Решение задач об устойчивости и управлении движением неавтономных механических систем на принципах сравнения и декомпозиции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

003473943

На правах рукописи УДК 531.36

Перегудова Ольга Алексеевна

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И УПРАВЛЕНИИ ДВИЖЕНИЕМ НЕАВТОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПРИНЦИПАХ СРАВНЕНИЯ И ДЕКОМПОЗИЦИИ

Специальность 01.02,01 - теоретическая механика

1 5 ОКТ2

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2009

003479943

Работа выполнена на кафедре информационной безопасности и теории управления (механики и теории управления) факультета математики и информационных технологий Ульяновского государственного университета

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор Андреев Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Голубев Юрий Филиппович

доктор физико-математических наук, профессор Маликов Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Тхай Валентин Николаевич

Ведущая организация - Учреждение Российской академии наук

Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится " 30 " октября 2009 года в 16— часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан " 30 " сентября 2009 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 501.001.22 при МГУ к.ф.-м.п., доцент

В.А. Прошкин

Общая характеристика диссертационной работы

Актуальность темы

Бурное развитие науки и техники в середине двадцатого века вызвало интенсивную разработку новых разделов теоретической механики, п том числе, теории управления движением механических систем и её приложений. Основой этого раздела механики явились результаты исследований отечественных учёных, прежде всего, научных школ H.H. Красовского, А.Ю. Ишлииского, Д.Е. Охоцимского, В.В. Румянцева, Ф.Л. Черноусько, В.М. Матросова, Е.С. Пятницкого.

Усложнение структуры управляемых механических систем, разработка математических основ управления мехатронними системами, алгоритмов управления мобильными роботами требуют изучения новых классов задач в нелинейной и нестационарной постановке. Актуальным предметом многочисленных научных исследований в настоящее время является вывод новых методов решения задач управления сложными многосвязными механическими системами с учётом ограничения на управляющие воздействия, неизвестных параметров систем и возмущений, требования о приведении системы в терминальное состояние за конечное время.

Широкое применение в решении задач синтеза управления механическими системами с неизвестными параметрами получил развитый в работах Ф.Л. Черноусько, Е.С. Пятницкого и их учеников принцип декомпозиции, состоящий в приведении управления всей механической системой к управлению отдельными её подсистемами таким образом, что перекрёстные динамические связи между подсистемами за конечное время перестают влиять на процесс движения. При этом актуальна проблема построения новых законов управления па основе принципа декомпозиции с получением явных оценок области начальных возмущений, а также с учётом различных неопределённых факторов в структуре управления и параметрах самой системы.

Широкой базой решения задач об исследовании устойчивости и управлении движениями механических систем является прямой метод Ляпунова. И обратно, развитие этого метода в работах Н.Г. Четаева, H.H. Красовского, В.В. Румянцева, В.М. Матросова и других учёных в значительной степени связано с постановкой и решением задач об устойчивости и управлении движением. Большой раздел прямого метода Ляпунова составляют результаты, полученные в работах В.М. Матросова, Р.З. Абдуллина, Л.Ю. Анапольского, С.Н. Васильева,

A.A. Воронова, A.C. Землякова, Р.И. Козлова, А.И. Маликова, К. Кордуняну,

B. Лакшмикантама и других учёных на основе принципа сравнения. В настоящее время эти результаты эффективно применяются для выявления различных динамических свойств решений нелинейных дифференциальных уравнений. В их основе лежит принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, состоящий в следующем. Если для исходной системы дифференциальных уравнений существует вектор-функция Ляпунова, удовлетворяющая определённым условиям, то различные

динамические свойства этой системы следуют из аналогичных свойств системы сравнения. Однако возможности метода сравнения с вектор-функцией Ляпунова в задачах о стабилизации и управлении движениями механических систем далеко не исчерпаны. В этом плане важную роль приобретают исследования по развитию этого метода в направлении смягчения условий классических теорем и разработке новых способов построения вектор-функций Ляпунова и систем сравнения.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка нового направления в исследовании устойчивости и управления движениями механических систем на основе развития метода сравнения и применения принципа декомпозиции.

Задачами исследования являются:

1) Обоснование новых способов решения задач об устойчивости и стабилизации движений механических систем посредством вывода соответствующих новых теорем об устойчивости для неавтономных систем обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

2) Вывод новых способов решения задач о стабилизации и управлении движением механических систем на основе синтеза разрывных (кусочно-непрерывных и релейных) управлений с учётом различного рода возмущений, динамики приводов, при неполной информации о параметрах системы, при наличии запаздывания в структуре обратной связи.

3) Решение конкретных задач прикладного характера: о стабилизации программных движений и отслеживании траекторий многозвенных манипуляторов, колёсных мобильных роботов, в том числе на основе синтеза разрывных управлений с учётом различных неопределённых факторов в параметрах системы и в управлении.

Методы проведённого исследования. Достоверность результатов

Основным методом проведённого исследования является метод функций Ляпунова. Вывод новых общих теорем об устойчивости и стабилизации основан на применении принципа сравнения и качественной теории, дифферециальных и функционально-дифференциальных уравнений в части построения топологической динамики этих уравнений. Вывод новых способов решения задач о стабилизации и управлении движением механических систем основан на применении полученных теорем и принципа декомпозиции.

Результаты диссертации строго математически обоснованы. Достоверность разработанных в диссертации новых способов решения задач об устойчивости и управлении движением механических систем подтверждена проведённым численным моделированием в исследованных задачах.

Основные результаты. Научная новизна

Все результаты диссертационной работы являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1) Разработан подход в исследовании устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений, позволяющий расширить классы систем сравнения и функций Ляпунова, используемых в теоремах сравнения для устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости.

Получены новые теоремы сравнения для асимптотической устойчивости и неустойчивости решений неавтономных систем обыкновенно-дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа, позволяющие использовать системы сравнения, решения которых устойчивы (не асимптотически).

Получены новые теоремы сравнения для устойчивости решений указанных систем дифференциальных уравнений на основе знакопостоянных скалярных и векторных функций Ляпунова.

2) Разработан новый способ исследования устойчивости невозмущённого движения механических систем с конечным чистом степеней свободы, основанный на построении вектор-функции Ляпунова и системы сравнения с применением операторных и логарифмических матричных норм.

Применением этого способа к задачам устойчивости движений механических систем с одной и с двумя степенями свободы получены новые эффективные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости, позволяющие исследовать па устойчивость механические системы, параметры которых могут произвольным образом изменяться в заданных диапазонах.

3) Получены новые способы решения задач о стабилизации программных движений механических систем общего вида с конечным числом степеней свободы при помощи различных управлений: непрерывных, кусочно-непрерывных, релейных.

Получены новые теоремы о стабилизации программных движений механических систем с неизвестными массо-инерционньши характеристиками, при наличии неизвестного запаздывания в управлении, с учётом динамики исполнительных механизмов, с явными оценками области начальных возмущений без наложения ограничений на скорость изменения параметров рассматриваемых систем.

4) Разработан способ решения задач об отслеживании траекторий механических систем общего вида с конечным числом степеней свободы с помощью релейной запаздывающей обратной связи. Этот способ позволил существенно расширить класс отслеживаемых траекторий и исследуемых механических систем по сравнению с применявшимся ранее методом "замороженных" коэффициентов.

5) Получены новые решения задач стабилизации программного движения и отслеживания траекторий мобильных роботов различной конструкции: типа двускатной тележки, типа "монотип"; с роликонесущими колёсами, в том числе, в условиях неполной информации о массо-инерционных параметрах системы и наличия неопределённого запаздывания в управлении.

Теоретическая и практическая значимость полученных результатов

Диссертация носит теоретический характер. Её значимость заключается в разработке нового направления в решении задач устойчивости и управления движением механических систем, включающего в себя:

теоремы сравнения для исследования устойчивости движений неавтономных механических систем, являющиеся развитием классических теорем сравнения;

эффективные способы и алгоритмы исследования устойчивости и стабилизации движений механических систем, описываемых нелинейными неавтономными дифференциальными уравнениями.

методику применения этих способов и алгоритмов в актуальных задачах управления движением манипуляторов, колёсных мобильных роботов.

Результаты, полученные в диссертационной работе, используются при чтении спецкурсов: "Математические основы конструирования систем управления", "Устойчивость и управление движением", при написании курсовых и дипломных работ на факультете математики и информационных технологий Ульяновского государственного университета. Эти результаты активно используются в научно-исследовательской работе сотрудников Ульяновского государственного университета.

Апробация результатов диссертации

Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях, съездах и семинарах:

— IX Международный Семинар имени Е.С. Пятницкого < Устойчивость и колебания нелинейных систем управления » , Москва, Россия, 31 мая - 2 июня 2006 года;

'— IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 года;

— VIII Крымская Международная Математическая школа « Метод функций Ляпунова и его приложения » , Крым, Алушта, 10 17 сентября 2000 года;

— Международный конгресс « Нелинейный динамический апализ-2007 » , Санкт-Петербург, Россия, 4-8 июня 2007 года;

— VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия, Сочи-Адле.р, 29 сентября - 7 октября 2007 года;

— X Международный Семинар им. Е.С. Пятницкого « Устойчивость и колебания нелинейных систем управления » , Москва, Россия, 3-6 июня 2008 года;

— Выездной семинар « Аналитическая механика и устойчивость движения » кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством члеп-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. А.В. Карапетяна, Ульяновск, 17-19 июня 2008 года;

— Международная научная конференция по механике « Пятые Поляховские чтения » , Россия, Санкт-Петербург, 3-0 февраля 2009 года;

— Седьмая Международная конференция « Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов > , Россия, Ульяновск, 2-5 февраля 2009 года;

-- Семинар < Аналитическая механика и устойчивость движения > кафедры теоретической механики и мехатропики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого, проф.

A.B. Карапетяна и проф. Я.В. Татаринова, Москва, 18 марта 2009 года;

— Семинар < Динамика относительного движения » кафедры теоретической механики и мехатропики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. Ю.Ф. Голубева, Москва, 27 апреля 2009 года;

— Семинар лаборатории динамики нелинейных процессов управления Института проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, под руководством проф.

B.Н. Тхая, Москва, 4 июня 2009 года;

— Семинар отдела механики Учреждения Российской академии наук Вычислительного центра имени A.A. Дородницына РАН, под руководством проф. С.Я. Степанова, Москва, 4 июня 2009 года;

Симбирская молодёжная научная школа по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященная памяти академика Валентина Витальевича Румянцева, Ульяновск, 8-12 июня 2009 года;

— Семинары кафедры механики и теории управления (с октября 2008 г. кафедры информационной безопасности и теории управления) Ульяновского государственного университета, проводимые под руководством проф. A.C. Андреева, Ульяновск, 2001 - 2009 годы.

Связь работы с крупными научными темами

Исследования проводились в рамках программ: "Государственная поддержка ведущих научных школ" (проект НШ-6667.2006.1 "Развитие общих методов аналитической механики и устойчивости движения механических систем"), "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/6194 "Развитие математической и прикладной теории устойчивости, стабилизации и управления") и проектов Российского фонда фундаментальных исследований:

— "Прямой метод Ляпунова в задачах об устойчивости и стабилизации неустановившихся движений" (проект ДО 02-01-00877);

— "Прямой метод Ляпунова в задачах об устойчивости и стабилизации движений механических систем" (проект ДО 05-01-00765);

— "Прямой метод Ляпунова в задачах об устойчивости, стабилизации и управлении движениями и процессами" (проект ДО 08-01-00741).

Опубликованность результатов и личный вклад соискателя

Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, список которых приведён в конце автореферата. Все включённые в диссертацию результаты совместных работ получены лично диссертантом.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 189 наименований. Работа содержит 28 рисунков. Общий объём диссертации составляет 268 страниц.

Основное содержание работы

Во введении представлена общая характеристика проблемы. Проводится краткий обзор классических результатов но методу сравнения в задачах об устойчивости движения, о применении принципа декомпозиции в задачах синтеза управления механическими системами. Обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, достоверность и значимость полученных результатов.

В первой главе, состоящей из пяти разделов, исследуется задача об устойчивости невозмущённого движения, отвечающего нулевому решению х = О неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

х = X(i,x), X(i,0)s0, (1)

где х 6 й", X(i, х) = х),... ,Xn(t, х))т (индекс "Т" означает транспонирование), вещественные функции X'(t,x) (г = 1,...,«) определены и непрерывны в области

Г = Д+ х S„ = {{t,x) е R х Пп : t^O, |x|<i/}

( р = const > 0 или V = +оо, символ | ■ ] означает некоторую векторную норму в Rn ). Пусть относительно правой части системы (1) имеет место следующее предположение.

Предположение 1 Вектор-функция X(i, х) удовлетворяет в области Г условию Липшица по х равномерно относительно t, т.е. для любого О < Vo < V, найдётся число L = L(vо) > 0, такое, что для всех точек (i,x2), (i,x') е Я+ х Sva {Svo = {х е R4 : [х| < у0}) выполняется неравенство

|X(i,x2) -Xii.x1)! <i|x2-x4.

При этом предположении семейство сдвигов {XT(i, х) = X(i + т, х), г 6 Я+} будет предкомпактпо в некотором компактном метрическом пространстве .Fy, и для системы (1) может быть построено целое семейство предельных систем1

i

х = X*(i,х), X'eFx, X'fi.x) = 4 Kin [xitj + r,x)rfr, (2)

о

каждая из которых определяется некоторой последовательностью tj —> +оо.

Вводятся следующие классы векторных функций. Пусть Ki — класс векторных функций V = (V1, V2,..., Vfc)T, V : Г —> Rk ограниченных, равномерно непрерывных на каждом множестве R х К, где К С S„ — компакт. Пусть также К-2 и К3 — аналогичные классы векторных функций U : Я х Rh —> Rk и W : R х Sv х Rk —> Rk ограниченных и равномерно непрерывных по (i, и) 6 Ях К2 и (£, х, и) 6 Я х К\ х для любых компактных множеств A'i С 5„ и /fj С i?1'.

Для каждой функции V 6 семейство сдвигов

{Vr(f,x)=V(f + r,x),re Д+}

будет предкомпактно в некотором функциональном метризуемом пространстве Fv непрерывных функций V : Г —> Rk с открыто-компактной топологией. Отсюда следует, что для любой последовательности tt —> +оо найдутся подпоследовательность ti —> +оо и функция V" £ Fv, такие, что последовательность сдвигов {Vj(i,x) = Vfi^. + t,x)} будет сходиться к предельной функции V*(i,x) в пространстве Fy, а именно: сходимость будет равномерной по (t,x) £[—/?,/3] х А' для каждого числа /3 > 0 и каждого компактного множества К С 5„. Тем самым, для функции V можно определить семейство предельных функций {V*}.

Аналогично, для функций U £ Кг и W € Кз можно построить соответственно семейства {U'} и {W'} предельных функций.

Пусть для системы (1) существует непрерывно дифференцируемая функция V 6 Ki, производная которой в силу этой системы представима в виде

V(f,x) = U(t,V(f,x)) + W(i,x,V(i,x)), . .

U(i, 0) = 0, W(t, 0, V(t, О)) = 0, l' '

где функция U = U(i,u) принадлежит классу Кг, U 6 К-2, и является квазимонотонной и непрерывно дифференцируемой но и 6 Rk, dV/du € К2, функция W = W(i,x, и) принадлежит классу Кз, W £ К3, и имеет место неравенство W(f,x,u)^0 для любых (t, х, и) 6 R х S^ х Rk.

Из представления (3) следует, что функция V(f, х) является вектор-функцией сравнения, а система

й = и(г, и) (4)

*а) Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equation //J. Different. Equal.. -1977. - Vol. 23, Д* 2. - P. 216-223.

б) Андреев А.С- Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. - 1984. - Т. 48. - Вып. 2. — С. 225-232.

— системой сравнения.

Если V = У(^х) есть функция, удовлетворяющая уравнению (3), при этом У(<о,хо) = У0, а и = и(4, <о,Уо) есть решение (4), определённое на интервале + Р), /8 > 0, то для всех 4е[4о,<о + /3) на решении х = х(£, ¿о>хо) системы

(1) выполняется неравенство

У(г,х(г,<0,х0)) ^и(г,г0,У0)-

Из условия и 6 К2 следует, что система (4) предкомпактна и для неё можно определить семейство предельных систем сравнения

й = 1Г(£,и), и'е^. (5)

Из условий относительно правой части и = и(4,х) системы (4) следует, что решения этой системы и = и(<, ¿о.ио) непрерывно дифференцируемы по (¿о, ио) 6 Я+хД*. Из свойства неубывания зависимости ¿о,ио) по ио следует, что матрица

9и0

является неотрицательной, нормированной, Ф(<о,^о,ио) = 1 ( I € Л'1*" — единичная матрица) фундаментальной матрицей для линейной системы в вариациях

у = Н(Мо,и„)у, Н

11=11(4,10,Но)

Предположим, что для любого компакта К 6 Як существуют числа М(К) и а(К) > 0, такие, что матрица Ф для любых (г, 10, и0) 6 Я+ х И+ х К удовлетворяет условиям

||Ф(М0,и0)|К М(К), йсЬФ(1,10,и0)>а(К). (6)

С использованием формулы В.М. Алексеева нелинейной вариации параметров доказана следующая теорема о локализации положи тельного предельного множества и/+(£о,х0) решения системы (1).

Теорема 1 Предположим, что:

1) существует вектор-функция Ляпунова V = У(£, х), V € Кь удовлетворяющая дифференциальному равенству (3);

2) решения системы сравнения (4) удовлетворяют условию (6);

3) решение х(£, £о>Хо) системы (1) ограничено некоторым компактом К С Г для всех о;

4) решение и^) = и(1,1о,Уо) системы сравнения (4), где У0 = У^0,х0), ограничено при всех I ^ ¿о-

Тогда для любой предельной точки р € ш4 (¿о, хо) найдётся набор предельных функций (Х*,У,и"',\У*), такой, что решение х = х*(£,р) системы

(2) с начальным условием х*(0,р)=р удовлетворяет соотношениям

x*(i,p) € w+(i0,x0), х*(',р) 6 (V*(i,x) = u*(<)}n{W*(i,x,u*(i)) = 0} для

всех t e R, где u*(i) есть решение предельной системы сравнения (5) с начальным условием u"(0) = V*(ü,p).

Эта теорема является развитием принципа инвариантности Ж.П. Ла-Салля для автопомпой системы2 и принципа квазиинвариантности для неавтономной системы на основе скалярной функции Ляпунова со знакопостоянной производной, развитого в работах A.C. Андреева.

На основе полученной теоремы 1 выведены достаточные условия асимптотической устойчивости нсвозмущённого движения неавтономных систем с применением знакоопределенных вектор-функций Ляпунова. Доказана следующая теорема, являющаяся развитием классической теоремы сравнения для асимптотической устойчивости3, позволяющая делать вывод об асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы в случае, когда нулевое решение системы сравнения устойчиво (не асимптотически).

Теорема 2 Предположим, что существует вектор-функция Ляпунова V = ~V(t,,x), V 6 Kj, такая, что: соответствующая скалярная функция V(t, х), определяемая в виде

к

V(t,x) = ^TV'(i,x) или V(t,x) = maxi=i,...,t V'(i,x),

является определённо-положительной; выполняются условия 1 и 2 теоремы 1, а также:

3) нулевое решение и = О системы сравнения Ц) устойчиво (равномерно устойчиво);

4) для любой предельной совокупности (X*, V*, U*, W") и каждого ограниченного решения и = u*(i) ф 0 предельной системы сравнения (5) множество {V*(i, х) = u*(i)} f]{W*(i,x, u*(i)) = 0} не содержит решений прейелъной системы (2).

Тогда нулевое решение х = 0 системы (1) эквиасимптотически устойчиво (равномерно асимптотически устойчиво).

Оказывается, теорема 1 позволяет смягчить требования к системе сравнения и в задаче о неустойчивости. А именно: для наличия неустойчивости иевозмущённого движения исходной системы не обязательно, чтобы система сравнения была неустойчивой. В настоящей главе доказана соответствующая теорема, являющаяся развитием классической теоремы для неустойчивости с вектор-функцией Ляпунова.

2Ла-Саллъ Ж., Лефгиец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

ААбдуляин Р.З., Анаполъский Л.Ю-, Воронов A.A., Земляков A.C. и др. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. A.A. Воронова и В.М. Матросова. — М.: Наука, 1987. - 312 с.

На этой основе непосредственно получены различные признаки неустойчивости линейной механической системы с одной степенью свободы и переменными коэффициентами

х + f{t)x + g(t)x = 0, t ^ 0,

где функции /(f) и g(t) ограничены и непрерывно дифференцируемы. В частности, получено следующее условие неустойчивости: найдутся положительные числа а и е, такие, что для всех t ^ 0 выполняются неравенства

Далее в главе проводится развитие полученных теорем в направлении применения знакопостоянных вектор-функций Ляпунова в исследовании устойчивости невозмущённого движения системы (1). Ослабляются требования не только к системе сравнения, но и к самой вектор-функции Ляпунова. А именно: доказаны теоремы сравнения об устойчивости и асимптотической устойчивости для случая, когда система сравнения устойчива, а функция V(t,x) из теоремы 2 знакопостоянная неотрицательная.

Во второй главе, состоящей из четырёх разделов, на основе функций Ляпунова исследуется задача об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) запаздывающего типа с конечным запаздыванием

х = X(i,xt), (7)

где х е Rn, t 6 функция X = X(i, v>), X : х Сн Л", определена, вполне непрерывна в области R+ х С#. С# = {¡р € С : ||v?|| < Н), С — банахово пространство непрерывных функций tp : [—/¡,0] —> R" с нормой HI =max{|y>(s)|,-ft s£ s <0}, h > 0, xt(s) = x(t + «), -h < s SC 0.

Получены результаты об устойчивости нулевого решения системы (7) на основе совместного использования метода сравнения и метода предельных уравнений. Для этого вводится следующее предположение относительно правой части системы (7).

Предположение 2 Для каждого компактного множества К С Сн функция X = X(i, ф) ограничена, равномерно непрерывна по (t, tp) е R+ х К, то есть, для любого К С Си существует число М = М(К), и для произвольного малого е > 0 найдётся S = 6(е,К) > 0, такое, что для любых (t,<p) е Д+ х К, (¿i,¥>i), (¿2, V2) 6 х К 1*2 - h \ < Vu ¥>2 € К : ||<р2 - Vill < выполняются неравенства

|X(t, *s)| < М, |X(i2,¥>3) - X(t,, Vl)| < е-

При этом предположении системе (7) можно сопоставить семейство предельных уравнений4

х = X*(i, хе), (8)

4Ан(?реев A.C. Устойчивость неавтономных функционалъво-дифференциальных уравнений. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2005. - 328 с.

где X* £ X* : Л х Сц —> Я", — функция, предельная к X.

Пусть для системы (7) существует функция Ляпунова

К =!/((, х), V : Л+х 5ЯЛ,

непрерывно дифференцируемая в области Л+ х Бц. Производная по времени от х) в силу системы (7) определяется но формуле

X(t,v»)-

c?i 1 öx

Предполагается, что функционал <р) можно представить в виде

V(i,v)=y(t,V(ilV>(0))) + W'(t,V.)I (9)

где функционал № = iV(i,<^) удовлетворяет неравенству W ^ О на множестве

fit[V, u] = {у> £ С„ : V(t + я, V9(s)) s; u(t + s, f, V(t, <¿>(0))), -h < s 0}.

Здесь u(t, а, u0) — решение уравнения

u = U(t,u), (10)

проходящее через точку (a, ii0) 6 Л+ х Л.

Уравнению (10) можно сопоставить семейство предельных уравнений

ü = U'(t,u), (И)

где U* — некоторая функция, предельная к U. Пусть выполняются следующие условия:

1) уравнение (10) удовлетворяет условиям единственности решений в области Л+ х Л;

2) существует непрерывная и ограниченная при всех i > 0, и0 £ Я функция

= di sc Ф(^0,Мо) ^ ¿2,

где cZi, <¿2 > С) — положительные постоянные.

Определим вспомогательную функцию w(i,x) при всех t ^ 0, х 6 S« из равенства

V(t,x) — u(t,0,iu(i, х)). (12)

Это возможно согласно методу нелинейной вариации параметров5, так как u(t, 0, щ) — единственное решение уравнения сравнения (10), существующее при всех I ^ 0.

По построению функция w(t, х) непрерывно дифференцируема на множестве Л+ х Stf. Следовательно, для w(t,n) так лее, как и для функции V(t, х),

5Лакгимикантам В., Лила С., Мартишок A.A. Устойчивость движения: метод сравнения. Киев: Наукова думка, 1991- — 248 с.

можно построить семейство предельных функций {w*(i,x)}. При этом для всех (i, х) 6 П х справедливо соотношение

V*(t,x) = u*{t,w*(t,x)).

Для каждого числа с е R и любого < е R определим множества N{t, с) = {<р е Ся : sup w*(t + s, <p(s)) = с},

-А^О

M(t,c) = {<p € N{t, c) : w*(t, ¥>(0)) = c}.

Проведённые построения позволили доказать следующую теорему о локализации положительного предельного множества и+(а,<р0) ограниченного решения неавтономной системы ФДУ.

Теорема 3 Предположим, что решение x(t,n,<p0) системы (7) ограничено некоторым компактом К с Sh для всех t а — h и существует функция Ляпунова V — ^(ijx), V £ Ki, такая, что справедливо дифференциальное равенство (9).

Тогда найдётся число с 6 Л, такое, что для любой предельной точки ■ф £ ш+(а, f0) существуют набор предельных функций (X*, V", w*, U*, W*) и решение х = x*(t,0, V>) предельного уравнения (8), такие, что х(*(0, ф) Е N{t,c), при этом для каждого т е /{ существует■ 0 £ [г — /г,т], при котором xj(0, ф) е М(в, с) и одновременно xj(0, ■ф) е {<р е С// : PV*(0, уз) = 0}.

На этой основе доказана следующая теорема об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (7).

Теорема 4 Предположим, что существует определённо-положительная функция Ляпунова V = V{t,x), V G Кь такая, что:

1) функционал V(t,ip) удовлетворяет дифференциальному равенству (9);

2) тривиальное решение и = 0 уравнения сравнения (10) устойчиво;

3) для любой пределыюй совокупности (X*, U*, W*, V*) и любого числа с ^ 0 не существует ненулевого решения х = x*(t,0,ip) уравнения (8), такого, что xi(0,t/>) е N(t,c) для всех t е R, и для каждого т б R существует значение в -h, г], такое, что (0, ф) £ М(0, с) и одновременно W*(0, xj(0, ■ф)) = 0.

Тогда нулевое решение х = 0 системы (7) асимптотически устойчиво.

Если при этом нулевое решение и = 0 уравнения сравнения (10) равномерно устойчиво, то нулевое решение х = 0 сгктемы (7) равномерно асимптотически устойчиво.

Теоремы 3 и 4 являются развитием известных теорем об устойчивости ФДУ с конечным запаздыванием на основе функции Ляпунова6.

6 а.) Разумихин B.C. Об устойчивости систем с запаздыванием // ПММ. — 1956. — Т. 20. — Вып. 4. - С. 500-512.

b) Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием // ПММ. — 1956. - Т. 20. - Вып. 4. - С. 513-518.

c) Андреев A.C. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. — Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2005. 328 с.

Применение теоремы 4 к задачам механики продемонстрировано на ряде примеров, в частности, в задаче о стабилизации программного вращения твёрдого чела, закреплённого в центре масс, вокруг средней главной центральной оси инерции в предположении, что стабилизирующие моменты определяются с некоторым неизвестным ограниченным запаздыванием. В этой задаче получено условие стабилизации, которое при отсутствии запаздывания и в случае стационарного вращения переходит в необходимое и достаточное условие критерия Рауса-Гурвнца.

Далее н главе исследован вопрос об использовании знакопостоянных функций Ляпунова в решении задач об устойчивости и асимптотической устойчивости решений системы (7). Получены соответствующие результаты, которые позволяют расширить класс применяемых функций Ляпунова.

В третьей и четвёртой главах все исследования по устойчивости и стабилизации движений механических систем проведены па основе теорем сравнения и их развития, представленного в первой и во второй главах диссертации.

В третьей главе, состоящей из трёх разделов, рассматриваются в общей постановке задачи об устойчивости и стабилизации неустановившихся движений голономных механических систем.

Построением системы сравнения получены достаточные условия асимптотической и экспоненциальной устойчивости невозмущённого движения системы, уравнения возмущённого движения которой могут быть представлены в виде

х + A(i, х, х)х + B(i, х, х)х = 0, (13)

где хеЯ", f £ A(i,x, у), B(i,x,y) — матрицы размерности п х п

с равномерно непрерывными, ограниченными элементами, матрица В(г,х, у) невырождена, detB(i,x,y) > b0 = const > 0 Vi ^ ü, Vx,y G Rn.

Используется следующее понятие логарифмической матричной нормы, введённое в работах С.М. Лозинского7 и Дж. Далквиста8.

Определение 1 Логарифмической нормой Ign ||А|| матрицы А 6 R"xn называется величина

lgn||A||= lim -p + hAH-i].

ftfO fl

Здесь символом || ■ || обозначена операторная матричная норма, соответствующая выбранной векторной норме.

Введём обозначение Д. = {(х, у) е R" х Rп : |х| < г, |у| < г}. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 5 Для экспоненциальной устойчивости невозмущённого движения х = х = 0 системы (13) достаточно, чтобы существовали постоянные k > 1,

7 Лозинский С.М. Оценка погрешностей численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия вузов. Математика. — 1958. — У' 5. - С. 52-90.

8Dahlquist G. Stability and Error Bounds in the Numerical Integration of Ordinary Differential Equations // Almqvist Sc Wiksells, Uppsala. 1958; Transactions on the Royal Institute of Technology, Stockholm. - 1959. - № 130.

т > О, L > О, матрица С е Л""", detC ф 0, и непрерывная функция £ : —> R, такие, что для любого ¿о ^ 0 и для всех t ^ to выполнялись неравенства

lgn||-C||<0, k > —||C||/(lgn I] — С||), sup {fc|| - С + С"1 A(t, х,у)С - C-lB(t,х, у)|| + lgn ||С - C~lA(t, х, у)С||} £ e{i)

(x,y)£D, U

1

J max {ф); lgn || - С|| + ЦСЦ/А} ds < L. (14)

<0

Теорема 6 Пусть j ■ | — сферическая норма, матрица С имеет вид С = cl ( с = const > 0 ) и для всех t 0 выполняется неравенство

с+ sup lgn || - A(i,x,y)|| < -5 = const < 0. (15)

(x,y)s DT

Тогда для равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения х = х = 0 системы (13) достаточно, ■чтобы выполнялись условия теоремы 5 при к — 1.

По теореме 6 равномерная асимптотическая устойчивость невозмущённого движения х = х = 0 системы (13) имеет место в случае, когда система сравнения устойчива, но не асимптотически.

На основе приведённых теорем получены различные условия равномерной асимптотической устойчивости невозмущённого движения механической системы с одной степенью свободы и нестационарными параметрами

it + /(£, х, х)х + g(t, х) = G, g(t, 0) = 0, (16)

где функции j(t,x,x)x и g(t,x) ограничены и равномерно непрерывны в Л+ х Кг х К2 и х Ki соответственно ( К} С R и К2 с R — компактные множества). Функции, предельные к f(t,x,x) и g(t,x), обозначим соответственно f(t,x,x) и g'{t,x).

В частности, доказана следующая теорема.

Теорема 7 Пусть выполнено какое-либо из следующих условий: 1. справедливы условия

( о < h < f(t, х,у) < h < +00 Vt >, 0, Ух,у е R, < 0 < .9,х2 ^ xg[t,x) sC g¿х1 V£ ¡¡0, хф О,

I 2g2 < /?;

3. существуют постоянные К > 0 и а > О, такие, что для любого 10 О

1

У 7(г)л ^ к, V* ^ и,

(о

где функция 7(4) определяется в виде

7(4) = тах{2« - /(4, х(4,),.т(4)); -а + | - а + /(4, х(0, х(1)) - д(4,х(4))/(а:г(4))|} и, кроме того, для всех х ф О, у€ Я, 4 £ Л выполняются неравенства

3-^1ф2аГЦ,х,У)-Аа\ ф 2а2. (18)

х х

Тогда нулевое положение, равновесия х — х = 0 системы (16) будет равномерно асимптотически устойчиво в целом.

Условия теоремы 7 дополняют результаты Д.Р. Меркина9 и др. Рассмотрено применение теоремы 7 в задачах о стабилизации программных нестационарных вращений центрифуги, физического маятника.

Далее на основе результатов, полученных в первой главе, дано решение задачи о неустойчивости движения механической системы путём построения минорирующего уравнения сравнения.

Решены задачи о стабилизации программных движений голономных механических систем, линеаризованные уравнения в отклонениях которых имеют вид

х + А(4)х + В(4)х = С(4)и, хбГ, (19)

где матрицы А(4), В(4) и С(4) имеют ограниченные непрерывные элементы, и 6 Л" — вектор управления.

Выведены достаточные условия стабилизации программных движений механических систем при помощи пропорционального и пропорционально-дифференциального регуляторов. В частности, доказана следующая теорема.

Теорема 8 Пусть существуют невырожденная матрица О е Д"х" и постоянная к € Я, такие, что

со

У шах{0, II - Б + Б-ЧА^р - В(в) + С(«)К)|| + ^п ЦБ - 0"1А(в)0Ц/к}с1з < +оо. о

Тогда управление и = Кх обеспечивает экспоненциальную устойчивость нулевого решения системы. (10).

* Меркли Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. 4-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2003. 304 с.

С использованием теоремы 8 решены задачи о стабилизации программных движений перевёрнутого двойного маятника, двузвепного манипулятора на подвижном основании.

На основе результатов второй главы получены условия стабилизации положений равновесия и программных движений голономных механических систем с учётом запаздывания в цени обратной связи, когда управление в системе (19) определяется в виде

u = Kx(i-/}(«)),

где К 6 Лпхп — постоянная матрица, h(t) — ограниченная непрерывная функция запаздывания.

Получены также условия стабилизации движения управляемой механической системы с одной степенью свободы, описываемой уравнением

х + f(t,x,x)x - g(t,x}x = и, (20)

где управление и определяется по принципу обратной связи с переменным запаздыванием в виде

и =-k{t)x(t-h(t)). (21)

Предполагается, что непрерывные функции f(t,x,x), g(t,x), k(t) и h(t) при всех t 0 удовлетворяют соотношениям

0 < А < /(*, х, у) = const > 0 Vz, у € R, 0 ^ 9i ^ ff(t, х) ^ д2 = const >0 Vx € Л, 0 < fc, sj k[t) ^к2 = const >0, 0 ^ h(t) ^ /г, = const > 0.

На основе функции Ляпунова вида кубической нормы вектора получено следующее условие равномерной асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия системы (20) при управлении (21).

Пусть существует число а > 0, при котором справедливы следующие, неравенства

g2^ki{l-2ahi), -2а2 + (2/t - 2hxk7)a + дх - к2 Js 0, (22)

тогда управление (21) является стабилизирующим до равномерной асимптотической устойчивости.

Отметим, что при отсутствии запаздывания условие (22) совпадает с условием 1 теоремы 7.

В четвёртой главе рассматривается задача о стабилизации движений механических систем с заданной структурой сил, зависящих явно от времени, за счёт наложения сил иной структуры. К решению этой задачи применяется подход, развитый в предыдущих главах.

Задача об устойчивости движения механической системы в зависимости от структуры действующих сил является одной из основных в теории устойчивости движения. Изучение этой задачи часто сводится к исследованию системы

Aq+(B + G)q+(C + P)q=Q(f,q,q), (23)

где q £ Я" вектор обобщённых координат, q — вектор обобщённых скоростей, А £ йпх" — симметричная, положительно-определённая матрица инерционных характеристик системы, А = Ат > 0, симметричный матрицы В и С описывают соответственно действие диссипативно-ускоряющих и потенциальных сил, В = Вт, С = Ст, а кососимметрнчные матрицы G и Р характеризуют действие гироскопических и неконсервативных позиционных сил соответственно, G = -GT, Р = -Рт; Q(t,q,q) — функция, содержащая q, q в степени выше первой, Q(t, 0,0) = 0 .

Для неавтономных механических систем задача об устойчивости движения в зависимости от действующих сил исследовалась в работах В.М. Матросова, A.C. Андреева, В.Н. Кошлякова, A.A. Косова и других учёных.

Исследована задача о стабилизации нулевого положения равновесия

q = q = 0 (24)

потенциальной системы

q + C(<)q = Q,(t, q, q) (25)

с непрерывной ограниченной матрицей C(i) 6 Я"х" за счёт присоединения диссипативно-ускоряющих B(i)q , неконсервативных P(f)q и гироскопических G(i)q сил.

Доказана следующая теорема.

Теорема 9 При нечётном числе координат нулевое положение равновесия системы (25) можно стабилизировать до равномерной асимптотической устойчивости за счёт присоединения диссипативно-ускоряющих, гироскопических и неконсервативных сил в том случае, когда существуют постоянные е > 0 и L, такие, что хотя бы для одного диагонального элемента ca{t) матрицы С(t) выполняется неравенство

t

J cü(t)dt $ e{t - t0) -L, Vi > i0. (25)

k

Далее в главе выведены достаточные условия стабилизации движения механической системы с заданными гироскопическими силами и произвольными нелинейными силами, уравнения возмущённого движения которой имеют вид

q + G(t)q = Q(f,q,q), (27)

где q 6 R" — вектор обобщённых координат, кососимметричпая матрица G(f) е Rnxn с непрерывными ограниченными элементами описывает гироскопические силы, действующие на систему, ] det, G(t)| ^ g0 = const > О Vi > 0.

Доказана следующая теорема.

Теорема 10 В случае чётного числа координата п = 2к невозмущённое движение q = q = 0 системы (27) может быть стабилизировано до равномерной асимптотической устойчивости независимо от вида нелинейных сил присоединением диссипативиых сил с диагональной матрицей b{t)I ( b(t) — непрерывная ограниченная функция, I £ Rnxn — единичная матрица) и пекопсервативных позиционных сил с матрицей Р(t), таких, что для всех t ^ О справедливы неравенства

b(t) ^ b0 = const > 0, G(t) = itP(t), fi = const > 0, bt>/i > 1 |detP(t)| ^ pa = const > 0.

Соответствующие теоремы доказаны для задачи стабилизации движения механических систем с заданными неконсервативными позиционными силами при произвольных нелинейных силах.

Решена задача о стабилизации движения механических систем с заданными потенциальными и неконсервативпыми позиционными силами

q + (diag{c| (f),..., cn(f)} + P(i))q = Q(t, q, q). (28)

Доказана следующая теорема.

Теорема 11 Пусть c,i(t) > 0, (г = 1.....п) и

det(diag{ci(i),... ,c„(i)} + P(f)) > £ = const > 0.

Тогда положение равновесия q = q = О будет стабилизировано до равномерной асимптотической устойчивости, если к системе (28) присоединить диссипативные силы с матрицей b(t)I и гироскопические силы с матрицей G(i) = /i(f)P(£), ¡x(t) > fia — const > 0, такие, что для всех I ^ 0 справедливо неравенство

- 26(i) + < min{-/x(t)c;(t);-i}, Vi=l,...,n, <5 = const > 0. ¡lit) f.t{t)

Применением теоремы 11 решены задачи: о стабилизации вращательного движения осесимметричпого спутника на эллиптической орбите и силового гироскопического горизонта па неподвижном основании.

Исследована задача об асимптотической устойчивости неконсервативных систем с двумя степенями свободы, находящихся под действием параметрических возмущений

Г А\х ■+b1x + Hy + clx+py = X, I А2у + b2y - Hi.+ с2у — px = Y,

где Ai > 0 и А2 > 0 — обобщённые коэффициенты инерции, — Ну и Нх гироскопические силы, II — параметр, -с\Х и —Сгу потенциальные силы, —ру и рх — силы радиальной коррекции, —Ь^х и -Ь2у — диссипативные силы, X и Y — члены, содержащие х, у, х, у в степени выше первой. При

этом коэффициенты пропорциональности диссипативных и потенциальных сил изменяются во времени, bi = bi(t), С{ = c,-(i) — непрерывные функции, удовлетворяющие условиям

О < с™" ^ с, < cf" = const >0, 0 < bf" < 6, < = const > 0,

где if", i>Jnm, i)'"ax ( г = 1,2 ) —некоторые известные постоянные.

Получены следующие условия асимптотической устойчивости невозмущеипого движения системы (29).

hmm > Аф нет . 12. ^ 2р

Н Г с',""1 с'"""!

(30)

hmoi imiri Hrmin

J.fe = 1.2, j/fc.

•Ь -1; P-'ij

Если выполняются равенства

4 _ 1 _ ,1 Ijri'iTL _ LTmn _ I, imax _ Umax _ I,

Л, = Л2 — Л, , 0L — 02 = Ömm, ftj = Й2 — »max,

„тпт _ nmin _ r rmti'x _ ~max _ „

L1 — min» L ] — '-2 — t-mnxj

то условия (30) принимают более компактный вид

h •> ^Е -L С""аН h _ А <Г СтшН

"min £ 1Т ~г п , ''тп.г: Оmin

Н 2 р р

Условия асимптотической устойчивости пулевого решения системы (29) в случае, когда коэффициент неконсервативных сил зависит от времени

0 < Р\ < p{t) ^ Р2, = const,

получены в виде: для всех г, j = 1,2; г ф j, выполняются неравенства

/'^-V + - ^ - + -А- / < 2 _ М гчл

Vpo^J Н PuAjJ ^Л.аЛро) " Ui Н)ргА{■ К 1

Здесь

Pi + Р2 . Р2 ~ Pi

Ро = -2-. Р=—2—■

Отметим, что условия (30) и (31) не содержат производных функций, входящих в уравнения (29), и позволяют делать вывод об асимптотической устойчивости, если известны только лишь границы диапазона изменения этих функции.

В заключении главы решены задачи об устойчивом функционировании гировертикали с радиальной коррекцией и др.

Пятая глава посвящена проблеме синтеза управления движением механических систем общего вида при учёте, что их функционирование происходит в условиях изменяющихся целей управления, параметров системы, неполной информации

о геометрических и массо-ннерциоипых характеристиках систем, наличии некоторого неопределённого запаздывания в структуре обратной связи, действия неконтролируемых возмущений.

В первом разделе решена задача стабилизации программного движения Ч = Чо(0 механических систем с п степенями свободы, описываемых уравнением вида

H(i,q)q + f(i,q,q) = u, t > 0, (32)

путем построения как релейного, так и кусочно-непрерывного управления. Релейное управление для системы (32) найдено в виде

u(t) = к sign [q(t) - qo(t) + С'Ш ~ qo(i))] . (33)

где К е Я"*" — некоторая постоянная матрица, ||К|| i к,0 = const; С 6 Я"*" некоторая постоянная матрица, такая, что det С ф 0 и для соответствующей логарифмической нормы матрицы (—С) выполняется неравенство

lgn||-C||<0. (34)

Пусть х = q - q0(i) отклонение от программного движения. С помощью замены переменных

XI =х, х2=х + С~1х (35)

система (32) преобразована к виду

!xi = -Cxi + Сх2,

х2 = (-С + L,(i))Xl + (С + L2(£))x2 + G2(i,xbx2) + Gu(i)+ (36) +C-1H71(t,x1)Ksignx2,

где матрицы Li(t), L-2(i) имеют выражения

dG(t,x i,x2)

Li(t)= 3G(i,xbx2)

Mi) =

x,=0,x2=0 9x2

<9xi

"i -

G(i,x,,x2) = -C-'H^^.Xijf.^.Xi.-Cxi + Cx2).

I (37)

Х1=0,Х2 = С1

вектор Х1,х2) представляет собой остаточный член разложения функции

С((,х1,х2) в ряд Тейлора в окрестности точки XI = х2 = 0; С0(£) = С(<,0,0).

Пусть символ 1 обозначает вектор (1,1,..., 1)т е Я". Доказана следующая теорема.

Теорема 12 Пусть существуют положительные постоянные а и Ь, такие, что для некоторого числа <5 > 0 и для любых векторов Х1,Х2 6 Я", удовлетворяющих условиям |Х]| < 5, |х2| < 5/с ( с = —||С||/(^п |[ - С||) ), имеют место неравенства

( с^нс-'нгЧ^хОКЩ!!«-«, |с2(г,хьх2)| < Ь52, г > о, 1 тах(?0 {[тах{0,1§п ||С + Ьг(4)||} + с|| - С + Ь:(г)||] 5 + с|С0(<)1} + сМ'2 <

Тогда управление и вида (33) решает задачу об экспоненциальной стабилизации программного движения qu(i) системы (32) с областью притяжения

Т6 = {(х, х) е Лп х Rn : |х| < S, |х + СТ1*! < S/c}. (38)

Далее в разделе решается задача о стабилизации программного движения q()(i) системы (32) при помощи кусочно-линейного управления вида

u(i,x,x) = аК(х + СГ1х), (39)

где К 6 Rnxn - постоянная матрица, а — скалярная кусочно-постоянная функция времени, изменяющаяся по следующему алгоритму.

Пусть tk —наименьший момент времени, такой, что функция |х + С~'х| на фазовой траектории системы станет равной <5/2h, k = 1,2,.... Тогда функция а скачком изменяется в этот момент по закону

£*(<*) = а* = 2*, fc = 1,2,....

Доказана следующая теорема.

Теорема 13 Пусть существуют положительные постоянные а и Ь, что для некоторого числа <5 > 0 и для любых векторов xi,X2 удовлетворяющих условиям |xi| < <5, |хг| < S/c (с — —]|C||/(lgn || имеют место неравенства

lgn||C~1H^1(i,x1)K]| ^ -2а, |G2(î,x,,x2)| ^ О

raax^0{[riiax{0,lgn|iC + L2(i)||} + c|| - С + Li(i)]|] 5} + cb&2 < а5.

Тогда управление и вида (39) решает задачу об экспоненциальной стабилизации программного движения qo(t) системы (32) с областью притяжения (38).

Основное отличие теорем 12 и 13 от известных результатов, полученных на основе скалярной функции Ляпунова энергетического типа, состоит в нахождении явной оценки области начальных возмущений и отсутствии ограничений на производные матрицы кинетической энергии.

Во втором разделе дано решение задачи стабилизации программного движения механических систем с матрицей инерции H(i, q) положительно-определённой и имеющей следующее представление

H(i,q) = H0(i,q) + H1(i,q), (40)

где H0(i,q) — положительно-определённая и известная матрица, а матрица H](f,q) неизвестна.

такие, € Я\

- с||) ),

Получена теорема о стабилизации программного движения при помощи релейных управлений. Даны оценки области начальных возмущений, нормы неизвестной части матрицы инерции.

В третьем разделе исследуется задача стабилизации программного движения механических систем с учётом динамики исполнительных механизмов.

Рассматриваемый объект управления описывается уравнениями

Н(<,я)ч = С1(^,<1) + М, М = ф(4,ц,(э,М) + и, (41)

здесь первое соотношение описывает динамику самой механической системы, а второе — динамику её приводов, ц е Я" — вектор обобщённых координат, Н((,ч)бйи" — матрица с непрерывными ограниченными элементами, 4) £ Л™ — вектор с непрерывными ограниченными элементами, М € Я" — вектор управляющих сил, действующих на механическую систему со стороны управляющих устройств, и € Я" — вектор входных сигналов, поступающих на управляющие устройства, Ф(í, q, с}, М) € Я" — вектор с непрерывными элементами.

Выведены условия стабилизации программного движения q = qo(t) системы (41) при помощи релейных управлений вида

и = К^п(х + (Р^ +С-1)х + С-1Г-'х),

где К, Г, О £ Я"*" — некоторые невырожденные матрицы.

Полученные результаты дополняют известные результаты10 тем, что указывается явная оценка области начальных возмущений.

Эффективность построенного закона управления продемонстрирована в решении задачи о стабилизации программного движения двузвенного манипулятора на неподвижном основании с учётом динамики роторов электродвигателей, установленных в шарнирах.

10Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Управление движением манипуляциогшых роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов // Автоматика и телемеханика. — 1989. № 9. - С. 67-82.

Определён закон изменения стабилизирующих напряжений, подаваемых на вход электродвигателей, вида

u = Ho(92(i))Ksign(9l(t) - qia(t) + (<?i(f) - ?ю(<))/2 + Ш - <jm(t)),

где H0(q2(t)) £ R2*2 матрица инерции, Кб Я2*2 — постоянная матрица, </ю(£) и 920 (0 ~ программное движение манипулятора.

В четвёртом разделе исследована задача слежения для механических систем с учётом запаздывания в структуре управления в следующей постановке.

Пусть уравнения управляемого движения механической системы имеют вид

A(£,q)q + B(t,q,q) = u(t - ft(f)), £ > 0, (42)

где q £ Rn — вектор обобщённых координат, q 6 Rn — вектор обобщённых скоростей, A(t, q) 6 Rnxn — невырожденная матрица с ограниченными равномерно непрерывными на каждом множестве R+ х К ( К С R" — компактное множество) элементами, В(£, q, q) 6 Л" — вектор с ограниченными равномерно непрерывными на каждом множестве R+ х К\ х Кг ( К\ С Я" и С R" компактные множества) элементами, и г Л" — вектор управляющих воздействий, h{t) — ограниченная непрерывная функция запаздывания в управлении, 0 ^ h(t) ^ h0 = const > 0.

Введём в пространстве Я" прямоугольную векторную норму

|х| =max{a1|xi|,a2|z2|,...,anW}, х е Л", (43)

где cij (г = 1,2,...,«) — некоторые положительные постоянные.

Пусть q*(i) : Л —► Я" — отслеживаемая траектория объекта (42). Следящая система может быть записана в виде, аналогичном (42).

Пусть С е Япхп - - некоторая невырожденная постоянная матрица, det С / 0, и такая, что для логарифмической нормы матрицы (—С), соответствующей выбранной прямоугольной векторной норме (43), выполняется неравенство

lgn||-C||<0.

Управление для системы (42) ищется в виде

u(t — h(t)) = К sign [q(t - h(t)) - q*(< - h(l)) + С"1 (q(i - h(t)) - q*(i - /i(£)))] , (44)

где К £ Л"хп — некоторая матрица, подлежащая определению.

Задача слежения состоит в отыскании управления u(t - h(t)) вида (44) и ограничений на параметры системы (42), при которых для некоторого числа е > О найдётся число S = ¿(г) > 0, что для любой начальной функции <p(s), —ho удовлетворяющей условию

тах{ max k>(s)-q*(s)|, max. Ms) - q'(s) + C"1^) - q*(s))|} < A (45)

_h Л <r e> ^ П _л - «Г П

для решения q(i) системы (42) с начальным условием q(s) = v(s), -ho ^ s ^ О, будет справедливо неравенство

|q(i)-q*(i)l <е Vi^O.

Число £ при этом называется ошибкой слежения. Введём отклонения:

x = q-q*(0> x = q-q*(i).

Тогда в отклонениях уравнение (42) примет вид

х + А*(£)х + B*(i)x = Ai(i,x)u(< - h(t)) + F*(i) + G*(i,x,x),

где матрицы Ai(£,x), A*(i), B*(i) и векторы F*(i) и G*(t,x,x) представлены соответственно выражениями:

A,(i,x) = A'^i.x + q'W). F,(t) = L(i,q,(i),q,(i))-q*W.

A'(*) =

3L(f, q, q)

dq

B'(t).

dh{t, q, q)

ч=ч,(0.ч=ч*(0

С'(г,х,х) = 0(|х|2 + |х|2), а вектор-функция Ъ[Ь, q, с() определяется по формуле

Ь(г,ч,с1) =А-1(г,ч)в(4,ч, <у.

Доказана следующая теорема.

Теорема 14 Пусть найдутся положительные постоянные е, а, Ь и Л', такие, что:

1) матрицы А*(4), В*(£), А1(<,х) и векторы Р*(4) и С(4,х,у) удовлетворяют условию: для всех и для любых векторов х, у € Я", таких, что |х| < е, |у| < г, справедливы следующие неравенства

1цп||С - С_1А*(<)С|[ $ Ь, |С-1С(4,х,у)| < Я(|х|2 + |у|2),

¡1 - С -I- С"1А*(4)С - С-'В'ЙЦе + + 2Ме2 + ЦС"1 А1(4,х)К|[ < а,

(с^п ||С - С~'А*(г)С|| + || - С + С-1 А*(/,)С - С_1В*(<)||)е + |С"1Р*(01+

+ 2Шг + ЦС~1А1(4,х)К:)|| ^ 0,

где с = — 1{*п [| — СЦ/ЦСЦ;

2) начальная функция у> : [—Л0,0] —> Я" удовлетворяет неравенству (45), где число 5 таково, что 0 < 5 < се\

3) максимальная величина запаздывания /¡о удовлетворяет ограничению

1 , сЬг + а

Л0 < у 1п-.

и а

Тогда решение системы (42) отслеживает траекторию q*(í) посредством управления (44) с погрешностью слежения, не превышающей е.

Теорема 14 устанавливает максимально допустимое запаздывание в системе и величину начальных возмущений <5 . Теорема 14 значительно дополняет известный результат11 решения задачи слежения для медленных траекторий механических систем на основе метода "замороженных" коэффициентов. Эффективность теоремы 14 состоит, в частности, в том, что она позволяет решать задачи слежения для механических систем, описываемых нестационарными уравнениями (матрица А и вектор В в уравнении (42) предполагаются зависящими кино от времени). Кроме того, проверка условий теоремы 14 сводится к довольно простым операциям вычисления логарифмических и операторных матричных норм, соответствующих прямоугольной векторной норме, и не требует вычисления и оценки собственных значений нестационарных матриц, что эффективно при проведении вычислительных расчётов.

Применение теоремы 14 показано в решении задачи слежения для двузвенного манипулятора на подвижном основании.

В шестой главе представлены результаты решения задач управления движением колёсных мобильных роботов различной конструкции.

В первом разделе дано решение задачи управления движением колёсного робота с конструкцией двускатной тележки па основе разрывных управлений.

Здесь х, у, ф и /3 — обобщённые координаты, при этом х и у -координаты точки А платформы, ф курсовой угол тележки, ¡3 — угол поворота оси передней колёсной пары относительно платформы, V скорость точки А платформы, Ь — расстояние между передней и задней осями платформы.

11 Ефремов М.С., Поляков А.Е., Стрыгин В.В. Новый алгоритм слежения для некоторых механических систем // 11ММ. — 2005. - Т. 09. — Вып. 1. С. 30 41.

Уравнения движения в форме Аппеля в квазискоростях имеют вид

f (m + motg'0)V + bMn+TsMV^QVl

о cos1 р

(46)

^V + lJU^V^Qe,

b bcoa2 p

где 12, m и mo -- массо-инерционные характеристики, Qv и Qp — управляющие силы. Кинематические уравнения записываются следующим образом

V

х = V соя ф, у = V sin ф, ф = — tg /3. (47)

Цель управления такой механической системой состоит в следующем. Выбором управляющих сил Qv и Q¡¡ вывести систему па заданную гладкую траекторию S ( А £ S ) и стабилизировать движение вдоль этой траектории с заданной скоростью V = V"(t) точки А. Здесь V'(t) — некоторая непрерывно дифференцируемая функция времени.

Достижение этой цели представлено решением двух задач. Первая задача. Выведение за конечное время динамической части системы (46) на движение

V = V*(t), р = $'(t) - а(0 - 0>{t)), (48)

где а = const > 0 и fi*{t) — некоторая заданная функция времени. Отклонение координаты р от P*(t) экспоненциально стремится к пулю. Выбор функции p"(t.) даёт решение следующей задачи.

Вторая задача. Выведение системы на заданную траекторию S и обеспечение экспоненциальной устойчивости движения колёсного робота вдоль этой траектории. Вектор управляющих сил Q = (Qv, Qn)T найден в классе релейных управлений

Q = K(sign(V — V*(t)),sign(/:¡ - fi*(t) + (fl — /3*(i))/a))Ti (49)

где К £ В'2*2 постоянная матрица.

Решена также задача построения кусочно-непрерывного управления

Q = aK(V - V*(t), ¡3 - ¡3'(t) + ф - /?*(£))/a)T, (50)

обеспечивающего достижение поставленной цели управления. Здесь а — кусочно-постоянная функция времени, К € Л2х2 — постоянная матрица.

Новизна полученного результата состоит в решении задачи управления колёсным роботом для нестационарного закона движения V = V'(t) вдоль заданной траектории.

Во втором разделе представлено решение задачи слежения для колёсного робота с конструкцией двускатной тележки при помощи релейного запаздывающего управления. Получены ограничения на максимальную величину запаздывания и явные оценки области начальных возмущений.

В третьем разделе решена задача стабилизации движения колёсного робота типа "монотип" с ведущими задними колёсами и передним рояльным колесом с учётом динамики электроприводов.

Электромеханические уравнения динамики такого мобильного робота в пренебрежении влияния инерционности рояльного колеса и его вилки на динамику робота могут быть записаны в виде12

!Т1С ' тьс1 тУ - т}а<Л2--(г, + г2) = 0, .70 + ттг.аУП--(¿1 - г2) = 0,

+ + + = + т2 + ™(V - щ = и2,

где V — скорость точки Л; С1 = ф ■ угловая скорость платформы; и г2 — токи во внешних цепях электродвигателей; г — радиус задних колес; т^

— масса платформы; Ь — обобщённая индуктивность цепи электродвигателя; с — коэффициент электромеханического взаимодействия; Л — омическое сопротивление цепи ротора; п передаточное число редуктора; а = ЛС; С

— центр масс робота;

т = шх 4- 2тк 4- 2^, 3 = Л 4 27йг + (т - тОЯ2 + т1<г2, г

здесь тк — суммарная масса ведущего колеса и ротора электродвигателя,

момент инерции платформы, относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс С; — момент инерции ведущего колеса относительно вертикальной

оси; ,1У приведённый момент инерции колеса.

12 Охоцимский Д.Е., Мартыненко Ю Г. Новые задачи динамики и уиранления движением мобильных колесных роботов // Успехи механики. — 2003. — Т. 2, № 1. — С. 3-46.

Получены релейные законы управляющих напряжений [/] и [/2, которые стабилизируют заданное нестационарное движение

у = у(г), * = (52)

В четвёртом разделе решены задачи стабилизации программного движения и слежения для мобильного робота роликонесущими колёсами.

Рис. 4. Мобильный робот с тремя роликонесущими колёсами

Робот состоит из четырёх тел: платформы и трёх колёс вида "omnidirectional". Платформа перемещается по горизонтальной поверхности. Центр масс робота расположен в точке С платформы. Углы между осями колёс составляют 120°. На колёсах робота закреплены ролики, оси вращения которых лежат в плоскости соответствующего колеса. Рассмотрена модель такого колеса, в которой не учитывается динамика роликов и предполагается, что все ролики лежат в одной плоскости и представляют собой опоясывающий колесо тор с сечением бесконечно малого радиуса.

Уравнения движения рассматриваемой механической системы в предположении, что движение робота происходит без проскальзывания под действием моментов, развиваемых тремя независимыми электродвигателями постоянного тока, имеют вид13

Hq + f(q) = P(V)u, (53)

0 \ / hi + тщфщ \

0 , Щ,г},Ф)= hr,~mdiPi , Is / V 2а21гф J

/ . , ■ ( , . 2тг\ . ! , . ^ \

Н

Р(0):

sini/> — cos ф — COS

13Мартыненко Ю.Г., Формальский A.M. О движении мобильного робота с роликонесущими колесами // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № б. — С. 142-149.

Здесь £ и т) — координаты центра С платформы робота с неподвижной декартовой системе координат 0(т](; тр — угол поворота платформы вокруг вертикали, отсчитываемый от оси и = (щ, щ, из)т, и 1, иг н из —

управляющие напряжения, подаваемые на электродвигатели постоянного тока; я — расстояние от центра С платформы до центра каждого колеса;

тп = т0 + Зт, -I- , т8 = т0 + 3ть т^ = т - т3,

Is = то Po + 3ni!

Р? +

, Зс„

=

m0,mi — массы платформы и колеса робота соответственно; ро, Pi соответственно радиусы инерции платформы и колеса относительно вертикальной оси, проходяв;ей через их центры масс; г — радиус колеса, п — радиус инерции колеса относительно оси вращения; с„ — коэффициент момента протнвоэлектродвижущей силы.

Пусть qo(t) = (Zo(t)tr/o(t:): '<Po{t))T — программное движение робота. В настоящем разделе был получен релейный закон управления

u=-aP-1№o(t))Hsign(q-q0(t) + ß(q-q0(t))), а > 0, ß > 0. (51)

Этот закон управления позволил за конечное время ti вывести систему в режим декомпозиции

¿ = io(t)-7(£-fo(t))> J? = '?o(i) -7('/-%(i))> /ггч

■4> = Mt)-i(i>~Mt)), t>tu ßj = 1, (м>

обеспечивающий экспоненциальную стабилизацию программного движения робота. Далее в разделе построен кусочно-непрерывный закон управления

ц=-a(i)p-1('/'o(t))H(q-qo(i) + ^(q-q0(i))), ß = const > 0,

где a(i) > 0 кусочно-постоянная функция времени. Этот закон так же, как (54), за конечное время выводит систему в режим декомпозиции (55), при этом энергетические затраты на управление существенно снижаются.

Кроме того, была решена задача слежения для такой системы с учётом запаздывания в структуре обратной связи и неизвестной матрицы инерции

Н = diag(m + А то, т + Am, 1Я + AI,), Н = Н0 + ДН.

Найден закон управления

u = -oP-l(^0(t-/i(t)))H0 sign (q(t - h(t)) - q„(t - h(t)) + ß{q(t - h(t)) - q0(i - h(t)))) ,

( а > 0, ß > 0 ) и получены оценки максимальной величины запаздывания и нормы неизвестной части ДН матрицы инерции.

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы. Автор выражает глубокую благодарность профессору Александру Сергеевичу Андрееву за внимание к работе, полезные обсуждения и многолетнюю поддержку.

Основные публикации автора по теме диссертации

(Из официального перечня ВАК)

1. Андреев A.C., Перегудова O.A. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости // Доклады Академии наук. — 2005. -Т. 400, № 5. -С. 621-624.

2. Андреев A.C., Перегудова O.A. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости // Прикладная математика и механика. — 2006. - Т. 70. - Вып. 6. - С. 965-976.

3. Перегудова O.A. Уравнения сравнения в задачах об устойчивости движения // Автоматика и телемеханика. — 2007. — Л"« 9. — С. 56-63.

4. Перегудова O.A. Логарифмические матричные нормы в задачах устойчивости движения // Прикладная математика и механика. — 2008. — Т. 72. — Вып. 3. — С. 410-420.

5. Перегудова O.A. Развитие метода функций Ляпунова в задаче устойчивости фунционально-дифферепциальных уравнений / / Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 12. С. 1638-1647.

6. Перегудова O.A. О стабилизации движений неавтономных механических систем // Прикладная математика и механика. — 2009. — Т. 73. — Вып. 2. — С. 176-188.

7. Перегудова O.A. К задаче слежения для механических систем с запаздыванием в управлении // Автоматика и телемеханика. — 2009. - № 5. — С. 95-105.

(Прочие)

8. Андреев A.C., Перегудова O.A. О стабилизируемости движений механических систем // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. — Т. 11. - Вып. 4. - С. 747-748.

9. Перегудова O.A. О применении формулы В.М. Алексеева вариации параметров в методе векторных функций Ляпунова // Ученые записки УлГУ. Сер. Фундаментальные проблемы математики и механики. — 2001. — Вып. 1(10). — С. 61-66.

10. Перегудова O.A. Методы сравнения в задачах устойчивости и стабилизации. — Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2004. - 60 с.

11. Перегудова O.A. К вопросу о построении уравнений сравнении для систем с запаздыванием // Ученые записки УлГУ. Сер. Фундаментальные проблемы математики и механики. — 2005. Вып. 1(15). — С. 75-83.

12. Перегудова O.A. Методы сравнения и преобразования в задачах об устойчивости систем с запаздыванием. — Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2005. — 83 с.

13. Перегудова O.A. Функции Ляпунова вида векторных норм в задачах устойчивости // Ученые записки УлГУ. Сер. Фундаментальные проблемы математики и механики. — 2006. — Вып. 1(16). — С. 43-51.

14. Перегудова O.A. О стабилизации положений равновесия механических систем с запаздыванием в цепи обратной связи // Труды IX Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". — Т. 2. Аналитическая механика и устойчивость движения. - 2007. - С. 165-171.

15. Перегудова O.A. О стабилизации движений механических систем с запаздыванием в управлении // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14. - Вып. 4. - С. 737-738.

16. Перегудова O.A. Знакопостоянные функции Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Международный сборник "Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах". — 2007.

Т. 13, № 2(28). - С. 97-108.

17. Перегудова O.A. К задаче построения кусочно линейного управления реономными механическими системами // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15. — Вып. 4. — С. 673.

18. Перегудова O.A. О стабилизации движений неавтономных механических систем // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15. Вып. 6. - С. 1117-1118.

19. Перегудова O.A. Метод сравнения в задачах устойчивости и управления движениями механических систем. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2009. 253 с.

20. Перегудова O.A., Моторина Д.Ю. К задаче стабилизации движений механических систем при учете динамики приводов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. — Т. 15. — Вып. 6. С. 1118.

21. Перегудова O.A., Моторина Д.Ю. Моделирование управления движением колёсного мобильного робота // Труды Седьмой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов". 2-5 февраля 2009 года, г. Ульяновск / под ред. д.т.ц., проф. Ю.В. Полянскова, д.ф.-м.н., проф. В.Л. Леонтьева. — Ульяновск: УлГУ, 2009. - С. 209-210.

22. Перегудова O.A., Филаткина Е.В. Развитие метода сравнения в задаче о неустойчивости движения // Ученые записки УлГУ. Сер. Математика и информационные технологии. — 2008. — Вып. 2. — С. 88 98.

Подписано в печать 22.09.2009. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 111 /4'22

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение.

1 Общая характеристика диссертационной работы.

2 Обзор литературных источников по теме диссертационной работы.

2.1 Метод сравнения для задач устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений

2.2 Метод сравнения для задач устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

2.3 Метод логарифмических матричных норм.

2.4 Принцип декомпозиции в решении задач устойчивости и управления движением механических систем.

I Развитие метода сравнения в задаче об устойчивости решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1 Основные определения и предположения относительно неавтономной системы ОДУ и вектор-функции Ляпунова

2 Задача о локализации положительного предельного множества решения неавтономной системы ОДУ.

3 Задача об асимптотической устойчивости.

4 Задача о неустойчивости

4.1 Теорема о неустойчивости.

4.2 Признаки неустойчивости движения линейной механической системы с одной степенью свободы и переменными коэффициентами.

5 Применение знакопостоянных вектор-функций Ляпунова в задачах устойчивости.

II Развитие метода сравнения в задаче об устойчивости решений неавтономных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием

1 Основные определения и предположения относительно неавтономной системы.

2 Задача о локализации положительного предельного множества решения неавтономной системы.

3 Задача об асимптотической устойчивости.

4 Применение знакопостоянных функций Ляпунова в задачах устойчивости.

III Методика исследования задач об устойчивости и стабилизации неустановившихся движений механических систем в общей постановке

1 Об исследовании устойчивости невозмущённых движений механических систем.

1.1 Задача об устойчивости движения.

1.2 Задача о неустойчивости движения

2 Решение задачи стабилизации движения при помощи пропорциональных и пропорционально-дифференциальных регуляторов.

3 Задача стабилизации движения механических систем с учётом запаздывания в цепи обратной связи.

3.1 Стабилизация положений равновесия.

3.2 Стабилизация программных движений

IV Решение задач о стабилизации движения механических систем в зависимости от структуры действующих нестационарных сил

1 Обзор литературных источников.

2 Стабилизация движений механических систем с заданными потенциальными силами.

3 Стабилизация движений механических систем с заданными гироскопическими силами.

4 Стабилизация движений механических систем с заданными неконсервативными позиционными и потенциальными силами.

5 Условия асимптотической устойчивости движений пеконсервативных механических систем с двумя степенями свободы.

V Построение разрывных законов управления движением механических систем на принципе декомпозиции

1 Задача о стабилизации программного движения неавтономных механических систем.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Решение задачи на основе релейного управления

1.3 Решение задачи на основе кусочно непрерывного управления.

2 Решение задачи стабилизации программного движения механических систем с неизвестной матрицей инерции

3 Решение задачй стабилизации программного движения механических систем при учёте динамики приводов

4 Задача слежения для механических систем с релейным запаздывающим управлением.

4.1 Постановка и решение задачи слежения.

4.2 Примеры

VI Решение задач управления движением колёсных мобильных роботов

1 Стабилизация движения колёсного робота с конструкцией двускатной тележки.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Релейное управление.

1.3 Кусочно непрерывное управление

1.4 Решение второй задачи

2 Задача слежения для колёсного робота типа двускатной тележки.

3 Стабилизация движения трёхколёсного мобильного робота с двумя ведущими колесами при учёте динамики приводов

4 Управление движением мобильного робота с роликонесущими колёсами

4.1 Задача о стабилизации программного движения

4.2 Задача слежения.

1 Общая характеристика диссертационной работы

Актуальность темы. Бурное развитие науки и техники в середине двадцатого века вызвало интенсивную разработку новых разделов теоретической механики, в том числе, теории управления движением механических систем и её приложений. Основой этого раздела механики явились результаты исследований отечественных учёных, прежде всего, научных школ Н.Н. Красовского, А.Ю. Ишлинского, Д.Е. Охоцимского, В.В. Румянцева, Ф.Л. Черноусько, В.М. Матросова, Е.С. Пятницкого.

Усложнение структуры управляемых механических систем, разработка математических основ управления мехатронными системами и алгоритмов управления мобильными роботами требуют изучения новых классов задач в нелинейной и нестационарной постановке.

Вывод новых методов решения задач управления сложными многосвязными механическими системами с учётом ограничения на управляющие воздействия, неизвестных параметров систем и возмущений, требования о приведении системы в терминальное состояние за конечное время является актуальным предметом многочисленных научных исследований в настоящее время.

Широкое применение в решении задач синтеза управления механическими системами с неизвестными параметрами получил развитый в работах Ф.Л. Черноусько, Е.С. Пятницкого и их учеников принцип декомпозиции, состоящий в приведении управления всей механической системой к управлению отдельными её подсистемами таким образом, что перекрёстные динамические связи между подсистемами за конечное время перестают влиять на процесс движения.

При этом актуальна проблема построения новых законов управления на основе принципа декомпозиции с получением явных оценок области начальных возмущений, а также с учётом различных неопределённых факторов в структуре управления и параметрах самой системы.

Широкой базой решения задач об исследовании устойчивости и управлении движениями механических систем является прямой метод Ляпунова. И обратно, развитие этого метода в работах Н.Г. Четаева, Н.Н. Красовского, В.В. Румянцева, В.М. Матросова и других учёных в значительной степени связано с постановкой и решением задач об устойчивости и управлении движением. Большой раздел прямого метода Ляпунова составляют результаты, полученные в работах В.М. Матросова, Р.З. Абдуллина, Л.Ю. Анапольского, С.Н. Васильева, А.А. Воронова, А.С. Землякова, Р.И. Козлова, А.И. Маликова, К. Кордуняну, В. Лакшмикантама и других учёных на основе принципа сравнения. В настоящее время эти результаты эффективно применяются для выявления различных динамических свойств решений нелинейных дифференциальных уравнений. В их основе лежит принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, состоящий в следующем. Если для исходной системы дифференциальных уравнений существует вектор-функция Ляпунова, удовлетворяющая определённым условиям, то различные динамические свойства этой системы следуют из аналогичных свойств системы сравнения. Однако возможности метода сравнения с вектор-функцией Ляпунова в задачах о стабилизации и управлении движениями механических систем далеко не исчерпаны. В этом плане важную роль приобретают исследования по развитию этого метода в направлении смягчения условий классических теорем и разработке новых способов построения вектор-функций Ляпунова и систем сравнения.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка нового направления в исследовании устойчивости и управления движениями механических систем на основе развития метода сравнения и применения принципа декомпозиции.

Задачами исследования являются:

1) Обоснование новых способов решения задач об устойчивости и стабилизации движений механических систем посредством вывода соответствующих новых теорем об устойчивости для неавтономных систем обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

2) Вывод новых способов решения задач о стабилизации и управлении движением механических систем на основе синтеза разрывных (кусочно-непрерывных и релейных) управлений с учётом различного рода возмущений, динамики приводов, при неполной информации о параметрах системы, при наличии запаздывания в структуре обратной связи.

3) Решение конкретных задач прикладного характера: о стабилизации программных движений и отслеживании траекторий многозвенных манипуляторов, колёсных мобильных роботов, в том числе на основе синтеза разрывных управлений с учётом различных неопределённых факторов в параметрах системы и в управлении.

Методы проведённого исследования. Достоверность результатов. Основным методом проведённого исследования является метод функций Ляпунова. Вывод новых общих теорем об устойчивости и стабилизации основан на применении принципа сравнения и качественной теории дифферециальных и функционально-дифференциальных уравнений в части построения топологической динамики этих уравнений. Вывод новых способов решения задач о стабилизации и управлении движением механических систем основан на применении полученных теорем и принципа декомпозиции.

Результаты диссертации строго математически обоснованы. Достоверность разработанных в диссертации новых способов решения задач об устойчивости и управлении движением механических систем подтверждена проведённым численным моделированием в исследованных задачах.

Теоретическая и практическая значимость полученных результатов. Диссертация носит теоретический характер. Её значимость заключается в разработке нового направления в решении задач устойчивости и управления движением механических систем, включающего в себя:

- теоремы сравнения для исследования устойчивости движений неавтономных механических систем, . являющиеся развитием классических теорем сравнения;

- эффективные способы и алгоритмы исследования устойчивости и стабилизации движений механических систем, описываемых нелинейными неавтономными дифференциальными уравнениями.

- методику применения этих способов и алгоритмов в актуальных задачах управления движением манипуляторов, колёсных мобильных роботов.

Результаты, полученные в диссертационной работе, используются при чтении спецкурсов: "Математические основы конструирования систем управления", "Устойчивость и управление движением", при написании курсовых и дипломных работ на факультете математики и информационных технологий Ульяновского государственного университета. Эти результаты активно используются в научно-исследовательской работе сотрудников Ульяновского государственного университета.

Апробация результатов диссертации. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях, съездах и семинарах:

IX Международный Семинар имени Е.С. Пятницкого

Устойчивость и колебания нелинейных систем управления » ,

Москва, Россия, 31 мая - 2 июня 2006 года;

IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 года;

VIII Крымская Международная Математическая школа « Метод функций Ляпунова и его приложения » , Крым, Алушта, 10-17 сентября

2006 года;

Международный конгресс « Нелинейный динамический анализ

2007 » , Санкт-Петербург, Россия, 4-8 июня 2007 года;

VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия, Сочи-Адлер, 29 сентября - 7 октября 2007 года;

X Международный Семинар им. Е.С. Пятницкого < Устойчивость и колебания нелинейных систем управления > , Москва, Россия, 3-6 июня 2008 года;

Выездной семинар « Аналитическая механика и устойчивость движения » кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. А.В. Карапетяна, Ульяновск, 17-19 июня 2008 года;

Международная научная конференция по механике « Пятые Поляховские чтения > , Россия, Санкт-Петербург, 3-6 февраля 2009 года;

Седьмая Международная конференция « Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов » , Россия, Ульяновск, 2-5 февраля 2009 года;

Семинар « Аналитическая механика и устойчивость движения » кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. А.В. Карапетяна и проф. Я.В. Татаринова, Москва, 18 марта 2009 года;

Семинар « Динамика относительного движения » кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. Ю.Ф. Голубева, Москва, 27 апреля 2009 года;

Семинар лаборатории динамики нелинейных процессов управления Института проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, под руководством проф. В.Н. Тхая, Москва, 4 июня 2009 года;

Семинар отдела механики Учреждения Российской академии наук Вычислительного центра имени А.А. Дородницына РАН, под руководством проф. С.Я. Степанова, Москва, 4 июня 2009 года;

Симбирская молодёжная научная школа по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвящённая памяти академика Валентина Витальевича Румянцева, Ульяновск, 8-12 июня 2009 года;

Семинары кафедры механики и теории управления (с октября 2008 г. кафедры информационной безопасности и теории управления) Ульяновского государственного университета, проводимые под руководством проф. А.С. Андреева, Ульяновск, 2001 - 2009 годы.

Связь работы с крупными научными темами. Исследования проводились в рамках программ: "Государственная поддержка ведущих научных школ" (проект НШ-6667.2006.1 "Развитие общих методов аналитической механики и устойчивости движения механических систем"), "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/6194 "Развитие математической и прикладной теории устойчивости, стабилизации и управления") и проектов Российского фонда фундаментальных исследований:

- "Прямой метод Ляпунова в задачах об устойчивости и стабилизации неустановившихся движений" (проект № 02-01-00877);

- "Прямой метод Ляпунова в задачах об устойчивости и стабилизации движений механических систем" (проект № 05-01-00765);

- "Прямой метод Ляпунова в задачах об устойчивости, стабилизации и управлении движениями и процессами" (проект N2 08-01-00741).

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Способы локализации предельных множеств решений систем неавтономных систем обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием.

2) Теоремы сравнения для устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости решений систем неавтономных обыкновенных дифференциальных и функциональнодифференциальных уравнений с применением знакоопределённых и знакопостоянных векторных и скалярных функций Ляпунова.

3) Методика исследования устойчивости и стабилизации движений механических систем общего вида на основе использования операторной и логарифмической матричных норм в построении системы сравнения. Результаты применения этой методики в решении задач о стабилизации движений механических систем с заданной структурой действующих сил.

4) Способы решения задач о стабилизации программных двпжепий механических систем при помощи различных типов управления: непрерывного, релейного, кусочно непрерывного. Результаты применения этих способов к решению задач стабилизации программных движений многозвенных манипуляторов, колёсных мобильных роботов.

5) Способ решения задачи об отслеживании траекторий механических систем при наличии запаздывания в структуре обратной связи. Результаты применения этого способа к решению задач слежения для многозвенных манипуляторов, колёсных мобильных роботов.

Опубликованность результатов и личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах [26]-[28], [113]—[131]. Все результаты совместных работ, включённые в диссертацию, получены лично диссертантом.

Заключение

В диссертационной работе предложено и развито новое направление в решении задач устойчивости и управления движением механических систем, описываемых неавтономными дифференциальными уравнениями, основанное на принципе декомпозиции и построении скалярных и вектор-функций Ляпунова и систем сравнения.

Получены следующие результаты.

1) Разработан подход в исследовании устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений, позволяющий расширить классы систем сравнения и функции Ляпунова, используемых в теоремах сравнения для устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости.

Получены новые теоремы сравнения для асимптотической устойчивости и неустойчивости решений неавтономных систем обыкновенно-дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа, позволяющие использовать системы сравнения, решения которых устойчивы (не асимптотически).

Получены новые теоремы сравнения для устойчивости решений указанных систем дифференциальных уравнений на основе знакопостоянных скалярных и векторных функций Ляпунова.

2) Разработан новый способ исследования устойчивости невозмущёиного движения механических систем с. конечным числом степеней свободы, основанный на построении вектор-функции Ляпунова и системы сравнения с применением операторных и логарифмических матричных норм.

Применением этого способа к задачам устойчивости движений механических систем с одной и с двумя степенями свободы получены новые эффективные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости, позволяющие исследовать на устойчивость механические системы, параметры которых могут произвольным образом изменяться в заданных диапазонах.

3) Получены новые способы решения задач о стабилизации программных движений механических систем общего вида с конечным чйслом степеней свободы при помощи различных управлений: непрерывных, кусочно непрерывных, релейных.

Получены новые теоремы о стабилизации программных движений механических систем с неизвестными массо-инерционными характеристиками, при наличии неизвестного запаздывания в управлении, с учётом динамики исполнительных механизмов, с явными оценками области начальных возмущений без наложения ограничений на скорость изменения параметров рассматриваемых систем.

4) Разработан способ решения задач об отслеживании траекторий механических систем общего вида с конечным числом степеней свободы с помощью релейной запаздывающей обратной связи. Этот способ позволил существенно расширить класс отслеживаемых траекторий и исследуемых механических систем по сравнению с применявшимся ранее методом "замороженных" коэффициентов.

5) Получены новые решения задач стабилизации программного движения и отслеживания траекторий мобильных роботов различной конструкции: типа двускатной тележки, типа "монотип"; с роликонесущими колёсами, в том числе, в условиях неполной информации о массо-инерционных параметрах системы и наличия неопределенного запаздывания в управлении.

1. Абдуллин Р.З., Анаполъский Л.Ю., Воронов А.А., Земляков А.С., Козлов Р.И., Маликов А.И., Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А.А. Воронова и В.М. Матросова. — М.: Наука, 1987. — 312 с.

2. Агафонов С.А. Об асимптотической устойчивости неконсервативных систем // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1988. — № 3. С. 3-8.

3. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. 1,11 // Автоматика и телемеханика. — 1974. — 7. — С. 3347; № 8. - С. 39-61.

4. Александров А.Ю. Об устойчивости положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем // ПММ. — 2007. Т. 71. - Вып. 3. - С. 361-376.

5. Александров А.Ю., Косое А.А. Об асимптотической устойчивости положений равновесия механических систем с нестационарным ведущим параметром // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. - № 3. - С. 8-22.

6. Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений. 1,11 / / Вестник Московского университета. 1961. - № 2. — С. 28-36; — № 3. — С. 3-10.

7. Ананьевский И.М. Управление механической системой с неизвестными параметрами посредством ограниченной силы // ПММ. 1997. - Т. 61. - Вып. 1. - С. 52-62.

8. Ананьевский И.М. Ограниченное управление механической системой в условиях неопределенности // Доклады Академии наук. 1998. - Т. 359, № 5. - С. 607-609.

9. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2001. — № 2. — С. 39-47.

10. Ананьевский И.М. Синтез непрерывного управления механической ' системой с неизвестной матрицей инерции // Известия РАН. Теорияи системы управления. — 2006. — № 3. — С. 24-35.

11. Ананьевский И.М., Добрынина И. С., Черноусько Ф.Л. Метод декомпозиции в задаче управления механической системой // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1995. — № 2. — С. 3-14.

12. Ананьевский И.М., Колмановский В.Б. О стабилизации некоторых регулируемых систем с последействием / / Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 9. — С. 34-42.

13. Ананьевский И.М., Решмин С.А. Метод декомпозиции в задаче об отслеживании траекторий механических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2002. — № 5. — С. 25-32.

14. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова // Итоги пауки и техники. Общая механика. М.: ВИНИТИ. -1975. - Т. 2. - С. 53-112.

15. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // ПММ. — 1979. — Т. 43. — С. 796-805.

16. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. — 1984. — Т. 48. — Вып. 2. С. 225-232.

17. Андреев А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений // ПММ. 1987. - Т. 51. - Вып. 2. - С. 253-259.

18. Андреев А. С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости // ПММ. 1991. - Т. 55. - Вып. 4. - С. 529547.

19. Андреев А. С. Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы // ПММ. — 1996. — Т. 60. — Вып. 3. — С. 388396.

20. Андреев А.С. Об устойчивости неавтономного функционально дифференциального уравнения // Доклады РАН. — 1997. — Т. 356, № 7. С. 151-153.

21. Андреев А. С. О влиянии структуры сил па устойчивость положения равновесия неавтономной механической системы // Проблемы механики: сборник статей к 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. — М.: Физматлит, 2003. — С. 87-93.

22. Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. — Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2005. 328 с.

23. Андреев А.С., Бойкова Т.А. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости // Механика твёрдого тела. Донецк: Ин-т прикл. мат. и мех., — 2002. — Вып. 32. — С. 109-116.

24. Андреев А.С., Бойкова Т.А. Об устойчивости неустановившегося движения механической системы // ПММ. — 2004. — Т. 68. — Вып. 4. С. 678-686.

25. Андреев А.С., Перегудова О.А. О стабилизируемости движений механических систем // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. — Т. 11. — Вып. 4. — С. 747-748.

26. Андреев А.С., Перегудова О.А. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости // Доклады Академии наук. — 2005. Т. 400, № 5. -С. 621-624.

27. Андреев А.С., Перегудова О.А. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости // ПММ. — 2006. — Т. 70. — Вып. 6. — С. 965-976.

28. Андреев А.С., Хусанов Д.Х. Предельные уравнения в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, № 7. — С. 435-440.

29. A?idpeee А.С., Юрьева О.Д. Об устойчивости механической системы с одной степенью свободы // Известия РАЕН. Серия МММИУ. — 1997. Т. 1, № 1. - С. 102-114.

30. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. 614 с.

31. Белотелое В.Н., Мартыненко Ю.Г. Управление пространственным движением перевернутого маятника, установленного на колесной паре // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2006. № 3. -С. 25-42.

32. Бойков И.В. К устойчивости нейронных сетей Хопфилда // Автоматика и телемеханика. — 2003. — № 9. — С. 124-140.

33. Бойков И. В. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений второго порядка // Автоматика и телемеханика. — 2006. № 9. - С. 15-22.

34. Бойков И. В. О критерии устойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 2006. Т. 42, № 1. - С. 3-10.

35. Буданов В.М., Девянин Е.А. О движении колёсных роботов // ПММ. 2003. - Т. 67. - Вып. 2. - С. 244-255.

36. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и её приложения к вопросам устойчивости. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

37. Голубев Ю.Ф. Оптимальное по быстродействию управление перемещением неустойчивого стержня // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2008. — № 5. — С. 42-50.

38. Голубев Ю.Ф., Корянов В.В. Управление инсектоморфным роботом при движении по вертикальному углу и горизонтальному брусу // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006. № 1. -С. 149-157.

39. Голубев Ю.Ф., Корянов В.В. Управление инсектоморфным роботом при залезании на вершину вертикального угла и при движении по приставной лестнице // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. — № 1. — С. 148-157.

40. Гришин А.А., Ленский А.В., Охоцимский Д.Е., Панин Д.А., Формальский A.M. О синтезе управления неустойчивым объектом. Перевернутый маятник // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. - № 5. - С. 14-24.

41. Груйич Л. Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. — Киев: Наукова думка, 1984. — 308 с.

42. Данилин А.В. Достаточные условия устойчивости и стабилизации многосвязных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. — 1995. № 3. — С. 11-20.

43. Данилин А.В., Моисеев С.Л. Синтез самонастраивающихся систем управления с последействием на основе прямого метода Ляпунова // Автоматика и телемеханика. — 1991. — № 2. — С. 119-130.

44. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. — М.: Наука, 1983. — 280 с.

45. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. —-М.: Наука, 1998. 480 с.

46. Ефремов М.С., Поляков А.Е., Стрыгин В.В. Новый алгоритм слежения для некоторых механических систем // ПММ. — 2005. — Т. 69. Вып. 1. - С. 30-41.

47. Зобова А.А., Татаринов Я.В. Математические аспекты динамики движения экипажа с тремя окольцованными колесами // Сб. Мобильные роботы и мехатрониые системы. — М.: Изд-во МГУ, 2006. С. 61-67.

48. Зобова А.А., Татаринов Я.В. Свободное и управляемое движение некоторой модели экипажа с роликонесущими колесами // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. — 2008. — № 6. — С. 62-66.

49. Зобова А.А., Татаринов Я.В. Динамика экипажа с роликонесущими колесами // ПММ. 2009. - Т. 73. - Вып. 1. - С. 13-22.

50. Иванов А.П. Об устойчивости механических систем с позиционными неконсервативными силами // ПММ. — 2003. — Т. 67. — Вып. 5. — С. 707-712.

51. Игнатьев А. О. Об устойчивости положения равновесия колебательных систем с переменными коэффициентами // ПММ. — 1982. Т. 46. - Вып. 1. - С. 167-168.

52. Игнатьев А.О. О неустойчивости положения равновесия линейного осциллятора с переменными параметрами // ПММ. — 1991. — Т. 55. Вып. 5. - С. 701-703.

53. Каленова В.И., Морозов В.М., Соболевский П.М. Об устойчивости механических систем определенного класса // ПММ. — 2008 — Т. 72. Вып. 2. - С. 251-259.

54. Каленова В.И., Морозов В.М. О применении методов теории приводимости к некоторым задачам динамики гироскопических систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. - № 1. - С. 8-14.

55. Кантарелли Дж. Устойчивость положения равновесия склерономных механических систем // ПММ. — 2002. — Т. 64. — Вып. 6. С. 988-1001.

56. Карапетяи А.В. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестник МГУ. Сер. I. Математика, механика. — 1975. № 4. -С. 109-113.

57. Колмановский В.Б. Об устойчивости систем с последействием нейтрального типа // ПММ. — 1996. — Т. 60. — Вып. 2. — С. 210-222.

58. Косое А.А. О глобальной устойчивости неавтономных систем. I // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1997. — № 7(422). С. 28-35.

59. Косое А.А. О глобальной устойчивости неавтономных систем. II // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1997. — № 8(423). С. 33-42.

60. Косое А. А. Об экспоненциальной устойчивости и стабилизации неавтономных механических систем с неконсервативными силами // ПММ. 2007. - Т. 71. - Вып. 3. - С. 411-426.

61. Котляков В.Н. О структурных преобразованиях динамических систем с гироскопическими силами // ПММ. — 1997. — Т. 61. — Вып. 5. С. 774-780.

62. Кошляков В.Н. О структурных преобразованиях неконсервативных систем // ПММ. 2000. - Т. 64. - Вып. 6. - С. 933-941.

63. Кошляков В.Н. К проблеме качественного исследования гироскопических систем неконсервативной структуры // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2006. —№ 4. — С. 10-18.

64. Кошляков В.Н., Макаров В.Л. К теории гироскопических систем с неконсервативными силами j j ПММ. — 2001. — Т. 65. — Вып. 4. — С. 698-704.

65. Кошляков В.Н., Макаров B.JI. Механические системы, эквивалентные в смысле Ляпунова системам, не содержащим -неконсервативные позиционные силы // ПММ. — 2007. — Т. 71. — Вып. 1. С. 12-22.

66. Красовский Н.Н. Об асимптотической устойчивости систем с последействием // ПММ. 1956. - Т. 20. — Вып. 4. - С. 513-518.

67. Красовский Н.Н., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1963. № 6. -С. 3-15.

68. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А.А. Устойчивость движения: метод сравнения. — Киев: Наукова думка, 1991. — 248 с.

69. Лакшмикантам В., Мартынюк А.А. Развитие прямого метода Ляпунова для систем с последействием (Обзор) // Прикладная механика. 1993. — Т. 29, № 2. - С. 3-16.

70. Ла-Саллъ Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Мир, 1964. — 169 с.

71. Лобас Л.Г. Неголономпые модели колесных экипажей. — Киев: Наукова думка, 1986. — 232 с.

72. Лозинский С.М. Оценка погрешностей численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия вузов. Математика. 1958. - № 5. - С. 52-90.

73. Маликов А. И. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем со случайными структурными изменениями // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1996. — № 3. — С. 19-30.

74. Маликов А.И. Методы анализа и оценивания состояния нелинейных систем управления со структурными изменениями. — Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. — Казань, 1998. — 330 с.

75. Маликов А.И., Матросов В.М. Вектор-функции Ляпунова в анализе динамических свойств систем со структурными изменениями // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1998. № 2. -С. 47-54.

76. Маркеев А.П. Устойчивость стационарного вращения спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. — 1965. — Т. III. Вып. 5. - С. 674-676.

77. Маркеев А.П. Алгоритм нормализации гамильтоновой системы в задаче об орбитальной устойчивости периодических движений // ПММ. 2002. - Т. 66. - Вып. 6. - С. 929-938.

78. Мартыненко Ю.Г. Проблемы управления и динамики мобильных роботов // Новости искусственного интеллекта. — 2002. — Т. 4(52). — С. 18-23.

79. Мартыненко Ю.Г К теории обобщенного эффекта Магнуса для неголономных механических систем // ПММ. — 2004. — Т. 68. — Вып. 6. С. 948-957.

80. Мартыненко Ю.Г Управление движением мобильных колесных роботов // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. 11, № 8. С. 29-80.

81. Мартыненко Ю.Г, Формалъский A.M. К теории управления моноциклом // ПММ. — 2005. — Т. 69. Вып. 4. — С. 569-583.

82. Мартыненко Ю.Г., Формалъский A.M. О движении мобильного робота с роликонесущими колесами // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 6. — С. 142-149.

83. Мартынюк А.А., Оболенский А.Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского // Дифференциальные уравнения. 1980. - Т. 16, № 8. - С. 1392-1407.

84. Матросов В.М. К теории устойчивости движения // ПММ. — 1962. Т. 26. - Вып. 6. - С. 992-1002.

85. Матросов В.М. К теории устойчивости движения. II // Труды КАИ. Мат. и мех. 1963. - Вып. 80. -С. 22-33.

86. Матросов В.М. К теории устойчивости движения. III // Труды межвуз. конф. по прикл. теории устойчивости движения и аналит. механике. КАИ. - 1964. - С. 103-109.

87. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I, II // Дифференциальные уравнения. — 1968. — Т. 4. —№ 8. — С. 1374-1386; 10. С. 1739-1752.

88. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова. Ill, IV // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т. 5, N5 7. — С. 1171-1185; № 12. С. 2129-2143.

89. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. — М.: Физматлит, 2001. — 380 с.

90. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей A.M. Ляпунова за 100 лет: 1892-1992 // Известия вузов. Математика. — 1993. — № 4. —С. 347.

91. Матросов В.М., Финогенко И.А. О принципе инвариантности и притягивающих множествах для автономных систем // Доклады академии наук. — 1996. — Т. 349, № 1. — С. 46-48.

92. Матюхин В.И. Устойчивость движений манипуляционных роботов в режиме декомпозиции // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 3. С. 33-44.

93. Матюхин В.И. Стабилизация движений механических систем с неголономными связями // ПММ. — 1999. — Т. 63. — Вып. 5. — С. 725-735.

94. Матюхин В. И. Универсальные законы управления механическими системами. — Москва: МАКС Пресс, 2001. — 252 с.

95. Матюхин В. И. Управление колесной системой при учете погрешностей измерения состояния / / Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 1. — С. 41-60.

96. Матюхин В.И. Управление механической колесной системой // ПММ. 2007. - Т. 71. - Вып. 2. - С. 248-249.

97. Матюхин В. И. Управление колесной системой с учетом бокового проскальзывания колес // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. —№ 4. — С. 166-176.

98. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Управление движением манипуляционных роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 9. С. 67-82.

99. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. — М.: Наука, 1974. — 344 с.

100. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. 4-е изд., стер. СПб.: Лань, 2003. - 304 с.

101. Молчанов А.П., Морозов М.В. Абсолютная устойчивость нелинейных нестационарных систем управления с периодической линейной частью // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 2. — С. 49-59.

102. Молчанов А.П., Морозов М.В. Достаточные условия робастной устойчивости линейных нестационарных систем управления с периодическими интервальными ограничениями // Автоматика и телемеханика. — 1997. — № 1. — С. 100-107.

103. Морозов В.М., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. — М.: Изд-во МГУ, 1988. — 144 с.

104. Неймарк Ю.И., Фуфасв Н.А. Динамика неголономных систем. — М.: Наука, 1967. 519 с.

105. Носов В. Р. Об устойчивости некоторых нестационарных уравнений // Автоматика и телемеханика. — 1997. — № 9. — С. 31-42.

106. Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. — 1965. — Т. 1, № 5. С. 605-618.

107. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата. — М.: Наука, 1984. 312 с.

108. Охоцимский Д. Е., Мартыненко Ю.Г. Новые задачи динамики и управления движением мобильных колесных роботов // Успехи механики. 2003. - Т. 2, № 1. - С. 3-46.

109. Павликов С.В. О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием // Механика твёрдого тела. Донецк: Ип-т прикл. мат. и мех., — 2005. — Вып. 35. — С. 212-216.

110. Павликов С.В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости. — Набережные Челны: Изд-во Института управления, 2006. 264 с.

111. Перегудова О.А. Методы сравнения в задачах устойчивости и стабилизации. — Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2004. — 60 с.

112. Перегудова OA. К вопросу о построении уравнений сравнения для систем с запаздыванием // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. фундаментальные проблемы математики и механики. — 2005. — Вып. 1(15). — С. 75-83.

113. Перегудова О.А. Методы сравнения и преобразования в задачах об устойчивости систем с запаздыванием. — Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2005. 83 с.

114. Перегудова О.А. Функции Ляпунова вида векторных норм в задачах устойчивости // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. фундаментальные проблемы математики и механики. — 2006. — Вып. 1(16). — С. 43-51.

115. Перегудова О.А. О стабилизации движений механических систем с запаздыванием в управлении // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. — Т. 14. — Вып. 4. — С. 737-738.

116. Перегудова О.А. Уравнения сравнения в задачах об устойчивости движения // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 9. — С. 56-63.

117. Перегудова О.А. Знакопостоянные функции Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Международный сборник "Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах". 2007. — Т. 13, № 2(28). - С. 97-108.

118. Перегудова О.А. Логарифмические матричные нормы в задачах устойчивости движения // ПММ. — 2008. — Т. 72. — Вып. 3. — С. 410-420.

119. Перегудова О.А. Развитие метода функций Ляпунова в задаче устойчивости фунционально-дифференциальных уравнений / / Дифференциальные уравнения. — 2008. — Т. 44, № 12. — С. 16381647.

120. Перегудова О.А. К задаче построения кусочно линейного управления реономными механическими системами // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15. — Вып. 4. С. 673.

121. Перегудова О.А. О стабилизации движений неавтономных механических систем // ПММ. — 2009. — Т. 73. — Вып. 2. — С. 176-188.

122. Перегудова О.А. К задаче слежения для механических систем с запаздыванием в управлении // Автоматика и телемеханика. — 2009. № 5. - С. 95-105.

123. Перегудова О.А. О стабилизации движений неавтономных механических систем // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. - Т. 15. — Вып. 6. — С. 1117-1118.

124. Перегудова О.А. Метод' сравнения в задачах устойчивости и управления движениями механических систем. Ульяновск: УлГУ, — 2009. 253 с.

125. Перегудова О.А., Моторика Д.Ю. К задаче стабилизации движений механических систем при учете динамики приводов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15. Вып. 6. - С. 1118.

126. Перегудова О.А., Филаткина Е.В. Развитие метода сравнения в задаче о неустойчивости движения / / Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. Математика и информационные технологии. — 2008. — Вып. 2. — С. 88-98.

127. Перов А.II. Достаточные условия устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях. I // Автоматика и телемеханика. — 1997. — № 12. — С. 80-89.

128. Платонов А.В. Об устойчивости нелинейных сложных систем // Известия Академии наук. Теория и системы управления. — 2004. — № 4. С. 41-46.

129. Пятницкий Е.С. Синтез управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции // Известия АН СССР. Техническая кибернетика — 1987. — № 3. — С. 92-99.

130. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // ДАН СССР. — 1988. — Т. 300, № 2. -С. 300-303.

131. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе декомпозиции. I и II // Автоматика и телемеханика. — 1989. № 1. - С. 87-99. № 2. — С. 57-71.

132. Пятницкий Е.С. Синтез систем стабилизации программных движений нелинейных объектов управления // Автоматика и телемеханика. — 1993. — № 7. — С. 19-37.

133. Разумихии Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // ПММ. 1956. - Т. 20. - Вып. 4. - С. 500-512.

134. Разумихин Б.С. Устойчивость эредитарных систем. — М.: Наука, 1988. 106 с.

135. Рапопорт Л.Б. Оценка области притяжения в задаче управления колесным роботом // Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 9. — С. 69-89.

136. Peuiмин С.А., Черноусько Ф.Л. Синтез управления в нелинейной динамической системе на основе декомпозиции // ПММ. — 1998. — Т. 62. Вып. 1. - С. 121-128.

137. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. — Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. — 304 с.

138. Румянцев В.В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — 253 с.

139. Руш П., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980. — 300 с.

140. Сарычев В.А. Асимптотически устойчивые стационарные вращения спутника // Космические исследования. — 1965. — Т. III. Вып. 5. - С. 667-673.

141. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 313 с.

142. Стрыгин В.В., Фридман Л.М., Поляков А.Е. Локальная стабилизация релейных систем с запаздыванием // Доклады Академии наук. — 2001. — Т. 379, № 5. -С. 603-605.

143. Тхай В.Н. Обратимые механические системы // Нелинейная механика. — М.: Физматлит, 2001. — С. 131-146.

144. Тхай В.Н. Периодические движения системы, близкой к обратимой периодической системе // ПММ. — 2001. — Т. 65. — Вып. 4. С. 661680.

145. Угпкин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. — М.: Наука, 1974. — 272 с.

146. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1981. — 368 с.

147. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.

148. Формалъский A.M. О стабилизации двойного перевернутого маятника при помощи одного управляющего момента // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006. —№ 3. — С. 5-12.

149. Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем // ПММ. — 2001. — Т. 65. — Вып. 4. С. 725-732.

150. Хейл Дэю. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.

151. Черноусъко Ф.Л. Оптимальное перемещение маятника // ПММ. — 1975. Т. 39. - Вып. 5. - С. 806-816.

152. Черноусъко Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах j j ПММ. — 1990. — Т. 54. — Вып. 6. — С. 883-893.

153. Черноусъко Ф.Л. Синтез управления нелинейной динамической системой // ПММ. 1992. - Т. 56. - Вып. 2. - С. 179-191.

154. Черноусъко Ф.Л., Ананъевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 328 с.

155. Черноусъко Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. — М.: Наука, 1989. — 363 с.

156. Ackermann J., Guldner J., Sienel W., et al. Linear and Nonlinear Controller Design for Robust Automatic Steering // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 1995. — Vol. 3, № 1. - P. 132-143.

157. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equation // J. Different. Equat. 1977. - Vol. 23, № 2. - P. 216-223.

158. Bloch A. and Drakunov S. Stabilization of Nonholonomic System via Sliding Modes // Proceedings of 33-rd IEEE Conference Decision and Control. Lake Buena Vista. USA. 1994. - P. 2961-2963.

159. Bugong Xu and Yogqing Liu An Improved Razumikhin-Type Theorem and Its Applications // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1994. V. 39, № 4. - P. 839-841.

160. Campion G., Chung W. Wheeled robots // Springer Handbook of Robotics. Siciliano Bruno; Khatib, Oussama (Eds.) — 2008. — P. 87107.

161. Dahlquist G. Stability and Error Bounds in the Numerical Intergration of Ordinary Differential Equations // Almqvist & Wiksells, Uppsala. — 1958; Transactions on the Royal Institute of Technology, Stockholm. 1959. - № 130.

162. Deutsch E. On Matrix Norms and Logarithmic Norms // Numerical Mathematics. 1975. - Vol. 24. - P. 49-51.

163. Hornor W.E. Invariance principles and asymptotic constancy of solutions of precompact functional differential equations // Tohoky Math. J. 1990. - Vol. 42. - P. 217-229.

164. Guang-Da Ни and Guang-Di Ни. A Relation between the Wheighted Logarithmic Norm of a Matrix and the Lyapunov Equation // BIT. — 2000. Vol. 40, № 3. - P. 606-610.

165. Guldner J. and Utkin V.I. Stabilization of Nonholonomic Mobile Robots using Lyapunov Functions for Navigation and Sliding Mode Control // Proceedings of 33-rd IEEE Conference Decision and Control. Lake Buena Vista. USA. 1994. - P. 2967-2972.

166. Kato, J. On Liapunov-Razumikhin type theorems for functional differential equations // Funcial. Ekvac. — 1973. — 16. — P. 225-239.

167. Kolmanovsky I. and McClamroch N.H. Developments in Nonholonomic Control Problems // IEEE Control Syst. Mag. 1995. - Vol. 15, № 6. -P. 20-36.

168. Kolmanovskii V. B. Stability of Some Nonlinear Functional Differential Equations // Nonlinear Differential Equations. — 1995. — Vol. 2. — P. 880-892.

169. Liu Y., Zhu J.J., Williams II R.L., Wu J. Omni-directional mobile robot controller based on trajectory linearization // Robotics and Autonomous Systems. 2008. - Vol. 56. - P. 461-479.

170. Micaeli A. and Samson C. Trajectory Tracking for Two-Steering-Wheels Mobile Robots // Proceedings of Symposium on Robot Con-trol'94. Capri, Italy. 1994. - P. 500-506.

171. Muir P.F.r Neuman C.P. Kinematic modeling for feedback control of an omni directional wheeled mobile robots // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation. Raleigh — 1987. — R 1772-1786.

172. Nagy Т.К., D'Andrea R., Ganguly P. Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an omnidirectional vehicle // Robotics and Autonomous Systems. — 2004. — Vol. 47 (1). — R 47-64.

173. Purwin 0., D'Andrea R. Trajectory generation and control for four wheeled omnidirectional vehicles // Robotics and Autonomous Systems. 200G. - Vol. 54 (1). - P. 13-22.

174. Samson C. Time-varying feedback stabilization of car-like wheeled mobile robots // Int. J. Robotics Recearch. — 1993. — Vol. 13, № 1. — P. 55-64.

175. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics.1,2 // Trans. Ainer. Math. Soc. — 1967. Vol. 127, № 2. -P. 241-283.

176. Soderlind Gustaf. The Logarithmic Norm. Hystory and Modern Theory // BIT Numerical Mathematics. 2006. - Vol. 46. - P. 631-652.

177. Watanabe K., Shiraishi Y., Tzafestas S.G. et al. Feedback control of an omnidirectional autonomous platform for mobile service robots // Journal of Intelligent and Robotic Systems. — 1998. — Vol.22. — P. 315330.

178. Wu M. Y. Some new results in linear time-varying systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. - Vol. 20, № 1. - P. 159-161.

179. Xu Daoui. Simple Criteria for stability of interval matrices // Internat. Journ. Contr. 1985. - V. 41, № 1. - P. 289-295.