Почти многопериодические решения систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Существование и единственность почти многопериодического решения систем интегро-дифференциальных уравнений. II

§1. Характеристическая функция линеаризованного дифференциального оператора и матрицант соответствующей системы. II

§2. Существование почти многопериодического решения квазилинейной интегро-дифференциальной системы.

§3. Существование почти многопериодического решения, имеющее почти многопериодическую частную производную.

§4. Почти многопериодическое решение сингулярновозмущенной системы.

§5. Системы интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа.

Глава П. Голоморфность почти многопериодических решений относительно малого параметра.

§6. Голоморфное почти многопериодическое решение квазилинейной системы.

§7. Голоморфность решения сингулярно-возмущенной системы.

§8. Голоморфность решения систем гиперболического типа.

Глава Ш. Устойчивость почти многопериодических решений

§9. Устойчивость почти многопериодического решения квазилинейной системы.

§10. Устойчивость почти многопериодического решения системы гиперболического типа.

§11. Устойчивость почти многопериодического решения систем с волновым оператором.«

В теории колебаний исключительно большое теоретическое и практическое значение имеет изучение одномерных и многомерных периодических также почти периодических колебаний. Саше разнообразные задачи механики, физики и техники сводятся к изучению таких колебательных решений систем дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных.

Классическая теория линейных систем с периодическими коэффициентами и общая теория нелинейных периодических систем была создана в работах А.М.Ляпунова /34/ и А.Пуанкаре /50/.

Изучение реальных физических систем и создание общей теории почти периодических функций Г.Болем /8/, Е. Эсклангоном /21/, Г.Бором /9/, С.Бохнером /10/, Б.М.Левитаном /32/ и другими привело к исследованию современных актуальных задач теории почти периодических колебаний, основы которых были разработаны в фундаментальных трудах Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского, А.М.Самойленко /6, 7, 27, 55/ и их учеников.

Дальнейшему развитию и обобщению теории периодических и почти периодических решений систем дифференциальных уравнений и их методов (методов Ляпунова-Пуанкаре, метода усреднений, метода интегральных многообразий и др.) посвящены работы советских ученых В.И.Арнольда /I/, Е.А.Барбашина /5/, Н.Н.Боголюбова /6, 7/, М.И.Иманалиева /12, 24/, Я.В.Быкова /II/, К.Г.Валеева /13/, К.Г.Валеева и О.А.Жаутыкова /14/, Е.А.Гребеникова и Ю.А.Рябова /18/, Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна /19/, Н.П.Еругина /20/, В.И.Зубова /23/, М.А.Красносельскаго /25, 26/, Б.М.Левитана и В.В.Жикова /31/, И.Г.Малкина /35/, В.И.Мшшюнщикова /37, 38/, Ю.А.Мит-ропольского /39, 40/, Ю. А.Митрополь ского и Д. И. Мартышка /41/, Ю.И.Наймарка /45/, В.И.Плисса /48/, А.М.Самойленко /55/, В.М.Старшинского и В.А.Якубовича /68/, В.Х.Харасахала /62/, С.Н.Шиманова /66/ и других, а также зарубежных ученых К.А.Зигеля /22/, Х.Мас-серы и Х.Шеффера /36/, Ю.Мозера /42/, М.Роз о /52/, А.Халаная и Д.Векслера /61/, Т.Хаяси /64/, Ф.Хартмана /63/, Дж.Хеила /65/ и других.

Многие математические модели, ошсывающие колебательные процессы, происходящие в сплошной среде, приводят к нелинейным гиперболическим уравнениям в частных производных или их системам, изучение общих свойств и методов решения которых представляет собой быстро развивающуюся область современной математики. Свидетельством тому служат появление крупных монографий и отдельных работ Л.Берса, Ф.Джона и М.Шехтера /4/, Р.Куранта /28/, П.Лакса /30/, Ю.А.Митропсльского и Б.И.Мосеенкова /40/, В.Л.Рождественского и Н.Н.Яненко /51/ и других.

В начале 60-х годов В.Х.Харасахал /62/ и его ученики многие вопросы, связанные с системами обыкновенных дифференциальных уравнений с квазипериодическими по £ правыми частями свели к изучению систем уравнений в частных производных где - периодическая вектор-функция, которая обращается по диагонали Ш±= и2 = . = Цт = ^ пространства переменных а1, а2, Ыт в вектор-функцию На указанной диагонали периодическое решение системы (2), если оно существует, порождает квазипериодическое решение системы (I).

Путем перехода от систем обыкновенных дифференциальных уравнений к специальным системам уравнений в частных производных подучила ряд результатов В, И. Зубов /23/, М.Роз о /53/, Ф.Накаима /44/ и другие.

За последнее время значительно возрос интерес к проблеме периодических по времени и по пространственным переменным решений систем уравнений в частных производных. Изучению такой проблемы посвящены работы А.К.Азиза, М.С.Хорака, А.М.Мейерса /3, 3'/, Д.Детровану /47/, Ж.А.Сартабанова /56/, М.Б.Тулегеновой /59/, Д.У. Умбетжанова /60/, Дж.Хейла /65/, ЛЛезари /66/, И.И.Шмулева/68/.

В работах Д.У,Умбетжанова /60, 59/ рассматривались в основном многопериодические и почти многопериодические решения систем дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих различные малые параметры. Причем наличие малых параметров не только указывает на малость имеющихся возмущающих членов, но и позволяет компактно изложить основные результаты и положения. Сведения о почти многопериодической функции и ее свойствах можно найти в указанной работе /60/.

Основным объектом его исследований были системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных вида а.^ос^^р^^х-ь/С?^^^^, (3) где у> = ), X = (ос±, .,зсп), С) = (С^, .,<3П ) вектрры; , У , ЭС , 6 ) - скалярные функции; Р (-Ь - матрица размерности П * П ; - £ , ул - положительные параметры.

Для исследования почти многопериодических решений таких систем в настоящее время им создан специальный метод и получен ряд результатов.

Следует отметить, что почти многопериодическое решение (сокращенно - п.м.п.решение) системы с одинаковой главной частью (3) является интегральным многообразием в смысле Богсшюбова-Митроподь-ского для соответствующих эквивалентных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Н У = ак(1,У>,Х,б) (к = 77т],

4) аналитическое представление которого обладает свойством почти периодичности не только по Ь , но и по координатам вектора ¥ .

В данной работе, состоящей из трех глав, рассматриваются в основном вопросы существования и единственности почти многопериодических решений квазилинейных систем интегро-дифферендиальных уравнений в частных производных первого порядка. Выясняются условия голоморфности таких решений по малому параметру, устойчивости по временной переменной.

В первой главе рассматриваются вопросы существования и единственности п.м.п. решения систем с одинаковой главной частью вида

А**5!=

5)

- ®о

-ОО 9

Х-, ? - т - векторы; X .¿^"ИГ- п - векторы; Р ( 'Ь , ¥ , £) - мат-рща размерности П*П ;^>0 , £>0 - параметры; - положительные постоянные.

Выяснены условия существования почти многопериодической частной цроизводной по координатам вектора у> от п.м.п. решения системы вида Эх^ у „ /4. ф к= I

4 а^^^Ц^Рад^^^^^^);/) • (6)

7)

8)

Также рассмотрены вопросы существования и единственности п.м.п. решений сингулярно-возмущенной системы системы уравнений гиперболического типа сс = р4 Ьрмхууг^ъхщя),}), и системы уравнений первого порядка вида где % =-[х;у]- - п +1 -мерный вектор.

При этом схема исследования следующая: а) рассматривается класс(А,^ ) функций | ("Ь ) из С^Ч^*"^ » Д*м.п. оГ1 -векгор-почти периодом (Т,^) = оУ и удовлетворяющая условиям б) Предполагается существование матрицы типа ГринаХДЧ'Ь/Р)

9) для линеаризованной системы удовлетворяющий условиям не1фитичности. Здесь

Ю*=Щ +1ак[г,*, 1 (1 и{(),£] |рк, и(«=/аса^^-са^^е'0 ж СО в) Дня матрицы Х^ (Ь , V ) и характеристической функции оператора при достаточно малых значениях 5 устанавливаются оценки, вытекающие из условий, налагаемые на вектор-функции

0С,и,6 ) Д (^Д ) и матрицуР ^ ,4> ,Х). г) Вводится отображение А ♦ (—* (т по формуле оо ев

Показывается, что существует ^>0 такое, что цри0<^<^ выполняются условия известной теоремы Каччиополи-Банаха /39/ в классе )• Тем самым в этом классе существует п.м.п. решение системы (5) цри условии 0< £ < £ , <^ •

Вторая глава посвящена вопросу существования голоморфного почти многопериодического решения по малому параметру ^ системы с одинаковой главной частью

4 * = б.\ (Ю)

-оо ? где 4Х = Я- + |К№)+еб«(1Лх,8;+8а(х)]|Рк (и)

Получена оценка снизу радиуса сходимости ряда, представляющего собой голоморфное решение системы (10).

Такие же результаты получены для систем сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравнений и систем гиперболического типа с дифференциальными операторами вида (II).

Б третьей главе рассматриваются вопросы устойчивости п.м.п. решений по временной переменной системы с одинаковой главной частью вида

Этот же результат распространен душ некоторых систем гиперболического типа.

Приведем определение п.м.п. функции из СбО]. Рассмотрим ш-мерное вещественное пространство : векторов = . -Дт)» в К0Т0Р0М норма определена следующим образом

ИИ = зиР|ч>к|

Пусть Фс - фиксированный вектор &. Множество всех векторов Г. удовлетворяющих условию назовем Ш. - мерным шаром в Я с центром в ^ и радиуса £ и обозначим его через

Вектор-функцию 1(ф), определенную в Я™", назовем многопериодической или иг -периодической, если она периодична по вектору у с вектор-периодом Ш= (иТ^и^,. ,.>итт). Для такой вектор-функции при любом Фе^имеет место равенство где<^иГ = - т -вектор; ^ = целочисленный вектор.

Множество^} -т -мерных векторов называется относительно плотным в К , если существует число ¿0 такое, что любой шар ) содержит хотя бы один вектор этого множества. Вектор ., 173 ) назовем 71 —вектор—почти периодом или ^ -смещением функции % (43), если при любом ^бР имеет место неравенство

Вектор-функцию | (¥ ) назовем почти многопериодической, если для каждого ^>0 существует относительно плотное в множество ее7 -вектор-почти периодов*1Л

Очевидно, всякая непрерывная многопериодическая функция является почти многопериодической. Примерами многопериодической и почти многопериодической функций являются соответственно

1. Арнольд В,И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической небесной механике, - УМН 18, № 6 (1963), с.92-192.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний.М.: Физматгиз, 1959. ,

3. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

4. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969.

5. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.

6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Самоиленко А.М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1969.

7. Боль П. Избранные труды. Рига, 1961.

8. Бор Г. Почти периодические функции. М.: ГТТИ, 1934.10 fóockwí Ibet-Ltcofl*. яиъ Т&ел.с'е оел. jtaétye.bCodUcAen. . I .пеъ у-оъсаМе.к,. M^L st C^zelc. W-W.

9. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифферен-циальных уравнений. Фрунзе, 1957.

10. Валеев К.Г. 0 решении и характеристических показателях решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, -г I3MM, i960, 24, J£ 4, с. 585-602.

11. Валеев К.Г., Жаутыков O.A. Бесконечные системы дииферен-циальных уравнений. Алма-Ата, 1974.

12. Васильева А. Асимптотика решений некоторых задач обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром яря старших производных.-УМН,1963, т.ХУШ, вып.З (Ш), с.15-86.

13. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод усреднения в теории нелинейных колебаний. М.: Изд. МГУ, 1971.

14. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

15. Гребеников Е.А., Рявов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971.

16. Далецкий Ю.А., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

17. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Наука БССР, 1963.21 .^¿лп^ок- ß. jfouvzlU* Sua. £иcicotbOb yuatye^Lodc^ ■ ** J

18. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: Ш, 1959.

19. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа,1973.

20. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем. Фрунзе: Илим, 1974.

21. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М,: Наука, 1966.

22. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

23. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев: Наука УССР, 1937.

24. КурантР. Уравнения с частными производными. М.,1964.

25. Курцвейль Я. Инвариантные многообразия дифференциальных систем. ДУ, 1968, т.4, В 5, с.685-797.30. Ьсис Р.Я.Яцре*М* atlaw*. c^mnt. /W jfrt .малга.^009^53^66.

26. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения.-М.: Изд.МГУ, 1978.

27. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М.:ГИТТЛ,1953.

28. Лика Д.К., Рябов Ю.А. Методы итерации и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний. Кишинев, 1974.

29. Ляпунов A.M.' Общая задача об устойчивости движения. -Л.-М.: ОНТИ, 1935.

30. Малкин И.Г. 0 почти периодических решениях нелинейных автономных систем. ДММ, 1964, т.18, вып.6.

31. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

32. Миллионщиков В.М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. ДУ, 1968, т.4, № 3, с.391-396.

33. Миллионщиков В.М. О типичности почти приводимых систем с почти периодическими коэффициентами. ДУ, 1978, т. 14, № 4,с.634-636.

34. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.

35. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. Киев: Вища школа, 1976.

36. Митропояьский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа, 1976.

37. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. УМН, 1968, т.23, $ 4.

38. Мышкис А.Д., Шиманов С.Н., Эльсгольц Л.Э. Устойчивость и колебания систем с запаздыванием: Тр. международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т.1. Киев, 1968.

39. ЛГлАа^/та. &оыЫглсе. о£ фиабС- Рел^оЫ^Ги*А<и-а£<у йкгж*/- *I

40. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

41. Персидский К. П. Об одной счетной системе уравнений с частными производными. ПММ, 1950, т.14, № II, с.23-44.47. ре-д^огПа./гсс. ¿0. Реъсеои'с. £о£еуО>оо/с.4 -Рс'ъб-Ь Жы ЯшеъЯо&с. Зуб-бет* <и>л*а.ииу ^ втаг1

42. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.,1964.

43. Проскуряков А. Т. Сравнение периодических решений квазилинейных систем, построенных методом Пуанкаре и методом Крылова-Боголюбова. ЕММ, 1964, т.4, вып.28.

44. Пуанкаре А. 0 кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

45. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1968.

46. Розо М. Нелинейнве колебания и теория устойчивости. -М.: Наука, 1971. л

47. Ыиш М- Ь ^ pezc^'fuei. С. г. Лсас/. Sei.^ А ¿оз-$об.

48. Рябов Ю.А. Об оценке области применимости метода малого параметра в задачах теории нелинейных колебаний: Тр. международного симпозиума по нелинейным колебаниям. T.I. Киев, 1968.

49. Самойленко A.M., Кулик В.Л. К вопросу о существовании функции Грина задачи об инвариантном торе. УМЖ, 1975, т.27, ЖЗ.

50. Сартабанов Ж.А., Умбетжанов Д.У. 0 построении многопериодического решения одной счетной системы уравнений с частными цроизводными: Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1972, $ 5,с.61-66.

51. Соболев С.А. 0 почти-периодичности решений волнового уравнения. ДАН СССР, 1948, т.XI, 15 8, 9.

52. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений, содержащих параметры: Математ. сб., I960, вып.27 (68), с.147-156.

53. Тулегенова М. Б., Умбетжанов Д.У. О многопериодических решениях одной системы уравнений в частных производных: Изв. АН КазССР, сер. физ.-мат., В 3, 1973, с.57-61.

54. Умбетжанов Д.У. Почти многопериодические решения дифференциальных уравнений в частных производных. Алма-Ата: Наука, 1979.

55. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсивных систем. М.: Мир, 1971.

56. Харасахал В.Х. Почти периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнении. Алма-Ата: Наука, 1970.

57. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальных уравнения. -М.: Мир, 1970.

58. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. -М.: Мир, 1968.

59. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.

60. Чезари Л. Асимптотические поведения и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1966.

61. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием. ЛММ, 1959, т.23, вып.5, с.836-844.

62. Шмулев И.И. Почти периодические и периодические решения задачи с косой производной для параболических уравнений. ДУ, 5, J* 12 (1963).

63. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. -М.: Наука, 1972.

64. Умбетжанов Д.У., Бержанов А.Б. 0 голоморфном почти многопериодическом решении одного интегро-дифференциального уравнения в частных производных- Изв. АН КазССР, сер. физ.-мат., 5, 1977, с.61-66.

65. Бержанов А.Б. 0 построении голоморфного почти многопериодического решения одной системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения. - Алма-Ата: Изд. КазГУ, 1978, с. 14-19.

66. Бержанов А.Б. Об устойчивости почти многопериодического решения одной гиперболической системы дифференциальных уравнений в частных производных. В кн.: Дифференциальные уравнения. -Алма-Ата: Изд. КазШ, 1981, с. 58-65.

67. Бержанов А.Б. О почти многопериодическом решении одной сингулярно-возмущенной системы интегро-дифференциаяьных уравнений в частных производных. В кн.: Дифференциальные уравнения и задачи прикладного анализа. - Алма-Ата, Изд. КазГУ, 1982, с.27-34.

68. Бержанов А.Б., Умбетжанов Д.У. О существовании почти многопериодического решения одной системы интегро-дифференциаль-ных уравнений в частных производных: Изв. АН КазССР, сер. физ.-мат., № 5, 1983, с.11-15.