Исследование на устойчивость нелинейных системобыкновенных дифференциальных уравнений, имеющихинвариантные множества тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЮШШКИЙ^ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

| на правах рукописи

МЕДВЕДЕВА МАРШ ГЕРМАНОВНА

Исследование на устойчивость нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих инвариантные множества

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ .Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994 г.

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного Университета им.М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

) профессор М.М.Хапаеэ, ]

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е.А.Сатаев, кандидат физико-математических наук М.Б.Орлов.

Ведущая организация: Московский энергетический институт.

;/Зашита диссертации состоится " " 1994 г.

в /у.1: часов на заседании специализированного совета К.053.05.87 в Московском Государственном Университете им.М.В.Ломоносова' по адресу: 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, факультет ВМиК (II учебный корпус), ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВМиК /ЛГУ.

Автореферат разослан

1994 г.

Ученый секретарь совета / доцент

5.М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуально2ть_течы_диссортации

'■Настоящая работа посвящена вопросам исследования на устойчивость в системах дифференциальных уравнений с малыми возмущениями. Задачи такого типа встречаются во многих разделах физики, математики и техники. Исследование на устойчивость требуется также .при решении современных задач экономики, экологии и в других областях. Изучению вопросов устойчивости посвящено большое количество теоретических и прикладных работ.

Одним из основных методов исследования устойчивости движения является второй метод Ляпунова, основанный на использовании функций, обладающих специальными свойствами - функций Ляпунова^". Теория этого метода развивалась в трудах Н.Г.Четаева, И.Г.Малкина, Е.А.Ба-рбашина и многих других ученых;

Отсутствие общих методов'построения функции Ляпунова .и специфика многих задач теории нелинейных колебаний (наличие малого параметра, осцилляция возмущений, аозникновение резонансных эффектов и т.п.) привело к модернизации классических рецептов метода Ляпунова и соединению их с асимптотическими методами усреднения.

о

В работах М.М.Хапа.ева предложено обобщение второго метода Ляпунова, ослабляющее оба его основные требования: условие положительной определенности функции Ляпунова и условие на знак ее производной.

1. Ляпунов A.M. Общая .задача об устойчивости движения.-Гостехиздат, 1950.

2. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости,- М.: Наука, 1986.

Настоящая работа также посвящена исследованию на устойчивость по части переменных систем с малыми возмущениями. Целью этих исследований является учет некоторых более конкретных свойств изучаемых систем по сравнению с классическими, но более общими случаями.

Упомянутые выпи средние значенияв обобщенном методе Ляпунова обычно вычисляются вдоль интегральных кривых невозмущенной системы. Для этого необходимо знать интегральную кривую ..пусть, вообще говоря, более простой, чем исходная система, но все-же достаточно сложной нелинейной системы, причем, на бесконечном или асимптотически большом промежутке времени.

В нелинейных диссипативынх системах часто существуют периодически е устойчивые двгасения, которые в фазовом пространстве системы изображаются изолированной замкнутой траекторией - предельным циклом.

Естественно ожидать, что наличие учтойчивого предельного цикла может полезным образом изменить условия и возможности применения обобщенного метода Ляпунова для исследования устойчивости. Достато-

3

чные условия устойчивости периодических решений сводятся к исследованию характеристических показателей соответствующей системы в вариациях. Эти условия обеспечивают асимптотическую орбитальную устойчивость рассматриваемых периодических решений.

С повышением размерности фазового пространства рассматриваемых систем (т\.>3), становится возможным существование более сложных

3. Демидович Б.П, Лекции по математической теории устойчивости.-М.: наука, 1967.

устойчивых инвариантных множеств - инвариантных торов. Это имеет место, например, в случае квазипериодических колебаний. Если между частотами нескольких гармоник, описывающих колебательный процесс, нет рациональных соотношений, то возникают так называемые эргоди-ческие квазипериодические колебания'. Их фазовым пространством будет плотная намотка тора. Фундаментальные результаты об инвариантных многообразиях тороидального вида были получены Н.Н.Боголюбовым, Н.М.Крыловым, Ю.А.Митропольским. Итоги ряда дальнейших исследований подведены в книге А.М.Самойленко^. Предельные циклы и инвариантные торы принято называть тшост™и_или_2ег^лярн^и_атт2§ктор^и, поскольку динамика систем с такими аттракторами не является хаотической и носит, самое сложное, эргодический характер. Регулярные аттракторы являются подмногообразиями фазового пространства динамических систем, обладающими мерой нуль в исходном фазовом пространстве.

В диссипативынх динамических системах, размерность фазового пространства которых VI. 3, мо^ут также существовать ограниченные притягивающие множества, которые являются аттракторами и одновременно не являются подмногообразиями. Их геометрическая структура обычно аналогична канторову множеству, а важной качественной характеристикой является дробная размерность. Такие аттракторы называются ст£аннши_атт2акторами.Термин "странный аттрактор" был введен Д.Рюэлем и Ф.Такенсом в .

4. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы.- М.: Наука, 1987.

5. Рюэль Д., Такенс Ф. Странные аттракторы,- М.: Мир, 1981.

Одним из типов странных аттракторов являются гиперболические аттракторы, состоящие из множества нейстойчивых по Ляпунову траекторий, которые всюду в аттракторе являются седловыми. Примерами гиперболических аттракторов служат так называемые У-системы Анор сова, соленоиды Олейла-Вильямса и др.

При изучении динамических систем ряд важных количественных характеристик имеют вид средних значений некоторых известных функций вдоль траекторий рассматриваемой системы. Важную роль при этом играет понятие э£Годическогодвижения.Это свойство имеет место, если фазовая траектория всюду плотно заполняет некоторый обьем в фазовом пространстве. Эргодическим является движение, например, на двумерном торе при несоизмеримости частот.

Важнейшим моментом эргодической теории является существование инвариантной (то есть не зависящей от времени и начальных данных) меры, позволяющей заменять вычисление средних значений по времени средними значениями по инвариантной меое в области фазового простран ства, заполненной рассматриваемой траекторией. Одной из последних, посвященных инвариантным мерам для гиперболических отображений,

г

является статья Е.А..Сатаева . Следуя 6,7 мы будем пользоваться понятием стохастического_аттрактора.

В настоящей работе исследуются на устойчивость по части переменных системы дифференциальных уравнений, имеющие регулярные и стохастические аттракторы.

6. Сатаев Е.А. Инвариантные меры для гиперболических отображений с особенностями.// Ш.- 1992. Т.47, вып.1 (283), с.147-202.

7. Синай Я.Г. Стохаотичность динамических систем.//Нелинейные волны.- М.: Наука, 197Э.- С. 192-212.

_ Г< _ ' /-

0сновные_уели_2§боты

- применение обобщенного метода Ляпунова к исследованию"на устойчивость в системах, обладающих притягивающими инвариантными множествами (аттракторами); |

- рассмотрение как регулярных'(предельные циклы, инвариантные торы), так и "странных" (стохастических, гиперболических) аттракторов.

В работе доказаны теоремы:

- об устойчивости по части переменных при постоянно действующих малых возмущениях для существенно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающих предельными циклами;

- то же для систем, обладающих инвариантными торами,

- то же для систем, обладающих стохастическими аттракторами.

Проведено сопоставление полученных результатов.

Таким образом, исследована возможность применения обобщенного метода Ляпунова для исследования на устойчивость в системах, содержащих основные типы притягивающих инвариантных множеств.

ОбЩ§л_м§тодика_исследования

В доказательстве теорем применялось сочетание идей второго метода Ляпунова и асимптотического метода усреднения.

При наличии у исследуемых систем -дифференциальных уравнений инвариантных множеств (аттракторов), обладающих инвариантной мерой, изучалась возможность замены исследования требуемых конструкций вдоль интегральных кривых их исследованием на аттракторах.

В диссертационной работе доказаны теоремы, позволяющие исследовать устойчивость части переменных при постоянно действующих малых возмущениях в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результаты обобщенного метода Ляпунова расширены на случаи, когда рассматриваемые системы обладают инвариантными множествами, в результате чего исследование поведения заданных систем в окрестности агтракторов может быть проведено путем изучения этих систем на самих аттракторах.

Рассмотрены основные типы аттракторов: предельные циклы, инвариантные торы, стохастические аттракторы. Выявлен различный характер результатов для регулярных и странных аттракторов.

Апробация_работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах: Семинаре по асимптотическим методам математической физики 1*1.М.Ханаева (факультет ВМиК МГУ), зимней математической школе "Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущений" (Москва, АксакоЕО, 1993 г.), Семинар кафедры Спецкурсов Высшей математики Московского энергетического института.

Структу2а_диссертации

Диссертация состоит из введения и трех глав, и содержит 65 страниц машинописного текста. Список литературы содержит 39 наименований.

Содержание__работы

Работа состоит из введения и трех глав. Во введении представлен обзор научной литературы, связанной с темой настоящей работы и кратко изложены важнейшие результаты диссертации. В первой главе доказана теорема об исследовании на устойчивость по части переменных с применением обобщенного метода Ляпунова систем, имеющих предельные циклы. Вторая глава посвящена исследованию на устойчивость систем, имеющих инвариантные тороидальные многообразия. В третьей главе рассматриваются-'системы, имеющие гиперболические аттракторы, и доказывается теорема об устойчивости по части переменных в таких системах.

В работе изучаются системы

скХ

= £ (2) + * =(х ,<л ) (I)

зс.

^ - векторы, ул- ^ 0 - малый параметр. Система (I) рассматривается в области <5 = I х Вн х]) , где I =( ± : \ ? 0), Вц =( ос * Н ), 1) - область

изменения ^ .

Наряду с системой (I) рассматривается невозмущенная система

(2)

= 5 ( Д ), г = (х ). (2)

Предполагается, что системы (I) и (2) удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование и единственность решения задачи Коши в области О .

Предполагается далее, что невозмущеннал система (2) имеет по переменным а! точку покоя. Устойчивость этой точки покоя обеспечивается существованием положительно определенной по пере-

менньм эс функции Ляпунова % ( эс , у ), допускающей по переменным Х- бесконечно малый высший предел,-причем

% I * о.

(2> !

Требование, чтобы точка покоя была лишь устойчивой, означает исследование так называемого "критического" или "нейтрального" случая, когда свойства устойчивости возмущенной системы (I) зависят от свойств возмущений

Система (I) изучается на устойчивость по переменным в

окрестности точки эс =0.

Для возмущенной системы (I) рассматривается возмущенная функция Ляпунова

V = ( 2 ) + к. ( ± , 2 ,ум., £ ), где £ - величина рассматриваемой окрестности точки = 0, а возмущение "Ы. для ^д.—> 0 можно выбрать достаточно мальм в кольцевой области точки эс = 0,

В первой главе рассматриваются системы (I), для которых невозмущенная система (2) обладает инвариантным множеством в виде "плоского" (Х-- 0) предельного цикла с определенными свойствами устойчивости. Устойчивость периодического решения системы (2) определяется свойствами соответствующей системы в вариациях. Периодическое решение бццет устойчивым, если кратность характеристического показателя Ляпунова равна единице, а все остальные характеристические показатели Ляпунова являются отрицательными. Из этих условий следует асимптотическая орбитальная устойчивость предельного цикла, использующаяся при доказательстве теоремы I. При наличии у невозмущеннйй системы асимптотически орбитально устойчивого предель ного цикла, выполнение основного требования обобщенного метода

Ляпунова - отрицательности интеграла от производной обобщенной функции Ляпунова вдоль решения системы (2) для траекторий, близких к предельному циклу, становится возможным заменить аналогичным требованием на самом предельном цикле.

Во второй главе исследуются системы уравнений вида (I), где

с периодом 2"П- .

Если невозмущенная система (I) обладает "плоским" 0) устойчивым инвариантным тором, то в области притяжения такого инвариантного тора условия, обеспечивающие применение обобщенного метода Ляпунова, могут быть сформулированы применительно к свойствам изучаемых конструкций на самом инвариантном множестве.

Предполагается, что система (2) удовлетворяет достаточным условиям существования экспоненциально устойчивого инвариантного тора. Эт;. условия обеспечивают не только притяжение к тору как к некоторому множеству точек фазового пространства, но так^е притяжение между траекториями системы (2), начинающимися на самом торе и в некоторой его окрестности. При этом становится возможным рассматривать условия применимости обобщенного метода Ляпунова на самом торе.

Заменить усреднение по времени вдоль траектории системы (2), лежащей на торе, усреднением по самому тороидальному инвариантному многообразию становится возможным в эргодическом случае, когда траектория системы (2) оказывается всюду плотной на торе. Это имеет место б случае несоизмеримости частот, отвечающих группе фазовых переменных системы (2). Возможно наличие предельного цикла, расположенного на торе, при наличии рациональной зависимости

между частотами.

Притягивающие предельные множества (аттракторы), рассматривавшиеся в первой и второй главах, - предельные циклы и инвариантные торы относились к так назывемым ¿^остым или 2§гуля|>ным аттракторам.

Третья глава посвящена исследованию на устойчивость по переменным в системах с так называемыми странными аттракторами, характеризующимися сочетанием сжатия фазового обьема с локальной неустойчивостью фазовых траекторий. Колебательные режимы в системах со странными аттракторами нерегулярны и во многом,несмотря на их детерминированность, сходны со случайными процессами.

В этой главе рассматриваются системы типа (I), обладающие так называемыми стохастическими аттракторами. Следуя б, мы будем подчинять системы (I) и (2) требованиям, обеспечивающим существование стохастического аттрактора, обладающего свойством эргодичности и позволяющим», перейти от усреднения по интегральной кривой к усреднению по инвариантной мере на аттракторе. Это свойство, а также непрерывная зависимость инвариантной меры от отображения используется при изучении нелинейной системы с возмущениями (I).

I /

Сложная структура решений динамической системы с гиперболическими предельными множествами приводит к некоторому качественному отличию результатов главы 3 от результато глав I и 2. Используемое свойство эргодичности означает равенство среднего по инвариантной мере среднему значению вдоль траектории по времени. Использовавшаяся ранее равномерность достижения этого среднего относительно параметров ~Ь0 , ^ , теперь не имеет места. Поэтому в системах со "странными" аттракторами нельзя указать, как в системах с регулярными аттракторами, некоторый промежуток , на которо:

бы, независимо от выбора этих параметров из некоторой области, интересующие нас средние значения достигали требуемых в обобщенном методе Ляпунова отрицательных значений. Это приводит к несколько иной, формулировке результата теоремы 3.

Результат теоремы 3 можно интерпретировать как утверждение о притяжении траекторий к положению равновесия.

Гиперболические аттракторы суть множества сложной природы, не являющиеся многообразиями фазового пространства. Поэтому их области влияния не являются окрестностями в обычном смысле, и результат теоремы 3 относится к почти всем траекториям.

Итак, основные результатьгработы заключаются в следующем.

1. Доказаны теоремы, позволяющие использовать обобщенный метод Ляпунова для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянно действующими возмущении при наличии у этих систем притягивающих предельнък множеств - аттракторов.

2. Рассмотрены три основных типа таких аттракторов - предельные циклы, инвариантные торы и стохастические аттракторы.

3. Характер полученных результатов для регулярных аттракторов (предельные циклы, инвариантные торы) качественно отличается от случая стохастического аттрактора по той причине, что в последнем случае не имеет места экспоненциальное притяжение траекторий из окрестности аттрактора к траектории на аттракторе.

Изложенные в диссертационной работе результаты опубликованы автором в статьях /I - 3/.

Автор выражает глубокую признательность профессору М.М.Хапаеву за постановку задачи и руководство работой.

Автор благодарит академика Я.Г.Синая за внимание к работе ■ и многочисленные консультации.

5™?ок печатных _£§бот_по_т ем е_дисс ертауии.

1. Медведева М.Г. Исследование на устойчивость систем, имеющих предельные циклы.// Дифференциальные уравнения.- 1992.- Т.28, №7,-С.1280-1283.

2. Медведева М.Г. Исследование на устойчивость систем, имеющих инвариантные тороидальные многообразия.// Дифференциальные уравнения.-1992.- Т.28, № 12.- С.2169-2172.

3. Медведева М.Г. Исследование на устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих гиперболические аттракторы.// Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущений. Материалы зимней математической школы (25-30 января 1993 г.).М.: Рос.1Ъс.Соц.Ин-т.- 1993.- С.Ш-112.