Об устойчивости стационарных и квазистационарных движений неавтономных механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

.. .. На правах рукописи

Демина Марина Валерьевна

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ И КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ '

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 1998

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор A.C. Андреев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических нау:

профессор A.B. Карапетян; доктор физико-математических нау; профессор П.С. Красильников

Ведущая организация - Казанский государственный

технический университет

Защита диссертации состоится " 16 " октября 1998 года в _ часов на заседании диссертационного совета по механике N 1 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан "

1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических

Д.В. Трещев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из основных проблем теории устойчивости движения является задача об устойчивости установившихся движений механических систем. Ее исследование было начато в работах А.М.Ляпунова, Ж.-Л.Лагранжа, Г.Лежен-Дирихле, Е.Рауса, У.Томсона и П.Тейта.

А.М.Ляпуновым доказаны теоремы, позволяющие решить задачу об устойчивости стационарных движений на основе функции Рауса. Предложенное Н.Г.Четаевым построение функции Ляпунова в виде связки известных интегралов и другие его результаты явились следующим этапом развития теории устойчивости и привлекли внимание многих ученых к этой области науки.

Задаче устойчивости установившихся движений (положений равновесия и стационарных движений) механических систем посвятили свои труды В.В.Румянцев, М.Ш.Аминов, П.А.Кузьмин, Л.Саль-вадори, К.Ризито, В.Н.Рубановский, А.В.Карапетян, Г.К.Пожарицкий, А.Я.Савченко и многие другие ученые.

Эта задача является объектом многих исследований и в настоящее время. Так, в последние годы ведется интенсивное исследование задачи о стабилизации установившихся движений механических систем с псевдоциклическими координатами.

Вместе с тем задача об устойчивости стационарных движений механических систем с нестационарными связями остается до сих пор малоисследованной.

Цель работы. Разработка новых методов исследования устойчивости, асимптотической устойчивости стационарных, "обобщенных" стационарных и квазистационарных движений механических систем с нестационарными голономными связями.

Применение получаемых методов к исследованию устойчивости стационарных, "обобщенных" стационарных и квазистационарных движений механических систем с постоянными и переменными массами.

Научная новизна. Получены новые методы исследования устойчивости "обобщенного" стационарного и квазистационарного движений. Определены достаточные условия устойчивости стационарных и "обобщенных" стационарных движений механических систем с переменными массами. На базе полученных методов решены различные прикладные задачи.

Положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:

1. Методы исследования предельного поведения движений, близких к устойчивым стационарным;

2. Методы исследования устойчивости "обобщенного" стационарного и квазистационарного движений неавтономной механической системы;

3. Методы исследования устойчивости стационарного движения и "обобщенного" стационарного движений механической системы с переменными массами;

4. Решения различных прикладных задач: задачи о стабилизации стационарных вращательных движений спутника на круговой орбите при помощи моментов реактивных сил; об устойчивом функционировании гирокомпаса, установленного на подвижном основании, совершающем произвольные пространственные движения; об устойчивости стационарных движений тяжелого гироскопа в кардановом подвесе, установленного на платформе, совершающей вертикальные колебания.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе могут использованы для определения условий устойчивости, асимптотической устойчивости и стабилизации стационарных, "обобщенных" стационарных и квазистационарных движений механических систем с постоянными и переменными массами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1995,1996,1997 года); VII Чета-евской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и упра-

вление движением" (Казань, 1997 год); IV Международной конференции "Простанство, время, тяготение" (Санкт-Петербург, 1996 год); XVIII,XIX конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 1996, 1997 года); III-VI ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета (1994,1995, 1996, 1997, 1998 гг.); научном семинаре по аналитической механике и устойчивости в МГУ под руководством акад. РАН В.В. Румянцева и проф. A.B. Карапетяна (март 1998 г.); научном семинаре под руководством член.-кор. РАН В.В.Белецкого, проф. Ю.Ф.Голубева, доц. К.Е.Якимовой (март 1998 г.).

Личный вклад автора. ■

Теоретическая часть диссертации разработана совместно с А.С.Андреевым. Все результаты диссертации (кроме теоремы 1.1), исследование приложений, анализ результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 11 работах [1-11].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 107 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем - 97 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении дается краткий обзор имеющихся работ по данной теме, краткое изложение полученных в диссертации результатов.

В первой главе диссертации излагается постановка задачи и методы ее исследования.

В первом параграфе для неавтономной системы дифференциальных уравнений определяется предельное поведение ее решений в предположении, что для системы известны несколько первых интегралов и производная от некоторой скалярной функции в силу системы является неотрицательной.

Во втором параграфе дается определение "обобщенного" ста-

ционарного и "обобщенного" квазистационарного движений. Рассматривается механическая система с нестационарными голономными связями, описываемая п обобщенными координатами <jii ?2>• • •, 9п, находящаяся под действием потенциальных сил с потенциальной энергией П = n(t,q) и непотенциальных сил Q = Q(t,q,q). Пусть кинетическая Т и потенциальная энергии системы не зависят явно от последних (п — ш) координат §гп+ъ9т+2,• • • -/in (m < п). Таким образом, первые ш координат есть позиционные, остальные - циклические.

Кинетическую энергию системы можно представить в следующей форме

Т = q)TA(t,q)q + (z)TBT(t, q)q + \{z)TC{t, q)z-

-qTg(t,q)-zTf(t,q) + n(t,q).

где A(t,q) - есть положительно-определенная матрица размерности m х m, C(t. q) - есть положительно-определенная матрица размерности (n — m) x (тг — m), B(t,q) - матрица размерности m x (n — m), g{t, q) и f(t, q) есть матрицы-столбцы размерностей m x 1 и (тг — m) x 1 соответственно.

Перейдем к переменным Рауса q,q, z и р, (р = (рт+ъ • • •,Рп)Т) согласно замене z на р по формуле

P = ^ = BT(t,q)q + C(t,q)i-f(t,q). Определим функцию Рауса Я по формуле

H(t,g,g,P)=(L-(|jj z)

= R2 + RI + ДО-¿ = C-1(p + /-ST?)

Допустим, что обобщенные силы по циклическим координатам Q2 = 0. Тогда система допускает (n—т) циклических интегралов р = const или pm+i — сга+1,... ,р„ = с„ и уравнения движения могут быть записаны в виде

^ (ж) - = Ж + G 9 + g ^(с + /} ~'

р = с = const

др

где д,с) = —(¡, с) - есть кососимметричная матрица. Допустим, что для некоторого значения с = Со при ? = д = 0 имеет место соотношение <97?0(г,?,с)

дд

с = с0,5 — О

= 0. (1)

с= с0,д = 0

дГ

Тогда система имеет "обобщенное" стационарное движение, в котором позиционные скорости и координаты = 0, </(£) = 0, а циклические скорости и координаты изменяются по закону

¿ = 20(£)=С-,(<,О)(с0 + /М))

2о(0 = 20(О) + / ¿0(г)<*т = 20(0) + / С-1(т,0)(со + /(г,0))<£т. (2) о о

В отличие от определения стационарных движений механических систем со стационарными связями в "обобщенном" стационарном движении циклические скорости согласно (2) в общем случае являются не постоянными, а функциями времени, и, соответственно, циклические координаты не являются линейными функциями времени. Поэтому задача об исследовании устойчивости "обобщенного" стационарного движения представляется более сложной и, по-видимому, не сводится к исследованию только поведения функции Л^,д,с) в окрестности точки д = 0 и с — со, как в случае системы со стационарными связями

В случае, когда ^ 0 обобщенные координаты дк+1,- • ■ ,Чп являются квазициклическими. Уравнения движения такой системы имеют следующий вид

¿ГЯ-^-'-Ё-сГМ+с-^&вс-'ь+п-,)®

ор

Допустим, что

^ = 0, (ЭЧС^В^Ч^ВС-Нр+П-д) = О, О1 = 0 при д = д = О,

тогда из уравнений (3) получаем, что система имеет "обобщенное" квазистационарное движение, аналогичное (2).

В третьем параграфе рассматривается механическая система, имеющая при действии сил, зависящих от времени, стационарные движения. Определяется предельное поведение ее движений, близких к устойчивым стационарным. Доказываются теоремы, которые представляют собой развитие соответствующих теорем В.В.Румянцева и К.Ризито.

Во второй главе исследуется задача об устойчивости "обобщенного" стационарного и квазистационарного движений.

Допустим, что голономные связи, наложенные на систему, и действующие силы таковы, что

+ д1^ 9,4) - /(*, д) - д(?,?)) =

= + д (4)

где И^, д, с) есть некоторая скалярная функция, ЗШ/дд = 0 при д = О и некотором с = со,

зг03(<,г,9)<о, 03(<,д,о) = о.

Тогда механическая система имеет "обобщенное" стационарное движение

= 0, 5(0 = 0, г = ¿0(г), 2 = (5)

Доказаны следующие теоремы об его устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости.

ТЕОРЕМА 1. Предположим, что: 1) наложенные на систему реономные голономные связи и действующие силы таковы, что выполнены соотношения (4) и при некотором

значении с = со тождества (1);

2) функция W(t. /], с) (W(t, 0, сд) = 0) является определенно-положительной по q при с = со и такова, что для всех i > 0 и достаточно малых q для значения с = со удовлетворяет неравенствам

5W| ^ , dW „

—- < / - const, -;г— < 0; dq 1 ~ ' dt - '

3) силы <53 (t> <?> я) таковы, что

Тогда "обобщенное"' стационарное движение g(i) = 0, g(i) = 0, i = ¿o(t), г = zo(i), где изменения ¿o(i) и 2rg(i) определяются соотношениями (2), равномерно устойчиво относительно движений, для которых циклические постоянные есть с = Cq. ТЕОРЕМА 2. Предположим, что:

1) наложенные на систему реономные голономные связи и действующие силы таковы, что выполнены соотношения (4) и при некотором значении с = cq тождества (1);

2) функция W(t,q,c) (W(i,0, cq) = 0) является определенно-положительной по q при с = cq и такова, что

fti([|i||)<W(i,g,c)<fi2(||g|| + ||c-co|[)

для достаточно малых q. для всех t > 0 и для значений с, мало отличающихся от со, удовлетворяет неравенству

8W{t,ihc)

dt

3) силы Qs(t,q,q) таковы, что

< 0:

+ <0.

Тогда "обобщенное" стационарное движение <?(£) = 0, д(£) = 0, г — ¿о(£), г = где изменения ¿о(2) и 20(0 определяются соот-

ношениями (2), равномерно устойчиво по с).

ТЕОРЕМА 3. Предположим, что:

1) наложенные на систему реономные голономные связи и действующие силы таковы, что выполнены соотношения (4) и при некотором значении с = со тождества (1);

2) W(t,co,0) = 0, W{tM) > Ai(ljîll);

3) для достаточно малых ||j|j и всех t £ R+ и с = со выполняются неравенства

К- < « = const, -т- < 0; Il dq II at

4) для любого малого е > 0 найдется S = 6(e) > 0, такое что ЦЗИ^/ЗдЦ > <5 для с = со и всех {g : ||g|| = е} и t £ R+;

5) силы Q3{t,q,q) таковы, что

-\f^^q + Q4t,q,q)f < -AÎ(IIÎII) < 0.

Тогда "обобщенное" стационарное движение равномерно асимптотически устойчиво относительно движений, вдоль которых циклические постоянные не возмущаются (условная асимптотическая устойчивость).

ТЕОРЕМА 4. Предположим, что:

1) наложенные на систему реономные голономные связи и действующие силы таковы, что выполнены соотношения (4) и при некотором значении с = сд тождества (1);

2) W(t, со, 0) = 0, W(t,CQ,q) есть знакопеременная функция в точке г = 0;

3) для достаточно малых ЦдЦ и всех f G и с = со выполняются неравенства

\\ÔW | cW п

|| —I < г = const, — <0;

4) для любого малого е > 0 найдется S = 5(e) > 0, такое что \\dWjdq\\ > S для с = со и всех {q : ||g|| = е} и t € R+;

5) силы Q3(t,q,q) таковы, что

-¡fd^^ç + Q\t,q,q)f<-h2(\\q\\)<0.

Тогда "обобщенное" стационарное движение неустойчиво.

В этом же параграфе рассматривается случай, когда действующие силы удовлетворяют следующим предположениям:

(б)

Qd(t,q,q) = -H{t, q)q, где соответственно pit, q, с) есть скалярный коэффициент, a Wa(q, с)

есть некоторая скалярная функция, при этом: dWo

а) Wo(0, с) = 0; -щ- = 0 при q = 0 и для всех с; величина dW^/dq ограничена, удовлетворяет условию Липшица по q\

б) P{t,q,c) £ С1 по (t,q) и для всех t G R+, q Е {q G Rn : j|g|| < q0, 9o > 0}; {c : ||c|| < ci, c\ > 0} выполнены соотношения

I dp(t, q, с)

0 <Po < p{t,q,c) < pi;

< Го = const.

dq

При этих предположениях получен следующий результат об устойчивости стационарных движений.

ТЕОРЕМА 5. Предположим, что:

1) наложенные на систему связи и действующие силы таковы, что выполнены соотношения (6) и при значениях с £ {с : ||с} < сх,сх > 0} тождества (1);

2) функция Wo{q,c) является определенно-положительной по q, а также Wo(0,c) = 0 для значений с, удовлетворяющих неравенству ||с|| < с\ = const > 0;

3) \\dWüJdq\\ > 6(e) > 0 если ||?|| = е > 0, ||с|| < сх;

4) выполнено матричное неравенство

—1 JS[tjl) + J ^»Г^Ы + > 7оЯ

с) дг р2^,я,с) дг ' для всех д) еЛ+хй" и {с : ||с|| < Сх}; q е {||д|| < до}, где 70 > 0, Е - единичная матрица.

Тогда подмножество стационарных движений со значениями {с: ||с|! < сх} равномерно асимптотически устойчиво по q и д относительно движений, вдоль которых значения циклических постоянных с€{с:||с||<с1}.

В конце первого параграфа рассмотрен пример об устойчивости "обобщенного" стационарного движения механической системы, представляющей собой два твердых стержня, вращающихся вокруг вертикальной оси.

Во втором параграфе результаты предыдущего применяются к задаче об устойчивости для механической системы с голономными нестационарными связями, кинетическая энергия которой не зависит явно от времени. Доказаны следующие теоремы об устойчивости стационарных движений.

ТЕОРЕМА 6. Предположим, что:

1) ^,с0,о) = о, и'(г,со,д)>М1Ы1);

2) для достаточно малых ||</|| и всех t 6 Я+ и с = Со выполняются неравенства

dW

dW

< I = const, -7— < 0; at

dq

3) для любого малого e > 0 найдется 6 = 6(e) > 0, такое что ||3W/c?5|| > S для с = со и всех {q : ||д|| = е} и t € Д4; dW/dq непрерывно по с и равномерно относительно дне при t £ R+ и малых ||д||;

4) диссипативные силы таковы, что (QTq < -70Й2(||д||) < 0, где 7о >0.

Тогда стационарное движение (5) равномерно устойчиво, равномерно асимптотически устойчиво относительно движений, вдоль которых циклические постоянные не возмущаются, т.е. для которых р = со- При этом движения, отвечающие возмущенному значению циклических постоянных р = со + 6С будут стремиться к стационарному движению, отвечающему возмущенному значению. ТЕОРЕМА 7. Предположим, что:

1) W(t,c, 0) = 0 для всех с, W(t,c,q) > для значений с, удовлетворяющих неравенству ||с|| < С\ = const > 0;

2) для достаточно малых ||д|| и всех t £ R+ выполняются неравенства

8W

dW

< I = const и -jjj- < 0;

dq

3) для любого малого £ > 0 найдется S = ¿(е) > 0, такое что ^dW/dq^ >

S для всех {q : ||g|| = e), ¿бй^и {с : ||c|| < cj; 4) диссипативные силы таковы, что {Qlfq < -70MMI) < 0.

Тогда каждое стационарное движение, отвечающее значению с £ {с : ||с|| < ci), равномерно асимптотически устойчиво по q и q. ТЕОРЕМА 8. Предположим, что:

1) функция Wo(q, с) является определенно-положительной по q, Wq{0, с) = О для значений с, удовлетворяющих неравенству )|с]| < с\ = const > 0;

2) \\dW0/dq\\ > 5(e) > 0 если Цд|| = е > 0, ||с|| < с1;

3) диссипативные силы таковы, что (Qx)Tq < q)q, где H(t,q) - симметричная, ограниченная, равномерно непрерывная по (i, q) матрица;

4) выполнено матричное неравенство

1 гЯМ + о J ,dPit^C)Si>,oE

р(г,9,с) 2р2{ь^,с) дг

для всех (¿,17) хй"и{с: ||с|| < С1}; д £ {||д|| < д0}, где 70 > 0, Е - единичная матрица.

Тогда каждое стационарное движение со значениями {с : ||с|| < сх} равномерно асимптотически устойчиво по д и д относительно движений, вдоль которых значения циклических постоянных с £ {с :

И < <*}•

В конце второго параграфа рассмотрены два примера: в первом исследуется задача об условиях устойчивого функционирования гирокомпаса, установленного на подвижном основании, совершающем произвольные движения в пространстве. Определяются условия, при которых ось гирокомпаса будет направлена строго на север, и стабилизирующие моменты, обеспечивающие асимптотическую устойчивость этого направления, отвечающего "обобщенному" стационарному движению системы. Во втором примере рассмотрена задача об устойчивости стационарного движения тяжелого гироскопа в кардановом подвесе, установленного на подвижной платформе, совершающей вертикальные колебания. Находятся стационарные движения системы и условия их асимптотической устойчивости.

В третьем параграфе исследуется задача об устойчивости квазистационарного движения механической системы со стационарными связями под действием сил, зависящих от времени. Предполагается, что действующие силы имеют специальное представление

^ + С?1 + С-W = -D{t,р, q)S-1 (q)+ F{t, q, q, )

где D(t, q) - симметричная матрица. Допустим, что выполнены условия

^=0, Q' + C-'BTQ2^ 0, Q2 = 0 при q = q = 0 dq

существования квазистационарного движения, аналогичного (2). Доказана следующая теорема. ТЕОРЕМА 9. Предположим, что :

1) для всех t £ R+ и g £ {q 6 Rn |(?j| < Sq > 0} выполнено соотношение

0 < d^E < D(t,p, q) < dxE,

т.е. матрица D(t,p,q) - положительно-определенная, ограниченная;

2) #o(0) = Я0(д) является определенно-положительной, ограничена, ||0П0/9д|| > 5 > 0 если ||?|| = е > 0;

3) F(t, q, q) такова, что

4) выполнено неравенство

fSD-iFâ+fSirWq + ^SqfïÇ-ÎSq) < -7о||<Г

для всех t £ R+ и q : {q £ Rn : ||g|| < ¿о > 0, 70 > 0. Тогда квазистационарное движение равномерно асимптотически устойчиво.

В третьей главе рассматривается задача существования и устой чивости стационарных движений механической системы с переменными массами и нестационарными голономными связями.

В первом параграфе проводится постановка задачи. В качестве уравнений движения берутся уравнения движения в форме Ла-гранжа

й°дТ д°Т т л д°П

-¿Т~7ГГ ~ "я" = Ф + Я ~ -5-, <1Ь од ад дд

где дг = (^1,.... д„) - обобщенные независимые координаты; Т - кинетическая энергия системы, имеющая представление

1 м 1

Т = - £ = в), д)д + д), ¿,д)д + С{т{1, д), д),

I АГ Аз

Ш] = д) - массы точек системы; Л" = /7(т(4,д),£, д) - потенциальная энергия системы при закрепленных массах; <2 — <5 (А д, д) - равнодействующая гироскопических и диссипативных сил; Ф - обобщенные реактивные силы, обусловленные отделением и присоединением частиц

к материальным точкам, их движением внутри этих материальных <Р( ) 84 )

точек; и - производные при закрепленных массах.

Вводятся понятия циклической координаты и циклического интеграла, определяется функция Рауса

дТ

i2(m,i,g,g,p)= (Г - П - (i)T—

_J „ , .ч ~ R2+R1 + R0

it Ы) - ~df=+1^+ ■Q+ф (c -+

i = A3 -B2- A2q) выводятся уравнения движения в форме Рауса

dg J dq dq d°R

Р = С = const

Допустим, что при всех значениях масс точек системы, ограниченных и неисчезающих, удовлетворяющих 0 < < mj(t,q) < m^ (j = 1,2,..., iV), имеет место соотношение для с — со и g = q — О

d°R0(t, m,q,c)

dp

= A? 1 (p - B2 - Л2д)|р = c = const.

8q

+ Q\t,q,q)\ 0,g = 0- (?)

g = 0, с = c0

\

-д1(дА2А^(с-В2)+Б1)

= 0.

^ = 0, с — со

Тогда система имеет "обобщенное" стационарное движение, в котором позиционные скорости и координаты (¡(1) ~ 0, q(t) = 0, а циклические скорости и координаты определяются следующими выражениями

г = ¿о({) = - £а(«,0)), (8)

4 1

*о(0 - *о(0) +1¿^(т)йт = го(0) + / Аз1(т,О)(с0 - Б2(г,0))с?г. о о

Во втором параграфе выводятся различные достаточные условия устойчивости стационарного и "обобщенного" стационарного движения, в предположении, что действующие силы имеют следующее представление:

^ + <31-^дАгА?{с-Вг)+В1)= (9)

где \¥(1;,гп,д,с) есть некоторая скалярная функция, а д) прёд-

стаачяет собой совокупность некоторых сил.

ТЕОРЕМА 10. Предположим, что:

1) наложенные на систему реономные голономные связи и действующие силы таковы, что выполнены соотношения (9) и при некотором значении с = Сд тождества (7);

2) функция ш, д,с) является определенно-положительной по д при с = со и такова, что для всех 4 £ Л+ и малых д и значении с = Сд удовлетворяет неравенствам

""аГ^0, Ы Ырг = сош1;

3) силы Си Ф1 таковы, что для малых д и д выполняются соотношения:

-(п\Т'

дг

(ЯГЯ + № < 0.

Тогда "обобщенное" стационарное движение (8), т.е. движение

равномерно устойчиво относительно движений, отвечающих значению С = Со-

Теорема 11. Предположим, что:

1) наложенные на систему реономные голономные связи и действующие силы таковы, что выполнены соотношения (9) и при некотором значении с = со тождества (7);

2) функция т, д, с) является определенно-положительной по д при с = со и такова, что для всех t £ Я+ п малых ||д|| при значении с = со удовлетворяет неравенствам

3) для любого малого е > 0 найдется 5 = ¿(е) > 0 такое, что > 5 для с = со и всех {д : ||д|| = е} и I £

4) силы 0? и Ф1 таковы, что для малых д ид выполняются соотношения:

Тогда "обобщенное" стационарное движение равномерно асимптотически устойчиво относительно движений, вдоль которых р = Сд (условная асимптотическая устойчивость).

Исследование устойчивости "обобщенного" стационарного дви-

жения может быть проведено и при других предположениях относительно связей и действующих сил.

Допустим, что связи, наложенные на систему, и действующие силы таковы, что выполнено тождество (7), а также

¿(4)= 0, г(<)==0, ¿ = ¿0^), г =

+ + ттч + (ФУ« < -М1«Н) < о.

^ + д1 - ^(дА2А^(с - в2) + во =

= -р(<, т, д, с)-+ Я, ?),

где, соответственно, т, д, с) есть скалярный коэффициент, а 1^о(гте, д, с есть некоторая скалярная функция. Кроме того пусть выполнены следующие условия:

а) И^тоДс) = 0, д°1¥а/дд = 0 при д = 0 и для всех с; величина д°\Уо/дд ограничена, удовлетворяет условию Липшица по д;

б) р(£,тп,д,с) € С1 по и для всех < £ В+, д € {д £ Д" : ||д|| < д0, до > 0}; {с : ||с|| < сг, С1 > 0} выполнены соотношения

д°р(Ь,т,д,с)

О <Po<P{t,m,q,c) <pi;

< Го = const.

dg

Тогда имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 12. Предположим, что:

1) наложенные на систему связи и действующие силы таковы, что выполнены соотношения (10) и при значениях с £ {с : ||с|| < c^ci > 0} тождества (7);

2) функция Wo(m,g,c) является определенно-положительной по q при с = cq и такова, что для всех t € R+ и малых ||д|| при значении с £ {с : |]с|| < ci,ci > 0} удовлетворяет неравенствам

1 — ^ " < / = const;

0f

<0,

. . n mi Ыг)т*0' "дГ

3) для любого малого е > 0 найдется 5 — 5{е) >0 такое, что Цс^И^/ддЦ > 5 если {д : ||д|] = е} и * £

4) силы п Ф1 таковы, что для малых д и д выполняются соотношения:

1/лГав52. 1 (д°р (др\Т Л .

Тогда подмножество стационарных движений со значениями {с : ||с|| < сл, с\ > 0} равномерно асимптотически устойчиво по д и д относительно движений, вдоль которых значения циклических постоянных с€{с:||с||<с1,с1>0}.

В третьем параграфе исследована задача о стабилизации стационарных вращательных движений спутника на круговой орбите при помощи моментов реактивных сил.

Заключение. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Доказаны теоремы о предельном поведении решений неавтономной системы дифференциальных уравнений, для которой известны первые интегралы.

2. На основе указанных теорем определяется предельное поведение движений механической системы вблизи устойчивого стационарного движения. При этом допускается явная зависимость действующих сил от времени.

3. Получены новые методы исследования устойчивости "обобщенного" стационарного и квазистационарного движений.

4. Определены достаточные условия устойчивости стационарных и "обобщенных" стационарных движений механических систем с переменными массами.

5. Решена задача о стабилизации стационарных движений некоторых гироскопических систем и стационарных вращательных движений спутника, центр масс которого движется по круговой орбите.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Андреев A.C., Демина М.В. Об устойчивости стационарных движений неавтономных лагранжевых систем// Тез. докл. четвертой международной конференции "Пространство, время, тяготе' ние". - С.Петербург, 1996. С.1.

2. Андреев A.C., Демина М.В. Об устойчивости стационарных движений неавтономных лагранжевых систем. РАН, ПАНИ, НИ-ИРЭК. Серия "Проблемы исследований Вселенной". Вып.20 "Проблемы пространства, времени, тяготения". Сб.научн.ст.Часть 2, Политехника, С-Петербург, 1997, с.108-117.

3. Демина М.В. Об устойчивости стационарного и квазистационарного движений неавтономной механической системы// Тез.

докл. третьей ежегодной научно-практической конференции студентов и аспирантов УфМГУ. - Ульяновск: филиал МГУ в г.Ульяновске, 1994. С.7.

4. Демина М.В. Метод Рауса для механических систем с переменными массами// Тез. докл. четвертой ежегодной научно-практической конференции студентов и аспирантов УфМГУ. - Ульяновск: филиал МГУ в г.Ульяновске, 1995. С.10.

5. Демина М.В. Об устойчивости квазистационарного движения неавтономной механической системы// Тез. докл. Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем".

- Киев: Киевский унив., 1995. С.25.

6. Демина М.В. К задаче об устойчивости стационарных движений неавтономных лагранжевых систем// Тез. докл. Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем".

- Киев: Киевский унив., 1996. С.31.

7. Демина М.В. Об устойчивости стационарных движений механической системы с переменными массами// Ученые записки Ульяновского государственного университета" Фундаментальные проблемы математики к механики". - Ульяновск: Ульян, гос. унив., 1996, Вып.1, С. 88-93.

8. Демина М.В. Об устойчивости стационарных вращательных движений спутника переменного состава// Ученые записки Ульяновского государственного университета "Фундаментальные проблемы математики и механики". - Ульяновск: Ульян, гос. унив.,

1996, Вып. 2, С.19.

9. Демина М.В. К задаче об устойчивости квазистационарного движения// Тез. докл. Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев: Киевский унив.,

1997. С.50.

10. Демина М.В. Об устойчивости стационарных движений неавтономной механической системы// Тез. докл. седьмой четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" - Казань, 1997 - С.10.

11. Демина М.В. Об устойчивости стационарных движений неавтономных лагранжевых систем с нестационарными связями// Ученые записки Ульяновского государственного университета "Фундаментальные проблемы математики и механики". - Ульяновск: Ульян, гос. унив., 1997, Вып.2, С. 18-23.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант N 96-01-01067).

Подписано в печать 10.09.98. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ №82/

Отпечатано с оригинал-макета в подразделении оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432700, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42