Нелинейные колебания осесимметричного твердого тела в сопротивляющейся среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ГБ ОД

• о '^МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

* 1 " ' УНИВЕРСИТЕТ им.М.ВЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Бугрова Мария Ивановна

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Московского Государственного Университета им.М.В.Ломоносова

Научный руководитель- кандидат физико-математи

ческих наук,

старший научный сотрудник Привалов В.А. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Рубановский В.Н., - кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Овчинников М.Ю. Ведущая организация НИИ парашютостроения

Защита диссертации состоится 07 октября 1994г. в 16 час. на заседании диссертационного Совета по механике Д 053.05.01 при МГУ по адресу 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан ¿Гсентября 1994г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 053.05.01 при МГУ

доктор физ.-мат. наук Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одной из центральных задач общей механики является задача о движении твердого тела в сопротивляющейся среде. Она представляет значительный теоретический интерес и имеет приложения в различных областях техники.

Особое место в рамках этой задачи занимает вопрос о построении адекватных моделей взаимодействия между движущимся телом и средой. Значительную трудность представляет определение зависимости сил и моментов от угловой скорости тела. Квазистатическая модель, последовательно развиваемая в Институте Механики МГУ в работах Б.Я.Локшина, В.А.Привалова, В.А.Самсонова и др., позволяет дать частичный ответ на этот вопрос. В этой модели силовое воздействие на осесимметричное твердое тело сводится к главному вектору, который зависит от скорости центра давления. При этом используются аэродинамические характеристики, полученные в статических экспериментах. Иногда центр давления можно считать неподвижным относительно самого тела. Оказалось, что при такой модели сила воздействия среды и ее момент содержат зависимость и от угловой скорости тела.

Указанная модель применялась, в частности, при исследовании двух задач: снижения твердого тела в сопротивляющейся среде и движения четырехлопастной вертушки, закрепленной в центре масс и помещенной в поток среды. Рассмотрены вопросы существования установившихся движений, построены области устойчивости поступательных установившихся снижений и перманентного вращения вертушки. Однако некоторые вопросы остались открытыми.

Целью работы является

1. Построение картины ветвления установившихся снижений осесимметричного твердого тела в сопротивляющейся среде.

2. Исследование нелинейных колебаний при параметрах, близких к границам областей устойчивости установившихся движений - вертикального снижения и перманентного вращения.

Основные результаты и их научная новизна

1. В задаче о снижении осесимметричного твердого тела в сопротивляющейся среде описана в пространстве параметров глобальная бифуркационная картина установившихся движений.

2. Построена картина ветвления колебательных движений в окрестности границы области устойчивости вертикального установившегося снижения тела.

3. В задаче о движении авторотирующего осесимметричного твердого тела, закрепленного в потоке сопротивляющейся среды, описана картина ветвления колебательных движений, существующих вблизи границ области устойчивости стационарного вращения.

Практическая ценность работы

Результаты диссертации могут быть использованы при планировании целенаправленных экспериментов с осесим-метричными телами, взаимодействующими со средой, и для интерпретации известных результатов.

Апробация работы

По теме диссертации сделаны доклады на семинарах МГУ им.М.В.Ломоносова (по прикладной механике под руководством акад.А.Ю.Ишлинского, проф.Е.А.Девянина, проф.И.В.Новожилова, "Динамика твердых тел, взаимодействующих со средой" под руководством проф.В.А.Самсоно-ва), на Всесоюзной конференции по устойчивости

движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, МАИ, 1988г.), на Всесоюзных конференциях, посвященных Дню Советской Науки в 1989 и 1990 гг., на Научных чтениях, посвященных 75-летию со дня рождения акад. Челомея (Москва, 1989г.), Второй Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям механических систем (Горький, 1990г.), Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991г.), на XIII и XVIII научных чтениях по космонавтике (1989г. и 1994г.).

Основные результаты опубликованы в 1 статье, 3 отчетах института Механики МГУ и тезисах докладов (работы [1-

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 122 страницах, содержит 48 рисунков и 1 таблицу на 22 страницах, список литературы из 56 наименований на 6 страницах.

дится обзор работ о движении тела в сопротивляющейся среде. Коротко излагается содержание диссертации.

В работе можно выделить две части. В одну входит первая глава, в которой рассматривается свободное снижение осесимметричного твердого тела в сопротивляющейся среде, и вторая, посвященная движению в потоке среды четырех-лопастной вертушки относительно закрепленного центра масс. Эти две главы объединяет аналитический подход. К другой части можно отнести третью главу, в которой при исследовании этих задач применяются численные методы.

Главное место в диссертации занимает исследование устойчивости установившихся движений, когда параметры ле-

Ю]).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

актуальность темы, приво-

жат на границах областей устойчивости, и рассмотрение поведения системы с параметрами, близкими к этим границам. При переходе через различные участки границы потеря устойчивости установившегося движения происходит по-разному, что связано с бифуркациями Андронова-Хопфа -рождением устойчивого предельного цикла или смертью неустойчивого. В первом случае после потери устойчивости равновесия установившимся режимом оказывается колебательный периодический режим ("мягкая" потеря устойчивости), во втором случае система уходит со стационарного режима скачком и перескакивает на иной режим движения ("жесткая" потеря устойчивости).

В первой главе рассматривается свободное падение в сопротивляющейся среде осесимметричного твердого тела. Наряду с сопоставлением условий существования и устойчивости различных установившихся снижений тела в среде в этой главе исследуется устойчивость винтового установившегося движения. Кроме того, рассматриваются формы потери устойчивости вертикального снижения. Для параметров с границы области устойчивости движение тела в первом приближении похоже на колебания физического маятника. Характер движений, возникающих при нарушении границы области устойчивости, (возможны "мягкая" или "жесткая" формы потери устойчивости) связан со свойствами устойчивости самой границы. При этом возникает критический случай, рассмотрение которого требует учета нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. Поскольку амплитуда колебаний при параметрах, близких к критическим, меняется медленно, приближенное выражение для нее получено с помощью осреднения по быстро меняющейся переменной.

В §1.1 описана математическая модель воздействия среды на осесимметричное твердое тело, центральный эллипсо-

ид инерции которого является эллипсоидом вращения относительно оси симметрии. Система сил воздействия среды сводится к главному вектору, приложенному в некоторой точке оси симметрии - центре давления. Расстояние между центром давления и центром масс постоянно. Кроме того, предполагается, что по оси симметрии действует диссипатив-ный момент. Углом атаки называется угол между осью симметрии тела и вектором скорости центра давления. Главный вектор воздействия среды, принадлежащий плоскости угла атаки, разлагается на две составляющие: силу лобового сопротивления, направленную противоположно скорости центра давления, и подъемную силу, перпендикулярную этому вектору. Безразмерные коэффициенты силы сопротивления и подъемной силы являются соответственно четной и нечетной функциями угла атаки. В § 1.2 приведены пространственные уравнения движения в проекциях на оси подвижной системы координат, связанной с плоскостью угла атаки. §1.3 посвящен установившимся движениям тела. В п. 1.3.1 рассмотрены поступательные стационарные движения, среди которых возможны "тривиальное" движение - вертикальное снижение тела с вертикально ориентированной осью симметрии - и множество движений типа "планирования" - поступательных, плоскопараллельных снижений с вертикально ориентированной осью симметрии, ненулевым углом атаки и произвольным углом ориентации плоскости угла атаки по азимуту. В п.1.3.2 описано нестационарное движение, называемое винтовым, и условия его существования. При винтовом движении центр давления движется равномерно по вертикали, а целтр масс описывает винтовую линию, угол между осью симметрии и вертикалью постоянный. Проводится сравнение угловой скорости вращения плоскости угла атаки вокруг вертикали для этого установившегося режима с угловой скоростью вращения конического

маятника. В п.1.3.3 исследуется устойчивость по первому приближению винтового движения, указывается одно необходимое условие устойчивости, проводится сравнение условий существования и устойчивости установившихся движений тела. В §1.4 выписаны уравнения плоскопараллельного движения тела. На границе области устойчивости "тривиального" движения анализируются в нормальных координатах малые колебания оси симметрии, их частота сравнивается с частотой колебаний физического маятника. В § 1.5 исследуется устойчивость "тривиального" движения тела в критическом случае, когда параметры лежат на границе области устойчивости. Анализируется разделение границы на "опасные" и "безопасные" участки в зависимости от параметров. В §1.6 проведено исследование развития колебательного процесса и возникновение предельного цикла в системе с параметрами, близкими к критическим. Установлена связь между условиями устойчивости в критическом случае с характером периодических движений. Приближенное значение амплитуды автоколебаний сопоставляется с величиной установившегося угла атаки для винтового движения.

Во второй главе исследуется устойчивость движения ав-торотирующего тела, имеющего форму четырехлопастной вертушки, закрепленного в центре масс и помещенного в поток среды. Вращение вокруг оси симметрии отсутствует, если лопасти вертушки перпендикулярны оси симметрии, тогда относительное движение тела и среды подобно рассмотренному в первой главе. В этом случае прослеживается влияние наличия четырех центров давления (а не одного) на движение тела и его устойчивость.

Кроме того, в первом приближении рассматриваются следующие вопросы. Описывается "вертолетная" модель воздействия среды, когда силы формируются с использованием составляющей скорости набегающего потока, перпен-

дикулярной державке лопасти, и исследуется устойчивость стационарного вращения, рассматриваются условия, при которых эта модель эквивалентна исходной. Далее продолжается исследование первоначальной модели, определяется характер колебаний при параметрах с границы области устойчивости стационарного вращения.

А при исследовании устойчивости стационарного вращения с параметрами, лежащими на границе его области устойчивости, рассматриваются два критических случая - для двух границ. При малых значениях отношения моментов инерции, когда эти две границы сближаются, полученные условия устойчивости сравниваются между собой. Выписываются приближенные выражения для амплитуды колебательного периодического режима - нового установившегося движения, которое возникает вблизи границ области устойчивости.

В §2.1 описаны конструкция тела и математическая модель воздействия на него со стороны потока. Тело имеет форму вертушки с четырьмя лопастями: на оси прикреплена крестовина из двух перпендикулярных звеньев, соединенных своими серединами. К каждому концу крестовины прикреплена плоская пластина, развернутая вокруг своей державки на некоторый, одинаковый для всех лопастей, угол по отношению к плоскости крестовины. Тело закреплено в точке оси симметрии в сферическом шарнире и помещено в поток среды с постоянной скоростью. Эллипсоид инерции тела является эллипсоидом вращения относительно оси симметрии. Предполагается, что аэродинамическое воздействие формируется на лопастях и распределенная система сил воздействия на каждую лопасть эквивалентна равнодействующей, приложенной в фиксированной точке этой лопасти. Равнодействующая представляется в виде суммы двух вза-имноперпендикулярных составляющих: силы лобового со-

противления и подъемной силы. Их безразмерные коэффициенты являются соответственно четной и нечетной функциями текущего значения угла атаки лопасти. В §2.2 вводится подвижная система координат, жестко связанная с телом, на ее оси проектируются уравнения движения. В §2.3 обсуждается условие существования стационарного вращения тела относительно оси симметрии, параллельной вектору скорости невозмущенного потока. Результаты §2.4 получены с помощью уравнений первого приближения. В п.2.4.1 излагаются результаты анализа устойчивости по первому приближению стационарного вращения и интерпретация условий устойчивости в частном случае, когда точка закрепления лежит в плоскости центров давления лопастей. В п.2.4.2 условия устойчивости получены для "вертолетной" модели аэродинамического воздействия среды. В п.2.4.3 рассмотрена вертушка, лопасти которой перпендикулярны оси симметрии, проводится сравнение с движением маятника в потоке среды. Колебания оси вертушки при параметрах с границы области устойчивости исследуются в п.2.4.4. В §2.5 выписаны нелинейные уравнения возмущенного движения в частном случае, когда точка закрепления вертушки принадлежит плоскости центров давления. Эти уравнения используются при анализе критических случаев устойчивости. Первый критический случай- - для прямолинейной границы - расмотрен в §2.6, второй - для границы, уравнение которой зависит от отношения моментов инерции вертушки - исследуется в §2.7. Полученные условия устойчивости сравниваются при малых значениях отношения моментов инерции в §2.8. В §2.9 анализируется эволюция амплитуды колебательного движения и возникновение предельного цикла для параметров, близких к границам области устойчивости. Исследуется связь характера периодических движений со свойствами устойчивости на самой границе.

Результаты третьей главы не только иллюстрируют и подтверждают выводы аналитических исследований, проведенных в первой и второй главах, позволяют оценить точность приближенных аналитических методов, но и расширяют представление о движении тела. Так, с помощью численного интегрирования исходных нелинейных уравнений движения при параметрах вне области устойчивости вертикального снижения выявляется новый тип установившихся движений - колебательный режим. Интегрирование проводится с использованием типичного представления, пригодного для аппроксимации широкого класса функций аэродинамических коэффициентов. Причем, как для "опасной", так и "безопасной" границы, обнаруживается сходство характеристик установившихся колебаний с соответствующими величинами для винтового пространственного режима. Существенной особенностью поведения тела вблизи "опасной" границы является наличие при одинаковых параметрах движений с двумя различными амплитудами. Вблизи границы проводится сравнение значений амплитуды, полученных в численном эксперименте и приближенными аналитическими методами.

Для вертушки исследуется то, как граница области устойчивости стационарного вращения разбивается на "опасные" и "безопасные" участки, в зависимости от параметров для лопастей в виде плоских пластин. Проводится интегрирование уравнений движения с параметрами, близкими "безопасной" границе.

В §3.1. выписаны функции, которыми аппроксимировались аэродинамические коэффициенты. §3.2. содержит результаты интегрирования уравнений плоскопараллельного движения тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде. Параметры соответствуют устойчивым поступательным установившимся снижениям; принимают критические зна-

чения и близкие к ним. Исследуются свойства плоскопараллельных колебаний, возникающих при параметрах, для которых "тривиальное" движение неустойчиво, а планирование не существует. В §3.3. приводятся примеры устойчивого и неустойчивого винтового движения, что подтверждается численным интегрированием. В §3.4. сравниваются характеристики плоскопараллельных колебаний, полученные в численном эксперименте и с помощью осреднения, и винтового движения при одинаковых массовых и аэродинамических параметрах. В §3.5. проверяется выполнение условий устойчивости стационарного вращения вертушки при критических параметрах для конкретных функций аэродинамических коэффициентов. Численно интегрируются исходные нелинейные уравнения движения вертушки, параметры принимают значения, близкие к "безопасной" границе.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы:

1. В задаче о снижении осесимметричного твердого тела в сопротивляющейся среде описана в пространстве параметров глобальная бифуркационная картина установившихся движений. В частности:

- Для винтового установивщегося движения на основании полученного необходимого условия устойчивости показано, что область неустойчивости непуста. Установлена аналогия с движением физического маятника.

- Описан новый тип установившихся движений - плоскопараллельные колебания, которые возникают при потере устойчивости вертикального снижения. Показана близость при определенных Условиях характеристик этих колебаний соответствующим величинам для винтового движения.

2. Построена картина ветвления колебательных движений в окрестности границы области устойчивости вертикального установившегося снижения тела.

- Получено условие устойчивости вертикального спуска в критическом случае - при параметрах, принадлежащих границе области устойчивости. Проведено разбиение границы на "опасные" и "безопасные" участки.

- При параметрах, лежащих вблизи "безопасной" границы вне области устойчивости, существуют устойчивые автоколебания; вблизи "опасной" границы в области устойчивости вертикального снижения его область притяжения ограничена неустойчивым предельным циклом.

- Колебания тела с параметрами, близкими к критическим, аналогичны колебаниям физического маятника.

3. В задаче о движении авторотирующего осесимметрич-ного твердого тела, закрепленного в потоке сопротивляющейся среды, описана картина ветвления колебательных движений, существующих вблизи границы области устойчивости стационарного вращения.

- Получены условия устойчивости стационарного вращения в критических случаях - для двух границ области устойчивости. Показано, что при уменьшении отношения осевого момента инерции к экваториальному, когда эти границы сближаются, свойства устойчивости границ противоположны - если одна является "опасной", то другая "безопасной", и наоборот.

- Установлено, что на "безопасном" участке границы области устойчивости для лопастей в виде плоских пластин накладываются ограничения сверху на отношение осевого момента инерции к экваториальному.

- Получены приближенные выражения для амплитуды колебательных движений при параметрах, близких к критическим.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1). Грошева М.В., Лосицкая М.И., Привалов В.А., Самсонов В.А. Об устойчивости вращения тела в потоке сопротивляющейся среды. -Прикл, небесн. мех. и упр. движением. Труды 13 научн. чтений по космонавтике, поев, памяти ак. С.П.Королева и др. сов. ученых-пионеров освоения косм, пр-ва. Москва 24-27 янв. 1989. - M., 1989. с.14-15.

2). Лосицкая М.И. О прецессионно-винтовом движении тяжелого тела в среде. - Тезисы докладов Всес.конф. "Современные проблемы механики и технологии машиностроения", поев. Дню Советской науки. Москва 16-18 апр. 1989.

3). Лосицкая М.И. Об устойчивости вращения тела в потоке сопротивляющейся среды. -Тезисы докладов Всес. конференции "Современные проблемы физики и ее приложений", поев. Дню Советской науки. Москва 15-17 апр. 1990.

4). Лосицкая М.И. Нелинейные колебания тяжелого осесимметричного тела в сопротивляющейся среде.- Вестник МГУ. Сер. матем. и механ., 1991, №2, с.46-49.

5). Лосицкая M .И., Привалов В. А. Об устойчивости установившихся движений осесимметричного тела в сопротивляющейся среде в критических случаях. - Тезисы Всес. конф. по уст. движения, колебаниям мех. систем и аэродинамике. Москва, 2-4 февр. 1988 г. Секция уст. движения. МАИ. М„ 1988, с.27.

6). Лосицкая М.И., Привалов В.А. Нелинейные колебания тяжелого осесимметричного тела при спуске в сопротивляющейся среде. -Нелинейные колебания мех. систем. Тезисы докл. 2-ой Всес. конф., сент. 1990, 4.2. Горький 1990. с.78-79.

7), Лосицкая М.И., Привалов В.А. Режимы снижения осесимметричного тяжелого тела в воздухе. -Научные чтения, поев. 75-летию со дня рожд. акад. Челомея. МВТУ июнь 1989.

8). Лосицкая М.И., Привалов В.А., Цыпцын C.B. Место задач об устойчивости движения тела в среде при построении модели ее воздействия. -Седьмой Всес. съезд потеор. и прикл. механике. Аннотации докладов. Москва 15-21 авг., 1991, с.232.

9). Самсонов В. А., ПриваловВ.А., ЛосицкаяМ.И. Динамика вращающихся тел, взаимодействующих со средой. Некоторые периодические дви-

жения тела в сопротивляющейся среде. Отчет Ин-та механики МГУ, 1989, №3897.

10).Самсонов В.А., Привалов В.А., Лосицкая М.И. Динамика вращающихся тел, взаимодействующих со средой. Нелинейные колебания авторотирующеготела. Отчет Ин-та механики МГУ, 1991, №4048.

Москва, ТОО ."Нерей" ВНИРО . Заказ № 13$. Тираж $0 экз.