исследовании достаточно сложных динамических систем.

Большой вклад внесли в развитие метода интегральных многообразий ученые в США - С. Дилиберто, В. Кайнер, А. Келли, Н. Ле-винсон, В. Лауц, М. Маркус, Р. Сакер, Г. Хаффовд, Хеил, Н. Чефи и др.; в Румынии - А. Халанай; в Японии - Т. Иошизава, М. Урабе; в Чехословакии - fi. Курцвеиль.

Большой вклад внесли в развитие и применение классического метода интегральных многообразий академика Н.Н. Боголюбова ученые Советского Союза, среди них большой интерес заслуживают исследования О.Б. Лыковой, Ю.А. Митропольского, В.А. Плисса, A.M. Самойленко и др.

Обстоятельный обзор о методе интегральных многообразий дан в /25/.

Обобщить классические теоремы обоснования метода усреднения академика Н.Н. Боголюбова на случай нелинейных интегро-дифференциальных уравнений как в евклидовом, так и в бесконечно мерных функциональных пространствах представляет цель и содержание настоящей диссертации.

Результаты диссертации являются новыми строго математически обоснованными, они имеют теоретический характер, могут использоваться в исследованиях, проводимых в Московском, Киевском. Черновицком государственных университетах, Институте кибернетики с вычислительным центром АН З^ССР.

Результаты работы докладывались на семинаре по нелинейным колебаниям и математической физике Института математики АН УССР, руководимом академиком АН УССР Ю.А. Митропольским, а также на семинаре дифференциальных уравнений в Киевском гос. университете, руководимом чл. корр. АН УССР проф. A.M. Самойленко.

Дадим краткую характеристику диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается нелинейное ин~ тегро-дифференциальное уравнение следующего вида

При определенных условиях исследуется интегральное многообразие для рассматриваемых уравнений в бесконечномерном банаховом пространстве.

Во второй главе диссертации рассматривается нелинейное ин-тегро-дифференциальное уравнение не разрешенное относительно производной следующего вида im> occz))ds) и соответствующее ему усредненное уравнение о и соответствующее усредненное уравнение и а определенных условиях исследуется интегральное многообразие для рассматриваемого уравнения в п-мерном евклидовом пространстве.

В третьей главе диссертации рассматривается нелинейное ин-тЕгро-дифференциальное уравнение следующего веда z ъ Xfc' xwJja, ^xcvHs) и соответствующее усредненное уравнение jcz £ X, CxC*>J и при определенных условиях исследуется почти периодическое решение для рассматриваемого уравнения в бесконечномерном координатном гильбертовом пространстве.

В четвертой главе находится при определенных условиях приближенное решение нелинейного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа

U^ - а* и ус PC — •/■ <£ fC^j Х- у U. U.'

Л6 с методом, который представляет некоторое сочетание метода £урье с методом усреднения Н.Н. Боголюбова.

Результаты диссертации отражены в публикациях /20,21,22,

23/. Si—

Заключение

Полученные результаты в диссертации являются новыми, обоснованными и обобщают классические теоремы Н.Н. Боголюбова о существовании и свойствах интегрального многообразия и о существовании и свойствах почти периодического решения на новый класс уравнений, а также в диссертации классический метод усреднения Н.Н. Боголюбова применен к решению интегро-дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа.

1. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в ма-ге маги ческой физике, Мз-во АН УССР, /1945/.

2. Боголюбов Н.Н. Аналитические методы теории нелинейных Митропольский Ю.А. колебаний. Тр. 1-го Всесоюзного с"ездапо теоретической и прикладной механике, Из-во АН СССР, М., /1962/, 25-35.

3. Боголюбов Н.Н, Метод интегральных многообразий в нелиней-Мигропольский Ю.А.ной механике. Тр. междунар.симп. по нелинейным колебаниям, I, Из-во АН УССР, К. /1963/, 93-154.

4. Боголюбов Н.Н. Метод интегральных многообразий в теории Мигропольский Ю.А.дифференциальных уравнений. Тр.1У Всесоюзн.маг. с"езда, 2,"Наука". Л. /1964/, 432-437/.

5. Боголюбов Н.Н. О квазипериодических решениях в задачах Мигродольский Ю.А.нелинейной механики. Тр. первой летнеймагем. школы, Из-во "Науюва цумка", К;, /1964/.

6. О некогорых задачах теории ингегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе /1957/. Ингегро-дифференциальные уравнения, Итоги науки Институт научной информации АН СССР, М. /1964/.

7. Об одном интегро-дифференциальном уравнении. Известия АН СССР, сер. математика, 21, » I, /1957/. 3-52.6. Быков Я.В.7. Вайнберг М.М.8. Владимиров B.C.9, Боло сое В.М.10. Задирака К.В.1.. Задирака К.В,12. Ильюшин А.А. Победря Б.Е.

8. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений, УМН, т.17, вып. 6 /1962/

9. Об интегральном многообразии системы дифференциальных уравнений, содержащей малыйпараметр, ДАН СССР, 115, № 4 /1957/,646-649.

10. Исследование нерегулярно возмущенных дифференциальных систем методом интегральных многообразий. Автореф. дисс. доктора физико-математических наук, Из-во АН УССР, К. /1966/

11. Основы математической теории динамики вязкой упругости, М. Из-во "Наука" /1970/,

12. Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику. Из-во Боголюбов Н.Н. АН УССР, К. /1937/.

13. Кодцингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных урав-Левинсон Н. нений. ИЛ.М. /1958/.

14. Кривошеин Л.Е. Исследования интегро-дифференциальныхуравнений в Киргизском университете. Материалы 10-ой научной конференции проф. преп. состава физ. мат. ф-та, Фрунзе /1961/, II—IB.

15. Краснощекое П.С.Малые колебания твердого тела, имеющегополости заполнение вязкой жидкостью. Численные методы решения задач математической физики."Наука" /1966/, 258-266.

16. Ляцунов A.M. Общая задача об устойчивости движения,1. Гостехиздат /1950/.18. Лыкова О.Б.19. Массера X., Шеффар I.20. Маликидзе Т.В.21. Маликидзе Т.В.22. Маликидзе Т.В.

17. О существовании и поведении интегральных многообразий для систем нелинейных дифференциальных уравнений содержащих малый параметр, Автореферат дис. канд. физ. -мат. наук, Институт маг-ки, АН УССР, К. /1957/.

18. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства, Из-во "Мир", М., /1970/.

19. Об усреднении систем нелинейных интагро-дифференциальных уравнений не разрешенных относительно производной на бесконечном интервале, УМЕ, № 5,/1970/, ,692 694.

20. О применении метода усреднения Н.Н. Боголюбова к решению нелинейного ингегро-дифферанциального уравнения с частыми производными гиперболического типа, УМЖ, № 2, /1971/, 257 261.23. Меликидзв Т.В.24. МитропольскиЙ Ю.А.

21. Митропольский Ю.А. Лыкова О.Б.

22. Митропольский Ю.А. Мосеенков Б.И.

23. Митропольский Ю.А. Филатов А.Н.28. Огябалов П.М.29. Попов Е.П.

24. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б.31. Романовский В.И.

25. Лекции по применению ассимпготических методов к решению уравнении с частными производными, Институг математики АН УССР, К. /1967/.

26. Усреднение в интегро-дифференциальных и интегральных уравнений, УЖ, $ I /1972/, 30 48.

27. О распространении вязко-пластического течения с учетом упрочнения для случая вращения и сдвига. ПММ, 5, вып. I /1964/.

28. Динамика систем автоматического регулирования ГТТИ /1954/. Лекцти по функциональному анализу, Из-во ИЛ /1954/.

29. Об одном интегро-дифференциальном уравнении. Тр. САГУ, серия 5-я, математика, вып. 12 /1934/.32. Розовский М.И.33. Розовский М.И.34. Розовский М.И.35. Розовский М.И.36. Розовский М.И.37. Розовский М.И.38. Самойленко A.M.