Об ограниченности и устойчивости движений механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§1. Вводный.

§2. Дифференциальные уравнения второго порядка как математические модели движения экипажа железнодорожного транспорта.

§3. Ограниченность решений обобщенной системы Льенара.

§4. Устойчивость решений обобщенной системы Льенара.

§5. Ограниченность решений нелинейных уравнений второго порядка.

§6. Устойчивость решений нестационарных линейных уравнений второго порядка.

§7. Об асимптотических свойствах решений дифференциальных уравнений второго порядка.

§8. Качественное исследование интегральных многообразий уравнения Дуффинга.

§9. Об ограниченности решений систем дифференциальных уравнений второго порядка.

§10. О существовании и устойчивости предельного цикла системы уравнений типа Пуанкаре.

ЛИТЕРАТОРА.

Диссертационная работа посвящена исследованию ограниченности, устойчивости в смысле Ляпунова и других качественных свойств движений механических систем, моделируемых обыкновенными нестационарными дифференциальными уравнениями и системами второго порядка.

Актуальность темы. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы второго порядка используются в качестве математических моделей в разнообразных задачах механики, техники, теории автоматического регулирования и т.д. Этим объясняется постоянный интерес к изучению таких уравнений. По словам известного ученого Р. Беллмана, «с математической точки зрения дифференциальное уравнение второго порядка представляет собой постоянный вызов искусству аналитика».

Актуальными проблемами при исследовании динамических и геометрических свойств дифференциальных уравнений и систем второго порядка являются проблемы устойчивости и ограниченности движений.

Вопросы теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (как линейных, так и нелинейных) изучались, начиная с работ А. Пуанкаре,

A. М. Ляпунова, Н. Е. Жуковского и Дж. Биркгофа, в работах отечественных и зарубежных ученых: Е. А. Барбашина, Л. А. Гусарова, Г. Н. Дубошина, И. Г. Малкина, В. В. Румянцева,

B. М. Старжинского, Н. Г. Четаева, В. А. Якубовича, Т. А. Бартона, Р. Беллмана, Дж. Ф. Джианга, Т. Динга, К. Квана, Э. А. Коддингтона, В. Коппела, Н. Левинсона, С. Лефшеца, Б. Манфреди, 3. Опяля, М. Урабе, Ф. Хартмана, Л. Чезари и других ученых.

Вопросы об ограниченности и асимптотическом поведении решений указанных уравнений рассматривались в работах М. М. Беловой, Л. А. Гусарова, В. В. Романкова, В. М. Старжинского, А. А. Шестакова, Е. В. Щенниковой, Р. Беллмана, Т. Иосидзавы, К. Квана, В. Коппела, Н. Левинсона, Р. Ортега и других ученых.

Одним из основных методов исследования свойств устойчивости и ограниченности решений является метод функций Ляпунова, созданный А. М. Ляпуновым и получивший к настоящему времени значительное развитие. Метод функций Ляпунова является эффективным методом при решении многих теоретических и прикладных задач устойчивости и ограниченности движений как линейных, так и нелинейных механических систем.

В настоящей диссертации уточнены и обобщены известные результаты об устойчивости и ограниченности решений дифференциальных уравнений второго порядка, в частности, уравнения Льенара и уравнения Дуффинга; получены новые достаточные признаки устойчивости и ограниченности движений; проведено качественное исследование и изучено асимптотическое поведение решений для ряда важных классов уравнений второго порядка.

Объект исследования. В работе рассмотрены следующие классы уравнений и систем: обобщенная система Льенара; нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка общего вида; нелинейное дифференциальное уравнение специального вида; уравнение Дуффинга; система п дифференциальных уравнений второго порядка, разрешенные относительно второй производной (п > 2); система дифференциальных уравнений первого порядка типа Пуанкаре.

Цель работы состоит в исследовании свойств устойчивости и ограниченности решений, асимптотических свойств решений уравнений и систем второго порядка.

Методы исследования. В диссертации использованы: классический метод функций Ляпунова; метод обобщенных функций Ляпунова; метод интегральных многообразий; метод локализации предельных множеств.

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые теоремы об устойчивости и ограниченности решений некоторых классов уравнений и систем второго порядка; получены оценки роста решений для линейного нестационарного уравнения с затуханием, обобщающие ранее полученные другими авторами результаты; проведено исследование интегральных многообразий уравнения Дуффинга; установлены новые теоремы о существовании и единственности предельного цикла для систем дифференциальных уравнений типа Пуанкаре.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании свойств ограниченности и устойчивости систем автоматического регулирования, некоторых электромеханических и радиотехнических систем, механических систем подвижного состава железнодорожного транспорта, гравитационных систем. Результаты работы могут быть использованы при чтении курсов аналитической динамики, теории устойчивости и качественной теории динамических систем.

Диссертация состоит из введения, десяти параграфов, списка литературы.

1. Андронов А. А., Витт А. А. Об устойчивости по Ляпунову // ЖЭТФ. 1933. Т.З. Вып. 3.

2. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

3. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

4. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

5. Белова М. М. Об ограниченных решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Доклады АН СССР. 1968. Т. 180. №2. С. 266 268.

6. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.

7. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984.

8. Галиуллин А. С. Аналитическая динамика. М.: Высшая школа, 1989.

9. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г., Фурасов В. Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

10. Галиуллин А. С., Шестаков А. А. Устойчивость движения и вариционные принципы динамики // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Прикладная математика и информатика». 1996. №2. С. 20 28.

11. Галиуллин И. А. Устойчивость регулярных прецессий симметричного тела в ньютоновском поле сил // Космические исследования. 1995. Т. 33. №1. С. 107 108.

12. Галиуллин И. А. К исследованию структурной устойчивости прецессионного движения планет // Астрономический вестник. 1999. Т. 33. №1. С. 1 -7.

13. Голечков Ю. И. Устойчивоподобные свойства решений некоторых классов обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Л.: ЛГУ, 1985.

14. Гусаров Л. А. Об ограниченности решений линейного уравнения второго порядка // ДАН СССР. 1949. Т. 68. №2. С. 217 220.

15. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

16. Дружинина О. В. Критерий устойчивости в смысле Ляпунова семейства периодических решений // Доклады РАН. 2000. Т. 371. №3. С. 329 332.

17. Дружинина О. В., Шестаков А. А. О структуре устойчивого в смысле Ляпунова аттрактора // Доклады РАН. 2000. Т. 371. №6. С. 770-772.

18. Дружинина О. В. Развитие методов исследования качественных свойств траекторий уравнений небесной механики. Дисс. . докт. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 2000.

19. Дубошин Г. Н. Некоторые критерии устойчивости для уравнения х + рх = 0 // ДАН СССР. 1935. Т. 3. №9. С. 390 392.

20. Жуковский Н. Е. Условия конечности интеграловуравнения ~Y + py = 0 // Полное собр. соч. М.-Л.: ОНТИdxНКТП, 1937. Т. 1. С. 315 324.

21. Жуковский Н. Е. Теоретическая механика. М.: ГИТТЛ, 1950.

22. Зубов В. И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

23. Зубова А. Ф. Исследование колебаний и устойчивости // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. XV. №11. С. 1960 1966.

24. Карпухин В. Б. Методы качественного анализа математических моделей динамических процессов. М.: РУДН, 2000.

25. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

26. Косенко И. И. О построении фазовых траекторий гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия // ПММ. 1989. Т.53. Вып. 4. С. 531.

27. Косенко И. И. Представление решения задачи двух неподвижных центров с помощью модулярных функций // ПММ. 1993. Т.57. Вып. 6. С. 3 13.

28. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Фитматгиз, 1959.

29. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961.

30. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.

31. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

32. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

33. Малышева И. А. Исследование асимптотических свойств некоторых классов обыкновенных дифференциальных систем прямым методом Ляпунова. Дисс. .канд. физ.-матем. наук. Л.: ЛГУ, 1980.

34. Массера X. Jl. К теории устойчивости // Период, сб. перев. ин. статей. Математика. 1957. 1. №4. С. 81 101.

35. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Исследование поведения решений нелинейных уравнений в окрестности положения равновесия // Сб. «Математическая физика». Киев: Наукова думка, 1965. С. 74-96.

36. Михайлов Ф. А. Анализ и синтез нестационарных линейных систем. М.: Машиностроение, 1977.

37. Моисеев Н. Д. Очерки развития теории устойчивости. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

38. Мухаметзянов И. А. Об устойчивости программного многообразия // Дифференциальные уравнения. 1973. Т.9. №5. С. 846-856.

39. Мухарлямов Р. Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5. №4. С. 688-699.

40. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

41. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.

42. Персидский К. П. Избранные труды. Т.1. Алма-Ата: Наука, 1976.

43. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ГТТИ, 1947.

44. Пуанкаре А. Избранные труды. Т.2. М.: Наука, 1972.

45. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

46. Романков В. В. Ограниченность, сходимость и устойчивость некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений.Дисс. .канд. физ.-матем. наук. Саранск: Мордовский гос. ун-т, 1990.

47. Румянцев В. В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Вычислительный Центр АН СССР, 1967.

48. Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968. С. 7-66.

49. Румянцев В. В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. №5. С. 739-776.

50. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

51. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

52. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953.

53. Старжинский В. М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.

54. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1937.

55. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

56. Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 4. С.725 732.

57. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: ИЛ, 1968.

58. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

59. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1955.

60. Шестаков А. А. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородной системы //Дифференциальные уравнения. 1975. Т.П. №8. С. 1427-1436.

61. Шестаков А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

62. Шестаков А. А., Меренков Ю. Н. О прямом методе Ляпунова в теории устойчивости. // Вопросы устойчивости и колебаний в механике ж.д. транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: ВЗИИТ, 1981. С. 17-21.

63. Штокало И. 3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Киев: Изд-во. АН УССР, 1960.

64. Щенникова Е. В., Шестаков А. А. К теории ограниченности решений относительно части переменных нелинейных систем дифференциальных уравнений // Матем. моделирование. 1995. Т. 5. №5. С. 84.

65. Щенникова Е. В. Свойства ограниченности и устойчивости движений некоторых классов динамических процессов. Дисс. .канд. физ.-матем. наук. М.: РУДН, 1997.

66. Якубович В. А. Распространение метода Ляпунова определения ограниченности решений уравнения у + p(t)y = Q, p(t+®)=p(t) на случай знакопеременной функции р( t) // ПММ. 1954. Т. 18. №6. С. 705-718.

67. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

68. Antosiewicz Н. A. On nonlinear differential equations of the second order with integrable forcing term // J. London Math. Soc. 1955. V. 30. P. 64 67.

69. Bellman R. The boundedness of solutions of linear differential equations // Duke Math. J. 1947. V. 14. №1. p. 83 97.

70. Burton T. A., Townsend C. G. On the generalized Lienard equation with forcing term // J. Differential Equations. 1968. V. 4. P. 620 633.

71. Burton T. A. Second order boundedness criteria // Ann. Mat. Рига Appl. 1975. V. 107. P. 383 393.

72. Cartwright M. L., Swinnerton-Dyer H. P. F. The boundedness of solutions of systems of differential equations // Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai 15. Differential equations, Keszthely (Hungary), 1975. P. 121-130.

73. Coppel W. A. Stability and Asymptotic Behaviour of Differential Equations. Heath and Co. Monograph. Boston, 1965.

74. Coppel W. A. Dichotomies in Stability Theory. Lect. Notes in Math. Springier, 1978. V. 629.

75. Cronin J. A criterion for asymptotic stability // J. Math. Analysis and Appl. 1980. V. 74. P. 247-269.

76. Ding T. Boundedness of solutions of Duffing equations // J. Differential equations. 1986. V. 61. №2. P. 178 207.

77. Duffing G. Erzwungene Schwingungen bei veranderlicher Eigenfrequenz. Braunschweig, 1918.

78. Нага Т., Yoneyama Т., Sugie J. A necessary and sufficient condition for oscillation of the generalized Lienard equation // Annali. Math. Рига Appl. 1989. V. 154. P. 223-230.

79. Hatvani L. A. A generalization of the Barbashin-Krasovskij theorems to the partial stability in nonautonomous systems // Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai. 1979. V. 30. P. 381 409.

80. Holmes P., Rand D. Phase portraits and bifurcations of the nonlinear oscillator x+(a+yx2)i+(3x+5x3=0 // Int. J. Nonlinear Mechanics. 1980. V. 15. №4/5. P. 449 458.

81. Hough M. E. Intrinsic stability of periodic orbits // Celestial Mechanics. 1987. V. 40. №2. P. Ill 153.

82. Jiang J. F. The boundedness and convergence of solutions of second order differential equations with applications // Annali. Math. Рига Appl. 1993. V. 165. P. 29-47.

83. Jiang J. F. The global stability of a class of second order differential equations // J. Nonlinear Anal. 1997. V. 28. P. 855 870.

84. Jiang J. F. Qualitative investigation of the second order equation x+f (x,x)x+g(x)=0 // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1997.V. 122. P. 325-342.

85. Kelly A. A. The stable, center-stable, center, center-unstable and unstable manifolds // J. Differential Equations. 1967. V. 3. №4. P. 134- 154.

86. Levinson N. The growth of the solutions of a differential equation // Duke Math. J. 1941. V. 8. P. 1 11.

87. Levinson N. Asymptotic behavior of solutions of non-linear differential equations // Studies in Appl. Math. 1969. V. 68. №4. P. 285-297.

88. Manfredi B. Sulla stabilita del moto di sistemi a pm gradi di liberta in condizioni non lineari // Bolletino della Unione Matematica Italiana. Ser. III. 1956. V. 11. №1. P. 65-71.

89. Opial Z. Sur une equation differentielle non lineaire du second ordre // Ann. Polon. Math. i960. v. 8. p. 75 89.

90. Ortega R. Boundedness in a piecewise linear oscillator and a variant of the small Twist theorem // Proc. London Math. Soc. (3). 1999. V. 79. P. 381-413.

91. Papini D. Periodic solutions for a class of Lienard equations // Funkc. Ekvac. 2000. V. 43. P. 303 322.

92. Qian С. Boundedness and asymptotic behaviour of solutions of a second-order nonlinear system // Bull. London Math. Soc. 1992. V. 24. P. 281 -288.

93. Qian C. On the global asymptotic stability of second order nonlinear differential systems // J. Nonlinear Anal. 1994. V. 22. P. 823 833.

94. Rogovchenko S. P., Rogovchenko Y. V. Asymptotic behaviour of solutions of second order nonlinear differential equations // Portugaliae mathematica. 2000. V. 57. Fasc. 1. P. 17 33.

95. Scott F. J. New partial asymptotic stability results for nonlinear ordinary differential equations // Pacific J. of Math. 1977. V. 72. №2. P. 523-535.

96. Sugie J., Yoneyama T. On the Lienard system which has no periodic solutions // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1993. V. 113. P. 413 422.

97. Thurston L. H., Wong J. S. W. On global asymptotic stability of certain second order differential equations with integrable forcing terms // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 24. №1. P. 50 61.

98. Urabe M. The Potential force Yielding a Periodic Motions whose Period is an Arbitrary Continuously Differentiable Functions of the Amplitude // J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A-l. 1962. V. 26. P. 93 109.

99. Urabe M. The potential force yielding a periodic motion with arbitrary continuous halfperiods // J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A-l. 1962. V. 26. P. Ill 122.

100. Villari V., Zanolin F. On a dynamical system in the Lienard plane. Necessary and sufficient conditions for the intersection with the vertical isocline and applications // Funkc. Ekvac. 1990. V. 33. P. 19-38.

101. Wang Z. Multiplicity of periodic solutions of Duffing s equations with Lipschitzian condition // Chin. Ann. of Math. 21B. 2000. V. 4. p. 479-488.

102. Weiguo L., Zuhe S. A. A constructive proof of existence and uniqueness of 2n periodic solution to Duffing equation // Nonlinear Analysis. 2000. V. 42. P. 1209 - 1220.

103. Yoshizawa T. Liapunov functions and boundedness of solutions // Funkc. Ekvac. 1959. V. 2. P. 95 142.

104. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov's second Method. Tokyo, 1966.

105. Yuan X. Lagrange stability for asymmetric Duffing equations // Nonlinear Analysis. 2001. V. 43. P. 137 151.

106. Zhang Z. F., Ding T. R. et. al. Qualitative theory of ordinary differential equations. Translations of Math. Monographs. 1992. V. 101.