Вращение твердого тела на нелинейно упругом инерционном стержне тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Вращение твердого тела с тензором инерции общего вида на упругой нелинейной опоре

1. Тензор поворота в описании кинематики твердого тела.

2. Твердое тело на упругой нелинейной опоре

Г л а в а 2. К нелинейной теории упругих стержней.

3. Основные соотношения нелинейной теории упругих стержней

4. Обратная задача об эластике Эйлера

Глава 3. Движение твердого тела на инерционном вращающемся стержне.

5. Уравнения движения стержня и граничные условия.

6. Вращение тела на инерционном стержне с шарнирно опертым верхним концом

7. Вращение тела, консольно закрепленного на инерционном стержне

Глава 4. Вращение твердого тела на упругом стержне в нелинейной постановке

8. Уравнения движения.

9. Положения относительного равновесия и их устойчивость.

10. Малые колебания тела на вращающемся стержне

11. Прохождение через критическую угловую скорость в линейной и нелинейной постановке

В работе решен ряд задач о движении абсолютно твердого тела с тензором инерции общего вида на нелинейно упругой опоре. В качестве упругой опоры рассматриваются сначала пружины с нелинейной жесткостью, а затем упругий прямолинейный инерционный стержень. Нелинейные эффекты опоры на стержень связаны с конечными перемещениями точек его оси. Большое внимание уделено исследованию случаев, когда один из концов стержня вращается по заданному закону. Исследованы положения равновесия системы и их устойчивость, а также малые свободные и вынужденные колебания и нелинейные движения системы.

Рассматриваемые задачи находят применение при конструировании и исследовании движений центрифуг, роторов, гироскопов, шпинделей текстильных машин. Во многих изделиях современного машиностроения важнейшими элементами являются роторные детали. Эти элементы являются источниками сильных вибраций, которые мешают работе оборудования. Систематическое исследование влияния параметров системы на возникновение этих вибраций является актуальной задачей.

Вопросы вращательного движения твердого тела красной нитью проходят через все развитие механики. Исследованием вращения твердого тела с неподвижной точкой занимались такие классики механики, как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.В.Ковалевская, А.М.Ляпунов. Эти вопросы являются предметом исследований и в более позднее время. Отметим монографии и работы Ю.А.Архангельского [5], В.В.Белецкого [8], Й.Виттенбурга [14], Р.Граммеля [19], А.Ю.Ишлинского [45], Д.М.Климова и С.А.Харламова [53], В.Н.Кошлякова [55],Л.Г.Лойцянского, А.И.Лурье [70, 71], К.Магнуса [74], А.П.Маркееава [76], Э.Дж.Рауса [89], В.В.Румянцева [90], А.П.Харламова [100], Ф.Л.Черноусько [102] и др. Обширная библиография по динамике твердого тела имеется в работах [22, 23, 76].

Первоначально предметом исследований было свободно вращающееся вокруг неподвижной точки тело (отметим, что и сейчас эти вопросы актуальны в применении к вращательному движению искусственных спутников Земли [8, 9]). Потребности расчета центрифуг, роторов, гироскопов и других технических объектов требуют рассмотрения динамики тел при наличии упругих связей. Исследования по динамик« жестких роторов на упругих опорах получили наиболее полное отражение в работах А.С.Кельзона и его сотрудников [47-50, 105]. При исследовании колебаний жесткого ротора на упругих опорах или гибком безынерционном валу в подавляющем большинстве литературных источников ограничиваются рассмотрением поперечных колебаний. Наиболее полно исследованы цилиндрические и конические прецессии. В работе И.А.Пасынковой и Хеждждо [85] описан еще один вид установившегося движения — гиперболоидальная прецессия.

В большинстве работ о движении твердого тела на упругих опорах рассматриваются малые, в основном, поперечные колебания. Исследование конечных отклонений требует преодоления больших трудностей. Твердое тело с неподвижной точкой имеет три степени свободы и его ориентацию можно задавать с помощью трех углов Эйлера (или самолетных, корабельных углов). Однако это описание обладает недостатком, связанным с неоднозначностью определения углов [4, 51]. Этот недостаток можно преодолеть, введя в рассмотрение кватернионы, предложенные У.Гамильтоном в 1843 году.

В работах П.А.Жилина [30, 139, 141, 142, 143] для описания поворотов твердого тела используется вектор конечного поворота — неподвижный вектор тензора поворота. Систематически разработаны и изложены основные свойства тензора поворота, необходимые для приложения к задаче динамики твердого тела. Получена формула, которая связывает вектор угловой скорости с производной от вектора поворота. Этот подход был использован успешно в работах П.А.Жилина и его учеников [29, 31, 33,-39, 42, 43, 58-63, 122, 123, 127,-129, 137, 140, 144-147].

В основной части настоящей работы в качестве упругой опоры рассматривается тонкий прямолинейный стержень.

Основы теории тонких упругих стержней были заложены JI. Эйлером. Будучи старейшей теорией в механике сплошных сред, теория тонких стержней остается одной из самых полезных и в теоретическом, и в практическом отношениях. При построении теории стержней Г.Кирхгоф [52, 125] высказал ряд гипотез, которые стали классическими и нашли также применение в теории пластин и оболочек. В дальнейшем теория Кирхгофа подверглась многочисленным усовершенствованиям и уточнениям (теория тонкостенных стержней [15], теория естественно закрученных стержней [24, 25], теории с учетом сдвига, теория стержня как оснащенной упругой линии [27], теория анизотропных стержней [112-114] и др.). Сошлемся на обзоры литературы по теории стержней [20, 111]. Линейная теория стержней составляет отдельный предмет, который изучается во всех технических вузах и обрел, можно сказать, каноническую форму [52, 72, 92, 110, 115, 125].

Не столь благополучно обстоит дело с нелинейной теорией стержней. Многие аспекты обсуждаемой теории еще не исследованы. Особенно это относится к пространственным формам движения и равновесия упругих стержней. Задача равновесия стержня под действием сил и моментов, приложенных к его концам, родственна задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой, ибо обе задачи описываются одними и теми же уравнениями. Первая попытка использования этой аналогии Кирхгофа была предпринята В.Гессом [120, 121], а дальнейшие результаты были получены в работах Е.П.Попова [87] и А.А.Илюхина [44].

В работе [40] дается последовательное изложение нелинейной теории тонких упругих стержней. Приведена компактная форма основных уравнений, удобных для математического исследования, и показываются некоторые примеры их применения. Особенностью излагаемой теории стержней является систематическое использование тензора поворота, позволяющего наиболее естественным образом описать повороты поперечных сечений стержня. Кроме того, тензор поворота оказывается удобным при рассмотрении задач совместной динамики стержня и сопряженного с ним твердого тела.

Известно, что решения целого ряда задач динамики стержней приводят к парадоксальным или не вполне ясным результатам, сущность которых хотелось бы осознать полнее.

Интуитивно принимаемое всеми инженерами требование к решению технической задачи — его устойчивость по отношению к произвольным малым возмущениям. Для большинства классических задач это требование выполняется. Но в 1928 году Е.Л.Николаи установил [81], что равновесная конфигурация трансверсально изотропного консольного стержня, скрученного сколь угодно малым торцевым моментом неустойчива. Это явление получило название парадокса Николаи, ибо на практике такая неустойчивость не наблюдается. В дальнейшем наличие парадокса Николаи было теоретически подтверждено многими авторами. В.В.Болотин [11] и Г.Циглер [101] дают подробный анализ и обзор литературы по этой теме. Природа парадокса Николаи объясняется этими авторами неконсервативностью рассматриваемых моментных воздействий. Такое объяснение имеет под собой основание, ибо в этом случае возможна накачка энергии в систему.

Для исследования парадокса Е.Л.Николаи при действии следящего и мертвого моментов на прямолинейный консольный стержень, а также влияния трансверсальной анизотропии и сил сопротивления П.А.Жилин и А.Д.Сергеев [32] выполнили физический эксперимент по закручиванию стержня неконсервативным следящим моментом. Ясно, что силы сопротивления могут подавить неустойчивость. В работе [32] была сделана попытка уменьшить силы сопротивления. Тем не менее, эксперимент не подтвердил факта неустойчивости. Более того, было зафиксировано увеличивающееся с ростом момента его стабилизирующее воздействие на систему.

Ряд задач, посвященных исследованию парадокса Николаи в различных модельных постановках решен в работах П.А.Жилина и А.Д.Сергеева [31, 33] и в диссертации А.Д.Сергеева [93].

Ниже мы неоднократно будем возвращаться к обсуждению парадокса Николаи в рассматриваемых нами задачах.

Большое внимание в работе уделяется вопросам движения твердого тела на вращающемся стержне. Проблеме колебаний роторов посвящено несколько монографий и сборников [26, 49, 66, 68, 98, 106, 110, 132] и большое число публикаций.

При исследовании динамики высокооборотных упругих роторов наряду с частотами собственных колебаний невращающейся системы появляется необходимость учета не совпадающих с ними критических угловых скоростей. Одной из особенностей осесимметричных вращающихся систем является расщепление частот их собственных колебаний, которое проявляется только при вращении. При этом формы собственных колебаний становятся неортогональными, что создает дополнительные трудности при анализе. Для вращающихся оболочек вращения расщепление частот собственных колебаний исследовано в работах Дж.Падована [134, 135] и А.Л.Смирнова [94, 95, 136].

Исследованию влияния анизотропии упругих свойств вала и неуравновешенности ротора посвящены работы [11, 18, 47, 50, 57, 75, 86, 91, 104, 105, 110]. Эти эффекты играют существенную роль при исследовании динамической устойчивости [11]. Для закритических угловых скоростей вращения характерно явление самоцентрирования.

Учет влияния инерции вращающего стержня, несущего тела, представляет значительные трудности в связи с отмеченной выше неортогональностью форм собственных колебаний. Подробное исследование колебаний тела на инерционном вращающемся роторе методами нелинейной механики [2, 10] выполнено в работе М.Я.Кушуля [66]. В целом же исследованию динамики инерционных роторов посвящено сравнительно мало публикаций.

Важную роль при исследовании вращательного движения высокооборотных роторов играют силы сопротивления. Известно, что учет влияния диссипативных сил может коренным образом изменить условия устойчивости стационарного движения или положения равновесия системы: неустойчивые системы в результате влияния диссипативных сил могут превратиться в устойчивые и, наоборот, устойчивые системы под влиянием диссипативных сил могут стать неустойчивыми [11, 13, 81, 82, 84, 101, 117, 119, 148]. Особо отметим обзор [46].

Диссипативные силы могут оказывать стабилизирующее воздействие на гироскоп, положение равновесия которого неустойчиво [1]. Исследованию влияния моментов сопротивления на движение и устойчивость различных гироскопических систем и приборов посвящены, в частности, работы [64, 69].

Задача о свободном вращении твердого тела в линейной вязкой среде была рассмотрена Э.Дж.Раусом [89]. В работе Ф.Клейна и А.Зоммер-фельда [126] рассмотрена задача о вращательном движении осесимме-тричного тела в случае, когда момент вязкого трения пропорционален вектору угловой скорости. Момент линейного вязкого трения нешарообразного тела зависит не только от вектора угловой скорости, но и от положения тела в пространстве. Такая модель трения была рассмотрена в работах Р.Ли [130], Е.Леманиса [131], К.Магнуса [74]. В работах [131] и [74] сформулированная задача сведена к решению задачи Дарбу. Момент вязкого трения, где тензор вязкого трения соосен с тензором инерции тела, но не трансверсально изотропен, впервые был рассмотрен в работе В.Н.Кошлякова [54]. Исследование движения динамически симметричного твердого тела при наличии вязкого трения можно найти в работах [42, 65, 77, 118]. В частности, в работе Е.А.Ивановой [69] установлено, что момент вязкого трения, направленный вдоль оси вращения, оказывает дестабилизирующее действие.

Наряду с вязким сопротивлением в работе рассматривается также влияние внутреннего трения. Наиболее точное описание внутреннего трения может быть достигнуто с использованием упруго-вязко-пластических моделей [83, 88]. Нами будет использоваться более простая модель Фойгхта и ее модификация, предложенная Е.С.Сорокиным [96].

В 1924 году В.Л.Ньюкирк [133] экспериментально обнаружил неустойчивость, возникающую не только на критических частотах вращения вала. В работах А.Л.Кимбэла [124], И.Б.Баргера [6] и Е.Л.Николаи [80] такая неустойчивость была объяснена наличием внутреннего трения. Подробно вопрос о неустойчивости вращающегося вала под действием внутреннего трения обсуждается в монографии В.В.Болотина [11]. Исследованию устойчивости вращения под действием как внешнего, так и внутреннего трения посвящены работы [7, 41, 48, 79].

Краткое содержание диссертации по главам. Работа состоит из введения и четырех глав.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Выведено уравнение динамики для твердого тела с тензором инерции общего вида на нелинейно упругом основании под воздействием внешнего момента.

Проведена линеаризация уравнений движения вблизи скрученного положения равновесия и показана его устойчивость под действием полукасательного момента. Найдены границы области устойчивости для тела с трехосным тензором инерции для " мертвого" и " следящего" моментов. Найдены границы области устойчивости для симметричного тела, закрепленного наклонно. Численное решение показало, что в рассмотренных случаях области устойчивости, полученные при линеаризации, являются таковыми и при нелинейном подходе.

2. Приведено аналитическое и численное решение нелинейной задачи деформирования гибкого нерастяжимого стержня под действием сил и моментов, приложенных к его концам. Решена обратная задача об эластике Эйлера, а именно, найдены силы и моменты, приложенные к концу стержня, вызывающие его заданное перемещение и поворот.

Аналитическое решение получено как в линейном так и в квадратичном приближении по отношению к малым перемещениям и поворотам. Получено соответствующее выражение для потенциальной энергии стержня, содержащее квадратичные и кубические члены.

Разработан итерационный метод численного решения точной нелинейной системы деформирования стержня.

3. Задача о движении твердого осесимметричного тела на инерционном вращающемся стержне сведена к системе интегро-дифферен-циальных уравнений, в которых отдельно присутствуют слагаемые, отвечающие за инерцию стержня.

Задача решалась в двух постановках. При одной их них центр масс тела неподвижен, а при другой — свободно перемещается вместе с концом стержня. В первом случае задача сведена к одному интегро-диф-ференциальному уравнению, а во втором — к двум.

Разработан алгоритм численного решения уравнений задачи, проведены вычисления и исследовано влияние внешнего вязкого трения, действующего на тело. Рассмотрено влияние начальных условий и частоты вращения ротора на колебания тела.

4. Поставлена задача о вращении твердого осесимметричного тела, эксцентрично закрепленного на упругом стержне в нелинейной постановке. Смещения точек оси стержня и повороты его сечений, а также перемещения и повороты прикрепленного к нему тела являются конечными.

Построена система уравнений, описывающая движение тела в общем случае при конечных углах наклона. Исследованы положения относительного равновесия системы при ее вращении с постоянной угловой скоростью. При угловой скорости, большей критической, этих положений становится три.

При отсутствии сопротивлений исследована устойчивость этих положений равновесия. Оказывается, что одно из трех положений равновесия неустойчиво. Для вытянутого тела получаются две критических угловых скорости и после второй критической скорости число равновесных положений увеличивается еще на два, одно из которых неустойчиво.

Изучено влияние трения на устойчивость вращения твердого тела. Показано, что вязкое внешнее трение, дающее момент сил трения, параллельный оси стержня, всегда снижает устойчивость системы.

Разработан алгоритм численного исследования движения твердого тела и устойчивости его положений равновесия.

Рассмотрены примеры, иллюстрирующие влияние параметров задачи на устойчивость положений равновесия, таких, как форма тела, угловая скорость вращения, коэффициенты внешнего и внутреннего трения. Исследовано влияние углового ускорения при прохождении через критические угловые скорости.

1. Агафонов С.А. Об устойчивости корректируемого гирокомпаса // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №2. С.74-78.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкии С.Э. Теория колебаний. М. Физматгиз, 1959.

3. Аникеев Г.И., Сильвестров Э.Е. Нелинейные колебания ротора с учетом гироскопического эффекта диска // Машиноведение. 1971. №1. С. 3-10.

4. Аппель П. Теоретическая механика. Т.2. М., Физматгиз, 1960. 487с.

5. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М., Наука, 1977. 328с.

6. Баргер И.Б. Самовозбуждение гибкого вала // Труды ЛПИ им. Калинина. 1947. №3. С. 41-61.

7. Беленькая JI.X., Юдович В.И. Устойчивость вязкоупругого стержня под действием периодической нагрузки. // И ж РАН. МТТ. 1978. №6. С. 146-152.

8. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М., Наука, 1965. 416с.

9. Белецкий В.В. Хентов A.A. Вращательное движение намагниченного спутника. М., Наука, 1985. 287с.

10. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М. 1974. 503с.

11. Болотин В.В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости. М.: ГИФМЛ, 1958. 339с.

12. Быков В.Г. Асимптотическое исследование медленного прохождения через резонанс нелинейного вибратора//Вестник ЛГУ, Сер. 1. 1986, вып. 4. С.39-42.

13. Валеев К.Г. Об опасности комбинационных резонансов // IIММ. 1963. Т.27. вып.6. С.1134-1142.

14. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М., Мир. 1980. 292с.

15. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни, М. Физматгиз, 1959.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1988. 548с.

17. Голоскоков Д.П., Жилин П.А. Общая нелинейная теория упругих стержней с приложением к описанию эффекта Пойнтинга// Депонировано ВИНИТИ № 1912-В87 Деп., 20с.

18. Голуб Е.Л., Павлинов М.И. Динамика несимметричного жесткого ротора в опорах с вращающимися упругими элементами // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. № 1. С. 19-24.

19. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применение, т.1,2. М., Изд-во иностр. лит., 1952. 351с., 318с.

20. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М., 1973. 272с. Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. ВИНИТИ, т.5.

21. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. М., Наука, 1988. 232с.

22. Григорьян А.Т. История механики гироскопических систем. 1975. 126с.

23. Григорьян А.Т., Фрадлин Б.Н. История механики твердого тела. М., Наука, 1982. 296с.

24. Джанелидзе Г.Ю. Соотношения Кирхгофа для естественно скрученных стержней. // Тр. Ленингр. Политехи, Ин-та, 1939, №3, С.37-45.

25. Джанелидзе Г.Ю'., Лурье А.И. Задача Сен-Венана для естественно скрученных стержней. // Докл. АН СССР, 1939, 24, № 1, С.23-26.

26. Диментберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. М. Изд-во АН СССР. 1959. 248с.

27. Елисеев В.В. Механика упругих стержней. С.-Пб., Изд. СПбГТУ. 1994. 84с.

28. Жилин П.А. Основные уравнения неклаесической теории оболочек // Динамика и прочность машин. Труды ЛПИ, N 386, 1982, с.29-46.

29. Жилин П.А., Го. юскоко» Д.П. Приложение тензорного исчисления. Л.: Изд. ЛИВТ. 1988. 62с.

30. Жилин П.А. Тензор поворота в описании кинематики твердого тела // Труды СПбГТУ. 1992. №443. с. 100-121.

31. Жилин П.А., Сергеев АД. Кручение упругого консольного стержня моментом, приложенным на свободном конце. С.-Пб.: Изд. СПбГТУ. 1993. 32с.

32. Жилин П.А., Сергеев АД. Экспериментальное исследование устойчивости консольного стержня при кручении // Механика и процессы управления. Труды СПбГТУ. 1993. №446. С.174-175.

33. Жилин П.А.,Сергеев А Д. Равновесие и устойчивость тонкого стержня, нагруженного консервативным моментом.// Труды СПбГТУ. 1994. № 448. с.47-56.

34. Жилин П.А., Товстик Т.П. Вращение твердого тела на инерционном стержне // Тезисы докладов Российской научно-техн. конференции "Инновационные наукоемкие технологии для России". С.-Пб., СПбГТУ. 1995. Часть 5. С.160.

35. Жилин П.А. Спинорные движения и устойчивость равновесных конфигураций тонких упругих стержней // Механика и процессы управления. Труды СПб-ГТУ. 1995. № 458. С.56-73.

36. Жилин П.А., Товстик Т.П. Вращение твердого тела на инерционном стержне // Механика и процессы управления. Труды СПбГТУ, 1995, №458, с.73-83.

37. Жилин П.А., Сорокин С.А. Динамика многороторного гиростата на упругом основании // Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления", 1997, 90 c.Nl.

38. Жилин П.А., Сорокин С.А. Мультиполярный гиростат на нелинейно упругом основании // СПб. Препринт N 1И. НПМаш РАН, 1997, 90с.

39. Жилин П.А. Динамика и устойчивость положений равновесия твердого тела на упругом основании. XXIV Всесоюзная школа семинар "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", С.-Пб, 1997.,90-123.

40. Жилин П.А., Сергеев А.Д., Товстик Т.П. Нелинейная теория стержней и ее приложения. XXIV Всесоюзная школа семинар "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" , С.-Пб, 1997.,313-338.

41. Журавлев В.Ф. Динамика ротора в неидеальных подшипниках // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №5. С.44-48.

42. Иванова Е.А. Свободное вращение осесимметричного твердого тела в сопротивляющейся среде. Труды СПбГТУ. Механика и процессы управления. 1997. №467. с.61-69.

43. Иванова Е.А. Задание тензора поворота через вектор кинетического момента // Доклад на XXV школе семинаре "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", С.-Пб, 1-7 июля, 1997.

44. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. "Наукова думка", 1979., 216с.

45. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М. Изд-во АН СССР, 1963.

46. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диесипативных систем // Итоги науки и техники. Общая механика. Т.6. М., 1983. С.3-128.

47. Кельзон A.C., Мулшна Н.й. Колебания самоцентрирующейся центрифуги // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. №3. 1961. С.98-101.

48. Кельзон A.C. Исследование динамики центрифугального прядильного веретена со сферическим демпфером // Изв. высш. уч. завед. № 2. Технология текстильной промышленности. 1962. С.137-145.

49. Кельзон A.C., Циманский Ю.П., Яковлев В.И. Динамика роторов в упругих опорах. М., Наука, 1982. 280с.

50. Кельзон A.C., Меллер A.C. Динамика статически неуравновешенного ротора в упругих опорах //Докл. АН СССР. 1991. т.318. №1. С.69-72.

51. Кирпичников С.Н., Новоселов B.C. Математические аспекты кинематики твердого тела. Л., Изд. ЛГУ, 1986. 250с.

52. Кирхгоф Г. Механика. М., АН СССР, 1962. 402с.

53. Климов Д.М., Харламов С.А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе. М., Наука, 1978. 208с.

54. Кошляков В.Н. О некоторых частных случаях интегрирования уравнений Эйлера, связанных с движением гироскопа в сопротивляющейся среде // ПММ. 1953. Т.17., №2, С.137-148.

55. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. М., Наука, 1985. 286с.

56. Кошляков В.Н. Об одном случае неустойчивости быстровращающегося тяжелого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №4. С.43-50.

57. Кривцов A.M. Стационарное движение несбалансированного ротора центрифуги в околорезонансных областях // Труды СПбГТУ. 1993. № 446. С.190-193.

58. Кривцов A.M. Околорезонансные колебания неуравновешенного волчка // Труды СПбГТУ. 1994. №448. С .65-75.

59. Кривцов A.M. К исследованию эволюционного поведения волчков на шаровом основании // Труды СПбГТУ. 1994. №448. С.172-175.

60. Кривцов A.M. Случай Лагранжа в динамике твердого тела // Труды СПбГТУ. 1995. №458. С.130-131.

61. Кривцов A.M. Стационарные движения несимметричного волчка ff Изв. РАН. МТТ. 1997. №3. С. 28-38.

62. Кривцов A.M., Наумова Т.В. Стационарные движения неуравновешенного волчка при наличии вязкого сопротивления. XXIV Всесоюзная школа семинар "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", С.-Пб, 1997.,185-196.

63. Кривцов A.M. Об использовании вектора кинетического момента и угловой скорости при описании вращательных движений твердого тела. XXIV Всесоюзная школа семинар "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", С.-Пб, 1997.,351-364.

64. Крылов А.Н., Крутков Ю.А. Общая теория гироскопов и некоторых технических их применений. М.-Л., 1932. 356с.

65. Кудин С.Ф., Мартыненко Ю.Г. Раскрутка неконтактного гироскопа в сопротивляющейся среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1985, №6 С.14-22.

66. Кушуль М.Я. Автоколебания роторов. Изд. АН СССР, М. 1963. 167с.

67. Лагалли М. Векторное исчисление. M.-JL, ОНТИ. 1936. 343с.

68. Лаппа М.И. Гибкие роторы судовых турбин. Л., Судостроение, 1969.

69. Лестев A.M. Нелинейные гироскопические системы. Л., 1983.

70. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.2. М., Наука, 1983. 640с.

71. Лурье А.И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961. 824с.

72. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935. 674с.

73. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., Гостехиздат, 1950. 471с.

74. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М. Мир, 1974. 526с.

75. Малаховский Е.Е., Позняк Э.Л. Об устойчивости равномерного вращения неуравновешенного гибкого ротора. // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 6.

76. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М., Наука, 1992. 336с.

77. Медведев A.B. Движение быстро закрученного гироскопа под действием постоянного момента в сопротивляющейся среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. Л- 2. С.21-24.

78. Меркин. Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. Наука. 1987. 304с.

79. Нейштадт А.И. Об эволюции вращения твердого тела под действием суммы постоянного и диссипативного возмущающего моментов // Изв. АН СССР. Механ. тв. тела. 1980. №6. с. 30-36.

80. Николаи Е.Л. К теории гибкого вала // Труды Ленингр. Инд. ин-та. № 6 1937. раздел физ.-мат. наук, Вып.З. С.3-15.

81. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.:Гостехиздат, 1955. 584с.

82. Николаи Е.Л. Гироскоп в кардановом подвесе. М., 1964. 136с.

83. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М., Наука. 1976. 348с.

84. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М. Наука, 1987. 352с.

85. Пасынкова И.А., Хеджджо М. О гиперболоидальной прецессии ИСЗ с цилиндрическим защитным экраном// Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер.1, вып. 2 (N 8), 1996, с.84-89.

86. Позняк Э.Л. Нелинейные колебания неуравновешенных вертикальных роторов на подшипниках качения. М.: АН СССР, Машиноведение. №1. 1971. С.23-31.

87. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики стержней. М., ОГИЗ, 1948, 178с.

88. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., Наука, 1977. 384с.

89. Раус Э.Дж. Динамика систем твердых тел. М., Наука, 1983. Т. 1,2. 464с., 544с.

90. Румянцев В.В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки // ПММ. 1957. т.21. Вып.З. С.339-346.

91. Самсонов В.А. Об устойчивости вращения несбалансированного ротора на гибком валу // Изв. РАН. МТТ. 1979. № 1. С. 33-35.

92. Светлицкий В.А. Нелинейные уравнения движения тонких стержней. // Изв. вузов. Машиностроение, 1959, №6, С.17-21.

93. Сергеев А.Д. Устойчивость и колебания тонкого скрученного стержня в вязкой среде. Автореферат канд. Дисс. С.-Петербург, 1995.

94. Смирнов А.Л. Интегралы уравнений колебаний вращающихся оболочек вращения // Вестник ЛГУ. Сер. мат.мех., астрон. 1981. Вып. 3. С.114-117.

95. Смирнов А.Л., Товстик П.Е. Качественное исследование динамики вращающихся оболочек вращения // Современные проблемы механики и авиации. М., 1982. С.280-290.

96. Сорокин E.C. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. Госстройиздат. 1960.

97. Товстик П.Е., Товстик Т.П. К обратной задаче об эластике Эйлера. // С.-Пб, Вестник СПбГУ. Сер. мат.мех., астрон. 1999. Вып. 3. С. 92-96.

98. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. М.-Л.: Энергия, 1971. 387с.

99. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М. Мир, 1975. 592с.

100. Харламов А.П. Лекции по динамике твердого тела. Новосибирск: Изд. Ново-сиб. ун-та. 1965. 221с.

101. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1975. 192с.

102. Черноусько Ф.Л. О движении спутника относительно центра масс под действием гравитационных моментов // Прикл. мат. и механ. 1963. т.27, вып.3. с.474-483.

103. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М. Наука, 1989. 176с.

104. Шаплыко В.И., Смирнов Б.И., Павлинов М.И., Голуб Е.Л. Динамика несимметричного жесткого ротора, подвешенного на упругой опоре. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1992. № 5. С.27-32.

105. Шнеерсон Ю.Б. Динамическая устойчивость анизотропного гибкого вала в анизотропных упругодемпферных опорах. // Вестник ЛГУ, сер.1, вып.2 (№ 8), 1991.

106. Вибрации в технике. Под редакцией Диментберга Ф.М., Колесникова К.С. М., Машиностроение, 1980. т.З. 544с.

107. Машиноведение. М., АН СССР, 1971., №1.

108. Развитие гироскопических и инерциальных систем. М. Наука, 1973.

109. Развитие гидродинамической теории смазки подшипников быстроходных машин. М. Изд-во АН СССР, 1962.

110. Расчеты на прочность в машиностроении, т.З (под ред. С.Д.Пономарева). М., МАШГИЗ, 1959. 1118с.

111. Antman S.S. The theory of rods. // Hand. Phys., 6, a/2, P.641-703.

112. Bors C.I. Saint-Venant problem for orthotropic naturally slightly curved beams. // An. sti. Univ. Iasi., 1971, 17, №2, P.473-481.

113. Bors C.I. Torsion and bending of orthotropic naturally slightly curved bars. // Arch, mech. stosow., 1971, 23, №4, P.447 458.

114. Bors C.I. The bending of naturally twisted and anisotropic beams by a transverse load. // An. Sti. Univ. Iasi., Sec. I.A., 1974,20, №2, P.401-410.

115. Clebsch A. Theorie der Elasticität fester Körper. 1862. 427s.

116. Goldstein H. Classical Mechanics, Addision-Wesley press, Cambridge. 1950.

117. Grammel R. Der selbsterregte un slmmetrsche Kreisel// Ibid. 22.1954. P.73-97.

118. Gray A. A Treatise on Hyrostatics and Rotational Moution. Theory and Applications. New York, Dorev, 1959. 530p.

119. Herrmann G., Jond I.C. On the destabilising effect of damping in nonconservative elastic systems // J. Appl. Mech. Trans. ASME. Ser.E. 1965. B. V.87. №3. P.592-597.

120. Hess W. Uber die Biegung und Drillung eines unendlich dünnen elastischen Stabes, dessen eines Ende von einem Kraftepaar angegriffen wird // Math. Ann., 1884, 23, S.181-195.

121. Ivanova E.A. Influence Viscous Friction on Rotation of Rigid Body. GAMM, Annual Meeting, Regensburg, March 24-27, 1997.

122. Ivanova E.A. Free rotation of rigid body in the resisting medium. XXIV Всесоюзная школа семинар "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем'5, С.-Пб, 1997.,394-406

123. Kimball A.L. Internal friction theory of shaft whipping // Gen. Electric Review, wol27 (1924) p.244.

124. Kirchoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes, // J. Math., 1859, 56, S. 254-277.

125. Klein F., Sommerfeld A. Vber die Theorie des Kreisels. Hl-3 Leipzig Berlin,1. B.G.Teubner, 1921-1923.

126. Krivtsov A.M., Zhilin P.A. Asymptotik Investigation of Stationary Motion Stability of Nonsymmetric Top // Int. conf. "Asymptotic methods in mechanics". S.-Pb. August 14-17,1994.

127. Krivtsov A.M. Nonlinear Stationary Oscillations of Nonsymmetric Rotor System // Proceedings of EUROMECH 2nd Europian Nonlinear Oscillation Conferens, Prague, 1996, p. 105-108.

128. Krivtsov A.M. Trajectory Coordinates in the Description of Symmetric Rigid Body Rotation in Linear Viscous Medium. GAMM, Annual Scientific Conference, Regensburg, 1997.

129. Lee R. The moution of a self-excited rigid body. Ph. D. Thesis, Department of Mathematics, Univ. of British Columbia, Vankouver. V. C., 1964.

130. Leimanis E. The General Problem of the moution of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point.// Springer tracts in natural philosofy. 1965. V.7, XVI Berlin -Heidelberg New York, Springer. 337p.

131. Loewy R.G., Piarulli V.J. Dynamics of rotating shafts. SVM-4, US Department of Defence, Wachingtonö 1969.

132. Newkirk B.L. Shaft whipping // Gen. Electric Review, vol.27. (1924) p.169.

133. Padovan J. Natural frequencies of rotating prestressed cylinders // Journal of Sounds and Vibrations. 1973. Vol. 31. №4. P.469-482.

134. Padovan J. Orthogonality principle for the vibrational modes of anisotropic composite domain problem // Trans. ASME Ser. E, J. Appl. Mech. 1974. №9. P.832-834.

135. Smirnov A.L. Free vibrations of the rotating shells of revolution // Trans. ASME Ser. E, J. Appl. Mech. Vol. 56. 1989. № 2. P.423-429.

136. Tovstik T.P. Rotation of the rigid body on the elastic rod. XXIV Всесоюзная школа семинар "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем",1. C.-Пб, 1997.,406-411.

137. Zhilin P.A. Mechanics of Deformable Directed Surfaces. Int. J. Solids Structures, 1976, vol. 12, pp.635-648.

138. Zhilin P.A. A new approach to the analysis of free rotations of rigid bodies. S.-Pb.: Inst, of Problems of Mech. Engeneering. Preprint № 102. 1992. 34p.

139. Zhilin P.A., Sergeev A.D. An Asymptotic Analysis of the stability of thin rod under twisting load // Int. conf. "Asymptotic methods in mechanics". S.-Pb. August 14-17, 1994.

140. Zhilin P.A. Rotations of Rigid Body with Small Angles of Nutation // ICIAM / GAMM 95, ZAMM, Issue 2: Applied Analysis, pp. 711-712.

141. Zhilin P.A. A New Approach to the Analysis of Euler-Poinsot Problem. // ZAMM Z.angew. Math. Mech. 75 (1995), SI, pp.133-134.

142. Zhilin P.A. A New Approach to the Analysis of Free Rotations of Rigid Bodies. // ZAMM Z. angew. Math. Mech. 76 (1996), 4. pp.187-204.

143. Zhilin P.A. Dynamic Forms of Equilibrium Bar Compressed by a Dead Force // Proe. of 1997 1st Int. Conf. Control of Oscillations and Chaos, Vol.3, pp.399-402.

144. Zhilin P.A. The nonlinear Motions and Stability of Equilibrium States of Rigid Body on Elastic Foundation. GAMM, Annual Scientific Conference, Regensburg, 1997.

145. Zhilin P.A., Sergeev A.D., Tovstik T.P. The Nonlinear Theory of Rods and Stability of Equilibrium Configurations of Rods under Conservative and Nonconservative Loads. GAMM, Annual Scientific Conference, Regensburg, 1997.

146. Zhilin P.A., Sorokin S.A. The Motion of Gyrostat on the Nonlinear Elastic Foundation. GAMM, Annual Scientific Conference, Regensburg, 1997.

147. Ziegler H. Die Stabilitäts kriterien der Elastomechanik // Ing. Arch. 1952. V.20, № 1, P49-56.