Исследование устойчивости и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы

Рязанова, Мария Викторовна

Исследование устойчивости и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Рязанова, Мария Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование устойчивости и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы»

Автореферат диссертации на тему "Исследование устойчивости и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы"

На правах рукописи

Рязанова Мария Викторовна

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2005

JOQ&JL

4/939

На правах рукописи

Рязанова Мария Викторовна

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2005

тзпз

Работа выполнена на кафедре высшей математики Российского государственного открытого технического университета путей сообщения

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор О.В. Дружинина

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Савчин

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Щенников

Ведущая организация- Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится «JH » в if) час. JD мин. на заседании диссертационного совета К 212.203.01 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419, г.Москва, ул.Орджоникидзе, 3, зал№1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6).

Автореферат разослан «_J_» Д-- 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Т.К. Чехлова

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию устойчивости и качественному анализу некоторых механических систем с конечным числом степеней свободы, моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями.

Актуальность темы. Многие теоретико-механические модели задаются обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков и системами дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Вопросы устойчивости движения, качественный анализ траекторий и получение новых условий устойчивости состояний равновесия и предельных циклов являются актуальными задачами теории устойчивости и качественной теории механических систем с конечным числом степеней свободы. В частности, доказательство наличия или отсутствия устойчивых предельных циклов (автоколебаний) у механических систем с конечным числом степеней свободы является трудной и актуальной задачей, для решения которой в настоящее время не существует общего метода.

Вопросы теории устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, изучались, начиная с работ А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова и Н.Е. Жуковского, в работах отечественных и зарубежных ученых: H.H. Боголюбова, H.H. Лузина, С.А. Чаплыгина, Н.Г. Четаева, H.H. Красовского, В.М. Матросова, В.В. Румянцева, В.В. Степанова, В.В. Немыцкого, М.А. Красносельского, A.C. Гали-уллина, Б.П. Демидовича, В.М. Миллионщикова, Е.А. Гребеникова, Ю.А. Рябова, В.Г. Веретенникова, А.Ф. Филиппова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа, В. Коппела, Л. Чезари и других ученых.

Вопросы устойчивости состояний равновесия и предельных циклов и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы изучались на основе анализа векторного поля скоростей

этих систем в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович и А.Г. Майера, H.H. Красовского, М.А. Красносельского, В.В. Немыцкого, В.В. Степанова, В.П. Жукова, A.A. Шестакова и А.Н. Степанова, Г. Дюлака, X. Браухли, Ч. Олеха, Ф. Хартмана, Л. Маркуса, Ж. Фронтеа, В. Богуша и других ученых. К таким характеристикам векторного поля скоростей относятся значения индекса Пуанкаре состояний равновесия и знаки якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей в соответствующих областях пространства состояний.

Изучение устойчивости и качественного поведения механических систем с конечным числом степеней свободы на основе анализа поля скоростей механической системы представляет большой теоретический интерес. Результаты исследований в этой области могут быть эффективно использованы для решения разнообразных задач, возникающих при исследовании механических, физических и технических систем, в частности, систем динамики железнодорожного транспорта.

В связи с проектированием и внедрением скоростного рельсового подвижного состава и необходимостью увеличения критических скоростей движения актуальной задачей является изучение качественного поведения и устойчивости теоретико-механических моделей, описывающих движение железнодорожных транспортных средств.

В настоящей диссертации получены новые, а также обобщены, дополнены и уточнены известные результаты А. Пуанкаре, A.A. Андронова, H.H. Красовского, Ч. Олеха, A.A. Шестакова и А.Н. Степанова, X. Браухли, Ф. Хартмана об устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов механических систем с конечным числом степеней свободы на основе анализа индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей теоретико-механической модели. Описание теоретико-механических моделей, задающих движение рельсовых транспортных средств, дано в соответствии с работами H.H. Лузина, H.A. Панькина, В. Гарга и Р. Дуккипати,

А. Викенса. В диссертации проведены качественные и аналитические исследования, развивающие результаты указанных авторов.

Объект исследования. В работе рассмотрены механические системы с одной степенью свободы и с конечным числом степеней свободы, описываемые соответственно нелинейными обыкновенными двумерными и многомерными стационарными дифференциальными уравнениями х = g(x) при различных предположениях на поле скоростей g,(x 1,..., х„), i - 1,2 теоретико-механические мо дели ж елезнодорожного транспорта, описываемые обыкновенными нелинейными скалярными и векторно-матричными дифференциальными уравнениями вида du / ds = P(s) + Q{u) и другими видами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Цель работы состоит в исследовании свойств устойчивости и качественного поведения стационарных механических систем, описываемых нелинейными уравнениями вида х = g(x), на основе анализа поля скоростей g(x) этих моделей; в изучении устойчивости движения теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта; в развитии качественного метода H.H. Лузина исследования теоретико-механических моделей, описываемых векторно-матричным уравнением вида du/ds = P(s) + Q{u); в применении приближенно-аналитического метода С.А.Чаплыгина для интегрирования уравнений движения транспортных механических систем.

Методы исследования. В диссертации использованы методы общей механики; метод характеристичных чисел Ляпунова и метод функций Ляпунова; метод фазовой диаграммы; метод интегральных инвариантов; прямые качественные методы, основанные на использовании свойств индекса Пуанкаре состояний равновесия и знаков якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей механической системы в соответствующих областях фазового пространства; качественный метод Н.Н.Лузина и приближенно-аналитический метод С.А. Чаплыгина.

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые, а также обобщены, дополнены и уточнены известные результаты об устойчивости и качественном поведении механических систем с конечным числом степеней свободы на основе свойств поля скоростей этих систем; установлены оценки зоны притяжения устойчивых состояний равновесия механической системы с конечным числом степеней свободы; выяснены особенности фазового портрета механической системы с одной степенью свободы при наличии неположительной дивергенции поля скоростей; дополнена и уточнена геометрическая классификация состояний равновесия механических систем с одной степенью свободы, предложенная В.В. Немыцким и В.В. Степановым и базирующаяся на понятии тригонометрической устойчивости в смысле Биркгофа; получены признаки устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов стационарной механической системы с конечным числом степеней свободы; проведено качественное и приближенно-аналитическое исследование соответственно методами H.H. Лузина и С.А.Чаплыгина теоретико-механических моделей, описывающих движение рельсовых транспортных средств, а также исследована асимптотическая устойчивость и неустойчивость механической системы, описывающей движение поезда в режиме тяги.

Практическая значимость. Индексные, дивергентные и индексно-дивер-гентные условия устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов эффективны для практического использования при исследовании свойств устойчивости и качественного поведения физических и инженерных моделей материальных систем. Результаты диссертации используются при исследовании устойчивости, при моделировании и приближенно-аналитическом интегрировании уравнений движения рельсовых транспортных средств. Предложенные условия устойчивости теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта могут служить основой методик по тестированию на устойчивость движения. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов по теории устойчивости и

качественной теории механических систем с конечным числом степеней свободы.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических процессов в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения (Москва, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 гг.);

- на научном семинаре по методам нелинейного анализа в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН (Москва, 2003 г.);

- на международной конференции в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения "Высшее профессиональное заочное образование на железнодорожном транспорте: настоящее и будущее" (Москва, 2001 г.);

- на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 2003 г.);

- на международном семинаре "Applications of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics" в Брестском государственном университете (Брест, 2003 г.);

-на Всероссийской научной конференции по проблемам математики, физики, химии и методики преподавания в Российском университете дружбы народов (Москва, 2004 г.);

-на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании в Российском университете дружбы народов (Москва, 2005 г.);

- на кафедре теоретической механики в Российском университете дружбы народов (Москва, 2005 г.).

Личный вклад в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно

опубликованных работах научному руководителю принадлежат постановки задач, другим соавторам - рассмотрение ряда технических деталей.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 117 наименований. Общий объем диссертации - 113 страниц.

Содержание и основные результаты работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, отмечены ее научная новизна и теоретическая и практическая значимость. Дан краткий обзор литературы, относящийся к теме диссертации.

В первой главе рассмотрены вопросы устойчивости и качественного анализа траекторий механических систем с одной степенью свободы, описываемых обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением

~ = g{x), х = (х,,х2), (1)

на основе свойств индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей теоретико-механической модели.

В §1 излагается содержание главы по параграфам. В §2 введено понятие множителя Эйлера и доказана инвариантность свойства устойчивости по Ляпунову для системы с конечным числом степеней свободы относительно умножения поля на множитель Эйлера.

В §3 уточнена и дополнена геометрическая классификация состояний равновесия и траекторий механической системы (1), предложенная В.В.Не-мыцким и В.В. Степановым, а также дана оценка местоположения предельных циклов. Состояние равновесия х = а системы (1) называется устойчивым по Биркгофу, если существуют замкнутые траектории произвольно малого

диаметра, окружающие состояние равновесия; во всех остальных случаях состояние равновесия называется неустойчивым по Биркгофу. Доказано, что около устойчивого по Биркгофу состояния равновесия можно найти столь малую окрестность, что каждая полутраектория является либо замкнутой траекторией, либо спиралью, навивающейся на замкнутые траектории (т.е. либо центром, либо центрофокусом), в то время как около неустойчивого по Биркгофу состояния равновесия можно найти столь малую окрестность, что каждая полутраектория будет либо примыкать к состоянию равновесия, либо покидать окрестность через конечный промежуток времени. Все траектории, которые имеются в достаточно малой окрестности неустойчивого по Биркгофу состояния равновесия, могут быть разделены на три типа: а) параболические траектории, б) гиперболические (или седловые) траектории, в) эллиптические траектории. Соответственно, эти названия присваиваются множествам, заполненным траекториями того или иного типа, при этом доказано, что точки достаточно малой окрестности изолированного состояния равновесия, лежащие на эллиптических и гиперболических траекториях (если таковые имеются) заполняют множества, обладающие внутренними точками, причем точки, лежащие на гиперболических траекториях, заполняют области.

В §4 установлена теорема о конечности числа эллиптических и гиперболических областей, примыкающих к состоянию равновесия системы (1).

В §5 получены дивергентные условия наличия неустойчивости по Ляпунову и дивергентные условия отсутствия асимптотической устойчивости по Ляпунову состояния равновесия механической системы (1). Полученные результаты дополняют и уточняют исследования A.A. Шестакова и А.Н. Степанова о качественном исследовании двумерных систем с помощью свойств дивергенции.

В §6 установлено, что при выполнении условия div (g„ gl)< 0 VxeR2 возможны следующие три типа состояний равновесия: точки положительного притяжения, обобщенные седла и центры.

В §7 показано, что состояние равновесия системы с нулевой дивергенцией является или центром, или обобщенным седлом, а в §8 показано, что дивергенция поля скоростей g(x) всегда знакопеременна в эллиптической области и в кольцевой области центрофокуса.

В §9 установлены индексные условия неустойчивости по Ляпунову, а в §10 - индексно-дивергентные условия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости по Ляпунову состояния равновесия механической системы (1).

В § 11 доказана теорема о существовании 0+-кривых и дана оценка зоны притяжения при отрицательной дивергенции К поля скоростей. Полученные результаты дополняют исследования В.И. Зубова об оценке зон притяжения.

В §12 установлена асимптотическая устойчивость в целом состояния равновесия х = 0 системы (1) при следующих условиях: 1) состояние равновесия х = 0 асимптотически устойчиво в малом, 2) div(gpg2)<0 VxеRl,

2-)dgL,9gL_9gl,dgL>0 Vx6_R2j 4) 3a>0) lgi + g2 >Jlxi+xAi xf +xl > а, где Эх, дх2 дх2 дх, \ I

а - неотрицательная интегрируемая скалярная функция такая, что

со

Ja(t)dt = +оо. Показано, что зоной притяжения состояния равновесия является

вся фазовая плоскость R2. Полученные результаты дополняют результаты H.H. Красовского о качественном исследовании механической системы с одной степенью свободы.

В §13 изучены особенности фазового портрета системы (1) на основе свойств скалярного и векторного произведений векторов г и g, где г - радиус-вектор точки (i„ хг), g - поле скоростей системы (1).

Во второй главе рассмотрены вопросы устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы, описываемых обыкновенным нелинейным векторным дифференциальным уравнением dx

— = g(x), х = (*,,.■•.*„)> (2)

на основе свойств индекса, якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей g(x) механической системы.

В § 1 кратко излагается содержание главы по параграфам. В §2 изучены свойства множителя Якоби и выяснены условия его существования.

В §3 и §4 установлены соответственно индексные и дивергентные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову состояния равновесия механической системы (2). Полученные результаты дополняют и уточняют исследования A.A. Шестакова и А.Н. Степанова по качественному исследованию многомерных систем с помощью индекса и дивергенции.

В § 5 приведены примеры, иллюстрирующие результаты предыдущих параграфов.

В §6 установлено, что зона асимптотической устойчивости состояния равновесия системы (2) с неположительной дивергенцией является неограниченной.

В §7 получены дивергентные условия орбитальной устойчивости и неустойчивости предельного цикла системы (2).

В §8 получены дивергентные условия отсутствия предельных циклов у системы (2), являющиеся аналогом условий Бендиксона об отсутствии предельных циклов для системы с одной степенью свободы. Показано, что если выполнено условие div(cr(x)g(x)) >0 Vx s DcR" для системы (2) класса С', где а(х) - множитель Эйлера, то на D отсутствуют предельные циклы.

В §9 установлены роторные условия отсутствия предельных циклов у системы (2) в случае п = 3.

В §10 установлены условия устойчивости и неустойчивости по Ляпунову состояния равновесия системы (2), если поле скоростей g(x) является однородной функцией класса С1.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости движения теоретико-механических моделей, описывающих движение рельсовых транспортных средств. Кроме методов, развитых в первых двух главах, здесь используются, и модификации качественного метода H.H. Лузина и приближенно-

аналитического метода С.А. Чаплыгина исследования движения рельсового экипажа.

В §1 кратко излагается содержание главы по параграфам. В §2 с помощью результатов первой главы изучена асимптотическая устойчивость вертикального движения железнодорожного экипажа, моделируемого дифференциальным уравнением второго порядка:

mx = mg-(Fp+Pa)-{FD + £>„), (3)

где х - вертикальное ускорение движения экипажа, FP + P0 — сила реакции листовой рессоры, Fd + D0 - сила реакции демпфера, Pq и Д - силы реакции рессоры и демпфера, соответствующие нулевому смещению. Здесь получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом на основе результатов первой главы.

В §3 получены условия асимптотической устойчивости и неустойчивости движения поезда в режиме тяги. Поезд рассматривается как совокупность двух тел переменной массы. Массы т] и т2 растянутой и сжатой частей зависят от тяговых характеристик локомотивов и сопротивления движению подвижного состава. Для получения условий устойчивости использованы метод функций Ляпунова и индексно-дивергентный признак, полученный во второй главе. Установленные результаты дополняют и развивают исследования H.A. Панькина и Ю.И. Першица по динамике поезда.

Параграф 4 посвящен качественному методу Н.Н.Лузина исследования уравнения движения железнодорожного экипажа. Рассмотрено скалярное уравнение движения железнодорожного экипажа, которое приведено к виду

^- = P(s) + Q{u), (4)

где и - скалярная функция от независимой переменной s, а на функции P(s) и 2(i) наложен ряд ограничений, отвечающих механическому смыслу задачи. Здесь развит метод H.H. Лузина на случай векторного уравнения (4). Показано, что если симметризованная матрица Якоби DQ(u) является знакоопре-деленной, то существует единственное ограниченное решение u'(s) вектор-

ного уравнения (4), к которому стремится произвольное решение ф) *«'(.$) при ^ +оо или 5 -«о. Таким образом, данный результат позволяет определить установившийся режим движения железнодорожного экипажа. Кроме того, в данном параграфе получены условия асимптотической устойчивости на основании индексно-дивергентного признака первой главы.

Параграф 5 посвящен изложению и анализу приближенно-аналитического метода С.А. Чаплыгина интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь метод Чаплыгина распространен на класс теоретико-механических моделей, описываемых нестационарными векторными дифференциальными уравнениями, без требований ограничительных условий Чаплыгина и Лузина.

В §6 дано применение приближенно-аналитического метода С.А.Чаплыгина к исследованию уравнений движения рельсового экипажа при переходе с горизонтального пути на наклонный путь.

В §7 рассмотрен вопрос о влиянии профиля пути на характер движения рельсового экипажа с учетом результатов предыдущих параграфов.

В заключении диссертации перечислены следующие результаты, выносимые на защиту:

1. На основе свойств индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей механической системы с одной степенью свободы установлены условия асимптотической устойчивости и неустойчивости в целом состояния равновесия, а также выяснены особенности фазового портрета на плоскости траекторий механической системы с одной степенью свободы на основе указанных свойств.

2. Для механической системы с конечным числом степеней свободы, поле скоростей которой имеет неположительную или отрицательную дивергенцию, установлены оценки зоны притяжения в случае устойчивых состояний равновесия.

3. Для механической системы с конечным числом степеней свободы получены индексные и дивергентные условия устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и дивергентные условия отсутствия и наличия устойчивых предельных циклов, а также установлены роторные условия отсутствия предельных циклов у механической системы в случае я =3.

4. Выяснены условия асимптотической устойчивости и неустойчивости для теоретико-механической модели, описывающей движение поезда в режиме тяги.

5. Проведен качественный анализ теоретико-механической модели движения рельсового экипажа на основе метода H.H. Лузина.

6 Дано применение метода С.А. Чаплыгина для приближенно-аналитического интегрирования уравнений движения рельсового экипажа.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Рязанова MB Об асимптотической устойчивости в целом положения равновесия дифференциального уравнения второго порядка // Сб. научн. трудов международной конф. «Высшее профессиональное заочное образование на железнодорожном транспорте: настоящее и будущее». М.: РГОТУПС, 2001. С. 471-472.

2. Рязанова MB О дивергентном признаке неустойчивости состояния равновесия нелинейного динамического процесса// Исследование устой-чивоподобных и прочностных свойств динамических транспортных систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2001. С. 67-69.

3 .Рязанова MB О классификации состояний равновесия двух обыкновенных дифференциальных уравнений// Вопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2002. С. 101-103.

4. Дружинина О В , Рязанова М.В., Исакова В Ю О приближенном интегрировании уравнения движения рельсового экипажа при переходе с горизонтального пути на наклонный путь// Методы исследования техни-

ческой устойчивости и качественных свойств систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2003. С. 19-23.

5. Сааме ОГ, Рязанова М.В., Дружинина О.В. О влиянии профиля на характер движения рельсового экипажа// Методы исследования технической устойчивости и качественных свойств систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2003. С. 53-59.

6. Рязанова М.В. О фазовом портрете механической системы с одной степенью свободы// Методы исследования технической устойчивости и качественных свойств систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2003. С. 82-85.

7. Рязанова М.В Об асимптотической устойчивости движения транспортной динамической системы // Applications of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics. Proc. of the International workshop / Под ред. E.A Гребеникова. Брестский гос. ун-т, Белоруссия; Wyzsza szkola finansow i zarzadzania w Siedlcach, Polska, 2003. C. 202-205.

8. Рязанова М.В О качественном исследовании механической системы на основе свойств векторного поля// Тез. докладов XL Всероссийской научной конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии. М.: РУДН, 2004. С. 120-122.

9. Рязанова M В О дивергентных признаках устойчивости и неустойчивости предельного цикла стационарной механической системы со многими степенями свободы// Совр. проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта. Сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С.411 —414.

10 .Рязанова M В О конечности числа эллиптических и гиперболических областей, примыкающих к состоянию равновесия механической системы// Качественное исследование и устойчивость математических моделей транспортных динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С. 63-65.

11. Рязанова MB О характере состояния равновесия механической системы, моделируемой многомерным дифференциальным уравнением// Мате-

матическое моделирование транспортных динамических систем: устойчивость и качественный анализ. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С. 49-52.

12. Рязанова М В. Об оценке зоны притяжения состояния равновесия механической системы// Математическое моделирование транспортных динамических систем: устойчивость и качественный анализ. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С. 72-74.

13. Рязанова МВ Исследование асимптотической устойчивости состояния равновесия механической системы на основе свойств полевых функций // Математическое моделирование транспортных динамических систем: устойчивость и качественный анализ. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С. 83-88.

14.Дружинина О.В., Рязанова М.В. Исследование устойчивости движения поезда в режиме тяги // НТТ - наука и техника транспорта. 2005. № 1. С. 90-94.

Рязанова Мария Викторовна, Россия «Исследование устойчивости и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы»

Получены условия устойчивости состояний равновесия и предельных циклов механических систем с конечным числом степеней свободы, движения которых описываются системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Результаты об устойчивости и качественном поведении установлены на основе свойств индекса, якобиана, дивергенции и ротора векторного поля скоростей. Выяснены особенности фазового портрета траекторий механической системы с одной степенью свободы на основе указанных свойств. Исследованы устойчивость и качественное поведение некоторых теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта. Для указанных систем развиты методы качественного анализа и приближенно-аналитического интегрирования.

Ryasanova Maria Victorovna, Russia «Investigation of stability and qualitative analysis of trajectories of mechanical systems with finite number of degrees of freedom»

Conditions of stability of equilibria states and limit,cycles of mechanical systems with finite number of degrees of freedom are obtained in the thesis. These conditions are obtained for motions described by systems of nonlinear ordinary differential equations of the first and second orders. The results about stability and qualitative behaviour are established on the base of the properties of index, Jacobian, divergence and rotor for vector field of velocities. The particularities of phase portrait of trajectories of mechanical system with one degree of freedom are explained on the base of indicated properties. The stability and qualitative behaviour of some mechanical systems of railway transport are investigated. For these systems the methods of qualitative analysis and approximate integration are developed.

Рязанова Мария Викторовна

01 02.01 - Теоретическая механика

Тип зак Z35. Тираж 100 экз

Подписано в печать 28 02 05 Гарнитура Times Офсет

Уел печ л 1,0 Формат 60х 90 Vic

Издательский центр РГОТУПСа, 125993, Москва, Часовая ул , 22/2

Участок оперативной печати РГОТУПСа, 125993, Москва, Часовая ул , 22/2

i к

к »

i *

pío/' H03

РНБ Русский фонд

2005-4 41939

22 MAP 2005 39 7

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рязанова, Мария Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Исследование устойчивости и качественный анализ механических систем с одной степенью свободы на основе свойств индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей

§ 1. Введение

§2. Множитель Эйлера. Инвариантность свойства устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

§3. Классификация состояний равновесия и траекторий. Индекс состояния равновесия

§4. Конечность числа эллиптических и гиперболических областей, примыкающих к состоянию равновесия .<.

§5. Дивергентные условия неустойчивости по Ляпунову и отсутствия асимптотической устойчивости по Ляпунову.

§6. Характер состояния равновесия системы со знакопостоянной дивергенцией

§7. Характер состояния равновесия системы с нулевой дивергенцией поля скоростей

§8. Знакопеременность дивергенции в эллиптической области и в кольцевой области центрофокуса.

§9. Индексное условие неустойчивости по Ляпунову

§10. Индексно-дивергентные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову.

§11. Оценка зоны притяжения состояния равновесия системы с отрицательной дивергенцией поля скоростей

§12. Условия асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия системы с неположительной дивергенцией и положительным якобианом поля скоростей

§13. Исследование фазового портрета на основе свойств скалярного и векторного произведений.

ГЛАВА 2. Исследование устойчивости механических систем с конечным числом степеней свободы на основе свойств индекса, якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей.

§ 1. Введение

§2. Множитель Якоби и его свойства. Условия существования множителя Якоби

§3. Индекс состояния равновесия. Необходимые индексные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову состояния равновесия

§4. Дивергентные условия неустойчивости по Ляпунову состояния равновесия

§5. Примеры

§6. Неограниченность зоны асимптотической устойчивости состояния равновесия системы с неположительной дивергенцией.

§7. Дивергентные условия орбитальной устойчивости и неустойчивости предельного цикла

§8. Дивергентные условия отсутствия предельных циклов.

§9. Роторные условия отсутствия предельных циклов.

§10. Условия устойчивости и неустойчивости по Ляпунову состояния равновесия системы с однородным полем скоростей.

ГЛАВА 3. Исследование устойчивости и качественный анализ теоретико-механических моделей, описывающих движение рельсовых транспортных средств

§1. Введение

§2. Асимптотическая устойчивость движения железнодорожного экипажа, моделируемого дифференциальным уравнением второго порядка

§3. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость движения поезда в режиме тяги

§4. Качественный метод Н.Н. Лузина исследования скалярного уравнения движения железнодорожного экипажа и его развитие для случая векторного уравнения.

§5. Приближенно-аналитический метод С.А. Чаплыгина и анализ метода

§6. Применение приближенно-аналитического метода С.А. Чаплыгина для интегрирования уравнения движения рельсового экипажа

§7. Влияние профиля пути на характер движения рельсового экипажа

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование устойчивости и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы"

Актуальность темы и обзор результатов, относящихся к теме диссертации. Многие теоретико-механические модели задаются обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков и системами дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Исследование устойчивости движения, фазового портрета траекторий и получение новых условий устойчивости состояний равновесия и предельных циклов являются актуальными задачами теории устойчивости и качественной теории механических систем с конечным числом степеней свободы. В частности, доказательство наличия или отсутствия устойчивых предельных циклов (автоколебаний) у механических систем с конечным числом степеней свободы является трудной и актуальной задачей, для решения которой в настоящее время не существует общего метода.

Вопросы теории устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, изучались, начиная с работ А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова и Н.Е. Жуковского, в работах отечественных и зарубежных ученых: H.H. Боголюбова, H.H. Лузина, Н.Г. Четаева, H.H. Красовского, С.А. Чаплыгина, В.В. Румянцева, В.М. Матросова, В.В. Степанова, A.C. Гали-уллина, В.Г. Веретенникова, К.П. Персидского, В.В. Немыцкого, Б.П. Деми-довича, A.A. Шестакова, Е.А. Гребеникова, Ю.А. Рябова, Н.П. Еругина, В.М. Миллионщикова, И.А. Галиуллина, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа, В. Коп-пела, Н. Левинсона, О. Перрона, Л. Чезари и других ученых. Методы Ляпунова и Пуанкаре получили дальнейшее развитие в многочисленных работах [1 - 4,6, 7, 10, 11, 13, 15, 16, 19, 24-29,31,33,36,38-40, 45, 47-49, 58, 60-62, 6668, 70 - 72, 76 - 78, 90 - 93, 98 - 99] и других.

Вопросы устойчивости состояний равновесия и предельных циклов и характер фазового портрета траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы на основе анализа векторного поля скоростей этих систем изучались в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович и А.Г. Майера, H.H. Кра-совского, М.А. Красносельского, В.В. Немыцкого, В.В. Степанова, В.П. Жукова, A.A. Шестакова и А.Н. Степанова, Г. Дюлака, X. Браухли, Ч. Олеха, Ф. Хартмана, JI. Маркуса, Ж. Фронтеа, В. Богуша и других ученых. К таким характеристикам векторного поля скоростей относятся значения индекса Пуанкаре состояний равновесия и знаки якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей в соответствующих областях пространства состояний.

Изучение устойчивости и качественного поведения механических систем с конечным числом степеней свободы на. основе анализа поля скоростей механической системы представляет большой теоретический интерес. Результаты исследований в этой области могут быть эффективно использованы для решения разнообразных задач, возникающих при исследовании механических, физических и технических систем, в частности, систем динамики железнодорожного транспорта.

В связи с проектированием и внедрением скоростного рельсового подвижного состава и необходимостью увеличения критических скоростей движения актуальной задачей является изучение качественного поведения и устойчивости теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта.

В настоящей диссертации получены новые результаты, а также развиты, дополнены и уточнены известные результаты А. Пуанкаре [43], A.A. Андронова [1], H.H. Красовского [26], А.Н. Степанова [50 - 51],Ч. Олеха [87], A.A. Шестакова и А.Н. Степанова [52], X. Браухли [68], Ф. Хартмана [77], Ф. Хартмана и Ч. Олеха [78], Ж. Фронтеа [75], Ли Ли [84] об устойчивости и неустойчивости -состояний равновесия и предельного цикла механических систем на основе анализа свойств индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей механической системы с конечным числом степеней свободы х = g(x), где х — п -мерный вектор состояния механической системы. Фазовый портрет (фазовая диаграмма) есть совокупность всех фазовых траекторий в фазовом пространстве состояний. Трудами А.А.Андронова и его последователей [1, 2] фазовый портрет механической системы стал рабочим аппаратом анализа и синтеза различных теоретико-механических моделей.

Перейдем к обзору некоторых результатов, относящихся к теме диссертации. Важную роль в нелинейных задачах качественного исследования состояний равновесия и периодических движений механических систем с конечным числом степеней свободы играют целочисленные характеристики поля скоростей: вращение векторного поля на замкнутых кривых и индекс состояний равновесия. Методы исследования вращения и индекса восходят к О. Коши. Дальнейшее их развитие связано с именами Л. Кронекера и А. Пуанкаре и изложено в [1-3], [24-25].

Пусть Ь — замкнутая гладкая ориентированная линия на Я2, не проходящая через состояния равновесия системы

- = 81(х1,Х2), = (1) ш ш

Вращением поля (^¿Гг) скоростей системы (1) вдоль линии Ь называется деленное на 2л приращение угла, составляемого вектором поля в точке А е Ь, с некоторой фиксированной осью /, когда точка А проходит линию Ь в положительном направлении. Индексом 1пё [а] изолированного состояния равновесия х = а системы (1) называется вращение поля (¿^Яг) вдоль замкнутой линии Ь, не содержащей других состояний равновесия, кроме х = а. Пусть задана система сЬс = £(*), X = (*,,.,*„), (2) ш и пусть £ — замкнутая гладкая (п -1) -мерная поверхность и в окрестности 5 п задано непрерывно дифференцируемое векторное поле g(x) = ^|gi(x)e¡, где е1 I

- единичный вектор по оси х1. Вращением поля ¿-(х) на поверхности называется интеграл где ¿у„! - {п -1) -мерный объем единичной (п -1) -мерной сферы, п — орт внешней нормали к £. Индексом 1пс1 [а] изолированного состояния равновесия х = а системы (2) называется вращение поля (£15.,,§„) на замкнутой поверхности Я, окружающей состояние равновесия х = а и не содержащей других состояний равновесия, кроме х = а.

В [24] показано, что 1) если индекс состояния равновесия х = а системы = 51(^1 >^2)» §2(х\>х2) с одной степенью свободы отличен от единицы, то состояние равновесия х = а не обладает свойством устойчивости по Ляпунову; 2) индекс изолированного состояния равновесия системы х1=х2, х2 = F01, х2) равен 1, -1 или 0. Исследование индекса устойчивого по Ляпунову состояния равновесия х=а системы х, = gi(xl,x2У.,xn), / = 1,2,.,л, с конечным числом степеней свободы проведено в работах [62] и [68], в которых показано, что индекс 1пс1(а) асимптотически устойчивого состояния равновесия х=а равен +1, если п - число четное и равен —1, если п — число нечетное. Для устойчивого состояния равновесия х=а системы с конечным числом степеней свободы индекс 1пс1(а) может быть любым целым числом.

Дивергенция поля скоростей была использована А. Пуанкаре [43] для изучения орбитальной устойчивости предельного цикла для системы с одной степенью свободы. Рассмотрим векторное поле g(x) = (gl(x),g2(x),.,gn(xУ) системы (2). Дивергенцией сИу g поля называется скалярная величина

Имеют место следующие соотношения, эквивалентные между собой:

- = AdlVg(x), ш

3) t

А = ехр |сЦу g(x)dt,

4) о

1Ь-Упх. Формулы (ЗМ5) называются формулами Лиувилля [13, 75]. Особо важную роль играет третья формула Лиувилля (5). Поясним смысл формул. Пусть £> <= Я" — есть некоторая область пространства Я", а £>(/) — образ области £) в момент времени /, т.е. £)(/) = ^>(Дг) есть область, занимаемая в момент времени г точками, которые при t = 0 занимают область £); здесь (р{с^) - решение системы (2) при начальном условии (р{с, 0) = с.

Непосредственным следствием формулы Лиувилля (5) является следующий факт [13, 75]: если дивергенция системы (2) тождественно равна нулю, то фазовый поток системы сохраняет объем у(/) области Э.

А. Пуанкаре показал, что если временное среднее от дивергенции вдоль замкнутой траектории отрицательно (положительно), то предельный цикл асимптотически орбитально устойчив (орбитально неустойчив). Этот дивергентный признак был усилен в работе С. Заремба [97]. И. Бендиксон [65] установил дивергентный признак отсутствия в односвязной области замкнутых кривых, составленных из траекторий системы с одной степенью свободы: если дивергенция знакопостоянна в области фазового пространства, то в этой области не содержится замкнутых кривых, составленных из траекторий системы. Аналогичный признак установил и Г. Дюлак [18]. И. Бендиксон получил индексный признак для различения характера состояния равновесия системы вида где [Х1,Х2]2 — аналитические функции, разложения которых не содержат линейных членов. Если индекс состояния равновесия системы равен +1, -1, 0, то со стояние равновесия является соответственно узлом, седлом и седло-узлом. И. Бендиксон установил также формулу

Ind (а) = 1 + Hi^LHIl 2 связывающую индекс Ind(a) состояния равновесия х = а с числом пе эллиптических секторов и числом щ гиперболических секторов.

Условия асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия были впервые сформулированы H.H. Красовским [26] следующим образом: состояние равновесия дг = 0 системы класса С1 с одной степенью свободы асимптотически устойчиво в целом, если выполнены неравенства div(gbg2)<-ci<0, VxeR2, \g(x)\ > с2\х\, VxeR2, где с\,с2 — положительные постоянные. Однако условия H.H. Красовского недостаточны даже для локальной устойчивости. Например, система 5с{ = -2х,, х2 = х2 удовлетворяет условиям H.H. Красовского, но состояние равновесия х1 = х2 = 0 этой системы неустойчиво по Ляпунову.

Ч. Олех [87] усилил условия H.H. Красовского и получил следующий результат. Состояние равновесия х = 0 системы х, = gl(х{,х2), x2 = g2(xl,x2) асимптотически устойчиво в целом, если выполнены условия: 1) функции gi и

1 2 g2 принадлежат классу С на R ; 2)х = 0 есть единственное состояние равновесия системы, являющееся точкой положительного притяжения; 3) существуют числа р > 0, г > О такие, что |g-(x)| > р, \х\ > г > 0; div (gi, g2) < 0, xeR2. Кроме того, Ч.Олех в [88] получил другие условия для асимптотической устойчивости в целом: если система с одной степенью свободы такова, что: 1) div(gpg2)<0 \fxeR2, 2) |g(x)| > а(|xj) V|x|>r0, где or(-) - неотрицательная интегрируемая функция, обладающая свойством

00 a{t)dt = оо; о

3) имеется конечное число состояний равновесия, каждое из которых асимптотически устойчиво в малом, то система имеет одно асимптотически устойчивое в целом состояние равновесия.

Ф. Хартман [77], Ф. Хартман и Ч. Олех [78] рассмотрели задачу об асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия при следующих предположениях: х)>0, сПу(£Ь£2)<0, хеЯ2, 3/>0, |£(х)|>/|х|, хеД2, где £)(,§■, л:) - якобиан поля скоростей ^(х).

Вопросы классификации глобального фазового портрета системы с одной степенью свободы изучали В.Каплан [80], Е.А.Леонтович и А.Г.Майер [2], Н.П.Еругин [19], В.В.Немыцкий [38, 39], Л.Маркус [85] и другие ученые. Е.А.Леонтович и А.Г.Майер [2] выделяли некоторое минимальное число траекторий, зная которое, можно судить о поведении всех остальных траекторий.

1 2

Л.Маркус [85] показал, что если система класса С на Я с изолированными состояниями равновесия не имеет предельных сепаратрис, отличных от состояний равновесия, то с точностью до топологической эквивалентности фазовый портрет системы определяется совокупностью всех сепаратрис системы плюс одной траекторией, взятой из каждой элементарной ячейки, на которые сепаратрисы разбивают фазовую плоскость механической системы.

В работах Н.П.Еругина [19], В.В.Немыцкого [38], С.А.Маркосяна [34] выделены некоторые классы механических систем, для которых даны аналитические признаки для различения возможных фазовых картин траекторий. В [19] и [38] развит метод функций Ляпунова для исследования в целом траекторий системы, а в [34] применен метод двух изоклин, т.е. кривых, определяемых уравнениями £1(3:1, Х2) = 0 (изоклина бесконечности) и g2(x\i х2) = 0 (изоклина нуля).

Указанная терминология относится к уравнению вида = . Исходя из вида изоклин нуля и бесконечности и знаков функции g¡, в [34] установлена асимптотическая устойчивость в целом специальной квазилинейной системы. А.Н. Степанов [50] рассмотрел вопрос о качественном поведении системы ~ §20^1') ПРИ следующих предположениях: а) функции ^ и g2 принадлежат классу С1 и система имеет неположительную дивергенцию поля скоростей всюду на R ; б) имеется конечное число изолированных состояний равновесия; в) система не имеет седла в бесконечности в смысле В.В. Немыц-кого. Кроме того, А.Н. Степанов изучил случай, когда система имеет изоклину gi(*i»*2) = 0. Для исследования устойчивости состояния равновесия им был применен метод функций Ляпунова, причем предполагались известными знаки компонент gi и gi в областях, на которые изоклина разбивает окрестность состояния равновесия, а также знак дивергенции div(gi,g2) вблизи состояния равновесия.

Дивергентные методы исследования устойчивости состояний равновесия механических систем, описываемых нестационарными уравнениями вида x = g(t,x), х = (xj,.,:cn), рассматривались в [20].

Вопрос о существовании предельных циклов и их орбитальной устойчивости рассматривался в [2, 15, 24, 25, 73, 76, 84].

Исследованию уравнения движения поезда посвятили свои работы крупнейшие русские ученые академики H.H. Лузин [31] и С.А.Чаплыгин [57]. H.H. Лузин установил, что для определения движения поезда важно знать его установившееся движение и задача определения движения поезда может быть разбита на две задачи: 1) задачу определения движения на протяжении некоторого фиксированного отрезка пути после остановки; 2)задачу определения установившегося движения поезда. H.H. Лузин показал, что первая задача требует полного интегрирования скалярного дифференциального уравнения вида du/ds = Q(u) + P(s) и эффективно может быть решена методом С.А.Чаплыгина [30], а вторая задача сводится к случаю периодического профиля и, стало быть, к нахождению периодического решения уравнения движения поезда. В случае периодических профилей уравнение движения поезда является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, для которого имеются разработанные методы нахождения периодических решений. С.А. Чаплыгин предложил приближенно-аналитический метод интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения и рассмотрел вопросы о приближенном интегрировании уравнения движения поезда на криволинейном подъеме и при переходе с горизонтального пути на наклон. Для приближенно-аналитического метода С.А. Чаплыгина имеет место такая же быстрая сходимость, как и для метода касательных Ньютона решения алгебраических уравнений (начиная с некоторого п, сходимость погрешности к нулю имеет порядок 2~2") [57].

Описание и систематизация различных типов теоретико-механических моделей, описывающих движение рельсовых транспортных средств, дано в работах H.A. Панькина [41], В. Гарга и Р. Дуккипати [12], C.B. Вершинского, В.Н.Данилова и В.Д. Хусидова [8], Ю.И. Першица [42], Ю.М. Черкашина и A.A. Шестакова [59], О.В. Дружининой [17], A.A. Шестакова, Ю.М. Черкашина и О.В. Дружининой [63], К. Knothe [81], Е. Law и N. Cooperrider [82], T. Matsu-daira [86], H. True и С. Kaas-Petersen [94], A. Wickens [96], N. Cooperrider [69] и работах других авторов. В работах [41, 42] изучена устойчивость в смысле Ляпунова движения поезда с помощью первого метода Ляпунова. Работы [81, 82] посвящены динамике и устойчивости движения транспортных средств и носят обзорно-исторический характер. В работах [17, 63] рассмотрены вопросы устойчивости в смысле Ляпунова и прочности в смысле Жуковского траекторий механических систем железнодорожного транспорта. В работах [69, 86, 96] решены конкретные задачи об устойчивости движения двухосных рельсовых средств.

Объект исследования. В работе рассмотрены механические системы с конечным числом степеней свободы, моделируемые нелинейными обыкновенными стационарными дифференциальными уравнениями вида x = g(x), xeR", п> 2, при различных предположениях на знаки якобиана, дивергенции, ротора вектора скоростей g,{xь хп), / = 1,2,.,«, п> 2, в соответствующих областях фазового пространства или во всем пространстве; механические системы железнодорожного транспорта, моделируемые обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями.

Цель работы состоит в исследовании свойств устойчивости и качественного поведения стационарных механических систем, описываемых нелинейными уравнениями вида x = на основе анализа поля скоростей g(x) этих моделей; в изучении устойчивости движения теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта; в развитии качественного метода Н.Н.Лузина исследования теоретико-механических моделей, описываемых векторно-мат-ричным уравнением вида du /ds = P(s) + Q{u); в применении приближенно-аналитического метода С.А. Чаплыгина для интегрирования уравнений движения транспортных механических систем.

Методы исследования. В диссертации использованы методы общей механики; метод характеристичных чисел Ляпунова и метод функций Ляпу нова; метод фазовой диаграммы; метод интегральных инвариантов; прямые качественные методы, основанные на использовании свойств индекса Пуанкаре состояний равновесия и знаков якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей механической системы в соответствующих областях фазового пространства; качественный метод H.H. Лузина и приближенно-аналитический метод С.А. Чаплыгина исследования уравнений движения поезда.

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые теоремы об устойчивости и качественном поведении механических систем с конечным числом степеней свободы на основе свойств векторного поля скоростей; установлены оценки зоны притяжения механических систем с одной степенью свободы; изучены особенности фазового портрета механической системы с одной степенью свободы при наличии неположительной дивергенции; дополнена геометрическая классификация состояний равновесия механических систем, базирующаяся на понятии тригонометрической устойчивости в смысле Биркгофа; установлена конечность числа эллиптических и гиперболических областей, примыкающих к состоянию равновесия механической системы; получены новые признаки устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов стационарной механической системы с конечным числом степеней свободы; проведено качественное и приближенно-аналитическое исследование теоретико-механических моделей, отписывающих движение рельсовых т ранс-портных средств. Развит качественный метод H.H. Лузина для случая векторного уравнения движения железнодорожного экипажа. Вопросы об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения поезда в режиме тяги впервые рассмотрены с помощью метода функций Ляпунова и метода, основанного на свойствах индекса и дивергенции.

Практическая значимость. Индексные, дивергентные, индексно-дивергент-ные и роторные условия устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов эффективны при исследовании свойств устойчивости и качественного поведения механических, физических и инженерных систем с конечным числом степеней свободы. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании устойчивости, при моделировании и приближенно-аналитическом интегрировании уравнений динамики железнодорожного транспорта.

Предложенные условия устойчивости систем железнодорожного транспорта могут служить основой методик по тестированию на асимптотическую устойчивость и неустойчивость движения поезда в режиме тяги. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов по теории устойчивости и качественной теории механических систем с конечным числом степеней свободы.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на научном семинаре по методам нелинейного анализа в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН;

-на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 2003 г.);

-на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании в Российском университете дружбы народов (2005 г.);

-на международном семинаре "Applications of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics" в Брестском государственном университете (Брест, 2003 г.);

- на Всероссийской научной конференции по проблемам математики, физики, химии и методики преподавания в Российском университете дружбы народов (Москва, 2004 г.).

Личный вклад в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно опубликованных работах научному руководителю принадлежат постановки задач, а другим соавторам — рассмотрение ряда технических деталей.

Публикации. По теме диссертации и близким вопросам опубликованы работы [1* - 18*]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1* - 14*].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих параграфы, заключения и списка литературы, содержащего 116 наименований на русском и иностранных языках. В каждом параграфе принята двойная нумерация формул (утверждений): первая цифра соответствует номеру параграфа, вторая цифра — порядковому номеру формулы (утверждения). При ссылках на формулы (утверждения) предыдущих глав обязательно указывается номер главы.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая механика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты настоящей диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.

6. Дано применение метода С.А. Чаплыгина для приближенно-аналитического интегрировании уравнений движения рельсового экипажа.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Рязанова, Мария Викторовна, Москва

1. Андронов А. А., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физ-матгиз, 1959.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

4. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

5. БиркгофДж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

6. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

7. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984.

8. Вертинский C.B., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона. М.: Транспорт, 1991.

9. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем. М.: Научный мир, 2001.

10. Галиуллин A.C., Мухаметзянов H.A., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

11. Галиуллин И.А. К исследованию структурной устойчивости прецессионного движения планет // Астрономический вестник. 1999. Т. 33. № 1. С. 1—7.

12. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава / Под ред. H.A. Панькина. М.: Транспорт, 1988.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

14. Демин Ю.В., Длугач Л.А., Коротенко М.Л., Маркова О.М. Автоколебания и устойчивость движения рельсовых экипажей. Киев: Наукова думка, 1984.

15. Дружинина О.В. Критерий устойчивости в смысле Ляпунова семейства периодических решений // Доклады РАН. 2000. Т. 371. №3. С.329-332.

16. Дружинина О.В. Вопросы устойчивости и прочности математических моделей железнодорожного транспорта // НТТ — Наука и техника транспорта, 2002. №2. С. 42-50.

17. ДюлакГ. О предельных циклах. М.: Наука, 1980.

18. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом // ПММ. 1950. Т. XIV. Вып. 5.

19. Жуков В.П. Полевые методы исследования нелинейных механических систем. М.: Наука, 1992.

20. Жуковский Н.Е. О прочности движения // ПСС. Т. 1. М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1937. С. 110-208.

21. Захарова М.В. Об ограниченности и устойчивости движений нелинейных механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка// Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: МАИ, 2002.

22. Канторович JI.B. Функциональный анализ и прикладная математика//УМН. 1948. Т. 3. Вып. 6.

23. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко 77.77. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

24. Красносельский М.А., Забрейко 77.77. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

25. Красовский H.H. О поведении в целом интегральных кривых систем двух дифференциальных уравнений // ПММ. 1954. Т. XVIII. С. 735-737.

26. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

27. Ла Салль Ж.П., Лефгиец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

28. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений М.: ИЛ, 1961.

29. Лузин H.H. О методе приближенного интегрирования академика С.А. Чаплыгина//Труды ЦАГИ. 1932. Вып. 141. С.1-32.

30. Лузин H.H. О качественном исследовании уравнения движения поезда//Матем. сборник. 1932. Т.39. №3. С. 6-26.

31. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.—Л.: Гос-техиздат,1955.

32. Малкин И.Г. Существование функций Ляпунова // Изв. Казанского физ.-матем. общества. 1929/30. III.4. С. 51-62.

33. Маркосян С. Качественное исследование систем двух дифференциальных уравнений методом изоклин// Изв. Вузов. Матем. 1959. №1. С. 114-128.

34. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

35. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

36. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. М. — Л.: ГИТТЛ, 1949.

37. Немыцкий В.В. Некоторые методы исследования в целом характеристик уравнения ^ = // Вестник МГУ. Сер. Матем. 1961. №5. С. 25-43.dx Р{х,у)

38. Немыцкий В.В. Топологическая классификация особых точек и обобщенные функции Ляпунова// Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. №3. С. 359-370.

39. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостезиздат, 1949.

40. Панъкин H.A. Движение поезда в период трогания с места // Труды МИИТа. 1970. Вып.ЗЮ. С.63-72.

41. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. Л.: ГТТИ, 1947.

42. Пуанкаре А. Избранные труды. T.l. Т.2. М.: Наука, 1971, 1972.

43. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

44. Романков В.В. , Романкое A.B. Признак стремления к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка // Современные методы исследования динамических систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. Трудов. М.:РГОТУПС, 2000. С. 92-94.

45. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. №5. С. 739776.

46. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

47. Савчин В.М. Математические методы механики непотенциальных систем. М.: Изд-во УДН, 1991.

48. Степанов А.Н. Качественное исследование автономной дифференциальной системы с помощью знака функций от правых частей // Дисс. канд. физ.-матем. наук. М., 1976.

49. Степанов А.Н., Шестаков A.A. О дивергентных критериях для различения типов особых точек // Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Сб. научн. трудов. Саранск: Мордовский гос. ун-т им. Н.П. Огарева, 1974. С.10-17.

50. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953.

51. Тун Цзинъ-Чжу. Расположение предельных циклов системы= , —= 1>,**У //Сб. переводов "Математика". 1960. №2.dt 02/=* 22 dt 02/=/t£2

52. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. M.-JL: ОНТИ НКТП, 1937.

53. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер. // УМН. 1941. №9. (Math. Ann. 1928. V. 99).

54. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: ГИТТЛ,1950.

55. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

56. Черкашин Ю. М., Шестаков А. А. Об устойчивости движения железнодорожного подвижного состава // Труды ВНИИЖТ. М.: Транспорт, 1982. С. 42-49.бО.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М., ГИТТЛ, 1964.

57. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

58. Шестаков А.А., Степанов А.Н. Индексные и дивергентные признаки устойчивости особой точки автономной системы дифференциальных уравнений//Дифференц. уравнения. 1979.Т.18. №4. С. 650-661.

59. Шестаков А.А., Черкашин Ю.М., Дружинина О.В. Устойчивость и прочность движения детерминированных динамических систем железнодорожного транспорта // Транспорт: Наука, техника, управление. Сб. обзорной информации. М.: ВИНИТИ РАН, 2003. № 12. С. 10-15.

60. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах: введение в теорию диссипативных структур. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2004.

61. Bendixon I. Sur les courbes définis par des equations différentielles // Acta Mathematica. 1901. V. 24. P. 1-88. (Русский перевод первой главы : И.Бендиксон. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // УМН. 1941. №9.)

62. Bogusz W. Determination of stability regions of dynamic non-linear systems //Arch. Mech. Stos. 1954. V.l 1. №6. P.691-713.

63. Bogusz W. Asymptotic stability with no ocsillation of autonomic systems with one degree of freedom // Problems of vibration (Warsawa). 1963. V. 4 № 3. P. 291-300.

64. Brauchli H.I. Index, Divergenz und Stabilität in Autonomen Systemen // Zürich: Abhandlung Verbay, 1968.

65. Cooperrider N.K. The lateral stability of conventional railway trucks // Proc. of the First International conference on vehicle mechanics. Detroit: Wayne State University, 1986. P. 37-67.

66. Coppel W.A. Stability and asymptotic behaviour of differential equations. Boston: Heath and Co., 1965.

67. Dancer E.N., Orteg R. The index of Lyapunov stable fixed points // J. Dyn. Differential Equations. 1994. V. 6. P. 631-637.

68. Demidowitsch W.B. Eine Verallgemeinerung des kriteriums von Ben-dixson // Z. angew. Math. Mech. (ZAMM). 1966. V. 46. P. 145-146.

69. Diliberto S.P. On systems of ordinary differential equations // Ann. Of Math. Stud. 1950. V. 20. P. 1-38.

70. Erle E. Stable equilibria and vector field index // Tonoloqy Appl. 1993. V.49.P.231-233.

71. Fronteau J. Le theoreme de Liouville et le probleme general de la stabilité. Geneve, 1965.

72. Giesl P. Unbounded basins of attraction of limit cycles // Acta. Math. Univ. Comenianae. 2003. V. LXXII. № 1. P. 81-110.

73. Hartman P. On stability in the large for systems of ordinary differential equations // Canad. J. Math. 1961. V. 13. P.480-492.

74. Hartman P., Olech C. On global asymptotic stability of solutions of differential equations //Trans. Amer. Math. Soc. 1962. V. 104. P. 154-178.

75. Kaiman R.E. Physical and mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems // Trans. ASME. 1957. V.79. P.553-563.

76. Kaplan W. Topology of level curves of harmonic functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. V.63. P. 514-522.

77. Knothe K., Böhm F. History of stability of railway and road vehicles // Vehicle System Dynamics. 1999. V.31. P.283-323.

78. Law E.N., Cooperrider N.K. A survey of railway vehicle dynamics research // J. Dynamic Systems, Measurement and Control. 1974. V. 96. P. 132-146.

79. Leighton P. On the constructions of Liapunov functions for certain nonlinear differential equations // Contrib. Differential Equations. 1963. V. 2. P. 367-383.

80. Li Li The properties and applications of the integrating factor in the qualitative theory of ordinary differential equations //Appl. Math. Mech. 1982. V.3. №3. P. 419-431.

81. Markus L. Global structure of ordinary differential equations in the plane // Trans. Amer. Math. Soc. 1954. V. 76. №1.

82. Matsudaira T. Hunting problem of high-speed railway vehicle with special reference to bogie design for the new Tokaido line // Proc. Inst. Mech. Eng. London. Part 3F. 1966. V. 180. P. 58-66.

83. Olech C. On the global stability of an autonomous system on the plane. // Contrib. differential equations. 1963. V. 1 № 1. P.3 89^00.

84. Olech C. Globalphase portrait of a plane autonomous system // Ann. Inst. Fourier. 1964. Y.14. P.87-95.

85. Ruiz del Portal F.R. Planar isolated and stable fixed points have index 1 // J. of Differential Equations. 2004. Y.199. P.179-188.

86. Skowronski J. Multiple nonlinear lumped systems. Warsaw: Polish Scientific Publishers, 1969.

87. Skowronski J., Ziemba S. Some complementary remarks on the delta method for determining phase trajectories of systems with strong non-linearity // Arch. Mech. Stos. 1958.V.10. №5. P.699-706.

88. Smith R.A. Existence of periodic orbits of autonomous ordinary differential equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. 1980. V.85. P. 153-172.

89. Smith R.A. An index theorem and Bendixson's negative criterion for certain differential equations of higher dimension // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. 1981. V. 91. P. 3-77.

90. True H., Kaas-Petersen C. A bifurcation analysis of nonlinear oscillations on railway vehicles // Proc. of 8th IAVSD Symposium. 1983. P. 655-665.

91. Whitney H. Regular families of curves // Ann. of Math. 1933. V.34. P. 244-270.

92. Wickens A.H. Non-linear dynamics of railway vehicles // Vehicle System Dynamics. 1986. V. 15. P.289-301.

93. Zaremba S.K. Divergence of vector fields and differential equations // Amer. Journal of Math. 1954. V.LXXVI. P.220-234.

94. Ziemba S. Free vibrations with damping of marked non-linear character // Arch. Mech. Stos. 1957. Y. 9. №5. P. 525-548.

95. Ziemba S. Vibrations of mechanical systems // Arch. Mech. Stos. 1958. V. 10. №5.