Аналитическое и численное исследование устойчивости стационарных движений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

0 Введение 1

1 Некоторые общие теоретические вопросы исследования стационарных движений 18

§1 Теорема Рауса об устойчивых стационарных движениях систем с интегралами. 18

§2 Соотношение условий устойчивости стационарных движений свободной системы и связанной системы. 22

§3 Системы с симметрией. 30

§4 Критерии определенной положительности на линейном многообразии . 41

§5 Метод Четаева построения функции Ляпунова в виде связки интегралов. 54

§6 Численное исследование на конечном интервале времени. 59

2 Спутник-гиростат на круговой орбите 76

§1 Ориентация по радиусу-вектору .76

§2 Ориентация относительно других осей в орбитальной системе координат .87

§3 Другие задачи о гиростате.94

§4 Неограниченная постановка задачи .105

§5 Оценка амплитуды колебаний спутника.121

§6 Об алгоритмах перевода спутника-гиростата из одной устойчивой равновесной ориентации в другую.127

3 Обобщенная задача трех тел 132

§1 Устойчивость коллинеарных движений. 132

§2 Гироскопическая устойчивость треугольных движений .150

§3 Анализ условий устойчивости.158

§4 Колебания маятника на круговой орбите . 167

4 Исследование движения транспортной системы тягач-полуприцеп 175

§1 Разрешение статической неопределимости систем с трением.175

§2 Уравнения движения системы тягач-полуприцеп со сцепкой типа "пятое колесо".182

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы и выполнена по планам научных работ ВЦ РАН, а также по проектам РФФИ 99-01-00785, РФФИ 01-01-02001 и Федеральной целевой программы "Интеграция".

Исследование стационарных движений механических систем составляет необходимый первый шаг любого исследования механических систем.

В диссертации разработана теория исследования устойчивости стационарных движений механических систем и решены актуальные задачи устойчивости стационарных движений для таких систем как спутник-гиростат на круговой орбите, обобщенная задача трех тел (обобщение состоит в замене ньютоновского взаимодействия двух из трех тел произвольным потенциальным взаимодействием), транспортной системы тягач-полуприцеп и других.

При этом была разработана также определенная методика применения компьютерных методов аналитического и численного исследования, основанная на доказанных в диссертации теоремах, обобщающих известную теорему Рауса об устойчивых стационарных движениях, и на специальных симметричных критериях условной знакоопределенности квадратичной формы на линейном многообразии.

Часть результатов представлена в виде компактных аналитических формул. Этого удалось достичь выбором полуобратных постановок задач и введением дополнительных избыточных систем переменных и параметров.

Обойти экспоненциальное нарастание громоздкости аналитических выражений в процессе вычислений удавалось, используя имеющиеся в исходной постановке задачи свойства симметрии. Помимо симметрии, выражающейся в наличии линейных интегралов и циклических координат исходные выражения кинетической и потенциальной энергий часто обладают инвариантностью по отношению к перестановке двух индексов или к круговой перестановке трех индексов. В этих случаях целесообразно использовать симметричные схемы вычислений или заменять параметры на соответствующие элементарные симметрические многочлены, а также избегать применения некоторых стандартных методов исследования, которые могут разрушать эти симметрии. Например, применение стандартного критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм к симметричным квадратичным формам приводит к несимметричным выражениям, входящим в условия знакоопределенности.

В ВЦ им. А.А.Дородницына РАН, в Институте проблем механики РАН, в Институте прикладной математики РАН и в других научных центрах в нашей стране и за рубежом накоплен большой опыт применения систем аналитических вычислений, таких как REDUCE и MAPLE, в алгоритмизации методов аналитического исследования задач теоретической механики (см.например, [49, 23]). Обширная библиография приведена в [14]. Основная трудность здесь состоит в быстром росте громоздкости выражений и в связанных с этим жестких ограничениях на размерность системы и число буквенных параметров. Для устранения этой трудности не достаточно наращивания памяти компьютера. Данная диссертация нацелена не столько на алгоритмизацию известных аналитических методов механики, сколько на их модификацию с ориентацией на использование компьютерных средств.

Применение теоремы Рауса об устойчивости неразрывно связано с исследованием условной знакоопределенности квадратичных форм на линейных многообразиях, которое восходит, видимо, к Вейерштрассу. В монографии [85] Хэнкок излагает курс лекций, прочитанных К.Вейерштрассом в Берлине в

1845 и содержащий основные связанные с этим вопросом теоремы и критерии. Теорема, фигурирующая в [85], была передоказана в [79, 80] с помощью теоремы Финслера-Герштейна [83] об условной знакоопределенности квадратичной формы на нулевом уровне другой знакопостоянной квадратичной формы. Затем последовала череда работ с передоказательствами того же утверждения (см., например, [71, 69, 73, 8]). Внимание к этой задаче со стороны механиков возродилось вновь в предвоенные и военные годы, что было связано с предложенным Н.Г.Четаевым способом построения функций Ляпунова из первых интегралов уравнений движения, а также с работами Л.Сальвадори, посвященными развитию исследований Рауса [105] и с исследованиями Г.К.Пожарицкого [43] по общим методам построения функций Ляпунова. Из результатов Г.К.Пожарицкого фактически следует эквивалентность условий устойчивости, получаемых по методу Четаева построения функций Ляпунова в виде связки интегралов уравнений движения и из теоремы Рауса. Сформулирован этот результат был в работе [120], где указана также симметричная форма критерия условной знакоопределенности и рассмотрен вопрос об индексе квадратичной формы на линейном многообразии, играющий важную роль при получении достаточных условий неустойчивости и при исследовании возможности гироскопической стабилизации. О дальнейшем развитии исследований по данному вопросу можно узнать из [19].

В последнее время появилось много работ по интерпретации результатов Рауса по устойчивости стационарных движений с точки зрения современных алгебраических подходов. Анализ таких подходов, проведенный В.В.Румянцевым [58], показывает их эквивалентность подходам Рауса и Четаева.

Помимо исследований в области устойчивости по Ляпунову в диссертации разработана также теория и методика численного исследования поставленной Н.Г.Четаевым задачи о (Л, А, ¿о, Г)-устойчивости в конечном и на конечном интервале времени. Эта теория основывается на первом и втором методах Ляпунова и содержит различные определения устойчивости, теоремы об устойчивости, обращения этих теорем и численные алгоритмы исследования устойчивости на конечном интервале времени. Историю вопроса о различных подходах к задаче устойчивости на конечном интервале времени можно найти в [117].

Среди прикладных задач, рассмотренных в диссертации на первом месте стоит задача о равновесных ориентациях спутника-гиростата на круговой орбите. Исторически исследования по стационарным движениям динамически несимметричного спутника-гиростата начинались с рассмотрения простейших стационарных движений трех типов:

1) Главные центральные оси инерции спутника направлены по осям орбитальной системы координат,

2) Одна из главных центральных осей инерции спутника направлена по радиусу-вектору (7), а две другие расположены в плоскости (/3, а),

3) Одна из главных центральных осей инерции спутника направлена по касательной к орбите (а), а две другие расположены в плоскости (Р, 7).

Существуют и стационарные движения, в которых ни одна из главных центральных осей инерции спутника не совпадает с осями орбитальной системы координат.

Стационарные движения (1)-(3) впервые были указаны Р.Е.Роберсоном и В.В.Хукером [98]. Там же была предпринята попытка численного исследования множества всех стационарных движений. А.А.Анчев [3] получил стационарные движения вида(1),(2) и условия их устойчивости ((2) в неограниченной постановке). В.В.Румянцев [53, 54, 56] получил более широкие, чем в [3] достаточные условия устойчивости и неустойчивости стационарных движений (1)-(3) в ограниченной и неограниченной постановках задачи на основании исследования измененной потенциальной энергии. Для спутника с одним ротором В.В.Румянцев показал, что условия устойчивости при свободном вращении ротора оказываются несколько шире, чем при постоянной угловой скорости ротора [56]. В.М.Морозов [39, 40] исследовал влияние на устойчивость стационарных движений (1)-(3) аэродинамических и магнитных моментов, а также отметил стационарное движение, для которого одна из главных центральных осей инерции спутника лежит в плоскости орбиты. Р.Е.Роберсон [99, 100] указал на возможность существования стационарных движений спутника-гиростата, плоскость орбиты центра масс в которых не проходит через притягивающий центр. Одновременно и более подробно этот вопрос был обследован автором [118, 119]. В разных аспектах было исследовано множество всех стационарных движений [119, 133, 135]. Дальнейшие более конкретные исследования проводились как в нашей стране, так и за рубежом (см., например, [70, 45, 60, 61, 90, 91]). В частности, в [60, 61]) было проведено полное численное исследование множества положений равновесия в прямой постановке задачи.

Другая рассмотренная в диссертации прикладная задача касается тросовых космических систем. Основные результаты и подробная библиография по этой проблеме содержатся в фундаментальной работе В.В.Белецкого и Е.М.Левина [72], на которую автор и опирался в этой части работы. Более конкретно, результаты диссертации по обобщенной задаче трех тел основывались на работе В.В.Белецкого и О.Н.Пономаревой [7].

В последние годы заметно возрос интерес исследователей к изучению динамики наземных транспортных средств. Это связано, во-первых, с ростом интенсивности движения и необходимостью повышения надежности и безопасности транспортных средств. Во-вторых, постоянная модернизация конструкции транспортных средств, активное внедрение элементов автоматического регулирования в различных узлах автомобилей требует комплексного научного исследования динамики автомобиля как на стандартных маневрах, так и в нештатных ситуациях.

Современные исследования динамики наземного транспорта существенным образом отличаются не только от классических, восходящих к работам Жуковского [86], Рокара [102, 101] и других исследователей, но и от методов двадцати - тридцатилетней давности [82]. Развитие компьютерных технологий позволяет моделировать транспортные средства с большим числом степеней свободы [89, 76]. В то же время возрастает интерес и к проведению всестороннего качественного исследования специально для этого разработанных упрощенных моделей. Среди таких проблем можно указать исследование устойчивости и характера потери устойчивости в зависимости от параметров системы, идентификацию параметров системы и выбор адекватной минимальной модели. Последние исследования американских ученых показали, что разумное сокращение числа степеней свободы часто не оказывает существенного влияния на адекватный анализ важных характеристик движения [77]. Это указывает на необходимость максимально полного математического изучения свойств наиболее простых моделей и увеличения числа степеней свободы лишь в случае необходимости проведения дополнительных исследований. Современное строгое математическое исследование плоских моделей систем тягач-прицеп и тягач-полуприцеп с простейшей кинематической схемой сцепного устройства можно найти, например, в работах [88, 107, 108, 112, 115], в которых изучены условия устойчивости прямолинейного движения в зависимости от скорости и выявлены два механизма потери устойчивости, связанные с рождением маятниковых и змееобразных движений, обнаружена независимость возникновения неустойчивости от модели поведения шофера. В диссертации построена и исследована плоская модель системы тягач-полуприцеп со сцепным устройством типа " пятое колесо".

Целью диссертации является разработка и модификация методов теоретической механики с целью повышения эффективности использования аналитических и численных компьютерных методов в задачах механики и применение этих методов для решения ряда актуальных прикладных задач. Для достижения этой цели используются методы аналитической механики, теории устойчивости движения, качественной теории дифференциальных уравнений и алгебры.

Новыми являются следующие результаты:

1. Разработана теория исследования устойчивости стационарных движений механических систем. Доказаны теоремы, обобщающие известную теорему Рауса об устойчивых стационарных движениях, и специальные симметричные критерии условной знакоопределенности квадратичной формы на линейном многообразии. Выработана определенная методика применения компьютерных методов аналитического и численного исследования устойчивости стационарных движений.

2. На основе первого и второго методов Ляпунова разработана теория и методика численного исследования поставленной Н.Г.Четаевым задачи о (А, Л, ¿о > ^-устойчивости в конечном и на конечном интервале времени.

3. Дано полное исследование в полуобратной постановке задачи устойчивости всего множества стационарных движений спутника-гиростата на круговой орбите. В качестве параметра множества, характеризующего частичную ориентацию спутника, выбран связанный с корпусом спутника единичный вектор е, который в стационарном движении совмещается с единичным вектором 7 радиуса-вектора центра масс спутника относительно центра Земли. Показано, что такую ориентацию можно сделать равновесной (за счет выбора величины гиростатического момента к и угла поворота спутника вокруг оси е = 7) при произвольном направлении вектора е в теле спутника и устойчивой, если конец вектора е лежит в двух из четырех долек, на которые единичная сфера разбивается двумя большими кругами, пересекающимися в точках, соответствующих среднему моменту инерции спутника.

4. Задача о множестве стационарных движений спутника-гиростата рассмотрена также в случаях, когда произвольный единичный вектор е, фиксированный в теле спутника, в равновесной ориентации совмещается не с вектором 7, а с единичным вектором а касательной к орбите, единичным вектором /3 нормали к плоскости орбиты, а также с фиксированным в орбитальной системе координат вектором <5, лежащим в плоскости (7,/5) или в плоскости (а,/3).

5. Разработанная методика применена также к задачам о равновесии гиростата с неподвижной точкой в его центре масс на вращающейся Земле и о гиростатах, входящих в качестве одного или нескольких тел в классическую задачу п гравити-рующих тел.

6. Исследована устойчивость стационарных движений в обобщенной задаче трех тел. Обобщение состоит в замене ньютоновского взаимодействия двух тх, т^ из трех тел то, т^тг на произвольное потенциальное взаимодействие, например, в случае эластичного троса на сумму гравитационного и упругого взаимодействий. В частности, показано, что, в отличие от случая жесткой связки, треугольные конфигурации могут быть устойчивыми при спутниковых значениях параметров и могут представлять практический интерес при конструировании протяженных тросовых спутниковых систем. Однако требуемая величина жесткости троса оказывается столь малой, что имеет смысл говорить не о реальном тросе, а о моделировании упругих сил с помощью специальной управляющей системы.

7. Рассмотрена модельная задача о движении в центральном поле сил маятника, точка подвеса которого движется вдоль круговой направляющей с центром в притягивающем центре. Определены равновесные положения, условия устойчивости и собственные частоты колебаний. Результаты ориентированы на приложение к исследованию плоских движений орбитального крана, стрела которого располагается параллельно касательной к орбите центра масс.

8. Построена имитационная модель транспортной системы тягач-полуприцеп, ориентированной на исследование устойчивости типичных маневров тяжелых транспортных средств. Проведено численное моделирование движения на простейших маневрах: обгон, двойной обгон, синусоидальное изменение угла поворота руля и непериодическое изменение угла поворота руля.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. Ломоносова, Институте прикладной математики им. Келдыша РАН, Институте проблем механики РАН, МАИ и в других научных центрах математики и механики.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах в ВЦ РАН, МГУ, Университете Париж-6, в Национальной школе шоссе и мостов (Париж), в Техническом университете в Вене, а также на следующих Российских и международных конференциях:

1. II Всесоюзная Четаевская конференция по аналитической механике, устойчивости движения и оптимальному управлению. Казань. 1973.

2. Юбилейная научная конференция, посвященная 25-летию Вычислительного центра АН СССР. М. 1980.

3. Республиканская школа-конференция по общей механике и теории упругости. Тбилиси. 1981.

4. IV Четаевская Всесоюзная конференция по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением. Звенигород. 1982.

5. VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Ташкент. 1986.

6. VII Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. М. 1991.

7. XX Научные чтения по космонавтике. М. 1996.

8. IV Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". М. 1996.

9. Третий международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки. 1998.

10.Четвертый международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки. 2001.

По теме диссертации опубликована 31 работа.

Перейдем теперь к изложению содержания диссертации по главам. В первой главе диссертации изложены теоретические результаты, полученные автором лично, а также в соавторстве с А.В.Карапетяном и Ван Дань-чжи. В §1 приведена известная теорема Рауса (1884) в ее наиболее общей формулировке, касающейся систем с интегралами общего вида [104]. В §2 приведена другая известная формулировка теоремы Рауса [103] для консервативных механических систем с циклическими интегралами. Здесь же кроме системы с циклическими интегралами (свободная система) рассмотрена та же система с наложенными дополнительными связями, выражающими постоянство скоростей изменения циклических координат (связанная система) и приведена принадлежащая автору теорема 1 о соотношении условий устойчивости соответственных стационарных движений связанной и свободной систем. В ней доказано, что более простые по структуре условия устойчивости связанной системы гарантируют также устойчивость свободной системы. Определен практически важный класс тривиальных стационарных движений (теорема 2), для которых указанные условия устойчивости для связанной системы совпадают с условиями устойчивости для свободной системы, если их определять как условия положительной знакоопределенности вторых вариаций измененных потенциальных энергий, входящих в интеграл энергии и в обобщенный интеграл энергии Пенлеве.

Результаты §3 получены совместно с А.В.Карапетяном. Здесь рассмотрена модификация теоремы Рауса для случая консервативной системы, в которой существуют линейные интегралы, но циклические переменные явно не выделены. Дано обобщейие на этот случай понятия измененной потенциальной энергии (эффективный потенциал), и понятия связанной системы. Доказаны аналогичные теоремы о совпадении стационарных движений (теорема 3), соотношении условий устойчивости (теорема 4) и о тривиальных стационарных движениях (теорема 5) для свободной и связанной систем. Далее теоремы 2-5 о стационарных движениях распространены на инвариантные множества решений (теоремы 6-8).

В §4 доказаны принадлежащие автору симметризованный критерий Сильвестра определенной положительности квадратичной формы (теорема 9), симметризованный критерий условной определенной положительности квадратичной формы на линейном многообразии (теоремы 10,11), а также даны более простые конструктивные доказательства ряда известных критериев условной знакоопределенности. Здесь же предложена удобная формула вычисления миноров, входящих в условия условной определенной положительности, в виде квадратичной формы от определителей, составленных из столбцов матрицы коэффициентов уравнений связей. В конце параграфа рассмотрена задача условного минимума и специальная форма характеристического уравнения линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений. В §5 дано конструктивное доказательство эквивалентности условий устойчивости, получающихся из общей теоремы Рауса и из метода Четаева построения функции Ляпунова в виде связки интегралов (теорема 12).

В §6 изложены основы развитой автором совместно с Ван Дань-чжи теории устойчивости на конечном интервале времени в смысле предложенного Четаевым определения (Л, А, ¿о5 Т)-устойчивости [67]. Даны определения такой устойчивости (определение 1) и равномерной (Л устойчивости (определение 2). Доказаны основные теоремы о (Л, А, ¿о, Т)-устойчивости и их обращения (теоремы 13-19), аналогичные теоремам Ляпунова, и дан конструктивный алгоритм построения функции Ляпунова (теорема 20), разрешающий задачу. На основе теоремы 20 разработан алгоритм численного исследования (Л, А, ¿о, Т)-устойчивости. История вопроса об устойчивости на конечном интервале времени изложена в [117].

Во второй главе рассмотрены различные задачи о стационарных движениях гиростата, т.е. механической системы с неизменяемой геометрией масс. В простейшем случае это твердое тело с симметричными роторами. Основное место занимает исследование множества стационарных движений спутника-гиростата на круговой орбите. В §1 вводится полуобратная постановка этой задачи, когда в качестве параметров множества задается часть параметров, характеризующих ориентацию спутника в орбитальной системе координат, и часть параметров, характеризующих величину вектора ги-ростатического момента к (момента количеств относительных движений роторов). В качестве параметра, характеризующего ориентацию спутника, выбран связанный с корпусом спутника единичный вектор е, который в стационарном движении совмещается с единичным вектором 7 радиуса-вектора центра масс спутника относительно центра Земли. Показано, что такую ориентацию можно сделать равновесной (за счет выбора величины гиростатического момента к и угла поворота спутника вокруг оси е = 7) при произвольном направлении вектора е в теле спутника и устойчивой, если конец вектора е лежит в двух из четырех долек, на которые единичная сфера разбивается двумя большими кругами лЛЦ - А2е1 = ±у/А2 - А3е3 где А\ < Ач < — главные центральные моменты инерции спутника. Эти круги пересекаются в точках, соответствующих среднему моменту инерции спутника, а области устойчивости соответствуют долькам, содержащим точки сферы, соответствующие минимальному моменту инерции спутника. Все аналитические вычисления проводились в избыточных координатах (девять направляющих косинусов, определяющих ориентацию спутника), использовалась симметричная форма условий условной знакоопределенности и специальная методика оперирования с выражениями, инвариантными относительно круговой перестановки трех индексов.

В §2 уравнения стационарных движений и условия устойчивости в задаче о стационарных движениях спутника-гиростата рассматриваются с геометрической точки зрения. Полуобратная постановка задачи, предложенная в §1, распространена на случаи, когда произвольный единичный вектор е, фиксированный в теле спутника, в равновесной ориентации совмещается не с вектором 7, а с единичным вектором а касательной к орбите, единичным вектором ¡3 нормали к плоскости орбиты, а также с фиксированным в орбитальной системе координат вектором лежащим в плоскости (7, /3) или в плоскости (о;, (5). В последних двух случаях обозначим через (р угол, на который вектор 6 отстоит от векторов 7 или а. Показано, что также, как в §1, во всех этих случаях выбором величины гиростати-ческого момента к и угла поворота спутника вокруг вектора е ориентация может быть сделана равновесной при произвольном расположении вектора е в теле спутника. Однако в отношении обеспечения устойчивости равновесия результаты оказываются различными во всех этих случаях. При ориентировании относительно вектора а результат по устойчивости оказывается противоположным случаю ориентирования по 7: устойчивость осуществляется в дольках, содержащих точки сферы, соответствующие максимальному моменту инерции спутника. При ориентации относительно /3 устойчивость достигается при любом расположении вектора е в теле спутника, т.е. область устойчивости охватывает всю сферу, на которой лежат концы вектора е. При ориентации относительно вектора с), лежащего в плоскостях (7, (3) и (а, (3) области устойчивости расширяются по сравнению с ориентацией относительно 7 и а; эквидистантно на угол (р. Это значит, что границы областей устойчивости определяются кругами, которые получаются в пересечении сферы с плоскостями, отстоящими от плоскостей указанных выше больших кругов на расстояние вик/?; при

2 Аг - А2 эти области охватывают всю сферу. При расположении вектора 5 вне плоскостей (7,/?) и (а,/?) равновесие возможно не при всяком расположении вектора е в теле спутника, т.е. существуют зависящие от моментов инерции спутника области на единичной сфере, при расположении вектора е в которых невозможно сделать ориентацию равновесной.

Подход, развитый в §§1,2, в §3 распространяется на другие задачи об устойчивости стационарных движений гиростата. Рассмотрена задача о гиростатах, входящих в качестве одного или нескольких тел в классическую задачу п гравитиру-ющих тел и о равновесии гиростата с неподвижной точкой в его центре масс на вращающейся Земле. В задаче о стационарных движениях системы п гравитирующих тел сохраняется качественная картина областей устойчивости такая же, как для спутника-гиростата. Однако, в этом случае тройка векторов а, /5,7 определяется для каждого тела в отдельности в зависимости от конфигурации расположения центров масс всех тел в рассматриваемом стационарном движении. Для второй задачи показано, что если неподвижная точка расположена на экваторе, то картина областей устойчивости качественно оказывается такой же, как для спутника-гиростата. При расположении неподвижной точки на широте (р области, в которых возможно осуществление устойчивости, расширяются (как в случае расположения вектора е в плоскостях (7, (3) и (а, (3) для спутника-гиростата), но граница области устойчивости определяется гладкой кривой без угловых точек.

В §4 результаты §§1,2 рассматриваются с точки зрения неограниченной постановки задачи. Указаны общие условия, при которых притягивающий центр в стационарном движении не лежит в плоскости орбиты центра масс спутника. Подробно рассмотрено одно семейство стационарных движений динамически не симметричного спутника-гиростата, а также семейство стационарных движений динамически симметричного спутника-гиростата, обладающие указанной особенностью.

В §5 получена энергетическая оценка амплитуды колебаний спутника относительно его положения относительного равновесия на круговой орбите под действием потенциальных возмущающих моментов, к которым могут быть отнесены, в частности, гиростатические моменты. В §6 рассмотрены приближенные алгоритмы перевода спутника-гиростата из одной устойчивой равновесной ориентации в другую при помощи управления величиной вектора гиростатического момента, реализуемой, например, как на станции "Мир", силовыми ги-родинами.

Результаты третьей главы получены в соавторстве с А.А.Буровым и М.Паскаль. Здесь рассматриваются тросовые космические системы. Основное место занимает обобщенная задача трех тел. Обобщение состоит в замене ньютоновского взаимодействия двух т1,Ш2 из трех тел 7710,7771,7772 на произвольное потенциальное взаимодействие, например, в случае эластичного троса на сумму гравитационного и упругого взаимодействий. В §1 принята плоская ограниченная постановка задачи и рассмотрены достаточные и необходимые условия устойчивости коллинеарных стационарных движений. Условия устойчивости сравниваются с соответствующими условиями, полученными в работе В.В.Белецкого и О.Н.Пономаревой [7] для случая жесткой связки 7771,7712 и равенства масс 7771 = 7772 (гантель). Показано, что для конфигураций 7770,7771,7772 и 7770,7772,7771 на кривых равновесия также, как в случае гантели, имеется только одна точка бифуркации и существует одна полубесконечная область вековой устойчивости и полубесконечная область неустойчивости. В конфигурации 7771,7770,7712, представляющей не столько физический, сколько математический интерес картина распределения областей устойчивости более разнообразна. При средних значениях приведенной

ТП1 жесткости к и массового параметра ц =- имеется че

ТП\ + ГП2 тыре точки бифуркации, одна ограниченная область вековой устойчивости и одна ограниченная область гироскопической устойчивости. При увеличении ¡1 область вековой устойчивости пропадает и остается только область гироскопической устойчивости. При возрастании к появляются новые точки бифуркации, однако, эти новые точки не приводят к появлению новых областей вековой или гироскопической устойчивости. Для треугольных решений вековая устойчивость невозможна ни при каких значениях параметров.

В §2 исследуется гироскопическая устойчивость треугольных (равнобедренный треугольник) стационарных движений в плоской неограниченной обобщенной задаче трех тел. Для упрощения аналитических выражений введены дополнительные зависимые параметры (момент инерции системы относительно центра масс и градиент этого момента) с заданием для них соответствующих формул дифференцирования и упрощения. Вычисления производились с учетом инвариантности выражений по отношению к перестановке индексов 1 и 2. Область устойчивости также, как у В.В.Белецкого и О.Н.Пономаревой [7], представлена на плоскости параметре , л тров - и а, где а — угол между прямыми (то,т,1)

777-1 + 777-2 и (7710,777,2). Область устойчивости располагается между двумя непересекающимися кривыми, которые имеют общую точку касания только в случае, рассмотренном В.В.Белецким и О.Н.Пономаревой [7] при 777-1 = 7772 и приведенной жескости

3 - 2\/2 к = оо. При ¡л, = - « 0.286 одна из граничных кривых 6 исчезает. При к < 1 исчезает другая граница. В последнем случае область устойчивости покрывает значения параметров реальных спутниковых систем 777-0 >>1, а << 1, т.е. треугольные конфигурации также могут представлять практический интерес при конструировании протяженных тросовых спутниковых систем. Требуемая величина жесткости троса оказывается столь малой, что имеет смысл говорить не о реальном тросе, а о моделировании упругих сил с помощью специальной управляющей системы.

В §3 рассматривается модельная задача о движении в центральном поле сил маятника, точка подвеса которого движется вдоль круговой направляющей с центром в притягивающем центре. Определены равновесные положения, условия устойчивости и собственные частоты колебаний. Результаты ориентированы на приложение к исследованию плоских движений орбитального крана, стрела которого располагается параллельно касательной к орбите центра масс. Оптимальное по быстродействию перенесение груза из одного равновесного положения в другое согласно принципу максимума Понтряги-на можно сконструировать из нескольких фаз движения каретки вдоль стрелы с постоянной по модулю и переменной по направлению относительной скоростью.

Четвертая глава содержит результаты, полученные в соавторстве с Е.В.Абраровой, А.А.Буровым, А.С.Сумбатовым и Д.П.Шевалье и под общим научным руководством автора. Она посвящена построению упрощенной имитационной модели транспортной системы тягач-полуприцеп, ориентированной на исследование устойчивости типичных маневров тяжелых транспортных средств. В §1 на примере плоской модели 10-колесной системы тягач-полуприцеп со сцепным устройством типа "пятое колесо" предложена общая методика разрешения статической неопределимости реакций, возникающей в системах с трением. Статическая неопределимость вертикальных реакций колес разрешается, как обычно, путем вывода системы из плоскости движения и предположения линейной зависимости реакций от вертикальных составляющих виртуальных перемещений (или виртуальных скоростей) центров колес. Виртуальные скорости центров колес выражаются через независимые обобщенные скорости системы и подставляются в выражения вертикальных реакций колес через вертикальные виртуальные скорости их центров. После исключения из полученных соотношений независимых обобщенных виртуальных скоростей, получаются искомые разрешающие уравнения.

В §2 рассматривается система тягач - полуприцеп, в которой соединение между тягачом и полуприцепом осуществлено посредством так называемого "пятого колеса" — шарнира Гука, допускающего поворот вокруг горизонтальной оси, фиксированной в тягаче и вокруг вертикального шкворня, фиксированного в полуприцепе. На основе разработанного в §1 метода исключения статической неопределимости вертикальных реакций колес и методов компьютерной алгебры составлены уравнения движения и проведено численное моделирование движения на простейших маневрах: обгон, двойной обгон, синусоидальное изменение угла поворота руля и непериодические колебания угла поворота руля. Изучена чувствительность модели поведения шофера, к ее структурным постоянным. Обсуждены возможности описания основных эффектов в рамках плоской модели движения системы и указаны пути перехода к пространственной модели.

1. Абрарова Е.В., Карапетян A.B. О стационарных движениях твердого тела в центральном гравитационном поле // ПММ. 1994. Т.59. Вып.5. С.68-73.

2. Альбрехт Э.Г. Оптимальная стабилизация нелинейных систем // Матем. зап. Уральского общества. 1963. Т.4, No.2. С.7-14.

3. Анчев A.A. О стабилизации относительного равновесия спутника с маховиками // Космич. исслед. 1966. Т.4. Вып. 2.

4. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики / / Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы. М.: ВИНИТИ, 1985. Т.З. 304 с.

5. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965.

6. Белецкий В.В. Границы либраций трехосного спутника в гравитационном поле // ПММ. 1967. Т.31. Вып.6.

7. Белецкий В.В., Пономарева О.Н. Параметрический анализ устойчивости относительного равновесия в гравитационном поле // Космические исследования. 1990. Т.28. No.5. С.664-675.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 368 с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1,11. М.: Физматгиз, 1960,1962.

10. Буров A.A., Трогер X. Об относительных равновесиях орбитального маятника, подвешенного на тросе // ПММ. 2000. Т.64. No.5. С.755-760.

11. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

12. Ван Дань-Чжи. Об одном критерии устойчивости по Ляпунову // Дифференц. ур-ния. 1968. Т.4. No.3, С.446-458.

13. Воеводин В.В. Численные методы алгебры (теории и алгорифмы). М.: Наука, 1966.

14. Трошева М.В., Климов Д.М. Опыт использования аналитических преобразований на ЭВМ в задачах механики. М.: Институт проблем механики АН СССР, 1987. Препринт No.296. 39с.

15. Дружинин Э.И. Устойчивость стационарных движений гиростатов в центральном поле тяготения (канд. дисс.). Казань. 1966.

16. Дубошин Т.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюлл. ИТА АН СССР. 1960. Т.7. Вып.7(90).

17. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на неравномерной сетке) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971, Т.11, No.6, С.1390-1403.

18. Зубов В.И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судпромгиз, 1966.

19. Карапетян A.B. Теорема Рауса и ее модификации // Тр. Тбил. ун-та. Сер. Мат., мех., физ., астрон. 1989. Т.25. С.65-88.

20. Карапетян A.B. Качественное исследование динамики волчка на плоскости с трением // ПММ. 1991. Т.55. Вып.4. С.698-701.

21. Карапетян A.B., Сахокия И.Д. О бифуркации и устойчивости стационарных движений двух гравитирующих тел // ПММ. 1992. Т.56. Вып.6. С.935-938.

22. Карапетян A.B., Шаракин С.А. О стационарных движениях двух взаимно гравитирующих тел и их устойчивости // Вестник МГУ. Сер. Математика, механика. 1992. No.3. С.42-48.

23. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. 214с.

24. Козлов В.В. Линейные системы с квадратичным интегралом // ПММ. 1992. Т.56. Вып.6. С.900-906.

25. Колесников H.H. К устойчивости свободного гиростата // ПММ. 1963. Т.27. Вып.4.

26. Колесников H.H. Об устойчивости свободного гиростата // Вестник МГУ. 1966. Сер. Матем. и мех. No.3.

27. Колесников H.H. Регулярная пфрцессия свободного гиростата // ПММ. 1966. Т.ЗО. Вып.З.

28. Кондурарь В.Т. Частные решения общей задачи о поступательно-вращательном движении сфероида под действем притяжения шара // Астроном, журнал. 1959. Т.36. Вып.5.

29. Красовский H.H. Об обращении теоремы К.П. Персидского о равномерной устойчивости // ПММ. 1955. Т. 19. Вып.З. С.273-278.

30. Кузьмин П.А. Стационарные движения твердого тела и их устойчивость в центральном поле тяготения / / Труды международной конференции по прикладной теории устойчивости движения и аналитической механике. Казань. 1962.

31. Куницын А.Л. Явственное исследование движений в одном предельном варианте задачи двух неподвижных центров // Труды Университета дружбы народов. 1966. Серия "теоретическая механика". Т.17. Вып.4.

32. Курцвейль Я. К обращению первой теоремы Ляпунова об устойчивости движения // Czechosl. Matem. J. 1955. V.5(80). No.3. P.382-398.

33. Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т.1. М.,Л.: Госте-хиздат, 1950. 594 с.

34. Ляпунов A.M. Общая задача -0g. устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1956.

35. Ляпунов A.M. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. Харьков: Изд-е. Харьк. Мат. О-ва, 1888. 54 с.

36. Маркеев А.П. Резонансные эффекты и устойчивость вращений спутников // Космич. иссл. 1967. Т.32, Вып.З.

37. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса / / ПММ. 1968. Т.32. Вып.4.

38. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965.

39. Морозов В.М. Об устойчивости движения гиростата под действием гравитационных, магнитных и аэродинамических моментов // Космич. исслед. 1967. Т.5. Вып.5.

40. Морозов В.М. Некоторые задачи об устойчивости движения спутника. Кандидатская диссертация. МГУ. 1968.

41. Персидский К.П. Об устойчивости решений бесконечной системы дифференциальных уравнений // ПММ. 1948. Т.12. Вып.5. С.597-612.

42. Пожарицкий Г.К. Об устойчивости диссипативных систем // ПММ. 1957. Т.21. Вып.4.

43. Пожарицкий Г.К. О построении функции Ляпунова из интегралов уравнений возмуженного движения // ПММ. 1958. Т.22. Вып.2.

44. Пожарицкий Г.К. Об асимптотической устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией // ПММ. 1961. Т.25. Вып.4.

45. Полянская И.П., Яковлев Н.И. Оптимальные параметры гравитационной системы ориентации спутника с маховиками. М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1976. Препринт No.139. 21с.

46. Рубановский В.Н. Об относительном равновесии спутника- гиростата в обобщенной ограниченной задаче трех тел // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.4. С.737-744.

47. Руденко В.М. Символьные вычисления на языке REDUCE для задач механики. М.: Институт проблем механики АН СССР, 1987. Препринт No.297. 25с.

48. Румянцев В.В. Об устойчивости установившихся движений твердых тел с полостями, наполненными жидкостью // ПММ. 1962. Т.26. Вып.6.

49. Румянцев В.В. Об устойчивости равномерных вращений механических систем // Изв. АН СССР. Отд. техн. и ме-хан. и машиностроение, 1962. No.6. С.113-121.

50. Румянцев В.В. К теории движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью // ПММ. 1966. Т.ЗО. Вып.1.

51. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Вычислит, центр АН СССР, 1967.

52. Румянцев B.B. Об устойчивости стационарных движений спутника с роторами и полостью, содержащей жидкость // Космич. исслед. 1967. Т.5. Вып.2.

53. Румянцев В.В. К задаче об устойчивости стационарных движений спутника // Космич. исслед. 1968. Т.6. Вып.2.

54. Румянцев В.В. Об устойчивости относительных равновесий и стационарных движений спутника-гиростата // Инж. журнал МТТ. 1968. No.4.

55. Румянцев В.В. О влиянии гироскопических сил на усточи-вость стационарного движения // ПММ. 1975. Т.39. Вып.6. С.963-973.

56. Румянцев В.В. Сравнение трех методов построения функций Ляпунова // ПММ. 1995. Т.59. Вып.6. С.916-921.

57. Самсонов В.А. О стабилизируемости установившихся движений систем с псевдоциклическими координатами / / ПММ. 1981. Т.45. Вып.З. С.512-520.

58. Сарычев В.А., Гутник С.А. К вопросу о положениях относительного равновесия спутника-гиростата // Космические исследования. 1984. Т.22. Вып.З. С.323-326.

59. Сарычев В.А., Гутник С.А. Исследование положений равновесия спутника-гиростата. М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1990. Препринт No.84. 31с.

60. Смейл С. Топология и механика // Успехи мат. наук. 1972. Т.27. No.2. С.77-133.

61. Суликашвили P.C. О влиянии моментов инерции третьего и четвертого порядка на движение твердого тела // ПММ. 1987. Т.51. Вып.2. С.286.

62. Суликашвили P.C. О стационарных движениях тел, допускающих группы симметрий правильных многогранников в Ньютоновском поле сил // ПММ. 1989. Т.53. Вып.4. С.582-586.

63. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. 1964. Т.28. Вып.1.

64. Черноусько Ф.Л. Оптимальное перемещение маятника // ПММ. 1975. Т.39. Вып.5. С.806-816.

65. Четаев Н.Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости неустановившихся движений // ПММ. 1960. Т.24. Вып.1. С.6-19.

66. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР, 1962.

67. Шостак Р.Я. О признаке уловной определенности квадратичной формы п переменных, подчиненных линейным связям, и о достаточном признаке условного экстремума функции п переменных // Успехи мат. наук. 1954. Т.9. Вып.2.

68. Яковлев Н.И. О полысениях относительного равновесия гиростата. М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1976. Препринт No.78. 17с.

69. Afriat S.N. The quadratic form positive definite on a linear manifold // Proc. Cambridge Phil. Soc. V.47 (1951). P. 1-6.

70. Beletsky V.V., Levin E.M. Dynamics of space tether systems. Advances in the astronautical sciences. Vol.83. San Diego: American Astronautical Society, 1993. 500 p.

71. Bellman R. Introduction to Matrix Analysis. N.Y.-Toronto-London: McGraw-Hill book company Inc., 1960.

72. Blitzer L. Equilibrium and stability of a pendulum in an orbiting spaceship // Amer. J. Phys. 1979. V.47. No.3. P.241 246.

73. Karapetyan A.V. The Routh's theorem and it's extensions // Colloq. Math. Soc. Jânos Bolyai. 53. Qualitativa theory ofdifferential equations. Amsterdam; New York: North Holland, 1990. P.271-290.

74. Kortùm W., Rulka W. and Eichberger A. Recent Enhancements of SIMPACK and Vehicle Applications. // EUROMECH 320: Multibody Systems: Advanced Algorithms and Software Tools, Prague, June 6 8, 1994.

75. Longman R.W., Roberson R.E. General solution for the equilibria of orbiting gyrostats subject to gravitational torques // The Journal of Astronaut. Sci. 1969. Vol.16. No.2. P.49-58.

76. Longman R.W. Gravity-gradient stabilisation of gyrostat satellites with rotor axes in principal planes // Selestial mech. 1971. Vol.3. No.2. P.169-188.

77. Mann H.B. Quadratic forms with linear constraints // American Math. Monthly. 1943. Aug.-Sept. P.430-433.

78. McQuade F., Mclnnes C.R. Co-operative control for on-orbit assembly of large space structures using potential field methods // Departmental Report No.9818. Department of Aerospace Engineering University of Glasgow. 1998. 19 p.

79. Meirovitch L. On the effect of higher-order inertia integrals on the attitude Stabiliy of Earth-pointing satellites // The Journal of Astronomical Sciences. 1968. Vol.15. No.l. P.14-18.

80. Pascal M. Sur le mouvement d'un triple bâtonnet dans un champ Newtonien // J. de Mécanique. 1972. V.ll. No.l. P.147-160.

81. Pascal M. Sur la recherche des mouvements stationaires dans les systèmes ayant des variables cycliques / / Celest. Mech. 1975. V.12. P.337-358.

82. Poincaré H. Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation // Acta Mathematica. 1885. V.7. P.259-380.

83. Roberson R.E., Hooker W.W. Gravitational equilibria of a rigid body containing symmetric rotors // Proc. 17th Congr. Int. Astronaut. Fed. (Madrid, 1966). Duhod. Paris. 1967

84. Roberson R.E. Circular orbits of noninfinitesimal material bodies in invers square fields // J. of the Astronaut. Sci. 1968. Vol.15. No.2.

85. Roberson R.E. Equilibria of orbiting Girostats // J. of the Astronaut. Sci. 1968. Vol.15. No.5.

86. Rocard Y. Instabilité de Route des locomotives. V.2. Paris.: 1935.

87. Rocard Y. Les méfaits du roulement, auto-oscillations et instabilité de route. //La Revue Scientifique 84. 1946. No.45.

88. Routh E.J.A treatise on the stability of a given state of motion. London, 1877.

89. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. London: MacMillan and Co, 1884. 343 p.

90. Salvadori L. Un'observazione su di un criterio di stabilità del Routh // Rend. Accad. sci. fie. e math. Soc. naz. sci. lett. et arti. Napoli. 1953. V.20. P.269-272.

91. Sanchez N.E. Nonlinear dynamics and control of a four-wheel steering vehicle using symbolic-numerical approach. // International Journal of Vehicle Design. Vol.15. No. 1/2. 1994. P.81-98.

92. Scheidl R., Stribersky A., Troger H. and Zeman K. Nonlinear stability behavior of a tractor-semitrailer in downhill motion. // Vehicle System Dynamics.

93. Slibar A. and Troger H. The Steady-State-Behavior of a Truck-Trailer-System Carrying Rigid or Liquid Load. // Vehicle System Dynamics. Vol. 6. No.2-3. September 1977. P. 167 169.

94. Stumpf H. et Pilz H. Fahrverhaltensversuche von LKWReifen im Labor und auf dem Strasse. // Automobil -Industrie. 1980. Vol.3. P. 35 43.

95. Synge J.L. On the behaviour, According to Newtonian Theory, of a Plumb Line or Pendulum Attached to an Artificial Satellite // Proceedings of the Royal Irish Academy. 1959. Vol.20. Sec.A. P. 1-6.

96. Thomson W., Tait P. Treatise on Natural Phylosophy. V.l. Part 1. Cambridge: Univ. Press, 1879. 508 p.

97. Troger H. et Zeman K. A nonlinear analysis of the generic types of loss of stability of the steady state motion of a tractor-semitrailer. // Vehicle System Dynamics. Vol.13. 1984. P. 161172.

98. Wang Li-Sheng, Maddocks J.H., Krishnaprasad P.S. Steady Rigid-Body Motions in a Central Gravitational Field // The Journal of Astronomical Sciences. 1992. Vol.40. No.4. P.449-478.

99. Li-Sheng Wang, Shih-Feng Cheng Dynamics of two spring-connected masses in orbit // Celest. mech. and dyn. astron. 1995. V.63. No.2-3. P.289-312.

100. Степанов С.Я. К устойчивости диссипативных систем //Вестник МГУ. 1964. No.4.

101. Румянцев В.В., Степанов С.Я. Об устойчивости движения на конечном интервале времени. §12 статьиB.В.Румянцева "Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения" в сб. "Механика в СССР за 50 лет". М.: Наука, 1968.

102. Степанов С.Я. О стационарных движениях спутника-гиростата // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.1. С.127-131.

103. Степанов С.Я. О множестве стационарных движений спутника-гиростата в центральном ньютоновском поле сил и их устойчивости // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.4. С.737-744.

104. Рубановский В.Н., Степанов С.Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения функции Ляпунова из интегралов уравнений движения // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.5.C.904-912.

105. Степанов С.Я. О границах либрации спутника на круговой орбите при действии потенциальных возмущающих сил // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.6. С.1135-1138.

106. Ван Дань-Чжи, Степанов С.Я. Численное исследование устойчивости на конечном интервале времени // ЖВМ и МФ. 1974. Вып.2. С.350-364.

107. Ван Дань-Чжи, Степанов С.Я. К численному построению функций Ляпунова на конечном интервале времени // Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. М.: Наука, 1975. С.83-90.

108. Ван Дань-Чжи, Степанов С.Я. Стабилизация управляемых движений на конечном интервале времени // ЖВМ и МФ. 1975. Вып.4. С.908-922.

109. Ван Дань-Чжи, Степанов С.Я. Устойчивость на конечном интервале времени и ее численное исследование // Задачиисследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1975. Вып.З. С.3-58.

110. Ван Дань-Чжи, Степанов С.Я. Оптимальная стабилизация на конечном интервале времени / / Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1975. Вып.З. С.59-112.

111. Степанов С.Я. О соотношении условий устойчивости при трех различных режимах циклических движений в системе // Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления. Т.2. Казань: КАИ, 1976. С.303-308.

112. Румянцев В.В., Рубановский В.Н., Степанов С.Я. Колебания и устойчивость твердых тел с полостями, заполненными жидкостью // Вибрации в технике. Т.2. М.: Машиностроение, 1979. С.280-306.

113. Ван Дань-чжи, Сергеев B.C., Степанов С.Я. Решение задач устойчивости на ЭВМ // Теория устойчивости и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1979. С.255-260.

114. Степанов С.Я., Суликашвили P.C. Стационарные движения в задаче п тел (п гиростатов) // Устойчивость движения. Новосибирск: Наука, 1985. С.154-158.

115. Степанов С.Я. Стационарные движения гравитирующих тел // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1985. С.85-89.

116. Степанов С.Я. Сопоставление размеров областей устойчивости положений относительного равновесия гиростата на круговой орбите и на вращающейся Земле // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1986. С.47-52.

117. Степанов С.Я. Геометрическое исследование возможностей осуществления одноосной равновесной ориентации спутника-гиростата на круговой орбите // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1988. С.82-91.

118. Pascal M., Stepanov S.Ya. On a semi-inverse problem in the motion of gyrostat satellites // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1991. T.50. C.99-108.

119. Степанов С.Я. Об алгоритмах перевода спутника-гиростата из одной устойчивой равновесной ориентации в другую // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1995.

120. Буров A.A., Степанов С.Я. О геометрии масс в динамике деформируемых тел // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1995. С.107-130.

121. Карапетян A.B., Степанов С.Я. О стационарных движениях и относительных равновесиях механических систем с симметрией // ПММ. 1996. Т.60. Вып.5. С.736-743.

122. Bourov A.A., Pascal M., Stepanov S.Ya. Steady Motions of two Mass Points Connected with Spring in a Newtonian Force Field // Cahier du CERMA. No.14. Mai. 1996. P.l-13.

123. Абрарова E.B., Буров A.A., Степанов С.Я., Шевалье Д.П. Об уравнениях движения системы тягач-полуприцеп со сцепкой типа " пятое колесо" // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1999. С.45-72.

124. Степанов С.Я. Условия вековой и гироскопической устойчивости стационарных решений в обобщенной плоской задаче трех тел // Задачи исслед. устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1999. С.33-44.

125. Абрарова Е.В., Степанов С.Я. Разрешение статической неопределимости вертикальных реакций колес в плоскоймодели системы тягач-полуприцеп // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1999. С.77-85.

126. Буров A.A., Паскаль М., Степанов С.Я. Гироскопическая устойчивость треугольных решений в обобщенной плоской задаче трех тел // ПММ. 2000. Т.64. Вып.5. С.729-738.

127. Буров A.A., Степанов С.Я. Об установившихся движениях плоской орбитальной крановой системы // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 2000. С.29-39.

128. Буров A.A., Степанов С.Я. О колебаниях маятника на круговой орбите // ПММ. 2001. Т.65. Вып.4. С.714-719.