Развитие прямого метода Ляпунова в исследовании устойчивости движений неавтономных механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

л/Г

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

АНДРЕЕВ Александр Сергеевич

УДК 531.36

РАЗВИТИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА В ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.02.01 — Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1989

Работа выполнена в Ташкентском ордена Дружбы народов политехническом институте им. А. Р. Беруни.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, Л. Ю. Анапольский;

доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Демин; доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Рубановский.

Ведущее научное учреждение — Институт математики и

механики Уральского научного центра Академии наук СССР.

Защита состоится «_»_ 1989 г. в 16.00 часов

на заседании специализированного совета Д 053.05.01 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, сектор «А», ауд. 16—10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механнко-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан «__»____ 1989 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

И. Л. АНТОНОВ

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Теория устойчивости движения, основанная в конце прошлого века великим русским ученым А.МЛяпуновым, интенсивно развивается и в настоящее время, привлекая большое внимание советских и зарубежных ученых, имея широкое применение в различных областях науки и техники.

Разработка теории устойчивости ведется по многим теоретическим и прикладным разделам: развитие первого и особенно второго метода Ляпунова, в том числе вектор-функции Ляпунова; устойчивость относительно части переменных; устойчивость систем с распределенными параметрами; устойчивость систем автоматического регулирования; устойчивость гамильтоновых систем; устойчивость и стабилизация механических систем и многие другие.

Второй или прямой метод Ляпунова является универсальным и эффективным методом исследования всей теории устойчивости, основным методом исследования устойчивости движения нелинейных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Существенное развитие этот метод получил в трудах Н.Г.Че-таева, Г.В.Каменкова, И.Г.Малкина, К.Г.Персидского, П.А..Кузькина, А.Барбашина, В.¿1.Зубова, Н.Н.Красовского, В.В.Румянцева, и.М.Магросова, Ж.Ла-Салля, Т.Йошизава и других ученых.

К числу основных и эффективных направлений прямого метода Ляпунова относятся: модификация и обобщение теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости путем ослабления условия 'знакоопределенности производной функции Ляпунова; исследование асимптотического поведения решений на основе функции Ляпунова, тлеющей знакопостоянную производную; аналйгичное исследование в разделе устойчивости относительно части переменных. Такое изучение в случае автономной и периодической по времени систем проводилось в работах Е.А.Барбашина и Н.Н.Красовского, Ж.Ла-Салля, В.В.Румянцева, К.Ризито, А.С.Озиранера, Н.Г.Булгакова и других ученых. Соответствующие результаты от- -носятся к числу наиболее употребительных теорем прямого метода.

В случае неавтономной системы в указанных направлениях исследования с использованием одной функции Ляпунова до последнего времени имелись лишь отдельные результата.

Более полная разработка методов исследования: свойства притяжения; асимптотической устойчивости, включая равномерную аисмптотическую и эквиасимптотическую, и неустойчивости нулевого решения; свойства частичного притяжения, асимптотической устойчивости, включая равномерную асимптотическую и эквиасимптотическую, и неустойчивости нулевого решения относительно части переменных, как в предположении ограниченности решений по неконтролируемым переменным, так и без такого предположения -для общей неавтономной системы на основе одной функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную, представляет собой актуальный аспект проблемы развития прямого метода Ляпунова и составляет содержание первого круга задач, рассмотренных в диссертации.

Одной из основных задач исследования устойчивости и стабилизации движений механических задач является задача об устойчивости системы под действием диссипативных сил. Ее исследование было начато в рамках исследования о влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия механической системы еще во второй'половине прошлого века У.Томсоном и Г.Тейтом, сформулировавших ряд теорем, строгое доказательство которых было дано замечательным'советским ученым Н.Г.Четаевым. Эта задача исследовалась затем в работах В.В.Румянцева, В.М.Мат-росова, Г.К.Пожарицкого, Д.Р.Меркина, Л.Сальвадори и других ученых. Результаты исследований имеют важное прикладное значение при решении задач стабилизации движений управляемых механических систем.

Однако исследования об устойчивости установившихся движений неавтономных механических систем являются далеко неполными, прежде всего, из-за недостатка соответствующих методов исследования.

Изучение достаточных условий полной и частичной асимптотической устойчивости, а также неустойчивости установившихся движений ряда различных неавтономных механических систем является актуальной проблемой исследований устойчивости и стабилизации движений механических систем и составляет содержание второго круга вопросов, рассмотренных в диссертации.

Целью работы является: разработка новых методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всем и части переменных для неавтономной систем! на основе

функции Ляпунова со знакопостоянной производной в сочетании с использованием асимптотических свойств этой системы, определяемых ее топологической динамикой; применение получаемых методов к исследованию полной и частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия и стационарного движения неавтономной механической система с решением ряда задач прикладного характера.

Научная новизна. В диссертации разработаны новые методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всём и части переменных, относящиеся к прямому методу Ляпунова. На основе этих методов выполнено исследование устойчивости установившихся движений широкого класса неавтономных механических систем.

Основные научные положения. Автором защищаются следующие научные положения:

- методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости для неавтономных систем дифференциальных уравнений, основанные на синтезе анализа топологической динамики этих систем и существования функции Ляпунова, кмекъ щей знакопостоянную производную;

- аналогичные метода исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных;

построение топологической динамики системы для выявления структуры частичного предельного множества ее решений, и доказанные на этой основе теоремы о притяжении и асимптотической устойчивости по части переменных, когда существует одна функция Ляпунова, имеющая знакопостоянную производную, и не предполагается ограниченность решений по неконтролируемым координатам;

- результаты исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия механической системы с одной степенью свобода; .

- результаты исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости го д действием сил вязкого трения нулевого положения равновесия голономной неавтономной механической систе-

мы, в том числе с.зависящими от времени связями, с переменными массами, на подвижном основании;

- результаты исследования аналогичных задач об асимптотической устойчивости относительно части координат и скоростей;

- исследование задач об устойчивости положения равновесия неголономной неавтономной механической системы и об устойчивости стационарного движения голономной неавтономной механической системы под действием диссипативных сил;

- решения ряда задач о стабилизации вращательного движения твердого тела.

Теоретическая и практическая ценность. Совокупность общих теорем, полученных в диссертации, может быть квалифицирована как новое направление прямого метода Ляпунова в исследовании свойства притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всем и части переменных невозмущенного движения системы, описываемой неавтономными дифференциальными уравнениями. Предложенные методы определения достаточных условий устойчивости установившихся движений неавтономных механических систем представляют собой теоретический и прикладной интерес в исследовании методов стабилизации движений управляемых механических систем.

Полученные результаты могут также найти применение при анализе свойств устойчивости широких классов систем разнообразной природы.

Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курса и в научной работе по методам теории устойчивости и их приложениям в исследовании устойчивости движений механических систем, при чтении курса и в научной работе по качественной теории дифференциальных систем.

Апробация работы. Отдельные разделы диссертации доложены на Международном семинаре по нелинейной динамике (Иркутск, 1987), на У1 Всесоюзном съезде по теоретической и пршсладной механике (Ташкент, 1986), на 1У и У Всесоюзных Четаевских конференциях по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Москва, 1982; Казань, 1987); на У Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (Казань, 1985), на Ш Всесоюзной школе по теории,устойчивости (Иркутск, 1985), на Всесоюзной научной конференции "Метод функций Ляпунова в современной математике" (Харьков,

(1986), на семинарах зарубежных центров по теории устойчивости и дифференциальных уравнений - университетов гг. Тренто, Милан и Перуджа ('Италия, 1984) во время научной стажировки по линии Минвуза СССР, университета г.Сегеда (ВНР, 1987) по приглашению этого университета, неоднократно на семинаре по аналитической механике и устойчивости движения при МГУ (рук. член.-корр. ЛН СССР В.В.Румянцев и проф. Ю.А.Архангельский), на ежегодных научно-теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава ТашПИ (Ташкент, 1980-1988).

Публикации. По результатам проведенных исследований опубликовано 17 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка, включающего 252 наименования литературных источников советских и зарубежных авторов. Общий объем - 337 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕКйАНИВ РАБОТУ

Во введении дается обзор литературы, относящейся к рассматриваемой теме исследований. Подробно проанализированы ре-зультр^ы исследований о влиянии диссилативных сил на устойчи- • вость движений механических систем, результаты исследований задачи об устойчивости нулевого решения неавтономной системы дифференциальных уравнений посредством построения предельных систем. Дается общая характеристика и краткое содержание диссертации, обсуждается: актуальность проблематики, научная новизна, основные научные положения, теоретическая и практическая ценность результатов.

В первой главе в разделе I излагаются предположения относительно рассматриваемой неавтономной системы дифференциальных уравнений, приводятся используемые определения и результаты из исследований топологической динамики такой системы, в дополнение к известным результатам определения асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы на основе аналогичного свойства для предельных к ней систем доказана теорема ою эквиасимптотической устойчивости.

Рассматривается система дифференциальных уравнений

х-ХЦ,х) (1)

права часть которой Х(^х) есть вектор-функция, определенная в области 6 = К4 = [0, +• 00 [ . Г - некоторая открытая область с нормойIIXII . Прежде всего, предполагается, что функция X (^х) удовлетворяет условиям существования решения системы (I) по Каратеодори: непрерывна по X ' при фиксированном 1 , измерима по ^ при фиксированном X ; для каждого ограниченного множества Х)СГ имеется локально интегрируемая функция ) такая что ||ХЦ,Х)Н< ^СО при (1:, X ) £ Я4*Б .

Предполагается также, что для каждого компактного множества К с: Г существует неубывающая функция Р^-^Р1", непрерывная в куле со значением ДОК1.0) = 0 , и такая, что для любой непрерывной функции ц = и : [а,Ь ] —- К выполнено неравенство ь

"1Х(Т, иСс^-ПП амк(|Ь-а|) (2)

о

При этом предположении каждое решение системы (I) Х= = X (,t,t0)ít0,), (Др, х0"). е: С определено на максимальном полуинтервале [10,]Ь[ , т.е. если , то Д4)-»-6Г при!-»*«?0 . Кроме того, является оценкой непрерывности каждого решения системы (I) х=х(Д) на каждом отрезке ["о,Ь ] , при котором х^") :[а,Ь ]-» К , а именно Их(Дг)- ХС^,1|1 « ]ЛК ( 1^-1,1) для всех

] Отсюда следует следующее свойство положительного предельного множества и) + (х(ДД0,ЭС0')) решения системы(1} X = X (ДДр, Х0) , определенного для всех . Если Х*<=: со1, (х(ДД0, Х0У)ПГ , т.е.

существует последовательность ^ — + оо , такая, что Х^Д ,Х0)-»-х* при , то имеется непрерывная

функция ц> (1) '.]сИ, £ С —*" Г со значением Ц>(0)=СС* такая, что <= ш^хС 1Д0>х0)) для всех и найдется подпоследовательность Ц.-.-ч-о0 , для которой

' при рав-

номерно по г -{у,,^]с

Значительная часть результатов получена при услбвии существования предельных к (I) систем. Для этого предполага-

ется, что правая часть системы (I) удовлетворяет следующему предположению: для каждого компакта К== Г выполнены соотношения

IlX[i,x)il-Дк(Д),иХ(t.x,)-X(t,x,)li «^(tyio^-xjl СЗ)

где функции 3\К(Д), (tî^Li таковы, что тлеется число N = M(.K) н А71-3 произвольно малого £,>0 найдется

5=б(К,б)>0 такое, что для любого t > 0 и

любого множества' Е <= С t,t + 1 Д мерой mes E«s S

выполнейы неравенства

t+t

J" ДДт^т , j^C^dr^N (4)

Е t

При этом предположении семейство сдвигов =

XCt^T.X), te К + ^ может быть помещено в некоторое метри-зуекое компактное функциональное пространство F , и значит, предкомпактно в немЧ Таким образом, для произвольной последовательности существуют подпоследователь-

ность t^j 00 и функция Я3—Р , такие, что последовательность функций X.j (t,x) , определяемых равенствами Xj(t,x)= = сходится в F к функции ^(t.x) . В силу

постр< шя F функция Я3 ( t, X) для каждого фиксированного Х<= Г есть почти всюду производная

d г"

?(t,x)^Um \ Xj (r,x)dT

U U j -fcOO О

функция Ф^х) есть предельная к X(_t,x) , система уравнений

x=?(t,x) (5)

называется предельной и исходной системе (1)4 В силу условий (3) и (4) одновременно решения исходной системы (1) и предельной систем!.(5) для каждого начального условия (t0) Xg) 6 является единственным.

эО ArtsteinZ. Topological dynamics af ordinary di'fjerentiol equations II 3- Dij-fer. Equat-1977-V. 2 3, №2. - F?216 -223

Построение пространства Р позволяет представить неавтономную систему (I) на Г * ¥ как динамическую систему. На основе предельных систем для'системы (I) определяется свойство, подобное свойству инвариантности положительного предельного множества решения автономной или периодической по времени системы. Положительное предельное множество ц) + (Х определенного для всех реше-

ния системы (I) Х=Х(1,10,Х0) таково, что и)+ (.Х^'ЦХд)) Л Г квазиинвариантно относительно семейства предель-

ных систем {£= Ф^.Х)] , т.е. для каждой точки Х*е. ОО^СсС^Ло^о^ПГ существует решение Х = Ч>(10

хотя бы одной из предельных систем Х= ф^.х) , удовлетворяющее начальному условию Ц>(.1о)=Х* , такое, что

ей) для всех t из максимального интервала

Зс*., р С определения ^ (1)

Такое свойство иО + (.хС1Д.0, ^о^ являлось основным в исследованиях зависимости устойчивоподобных свойств решений исходной и решений предельных систем, проведенных в работах Дж.Шелла, Ц.Артстейна, в совместных и отдельных работах И.Бонда, В.Моауро, Ф.Визентин, А.Д-Анна и других авторов. В дополнение к результатам этих работ в разделе I доказана теорема, которая при условиях (3) и (4) принимает следующий вид.

Теорема 1.2. Предположим, что:

1) нулевое решение системы (I) Х=0 равномерно устойчиво;

2) существует хотя бы одна предельная система Х = для которой Х = 0 является точкой притяжения всех ее решений из некоторой своей окрестности.

Тогда нулевое решение (I) асимптотические'устойчиво равномерно по Х0 (эквиасимлтотически устойчиво).

Во втором разделе первой главы исследуется задача о локализации положительного предельного множества решения системы

X = Х0) ( определенного для всех

посредством функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную.

ArtsteinZ. Topological dynamics oj- ordinary dij}erentlal equations ll'j.DifJer Eqndt-1977 -V23, №2, -P 216-223.

Пусть Vй V(t,X): G — R удовлетворяет локально условию Липшица по X равномерно относительно t, и имеет, таким образом, производную V + (.t,x).

Пусть'tj.-*-+ есть некоторая последовательность, te R и ceR - некоторые значения. Множество V^ (t,c) есть множество точек ief для каждой из которых существует последовательность Х^ X , такая, что Lim V(tfe + t,Xfc) = C

Пусть W=W(t,xV- G есть функция, удовлет-

воряющая для каждого компакта К^Г соотношениям

W(t,x)i Л (t^lW(t,x2)-W(t,x()l^n Ct) 11^-1,11 к t к

где для Дк№, е: L, выполнены соотношения типа не-

равенств (4). Семейство сдвигов

аналогично случаю X(t,x) , может быть помещено в некоторое метризуемое компактное функциональное пространство F^ .

Предельная к W(t,x) относительно последовательности' оо функция Q(t,x) , есть для каждого фиксирован-

ного I е Г почти всюду производная

cat,x)= It i1.™, l%v(ti+T,x)dr

Теорема 1.3. Предположим, что: •

1) правая часть системы (I) удовлетворяет условм (2);

2) существует функция V = V(t,x) , ограниченная снизу на каждом компакте К <= Г , имеющая производную в силу системы (I) V+(t,lb-W(t,l)iO;

Тогда, если решение системы (I) Х^Х^Д^Хд1) определено для всех t 5s- t0 , и ü3*(x(t,t0,x0Y)c£ 6Г , то существует такое значение C = C0eR , что множество uj + (x(t,t0,x0')')nr представляет ообой объединение непрерывных кривых X - '• }с£, Г , содержащихся в соответствующих множествах [v^1 (Д ,С} : С = П {Q (t, х) - 0 } .

Здесь Q(t,x) и V«^'(t,c) есть предельная функция и предельное множество, определяемые одной и той же последовательностью. tj —" ■+■ •

Приводятся еше две теоремы такого типа. Указывается, что полученные результаты дополняют результаты И.П.Ла-Салля, А.А.Шесгакова и Ю.Н.Мерецкова.

Для исследования при условиях (3) и (4) и условии (2) теоремы 1.3 вводятся следующие определения.

Предельная к системе (I) система i^VCt,!) и предельная к функции W="W"(t,x) функция Q»Q(t,x) образуют предельную пару (Т, Q") . если они являются предельными для одной и той же последовательности t^-»-*00 . Множество V"1 (t.O ' определяемое этой же последовательностью t^-o + oo , назовем соответствующим паре (Т, Q).

Пусть CP, Q} есть некоторая предельная пара и (t,c) есть соответствующее множество. Обозначим через М1" максимальное инвариантное относительно системы db=cP(t,x') подмножество множества (t.c) : С = canst) n{_QCt,x)=-0}, через - объединение М+ по всем пределышм парам.

Теорема 1.6. Пусть выполнены условия (3) и (4) относительно правой части системы (I) и условие (2) теоремы 1.3. Тогда для каждого определенного для всех t s t - решения системы (I) х-х множество его предельных точек

(t,t0,x0V)c:M*Uar

Теорема 1.7. В условиях теоремы 1.6 каждое ограниченное компактом КСГ решение (I) х = X(.t,t0,x0") неограниченно приближается к сечению множества М* при некотором значении с -с0"const.

Теорема 1.8. Если при условиях теоремы 1.6 также существует предельная пара > такая, что множество (Vj (t,c) : С = С0 = const) П {S20(t,x') = 0 } при каждом

С0> не содержит решений системы x = cí^(t,a')

то для качсдого ограниченного компактом КСГ решения

(I) x=X(t,t0,X„) также выполняется соотношение

llmV(t,x(t,t0, Х0У) =с-const «с,.

Теоремы I.6-I.8 можно отнести к теоремам "принципа инвариантности" для неавтономных систем. Результаты модифицируют и развивают результаты Т.К.Пенга, П.Руша, Дж.Вейкмана и др.

• В третьем разделе излагаются результаты об исследовании асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (X) в предположении, что X(t,o)=Q . А также полагается, что X(t,x) удовлетворяет условиям предяом-пактности (3) и (4). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.9. Предположим, что:

1) существует определенно-положительная функция V-^(г.Х^ЬСИХП) . имеющая производную в силу системы (I)

2) для любой предельной пары (<?, й) и соответствуице-го множества А/оо (1,с) множество непродолжаемых решений системы

х = Яэ^,Х), содержащихся в множестве {У^,1 (^с) 'С = = СОП51;»0] П (ф (.1,х)=о)> состоит из нулевого решения х=0.

Тогда решение (I) э;=0 асимптотически устойчиво.

Теорема 1.10. Предположил, что:

1) существует определенно-положительная функция У=\'(1:,Х)»

>ЬСПссЮ • имеющая производную в силу системы (I)

2) существует хотя бы одна предельная пара (Т^ф ) с соответствующим множеством У^'^.с) , такая, что множество

^оо,и,сУ.с = С0П51>а]П(?10 =0) не содержит

решений систем х = сР0^,х)

Тогда нулевое решение системы (I) асимптотически устой- ' чиво равномерно по Х0

Теорема 1.11. Предположим, что:

1. существует определенно-положительная, допускающая бесконечно малый высший предел функция Ь^ (11x11)« У^х) ^ЬДН^хП) , такая, что производная функции У в силу системы (I) У+(1,Х)«= (Д.х) « 0 ;

2) для любой предельной пары (^Я5, й) и соответствующего множества множество

{V« (Л,с) с~сопэ! >0} П (.1,х) = 0) не содержит решений системы Х=<Р(1,Х).

Тогда нулевое решение системы (I) равномерно асимптотически устойчиво.

Теорема 1.12. Предположим, что:

1) существует функция У=У(1,х)' , ограниченная в области У(1,х)>0 , принимающая при некотором ^^^О

в любой малой окрестности Х=0 положительные значения и имеющая производную в силу системы (I), такую, что У^С^Х^ »"УЛ/С^х) »0 в области У>0;

2) существует хотя би одна последовательность

для которой предельная пара и множество УоД^с)

таковы, что при любом постоянном значении С"=С0=СОП$1>0 множество (у^1 (I ,с) С - С03 П (1:, X) = 0]

не содержит решении системы

Тогда нулевое решение (I) неустойчиво.

Приводятся также другие теоремы о неустойчивости на основе понятий сектора, введенным К.Г.Персидским, и экспел-лера.

Доказанные теоремы представляют собой развитие для неавтономной системы теорем Е.'А.Барбалшна и Н.Н.Красовского, Н.Н.Красовского, Р.Киллера и других. Кроме того, в них содержатся также результаты, являющиеся непосредственным развитием теорем А.М.Ляпунова, Н.Г.Четаева, В.П.Марачкова, К.Г.Персидского, Н.Н.Красовского. А именно, при условии (2) требование строгой отрицательности производной функции Ляпунова может быть ослаблено, например, в случае теоремы А.М.Ляпунова следующим образом.

Теорема 1.18. Предположил, что:

1) правая часть системы (I) удовлетворяет условию (2);

2) существует функция У-Л?Ct.cc) ( такая, что 1гц

(11x115

3) каждая предельная к V/ функция О (1,х) такова, что множество почти для всех^^^] состоит из одной точки' х= 0.

Тогда нулевое решение системы (I) равномерно асимптотически устойчиво.

В четвертом разделе аналогично предыдущего разделу определяются достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости инвариантного множества на основе функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную.

В разделе 1.5 исследуется влияние возмущений на предельное поведение движений и асимптотическую устойчивость невозмущенного движения, а именно, рассматривается система уравнений

х=Хи,х) + Р^,х) (6)

где вектор-функция X (Д,х) К" удовлетворяет условиям (3)-(4), а вектор-функция : & ,■ удовлеторяя

условиям существования решений системы (6) и условию (2), представляет собой возмущение: исчезающее в среднем; интегрально исчезающее; постоянно действующее.

Находятся предположения, при которых- система (6) имеет свойства устойчивости, соответственные свойствам устойчивости системы (I), определяемым теоремами предыдущих разделов. Например, показан следующий результат.

Теорема 1.23. Предположим, что:

1) существует определенно;-положительная, допускающая бесконечно малый высший и бесконечно большой низший пределы

С' -функция V'. , такая, что ИЗУ/ЗхН^СЦИЛ/)

(О. = соп51) ' в области ;

2) производная функции V в силу системы (I)

С^.х) « -\л7(1,х) «0;

3) возмущение Р есть суьага. исчезающего в среднем и интегрально исчезающего, Р= , при этом

4) для кавдой предельной к пары множество 'М+ состоит из точки Х = 0.

Тогда точка Х=0 является точкой притяжения решений системы (6) в целом и эвентуально асимптотически устойчиво. •

Указывается, что полученные результаты являются развитием и обобщением целого ряда результатов Т.Мошизавы, Н.Онучика и дру: {.

В разделе 1.6 обсуждается эффективность предлагаемых методов исследования устойчивости движения, их модификация и развитие. Основным элементом предлагаемых методов является предщмпактность системы (I). Условия предкомпактности (3) и (4) ограничивают класс неавтономных систем, к которым приложили доказанные теоремы. Указываются способы расширения класса систем, в частности, включением систем с правой частью вида Х = и,ХЛ^хЬХС^«]) •

удовлетворяет условиям типа (3) и (4), (^и^)) при

произвольной непрерывной зависимости и". *-К<=Г.

Во второй главе излагаются результаты исследования на основе разработанных в первой главе методов задач об устойчивости движения различных неавтономных голономных механических систем.

В разделе 2.1 рассмотрена задача об асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия неавтономной ' механической системы с одной степенью свобода. Вначале рас-

смотрена система, движение которой описывается уравнением X+k(t,X,X)lilAX + f(t,X)=0, j(t,0)=0 (7)

при ограничивающем предположении, что первообразная F(ttx) к JCt.x} по X удовлетворяет неравенству 3F/ät«0. Определяются условия относительно коэффициента демпфирования k. = K(,t,X,X") , при которых положение равновесия (7)х=х=0, будучи изолированным, так что Lim ^¡.nf I j-(t,x)l2-б"(£)>0 для |х| = £.>0 , асимптотически устойчиво равномерно по (х0, Xg") по (t0,X0,X0) , неустойчиво. Рассмотрен также случай неограниченного коэффициента демфирования Рассмотрены системы, описывающие уравнениями

x + Ut,x,x)x + gjtt.x^o, (в)

в следующих случаях:

I) величина J (t,x) удовлетворяет тому же предположению, что и в случае уравнений (7), а величина g = Cj(t) такова, что 0*9 W * 9 \ да1 Bce* t e R+

П) величина f(t,x) та же, что и в (7), а величина gr^gt.t.x') такова, что 0 * g(t,x)s Q , |9g)öx|= 1= const для всех te R+ и малых Iii;

Ш) в общем случае зависимости j =• j и соответствен-

но Cj(t) =1- Определены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия х=Х=0 рассмотренных систем.

Путем сравнения показано, что полученные единообразными методами результаты дополняют и обобщают результаты целого ряда исследований, проведенных ранее на основе различных методов и вспомогательных оценок. В качестве иллюстрированных примеров рассмотрены задачи об асимптотической устойчивости нижнего положения равновесия маятников переменной длины и с вертикально колеблющейся точкой подвеса.

В разделе 2.2 рассмотрена задача об асимптотической устойчивости положения равновесия общей, неавтономной механической системы под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил.

Определены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия механической сис-

теш о нестационарными связями. Подробно рассмотрена механическая система с независимыми от времени связями под действием потенциальных сил с потенциальной энергией П— n(t,q),

а П / dt s о . Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого положения равновесия такой системы в том число, когда диссипативные силы являются силами частичной диссипации, являются неограниченными.

Исследованы достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия системы под действием диссипативных сил, линейных относительно обобщенных скоростей, когда потенциальная энергия тлеет вид П (t,q) = p(t).

По С t,q), pit) >0, бП0/at «0 , когда действуют

силы типа потенциальных, Qn = - р (t,q)-0П0/3q, рЛ^>Я)>0, no=no(t,cj),6no/6t«0; и при общем случае зави-

симости п = n(t,q).

В зависимости от условий асимптотической устойчивости будет равномерной, равномерной по(^0,Нд) • В соответствии с результатами раздела 1.5 определяется влияние возмущений. Одним из ряда результатов является следующий:

Предположим, что механическая система с кинетической энерги'1, имеющей вид 2Т= (q)TA(q)q, q= ((j1,qi,...>qn) находится под действием ограниченных потенциальных, гироскопических и диссипативных сил, таких что:

1) потенциальная энергия системы имеет вид

n(t,q)»pCt)n0(t,q), о - p^pCt^p,, ane/at «о,

3flo/öq=0 при q = 0;

2) положение равновесия системы Cj=q=0 является невырожденным изолированным положением равновесия системы, ПЭПо/ЭЦПэб'фз'О для II q II

3) диссипативные силы таковы, что QTqs-(q') H(t,C|)q, при этом выполнено матричное соотношение

t*T i 9)

Lim inj Jx(r)dr>0. t

t—- +=•

Тогда положение равновесия системы = £| = 0 равномерно асимптотически устойчиво.

Условия относительно коэффициентов к ^ ( Ь) могут

быть ослаблены. Например, р (±) > о для £ ^ +

0< рвв рЦ)*р± для + tk-* + ~>ts'>D).

Тогда а -О = 0 асимптотически устойчиво равномерно по

Полученные в 2.2 результаты развивают и обобщают немногочисленные результаты В.М.Матросова, Л.Сальвадори, II.Руша, С.Муракими и других.

В разделе 2.3 на основе результатов из 2.2 в несколько измененной по сравнению с работой В.М.Ыатросовак' постановке предложено решение задачи о стабилизации расчетного движения гироскопической системы на подвижном основании. На примерах маятника и гироскопа Фуко из36' показана определенная эффективность предложенного решения.

В разделе 2.4 рассмотрена механическая система с переменными массами. Определяются достаточные условия относительно диссилативных и реактивных сил, сил типа потенциальных, при которых нулевое положение равновесия такой системы асимптотически устойчиво, неустойчиво. В частности, тлеет место следующий результат.

Пусть для механической системы с независящими от времени связями и переменныг.ш массами ГП^-Гг)д = неиечезаюши-

ми и ограниченными, 0 < мЦ ^ т^ (t, о) $ /Т)д , кинетически энергия есть 2Т= (С| )ТА ( т, ср Ц . Допустим, что на систему дествуют силы типа потенциальных

означает производную при фиксированных массах,1) где П~

при (¡г = 0,ЗПР /И « О, (ВП0/Зт -т)« о, функция определенно-положительна по С] , для малых /| С[ Ц = £ > 0 выполняется неравенство II д П0/д(^ II & 2Г(?)>-0, Допустим, что действующие на систему обобщенные реактивные и диссипативнне силы таковы, что составляющая обобщенной реактивной силы, обусловленная относительными ускорениями двигающихся в материальных точках частиц, равна нулю, ^ • а действие

Натросов В.М. К задаче устойчивости гироскопических систем на подвижном основании. Тр.Казанск.авиац.ин-та, 1952, вин. 71, с.12-35.

двух остальных составляющих - кориолисовой и импульсной, "Ч^ и , = ^Уу = 0 при С) = Ц = 0 , а также дисси-пативных - 0, , определяется соотношением

где ^(Д) имеет оценку (9).-

Тогда положение равновесия Ц = Ц =- 0 системы равномерно асимптотически устойчиво.

В качестве примера исследована асимптотическая устойчивость и неустойчивость положений равновесия твердого тела переменной массы, вращающегося вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил.

Приведенные результаты возможно имеют больше теоретическое значение, нежели прикладное. Однако разработанные методы могут успешно применяться и при исследовании конкретных прикладных задач. 3 качестве такой задачи в разделе 2.5 решается задача стабилизации трехосной ориентации твердого тела с переменными моментами инерции или переменной массы в инер-циальной и во вращающейся системах координат. Выписываются явные выражения моментов, обеспечивающих такую стабилизацию, в том юле переменной угловой скорости вращающейся системы координат.

Третья и четвертая главы диссертации посвящены исследованию частичного притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения относительно части переменных посредством функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную.

Таким образом, для системы (I) рассматривается задача об устойчивости по части переменных X,, Хг, ..., ССт (ГП « п) называемых в дальнейшем контролируемыми. Для удобства переобозначим Х=(Х, , Я»,..-, 1„)

Предполагается, что правая часть системы (I) определена в области 6 = Г, = С 0,+ =^ Ну11<Н>0, Их II < + (где Иц II - некоторая норма

в 1Ш1-ЯР, ИХ11 = Ну11 + Н^И) и такова, что решения системы (I) 1 -продолжимы.

В главе 3 исследование основано на использовании предельных систем и предельных функций, построение которых и связанное с этим свойство описаны в-разделах I.I и 1.2. Так как составным элементом такого построения является компактность (см. условия (3) и (4)), то в исследовании существенна ограниченность решений по нектиролируемым координатам

В разделе 3.1 исследуется возможность определения асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы по части переменных посредством только предельных систем. Доказаны две теоремы о равномерной асимптотической устойчивости по части переменных, дополняющие результаты работы П.Бонда, П.Фергслы и др., теорема о частичной эквиасимптоти-ческой устойчивости, обобщающая теорему 1.2.

В разделе 3.2 излагаются результаты об исследовании свойства у -притяжения решений, асимптотической устойчивости и неустойчивости по у нулевого решения системы (1) в предложении существования функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную. Вначале рассмотрен случай, когда правая часть системы (I) X (Д,х) удовлетворяет условию (2). Получены результаты, соответственные теоремам 1.3 и I.I8. По сравнению с известными результатами В.В.Румянцева, К.Пейфера и Н.Руша, А.С.Озиранера в теореме ослабляется условие относительно производной V+(t,x) , но вводится условие ограниченности решений.

Более интересные результаты получены при условиях (3) и (4) существования предельных систем. Как дополнение к теореме 1.7 получен следующий результат.

Теорема 3.7. Предположим, что:

I) существует функция V-V("t,x) , ограниченная снизу на каждом компакте |(с f , и ее производная в силу системы (I.I) V + (t,x)«-W(t,x)sO-,

.2) каждая предельная пара {.S^Q] и соответствующее

множество V« (.t,C.') таковы, что максимальное инвариантное относительно системы x = TCt,x) подмножество МЧс) множества (V^ (t,c) : с= const] П (S2(t,x) = о} содержится в [X•у - 0] .

Тогда каждое ограниченное компактом К «= Г , решение Х=Х(ДДХГ) системы (I) неограниченно приближается к мно-

жеству {x:y=Q} при , т.е. y(t,t0ia:0)->Q

при t —>• + 00 •

Положим, что X(t,O) = 0 , тогда как следствие теоремы 3.7 тлеем следующий результат.

Теорема 3.8. Предположим, что:

1) каждое решение системы (I) из некоторой окрестности Х=0 ограничено по Z ;

2) существует функция V="V(t,x) , такая, что "V(t,0)5 0.

V(t,x) ^h(Hyll) , V4t,x)«-W(t,x)«0;

3) имеет место предположение 2) теоремы 3.7.

Тогда решение X = О системы (I) асимптотически устойчиво .

Доказаны также следующие теоремы.

Теорема 3.9. Предположим, что выполнены условия I) и 2) теоремы 3.8, а также:

3) существует хотя бы одна последовательность дня которой предельная пара (Я^^о) и множество "V« (t,c) таковы, что при каждом c = car\st>0 множество (t,c): С= const >0 )fl[fi-0(t;x)=ri}ne содержит решений системы

Тогда решение системы (I) Х=-0 асимптотически у -устоЕ чи'о равномерно по Хо

Теорема ЗЛО. Предположил, что:

1) режния системы (I) из некоторой окрестности X =0 равномерно ограничены по Z ;

2) существует функция V=V(t,x) , ограниченная и равномерно непрерывная на каждом множестве R f * К, Кс=- Г , и такая, что H,(|lyII) &Y(t,x)=s(||х||) , а ее производная

v + ct,x) * -W(t,x") «о;

3) каждая предельная k(X,V,W) соповкупность (T^Q) такова, что {U (t,х) = С = const > 0]n{Q (t,X) = 0] не

содержит решений системы i = Ф (.t,x).

Тогда решение системы (I) Х = 0 равномерно асимптотически у -устойчиво.

Далее доказана теорема об у —неустойчивости. Приведенные теоремы являются развитием и обобщением на неавтономные системы результатов Б.В.Румянцева, К.Ркзито, А.С.Озиране-ро, полученных ранее для автономных и периодических по времени систем.

Существенным условием результатов раздела 3.2 является ограниченность решений по 2 . Оно может быть заменено условием относительно функции "V при ||2.|| —»- 00 ■ Такое исследование проводится в разделе 3.3.

Получено несколько результатов о локализации множества у -предельных точек неограниченного по 2. решения

Х(1Д0, Х0) системы (I) и об у -притяжении такого решения. Показано, что условие 2 -ограниченности решений системы (I) в теореме 3.8 может оыть заменено следующим образом.

Теорема 3.15. Вывод теоре№ З.В остается справедливым, если вместо ее условия I) выполняется:

I1) функция "V такова, что существует число О>0, такое, что итЛ7"(Д,У>0 при Ц-2.Ц -»• + 00

равномерно по и у е [ 0 < б*г£ Ну11«Н<Н].

Теоремы о равномерно!! асимптотической у -устойчивости сохраняются, если условие ограниченности решений по г заменить условием: —0 при IIг|| —»■ + «= равномерно по 1 ен и у е: ^ИуП е Н(< Н} -

Некоторые из доказанных теорем, например, теоремы 3.8 и 3.15, дополняют известные результаты В.В.Румянцева, К.Ризито и А.С.Озиранера. Это дополнение излагается в разделе 3.3.

В четвертой главе предлагается иной подход к исследованию частичного притяжения, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости. Он использован на определении структуры положительного предельного множества сО+(х(1Д0,а:0')) решения системы (I) X = хСДД^Х^ по контролируемым переменным у , на определении свойства этого множества типа свойства инвариантности относительно специально построенных предельных .систем. Исследование этого вопроса проводится в первом разделе этой главы.

. Предполагается, что составляющая У (Д,х) " вектор-функции X (1,х) удовлетворяет следующему условию: для каждого множества Г, = {Ну II - н, < Н , IIгII < + »] существует неубывающая функция И1"-»- , что непрерывная в нуле со значением Л^о") — 0 ■ и такая, для любой непрерывной функции и : Со, Ь] —»Г, выполняется неравенство

II ]ЬУ(т,испуги «_(иД1Ь-а1) (ю)

о

Функция J^-ií.^) будет оценкой непрерывности у -составляющей ij ( t., tQ , Xq) каждого решения системы (I) X = X (.t,t0 , х0) для значений , при которых

x(t,t0,x0)«-г<.

Пусть tú* (X(t,t0,Х0У) есть частичное положительное предельное множество решения х-~ X(t,t07X0) 11 пусть у№е:и)у ЛГу (Гу = [ye R"1 : Ну II -= Н}) , т.е. существует по-

следовательность tj¡,+ о«» такая, что у (tji Дд , ЭСд)-*" ¡J*

при к •

Можно показать, что при условии (10) найдутся подпоследовательность ^Kj-""^00 и непрерывная функция у -У (t) :]<£,]}!!

а)=у*. такие, что последовательность функций X. (.í.) -= X(t¡,.+ t) сходится к У = H1 (t) равномерно noter [ у, <=]d,%ijbC и таким образом [у = 4> ( t) : "= t « Ji} с

(х (t ,tnXpi). Следовательно, при условии ¡»кет быть представлено кале некоторое объединение непрерывных крив;,к у = ^(t) Ол.^Г—Гу.

Гораздо более интересным представляется выделение свойства tù^y (х [ t, tQ , Xq")) типа свойства инвариантности. В зависимости от предположений относительно правой части системы (1) яозютнн оладушке различные формы такого Представления,

Первая ;i»pi.'.a. допустим, что составляющая правой части С х > - Функция У' R * Г-^-R удовлетворяет следующему .'.'{•с/лолочонкы: для каждого множества Г, » ^Hyl!sH,<H>llz.llc+<» существу»; два локально интегрируемые функции и

n (t)e:L< , тajene, что для всех t е R+, у^^у^е 1Г7Ч = iy & R."1 ; ¡lyll s Hi), Z e RP выполняются соотношения

liy(t.y,z)ll ny(t,aa,z)-a(t,yi,z)iiani(t) пуг-у(н

при этом функции -^(t; и удовлетворяют условиям

вида (4) с числами

N - N (H,), б"=0"(Н,,е) =>0.

Обозначим для некоторого числа Н0 H через Mj.(t,t0"lcRp множество, образуемое . ъ -составляющими решений система' (I) х - x^t.t., х0) ; H х0 II йН0 , т.е.мгило)=и{1(1,10х^.

Щ011 вН0] • Для лчбой непрерааной функции Z.»Z(t)e

Mz(t,t0) функция у (t,y)= y(t,y z(ü) в силу условий (II) II (4) удовлетворяв ча к^пптсте К = {'lyll Rm

соотношениям.

II У'(1,4)Н ^ Л,(1), II У'С^.Уа)-УЧМ,)П* II9,-У,Н

Отсюда, как и в общем случае Х(11,х) (см. раздел 1.1) можно построить компактное функциональное пространство функций кГ^-*!^"1 > содержащее семейство сдвигов

(У^С^у) - + • Тем самым, образуется семей-

ство предельных функций ^ , каждый элемент которого

является предельным хотя бы к одной функции У1 относительно некоторой зависимости 2(1;) е МгЛ^Л ) и может быть введена предельная система

(12)

Показано, что имеет место следующее свойство типа инвариантности для каждого решения х = х системы (I), определенного для всех ^Ъд , множество иЗ+11(.х(Л,1о,х0'})П^! квазюгавариантно по отношению к семейству предельных систем (12), т.е. для каждой точки у*&ц}уПГу существует не-продолжаемое решение у = Ч* (Ь) '• С-*- Гу некоторой предель-кой системы у = "^("Ь, такое, что = Ч1 <=и)а(хи.,1:01х0У).

Вторая форма. Недостатком выведенного свойства квазиинвариантности о)"у (х^Д^Х^ является неиспользование 2. -свойств решений системы (I). В ограниченной облжсти эти свойства могут быть учтены на основе построения системы (5), предельных ко всей системе (I). Для этого достаточно предположить, что функция Х(1,х) удовлетворяет одновременно условиям (3)-(4) и (П)-(4), и сопоставить системе (I) две предельные системы (5) и (12). При этом имеет место следующее свойство квазиинвариантного множества и)у (х(1Д0,Х0)) Если для некоторого решения З^Х^^о,^) систем! (I), определенного для всех 1:г-110 , множество у (х^Д^Х^ПГ^+Ф, .то для каждой точки и) у ЛГу существует либо решение

X = Ц> = (ч1 (I) , 0 предельной системы х =

= <Р1Л,х) , такое, что ЧЧ°)=У*> либо решение у = предельной системы у = 4^,у) такое, что , и при

атом ^(Ь)® и)у (х (1:(1В, Х0)) или соответственно

е и) у (х (1,10,ХрУ) на всем интерва-

ле определения.

Третья форма. Б предыдущем случае представления структуры ujy (x(t,t0,xol) имеется неопределенность, относительно каких (Л) t^M^t.to), принимающих достаточно большие неограниченные значения, следует определять семейство предельных систем (12). Эта неопределенность может быть снята некоторой модификацией условия (II) и наложением следующего дополнительного условия относительно составляющей Z. • R+*r-*-Rp; для каждой непрерывной функции U '• Rпри каждом имеет место оценка г***

|| J Z (Т, и(.т)) dT || s m (u) = const

При этих условиях предельная функция есть пре-

дельная точка семейства {У (t,y) = У(tk+t,y,2 определяемого относительно произвольных последовательностей

tk- + «> ' || ^|| —»■ + 00 и произвольной последовательности непрерывных равномерно ограниченных на конечном отрезке функций Z k(t) '. R + — Rp

Четвертая форма. При усилении условий относительно могут быть более полно учтены т. -свойства решений системы (I) и при ||z||—- +

Пусть XCt.x) удовлетворяют условиям: для казвдого множества Г} = [llyll «Н^Н |1/||<=+00] существуют две функции A,(t), r| (.t) ^ L, локально, такие, что

ilX(t,i)iN МО, HXU.xO-XCt.xOlls^tDilx^x,!! (13)

где t eR*; Х,Х,,ХгеГ7 ; при этом функции Я4 (t),!^!)

удовлетворят условиям типа (4). Тогда можно построить компактное метрическое пространство F1 , содержащее семейства сдвигов

(XT(t,x)=X(t+T,x), TeR + ],^XTiCt,x)-

=X(t<-t,y,2. + Si),Te R+? S)e:Rp]. Соответственно по отношению к системе (I) определяются t - л - пределыше системы

х=т,и,хЬ хг = я\(г,х) (к)

Дгш каждого решения систоггг (I) X .= X (ДД0 ,Х0") , определенного для всех t S- tQ , множество и) у (xtt,t0,3^i) квазиинва-риантно но отношения к системе (Т4), а именно, для каждой прэ-

дельной точи? у*® u)^ (x(t,t0,x0))ni^ существует хотя бы одно ■решение X=lP(t)-(4'(t))SW) одной из систем (14), такое что у Со) = 9* и VCt) u)y (_xCt,t0,x0)) навеем

интервале определения решения х =

В разделе 4.2 на основе найденных свойств частичного положительного предельного множества аЗу (x(t,t0> Х0")) исследуется задача о частичном асимптотическом поведении решения системы (I) Х= xCt,t0,x0) , когда функция Ляпунова V имеет знакопостоянную производную s -"W(t,x)^Q.

Соответственно формам представления Шу (x(t,tD,X0l) получено ряд соответствующих результатов. К примеру найден следующий результат.

Пусть правая часть системы (I) удовлетворяет условиям (13). Одновременно допустим, что аналогичным условиям удовлетворяет оценка W(t,x) производной V+Ct,l) , и положим, что Q (t,x) = CQt Ct.x), QjCt.x')) есть соответствующая (.t,£) -предельная к WCt,x) функция.

Вместе с множеством , обозначаемым как Vj,Ct с\

введем множество V«^ , как множество точек x = (.yz.)

дая кавдой из которых существует последовательность точек = —- x = Cy,z) ПРИ к —-оэ , такая что

UmVCtk+t, у VZk)"c к ^

Теорема'4.4. Пусть V : R *P-»~R есть функция Ляпунова, ограниченная на каждом множестве R+* Г, и имеющая производную V+(t,a:) *-W(t,x) so.

Пусть (f,Q) - предельная пара, соответствующее предельное множество. Обозначим через М■*(с) максимально инвариантное относительно системы х= (t,X) подмножество множества [V«, Ct,c):c-const}n{Qi(.t(X) = 0} Через - объединение М* по всем предельным па-

рам.(Т.О) , и положим (, М^ДсУ)9 = .

Тогда, если решение системы (I) х= xct,t0,x0) ограничен по у , так что |1уС*-Ао>а:о)11«'Н»"сН дая Bcext^lo, то существует-значение. с= Со такое, что x(t,l0)x0) неограниченно приближается к (М£(.с0У)у при t-*- + »° . , т.е.

У (Л До > См*Cc0V)у —+

В разделе -4.3 в соответствии с классификацией, проведенной в разделе 4.1, доказаны теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (I) по части переменных. В отличие от теорем раздела 3.2 здесь не предполагается ограниченность решений по неконтролируемым переменным. Приведем некоторые из этих результатов.

Теорема 4.8. Предположим, что:

1) существует функция V="V(t,x) , такая, что "V(t(0)sO,

V(t,x)»Mllyll)&0 тиУ*{. t,x) =s-W(.t,x)«0;

2) функция y(t,x) удовлетворяет условиям (II), такого рода условия выполнены и для "W( t,x)

3) для каждой предельной относительно произвольной непрерывной функции 2(t) е M2(t1t„') парЫ (M?, Q') и соответствующего предельного множества (Л,с) максимально инвариантное относительно системы у ="4?(Л,у) подмножество множества (Loott.c) : c = const 5-0}n(Q'(t,y) состоит не более, чем из одной точки у=0.

Тогда решение Х-0 системы (I) асимптотически устойчиво.

В приведенной теореме Q(.t,y) есть предельная точка семейства сдвигов (W^(t,y)-W(t+T,y),W4t,y)-WCt.y.zCt^/Ce R+} , а множество |Joo (t,c)c: Hj есть множество точек у ^ Hj , для каждой из которых имеется последовательность такая, что V(tkj+t,yKj, Z(tkj + — С.

Теорема 4.18. Предположим, что выполнено условие (I) теоремы 4.8, а также:

2) функция X(t,x) удовлетворяет условиям (13)-(4), и аналогичные условия выполнены для W(t,X) ;

3) существует последовательность , для которой предельная пара (Т, Q) с предельным множеством Voo (t,c) будут такими, что множества {V^1 (_t,c) С - COnst>0}n{S3^t,x)»Q} не содержат решений соответствующих систем X =

Тогда решение Х= 0 систем (I) асимптотически у-

устойчиво равномерно по Х„ .

Эффективность теорем раздела показана на примерах, которые решались на основе двух функций Ляпунова. , .

В случае автономной систем!! результаты предыдущего раздела принимают специальную ферму. Их изложение проводится в четвертом разделе главы.

Полученные в третьей и четвертой главах результаты представляют собой развитие и обобщение ряда известных результатов В.В.Румянцева, А.С.Озиранера, Н.Руша и К.Пейфера, К.Ризи-то и других.

В пятой главе на основе результатов третьей и четвертой глав исследуется асимптотическая устойчивость установившегося движения неавтономной механической системы по части скоростей и части координат.

В разделе 5.1 излагаются результаты о частичной асимптотической устойчивости положения равновесия различных неавтономных голономных механических систем, в том числе системы, у которой кинетическая энергия теряет положительную определенность из-за неопределенности координат.

Для механической системы с независящими от времени связями и обобщенными координатами С| = (С|\ С|г) = (

находящейся под действием потенциальных сил с потенциальной энергией П=П(1,ср ( гироскопических и диссипатив-1шх сил, получены следующие результата.

Предположил, что: • I) функция П= ПС^.Ц1) опредслешю-ноложительиа по

ап/аг^о;

2) движения системы из некоторой окрестности положения равновесия |^=с|=0 ограничены по С}1 (равномерно огаа-ничены по Ц1 );

3) вне множества (с^ = Чг=- .. . = Цт=0] нет положений равновесия системы, и это свойство невырсждено, .•нап/ачн» б"С£)=*0 при II Ц'1 И е =>0 (намножест-8е ;П (1, с|) =»0 ] нет положений равновесия системы, и это свойство невырождено, НЗП/дС}11 & 6"(е)=*0 для всех

4) действующие на систему диссипативнне силы таковы, что 0Т'Я ^-^(1)11(11 ф1) « 0 ■ , где для оценки хШ&О

выполнено соотношение (9).

Тогда положение равновесия системы С] =4=0 асимптотически устойчиво по (равномерно асимптотически устой-фиво по С|, Ц"1 ).

Эти результаты выводятся на основе теорем раздела 3.3. Теоремы 4,8 и 4.18 позволяют заменить условия 2). А именно,

полученные выводы об асимптотической устойчивости по с) иС}' остаются справедливыми, если условие 2) заменить на условие:

2' ) величины, входящие в уравнения движения, ограничены и удовлетвоояют условиям Липшица по переменным С| и ^ * в области {Ц||«Н0, Ич'ИаН,, II - + 00 } .

Указано, что соответствующим образом эти результаты могут быть представлены и для случая диссипативных сил с частичной диссипацией, для случая, когда кинетическая энергия теряет определенную положительность из-за неопределенности координат.

. Аналогично исследованию полной асимптотической устойчивости Ц = Ц = 0 (раздел 2.2) отмеченные результаты развиваются для случая потенциальной энергии П = Р(1.) П0(1,С|), ЗП0/61«е 03 р(1)>0 , для случая сил типа потенциальных 0.п=

-р^^апо/ач, О-РС^Ц)^^, апо/аг^о, мар/а^н^сопзг.

В этом же разделе приведены достаточные условия частичной асимптотической устойчивости положения равновесия механической скстегл: с перемсншн.ж массами.

Рассмотрена задача о частичной асимптотической устойчивости положешш равновесия материальной точки на поверхности Ъ ={(сс,у) . Определены достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия твердого тела с неподвижной точкой, когда ось тела с лежащим на ней центром масс направлена вертикально вниз, в однородном поле тяжести пере-'■.'.'нной интенсивности.

В разделе 5.2 рассматривается голеномная механическая система с кинетической энергией Т = Тг 4-Т, +■ Т0 , не зависящей явно от времени. Предполагается также, что кинетическая энергия и потенциальная энергия П П ("Ь,С|) не зависят явно от последних (п-т) обобщенных координат Ят+г Цп ; 'г,'гк '1Т0 первые т координат =

= (Ц ) - позицтошше, а последние П-ГП координат

Т = 'Йт-Г' Чт«-г' • • •' Чп> являются игнорируемыил

При отсутствии обобщенных сил по циклическим координатам такгш система ипоет (п-т) циклических интегралов рт+1=-Стм , = ст + г р„= с" • Уравнения

а^ и

при Cj^tj^ .и С - С0 , где "W = "W (t, Ц\ С) есть приведенная потенциальная энергия системы, определяют стационарные движения системы

q<=0, q' = const, q* = q* = const (I5)

Аналогично выводу достаточных условий асимптотической устойчивости положения равновесия механической системы в разделе 2.3 могут быть получены достаточные условия условной по cj1 и q4 (т.е. относительно движений, вдоль которых циклические постоянные не возмущаются, С0 = С0) асимптотической устойчивости стационарного движения (15) под действием дисси-пативных сил с диссипацией по скоростям позиционных координат.

Таким же образом определяются достаточные условия асимптотической устойчивости по q' и q1 подмножество множества стационарных движений, отвечающих одним и тем же значениям позиционных координат при разных значениях циклических постоянных.

Рассмотрена задача о действии на рассматриваемую систему диссипативных сил, производных от функции Релея

2F = (q)TFJt)q где F^(t) есть ограниченная неотрицательно-определенная матрица, и сил, уравновешивающих дкссипативкые силы на рассматриваемом стационарном движении. Определены достаточные условия полной равномерной асимптотической устойчивости такого движения (без ограничения общности, q1=0, q1 = 0, qa=q^=const ) на-основании использования в качестве функции Ляпунова функции вида

где R2 и R0 - соответствующие составляыцие функции Рауса

В качестве примера дани достаточные условия асимптотической устойчивости по углу нутации и ее угловой скорости подмножества стационарных вертикальных вращательных движений твердого тела с закрепленной точкой в однородном поле тяук'тк переменной интенсивности.

Предложено развитие метода Рауса-Ляпунова исследования устойчивости стационарных движений некоторого типа механических систем с переменными массами. Рассмотрена задача об асимптотической устойчивости неравномерного вращения вокруг вертикальной оси твердого тела переменной массы с закрепленной точкой в однородном поле тяжести.

В разделе 5.3 рассмотрена задача об устойчивости положения равновесия неголономной механической системы при допущении зависимости действующих на систему потенциальных, гироскопических и дксскпативных сил от времени. Определены достаточные условия асимптотической устойчивости по скоростям и независимым координатам, а также неустойчивости, когда потенциальная энергия системы имеет вид П = П (М-), 3П / ЪХ. « 0 ; П =

ЭПо/а1«0 . Отличительной особенностью результатов является отсутствие предположения ограниченности движений системы гю зависимым координатам. В качестве примера рассмотрена задача об асимптотической устойчивости и неустойчивости положений относительного равновесия неоднородного шара на шероховатой горизонтальной плоскости, совершающей вертикальные колебания.

В раздело 5.4 показана эффективность некоторых полученных методов в задачах стабилизации вращательных относительно центра масс движений спутника переменного состава. Предложено решение задач об одноосной стабилизации спутника в точках либрации мранпчешюй круговой задачи трех тел при предположениях: центр масс спутника, будучи неподвижным относительно корпуса, совпадает с одной из точек либрации ограниченной круговой задачи трех тел; главные центральные оси инерции спутника неизменны, А (Д) = В(10 + С ("Ь) ; реактивные силы, возникающие в результате отделения рабочей массы создают искомые управляйте моменты, осуществляющие одноосную стабилизацию оси симметрии спутника. Решается задача о стабилизации множества стационарных вращательных двккений такого спутника, при которых ось симметрии спутника перпендикулярна плоскости орбиты. Решается задача о стабилизации положения относительно равновесия спутника переменного состава с неравными главными центральным!! моментами инерции на круговой орбите.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Совокупность научных результатов диссертации можно квалифицировать как новое направление в исследовании асимптотического поведения движения, асимптотической устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения системы, описываемой неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями, в исследовании устойчивости движения неавтономной механической системы.

Основные результаты диссертации состоят в следущсм:

1. Вводятся методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости для неавтономных систем дифференциальных уравнений, основанные на синтезе анализа топологической динамики этих систем и существования фукнции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную. Устанавливается, что эти методы являются развитием классических методов А.Ы.Ляпунова, Н.Г.Четаева, Н.Н.Красовского в исследовании свойств устойчивости для широкого класса таких систем.

2. Вводятся аналогичные метода исследования асиынтоти-

'ческой устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения ■относительно части переменных. Так. как при этом используется свойство квазиинвариантности положительного предельного множества решения неавтономной системы, то существенным предположением является ограниченность движений по неконтролируемым координатам.

3. Для выявления структуры и свойств частичного предельного множества решений неавтономной системы проводится построение новых специальных типов предельных систем. На основе чего доказаны теоремы о притяжении решении, асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных, когда существует одна функция Ляпунова со знакопостоянной производной и не предполагается ограниченность реиошш по неконтролируемым координатам. Указывается, что доказанные теорем являются-развитием известных результатов В.В.Румянцева и других авторов.

4. Определяются достаточные условия асимптотической ус, -тойчивости и неустойчивости нулевого положения равновесия

неавтономной механической системы с одной степенью свободы. Показано, что полученные единообразным методом результаты

дополняют и обобщают результаты целого ряда работ, полученные с помощью различных методов и вспомогательных оценок.

5. Исследуются условия асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия голономной неавтономной механической системы под действием потенциальных, гироскопически;': и диссипативных сил. На основе найденных условий предлагается метод стабилизации расчетного движения гироскопической системы на подвижном основании. Рассматривается изменение указанных условий для механической системы с переменными массами.

• 6. Определяются достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части координат и скоростей положения равновесия голономной и неголономной механических систем. Исследуется задача об устойчивости стационарного движения голономной неавтономной механической системы, механической системы с переменными массами.

7. Приводятся решения ряда задач прикладного характера: о стабилизации трехосной ориентации твердого тела с переменными моментами инерции в инерцяальной и во вращающейся системах координат; об устойчивости положения равновесия твердого тела с закрепленной точкой в однородном поле тяжести переменной интенсивности; об устойчивости положения равновесия и стационарного движения твердого тела переменной массы; о стабилизации вращательных движений спутника переменного состава вокруг центра масс на круговой орбите и в точках либрации ограниченной круговой задачи трех тел.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости движения некоторых неавтономных механических систем под действием диссипативных сил // Докл, АН УзССР.- 1978.- № 4.- С.22-25. -

2. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // ПМ.1.- 1979,- Т.43,- вып.5.-С.796-806.

3. Андреев A.C. 0 стабилизации стационарных движений механических систем гироскопическими и диссипативными силами // Сб.научн.тр. Таи1У, 1979.- Ji 55В.- C.Ü-II.

4. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости неавтономних систем но части переменш/х // Сб.научн.тр.ТалДУ, 1981.Л 021,- C.G-I1.

5. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // Докл. Ail УзССР.- 1980.-X 7.- С. 18-20.

6. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных // Докл. АН УзССР.- 1982.- № 5.-C.9-I2.

7. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // 1Ш.- 1984,-Т.48, вып.2,- С.225-232.

8. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // ШМ.- 1984.- Т.48, вып.5.- С.701-112.

9. Андреев A.C. О влиянии сил трения на устойчивость положения равновесия неавтономной механической системы // Докл. АН УзССР.- 1984.- № 8,- С.16-18.

10. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // Устойчивость движения.- Новосибирск: Наука, 1985,- С.26-29.

11. Андреев A.C. Об исследовании асимптотического поведения -решений неавтономной системы на основе прямого метода Ляпунова и метода предельных уравнений // Метод функций А.М.Ляпунова в современной математике: Тех. докл. Всесоюзн. научн. конф. 27-29 мая 1986.- Харьков: ХГУ, 1985.- С.33.

12. Андреев A.C. К исследованию асимптотической устойчивости и неустойчивости движений неавтономных механических систем пршлым методом Ляпунова // Шестой Всесоюзный съезд

• го теоретической и прикладной механике: Аннотации докл. У1 Всесоюзн. съезда по теор. и прикл. мех. 24r3ü сент. 1986.-

• Ташкент, 1986.- С.38.

13. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнении //.ПММ.- 1987.- Т.51, вып.2.- С.253-259.

14. Андреев A.C. Об исследовании асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных на основе предельных уравнений // Пятая Всесоюзная Четаевская конференция ."Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тез. докл. У Всесоюзн. Четаевск. конф. 22-24 сент. 1987.- Казань: Казанск.авиад.ин-т, 1907.- С.8.

1b. índyeev A.J. J nve я tí pal. i on of full and partial ¡stability y/ith the ugs! of linitir/; equations // Coll.Qualitative Theory of Differential liquations: Abstracts. August 27-31, 1984.- Sвоsed, 1984. Suppl.1, p,1 If. Andreev A. Julia atnbilltri asintotica ed instability // Univ.-j'tudi di Milano. Dipnrtimento Matera. "P.Enriques". 1904,- Quad. Í5/15, 24p. 17. Andreev A. Julia atabilita nnintoticn ed iMtabilita // Hond .Jem.Mat .Univ. dl JV.rtova.- 1986- V.75.- p.235-245.

F08815 Подписано к w&imw IФормат" бумаги 60x84 I/I6 Ьумага писчая. Печать oí-сетная.Объем 2 п. л. Тира*/¿'¿'экз. ЗаказЗТЗ.

Отпечатано в тнпогрси'ии Т&чгШ! Ташкент, ул.Я.Кояаса, IG.