Почти-периодические решения дифференциальных уравнений гиперболического и составного типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Почти-дериодические по t решения дифференциальных. уравнений с частным производными. $ 1.1. Случаи факторизованного^ дифференциального уравнения с зависящими от t коэффициентами в классе функции, периодических по х

§ 1.2. Случай линеиной системы дифференциальных: уравнении в классе функции, периодических по % $1.3. Почти-периодические по всем переменным решения квазилинейной системы дифференциальных уравнений

§1.4. Почти-периодические решения дифференциально-операторного уравнения 2 К -го порядка.

Глава 2. Некоторые неклассические задачи для гиперболических по Петровскому уравнении в классе функции, почти-периодических по X

§ 2.1. .Аналог многоточечной задачи. $ 2.2. Задача типа задачи Дирихле.

§ 2.3. Задача с нелокальными условиями.

Наряду с часто изучаемыми свойствами, такими как гладкость и и ограниченность решений дифференциальных уравнений, внимание исследователей привлекают и другие полезнее свойства, например, свойство периодичности или почти-периодичности. В значительной части литературы, посвященной почти-периодическим решениям дифференциальных уравнений и систем, исследуются условия, при которых из ограниченности или компактности решения вытекает его почти-периодичность. Первые теоремы о почти-периодичности ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений были доказаны Фа-варом [69] . Аналоги этих теорем о решениях уравнения Пуассона, являющихся почти-периодическими функциями многих переменных,впервые доказаны в работе ¡80]. Для общих линейных систем дифференциальных уравнений в частных цроизводных теоремы Фавара получены в ¡791 • ^ работе [62] доказана теорема о том, что обратимость ги-поэллиптических операторов в пространстве почти-периодических функций Безиковича эквивалентна их обратимости в IЖ).

В [32\ подобное утверждение установлено для широкого класса систем дифференциальных уравнений первого порядка, включающего также гиперболические.

Бохнер и Нейман ( 1935 г. ) рассмотрели в гильбертовом пространстве уравнение л.»"-0 с коммутирующими нормальными операторами £ А к]- и показали, что всякое его компактное решение почти-периодично.

С.Л.Соболев £50] применил один вариант теоремы Бохнера - Неймала к исследованию однородного волнового уравнения в конечной области и доказал, что всякое его решение - почти-периодическая функция в метрике интеграла энергии.

В работе [16] исследуется вопрос о почти-периодичности в метрике интеграла энергии решения неоднородного волнового уравнения где X 6 1Р\ , ^ при и при каждом фиксированном X почти-периодическая по Случай, когда ОС меняется в ограниченной области, а не во всем пространстве, рассмотрел Америо ( 1960 г. ). В работе [64] изучается вопрос о почти-периодичности ограниченных и компактных решений задачи А дк(х) ЗЫ (I ы Яи, ) + где ак(эс) (и ~ ЦП) - вещественные функции ?

П; П.

- почти-периодическая в

М»).

- ограниченное открытое связное множество евклидова пространства К. с гладкой границей Г . Работы Жикова В.В. и Мишнаевского П.А. ( см. ¡23], [б4]и библиографию там ), в которых эта проблема исследуется методами функционального анализа, позволяют охватить те гиперболические уравнения, для которых смешанные цроизводные или отсутствуют, или же они имеются, но с малыми коэффициентами.

Имеется также ряд работ, в которых изучаются условия существования по крайней мере одного почти-периодического по всем или части переменных решения уравнения. Так, в работе [21] исследуется вопрос о существовании почти-периодического по времени решения гиперболических уравнений

ЗУ ыг " а л* ц. к с правыми частями, почти-периодическими по , при граничном условии и(о}1) = и,(аг71) - 0.

М.Ямагучи [74] рассмотрел задачу

Ли.* 0,(^*0. где А - линейный самосопряженный, положительно определенный оператЬр в вещественном гильбертовом пространстве Н « и нашел условие существования из -квазипериодического решения задачи, когда частотный базис СО сильно несоизмерим:

3 К>о, m. . . -77 > tn + 1 такие, что чСркиГ' vur\{(o)l, |t! = |.|ii|. J

В работе £26] рассматривается вопрос о существовании и гладкости почти-периодического по решения волнового уравнения, возмущенного слабой нелинейностью, ин - иха. + £ О, удовлетворяющего краевым условиям где Р функция, почти-периодическая по "Ь равномерно относительно X и И , - малый параметр; дается также итерационный процесс построения такого решения.

В работе [25]доказываются теоремы существования и единственности квазипериодического по "Ь и равного нулю на границе области решения гиперболического уравнения с затуханием и с малой квазипериодической нелинейностью; построен итерационный процесс для нахождения этого решения, а также доказана асимптотическая устойчивость решения и исследована его гладкость.

Почти-периодические решения гиперболических уравнений изучаются также в £32], [34] , [бб], [7б] и др.

В работе [7Г[ получены условия периодичности и квазипериодичности решения смешанной задачи для волнового уравнения с прямолинейным препятствием Ц» Ц , ЭС^ ^ > 0.

Много работ посвящено почти-периодическим решениям эллиптических и параболических уравнений и систем, например, [ц] , [17] , [20], 135], 149], [52], Щ, [78], [81].

В вышеперечисленных, как и в ряде других работ, описываются, как правило, регулярные случаи, т.е. на уравнения и краевые условия накладываются ограничения, исключающие возможность появления малых знаменателей; лишь в тех работах, где изучаются квазипериодические решения, присутствуют малые знаменатели вида где 00 € К ^ I € 2 .

В данной диссертационной работе исследуются в основном задачи, некорректные относительно коэффициентов уравнений, параметров областей и спектральных значений почти-периодических в правых частях уравнений или условий задачи, а для малых знаменателей, часть которых имеет сложную нелинейную конструкцию, возникающих при решении задач, с помощью метрической теории диофантовых приближений доказываются оценки снизу. Почти-периодичность, если не оговорено иноеу понимается в смысле Бора или Бохнера.

В главе I диссертационной работы исследуются условия существования и единственности почти-периодических по Ь решений некоторых дифференциальных уравнений и систем составного типа.

В §1.1 рассматривается дифференциальное уравнение

Ч ^ Р п.

1,1 ^ л, , а * сопМ , ^ $р =5, где 1°Ч г 1 <*- Î7Î

Периодическая задача для уравнений такого вида в случае t~ Î, /г) исследовалась в работах [Зб] , ¡37].

В данной работе исследуются решения (I.I.I), почти-периодические по ъ и периодические по î,?).

Для этого вводятся функциональные пространства: через обозначается замыкание множества тригонометрических полиномов, почти-периодических по £ и Т^ -периодических по ^г по норме щп Х = тт sup х otJ / ; где ае»^.^, КР-{х.— Тг через - замыкание этого же множества тригоноа метрических полиномов по норме

Цг где (>о>07 Ьц^О^ --^р) - полином с отличным от ноля свободным членом.

Используются также следующие обозначения: г

ЩЫЩ = ^(гт)'[ие(^сО:+о (¿ = 1/1);

Мт « (£ к,)Г; с« " Й(€"«-) %

7=0

Получена следующая теорема существования.

Теорема 1.1.1. Пусть существуют константы С > О и ^ £ Н такие, что п

1.1.10)

АШЛ с М и пусть 1р> м '

1г/ м где о-я* дхр/ г<1

3*,а**' для всех Г таких, что /Г/^. ^ .

Тогда существует решение уравнения (1.1.1) Ц Ц} ос) € У/г^х, где X] ,

Дальше в §1.1 доказывается теорема о выполнимости оценки (1.1.10). Л

Теорема 1.1.2. При ^ >Пр оценка (1.1.10) выполняется для почти всех ( в смысле меры Лебега в Ш ) векторов Щ = с^^ь} , где ^ а1 количество компонент ^-оС

Для доказательства этой, а также других теоретико-числовых теорем, полученных в работе, используются леммы 1.1.1 и 1.1.2, приведенные в §1.1.

В работах [38-403 получены условия существования и единственности периодических решений линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами.

В §1.2 диссертации в области - * £2р » где2?рр -мерный тор, полученный отождествлением противоположных граней параллелепипеда ^Х : О £ ХГ$ТГ , í>pJ 9 рассматривается общая (независимо от типа ) система дифференциальных уравнений д^и^ .¿а к)"*1*'*)

3+а1 Т^Т 1 ЧЬ дх< дХр/ пи х), и*1'™-)* ^гча-2л> где Pjr > ^ »• •' * ) - полиномы с постоянными коэффициентами степени не выше - 1 по ^ ; ^ з:] (J = 4, т) — почти-периодические функции переменной Ь равномерно относительно ; исследуется задача об отыскании почти-периодических по Ь решений системы (1.2.1).

Через М ~ { } ¿--о** обозначаем объединение спектров функций ос^ ^у - Пг} , и предполагаем, что существуют (!>> 0 и С0>0 такие, что г| > С„ (1.2.3)

Обозначаем также ~ ^^ ¡¡(^^¿^ ¿уг

Сформулированы и доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.2.1. Для единственности почти-периодического по Г спектром 1 I решения из с чад , где £ = пи&Ж £ со fyrf/'^r-'tbp)J , системы (I.2.I) необходимо и достаточно, чтобы а-/г,к,Т)фО, ке Z\ ayte И . (1.2.6)

Теорема 1.2.2. Пусть существует целое ^ такое, что для р всех векторов

Д (й/^К, ТЛ +1К1)'Г, С< (1.2.9) и пусть €С1(аР) , гд+

Тогда существует почти-периодическое по решение системы

1.2.1) И(1,х) 6 СЧ^ •

Теорема 1.2.3. При + [ £ f 0 оценка (1.2.9) выпР+* полняется для почти всех ( в смысле меры Лебега в |/\ ) векторов , Тру) с положительными компонентами.

Множества значений , при которых бесконечно часто выполняется неравенство, противоположное (1.2.9), при различных

У % [ ф в силу теоремы 1.2.3 имеют меру ноль.

Чтобы различать эти множества, применяется понятие размерности Хаусдорфа [5].

Теорема 1.2.4. Если ¡{> &((>+[ г ^ ) , то неравенство, противоположное (1.2.9), имеет бесконечное число решений из для множества чисел & , размерность Хаус

М*2Р дорфа которого не превосходит + +

В¡24] с помощью теоремы об обратной функции установлено существование периодических решений для некоторых нелинейных систем первого порядка. Для уравнений высшего порядка этот метод обобщен в работе [473. Ограниченные и почти-периодические решения нелинейных эллиптических уравнений исследовались в ¡49].

В диссертационной.работе в §1.3 часть упомянутых результатов переносится на случай решений, почти-периодических ( в смысле Безиковича ) по всем переменным для квазилинейной, вообще говоря, неэллиптической, системы дифференциальных уравнений с малым параметром. ^

В начале параграфа вводятся пространства V ( Г ~ 0, как замыкание множества тригонометрических полиномов V почти-периодических по каждому 1~ 07р | по норме

Р. п

1* где ас*(осог.чхр) д ; Кт ^/эс'/^^Т,

1*0 нх.

I - 0, р] . через У Г

Через У обозначается пространство вектор-функций V-(V}? . , ^т) таких, что € I/ , j - /7г. и

- 11*11 г в ^ ИМуг ■

Для системы дифференциальных уравнений к/ у. (х/ , = (1.з.3) р . т. где , "Г-^ ш ставится задача об отыскания решения системы (1.3.3) в шкале

Тг5 пространств и

Предполагается, что множество спектральных значений функций { ; (х) ( / =

М К/*,)} удовлетворяет условию I * , /ко Ф С0, (1.3.5) р где /^//^=.¿1 /V/ , вектор с положительными компонентами.

В случае = 0 получены теоремы 1.3.1, 1.3.£ и 1.3.3, аналогичные, соответственно, теоремам 1.2.1, 1.2.2 и 1.2.3.

Для случая 6 Ф 0 доказана теорема. Теорема 1.3.4. Пусть выполнены следующие условия:

1) ЗС0 > О такое, что \/ V (; V у)о > II ; (1.3.16)

2) производная Фрэше оператора Р ограничена , т.е. 3 такое, что гг е V1 II Р'Н VII- * 6, Н (! = ^Шо (1.3.17)

3) £(ъс)С\ГГ , где r=[m + 5jQ+/t(p + l4S)/e'-H;$>0.

Тогда z) с0 такое, что VS 6 1-е о ) С- J и для ПОЧТИ всех ( в смысле меры Лебега в ¡R ) i) ~ £>р) существует ЬО" ( 1Г^ , удовлетворяющее системе (1.3.3).

В конце параграфа сформулированы некоторые достаточные коэффициентные условия положительной определенности оператора L , т.е. выполнимости оценки (1.3.1$).

Почти-периодическим решениям дифференциально-операторных уравнений посвящено много работ, см., например, [i], [ю], [17],[20], [23], [44], [77] и библиографию в [20]. Как правило, в этих работах налагаются условия, исключающие возможность возникновения малых знаменателей и существование или несуществование почти-периодических решений не зависит от спектральных свойств почти-периодических функций в правых частях уравнений.

В §1.4 диссертационной работы обобщается на почти-периодический случай часть результатов работ [72] , [73], которые получены в этих работах для периодических и квазипериодических решений дифференциально-операторных уравнений 2-го порядка. Рассматривается уравнение А UÜ) *CUli)'9ü), dt где А - линейный, вообще говоря, неограниченный оператор, действующий из И в н , н - гильбертово пространство,

С - вещественная константа; - почти-периодическая функция, причем спектральные значения ^ß) представляются в виде т. ¿1 , (1.4.2) где к,(<1г.!кт)ат, ¿1 ^о-^л и при некоторых положительных выполняются оценки с,у 5 I V«/1 й | ^ О а.4.3)

Получено условие существования почти-периодического решения уравнения (1.4.1). Это условие зависит от выполнимости оценки

1.4.9) где К € / , У 6Л/ + С >0; Ау - собственные значения оператора А , причем количество значений Ау .

Л , не превосходит сОпл4 Ж меньших

Доказана теорема.

Теорема 1.4.4. Для почти всех векторов (d />**•! W-/ неравенство (1.4.9) выполняется при 2.ß> > '

Глава 2 посвящена исследованию неклассических задач для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами высоких порядков, гиперболических по Петровскому, в "классе функций, почти-периодических по пространственным переменным.

Трехточечные и четырехточечные задачи для уравнений в частных производных и дифференциально-операторных уравнений рассматривались в [7], ВО], Ü44Д ( см. также литературу в этих работах ). Аналог М- -точечной задачи для гиперболических по Петровскому уравнений с периодическими условиями по пространственным переменным исследовался в работах [4}, [16], [46]. В этих работах доказана корректность задачи относительно правых частей уравнений и условий задач, установлены условия единственности решения, а в случае равномерного распределения точек "Ьу ( у - п-) , когда ^ пгн~~ tm.~ ^о которых задаются условия задачи, доказано, что при достаточно гладких функциях в правых частях существует решение задачи для почти всех ( в смысле меры Лебега на прямой ) положительных значений Ь0

В §2.1 условие -почти-периодичности по пространственным переменным заменяется более общим и чаще встречающимся в приложениях условием почти-периодичности. При этом тоже находятся условия единственности решения задачи, а разрешимость задачи при некоторых ограничениях на гладкость и спектр почти-периодических функций в правых частях условий доказывается для почти всех ( в смысле меры Лебега в 1[\ ) векторов í без каких-либо предположений о взаимном размещении точек ¿у на

Приведем теперь точные формулировки полученных результатов.

Итак, рассматривается задача а. ^п ч= %М; /= о<^4=Т, ^^ где уравнение (2.1.1) строго гиперболическое по Петровскому, функции ^ почти-периодические со спектральными значения

6 М р , и ^& (г 11 р , удовлетворяющими условию м^б II/Л £ ЛМ®', ¿<>0, ¿г>0, В>0 Л

Через Л^ (/¿к.) Ь ] обозначен определитель

2.1.4 ) е

Гп (/*«)£< * I *** где [¡~ Ь^) ~ К0РНИ характеристического уравнения ь а$ А п* п $Р г';-г, О при 2, ~ *

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Для единственности решения задачи (2.1.1),

2.1.2) в пространстве С5 ( Ор^ со спектром Мр необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Здесь С^(Ор) - пространство функций, раз непрерывно дифференцируемых по совокупности переменных и почти-периодических по ОС 6 К ).

Теорема 2.1.2. Пусть существуют константы >0 и такие, что выполняются неравенства А

А л.

2.1.9) и при всех ^^ и пусть

У (*) е с! (ир) ■ +

Тогда существует непрерывно зависящее от С*-) (] решение задачи (2.1.1), (2.1.2) и.[1} X,) 6 С £ (0Р).

Теорема 2.1.3. Существует (ь такое, что для почти всех ( в смысле меры Лебега в ) векторов ь е 11Г неравенство I(2.1.10) выполняется для всех ( кроме, возможно, конечного числа ) вектор°в ^ е мР\{(о)} .

Исследованы также некоторые частные случаи уравнений, неоднородных по порядку дифференцирования.

По сравнению с задачей Коши задачам с краевыми условиями по временной переменной для гиперболических уравнений посвящено немного литературы. В работах [ЗД, [б], [12], [43], [53] исследуются задачи с условиями типа Дирихле по временной переменной £ для гиперболических уравнений, когда краевые условия содержат производные от искомой функции только четного порядка, а решение ищется в классе функций, периодических по пространственным переменным. Задача с краевыми условиями для дифференциально-операторных уравнений изучается в [63] . Сошлемся также на работы [2], [8], [27] , [67] , [75] , в которых исследуется задача типа Дирихле для гиперболических уравнений второго порядка и анализируются малые знаменатели, возникающие при решениии этой задачи.

В §2.2 диссертации изучается задача типа Дирихле для гиперболических уравнений произвольного четного порядка с условиями, содержащими все производные подряд, в классе функций, почти-периодических по пространственным переменным, что приводит к необходимости оценивать малые знаменатели более сложной конструкции.

Приведем теперь точные формулировки результатов, полученных в этом параграфе.

Для строго гиперболического по Петровскому уравнения

1 X. Ъ Г "О, Ь,х(: (2.2.1) исследуется задача д,-< и.

Ь-о

•¿а 1

2.2.2)

Предполагается, что спектральные значения функций ^ удовлетворяют условию (2.1.4).

Получены теоремы единственности ( теорема 2.2.1 ) и существования ( теорема 2.2.2 ), аналогичные теоремам 2.1.1 и 2.1.2.

В случае одной пространственной переменной доказана следующая теорема.

Теорема 2.2.3. Существует еЖ такое, что для почти всех ( в смысле меры Лебега в К ) векторов ?^п.) неравенство «

1А, (/*,"■)! > 1*1 (0<е<0 (2.2.14) выполняются для всех ( кроме конечного числа ) значений ^¿¿^ £ М^' при этом - 5пZrL,

Здесь через Х^ -/, п) обозначены положительные корни уравнения п.

2. а^Л**"25 =о,

3 - о а = <М ИВр^Ир,^*,* ;

На основании этой теоремы получено Следствие. Пусть функции Ч^' (х) £ С& ( ) , где Гу >2кг+ ц при ^ в ^ п. и Г: > гпг +4.+ ^ При/«/1^гл

7 б'

Тогда для почти всех ( в смысле меры Лебега в /Г 6 С} К ; где 0 - область в 11^ , определяющая строго гиперболические уравнения вида (2.2.1) при р-4 , существует решение £ С в задачи (2.2.1), (2.2.2).

Аналогичные результаты получены также и для случая многих пространственных переменных ( теорема 2.1.4 ) .

Нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений исследовались, например, в работах [14] , [22] , [28], [29] , [65], [70]. В этих, как и в других работах, исследуются случаи корректных задач. В данной работе, в §2.3,изучается один пример некорректной задачи с интегральными условиями, а именно: для строго гиперболического дифференциального уравнения (2.1.1) исследуется задача У " 1{> Х) V = М (I = , (2.3.3) о где функции ^ (х.} такие же, как и в §2.1.

Найдено условие единственности почти-периодического решения задачи (2.1.1), (2.3.3), которое формулируется аналогично теореме 2.1.1.

Используя обозначение А (У16 * л) ^

1 ал Л л.жл^ * е

1 к, ^/лл г^Г ' ' ' ¿г»* с и Ш сг** Гун" где (I ~ ~ корни характеристического уравнения чД ч п-Ш с с

21 ^ А при П , получены следующие теоремы.

Теорема 2.3.2. Пусть существуют константа Сн > О и натуральное ^ такие, что для всех е мР\{{о)} выполняется неравенство С, (2.3.13) и пусть ^(зс) £ С(+ СР/6'] (Ор) (7- о, пч).

Тогда существует решение задачи (2.1.1),

2.3.3).

Теоремам- При | > £ I Р ~ * 2» х 2. ] 6м оценка (2.3.13) выполняется для почти всех векторов

Т, а,} 6 (П

В случае р-4 <Ггк э /г/И*

В этом случае удалось получить более простой результат.

Теорема 2.3.4. Для почти всех векторов ,.;) £ II? неравенство выполняется для всех ( кроме конечного числа ) уМк. € М^ .

Результаты диссертации регулярно обсуждались на семинарах отдела теории дифференциальных уравнений Института прикладных проблем механики и математики АН УССР, докладывались и обсуждались на семинаре по теории чисел в Институте математики Ш БССР, на семинаре д.ф.-м.н., профессора М.Л. Горбачука в Институте математики АН УССР, на семинаре д.ф.-м.н., профессора A.M. Нахушева в Кабардино-Балкарском государственном университете, на семинаре д.ф.-м. н., профессора Ю.А. Дубинского в Московском энергетическом институте , на семинаре "Проблемы современной математики" при Западном научном центре АН УССР / руководитель д.ф.-м.н., профессор Б.Я. Скоробогатько /, на семинаре кафедры функционального анализа Львовского государственного университета / руководитель д.ф.-м.н., профессор Б.Э. Лянце / , на 9-ой / Львов, 1982 / и 10-ой / Львов, 1984 / конференциях молодых ученых ИППШ АН УССР, на конференции, посвященной памяти академика Я.Б. Лопатинского / Львов, 1981 /, на Всесоюзной конференции по теории чисел / Москва, 1983 /, на Всесоюзной конференции по некорректным задачам математической физики / Самарканд, 1983 /.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [41,42], [54-60J .

Положения, выносимые на защиту:

I. Условия существования и единственности почти-периодических по временной переменной решении линейного факторизованного уравнения с зависящими от Ь коэффициентами, дифференциально-операторного уравнения, квазилинейной системы дифференциальных уравнении, близкой к линеинои системе с постоянными коэффициентами. ^

2. Условия существования и единственности аналога многоточечной задачи, задачи типа Дирихле, задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнении, гиперболических по Петровскому, в классе функций, почти-периодических по пространственным переменным.

3. Оценки снизу малых знаменателей, возникающих при решении рассмотренных в работе задач.

4. Построение явных формул, дающих решения рассматриваемых задач в виде рядов.

1. Алиев А.Б., Перов А.И. Почти-периодические решения дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве.-Функц. анализ и его приложения. Баку, 1978, ЖЗ, с. 51-54.

2. Арнольд В.И. Малые знаменатели. I. Об отображении о1фужности на себя. Изв. АН СССР, Сер. мат., 1961, т.' 25, И, о.21-86.

3. Берник В.И., Пташник Б.И. Краевая задача для системы уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. ДУ, 1980, т.16, » 2, с. 273 - 279.

4. Берник В.И., Пташник Б.И., Салыга Б.О. Аналог многоточечной задачи для системы гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами. Б кн. Теоретические и прикладные вопросы алгебры и дифференциальных уравнений. Киев, 1976, с. 66-71.

5. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. - 238 с.

6. Бобик 0.1., Боднарчук П.1., Пташник Б.Й., Скоробогатько В.Я. Елементи як1сно1 теорП диференц1альних р1внянь з частинними пох^ними. Ки1в: Наук, думка, 1972. - 176 с.

7. Валицкий Ю.Н. Четырехточечная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве. Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 4, с. 69 - 70.

8. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение параболических операторов с почти-периодическими коэффициентами. Мат.сб., 1У82, М, с. 69 85.

9. Жук В.й., Цташник Б.И. Краевая задача для системы гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами. ДУ, 1977, т. 13, М, с. 637 - 645.

10. Илысив В.С., Пташник Б.И. Задача с нелокальными краевыми условиями для систем дифференциальных уравнений в частных, производных с постоянными коэффициентами. ДУ, 1984, т. 20, $6, с. Ю12 - 1и2Ь.

11. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. ДУ, 1979, т. 15,с. 1279 1283.

12. Каленюк ПЛ., Скоробогатько В.Я. Як1сн1 методи теорП дифе-ренц1альних р1внянь. Ки1в: Наук, думка, 1977. - 124 с.

13. Кокотов М.И. О почти- периодичности решений уравненияЫг У -г' ^ ' . Докл. АН СССР, 1971,т. 197, т, с. 1014 ЮГ7.

14. Кочубей А.Н. О почти-периодических решениях дифференциально-операторных уравнении. Сиб. мат. журн., 1983, 24, Щ, с. 102 - III.

15. Красносельский М.А., $урд В.Ш., Коле сов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. - 352 е.

16. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. : Наука, 1979. - 431 с.

17. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. - М.: Изд-во МГУ', 1978. - 204 с.

18. Л1севич Л.М., Св1рчевська Ж.С. 1снування майже-пер1одичногорозвнязку одн1е1 задач1 для г1пербол1чного р1вняння другого порядку. Доп. АН УРСР, 1973, А, Ш, с. 611-613.

19. Мельник 3.0., Киршшч В.М. Задача без начальных условий для двумерного гиперболического уравнения произвольного порядка. УМЫ, 1982, т. 37, Я 4, с. 112.

20. Мишнаевский П.А. О выходе на почти-периодический режим и почти-периодичности решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Вестник МГУ, мат.-мех, 1971, № 3, с. 69 - 76.

21. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. УМЫ, 1968, т. ХХИ1, вып. 4, с. Г79 - 238.

22. Мосеенков В.Б. Квазипериодические решения нелинейного гиперболического уравнения с затуханием. ДУ, 1979, т. 15, Л 4, с. 695 - 703.

23. Мосеенков В.Б. Майке пер1одичн1 розв"язки нел1н1йних хви-льових р1внянь. Укр. мат. журн., 1977, т. 29, й I, с.112-118.

24. Мосолов П.П. О задаче Дирихле для уравнений в частных производных. Изв. вузов, Математика, 1960, }1 3, с. 213-218.

25. Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-диффе-ренциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. ДУ, 1979, т. 15, В I, с. 96 - 105.

26. Нахушева Ф.Б. Некоторые конструктивные свойства решений гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области. -ДУ, 1982, т. 18, № 2, с. 339 340.

27. Ниренберг Д. Лекции по нелинейному анализу. М.: Мир, 1977. 232 с.

28. Нурметов С.Х. Четырехточечная задача для операторного уравнения четвертого порядка. В кн.: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1979, с. 100 104.

29. Панахов М.Г., Юсупов Ü.M. О почти-периодичности решения смешанной задачи для волнового уравнения с малыш возмущениями. Азерб. ун-т, Баку, 1982, 14 с. / Рукопись деп. в ВИНИТИ8 июля 1982 г., J6 3635-82 Деп / .

30. Панков A.A. К теории почти-периодических псевдодифференциальных операторов. Укр. мат. журн., 1981, т. 33, Ш 5, с. 615619.

31. Панков O.A. Про нел1н1йн1 г1пербол1чн1 системи з майже nepl-одичними коеф1п1ентами. Доп. АН УРСР, А, 1981, Je 8, с. 3133.

32. Никулин В.П. О периодических и почти-периодических решениях для одного класса квазилинейных параболических уравнений. -ДУ, 1982, т. 18, Jfe 8, с. 1412 1417.

33. Полищук В.Н. Периодическая краевая задача для гиперболических уравнении с переменными коэффициентами. В кн.: Теоретические и прикладные вопросы алгебры и дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1976, с. 60 - 65.

34. Полищук В.Н., Пташник Б.И. О периодической краевой задаче для системы гиперболических уравнении с постоянными коэффициентами. Укр. мат. журн., 1978, т. 30, № 3, с. 326 - 333.

35. Полищук В.Н., Пташник Б.И. Периодические решения системы дифференциальных уравнении в частных производных с постоянными коэффициентами. Укр. мат. журн., 1980, т. 32, 1 2,с. 239 243.

36. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев: Наук, думка, 1984, 264 с.

37. Пташник Б.И., Штабалюк П.И. Методы метрической теории диофан-товых приближении в граничных задачах математической физики. -В сб.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции: Теория трансцендентных чисел и ее приложения. М.: Изд-во МГУ, 1983,с. 116 117.

38. Пташник Б.Ё. Про одну крайову задачу для г!пербол1чних р1в-нянь 1з сталими коеф1ц1ентами. Доп. АН УРСР, А, 1971, $ 6, с. 522 - 526.

39. Радыно Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах. П. Свойства решений. ДУ, .1977, т. 13, & 9, с. 1615 - 1624.

40. Романко В.К. Трехточечные граничные задачи для уравнений с разрывными коэффициентами.- ДУ, 1979, т. 15, Jfe 3, с. 479 -492.

41. Салыга Б.О. Аналог многоточечной задачи для нестрого гиперболического оператора с переменными по t коэффициентами.В кн.: Мат. методы и физ.-мех. поля. Киев: Наук, думка, 1979, вып. 9, с. 9 14.

42. Самоиленко A.M., Мосеенков В.Б. Итерационные методы решения нелинейных уравнении с частными производными, близких к линейным. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1980. - 44с.

43. Сан соне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. I. -М.: ИД, 1953.

44. Слюсарчук В.Е. Ограниченные решения нелинейных эллиптических уравнении. УМН, 1980, т. 35, ä I, с. 215.

45. Соболев С.Л. О почти-периодичности решений волнового уравнения. 1-411. Докл. АН СССР, 1945, т. ХУШ, Л 8Г с. 570 - 573, Л 9, с. 646 - 649, т. XIX, В I, с. 12 - 15.

46. Спривджук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. -М.: Наука, 1977. 144 с.

47. Умбетжанов Д.У. Почти многопериодические решения дифференциальных; уравнений в частных производных. Алма-Ата: Наука, 1979. - 210 с.

48. Фиголь В.В. Задача типа Дирихле для гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами. В кн.: Мат. методы и физ.-мех. поля. Киев: Наук, думка, 1983, вып. 17, с. 10 - 14.

49. Штабалюк П.И. Почти-периодические решения абстрактных дифференциальных уравнении. В сб.: УШ школа по теории операторов в функциональных пространствах, тезисы докладов. - Рига, 1983, с. 129 - 130.

50. Штабалюк П.И. Почти периодические решения квазилинейной системы дифференциальных, уравнении с частными производными. -Укр. мат. журн., 1983, т. 35, & 2, с. 207 211.

51. Штабалюк П.И. Почти периодические решения линейной системы дифференциальных, уравнений с постоянными коэффициентами. В кн.: Мат. методы и физ.-мех. шля. Киев: Наук, думка, 1982, вып. 16, с. 5-8.

52. Штабалюк Д. И. Почти-периодические решения линейной системы дифференциальных, уравнений с достоянными коэффициентами. В кн.: Общая теория граничных, задач: Сб. научн. тр. - Киев: Наук! думка, 1983, с. 302 - 303.

53. Штабалюк II.И. Почти периодические решения факторизованного дифференциального уравнения с частными производными. Докл. АН УССР, А, 1983, Jfe II, с. 27 - 30.

54. Шубин М.А. Почти-периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными. УШ, 1978, т. 33, вып.2, с. 3 - 47.

55. Шубин М.А. Теоремы о совпадении спектров псевдодифференциального почти-периодического оператора в пространствах LJ^)и I3Z(К ) . Сиб. мат. журн., 1976, вып. I, с. 200 - 215.

56. Юрчук Н.И. Априорные оценки решении граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений. ДУ, 1976, т. 12, JM, с. 729 - 739.