Об устойчивости неустановившихся движений механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Об исследовании устойчивости движений неавтономных механических систем

1. Основные определения, предположения и утверждения метода предельных уравнений.

2. Об исследовании устойчивости неустановившихся движений на основе знакопостоянных функций Ляпунова

3. Об устойчивости неустановившихся движений системы, имеющей первые интегралы.

Глава 2. Об устойчивости и стабилизации неустановившегося движения механической системы

1. Об устойчивости положения относительного равновесия механической системы с голономными нестационарными связями.

2. О стабилизации программного движения голономной механической системы.

3. Об устойчивости нестационарных движений центрифуги

Глава 3. Об устойчивости обобщенных стационарных движений механических систем

1. Об исследовании устойчивости обобщенного стационарного движения голономной механической системы на основе знакопостоянной функции Ляпунова.

2. Об устойчивости обобщенных стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе.

3. Об устойчивости обобщенного стационарного движения маятника Шулера.

Основы теории устойчивости движения были разработаны великим русским ученым Александром Михайловичем Ляпуновым в конце XIX века. В настоящее время теория устойчивости по Ляпунову является общепризнанной, находит широкое применение в ряде областей науки и техники, и продолжает интенсивно разрабатываться.

Второй метод Ляпунова заключается в выявлении условий устойчивости невозмущенного движения на основе построения специальных функций, называемых функциями Ляпунова. Постановка новых задач об устойчивости и стабилизации движений различных систем и процессов (в том числе, механических) отсутствие универсального способа построения этих функций, удовлетворяющих условиям тех или иных общих теорем об устойчивости (например, теоремам Ляпунова) приводит к необходимости модификации и обобщения известных ранее таких теорем.

Эта область исследования была объектом изучения многих выдающихся ученых. Н.Г. Четаев показал эффективное использование доказанной им теоремы о неустойчивости в задаче об условиях неустойчивости положения равновесия голономной механической системы [114-116]. Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости [16] и теорема Красовского о неустойчивости [54] имеют широкое применение как в исследовании устойчивости движений механических систем, так и в исследовании устойчивости различных физических и биологических процессов. Теорема В.В. Румянцева об устойчивости движения относительно части переменных [91] послужила основой большого нового раздела теории устойчивости, имеющего важное прикладное значение [2, 96-99]. Эффективным методом исследования ряда задач об устойчивости явился метод векторных функций Ляпунова, в основе которого лежат работы

В.М. Матросова [72, 73]. Подробное изложение результатов этих и других исследований можно найти в целом ряде обзоров [2,45,82,96,98], сборников [34,35] и монографий [14,15,27,28,36,37,54,59,64,67,75,100].

В последнее время целью ряда работ является развитие второго метода Ляпунова в направлении использования в задачах устойчивости знакопостоянных функций Ляпунова. Этому направлению посвящены работы А.И. Самойленко [101], Н.Г. Булгакова [25], И.В. Гайшуна [29], A.C. Андреева [4,5,7,8] и других ученых. Целью настоящей работы является:

1. Разработка новых методов решения задач об устойчивости движений неавтономных механических систем на основе модификации и обобщения некоторых теорем прямого метода Ляпунова, в направлении использования знакопостоянных функций Ляпунова.

2. Исследование задач об устойчивости положения равновесия и обобщенного стационарного движения неавтономных механических систем.

3. Решение на основе полученных методов исследования устойчивости некоторых задач прикладного характера.

В первой главе получены новые методы исследования устойчивости нулевого решения неавтономной системы дифференциальных уравнений на основе знакопостоянных функций Ляпунова и рассмотрено их применение в исследовании устойчивости невозмущенного движения систем, имеющих первые интегралы.

Первые результаты по применению знакопостоянных функций Ляпунова были получены в работе A.M. Самойленко [101]. В их основе лежит использование свойства инвариантности положительного предельного множества решения автономной системы. Дальнейшее продолжение это направление получило в работах Н.Г. Булгакова и B.C. Калитина [25, 26, 41], И.В. Гайшуна и Л.Б. Княжище [29], Э.И. Грудо [31], A.A. Косова [51-53] и других ученых. В работах

25, 26, 29, 31, 109, 110] рассматривались автономная, периодическая и почти периодическая системы дифференциальных уравнений. В работах [51-53] эти результаты на основе построений из [4, 5] развивались на неавтономную систему.

В первом параграфе даны основные определения и приведены некоторые известные результаты об устойчивости неустановившегося движения предельных уравнений [3-10,117,118,139].

Во втором параграфе доказаны теоремы об устойчивости, равномерной устойчивости, эквиасимптотической устойчивости и равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы в предположении существования постоянно-положительной функции Ляпунова, имеющей постоянно-отрицательную производную. Доказанные теоремы развивают и обобщают результаты работ A.C. Андреева, полученных в случае знакоопределенной функции Ляпунова [4, 10], и теорему A.A. Косова для случая знакопостоянной функции Ляпунова [52].

Эти теоремы могут быть использованы в задаче об устойчивости неустановившегося движения системы, имеющей первые интегралы.

Впервые задачу об устойчивости невозмущенного движения системы, имеющей первые интегралы, рассмотрел Н.Г. Четаев, предложивший применять для исследования устойчивости метод, получивший название метода связок интегралов Четаева [114-116]. В дальнейшем различным аспектам развития и применения этого метода были посвящены многочисленные работы Г.К. Пожарицкого [83-85], П.А. Кузьмина [58],

A.B. Карапетяна [42,43], A.B. Карапетяна и С.Я. Степанова [46,47],

B.Н. Рубановского [87-89], В.Н. Рубановского и С.Я. Степанова [90],

C.Я. Степанова [105].

В третьем параграфе дается теорема, позволяющая определить условия устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы, когда из известных интегралов не удается составить определенноположительную функцию Ляпунова. Приведен пример, показывающий ее эффективность.

Результаты изложенные в первой главе применяются во второй в исследовании задачи устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы. Отметим, что эта задача является гораздо менее исследованной по сравнению с аналогичной задачей для механической системы со стационарными связями [40,55,60-62,65,74,75,83-85].

Приведем основные результаты для неавтономной механической системы. В.М. Матросовым в [72] показана асимптотическая устойчивость и неустойчивость изолированного положения равновесия механической системы под действием диссипативных и гироскопических сил, зависящих явно от времени, в зависимости от наличия минимума потенциальной энергии в этом положении.

Асимптотическая устойчивость по координатам аналогичной системы, но с потенциальной энергией П(£, д) = р(£)По(я) при условиях р{€) > 0, р{£) > 0, показана Л. Сальвадори в [138].

Условия асимптотической устойчивости и неустойчивости для механической системы с одной степенью свободы и переменными коэффициентами демпфирования получены в [119].

Работы по исследованию частичной асимптотической устойчивости положения равновесия механической системы выполнены Л. Хатвани и Й. Тереки [106-108, 112]. Различные условия асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости по скоростям и сходимости движений по координате для механической системы с одной степенью свободы получены в работах [112,124]. В [124] показана асимптотическая устойчивость и неустойчивость по скоростям и части координат механической системы под действием гироскопических и диссипативных сил, зависящих от времени, когда потенциальная энергия определенно-положительна, допускает бесконечно малый высший предел по этим координатам. Условия асимптотической устойчивости по скоростям под действием диссипативных сил, в том числе неограниченных, и предельное поведение при этом достаточно малых возмущенных движений исследованы в [107,108,124-128]. Среди результатов последнего времени по исследованию положения равновесия нестационарной механической системы можно отметить работы [76-79].

Многочисленные исследования посвящены различным прикладным задачам об устойчивости движений механических систем периодических по времени (см., например, [33,68,69,111,113]).

Новые методы исследования устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений позволили A.C. Андрееву получить различные результаты по исследованию устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем и их стабилизации [3-9].

Во второй главе представлено дальнейшее развитие, модификация и обобщение результатов работы [9].

В первом параграфе второй главы определяются достаточные условия устойчивости положения относительного равновесия механической системы с нестационарными связями. Эффективность разработанных способов исследования устойчивости показана в задаче об устойчивости относительного равновесия физического маятника в случае нестационарного вращения вокруг вертикальной оси.

К задаче об устойчивости положения относительного равновесия механической системы с нестационарными связями сводится к задаче о стабилизации заданного программного движения голономной механической системы, которая подробно исследовалась в задачах В.И. Зубова и его учеников [36,104].

Результаты первого параграфа второй главы позволяют получить иные, по сравнению с указанными работами, условия стабилизации программного движения. Преимущества результатов, полученных во втором параграфе заключаются в том, что предлагаемая форма управляющих воздействий, в отличии от [104], не зависит от параметров системы и позволяет учесть стабилизирующее действие внешних сил. В первом и втором параграфах на основе общих теорем исследуется задача об устойчивости и стабилизации положений равновесия и неустановившихся движений физического маятника, горизонтальная ось подвеса которого вращается вокруг вертикальной с переменной угловой скоростью.

В третьем параграфе исследуется задача об устойчивости нестационарных движений центрифуги с державкой, совершающей управляемое вращение вокруг вертикальной оси.

В третьей главе исследована задача об устойчивости обобщенных стационарных движений механических систем.

Задача об устойчивости стационарных движений механической системы является классической. Ее изучение было начато еще в работах Рауса и Ляпунова. Основными методами исследования являются метод связок интегралов Четаева [114, 116] и теорема Рауса-Ляпунова [58, 66, 86]. Различные модификации этой теоремы, предложенные В.В. Румянцевым в монографии [95], послужили источником многочисленных теоретических и прикладных исследований. Вопросы о безусловной устойчивости стационарных движений голономных систем решены в работах Л. Сальвадори [136-138]. Сопоставление метода Четаева и теоремы Рауса-Ляпунова приведено в работе [90]. Дальнейшее развитие метода Н.Г. Четаева и теоремы Рауса-Ляпунова приведено в работах [46,47,87,88,98].

Для механической системы с голономными нестационарными связями наличие циклических координат приводит к появлению так называемых обобщенных стационарных движений. Их отличие от обычных стационарных движений заключается в том, что циклические скорости не является постоянными, а изменяются по времени и, соответственно, циклические координаты представляют собой нелинейные функции времени. Впервые подробно задача об устойчивости обобщенных стационарных движений рассмотрена в работах К. Ризито [133-135]. В дальнейшем этой тематике были посвящены также работы [13,121].

В работе [135] (см. также [100]) отмечено, что задача об устойчивости обобщенных стационарных движений существенно отличается от аналогичной задачи для стационарной механической системы, а именно, приведен следующий пример.

Пример 0.1. Рассмотрим систему уравнений х = sin [ty] — х, у — О, где х, у 6 R. Нулевое решение этой системы устойчиво при у = const = 0, т.е. условно устойчиво, и неустойчиво при у = const ф 0.

В работах [13, 135] предложена модификация теорем из [95, 136138], позволяющая определить безусловную устойчивость в задаче об устойчивости обобщенного стационарного движения за счет свойства его условной равномерной асимптотической устойчивости. Более полно эта задача решается на основе применения знакопостоянных функций Ляпунова. Это решение и составляет содержание третьей главы диссертации.

В первом параграфе доказаны теоремы о равномерной устойчивости обобщенного стационарного движения. Эти результаты получены на основе результатов главы первой и представляют собой дальнейшее развитие результатов работ [13,122,133-135].

Во втором параграфе исследована задача об устойчивости обобщенных стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе. Получены достаточные условия устойчивости таких движений в случае, когда внешняя рамка вращается с переменной угловой скоростью, и достаточные условия асимптотической устойчивости обобщенных стационарных движений, при которых ротор вращается с переменной угловой скоростью.

В третьем параграфе в качестве иллюстрации исследуется задача об устойчивости обобщенного стационарного движения маятника Шулера, при котором его ось вертикальна, при самых общих предположениях относительно движения корабля, на котором установлен маятник.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 139 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем диссертации составляет 96 страниц.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработаны новые методы исследования устойчивости неустановившегося движения на основе знакопостоянных функций Ляпунова.

2. Получены новые способы решения задач об устойчивости положения относительного равновесия нестационарной голономной механической системы. Результаты применены в задаче о стабилизации программного движения механической системы.

3. Обоснованы новые способы вывода достаточных условий устойчивости обобщенных стационарных движений механических систем. На их основе исследованы задачи об устойчивости обобщенных стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе и маятника Шулера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александров В.В. Имитация перегрузок на стендах типа центрифуги // МТТ. 1994. N 5. С. 43-48.

2. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. Общая механика. М.: ВИНИТИ. 1975. Т. 2. С. 53-112.

3. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 5. С. 796-805.

4. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 2. С.225-232.

5. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 5. С. 707-713.

6. Андреев A.C. О влиянии сил трения на устойчивость положения равновесия неавтономной механической системы // Докл. АН УзССР. 1984. N 8. С. 16-18.

7. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 253-260.

8. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 539-547.

9. Андреев A.C. Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 3. С. 388-396.

10. Андреев A.C. Об устойчивости неустановившегося движения // Ученые записки Ульяновского государственного университета "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: Ульян, гос. унив. 1996. Вып. 1. С. 15.

11. Андреев A.C., Войкова Т.А. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости // Механика твердого тела. 2002. Вып. 32. С. 109-116.

12. Андреев A.C., Ризито К. Об устойчивости обобщенного стационарного движения // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 3. С. 339-349.

13. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 1967.

14. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука. 1970. 220 с.

15. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86. N 3. С. 453-456.

16. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука. 1965. 416 с.

17. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ. 1975. 308 с.

18. Войкова Т.А. Об устойчивости и стабилизации положения относительного равновесия голономной механической системы // Механика и процессы управления: Сборник научных трудов. Ульяновск: Ульяновский гос. техн. ун-т. 2002. Вып. 7. С. 4-8.

19. Войкова Т.А. Об устойчивости положений равновесия физического маятника //VI Крымская Международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. Крым, Алушта, 8-15 сентября 2002 г. С. 33.

20. Булгаков Н.Г. Знакопостоянные функции в теории устойчивости. Минск: 1984. 80 с.

21. Булгаков Н.Г., Калитин B.C. Обобщение теорем второго метода Ляпунова// Весщ АН БССР. Сер. физ.-мат. навук. 1978. N 3. С. 32-35.

22. Воротников В.И. Устойчивости динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука. 1998. 288 с.

23. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир. 2001. 320 с.

24. Гайшун И.В., Княжище Л.Б. Условия устойчивости вполне интегрируемых автономных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. N 8. С. 1453-1456.

25. Галиулин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука. 1971. 352 с.

26. Грудо Э.И. К теории устойчивости обыкновенных дифференциальных систем и систем Пфаффа // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. N 5. С.782-789.

27. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Физматгиз. 1967. 472 с.

28. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

29. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения / Под. ред. В.В.Румянцева. М.: ВЦ АН СССР. 1986. 95 с.

30. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения / Под. ред. В.В.Румянцева. М.: ВЦ АН СССР. 1987. 87 с.

31. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ. 1957. 240 с.

32. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.

33. Игнатьев A.A. Об эквиасимптотической устойчивости по части переменных // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 871-875.

34. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. // Изд-во АН СССР. 1963.

35. Каленова В.И., Морозов В.М., Салмина М.А. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации механических систем с циклическими координатами // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 6. С. 959-967.

36. Калитин B.C. К методу знакопостоянных функций Ляпунова для неавтономных дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 31(4). С. 541-548.

37. Карапетян A.B. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестник МГУ. Сер, матем., мех. 1975. N 4. С. 109-113.

38. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 168 с.

39. Карапетян A.B., Рубановский В.Н. Об устойчивости стационарных движений неконсервативных механических систем // ПММ. 1986. Т. 50. Вып.1. С. 43-49.

40. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ. 1983. Т. 6. С. 3-128.

41. Карапетян A.B., Степанов С.Я. О стационарных движениях и относительных равновесиях механических систем с симметрией // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 736-743.

42. Климов Д.М. Инерциальная навигация на море. М.: Наука. 1984. 116 с.

43. Клоков A.C., Самсонов В.А. О стабшшзируемости тривиальных установившихся движений гироскопически связанных систем с псевдоциклическими координатами // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 2. С. 199-202.

44. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1958. 474 с.

45. Косов A.A. К теории устойчивости неавтономных систем // Ред. журн. "Вестник ЛГУ". Ленинград. 1985. 10 с. Деп. в ВИНИТИ N4848-85.

46. Косов A.A. О глобальной устойчивости неавтономных систем.I // Известия высших учебных заведений. Математика. 1997. N 7(422). С. 28-35.

47. Косов A.A. О глобальной устойчивости неавтономных систем.II // Известия высших учебных заведений. Математика. 1997. N 8(423). С. 33-42.

48. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 211 с.

49. Красовский H.H. Об одном свойстве гироскопической стабилизируемости управляемой консервативной механическойсистемы. / / Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1964. N 5.

50. Красовский H.H. Обобщение теорем второго метода Ляпунова // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Доп. 3. М.: Наука. 1966. С. 463-474.

51. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений / / Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Доп. 4. М.: Наука. 1966. С.475-514.

52. Кузьмин П.А. Стационарные движения твердого тела и их устойчивость в центральном поле сил // Тр. Межвуз. конференции по прикл. теории устойчивости движения и аналит. механ. 1962. Казань.: Казанск. авиац. ин-т . 1964. С. 93-98.

53. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость. М.: Наука. 1973. 302 с.

54. Кулешов A.C. О стационарных движениях диска на абсолютно шероховатой плоскости // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 797-800.

55. Кулешов A.C. К динамике волчка на шероховатой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 130-140.

56. Кулешов A.C. О стационарных качениях диска на шероховатой плоскости // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 1. С. 173-175.

57. Ла-Салль Ж.П. Критерий асимптотической устойчивости // Гидродинамическая неустойчивость. М: Мир. 1964. С.352-363.

58. Ла-Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир. 1964. 168 с.6670