Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с двумя независимыми переменными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

00345038(

Мендзив Марьяна Вирославовна

ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2008

003450387

На правах рукописи

Мендзив Марьяна Вирославовна

ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2008

Работа выполнена на кафедре высшей математики ГОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Романовский Рэм Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Влохин Александр Михайлович

кандидат физико-ме.тематических наук, доцент Мокейчев Валерий Степанович

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится 19 ноября 2008 года в 1600 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан << » октября 2008 г.

«

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент ^с*«*^^^ ^ Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. Начиная со второй половины прошлого века интенсивно развивается теория устойчивости для уравнений с частными производными.

Основы теории устойчивости для уравнений параболического типа построены в работах Т. И. Зеленяка, В. С. Белоносова, М. М. Лаврентьева (мл.), М. П. Вишневского, получены приложения этих результатов к задачам химической кинетики. В работах П. А. Кучмента и А. И. Милославского распространена теория мультипликаторов Флоке-Лялунова на линейные уравнения параболического типа с периодическими коэффициентами.

Первые результаты по теории устойчивости для уравнений гиперболического типа получены в работах М. А. Рутмана, Р. К. Романовского [1] - [4], где доказаны спектральные признаки устойчивости и дихотомии решений задач Гурса и Коши для подклассов гиперболических систем с постоянными и медленно меняющимися коэффициентами. В работах Р. К. Романовского [5] -[7], исследовано асимптотическое поведение — устойчивость, дихотомия, экспоненциальная расщепляемость — решений задачи Коши для гиперболических систем первого порядка с двумя независимыми переменными с гладкими коэффициентами на основе свойств фундаментальной матрицы системы. В частности в [7] получен признак устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с периодическими по времени коэффициентами в терминах спектра оператора монодромии, в пространственно-однородном случае вычислены резольвента и спектр этого оператора. В работе Н. А. Елтышевой [8] установлен спектральный признак устойчивости решений смешанной задачи для автономных систем этого класса. В последние годы в работах Г. Крейсса, А. Ширикяна, Л. Р. Волевича, С. Г. Гиндикина, М.И. Вишика и других авторов получен ряд результатов по анализу асимптотического поведения различных классов гиперболических уравнений с многими пространственными переменными. В книге К. Чиконе и Ю. Латушкина [9] исследуется асимптотическое поведение решений задачи Коши для линейных эволюционных уравнений в банаховом и гильбертовом пространстве методами теории полугрупп.

В указанных работах по теории устойчивости для гиперболических систем

исследования проводились главным образом на основе первого метода Ляпунова. Представляет интерес распространение второго (прямого) метода Ляпунова на этот класс динамических систем. Особый интерес для приложений к теории колебаний, теории автоматического управления представляет случай систем, параметры которых периодически или почти периодически зависят от времени.

Первые результаты по прямому методу Ляпунова для гиперболических уравнений получены в последние годы в работах Е. В. Воробьевой, Р. К. Романовского и И. Д. Макаровой. Диссертационная работа является продолжением этих исследований.

Цель диссертационной работы - дальнейшее развитие теории устойчивости для гиперболических систем с двумя независимыми переменными на основе прямого метода Ляпунова: Эта задача включает в себя построение класса функционалов Ляпунова, в терминах которых формулируются признаки устойчивости, и разработку специального варианта прямого метода Ляпунова для систем с периодическими и почти периодическими по времени коэффициентами с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

Из сказанного следует актуальность и новизна темы диссертации.

Общая методика исследования. В работе используется аппарат функционального анализа, теории гиперболических уравнений, теории почти периодических функций. '

Научная новизна. В работе получены следующие основные научные результаты.

1. Разработан вариант прямого метода Ляпунова для динамических систем, описываемых краевыми задачами для гиперболических систем с двумя независимыми переменными с гладкими коэффициентами. На этом пути получены достаточные Признаки экспоненциальной устойчивости в 1/2-норме решений задачи Коши и смешанной задачи в терминах матричных неравенств.

2. Эффективно построен класс решений основного матричного неравенства, отвечающего за устойчивость.

3. В случае систем с периодическими по времени коэффициентами получе-

ны признаки экспоненциальной устойчивости задачи Коши и смешанной задачи в 1/2-норме с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

4. Эти результаты распространены на системы с почти периодическими по времени коэффициентами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют собой дальнейшее развитие метода функционалов Ляпунова для гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Предложенные подходы к расчету на устойчивость могут быть использованы в конкретных задачах теории колебаний, теории автоматического управления.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции по Дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Новосибирск, 2007г.), на IX Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Иркутск, 2007г.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12] - [18].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 113 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 95 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и новизна темы диссертации, приведен обзор литературы и краткая аннотация результатов работы.

1. Первая глава носит вспомогательный характер. Приводятся для удобства ссылок используемые далее сведения из работ [5], [10]. Основным содержанием главы является продолжение разрешающих операторов задачи Коши и смешанной задачи для гиперболической системы с пространств гладких функций в фазовое пространство ¿22. Во второй главе изучается методом функционалов Ляпунова устойчивость решений задачи Коши и смешанной задачи для гиперболической систе-

мы с коэффициентами класса (2) в фазовом пространстве L%. Получены Достаточные признаки экспоненциальной устойчивости в терминах матричных неравенств. Указан подход к построению подкласса функционалов Ляпунова по коэффициентам А, В гиперболического оператора. В качестве приложения получены признаки устойчивости решений краевых задач для гиперболического уравнения второго порядка с гладкими коэффициентами в терминах коэффициентов.

2.1. Рассмотрим гиперболический оператор с кратными характеристиками

L = jt+A(x)^-s+B(x), x = (s,t)eR2, (1)

А, В : К2 Mat(N, С), А 6 С1, В е С, А = diag(ai7b • • •, anIn), ак G К, . a& — a,k+1 > const > Or|ajt| > const > 0, A, A'8, A't, В ограничены в M2. При этих условиях проходящие через точку х = (s, t) характеристики ¿к(х) = {{а,г) : а = 5Л(г;аг), s'kr = ak(sk,r), sk(t\s,t) = s}, к — 1 ,n, определены глобально и пересекаются прямыми s = const, t = const один раз. Будем представлять матрицы порядка N и столбцы размера N в блочном виде в соответствии с размерами диагональных блоков матрицы А: В — (By)", h — (hi,- - • ,hn), где B(j — матрица размера Дг; х Nj, hk — столбец размера Nk-Далее всюду | • | — эрмитова норма вектора и матрицы.

Обозначим Я гильбертово пространство функций R —> CN со скалярным произведением (g,h)jj — f^Jfgds и, соответственно, нормой ||/г||я = (h, /i}1/2. и пусть Щ — плотный в Н линеал гладких финитных функций R -> CN. Рассмотрим задачу Коши

Ьи- 0, и |t=io = h&H, х€Шх (t0, оо). (3)

В частном случае h € Hq задача (3) однозначно разрешима в классе гладких функций, при этом ограничение решения u(s, t) на каждую горизонталь т — t — элемент линеала Но, будем обозначать его u(t)\

u(t) = U(t,t0)h, U(t,tQ)eHom(H0^H0). (4)

В случае любой h € Н под решением задачи Коши (3) будем понимать функцию (4), где U(t,to) — продолжение по непрерывности оператора (4) из Н0 в Я.

Будем говорить, что решение и = О системы (3) экспоненциально устойчиво, если для любых h £ Н верна при некоторых fi, v > 0 оценка

\\U(t,to)h\\H < ЦК-^Щн (t>to). (5)

Обозначим J класс матриц

F(a,t) = diag(Fi,...,Fn) {t>t0) (6)

с диагональными блоками порядков Ni,... ,Nn со свойствами

1 )F* = F, Fit С1, mlIi<Fi<m2Ii {mk = mk(F)> 0),

2) \Ц.I, №t\ < const.

Построим по матрице F е J эрмитову форму

/00

h*(s)F(s,t)h(s)ds. (8)

•00

Лемма 2.1. Производная формы (8) вдоль траекторий динамической системы (3), лежащих в Но, дается формулой

V(h,t) = {Gh,h)H, G = Fi + (FA)'S - FB - B*F. (9)

Теорема 2.1. Пусть существует матрица F £ J такая, что при некотором га > 0 выполняется неравенство

G(s,t) < —ml (s€K,t>i0). (10)

Тогда решение и = 0 экспоненциально устойчиво.

2.2. В §2.2 указан подход к построению класса матриц F Е J со свойством (10) при некоторых дополнительных условиях на матрицы А, В. Будем предполагать, что выполняются соотношения

Ы,<*т _

а = sup е ъ < +оо, Re В„ > ¡3U (/? = const >0, г = 1, п), (11)

¿,(М)

где 7,- - отрезок характеристики £i(x), х = (s, t), между горизонталями т = to, т = t > to (рис. 1), Bij — блоки матрицы В. В частном случае A.— A(s) первая оценка (11) следует из условий (2) на матрицу А. В частном случае строго

гиперболической системы все N{ = 1, значения В^(х) — числа, и второе условие (11) проверяется непосредственно. Обозначим матрицу порядка АГ„ являющуюся решением задачи Коши

' + = 0, £/■< и=х = ,

ат

где (1г\(1т — производная по времени вдоль ¿¡(х). Имеет место оценка \и,{х,х)(г > г).

Положим

Л,

Г _

{Х) = УХ ЪМЪМЪ г = 1,«,

(12)

где — часть характеристики £{(х) выше точки х, интеграл в показателе степени берется по отрезку [ж, г] кривой .

Теорема 2.2. Пусть выполняются условия (11) и при этом существует набор чисел с\ > 0,..., сп > 0, тп > О такой, что при всех г€Мх [¿о, оо) имеет место неравенство

Рис. 1.

%{х,съ...>сп) -т,1 > О, где Z = {%>ц)х — матрица порядка N с блоками — СеЛ, — аАъВц -(- СуВ^Ау {г ^

(13)

Тогда матрица

Р = ¿гад^А^х),..., спАп{х)]

принадлежит классу ] и удовлетворяет неравенству (10).

При достаточно малых |Л«.Ву| неравенство (13) разрешимо и при его решении может быть использован критерий положительной определенности Сильвестра. В частном случае п — 2 имеет место

Лемма 2.2. В случае гиперболической системы с двумя (вообще говоря кратными) характеристиками для существования положительного решения (с1,сг,т) неравенства (13) достаточно выполнение условия

Р

8<— , {6 = тазфир Ш12|, эир |В21|}). а

При 8 ф О множество решений неравенства (13) содержит наборы

с\ — сг = 8 + ш, 0 < то < — — 8.

а

Следствие. В случае п — 2 для экспоненциальной устойчивости решения и — 0 задачи Коши (3) с И = 0 достаточно выполнение неравенств (11), (14).

Пример. Рассмотрим задачу Коши для гиперболического уравнения 2-го порядка

( Л(у) = ^ - < + ЩхН + 2с(хХ + <1{х)ь = О,

t=t0

Ф

t=i(

ф(в).

(15)

Будем предполагать Ь, с, d : М2 ->• К, Ь, с 6 С1, ' d € С, |Ь|, |с|, |d|, \Va\, |6J|, \dt\, (cJI < const. При достаточно гладких финитных <р, ф задача (15) однозначно разрешима в классе С2(М2). Замена и = {щ, г^) = (и, (b — c)v + v's + v't) приводит (15) к виду

I+Al+S<*>

и = 0, и

t=to

= Л,

(16)

1 О О -1

в

-с -1 q b + c

, q = d+c2-b'2 + (b-cYe-(b-c)'t,

h = (ф), [b(s, 0) - ф, 0)]¥>(e) + <p'(s) + ф(з)). (17)

Матрицы А, В в (16) удовлетворяют условиям (2). Пусть в (15) ¡р £ W^R), ф £ Ь2(Ж), тогда для начальной функции (17) имеем h е Я, где

Н — введенное выше гильбертово пространство при п = N = 2. Будем говорить, что решение v = 0 уравнения (15) экспоненциально устойчиво, если этим свойством обладает решение и — 0 системы (16). Применение следствия из леммы 2.2 дает: для экспоненциальной устойчивости решения и = О уравнения (15) достаточно выполнения неравенства

inf(6- |с|) > max{l,sup|g|}.

■(18)

2.3. Будем дополнительно к (2) предполагать, что характеристики 4,• • •,С-т имеют положительный наклон, £т+1, отрицательный:

> ат > 0 > ат+1 > 9

> ап.

Рассмотрим-краевую задачу в полуполосе П — [0,1] х [¿о, оо) Ьи = О,

Здесь и

и+

" И! " ит+1

, = , и- =

. ип .

Р0, Р\ гладкие матрицы

(20)

соответствующих размеров, предполагаются выполненными условия согласования нулевого и первого порядков

{ Л+(0) = Ро(<й)А-(0), Л_(1) - Л(<0)Л+(1), 9+(0) = Ро(*оЫ0) -9_(1)-= Р1(«оЫ1) -

Краевая задача (19) - (20) однозначно разрешима в классе гладких функций и : П —См [11]. Обозначим Е гильбертово пространство функций [0,1] —>• со скалярным произведением (д, к) = Н*д ¿в, Ег - линеал гладких функций Л € Е, удовлетворяющих краевым условиям (20) с заменой в формулах ¿о на Ограничение и(£) решения на каждую горизонталь т = £ > ¿о — элемент линеала 2%:

и(*) = ЕГ(М 0)Л, и(1,и)еНот{Е(0-^Е(). (21)

В случае любой /г € под решением краевой задачи (19) - (20) будем понимать функцию (21), где ¿7¿0) — продолжение оператора (21) из в Е^ — замыкание в норме пространства 15.

Будем говорить, что решение и = 0 экспоненциально устойчиво, если при любых /г € Его имеет место оценка (5) с заменой Н на Е. Обозначим класс матриц вида (6), удовлетворяющих требованиям (7) при х € П. Построим по матрице эрмитову форму

У(М) = = [1Н*(а)Р{в,г )Л(в)<&.

Уо

Представим матрицы Д ^ в виде Л = сйад(Л+, Л_), .Р = <Иад(Е+, Л), Л+ — ¿{ад{а%11,..., ат/т), = (Иад(Ри...,

Лемма 2.3. Производная формы V(h, t) вдоль траекторий динамической системы (19) - (20),. начинающихся в Et¡¡, дается формулой

V(h, t) = (Gh, h)E + h*_(0)Go(t)h-(0) - ^(ljG^Ml),

где G(s,t) - матрица (9),

G0(t) = (F-Á- + PqF+A+Pq)s=ü, Gí(í) = (F+A+ + P1*F_^l_P1)s=1. (22)

Теорема 2.3. Пусть при некоторой F £ Jn выполняются неравенства

í G(s,t) < -mi ((s,í) € П, то = const > 0), { G0(t) < 0, Gi(í) >0 (t > to). 3

Тогда решение и = 0 краевой задачи (19) - (20) с h = 0 экспоненциально устойчиво.

Пример. Рассмотрим краевую задачу для телеграфной системы в полуполосе [0,1] х [0, оо):

дг dv dv di

й + ^ + = - + - + Pi(t)v = 0,

(24)

I (г, w)i=0 = Ы) Е С1{0,1], »(0, t) = v(l, t) = 0.

Здесь Pk £ С[0, оо], \рк\ < const, начальные функции удовлетворяют условиям согласования нулевого и первого порядков

¥>(0)=г&(1) = 0, Ф'(0) = ^(1) = 0. (25)

Замена (г, v) -J- (щ, и2) по формулам i = (ui+u2)/2, v = (щ- и2)/2 приводит задачу (24) - (25) к виду (19) - (20), где

1 0 0 -1

5 = 1

h = (<р + ф, <р-ф), Р0

pi + Р2 Pi - Pi Pi - P2 Pi + Pi = -1, Pl = 1.

1 r*t

(26)

Из (12) с учетом равенства Щ = 112 = ехр /г (р\ + р2) йт} следует Л1 = Лг-По формулам (22) имеем во = с(—Л1 + Лг)з=о = 0, Сп = с(Лх — Лг^г = 0. При условиях

Ы{р1 + р2) > 0, sup I pi - р2\ < mf(pi + р2)

(27)

и

выполнены все условия теоремы 2.3, й решение (i,v) = (0,0) экспоненциально устойчиво. В силу той же теоремы этот результат сохраняется, если начальное возмущение (>р, ~ф) выбрать в более широком классе: (tp, ф) £ Eq.

3. В третьей главе исследуется устойчивость решений краевых задач для рассматриваемого класса гиперболических систем при дополнительном предположении, что коэффициенты А, В оператора (1) периодичны или, более общо, почти периодичны по времени. Показано, что в этой ситуации условия на матрицы, отвечающие"за устойчивость, могут быть существенно ослаблены. Полученные в §3.1, 3.2 признаки устойчивости для уравнений с периодическими коэффициентами распространяются в §3.4 — при дополнительном условии липшицевости по s матриц A's, В — на почти периодический случай с помощью леммы о "почти правильном" расположении почти.....периодов почти периодической функции (лемма 3.2 на стр. 15). Результаты иллюстрируются на примерах краевых задач для телеграфного уравнения и телеграфной системы с периодически подключаемым малым трением; в этих примерах V = 0 при всех t за исключением отдельных периодически повторяющихся, отрезков малой длины, на которых она отрицательна, тем не менее L^-норма возмущения убывает к нулю по экспоненте при t —> +оо.

3.1. Пусть в (1)

A(a,t + T) = A(a,t), B(s,t+ Т) = B(s,t), Т > 0. (28)

Будем рассматривать функционалы (8) с матрицами

FeJ, F(s,t + Т) = F(s,t). (29)

В классе (28), (29) имеет место следующее усиление теоремы 2.1.

Теорема 3.1. При условиях (28) для экспоненциальной устойчивости решения и = 0 задачи Коши (3) с h = 0 достаточно существование матрицы F со свойствами (29) такой, что выполняются неравенства

Г G < 0 при t > t0,

\ G < —ml (m = const > 0) хотя бы на одном отрезке Д С [¿о, оо), '

где G - матрица (9).

При обосновании существенную роль играет

Лемма 3.1. При условиях (28) для разрешающего оператора задачи Коши (3) имеет место свойство стационарности на периоде

U{t + T,t + T) = U(t,r), t,t6r.

Пример. Рассмотрим задачу Коши

Г z»-z»s + Lo2z = -2e(t)z't^ <>0, \ z|t=0 = ^|(=0 = V'(s)-

Здесь w = const > 0, e(t + 2) = e(t),

Ф)={

Замена и = (мх, «г) = (-г, e(t)z + z's + z't) приводит задачу (31) к виду (16), где

(:t2 - 82)4 при \t\ <6« 1, О при |f| £ [£, 1].

А =

1 0 0 -1

В —

Ф) -1

_«(*) e(t) h = (<p, £(0)<p + <p's + i/>)

g = „2-e2(t)-e'(t),

Вычисления показывают: в случае е.(<) = 0 (невозмущенная задача) решение и = 0 устойчиво по Ляпунову. В рассматриваемой ситуации заведомо не выполняется достаточное условие экспоненциальной устойчивости (18). Покажем, что при условии

•

и >

S

(32)

решение и — 0 экспоненциально устойчиво. Положим

^ = <Иад^, 1)=>С = -¿гад{2шге + е" - 2е3, 2е). .

Вычисления с учетом (32) дают оценки

(|г-357)/<^< {ш2 + А857)1 при*>0,

в < 0 при * > 0, С < при t е [о, |],

откуда в силу теоремы 3.1 вытекает требуемое. Отметим, что здесь не выполняется условие теоремы 2.1:

(3 = 0 при < 6 [5 + 2га, (2 - ¿) + 2га], п € 2. 13

3.2. Аналогичный результат при условии (28) имеет место для смешанной задачи (19) - (20). В этом случае удается, используя компактность отрезка [0,1], несколько ослабить второе требование (30) на матрицу G.

Теорема 3.2. При условиях (28) для экспоненциальной устойчивости решения и — 0 краевой задачи (19) - (20) с h = 0 достаточно существование матрицы F со свойствами F Е J„, F (s, t + T) — F (s, t) такой, что выполняются неравенства

' G < 0 при х G П,

< G < —ml (m = const > 0) хотя бы при одном t* > to, (33) „ Go < 0, Gi > 0 при t > t0,

где G, Go, Gi - матрицы (9), (22).

При обосновании используется свойство стационарности на периоде разрешающего оператора U(t,r) краевой задачи (19) - (20).

Пример. Будем в (24) - (25) дополнительно предполагать pu{t +1) = pk{t),

f рк > 0 при t 6 (ак, /Зк) 6 [0,1], 4 - ак « 1, \ рк = 0 при t е [0, l]\(dfc, рк), к = 1,2.

В этой ситуации не выполняются условия (27). Покажем, что для экспоненциальной устойчивости достаточно выполнение условия

Д = (а!,А)ПКА)^0. (34)

Положим F = diag( 1,1). Тогда G = —2В, Go = G\ — 0. Собственные числа матрицы G : Afc — -2pk{t), к — 1,2. При условии (34) выполняются требования (33)': в качестве t* можно выбрать любую точку интервала Д. Отсюда следует требуемое.

3.3. Заключительные §3.3,3.4 посвящены переносу теорем 3.1, 3.2 на случай почти периодических по времени коэффициентов. В основе переноса лежат приводимые ниже леммы.

Множество M с К называется относительно плотным на оси, если существует такое £ > 0, что любой отрезок длины I содержит хотя бы одну точку из М. Пусть Е - банахово пространство, <p(t) - непрерывная функция К Е, е > 0. Число Д € R называется е-почти-периодом функции ip(t), если

||у>(£ + Д) —<р{ь)\\е < е, t Е Ж. Функция (p(t) называется почти периодической, если для любого е > 0 существует относительно плотное на оси множество е-почти-периодов.

Лемма 3.2. Пусть функция ip : R Е почти периодична. Тогда для любого s > 0 существует относительно плотная на оси последовательность е-почти-периодов вида Д& = щб, 5 = const > 0, <Е Z.

Лемма 3.3. Пусть функция / : [0,1] х R —> Ст почти периодична по t при каждом s € [0,1] и удовлетворяет условию Липшица по s. Тогда она почти периодична по t равномерно по s Е [0,1]: для любого е > 0 существует одно и то же для всех s Е [0,1] относительно плотное на оси множество е-почти-периодов.

Имеет место следующее усиление теоремы 3.2.

Теорема 3.3. Пусть дополнительно к (2)

(i) A, А!„ В, Р0, Pi почти периодичны по t при каждом s € [0,1],

(И) A's, В липшицевы по s равномерно по i € [io, оо). Если существует матрица F € Jn, F € С2, такая, что

F, F's, F[ почти периодичны по t при каждом s б [0,1] и выполняются

неравенства (33),

то решение и = 0 краевой задачи (19) - (20) с h = 0 экспоненциально устойчиво.

Обоснование существенно опирается на лемму 3.3.

Замечание. Рассуждения, аналогичные (с очевидными видоизменениями) проведенным при доказательстве теоремы 3.3, приводят с учетом леммы 3.2 к следующему результату. Пусть, дополнительно к (2) А, А'а, В почти периодичны по t равномерно по s <Е R. Если существует матрица F € J такая, что F, F's, F't почти периодичны по t равномерно по s € 1 и выполняются неравенства (30), то решение и = 0 задачи Коши (3) с h = 0 экспоненциально устойчиво.

В заключение автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Рэму Константиновичу Романовскому за постановку задач, внимание, советы и замечания на протяжении всей работы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Рутман, М.А. Об устойчивости решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами / М.А. Рутман // ДАН СССР. - 1956. - Т. 108. - Вып. 5. - С. 770-773.

[2] Рутман. М.А. Операторные уравнения в полуупорядоченных пространствах и некоторые качественные теоремы для линейных дифференциальных уравнений с частными производными / М.А. Рутман // УМН. — 1957.

. - Т. 12. - Вып. 1(73). - С. 234-238.

[3] Романовский, Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа / Р.К. Романовский // ДАН СССР. - 1965. - Т. 163. - № 5. - С. 1077-1080.

[4] Романовский, Р.К. Об экспоненциальной дихотомии решений уравнений гиперболического типа / Р.К. Романовский // УМН. — 1976. — Т. 32. — № 1. - С. 259-260.

[5] Романовский, Р,К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // ДАН СССР. - 1982. - Т. 267. - № 3.'- С. 577-580.

[6] Романовский, Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р.К. Романовский // Мат. сб.

- 1987. ~ Т. 133. - № 3. - С. 341-355.

[7] Романовский, Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. — Киев. - 1987. - С. 47-52.

[8] Елтышева, Н.А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости / НА. Елтышева // Мат. сб. — 1988. — Т. 135.

- № 2. - С. 186-209.

[9] Chicone, С. Evolutional semigroups in dynamical system and differential equations / C. Chicone, Y. Latushkin. — Providence, R.I.: AMS. — 1999. — 362 p.

Воробьева, E.B. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В. Воробьева, Р.К. Романовский // Сиб. мат. журн. — 2000. - Т. 41. - № 3. - С. 531-540.

Романовский, Р.К. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости / Р.К. Романовский, Е.В. Воробьева, И.Д. Макарова // Сиб. журн. индустр. математики — 2003. — Т. VI. — № 1(13). — С. 118-124.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Романовский, Р.К. Устойчивость решений смешанной задачи для гиперболических систем с периодическими по времени коэффициентами / Р.К. Романовский, М.В. Мендзив // Докл. АН ВШ РФ. - 2006. - №1(6). - С. 78-85.

В работе Р.К. Романовскому принадлежит постановка задачи, М.В. Мендзив построен вариант прямого метода Ляпунова, в котором условие на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы ослаблено по сравнению со случаем любых гладких коэффициентов.

Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами / М.В. Мендзив // Омский научный вестник. - 2006. - №3(36). - С. 75-78.

Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими коэффициентами / М.В. Мендзив, Р.К. Романовский // Тез. докл. Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10-15 июля 2006). — Владимир, 2006. — С. 151-153.

Тезисы доклада содержат результаты совместных исследований вопросов устойчивости решений задачи Коши и смешанной задачи для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами.

Романовский, Р.К. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости с периодическими по времени коэффициентами / Р.К. Романовский, М.В. Мендзив // Сиб. мат. журн. — 2007. — Т. 48. — № 5. - С. 1134-1141.

В работе Р.К. Романовскому принадлежит постановка задачи и предварительные результаты, М.В. Мендзив получен, достаточный признак экспоненциальной устойчивости в Ья-норме решений задачи Коши с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы. Построен класс решений матричного неравенства, отвечающего за устойчивость.

[16] Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с периодическими коэффициентами / М.В. Мендзив // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Междунар. коцф., посвящ. 100-летию со дня рожд. ак. И.Н. Векуа (Новосибирск, 28 мая - 2июня, 2007 г.): Тез. докл. - Новосибирск:НГУ, 2007. - С. ,230-231.

[17] Мендзив, М.В. Управление гиперболическими системами на плоскости / М.В. Мендзив // Труды IX Междунар. Четаевской конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", посвящ. 105-летию Н.Г. Четаева. Т.З: Управление и оптимизация (Иркутск, 12-16 июня 2007 г.). — Иркутск: ИДСиТУ, 2007. - С. 130-138.

[18] Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем на плоскости с периодическими по времени коэффициентами / М.В. Мендзив, Р.К. Романовский // Дифф. уравнения. - 2008. - Т. 44. - № 2. - С. 257262.

В работе Р.К. Романовскому принадлежит постановка задачи; М.В. Мендзив получены достаточные признаки экспоненциальной устойчивости в ¿2-норме решений задачи Коши и смешанной задачи с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

Печатается в авторской редакции ИД №06039 от 12.10.2001

Подписано в печать 07.10.08. Формат 60x84 %6. Отпечатано на дупликаторе. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100. Заказ 598.

Издательство ОмГТУ. Омск, пр. Мира, 11. Т. 23-02-12 Типография ОмГТУ

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§ 1.1. Матрицы-функции Римана первого и второго рода.

§ 1.2.Разрешающий оператор задачи Коши.

§ 1.3.Разрешающий оператор смешанной задачи.

§ 1.4.Лемма В.П. Потапова об эрмитово-неотрицательных блокматрицах

Глава 2. Устойчивость решений краевых задач для гиперболических систем на плоскости. Общий случай

§ 2.1.Устойчивость решений задачи Коши.

§ 2.2.Класс решений неравенства G < —ml.

§ 2.3.Устойчивость решений смешанной задачи.

Глава 3. Случай периодических и почти периодических по времени коэффициентов

§ 3.1.Устойчивость решений задачи Коши. Периодический случай

§ 3.2.Устойчивость решений смешанной задачи. Периодический случай

§ 3.3.Леммы о почти-периодах.

§ 3.4.Случай почти периодических коэффициентов.

1. Начиная со второй половины прошлого века интенсивно развивается теория устойчивости для уравнений с частными производными.

Основы теории устойчивости для уравнений параболического типа построены в работах Т. И. Зеленяка, В. С. Белоносова, М. М. Лаврентьева (мл.), М. П. Вишневского, получены приложения этих результатов к задачам химической кинетики [1], [2], [7] - [10], [13] - [16], [32] - [34], [93], [106]. В работах П. А. Кучмента, А. И. Милославского [44], [60], [61] распространена теория мультипликаторов Флоке-Ляпунова на линейные уравнения параболического типа с периодическими по всем аргументам коэффициентами и на этой основе получены признаки устойчивости и дихотомии решений задачи Коши для уравнений этого класса.

Первые результаты по теории устойчивости для уравнений гиперболического типа получены в работах М. А. Рутмана, Р. К. Романовского [73], [76], [82] - [86], где доказаны спектральные признаки устойчивости и дихотомии решений задач Гурса и Коши для подклассов гиперболических систем с постоянными и медленно меняющимися коэффициентами. В работах Р. К. Романовского [70] - [72], [81] исследовано асимптотическое поведение — устойчивость, дихотомия, экспоненциальная расщепляемость — решений задачи Коши для гиперболических систем первого порядка с двумя независимыми переменными с гладкими коэффициентами на основе свойств фундаментальной матрицы гиперболической системы, в частности в [72] описана структура оператора монодромии гиперболической системы с периодическими по времени коэффициентами, отвечающего за устойчивость, в пространственнооднородном случае вычислены резольвента и спектр этого оператора. В работах Н. А. Елтышевой [26], [27] установлен признак устойчивости решений смешанной задачи для автономных систем этого класса в терминах спектра неограниченного оператора. В последние годы в работах Г. Крейсса, О. Ор-тиза, О. Рейла, А. Ширикяна и JI. Р. Волевича, JI. Р. Волевича и С. Г. Гин-дикина и других авторов получен ряд результатов по анализу асимптотического поведения различных классов гиперболических уравнений с многими пространственными переменными [12],[17], [104], [108] - [110], [113]. В частности, в [104] исследовано асимптотическое поведение решений задачи Коши для квазилинейной гиперболической системы первого порядка с малым параметром методами теории возмущений. В [17] на основе развитого в работе аппарата энергетических оценок исследуется устойчивость и дихотомия решений смешанной задачи для классов гиперболических уравнений высокого порядка.

В выполненных в последние годы фундаментальных исследованиях М. И. Вишика, А. В. Бабина и М. И. Вишика, В. В. Чепышова и М. И. Ви-шика, В. В. Чепышова и А. Ю. Горитского по аттракторам нелинейных эволюционных уравнений [5], [47], [48], [98] - [100], [112] содержатся приложения к анализу асимптотического поведения подклассов нелинейных параболических и гиперболических уравнений. В книге К. Чиконе и Ю. Латушкина [101] исследуется асимптотическое поведение решений задачи Коши для линейных эволюционных уравнений в банаховом и гильбертовом пространстве методами теории полугрупп.

В указанных выше работах по теории устойчивости для гиперболических систем исследования проводились главным образом на основе первого метода Ляпунова. Представляет интерес распространение второго (прямого) метода

Ляпунова на этот класс динамических систем. Особый интерес для приложений к теории колебаний, теории автоматического управления представляет случай систем, параметры которых периодически или почти периодически зависят от времени.

Первые результаты по прямому методу Ляпунова для гиперболических уравнений получены в последние годы в работах Е. В. Воробьевой, Р. К. Романовского и И. Д. Макаровой [19], [74], где доказаны на этом пути признаки устойчивости решений задачи Коши и смешанной задачи для подклассов гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Диссертационная работа является продолжением этих исследований.

2. Основным содержанием диссертационной работы является дальнейшее развитие теории устойчивости для гиперболических систем с двумя независимыми переменными на основе прямого метода Ляпунова. Эта задача включает в себя построение класса функционалов Ляпунова, в терминах которых формулируются признаки устойчивости, разработку специального варианта прямого метода Ляпунова для систем с периодическими и почти периодическими по времени коэффициентами с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Акрамов, Т.А. Качественный анализ дифференциальных уравнений, описывающих химические реакции с учетом диффузии / Т.А. Акрамов // Математическое моделирование каталитических реакторов. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение. — 1984. — С. 102-115.

2. Акрамов, Т.А. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия / Т.А. Акрамов, М.П. Вишневский // Сиб. мат. журн. — 1995.- Т. 36 № 1. - С. 3-19.

3. Алексенко, Н.В. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Н.В. Алексенко, Р.К. Романовский // Диф. уравнения. — 2001.- Т. 37. № 2. - С. 147-153.

4. Алексенко, Н.В. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа / Н.В. Алексенко // Изв. вузов. Математика. — 2000. № 2. -С. 3-6.

5. Бабин, А.В. Аттракторы эволюционных уравнений / А.В. Бабин, М.И. Вишик М.: Наука, 1989.

6. Барбашин, Е.А. Функции Ляпунова / Е.А. Барбашин. — М.: Наука, 1970.

7. Белоносов B.C. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений / B.C. Белоносов, Т.И. Зеленяк. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1975.

8. Белоносов, B.C. О качественных свойствах решений параболических уравнений / B.C. Белоносов, М.П. Вишневский, Т.И. Зеленяк, М.М. Лаврентьев (мл.) // АН СССР, Сиб. отделение. Вычислительный центр. — Новосибирск, 1983. (Препринт 466).

9. Белоносов, B.C. Об устойчивости стационарных решений нелинейных параболических систем / B.C. Белоносов, М.П. Вишневский // Мат. сб. — 1977. Т. 104(146). - № 4(12). - С. 535-558.

10. Белоносов, B.C. Оценки решений нелинейных параболических систем в гельдеровских классах с весом и некоторые их приложения /B.C. Белоносов // Мат. сб. 1979. - Т. 110. - № 2. - С. 163-188.

11. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. — М.: Наука, 1974.

12. Вишневский, М.П. Критерий устойчивости решений смешанных задач для параболических уравнений / М.П. Вишневский //Краевые задачи для уравнений с частными производными. Труды семинара С.Л. Соболева. Новосибирск. 1984. - № 1. - С. 5-22.

13. Вишневский, М.П. О стабилизации решений слабо связных кооперативных параболических систем / М.П. Вишневский // Мат. сб. — 1992. — Т. 183. № 10. - С. 45-62.

14. Вишневский, М.П. Поведение решений нелинейных параболических уравнений при большом времени / М.П. Вишневский, Т.И. Зеленяк, М.М. Лаврентьев (мл.) // Сиб. мат. журн. — 1995. — Т. 36. № 3. - С. 510-530.

15. Волевич, Л.Р. Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных производных с квазиоднородной старшей частью / Л.Р. Волевич, С.Г. Гиндикин — М.: Эдиториал УРСС, 1999.

16. Воробьева ,Е.В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В. Воробьева, Р.К. Романовский // Сиб. мат. журн.- 2000. Т. 41. - № 3. - С. 531-540.

17. Воробьева, Е.В. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е.В. Воробьева, Р.К. Романовский // Сиб. мат. журн. — 1998. Т. 39. — № 6. - С. 12901292.

18. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн // М.: Наука, 1970.

19. Демидович, Б.П. Об одном случае почти периодичности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка /Б.П. Демидович // УМН. 1953. - Т. 8. - Вып. 6(58). - С. 103-106.

20. Дергузов, В.И. Достаточные условия устойчивости гамильтоновых уравнений с неограниченными периодическими коэффициентами / В.И. Дергузов // Мат. сб. 1964. - Т. 64(106). - № 3. - С. 411-435.

21. Добровольский, С.М. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем / С.М. Добровольский, Р.К. Романовский // Мат. заметки. 1997. - Т. 62. - № 1. - С. 151-153.

22. Добровольский, С.М. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей / С.М. Добровольский, А.С. Котюргина, Р.К. Романовский // Мат. заметки. — 1992. — Т. 52. № 6. — С. 10-14.

23. Добровольский, С.М. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / С.М. Добровольский, А.В. Рогозин // Сиб. мат. журн. 2005. - Т. 46. - № 1. — С. 98-105.

24. Елтышева, Н.А. К вопросу об устойчивости решений некоторых гиперболических систем / Н.А. Елтышева // ДАН СССР. — 1986. — Т. 289. — № 1. С. 30-32.

25. Елтышева, Н.А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости / Н.А. Елтышева // Мат. сб. — 1988. — Т. 135. № 2. - С. 186-209.

26. Еругин, Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н.П. Еругин. Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

27. Жиков, В.В. Об обратимости оператора ^ + A(t) в пространстве ограниченных функций / В.В. Жиков, В.М. Тюрин // Мат. заметки. — 1976. — Т. 19. № 1. - С. 201-207.

28. Жукова, О.Г. Об устойчивости одного класса систем граничного управления с обратной связью /О.Г. Жукова, М.В. Мендзив // Докл. АН ВШ РФ. 2006. - №2(7). - С. 6-13.

29. Зверкин, A.M. Полнота системы решений типа Флоке для уравнений с запаздыванием / A.M. Зверкин // Диф. уравнения. — 1968. — Т. 4. — С. 474-478.

30. Зеленяк, Т.П. К вопросу об устойчивости решений смешанных задач для одного класса квазилинейных уравнений / Т.И. Зеленяк // Диф. уравнения. 1967. - Т. 3. - № 1. - С. 19-29.

31. Зеленяк, Т.И. Качественная теория краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка параболического типа / Т.И. Зеленяк — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1972.

32. Зеленяк, Т.И. О качественных свойствах решений квазилинейных смешанных задач для уравнений параболического типа / Т.И. Зеленяк // Мат. сб. 1977. - Т. 104. - № 3. - С. 486-510.

33. Кириченова, О.В. Метод функций Ляпунова для систем разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / О.В. Кириченова, А.С. Котюргина, Р.К. Романовский // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37. — № 1. С. 170-174.

34. Кириченова, О.В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений / О.В. Кириченова // Сиб. мат. журн. 1998. - Т. 39. - № 1. - С. 45-48.

35. Колесов, Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Ю.С. Колесов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль, 1977. — С. 82-141.

36. Красносельский, М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов. — М.: Наука, 1970.

37. Крейн, М.Г. Обобщение некоторых исследований A.M. Ляпунова о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами / М.Г. Крейн // ДАН СССР. 1950. - Т. 73. -К0- 3. - С. 445-448.

38. Крейн М.Г. Основные положения теории А-зон устойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / М.Г. Крейн //В сб.: Памяти А.А. Андронова. — Изд-во АН СССР, 1955. С. 413-498.

39. Крейн, М.Г. Гамильтоновы системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / М.Г. Крейн, В.А. Якубович // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. — 1963. Т. I. - С. 277-305.

40. Крылов, Н.М. Введение в нелинейную механику / Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. — Киев: Изд-во АН УССР. — 1937.

41. Кубышкин, Е.П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Е.П. Кубышкин // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль, 1978. — С. 110-117.

42. Кучмент, П.А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных / П.А. Кучмент // УМН. — 1982. — Т. 37. — № 4. — С. 3-52.

43. Лаврентьев, М.М.(мл.) Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач // М.М. Лаврентьев (мл.), Люлько Н.А. // Сиб. мат. журн. 1997. - Т. 38. - № 1. - С. 109-124.

44. Левитан, В.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / В.М. Левитан, В.В. Жиков. — М.: Изд-во МГУ, 1978.

45. Лесик, С.Л. Аттрактор неавтономного гиперболического уравнения с малым параметром / С.Л. Лесик // Мат. заметки. — 2000. — Т. 67. — № 2.- С. 308-318.

46. Лесик, С.Л. Аттрактор неавтономного гиперболического уравнения с малым параметром / С.Л. Лесик // Мат. заметки. — 2002. — Т. 72. — № 6.- С. 945-948.

47. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов // В кн.: Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР. — 1956. — Т. 2. — С. 7-263.

48. Мендзив, М.В. Об устойчивости одного класса распределенных систем управления с обратной связью / М.В. Мендзив // Омский гос. техн. ун.-т. Омск, 2006. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.06.2006, №816-В2006.

49. Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем на плоскости с периодическими по времени коэффициентами /М.В. Мендзив, Р.К. Романовский // Диф. уравнения. 2008. - Т. 44. — № 2. - С. 257-262.

50. Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами / М.В. Мендзив // Омский научный вестник. 2006. - №3(36). - С. 75-78.

51. Милославский, А.И. К теории Флоке для параболических уравнений / А.И. Милославский // Функциональный анализ. — 1976.'— Т. 10. — № 2. С. 80-81.

52. Милославский, А.И. Теория Флоке для абстрактных параболических уравнений с периодическими коэффициентами / А.И. Милославский // Канд. диссертация. — Ростов-на-Дону, 1976.

53. Митропольский, Ю.А. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. — Киев: Вища школа, 1979.

54. Митропольский, Ю.А. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодическими коэффициентами /Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Д.И. Мартынюк. — Киев: Наукова думка, 1984.

55. Мышкис, А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости / А.Д. Мышкис, В.Э. Аболиня // Мат. сб. — 1960. Т. 50. - № 4. - С. 423-442.

56. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский — М.: Наука, 1951.

57. Романовская, A.M. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы второго порядка с периодическими коэффициентами / A.M. Романовская // Изв. вузов, сер. мат. — 1987. — № 7. — С. 44-48.

58. Романовский, Р.К. Метод Римана для гиперболических систем / Р.К. Романовский, Е.В. Воробьева, Е.Н. Стратилатова. — Новосибирск: Наука, 2007.

59. Романовский, Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский, Г.А. Троценко // Сиб. мат. журн. 2003. - Т. 44. - № 2. - С. 444-453.

60. Романовский, Р.К. Метод функционалов Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений / Р.К. Романовский, Г.А. Троценко, Н.В. Алексенко. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007.

61. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // ДАН СССР. 1982. - Т. 267. - № 3. - С. 577-580.

62. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Мат. сб. 1985. - Т. 127. - № 4. - С. 494-501.

63. Романовский, Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. — Киев. 1987. - С. 47-52.

64. Романовский, Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа / Р.К. Романовский // ДАН СССР. 1965. - Т. 163. - № 5. - С. 1077-1080.

65. Романовский, Р.К. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости / Р.К. Романовский, Е.В. Воробьева, И.Д. Макарова // Сиб. журн. индустр. математики —2003. Т. VI. - № 1(13). - С. 118-124.

66. Романовский, Р.К. Об экспоненциальной дихотомии решений уравнений гиперболического типа / Р.К. Романовский // УМН. — 1976. — Т. 32. — № 1. С. 259-260.

67. Романовский, Р.К. Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский, Н.В. Алексенко, С.М. Добровольский, О.В. Кириченова. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2001.

68. Романовский, Р.К. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости с периодическими по времени коэффициентами / Р.К. Романовский, М.В. Мендзив // Сиб. мат. журн. — 2007. — Т. 48. № 5. - С. 1134-1141.

69. Романовский, Р.К. Устойчивость решений смешанной задачи для гиперболических систем с периодическими по времени коэффициентами /Р.К. Романовский, М.В. Мендзив // Докл. АН ВШ РФ. — 2006. №1(6). — С. 78-85.

70. Романовский, Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р.К. Романовский // Мат. сб. 1987. -Т. 133. - № 3. - С. 341-355.

71. Рутман, М.А. Критерий ограниченности решений для линейных дифференциальных уравнений с частными производными, обладающих старшим членом / М.А. Рутман // ДАН СССР. 1962. - Т. 147. - Вып. 4. - С. 789-792.

72. Рутман, М.А. О некоторых операторных уравнениях в полуупорядоченном пространстве, имеющих применение в теории устойчивости по Ляпунову / М.А. Рутман // ДАН СССР. 1955. - Т. 101. - Вып. 1. -С. 217-220.

73. Рутман, М.А. О порядке экспоненциального роста решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными / М.А. Рутман // ДАН СССР. 1959. - Т. 124. - Вып. 4. - С. 764-767.

74. Рутман, М.А. Об устойчивости решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами / М.А. Рутман // ДАН СССР. 1956. - Т. 108. - Вып. 5. - С. 770-773.

75. Рутман, М.А. Операторные уравнения в полуупорядоченных пространствах и некоторые качественные теоремы для линейных дифференциальных уравнений с частными производными / М.А. Рутман // УМН. — 1957. Т. 12. - Вып. 1(73). - С. 234-238.

76. Стругова, Т.М. Об устойчивости линейных стохастических разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Т.М. Стругова // Мат. заметки. 2005. - Т. 78. - № 3. - С. 472-475.

77. Фомин, В.Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах / В.Н. Фомин // Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972.

78. Халанай, А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием / А. Халанай // Rev. math, pures et eppl. — 1961. — V. 6. — № 4.- P. 633-653.

79. Хапаев, M.M. Об исследовании на устойчивость в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с почти-периодическими коэффициентами / М.М. Хапаев, О.В. Анашкин // ДАН СССР. 1978. - Т. 240. - № 5. - С. 1028-1031.

80. Хапаев, М.М. Усреднение в теории устойчивости / М.М. Хапаев. — М.: Наука, 1986.

81. Шиманов, С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени / С.Н. Шиманов // Прикл. мат. и мех. — 1963. — Т. 27. — Вып. 3. — С. 450-458.

82. Шобухов, А.В. Устойчивость бифуркационного периодического решения в системах типа "реакция-диффузия"/ А.В. Шобухов // Математическое моделирование. — 1991. Т. 3. — № 6. — С. 22-28.

83. Штокало, И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами / И.З. Штокало // Мат. сб.(новая серия) 1946. — Т. 19. — № 2. - С. 13-21.

84. Якубович, В.А. Параметрический резонанс в линейных системах / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. — М.: Наука, 1987.

85. Якубович, В.А. Частотная теорема для периодических систем / В.А. Якубович // ДАН СССР. 1986. - Т. 287. - № 1. - С. 70-73.

86. Якубович, В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. — М.: Наука, 1972.

87. Chepyzhov, V.V. Attractors for non-autonomous evolution equations with almost periodic symbols / V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik // C. r. Acad. sci. Ser. 1. 1993. - V. 316. - № 4. - P. 357-361.

88. Chepyzhov, V.V. Dimension estimates for attractors and for kernel sections of non-autonomous evolution equations / V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik // C. r. Acad. sci. Ser. 1. 1993. - V. 317. - № 4. - P. 365-370.

89. Chepyzhov, V.V. Unbounded Attractors of Evolution Equations / V.V. Chepyzhov, A.Yu. Goritskii // Prop. Glob. Attractors Part. Differ. Equat. — Providence (R. I.). — 1992. — P. 85-128.

90. Chicone, C. Evolutional semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Y. Latushkin. — Providence, R.I.: AMS, 1999.

91. Floce, G. Sur les equations differentielles lineairas a coefficients periodiques / G. Floce //Ann. Fcolle Norm. 1883. - V. 12. - № 2. - P. 47-89.

92. Hale, J.K. Coincidence degree and periodic solutions of neutral equations / J.K. Hale, J. Mawhin // Differential Eq-ns. 1975. - 15. - P. 295-307.

93. Kreiss, H-O. Stability of quasi-linear hyperbolic dissipative systems / HO. Kreiss, O.E. Ortiz, O.A. Reula // Differential Equations. 1998. —V. 142. - № 1. - P. 78-96.

94. Lillo, J.C. First order periodic differential difference equations / J.C. Lillo // J. Math. Anal, and Appl. 1979. - V. 70. - № 2. - P. 389-398.

95. Peterson, L.D. Stability of solution of nonlinear diffusion problem / L.D. Peterson, C.G. Maple //Math. Anal, and Appl. — 1996. V. 14. — № 2. - P. 221-241.

96. Poincare, H. Sur le problems des trios corps et les equations de la dynamique / H. Poincare // Acta Math. 1890. - V. 13. - P. 5-270.

97. Shirikyan, A. Asymptotic behavior of solutions to second-order hyperbolic equations / A. Shirikyan // ICM"98: Int. Congr. Math., Berlin, Aug. 18-27, 1998:Abstr. Short. Comm. and Poster Sess. Bielefeld. - 1998. — P. 221-222.

98. Shirikyan, A. Asymptotic behavior of solutions to second-order hyperbolic equations with non-linear damping term / A. Shirikyan // Pend. Accad. Naz. sci/ XL. Mem. mal. e appl. 1998. - V. 22. — № 1. — P. 1-21.

99. Stokes, A.P. A Floquet theory for functional differential equations / A.P. Stokes // Proc. Nat. Acad, of Sci, U.S.A. 1962 - 48. - P. 13301334.

100. Vishik, M.I. Asymptotic behavior of solutions of evolutionary equations / M.I. Vishik // Lezioni Linsee. Cambridge University Press, Cambridge. — 1992.

101. Weijiu, L. The exponential stability of the problem of transmission of the wave equation / L. Weijiu, W. Graham // Bull. Austral. Math. Soc. — 1998. V. 57. - № 2. - P. 305-327.